(SKKN mới NHẤT) SKKN ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán thực tế cho học sinh trung tâm GDNN GDTX yên lạc

MỤC LỤC
DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT..................................................................1
I. LỜI GIỚI THIỆU............................................................................................2
II. TÊN SÁNG KIẾN..........................................................................................3
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN................................................................................3
IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN.......................................................3
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN...........................................................3
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ
...............................................................................................................................3
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN...................................................3
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN..........................................3
1. Cơ sở lý luận..................................................................................................3
2. Thực trạng......................................................................................................4
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC
TẾ..........................................................................................................................5
1. Ứng dụng của đạo hàm trong bài toán về di chuyển, quãng đường...............5
2. Ứng dụng trong cách bài tốn về tối ưu chi phí sản xuất.............................45
CHƯƠNG III: MỘT SỐ KẾT QUẢ CỤ THỂ VỀ GIÁ TRỊ, LỢI ÍCH CỦA
VIỆC DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ “ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM GIẢI
CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG TÂM GDNNGDTX YÊN LẠC”.............................................................................................53
1. Về phương diện lý luận................................................................................53
2. Về phương diện thực tiễn.............................................................................53
3. Một vài số liệu cụ thể về giá trị lợi ích khi áp dụng sáng kiến....................55
KẾT LUẬN........................................................................................................57
VIII. NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT..................................57
IX. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN...............57
X. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC DO SÁNG KIẾN..............................57

download by :

XI. DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ ÁP DỤNG THỬ
HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU...................................................58
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................59

download by :


DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
Chữ viết tắt
GD&ĐT
GTLN
GTNN
GDTX
GDNN-GDTX
GV
HS
SGK
THPT

Nội dung
Giáo dục và đào tạo
Giá trị lớn nhất
Giá trị nhỏ nhất
Giáo dục thường xuyên
Giáo dục nghề nghiệp – giáo dục thường xuyên
Giáo viên
Học sinh
Sách giáo khoa
Trung học phổ thông

1

download by :


BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
I. LỜI GIỚI THIỆU
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục 
tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Chính
vì thế vai trị của các bài tốn có nội dung thực tế trong dạy học tốn là khơng
thể khơng đề cập đến. Vai trị của tốn học ngày càng quan trọng và tăng lên
không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học,
công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, tốn
học thúc đẩy mạnh mẽ các q trình tự động hố trong sản xuất, mở rộng nhanh
phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Tốn học có
vai trị quan trọng như vậy khơng phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ
thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu
phục vụ cuối cùng. Tốn học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của
con người và ngược lại tốn học là cơng cụ đắc lực giúp con người chinh phục
và khám phá thế giới tự nhiên. Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học chương trình
THPT, đặc biệt dạy học khối GDTX nhìn chung mới chỉ tập trung rèn luyện cho
học sinh vận dụng trí thức học toán ở kỹ năng vận dụng tư duy tri thức trong nội
bộ mơn tốn là chủ yếu cịn kĩ năng vận dụng tri thức trong tốn học vào nhiều
mơn khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường
xun. Những bài tốn có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản
xuất cịn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình mơn Tốn. Như
vậy, trong giảng dạy mơn Tốn nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và
ý thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi
ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường
xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho tốn

học khơng trừu tượng khơ khan và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức
đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại. Qua
đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp
với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với
giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Có rất nhiều ứng dụng Toán học để giải
được các bài toán thực tế, để giúp các em học sinh dễ dàng tiếp cận được với các
bài toán thực tế dựa trên những kiến thức được học trong chương trình GDTX
cấp THPT, tơi đã chọn “Ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán thực tế cho
học sinh Trung tâm GDNN-GDTX Yên Lạc” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm.

2

download by :


II. TÊN SÁNG KIẾN
“Ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán thực tế cho học sinh Trung
tâm GDNN-GDTX Yên Lạc”
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
- Họ và tên: Nguyễn Văn Điệp
- Địa chỉ: Trung tâm GDNN-GDTX Yên Lạc
- Số điện thoại: 0973870375
- Email:
IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN
Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư của sáng kiến kinh nghiệm.
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
Sáng kiến được áp dụng đối với dạy học chuyên đề về ứng dụng của đạo
hàm để giải các bài toán thực tế cho đối tượng học sinh tại Trung tâm GDNNGDTX Yên Lạc.
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG
THỬ

Ngày 06 tháng 9 năm 2018.
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận
Trong học tập và nghiên cứu toán học. Để đạt được hiệu quả tốt đều cần
có sự hài hồ giữa lý luận và thực tiễn. Lý luận là những chỉ dẫn giúp hoạt động
thực tiễn của con người đi đúng hướng. Ngược lại hoạt động thực tiễn cũng giúp
lý luận có ý nghĩa hơn. Mục đích của dạy học Tốn là phải mang lại cho học
sinh những kiến thức phổ thông, những kỹ năng cơ bản của người lao động, qua
đó rèn luyện tư duy logic, phát triển năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế
giới quan và nhân sinh quan đúng đắn cho các em. Do đó, xu hướng đổi mới
hiện nay là khơng nặng về mức độ nắm các nội dung có mặt trong chương trình
giảng dạy, mà chú trọng vào khả năng sử dụng các kiến thức đã học vào thực
tiễn và năng lực xử lý các tình huống mà họ có thể đối mặt trong cuộc sống sau
khi rời ghế nhà trường.

3

download by :


2. Thực trạng
Làm thế nào để tìm kiếm và xây dựng các ví dụ thực tiễn ứng dụng tốn
học? Đây là một cách tiếp cận mới, một câu hỏi mà các nhà giáo dục, giáo viên,
… còn băn khoăn. Hiện nay, giáo dục Việt Nam không nhiều các tài liệu bàn về
lĩnh vực này, cần có một sự bổ sung, trên cơ sở tiếp thu tri thức, kỹ năng liên
quan đến các bài tốn thực tế để có được cái nhìn, quan điểm đầy đủ hơn trong
việc đổi mới dạy học theo hướng tiếp cận năng lực, ứng dụng vào giải quyết các
bài tốn thực tế.
Tóm lại tính thực tiễn của toán học thể hiện qua ứng dụng của toán học và 

thực tiễn đời sống. Điều này không những chỉ để nâng cao kiến thức của học 
sinh mà còn nhằm thực hiện nguyên lý giáo dục học đi đôi với hành, lý thuyết 
gắn liền với thực tiễn, nhà trường gắn liền với xã hội. Điều đó nói lên vai trị
tốn học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa
học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, văn học …
Trong năm học vừa qua, với tinh thần đổi mới, tác giả đã ứng dụng tìm
kiếm, thao khảo từ nhiều nguồn tư liệu khác nhau, thí điểm xây dựng các ứng
dụng tốn học để phục vụ giảng dạy cũng như đã tập hợp được một số tình
huống. Phần tiếp sau sẽ trình bày những kết quả đạt được trong quá trình nghiên
cứu, tìm kiếm và sáng tạo của bản thân tác giả.

4

download by :


CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN THỰC
TẾ
Qua tìm hiểu, tổng hợp và phân tích, tác giả nhận thấy các bài toán thực tế
liên quan đến việc sử dụng đạo hàm có thể chia thành 2 phần lớn:
Một là, các bài toán thực tế đã được mơ hình hóa bằng một hàm số tốn
học. Qua các ví dụ minh họa dưới đây, tác giả sẽ chỉ ra những dạng tốn thường
gặp là gì? Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng đạo hàm như thế nào trong
việc giải quyết bài toán mà họ đặt ra?
Hai là, các bài tốn thực tế mà mơ hình thực tiễn chưa chuyển về mơ hình
tốn học. Như chúng ta đã biết, để có thể ứng dụng đạo hàm của hàm số thì
trước tiên phải "thiết lập được hàm số".
Như vậy ta có thể mơ tả quy trình giải các bài toán thực tế như sau:
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mơ hình
Tốn học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả "dưới dạng ngơn ngữ Tốn học"

cho mơ hình mơ phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có
nhiều mơ hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và mối
liên hệ giữa chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng dưới
dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng buộc,
liên hệ với các giả thiết của đề bài.
Bước 2. Dựa vào các kiến thức liên quan đến các vấn đề thực tế như trong
kinh tế, đời sống, khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học, … Ta thiết
lập hồn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. (Ở đây trong
nội dung đang xét chỉ xét với tình huống 1 biến).
Bước 3. Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài
toán hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả
thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa.
1. Ứng dụng của đạo hàm trong bài toán về di chuyển, qng đường
Bài tốn 1. Từ một tấm tơn hình chữ nhật có kích thước là
với
. Người ta cắt bỏ 4 hình vng bằng nhau ở 4 góc rồi gị thành một hình hộp chữ
nhật khơng có nắp. Hỏi cạnh của hình vng cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình
hộp đó có thể tích lớn nhất
Phân tích:
Trước tiên, với câu hỏi của bài tốn thì ta nên đặt x chính là cạnh của hình
vng cắt đi. Như vậy, ta cần tìm điều kiện giới hạn của biến số x. Do khi đó 1
cạnh của tấm nhơm sau khi bị cắt trở thành
.
Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm nhơm cịn lại là
Đến đây ta cần thiết lập cơng thức tính thể tích khối hộp
5

download by :

nên ta có

Bài tốn trở thành tìm
Lời giải
Gọi

là cạnh của hình vng cắt đi, ta phải có điều kiện

.

Khi đó thể tích khối hộp là:

Bài tốn trở thành tìm
Ta có

Do đó

ln có 2 nghiệm phân biệt:

Theo định lý Vi-et, ta có:

Hơn nữa, ta có

Do đó

Bảng biến thiên
x

0
+

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy



0

đạt giá trị lớn nhất khi

Bài tập tương tự 1: Cho một tấm nhơm hình chữ nhật có chiều dài bằng
và chiều rộng bằng
Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhơm đó bốn
6

download by :


hình vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh bằng
như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp khơng nắp. Tìm
thể tích lớn nhất.

rồi gập tấm nhơm
để hộp nhận được

Lời giải
Áp dụng kết quả của câu trên ta có

Bài tập tương tự 2: Cho một tấm nhơm hình vng cạnh
Người ta
cắt ở bốn góc của tấm nhơm đó bốn cạnh hình vng bằng nhau, mỗi hình

vng có cạnh bằng
rồi gập tấm nhơm như hình vẽ dưới đây để được
một cái hộp khơng nắp. Tìm để hộp nhận được thể tích lớn nhất.

Tương tự bài tốn 1, khi tấm nhơm có dạng hình chữ nhật trở thành hình
vng thì
khi đó ta có:

Bình luận: Ngồi cách giải dùng "cơng thức giải nhanh" ta đã thiết lập.
Ta thấy rằng cịn có thể xét các trường hợp của đáp án để tìm lại số đo các kích
thước hình hộp, từ đó tính thể tích.
Bài tốn 2. Tìm chiều dài bé nhất của cái thang để nó có thể tựa vào tường
và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao
song song và cách tường
kể từ
gốc của cái cột đỡ.

7

download by :


Phân tích:

Trước tiên, ta có thể minh họa mơ hình bằng hình vẽ. Để xác định được độ
dài ngắn nhất của
thì ta thử suy nghĩ xem nên phân tích độ dài
theo
hướng nào? Để từ đó định hướng được cách đặt ẩn phụ thích hợp. Đồi với hình
vẽ trên và các quan hệ về cạnh, ta nhận thấy có 2 hướng phân tích tốt là: hướng

thứ nhất là phân tích
và hướng thứ hai là
Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta có thể thử đặt
đến đây
chỉ cần tính được
theo là đã có thể lập được hàm số
biểu diễn độ
dài AC. Ta sử dụng đến quan hệ tỷ lệ trong định lý Thales thuận (MH // AB) nên
ta có

. Bài tốn trở thành tìm

Nếu phân tích theo hướng thứ hai, nếu ta đặt
thì khi đó ta sẽ
biểu diễn độ dài
(việc khảo sát hàm số này rất phức tạp).
Do đó ta chuyến hướng qua tìm quan hệ giữa góc và cạnh tam giác và nhận
thấy
Đến đây ta thấy hướng phân tích tiếp là hồn tồn
thuận lợi vì khi đó
và
Khi đó bài tốn trở
thành tìm
Lời giải
Đặt

Do

. Theo định lý Thales ta có:

vng tại
8

download by :


Hay

Đặt
Bài tốn trở thành tìm

với

Ta có

Bảng biến thiên:
x

0



0

+

Dựa vào bảng biến thiên ta có
Do đó ta có
Cách khác: Đặt
Khi đó ta có

Đặt

. Bài tốn trở thành tìm

Ta có:

9

download by :


Lập bảng biến thiên suy ra
Bình luận: Qua bài tốn này ta cần lưu ý:
Một là, quả thật dù giải theo cách nào, ta cũng gặp phải một số khó khăn
nhất định khi giải tìm nghiệm của phương trình
hay
Hai là, ngồi việc sử dụng "ứng dụng đạo hàm" để tìm GTLN – GTNN của
hàm số này, ta cũng có thể vận dụng bất đẳng thức. Giả sử đặt

Dùng hệ trục

Ta có

Khi đó
Bài tốn trở thành tìm

thỏa mãn

Ba là, ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
Bài tập tương tự: Tìm chiều dài bé nhất của cái thang để có thể tựa vào
tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ có chiều cao
và cách tường
kể từ tim cột đỡ.

10

download by :


Đặt
Khi đó ta có:
Đặt

. Bài tốn trở thành tìm

Ta có

Lập bảng biến thiên, ta có:
x

0



0

+

Do đó
Bài tốn 3. Cần phải xây dựng một hố ga dạng hình hộp chữ nhật có thể
tích
khơng đổi, hệ số
cho trước ( là tỉ số giữa chiều cao của hố
và chiều rộng của đáy. Hãy xác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm
nguyên vật liệu nhất?
Phân tích:
Với thể tích V cho trước và quan hệ giữa chiều rộng của đáy và chiều cao
của hình hộp ta hồn tồn có thể biểu diễn được độ dài chiều dài theo 1 biến.
Như vậy, ta cần hiểu yêu cầu bài toán "tiết kiệm nguyên vật liệu nhất là
gì?" Đó chính là làm sao cho phần bao phủ bên ngồi hình hộp có diện tích nhỏ
nhất hay diện tích tồn phần của khối hộp nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi
Gọi

lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hố ga.
là chiều cao của hố ga
11

download by :


Theo đề bài ta có:

và

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện

tích tồn phần hố ga là nhỏ nhất.
Khi đó ta có:

Xét hàm số
Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của

với

Ta có:

Bảng biến thiên:
x

0



0

+

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Khi đó

.

và

.

Bình luận: Qua bài tốn này ta cần lưu ý:
Một là, Ta có thể sử dụng bất đẳng thức để tìm

12

download by :


Khi đó, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
Hai là, từ ba kích thước cho trước thỏa mãn yêu cầu bài toán trên ta đi đến

quan hệ giữa chúng là:

Ba là, cũng từ bài toán này nếu giữ nguyên giả thiết
và thay thế
hay
(k là tỉ số giữa các kích thước của hình hộp) thì liệu rằng bài
tốn có thay đổi? Câu trả lời là kết quả vẫn tương tự như khi ta khảo sát với
Do đó
Nếu
Nếu
Bài tập tương tự 1: Cần phải xây dựng một hố ga có dạng hình hộp chữ
nhật có thể tích
, có chiều cao gấp 3 lần chiều rộng của cạnh đáy. Hãy
xác định kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất?
Lời giải
Gọi

lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp.

Dựa vào bài tốn 3, ta có:

Như vậy khi đó chiều cao sẽ gấp 2 lần chiều dài khối hộp.
Bài tập tương tự 2: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hố nước bằng gạch
và có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều
rộng và khơng có nắp, có chiều cao là
và có thể tích là
Hãy tính
chiều cao h của hồ nước sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất?
Lời giải
Gọi

lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp.
13

download by :


Theo đề bài ta có

và

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện
tích toàn phần hố ga là nhỏ nhất.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
Bình luận:
So với bài tốn 3, bài tốn này chỉ có 1 điểm khác biệt chính là đáy "khơng
nắp". Bạn đọc có thể tổng qt bài tốn lên thành

Bài tốn 4. Có hai vị trí
nằm về cùng phía đối với bờ sơng
như
hình vẽ. Khoảng cách từ A đến bờ sông là
Khoảng cách từ B đến bờ
sông là
Khoảng cách giữa
và
là
Một người đi từ
đến bờ sơng (phía
) để lấy nước sau đó đi về vị trí B. Hỏi đoạn đường tối
thiểu người đó đi từ A đến B (có ghé qua bờ sơng) là bao nhiêu mét?

Phân tích:
Gọi M là điểm nằm trên cạnh ON (vị trí để từ A đến để lấy nước từ bờ
sơng). Khi đó ta cần xác định M sao cho

14

download by :


Do đề bài đã cho độ dài
nên ta có thể mô tả độ dài cạnh AM
theo OM. Tuy nhiên để biểu diễn độ dài cạnh BM theo độ dài OM thì ta cần biểu
diễn MN theo OM. Điều này dẫn đến việc cần phải tính độ dài ON.

Đến đây ta nhận thấy biểu thức:

với

và

Bài tốn trở thành tìm
Lời giải
Gọi

là hình chiếu vng góc của

lên

Dựa vào hình vẽ ta có
Gọi M là vị trí mà người đó đi từ A đến bờ sơng.
Đặt
phải đi là:

Khi đó đoạn đường tối thiểu mà người đó

Đặt

với

Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

với

Ta có:

Bảng biến thiên:

x

0



0

+

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
15

download by :


Bình luận: Ngồi cách giải trên ta có thể sử dụng bất đẳng thức tam giác
để giải như sau:
thẳng hàng.
Do đó
Bài tốn 5. Một con đường được xây dựng giữa hai thành phố và
Hai
thành phố này bị ngăn cách bởi một con sơng có chiều rộng
Người ta
cần xây một cây cầu bắc qua sông, biết rằng
cách con sông một khoảng bằng
cách con sơng một khoảng bằng
như hình vẽ. Hãy
xác định vị trí xây cầu
(theo hình vẽ) để tổng khoảng cách giữa hai thành

phố là nhỏ nhất?
Phân tích:
Ta thấy rằng vị trí xây cầu để tổng khoảng cách giữa 2 thành phố là nhỏ
nhất tương ứng với độ dài đường gấp khúc AFEB nhỏ nhất.
Lúc này do đề bài đã gợi ý các số liệu a, b và r nên ta có thể giả thiết
khoảng cách AF như hình vẽ với AF vng góc với BF. Khi đó nếu ta đặt

Tổng khoảng cách lúc này là

Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số

với

Lời giải
Đặt

và

.

Khoảng cách giữa hai thành phố sẽ là:

16

download by :


Đặt

. Bài tốn trở thành tìm GTNN

của hàm số

với

Khi đó

(*)
Xét

Do đó phương trình (*)

Mặt khác,

Do đó
Vậy để khoảng cách giữa hai thành phố ngắn nhất thì
Bài tập tương tự 1: Hai thành phố A và B nằm ở hai phía khác nhau của
một con sơng thẳng, lịng sơng rộng
thành phố A ở phía bên phải cách bờ
và cách thành phố theo đường chim bay
thành phố B cách bờ trái
Người ta muốn xây một cây cầu
vng góc với bờ sơng sao cho
quãng đi bộ từ A đến B (độ dài đường gấp khúc ACDB) là ngắn nhất. Tính độ
dài quãng đường đó?

17

download by :

Lời giải
Sử dụng kết quả của bài toán vừa rồi ta xác định đại lượng quan trọng
(chính là đoạn BE song song dịng sơng,
)
Khi đó,

, đồng thời

Bài tập tương tự 2: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A
đến một hòn đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách
từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới
đất mất 3000 USD. Hỏi diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ
A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.

Lời giải
Trước tiên, ta xây dựng hàm số

là hàm số tính tổng chi phí sử dụng.

Đặt
thì ta được:
. Theo đề bài, mỡi km dây
điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD, như vậy ta
có hàm số
được xác định như sau:
với
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của
và từ đó xác định được vị trí điểm S.

để có được số tiền ít nhất cần sử dụng

18

download by :


Hàm số

liên tục trên đoạn

Ta có
Vậy giá trị nhỏ nhất của

là 16000 và tại

nhất và điểm S nằm cách A một đoạn

. Khi đó chi phí thấp
(km).

Bài tốn 6. Giả sử bạn là chủ xưởng cơ khí vừa nhận được một đơn đặt
hàng là thiết kế một bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích
lít. Để tốn
ít ngun vật liệu nhất thì độ cao bồn chứa cần làm là bao nhiêu mét?

Phân tích:
Ta đặt ra một số câu hỏi định hướng như sau:
- Làm sao để tốn ít ngun vật liệu nhất?
- Có thể tổng qt bài tốn này lên khơng?

Ta nhận thấy để ít tốn ngun vật liệu nhất thì diện tích xung quanh của
phần vỏ bao lên ngồi bồn chứa nước cùng với diện tích của đáy và nắp phải
nhỏ nhất. Hay chính xác hơn ta cần tìm diện tích xung quanh nhỏ nhất ứng với
thể tích mà đề bài cho.
Mà ta đã biết
(với r, h lần lượt là bán kính
đáy và chiều cao của bồn nước hình trụ). Ta nhận thấy diện tích phụ thuộc theo
2 biến r và h. Đến đây ta hiểu vì sao đề bài lại cho sẵn dung tích
, tức là đang cho mối liên hệ giữa bán kính đáy r và chiều cao
h của hình trụ. Từ

.
19

download by :


Như vậy ta có thể tìm được
phụ thuộc theo 1 trong 2 biến r hoặc h.
Và ta thấy nên tổng qt bài tốn này lên thành
thay vì chỉ xét riêng
lẻ trường hợp
lít.
Lời giải
Gọi r, h

lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ. Khi

đó ta có:
Để ít tốn nguyên vật liệu nhất, ta cần tìm r sao cho diện tích tồn phần của

khối trụ nhỏ nhất. Do đó,
Xét hàm số

. Bài tốn trở thành tìm

Ta có:

Bảng biến thiên:
r

0



0

+

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Khi đó,
Bình luận:
Ngồi cách sử dụng đạo hàm, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy

20

download by :


Đồng thời với việc tổng quát bài toán trên, ta thấy:

Bài tập tương tự 1: Trong các khối trụ có diện tích tồn phần bằng S, khối
trụ có thể tích lớn nhất khi bán kính đáy r và đường cao h lần lượt bằng bao
nhiêu?
Lời giải
Ta có

Xét hàm số

Bài tốn trở thành tìm

Ta có:

;

Bảng biến thiên:
r

0
+



0

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

.

Khi đó,

Bài tập tương tự 2: Bạn muốn xây dựng một bình chứa nước hình trụ có
thể tích
Đáy làm bằng bê tơng giá 100 nghìn đồng/
thành làm bằng
tơn giá 90 nghìn đồng/ . Vậy phải chọn kích thước bình như thế nào để chi phí
xây dựng là thấp nhất?
Lời giải
21

download by :


Gọi

lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của bình chứa hình trụ

Khi đó,
Tổng chi phí xây dựng là:

Bài tốn trở thành

với

Ta có:

;

Bảng biến thiên:
r

0



0

+

Dựa vào bảng biến thiên tha thấy yêu cầu bài toán

và

.
Bài toán 7. Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình
chữ nhật sát nhau và sát một con sơng, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi
vịt. Biết rằng đã có sẵn
hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao
quanh chuồng là bao nhiêu?

22

download by :


Phân tích:
Xét hình chữ nhật ABCD như hình vẽ. Ta cần rào cạnh AB, BC, CD, EF
như hình vẽ. Việc đề bài cho ta 240m rào tức là đã cho tổng chiều dài của 4
cạnh AB, BC, CD, EF hay
với u cầu
Như vậy nếu đặt

Do đó,

thì khi đó độ dài cạnh BC sẽ là
Lời giải

Xét hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.
Đặt
Diện tích hình chữ nhật ABCD là
Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số

với

Ta có:
Do

nên

Vậy diện tích lớn nhất có thể bao quanh là

.

Bình luận: Ta có thể biến đổi
Dấu "=" xảy ra khi
Hoặc sử dụng bất đẳng thức Cauchy:

Dấu "=" xảy ra khi
Bài tập tương tự 1: Một khu vườn hình chữ nhật được xây dựng bên cạnh
một nhà để xe. Người làm vườn có hàng rào dài
và dự định làm một hàng
rào 3 cạnh: mặt bên của nhà xe sẽ là cạnh thứ 4. Kích thước nào sẽ làm cho diện

tích khu vườn lớn nhất?

23

download by :