Tài liệu học chương 1 dao động cơ đầy đủ chi tiết thầy VNA

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.09 MB, 70 trang )

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

TÀI LIỆU TỰ HỌC CHƯƠNG 1
THẦY VNA
BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1. Định nghĩa dao động
Dao động cơ là chuyển động của một vật qua lại quanh một vị trí đặc biệt
gọi là vị trí cân bằng. Ta sẽ quan tâm đến hai dạng dao động đặc biệt là dao
động tuần hồn và dao động điều hịa.
Dao động tuần hồn
Dao động điều hịa
Dao động của một vật có thể là Một trường hợp đặc biệt của dao
tuần hồn hoặc khơng tuần hoàn. động tuần hoàn là dao động điều
Dao động là tuần hồn nếu sau hịa, dao động mà li độ của vật
những khoảng thời gian bằng được biểu diễn dưới dạng hàm cos
nhau (gọi là chu kì T ) thì vật trở lại hoặc sin theo thời gian.
vị trí cũ, theo hướng cũ.

Dao động của xích đu

2. Các đại lượng đặc trưng cho tính tuần hồn của dao động điều hịa
Chu kì T
Tần số f
Tần số góc ω
cho biết khoảng thời gian để Cho biết số dao động toàn cho biết tốc độ biến thiên của
vật thực hiện được một dao phần thực hiện được trong một pha dao động.

động tồn phần.
giây.
Chu kì T

Tần số f

Tần số góc ω

2
= 2 f = 
T
3. Phương trình của dao động điều hịa

−A

O

+A

x

Mơ hình một dao động điều hịa đơn giản
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

1

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Phương trình x = A cos ( ωt + φ0 ) được gọi là phương trình của dao

Chú ý: Chiều dài L quỹ
động điều hòa.
đạo của một chất điểm dao
động điều hịa
Trong phương trình này, ta gọi:
L = 2A
o A là biên độ của dao động. Nó là độ lệch cực đại của vật so với vị
trí cân bằng. Do đó biên độ dao động ln là một số dương.
o ( ωt + φ0 ) là pha của dao động tại thời điểm t , đơn vị của pha là rad.

→ Với một biên độ đã cho thì pha là đại lượng xác định vị trí, chiều chuyển động của vật tại thời
điểm t .
o ω là tần số góc của dao động, đơn vị của tần số góc là rad/s.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Dạng 1: Xác định các đại lượng đặc trưng của dao động điều hịa dựa vào phương trình dao động
 Phương pháp giải:
Từ phương trình của dao động x = A cos ( ωt + φ0 ) , ta có:
o A là biên độ của dao động.
o ω là tần số góc của dao động.
o φ = ωt + φ0 là pha của dao động tại thời điểm t , khi t = 0 ta có
φ = φ 0 là pha ban đầu của dao động.

 Chú ý: Quy đổi lượng giác

trong một số trường hợp:


π
sin ( α ) = cos  α − 
2

− cos ( α ) = cos ( α  π )

 Ví dụ minh họa:

π
 Ví dụ 1: (Quốc gia – 2015) Một vật nhỏ dao động theo phương trình x = 5 cos  ωt +  cm. Pha
2

ban đầu của dao động là
3π
π
π
A. π .
B. .
C. .
D.
.
2
2
4
HD:
π
+ Pha ban đầu của dao động φ0 = → Đáp án B

2
 Ví dụ 2: Một vật nhỏ dao động theo phương trình x = −5 cos ( ωt ) cm. Biên độ dao động của vật

này là
A. –5 cm.
B. 5 cm.
C. 2,5 cm.
HD:
+ Biên độ dao động của chất điểm là A = 5 cm → Đáp án B

D. –2,5 cm.

Dạng 2: Sự tương tự giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa
 Phương pháp giải:
Xét một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo là một đường trịn bán kính R với tốc
độ góc ω theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

2

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 Chú ý: Phương trình chuyển động
trịn đều của một chất điểm

Mt
t

M t =0

φ = φ0 + ωt hay

0

O

xM

t=

x

φ − φ0 Δφ
=
ω
ω

Trong đó:
o
o

φ 0 là tọa độ góc ban đầu.

ω là tốc độ góc của chuyển
động.

Sự tương tự giữa dao động điều hòa
và chuyển động tròn đều

Chọn trục Ox trùng với một đường kính của hình trịn và gốc trùng với tâm O của đường trịn như
hình vẽ.
→ Tại thời điểm t bất kì hình chiếu của chất điểm lên trục Ox được biểu diễn bằng phương trình
xM = Rcos ( φ ) .
Giả sử rằng, tại t = 0 , góc hợp bởi Ox và bán kính là φ 0 → φ = φ0 + ωt .
→ xM = R cos ( ωt + φ0 ) , nếu ta đặt A = R thì xM = A cos ( ωt + φ0 ) .

 Vậy ta có thể xem dao động điều hịa là hình chiếu của của một chất điểm chuyển động tròn đều lên phương
đường kính.
Dựa vào sự tương tự giữa dao động điều hịa và chuyển động trịn đều, ta có bảng thể hiện sự tương
tự của các đại lượng tròn dao động điều hòa và các đại lượng tròn chuyển động tròn đều như sau:
Dao động điều hòa
+ Biên độ dao động A .
+ Tần số góc ω .
+ Tốc độ cực đại vmax = ωA .

Chuyển động trịn đều
+ Bán kính quỹ đạo R .
+ Tốc độ góc ω .
+ Tốc độ dài v = ωR .

 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: (Quốc gia – 2016) Một chất điểm chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O bán kính
10 cm với tốc độ góc 5 rad/s. Hình chiếu của chất điểm lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo

có tốc độ cực đại là
A. 15 cm/s.
B. 50 cm/s.
C. 250 cm/s.
D. 25 cm/s.
HD:
Hình chiếu của chất điểm này là một dao động điều hòa → tốc độ cực đại vmax = ωA = 5.10 = 50 cm/s
→ Đáp án B
 Ví dụ 2: Một chất điểm chuyển động trịn đều trên đường trịn tâm O
bán kính R = 10 cm theo ngược chiều kim đồng hồ. Tại t = 0 chất điểm ở vị
trí M , đến thời điểm t = 0, 25 s ngắn nhất chất điểm đi qua vị trí N như
hình vẽ. Hình chiếu của chất điểm lên trục Ox có tốc độ cực đại là:
A. π cm/s.
B. 15π cm/s.
C. 20π cm/s.
D. 25 cm/s.

N

O

M
x

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

3

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

HD:
Ta có:

π
Δφ 2 − 0
=
= 2π rad/s.
o ω=
t
0, 25
o Hình chiếu của chất điểm lên Ox là một dao động điều hòa
→ Tốc độ cực đại của hình chiếu vmax = ωA = 2π.10 = 20π cm/s → Đáp án C
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1: Chọn phát biểu đúng. Dao động điều hòa là
A. những chuyển động có trạng thái chuyển động lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian
bằng nhau.
B. những chuyển động có giới hạn trong không gian lặp đi lặp lại nhiều lần quanh một vị trí cân
bằng.
C. dao động tuần hồn mà phương trình chuyển động của nó được biểu diễn bằng hàm cos theo
thời gian.
D. dao động có biên độ phụ thuộc vào tần số của dao động.
Câu 2: Một chất điểm dao động điều hòa thực hiện được n dao động trong khoảng thời gian Δt .
Chu kì dao động của chất điểm này là

Δt
n
Δt
.
C.
.
D. 2π
.
n
n
Δt
Câu 3: Một chất điểm dao động điều hòa thực hiện được n dao động trong khoảng thời gian Δt .
Thời gian giữa hai lần chất điểm này đổi chiều chuyển động là
A. Δt .

B.

Δt
n
Δt
.
C.
.
D. 2π
.
n
2n
Δt
Câu 4: Một vật chuyển động tròn đều với tốc độ góc ω và tốc độ dài v thì hình chiếu của nó lên

phương bán kính dao động điều hịa với biên độ
v2
v
ω
A. A = ωr .
B. A = .
C. A = .
D. A = .
ω
ω
v
Câu 5: (Quốc gia – 2015) Một chất điểm dao động theo phương trình x = 6 cos ( ωt ) cm. Dao động
A. Δt .

B.

của chất điểm có biên độ là:
A. 2 cm.
B. 6 cm.
C. 3 cm.
Câu 6: Phương trình nào sau đây biểu diễn một dao động điều hòa
A. x = A cos ( ωt + φ ) .
B. x = At cos ( ωt + φ ) . C. x = Acos ωt 2 + φ .

(

)

D. 12 cm.
D. x = At 2 cos ( ωt + φ ) .

Câu 7: Trong dao động điều hòa của một vật, tần số f của dao động là
A. thời gian để vật thực hiện được một dao động toàn phần.
B. số dao động mà vật thực hiện được trong một đơn vị thời gian.
C. khoảng thời gian để vật di chuyển giữa hai vị trí biên.
D. số dao động tồn phần mà vật thực hiện được trong mỗi chu kì.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

4

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Câu 8: Một chất điểm chuyển động đều trên một quỹ đạo trịn với đường kính là d . Hình chiếu của
chất điểm này lên phương đường kính dao động điều hịa với biên độ
d
d
A. 2d .
B. d .
C. .
D. .
2
4

Câu 9: Biểu thức nào sau đây thể hiện đúng mối liên hệ giữa tần số góc ω và tần số f của một vật
dao động điều hòa
A. f = 2πω .

B. ω =

2π
.
f

C. ω = 2πf .

D. f =

ω
.
π

Câu 10: (BXD – 2019) Trong dao động cơ của một chất điểm. Kết luận nào sau đây là sai?
A. dao động điều hòa là một dao động tuần hồn.
B. dao động tuần hồn ln ln là một dao động điều hòa.
C. khoảng thời gian nhỏ nhất để vật lặp lại trạng thái dao động như cũ là một chu kì.
D. trong một giây sẽ có f (tần số) dao động toàn phần được thực hiện.

π
Câu 11: Một chất điểm dao động điều hịa với phương trình x = 5 cos  2πt +  cm, t được tính bằng
3

giây. Chu kì dao động của chất điểm này là
A. 1 s.

B. 2 s.
C. 3 s.
D. 4 s.
Câu 12: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5 cm, trong quá trình dao động
vật đổi chiều chuyển động tại hai điểm M và N trên quỹ đạo. Chiều dài đoạn MN là
A. 5 cm.
B. 10 cm.
C. 3 cm.
D. 6 cm.

π
Câu 13: Một chất điểm dao động điều hịa với phương trình x = 4 cos  2πt −  cm, t được tính bằng
3


1
s là
3
A. 5 cm.
B. 10 cm.
C. 2 cm.
D. 1 cm.
Câu 15: (BXD – 2019) Chất điểm M chuyển động tròn đều trên đường trịn. Gọi H là hình chiếu
của M trên một đường kính của đường trịn này. Cứ sau những khoảng thời gian bằng nhau và
bằng 0,3 s, H và M lại gặp nhau. Chu kì dao động điều hòa của H là
A. 0,15 s.
B. 0,1 s.
C. 0,6 s.
D. 0,75 s.
Câu 16: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình được cho bởi x = −5 cos ( ωt ) cm,

giây. Li độ dao động của chất điểm này tại thời điểm t =

t được tính bằng giây. Phan ban đầu của dao động này là
π
π
A. 0.
B. .
C. − .
D. π .
2
2
Câu 17: (BXD – 2019) Chất điểm M chuyển động đều trên một quỹ đạo trịn tâm O bán kính R = 4
cm. Trong khoảng thời gian Δt = 1 s bán kính OM qt được một góc Δφ = 900 . Hình chiếu của M

lên phương đường kính dao động điều hịa với tốc độ cực đại là
3π
π
A.
cm/s.
B. 2π cm/s.
C.
cm/s.
D. π cm/s.
2
2
Câu 18: Một chất điểm chuyển động đều trên quỹ đạo tròn với bán kính R và tốc độ dài là v . Hình
chiếu của chất điểm này lên trục đi qua tâm quỹ đạo dao động với chu kì
A.

v

.
R

B.

2πv
.
R

C.

2πR
.
v

D. 2π

v
.
R

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

5

Học online tại:

04. B
14. C

BẢNG ĐÁP ÁN
05. B
06. A
15. C
16. D

07. B
17. B

08. C
18. C

09. C
19. C

10. B
20. D

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

6

Học online tại:

Lực kéo về dao động điều hịa, có xu hướng kéo
vật trở về vị trí cân bằng.

f = ma
hay f = −mω2 x

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Dạng 1: Đường tròn lượng giác đa trục
trong biểu diễn li độ, vận tốc, gia tốc và lực kéo về của một vật dao động điều hòa
 Phương pháp giải:
Sử dụng sự tương tự của chuyển động tròn đều và dao động điều hòa. Tại thời điểm t khi pha dao
động của vật là φ = MOx thì điểm M trên đường trịn có:
o hình chiếu lên trục Ox biểu diễn li độ của vật dao động điều hòa, x = A cos φ .
o hình chiếu của vật lên trục thẳng đứng chiều dương hướng xuống (vận tốc được biễu diễn dưới
dạng − sin ) biểu diễn vận tốc của vật dao động điều, v = ωA sin φ .
o hình chiếu lên trục nằm ngang, chiều dương ngược lại so với Ox biểu diễn gia tốc, lực kéo về
của vật dao động điều hòa, a = ω 2 A cos φ và f kv = mω 2 A cos φ .
sin

M


O

M

vt

cos

f kv
a


O

xt , at

x

v
Đường tròn lượng giác

Biểu diễn li độ, vận tốc và gia tốc
của dao động điều hòa

Dựa vào biểu diễn trên, tại mỗi thời điểm ta có thể xác định được tính chất dao động của vật.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

7

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Tính chất dao động sẽ khác nhau khi vật chuyển động ở các góc phần tư khác nhau trên đường
trịn. Ứng với các vị trí của vật thuộc bốn góc phần tư, ta thu được bảng tính chất chuyển động của
vật như sau
Trang thái dao động của vật

(I)

(II )

(III )

(IV )

v 0
x = + A ⎯⎯→
x = 0 , chuyển động là
nhanh dần.
o vận tốc giảm từ 0 → −ωA .
o gia tốc tăng từ −ω2 A → 0.
o lực kéo về tăng từ −mω2 A → 0.
v 0
x = 0 ⎯⎯→
x = − A , chuyển động là chậm
dần.
o vận tốc tăng từ −ωA → 0.
o gia tốc tăng từ 0 → +ω2 A .
o lực kéo về tăng từ 0 → +mω2 A .
v 0
x = − A ⎯⎯→

x = 0 , chuyển động là
nhanh dần.
o vận tốc tăng từ 0 → +ωA .
o gia tốc giảm từ +ω2 A → 0.
o lực kéo về giảm từ +mω2 A → 0.
v 0
x = 0 ⎯⎯→
x = + A , chuyển động là chậm
dần.
o vận tốc giảm từ +ωA → 0.
o gia tốc giảm từ 0 → −ω2 A .
o lực kéo về giảm từ 0 → −mω2 A .

vmin

( II )

(I )

f kv amax
a f kv max

amin
f kv min

( III )

x

( IV )

vmax

v
 Chú ý: Chuyển động của vật là biến đổi đều khi
gia tốc là một hằng số. Trong dao động điều hòa gia
tốc biến thiên điều hịa theo thời gian, do đó chuyển
động của vật là biến đổi chứ không đều.
 Chú ý: Chuyển động của vật là biến đổi đều khi
gia tốc là một hằng số. Trong dao động điều hòa gia
tốc biến thiên điều hịa theo thời gian, do đó chuyển
động của vật là biến đổi chứ khơng đều.

 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: Một vật dao động điều hịa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox . Kết luận nào sau đây
là sai?
A. Vận tốc của vật cực đại khi vật đi qua vị trí cân bằng.
B. Vận tốc của vật bằng 0 tại vị trí vật đổi chiều chuyển động.
C. Gia tốc của vật cực đại tại vị trí vật có li độ cực tiểu.
D. Gia tốc của vật bằng 0 khi vật đi qua vị trí cân bằng.
HD: Khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì vận tốc của vật là cực đại, đi qua vị trí này
theo chiều âm thì vận tốc là cực tiểu → A sai → Đáp án A
 Ví dụ 2: (BXD – 2019) Trong dao động điều hịa, ở thời điểm mà tích giữa li độ x và vận tốc v
của vật thỏa mãn điều kiện xv  0 thì vật đang
A. chuyển động nhanh dần đều.
B. chuyển động chậm dần đều.
C. chuyển động nhanh dần.
D. chuyển động chậm dần.
HD:
Tích xv  0 tương ứng với các vị trí của vật trên đường trịn thuộc các góc phần tư thứ (I) và (III).

Ở các vị trí này tương ứng với chuyển động của vật từ biên về vị trí cân bằng do vậy vật chuyển
động nhanh dần → Đáp án C
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

8

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 Ví dụ 3: (BXD – 2019) Trong dao động điều hòa, vật đang chuyển động từ vị trí biên dương về
vị trí cân bằng thì
A. vận tốc của vật âm.
B. vận tốc của vật dương.
C. gia tốc của vật dương.
D. li độ của vật âm.
HD:
Vật dao động điều hòa, đang chuyển động từ biên dương về vị trí cân bằng tương ứng với các vị trí
trên đường trịn thuộc góc phần tư thứ nhất → vận tốc của vật âm → Đáp án A
Dạng 2: Xử lí bài tốn về độ lệch pha giữa các dao động
 Phương pháp giải:

Cho hai dao động điều hòa a = Acos ( ωt + φ0a ) và b = Bcos ( ωt + φ0a ) thì độ lệch pha giữa hai dao
φa

φb

động tại cùng một thời điểm t được xác định bằng biểu thức
Δφ = φa − φb = φ0a − φ0b
Các trường hợp đặc biệt của độ lệch pha cần nhớ
Độ lệch pha
Δφ
2kπ
Cùng pha

( 2k + 1) π

Ngược pha

2

( 2k + 1) π2

Vng pha

Tính chất
a A
=
b B
a
A
=−
b
B
2

 a  b
 A + B =1
   

 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: (Quốc gia – 2009) Một vật dao động điều hịa có phương trình x = A cos ( ωt + φ ) . Gọi v
và a lần lượt là vận tốc và gia tốc của vật. Hệ thức đúng là
v2 a2
v2 a2
v2 a2
2
2
A. 4 + 2 = A .
B. 2 + 2 = A .
C. 2 + 4 = A 2 .
ω ω
ω ω
ω ω
HD:
Sử dụng công thức độc lập cho hai đại lượng vuông pha
2

2

ω 2 a2
D. 2 + 4 = A 2 .
v
ω

 v   a 
 v   a 

 +
 =1 ↔ 
 + 2  =1
 ωA   ω A 
 vmax   amax 
v2 a2
hay 2 + 4 = A 2 → Đáp án C
ω ω
2

2

 Ví dụ 2: (Quốc gia – 2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox . Khi chất điểm đi qua
vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó có
độ lớn là 40 3 cm/s2. Biên độ dao động của chất điểm là
A. 5 cm.
B. 4 cm.
C. 10 cm.
HD:
+ Tốc độ của vật khi qua vị trí cân bằng v = v max = ωA = 20 cm/s.

D. 8 cm.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

9

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Sử dụng công thức độc lập cho hai đại lượng vuông pha.
2

2

2

2

 v   a 
 v 
1  a 
 ωA  +  2  = 1 →  ωA  + 2  ωA  = 1 → ω = 4 rad/s.

 ω A

 ω 

+ Thay vào biểu thức đầu tiên → A = 5 cm → Đáp án A

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu 1: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa khi chuyển động từ vị trí biên âm đến vị trí biên
dương lần đầu tiên thì lực kéo về
A. luôn tăng.
B. luôn giảm.
C. tăng rồi lại giảm.
D. giảm rồi lại tăng.
Câu 2: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa khi đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương đến khi
đi qua vị trí cân bằng theo chiều âm lần đầu tiên thì gia tốc của vật sẽ
A. luôn tăng.
B. luôn giảm.
C. tăng rồi lại giảm.
D. giảm rồi lại tăng.
Câu 3: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa, tại thời điểm t1 vận tốc của vật là cực đại, đến thời
điểm t 2 gần nhất gia tốc của vật là cực tiểu. Trong khoảng thời gian này chuyển động của vật là
A. nhanh dần đều.
B. chậm dần đều.
C. nhanh dần.
D. chậm dần.
Câu 4: Trong dao động điều hịa của một chất điểm thì lực kéo về tác dụng lên chất điểm luôn
A. cùng pha với li độ.
B. ngược pha với vận tốc.
C. cùng pha gia tốc.
D. vuông với gia tốc .
Câu 5: Một vật dao động điều hịa khi chuyển động từ vị trí cân bằng theo chiều dương đến vị trí
biên lần đầu thì
A. vận tốc của vật sẽ giảm.
B. li độ của vật sẽ giảm.
C. gia tốc của vật sẽ tăng.
D. tốc độ của vật sẽ tăng.
Câu 6: Một chất điểm dao động điều hịa, khi chất điểm này đi từ vị trí cân bằng theo chiều âm đến

vị trí cân bằng theo chiều dương gần nhất thì
A. vận tốc của vật ln giảm.
B. vận tốc của vật luôn tăng.
C. vận tốc của vật tăng rồi giảm.
D. vận tốc của vật giảm rồi tăng.
Câu 7: Trong q trình dao động điều hịa của một vật, gia tốc của vật này có giá trị cực đại khi vật
đi qua vị trí
A. cân bằng theo chiều dương.
B. biên âm.
C. cân bằng theo chiều âm.
D. biên dương.
Câu 8: Một vật dao động điều hòa, khi li độ của vật cực đại thì
A. vận tốc của vật sẽ cực tiểu.
B. gia tốc của vật sẽ cực tiểu.
C. gia tốc của vật sẽ cực đại.
D. vận tốc của vật sẽ cực đại.
Câu 9: Trong quá trình dao động điều hịa của một vật, gia tốc của vật ln
A. hướng về vị trí biên âm.
B. hướng về vị trí biên dương.
C. hướng về vị trí cân bằng.
D. hướng ra xa vị trí cân bằng.
Câu 10: Một chất điểm dao động điều hòa trên một đoạn thẳng MN , biết tại M và N vật đổi chiều
chuyển động. Tốc độ của vật này sẽ cực đại khi nó đi qua
A. điểm M .
B. điểm N .
C. trung điểm của MN .
D. không đủ cơ sở để xác định.
Câu 11: Vật dao động điều hòa sẽ đổi chiều chuyển động khi
A. vận tốc của vật cực đại.
B. gia tốc của vật bằng một nửa gia tốc cực đại.

C. vật đi qua vị trí cân bằng.
D. vật đi qua vị trí biên.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

10

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Câu 12: Cho hai dao động điều hịa ngược pha nhau với phương trình lần lượt là x1 = A1cos ( ωt + φ1 )
và x2 = A2cos ( ωt + φ 2 ) . Hiệu φ1 − φ 2 được biểu diễn bằng
A. φ1 − φ 2 = 2kπ , với k = 0, 1, 2... .

B. φ1 − φ 2 = ( 2k + 1) π , với k = 0, 1, 2... .
D. φ1 − φ2 = ( 2k + 1)

π
, với k = 0, 1, 2... .
2
Câu 13: Cho hai dao động điều hịa vng pha nhau với phương trình lần lượt là x1 = A1cos ( ωt + φ1 )
C. φ1 − φ 2 = kπ , với k = 0, 1, 2... .

và x2 = A2cos ( ωt + φ 2 ) . Hiệu φ1 − φ 2 được biểu diễn bằng
A. φ1 − φ 2 = 2kπ , với k = 0, 1, 2... .

B. φ1 − φ 2 = ( 2k + 1) π , với k = 0, 1, 2... .

C. φ1 − φ 2 = kπ , với k = 0, 1, 2... .

D. φ1 − φ2 = ( 2k + 1)

π
, với k = 0, 1, 2... .
2

Câu 14: Trong dao động điều hòa, gia tốc biến đổi

π
so với li độ.
2
π
C. ngược pha với li độ.
D. trễ pha
so với li độ.
2
Câu 15: Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình li độ và vận tốc được cho lần lượt là
x = A cos ωt và v = ωA cos ( ωt + φ ) . Giá trị của φ là
A. cùng pha với li độ.

B. sớm pha

π
π
.

C. − .
D. π .
2
2
Câu 16: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Gọi x và v lần
lượt là li độ và vận tốc của chất điểm này tại cùng một thời điểm. Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. 0.

B.

2

x
2π
x
 x   vT 
B.   + v 2 = 1 .
C.   + 
.
= 1 . D. 1 = −

x2
T
 A
 A   2πA 
Câu 17: Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình x = Acos ωt . Vận tốc cực tiểu của chất
điểm trong quá trình dao động là
ωA
A. 0.
B. ωA .

C. −ωA .
D.
.
2
Câu 18: Một chất điểm dao động điều hịa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox . Biết vận tốc của
chất điểm này khi đi qua vị trí cân bằng là v0 và gia tốc của chất điểm này khi đi qua vị trí biên là
v
A. = A .
x

a0 . Tần số góc của dao động được xác định bởi biểu thức

A.

v0
.
a0

B.

a0
.
v0

C.

a02
.
2v0

D.

v02
.
2a0

Câu 19: (BXD – 2019) Cho hai dao động điều hòa x1 và x 2 , tại mọi thời điểm ta ln có hệ thức liên
2

x 
hệ  1  + x22 = 1 . Hai dao động này
5
A. cùng pha nhau.
B. vng pha nhau.
C. ngược pha nhau.
D. có độ lệch pha bất kì.
Câu 20: (BXD – 2019) Cho hai dao động điều hòa x1 và x 2 , tại mọi thời điểm ta ln có hệ thức liên
hệ x12 + x22 = 16 cm2. Kết luận nào sau đây là sai?
A. Hai dao động này vuông pha nhau.
C. Hai dao động này ngược pha nhau.

B. Hai dao động này cùng biên độ.
D. Biên độ của dao động x1 là A1 = 4 cm.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

11

09. C
19. B

10. C
20. C

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

12

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

BÀI 3: ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC VÀ BÀI TỐN THỜI GIAN
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Sử dụng sự tương tự giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, ta
biểu diễn dao động của một vật tại các thời điểm t1 và t 2 lần lượt tương
ứng với các vị trí M1 và M 2 trên đường trịn. Khi đó thời gian để vật di

(+)
M2

M1



chuyển giữa hai vị trí x1 và x 2 được xác định bằng biểu thức:
Δt =

− A x2

0

Δφ(rad) Δφ(rad)
Δφ
=
T=
T với M1OM 2 = Δφ
ω
2π
360 0

x
+A

x1

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Dạng 1: Xác định thời gian để vật đi qua một li độ cho trước từ thời điểm ban đầu
 Bài toán tổng qt: Một vật dao động điều hịa với phương trình li độ x = A cos ( ωt + φ0 ) . Kể từ
thời điểm ban đầu t0 = 0 . Xác định thời gian để vật đi qua vị trí có li độ x D kể từ thời điểm ban đầu.
 Phương pháp giải:
Thời gian để vật đi qua vị trí xD kể từ thời điểm ban đầu

Biễu diễn đường trịn
Cơng thức tính tốn
N

Δt =

M


−A

xD

Δφ(rad) Δφ(rad)
Δφ0
=
T=
T
ω
2π
360 0

Với Δφ là góc mà bán kính qt được giữa hai
x0

x
+A

vị trí x0 và x D ; ω là tần số góc của dao động
điều hịa.

 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: (BXD – 2019) Một chất điểm dao động điều hòa qaunh vị trí cân bằng O trên trục Ox

π
với phương trình x = 4 cos  2πt −  cm. Kể từ thời điểm t = 0 , thời điểm vật đi qua vị trí cân bằng
3

lần đầu tiên là
A. 0,42 s.
B. 0,14 s.
C. 0,67 s.
D. 0,25 s.
HD: Biểu diễn dao động của chất điểm tương ứng trên đường tròn.

 π
 x0 = 4 cos  −  = 2

 3
Tại t = 0 , ta có 
, ta biểu diễn tương ứng bằng điểm
−4
v = −8π sin  − π   0
 3
 0


M thuộc nửa dưới của đường trịn.
Vị trí x D tương ứng là vị trí cân bằng thuộc nửa trên của đường trịn. Từ

N


+2

x
+4

M

hình vẽ, ta có MON = 150 0
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

13

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Δφ
150 0
5
T=
.1 = s → Đáp án A
→ thời gian cần tìm t =

0
0
12
360
360
 2π 
t
 Ví dụ 2: (Quốc gia – 2011) Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình x = 4 cos 
 3 
( x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0 , chất điểm đi qua vị trí có li độ x = −2 cm lần thứ 2011
tại thời điểm
A. 3015 s.
B. 6030 s.
C. 3016 s.
D. 6031 s.
HD:
M
2π 2π
=
= 3 s. Biễu diễn dao động của vật trên
Chu kì của dao động T =
ω 2π

3
x
+4
−4 −2
đường tròn.
o Tại thời điểm t0 = 0 , ta có x0 = 4 cm. Vị trí có li độ x = −2 tương ứng với

hai điểm M (chuyển động theo chiều âm) và N (chuyển động theo chiều
N
dương) trên đường trịn.
o Nhận thấy trong mỗi chu kì, chất điểm đi qua vị trí x = −2 cm hai lần → ta tách 2011 = 2.1005 + 1
; chất điểm mất 1005 chu kì để đi qua vị trí x = −2 cm 2010 lần, ta chỉ cần tính thêm thời gian để chất
điểm này đi qua vị trí x = −2 cm lần đầu tiên.
Δφ
120 0
= 1005.3 +
= 3016 s → Đáp án C
→ Thời gian cần tìm t = 1005T +
ω
120 0
Dạng 2: Thời gian để vật đi giữa hai vị trí có li độ cho trước
 Bài tốn tổng qt: Một vật dao động điều hịa với phương trình li độ x = A cos ( ωt + φ0 ) . Tại
thời điểm t1 vật đi qua vị trí có li độ x1 , đến thời điểm t 2 = t1 + Δt vật đi qua vị trí có li độ x 2 . Xác
định khoảng thời gian Δt
 Phương pháp giải:
Thời gian để vật đi qua vị trí xD kể từ thời điểm ban đầu
Biễu diễn đường trịn
Cơng thức tính tốn
N

Δt =

M


−A

x2

Δφ(rad) Δφ(rad)
Δφ0
=
T=
T
ω
2π
360 0

Với Δφ là góc mà bán kính qt được giữa hai
x1

x
+A

vị trí x0 và x D ; ω là tần số góc của dao động
điều hịa.

 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: Một vật dao động điều hịa với chu kì T = 2 s, khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có li

A
A 3
đến vị trí có li độ x2 = +
theo chiều dương là
2
2
A. 0,25 s.

B. 0,15 s.
C. 0,5 s.

độ x1 = −

D. 0,4 s.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

14

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

HD:
Biểu diễn dao động của trên đường trịn.
o Vật chuyển động theo chiều dương → vị trí có li độ x1 , x 2 tương ứng
− 12 A

với nửa dưới của đường trịn.
o Từ hình vẽ, ta có Δφ = arc sin

x1
x

+ arc sin 2 .
A
A

−

3
2

−A

A x
+A



→ Thời gian để vật di chuyển giữa hai vị trí này là:
Δφ
2 
1
3
Δt =
T
=
arc
sin
+
arc
sin


 = 0, 5 s → Đáp án C
2
2 
3600
360 0 
 Ví dụ 2: Một vật dao động điều hịa với chu kì T = 6 s, khoảng thời gian ngắn để vật đi từ vị trí

A
A 3
đến vị trí có li độ x2 = +
là:
2
2
A. 0,25 s.
B. 0,15 s.
C. 0,5 s.
D. 0,4 s.
HD:
Biểu diễn dao động của vật tương ứng trên đường tròn.
+ Khoảng thời gian là nhỏ nhất → Vị trí có li độ x1 , x 2 tương ứng với nửa dưới của đường trịn.
có li độ x1 =

→ Δφ = arc cos

x1
x
− arc cos 2 .
A
A

+ Thời gian để vật di chuyển giữa hai vị trí này là:
x
x 
Δφ
T 
6 
1
3
Δt =
T=
arc cos 1 − arc cos 2  =
 arc cos − arc cos
 = 0, 5 s → Đáp án C
0
0 
0 
A
A  360 
2
2 
360
360 
Dạng 3: Vòng trịn lượng giác đa trục cho bài tốn thời gian để vật đi giữa hai vị trí
liên quan đến điều kiện cho trước của li độ, vận tốc và gia tốc
 Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hịa với phương trình li độ x = A cos ( ωt + φ0 ) . Tại
thời điểm t1 vật đi qua vị trí có li độ x1 (hoặc có vận tốc v1 hay gia tốc a1 ), đến thời điểm t 2 = t1 + Δt
vật đi qua vị trí có li độ x 2 (hoặc vận tốc v 2 hay gia tốc a 2 ). Xác định khoảng thời gian Δt .
 Phương pháp giải:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

15

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Với các điều kiện cho trước ( v1 , a1 ) và ( v 2 , a 2 ) ta có thể quy về điều kiện của x1 và x 2 và tiến hành
giải quyết như ở Dạng 2.
Tuy nhiên ta có thể sử dụng đường trịn lượng giác đa
trục. Khi đó các điều kiện của bài toán liên quan đến vận
tốc sẽ được xác định bởi hình chiếu của vật chuyển động
trịn lên trục thẳng đứng chiều dương hướng xuống; các
điều kiện của bài toán liên quan đến gia tốc sẽ được xác
định bởi hình chiều của vật chuyển động tròn lên
phương nằm ngang, chiều dương ngược với chiều
dương của trục Ox .
→ Thời gian cần tìm:
Δφ(rad) Δφ(rad)
Δφ0
Δt =
=
T=
T
ω

2π
360 0

− A

M1

v1

a + 2 A
−A

x2 , a2
x1 , a1

M2

− 2 A
+A x

v2
v + A

Vòng tròn lượng giác đa trục

 Ví dụ minh họa:

π
 Ví dụ 1: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4 cos  πt +  cm, t được
3


tính bằng giây. Tại thời điểm t1 vật đi qua vị trí có v1 = −4π cm, đến thời điểm t 2 = t1 + Δt ngay sau

đó vật đi qua vị trí có gia tốc a2 = +20 cm/s2 theo chiều dương. Lấy π2 = 10 , giá trị của Δt là
A.

2
s.
3

B.

5
s.
6

C.

1
s.
3

D.

4
s.
3

HD:
Từ phương trình dao động, ta có vmax = ωA = 4π cm/s ; amax = ω2 A = 40 cm/s2. Biểu diễn dao động

của vật tương ứng trên đường trịn :
o thời điểm t1 vật có v1 = −vmax = −4π cm tương ứng với điểm M1 trên
đường trịn.

a
o thời điểm t 2 vật có a2 = max = 20 cm/s2 và chuyển động theo chiều
2
dương, tương ứng với điểm M 2 thuộc nửa dưới của đường trịn.
5π
o từ hình vẽ, ta có Δφ = M1OM 2 =
.
6
→ Thời gian để vật đi giữa hai vị trí này Δt =

M 1 −4

a
+40 +20

M2

−40

v +4

Δφ 5π 5
=
= s → Đáp án B
ω 6.π 6


π
 Ví dụ 2: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4 cos  πt −  cm, t được
2

tính bằng giây. Tại thời điểm t1 vật đi qua vị trí có x = −2 cm, đến thời điểm t 2 = t1 + Δt ngay sau

đó vật đi qua vị trí có vận tốc v2 = +2π cm/s. Lấy π2 = 10 , giá trị của Δt nhỏ nhất thõa mãn bài toán
là
A.

2
s.
3

B. 0,5 s.

C.

1
s.
3

D. 0,25 s.

HD:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

16

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Từ phương trình dao động, ta có vmax = ωA = 4π cm/s. Biểu diễn dao động của vật tương ứng trên
đường tròn :

M1

o thời điểm t1 vật có x1 =

A
= 2 cm tương ứng với điểm M1 hoặc M1
2

trên đường tròn.

−4 −2

o thời điểm t 2 vật có v2 =

−4

vmax

= 2π cm/s2 tương ứng với điểm M 2 trên
2

đường trịn.
o Để Δt là nhỏ nhất thì thời điểm t1 phải tương ứng với điểm M1 thuộc
nửa dưới đường trịn. Từ hình vẽ, ta có Δφ = M1OM 2 =
→ Thời gian để vật đi giữa hai vị trí này Δt =



x
+4

M2
M 1

v +4

π
.
2

Δφ π
=
= 0, 5 s → Đáp án B
ω 2.π

 Với một số vị trí có li độ đặc biệt, ta có giản đồ li độ, vận tốc – pha tương ứng như hình vẽ. Dựa
vào giản đồ này ta có thể xác định nhanh thời gian tương ứng để vật đi qua các vị trí có li độ đặc
biệt

900

−vmax

1200

−

1350

−

2
2

 Chú ý:
+ Thời gian để vật đi được giữa hai vị
trí tương ứng với góc quét Δφ được

vmax

−
3
2

A

2
2

Δt =


A

− 12 A

+

+ 12 A

O

2
2

A
+

3
2

+ 12 vmax

2100

+
2250

2

2

A

00
+A

Δφ(rad)
Δφ0
T=
T
2π
3600

+ Ta có thể sử dụng đường trịn đa trục
để giải quyết các bài tốn có điều kiện
liên quan đến li độ, vận tốc và gia tốc.

3300

vmax
+

xác định bởi biểu thức:

300

− 12 vmax

1800

−

vmax
450

1500

−A

600
3
2

3150
3
2

vmax

2400

3000
2700 +vmax

Giản đồ li độ, vận tốc – pha

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1: Một chất điểm dao động điều hịa theo phương trình x = A cos ωt . Kể từ thời điểm ban đầu
t = 0 , thời gian để chất điểm đi qua vị trí vận tốc cực đại lần đầu là

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

17

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2π
3π
π
π
.
B. t = .
C. t =
.
D. t =
.
ω
2ω
3ω
ω
Câu 2: Một vật dao động điều hòa với chu kì T . Thời gian ngắn nhất để vật đi giữa hai vị trí biên là
3T
T

T
A. T .
B. .
C. .
D.
.
2
2
3
Câu 3: Một vật dao động điều hịa với chu kì T và biên độ A . Cứ sau mỗi khoảng thời gian liên
T
tiếp bằng nhau Δt = vật lại đi qua vị trí có li độ
4
A
2
3
A. x = A .
B. x = .
C. x = 
D. x = 
A.
A.
2
2
2
Câu 4: Một vật dao động điều hịa với chu kì T và biên độ A . Khoảng thời gian để vật đi từ vị trí
A
A
có li độ x1 = +
đến vị trí có li độ x2 = − theo chiều âm là

2
2
T
T
T
A. T .
B. .
C. .
D. .
2
3
6
Câu 5: Một vật dao động điều hịa với chu kì T . Khoảng thời gian để vật đi từ vị trí có vận tốc cực
đại đến vị trí vật đổi chiều chuyển động lần thứ hai là
3T
T
T
T
A.
.
B. .
C. .
D. .
4
2
3
6
Câu 6: Một vật dao động điều hịa với chu kì T và biên độ A . Khoảng thời gian để vật đi từ vị trí
có vận tốc cực đại đến vị trí gia tốc cực đại lần đầu tiên là
3T

T
T
T
A.
.
B. .
C. .
D. .
4
2
3
6
Câu 7: Một vật dao động điều hịa với chu kì T và biên độ A . Khoảng thời gian ngắn nhất để vật
A. t =

đi giữa hai vị trí có li độ x = +

3
A là
2

3T
T
T
T
.
B. .
C. .
D. .
4

2
3
6
Câu 8: Một vật dao động điều hịa với chu kì T và biên độ A . Trong một chu kì, khoảng thời gian
A
lớn nhất để vật đi giữa hai vị trí x =
là
2
3T
2T
T
T
A.
.
B. .
C.
.
D. .
4
3
2
6
Câu 9: Một vật dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A . Khoảng thời gian ngắn nhất để vật
đi giữa vị trí có li độ cực đại đến vị trí gia tốc của vật bằng một nửa gia tốc cực đại lần đầu tiên là
3T
2T
T
T
A.
.

B. .
C.
.
D. .
4
3
2
3
Câu 10: Một vật dao động điều hịa với chu kì T và biên độ A . Tại thời điểm t1 vật đi qua vị trí
A.

T
3
A theo chiều âm, đến thời điểm t 2 = t1 + vật đi qua vị trí có li độ
4
2
A
A
2
3
A. x2 = + .
B. x2 = − .
C. x2 = −
D. x2 = +
A.
A.
2
2
2
2

x1 = +

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

18

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


π
Câu 11: Cho một vật dao động điều hịa với phương trình li độ x = 8 cos  πt −  cm, t được tính
6

bằng giây. Vật đi qua vị trí cân bằng lần đầu tiên tại thời điểm:
1
1
2
A. 0,5 s.
B. s.
C. s.
D. s.
6

3
3

π
Câu 12: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = A cos  2πt −  cm, t được
6


tính bằng giây. Kể từ thời điểm ban đầu, vật đổi chiều chuyển động lần thứ hai vào thời điểm
7
5
1
3
A.
s.
B.
s.
C.
s.
D.
s.
12
12
12
4
Câu 13: Một vật dao động điều hịa có chu kì T . Nếu chọn mốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị trí
A
x0 =
theo chiều dương thì trong nửa chu kì đầu tiên, vận tốc của vật có giá trị cực đại ở thời điểm:
2

3T
11T
5T
T
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
8
12
12
4

π
Câu 14: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10 cos  2πt −  cm, t được
3

tính bằng giây. Kể từ thời điểm ban đầu, vật đi qua vị trí có gia tốc cực đại lần đầu tiên vào thời
điểm
2
7
1
3
A.
s.
B. s.

C.
s.
D.
s.
3
12
12
4

π
Câu 15: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với phương trình vận tốc v = 10π cos  2πt −  cm,
3

t được tính bằng giây. Kể từ thời điểm ban đầu, vật đi qua vị trí có li độ x = 2, 5 cm theo chiều
dương lần đầu tiên vào thời điểm
A. 0,5 s.
B. 0,125 s.
C. 0,15 s.
D. 0,25 s.
Câu 16: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 2cos ( πt − π ) cm, t được tính
bằng giây. Lấy π2  10 . Kể từ thời điểm ban đầu, vật đi qua vị trí có gia tốc a = 10 cm/s2 lần thứ 2019
vào thời điểm
6075
6055
675
605
A.
s.
B.
s.

C.
s.
D.
s.
3
3
3
3

2π 
Câu 17: Một vật dao động điều hịa theo phương trình x = 10 cos  10πt −
cm. Thời điểm đầu tiên
3 

(sau thời điểm t = 0 ) vật lặp lại vị trí ban đầu là
2
17
1
A. 0,5 s.
B.
s.
C.
s.
D.
s.
15
15
15
Câu 18: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hòa dọc theo một đường thẳng với biên độ A . Một
điểm M nằm cố định trên đường thẳng đó, phía ngồi khoảng chuyển động của vật. Tại thời điểm

t thì vật xa M nhất, sau đó một khoảng thời gian ngắn nhất là Δt vật gần M nhất. Tốc độ cực đại
của vật dao động là
πA
2πA
πA
πA
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Δt
Δt
2Δt
3Δt

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

19

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


π
Câu 19: Một vật dao động điều hịa, có phương trình li độ x = 8 cos  2πt −  cm ( t tính bằng s). Kể
3

từ thời điểm t = 0 , thời điểm vật qua vị trí có li độ x = −4 3 cm theo chiều âm lần thứ 2019 là
A. 2016,5 s.
B. 2018,6 s.
C. 1008,75 s.
D. 1008,25 s.
5π
Câu 20: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 1 s, biên độ A = 4 cm, pha ban đầu là
. Tính
6
từ lúc t = 0 , vật có tọa độ x = −2 cm lần thứ 2019 vào thời điểm
A. 1502,275 s.
B. 1503,125 s.
C. 1503,375 s.
D. 1009,25 s.

01. C
11. C

02. B
12. A

03. C
13. A

04. D
14. B

BẢNG ĐÁP ÁN
05. A
06. A
15. D
16. B

07. D
17. B

08. C
18. A

09. D
19. A

10. B
20. D

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

20

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

BÀI 4: BÀI TỐN QNG ĐƯỜNG
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Trong chuyển động cơ của một vật, quãng đường đi được giữa hai vị trí được hiểu là độ dài quỹ
đạo chuyển động của vật. Do đó, trong dao động cơ khi:
o vật chuyển động giữa hai vị trí có li độ x1 và x 2 theo một chiều thì quãng đường đi được của vật
tương ứng S = x1 − x2 .
o vật chuyển động giữa hai vị trí có li độ x1 và x 2 mà có đổi chiều chuyển động thì qng đường
đi được của vật S  x1 − x2 , ta phải xem xét kĩ quá trình chuyển động của vật.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Dạng 1: Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian cho trước
 Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hịa với phương trình li độ x = A cos ( ωt + φ0 ) . Xác
định quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian Δt = t 2 − t1 .
 Phương pháp giải:
Thời gian để vật đi qua vị trí xD kể từ thời điểm ban đầu
Biễu diễn đường trịn
Cơng thức tính tốn
Qng đường đi được S được tính bằng tổng
chiều dài phần mũi tên.

M


−A

x2

x1

x
+A

N

S

 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng O trên trục Ox với phương
2

π
trình x = 4 cos  2πt −  cm, t được tính bằng giây. Kể từ thời điểm t = 0 , đến thời điểm t = s
3
3

quãng đường mà chất điểm đi được là
A. 2 cm.
B. 14 cm.

C. 6 cm.

D. 10 cm.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

21

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

HD:

−4

+2

x
+4

x

−4

O

+2

+4

M

+ Biểu diễn dao động của vật tương ứng trên đường tròn.
o Tại t = 0 , x0 = 2 cm và chất điểm chuyển động theo chiều dương, tương ứng với điểm M trên
đường tròn.

2
s, x = −4 cm, chất điểm đi qua vị trí biên âm.
3
→ Quãng đường chuyển động của chất điểm S = 2 + 8 = 10 cm → Đáp án D
o Tại thời điểm t =

 Ví dụ 2: Một vật dao động điều hịa với phương trình x = 10 cos ( πt + φ0 ) cm, t được tính bằng
giây. Kể từ thời điểm t = 0 , quãng đường mà vật đi được trong Δt = 1 s là
A. 5 cm.
B. 20 cm.
C. 7,5 cm.
D. 10 cm.
HD:
M


−A

xt

x
x0 + A

 Chú ý: Khơng phụ thuộc
vào vị trí ban đầu, qng

đường mà vật đi được trong
nửa chu kì ln là

ST = 2A
2

M

Biễu diễn dao động của vật trên đường tròn.
o Tại t = 0 , x = x0 được biễu diễn tương ứng bằng điểm M trên đường tròn.

T
= 1 s, bán kính OM qt được một góc Δφ = ωΔt = π . Vật đi đến vị
2
trí có li độ x t được biễu diễn tương ứng bằng điểm M trên đường tròn.
o Sau khoảng thời gian Δt =

→ Từ hình vẽ, ta có qng đường vật đi được tương ứng là S = 2A = 2.10 = 20 cm → Đáp án B
Dạng 2: Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được
 Bài toán tổng quát: Một vật dao động điều hịa với phương trình li độ x = A cos ( ωt + φ0 ) . Xác
định quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà vật này đi được trong khoảng thời gian Δt = t2 − t1 

T
2

.
 Phương pháp giải:

T
.

2
+ Vật đi được quãng đường lớn nhất khi nó di chuyển giữa hai vị trí x1 và x 2 đối xứng nhau qua vị
Với cùng một khoảng thời gian cho trước Δt 

trí cân bằng O như hình vẽ.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

22

Học online tại:

085.2205.609

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Smax
x2

x1

−A

x
+A



x

−A

x1

O

x2

+A

Quãng đường lớn nhất

α
 ωΔt 
→ Quãng đường lớn nhất mà vật đi được: Smax = 2A sin   = 2A sin 
 (1).
 2
 2 
+ Vật đi được quãng đường nhỏ nhất khi nó di chuyển từ vị trí x1 đến biên, đổi chiều chuyển động
và đi qua vị trí x2 = x1 như hình vẽ.
x1  x2
S min

−A



x

+A

x

−A

O

x1  x2 + A

Quãng đường nhỏ nhất



 α 
 ωΔt  
→ Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được: Smin = 2A 1 − cos    = 2A 1 − cos 
  (2).
 2 
 2 



 Ví dụ minh họa:
 Ví dụ 1: Một vật dao động điều hịa với chu kì T = 1 s và biên độ A = 2 cm. Quãng đường lớn
1
nhất mà vật này đi được trong khoảng thời gian Δt = s là:
6
A. 2 cm.
B. 4 cm.

C. 6 cm.
D. 1 cm.
HD:
2π 2π
=
= π rad/s.
Tần số góc của dao động ω =
T
2
1 π
α
 π 
+ Ta có α = ωΔt = π. = rad → Smax = 2A sin   = 2.2sin 
 = 2 cm → Đáp án A
6 6
 2
 6.2 
 Ví dụ 2: (BXD – 2019) Một vật dao động điều hịa với chu kì T = 6 s và biên độ A = 4 cm. Quãng
đường lớn nhất mà vật này đi được trong khoảng thời gian Δt = 7 s là
A. 2 cm.
B. 4 cm.
C. 6 cm.
D. 20 cm.
HD: Đáp án D

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

23

 ωΔtdu 
Smax = 2.2A + SΔmax
= 2.2A + 2A sin 
.
tdu
 2 

 ωΔtdu  
Smin = 2.2A + SΔmin
= 2.2A + 2A 1 − cos 

tdu
 2 

.

 Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A = 10 cm và chu kì T = 1 s. Thời gian nhỏ
nhất để chất điểm này đi được quãng đường S = 2 cm là
A. 0,032 s.
B. 0,572 s.
C. 0,921 s.
D. 0,043 s.
 Hướng dẫn
+ Thời gian là nhỏ nhất ứng với trường hợp quãng  Chú ý: Từ (1) và (2), với quãng đường cho trước
S  2A . Vật đi được quãng đường này trong
đường đi được là lớn nhất.
khoảng thời gian:
S
 ωΔt 


Δt 
T
 S 
Smax = 2A sin 
→ max = sin  180 0

arcsin 
o ngắn nhất Δtmin =
.
2A
T 
0
 2 

180
 2A 
 Smax 
T
1
 2 
o dài
nhất
arcsin
arcsin 
 0,032 s.
→ Δt =

=


0
0
T

S

180
 2.10 
 2A  180
Δtmin =
arccos  1 −
.
0
2A
180


→ Đáp án A
Dạng 3: Tốc độ trung bình của vật dao động điều hịa
 Bài tốn tổng qt: Một vật dao động điều hịa với phương trình li độ x = A cos ( ωt + φ0 ) . Xác
định tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian Δt = t 2 − t1 .
 Phương pháp giải:
Tốc độ trung bình của vật được xác định bằng biểu thức:

S
Δt
Trong đó S là quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian Δt được xác định ở Dạng 1.
vtb =

 Ví dụ minh họa:

 Ví dụ 1: (Quốc gia – 2010) Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T . Trong khoảng thời
A
gian ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí x = − , chất điểm có tốc độ trung bình
2
là
4A
6A
9A
3A
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
T
T
2T
2T
HD:

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

24

M 2

tương ứng Δφ = M1OM2 = 120 .
0

o Quãng đường mà chất điểm đi được đi được là S = 1, 5A ; thời gian chuyển động tương ứng
Δφ
120 0
T
Δt =
T
=
T= .
0
0
3
360
360
S 1, 5A 9A
=
=
→ Tốc độ trung bình của chất điểm vtb =
→ Đáp án B
T
Δt
2T
3
 Ví dụ 2: Một vật dao động điều hịa khi qua vị trí cân bằng thì có tốc độ vmax . Tốc độ trung bình
của vật trong một chu kì là

2v
v
πvmax
A. max .
B. max .
C.
.
2
π
2π
 Hướng dẫn
+ Trong một chu kì, quãng đường vật đi được là S = 4A → tốc độ
4A 4Aω 2vmax
=
=
trung bình của vật vtb =
→ Đáp án A
T
2π
π

D.

vmax
.
4π

 Chú ý: Mối liên hệ giữa tốc độ
cực đại và tốc độ trung bình trong
một chu kì dao động

vtb =

2vmax
πvtb
hay vmax =
π
2

 Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hịa với phương trình x = 10 cos ( πt + φ0 ) cm, t được tính
bằng giây. Tốc độ trung bình lớn nhất mà vật có thể đạt được trong khoảng thời gian Δt = 0, 5 s là
A. 28,3 cm/s.
B. 32,4 cm/s.
C. 20,0 cm/s.
D. 17,9 cm/s.
HD:
+ Với một khoảng thời gian cho trước, tốc độ trung bình lớn nhất khi quãng đường đi được tương
ứng trong khoảng thời gian này là lớn nhất.
 ωΔt 
 π.0, 5 
2A sin 
2.10 sin 

Smax
2 
2 


=
=

 28, 3 cm/s → Đáp án A
→ vtbmax =
Δt
Δt
0, 5
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T . Quãng đường mà vật này đi được
T
trong khoảng thời gian Δt = là
2
A. A .
B. 2A .
C. 3A .
D. 4A .
Câu 2: Tốc độ trung bình của vật dao động điều hịa trong một chu kì là vtb . Khi vật này đi qua vị
trí cân bằng theo chiều âm thì vận tốc của nó là
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Thầy Vũ Ngọc Anh − VNA

25

Trích đoạn

BÀI 8: DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC DAO ĐỘNG TẮT DẦN

Tài liệu học chương 1 dao động cơ đầy đủ chi tiết thầy VNA

Trích đoạn

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về