Tài liệu Mô hình toán học điều khiển liên tục doc

Môn học Môn học
CƠ SỞ TỰ ĐỘNGCƠ SỞ TỰ ĐỘNG
Biên son: TS. Hunh Thái Hồng
 
B mơn đi

u khi

n t đng
Khoa in – in T
i hc Bách Khoa TPHCM
Email:
Homepage: www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/
Ging viên: HTHồng, NVHo, NHồng, BTHuyn, HHPhng, HMTrí
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 1
Chương 2Chương 2
MÔ HÌNH TOÁN HỌC MÔ HÌNH TOÁN HỌC
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤCHỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 2

Kha
ù
i
niệm
ve
à
mo
â
hình
toa
ù

n
hoc
Nội dung chương 2Nội dung chương 2

Khai
niệm
ve
mo
hình
toan
ho
ï
c
 Hàm truyền
 Phép biến đổi Laplace
Đò h
h
hø
à

Đò
n
h
ng
h
óa
h
a
ø
m truye

à
n
 Hàm truyền của một số phần tử
 Hàm tru
y
ền của hệ thốn
g
tư
ï
độn
g
y
g
ï
g
 Đại số sơ đồ khối
 Sơ đồ dòng tín hiệu

Phương
trình
trang
tha
ù
i
(PTTT)

Phương
trình
tra
ï

ng
thai
(PTTT)
 Khái niệm về PTTT
 Cách thành lập PTTT từ phương trình vi phân
Q
hä
iõ
PTTT
ø
hø
à

Q
uan
h
e
ä
g
i
ư
õ
a
PTTT
va
ø
h
a
ø
m truye

à
n
 Mô hình tuyến tính hóa hệ phi tuyến
 Phươn
g
trình trạn
g
thái
p
hi tu
y
ến
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 3
g
g
p
y
 Phương trình trạng thái tuyến tính hóa

Khaựi nieọm ve

moõ hỡnh toaựn hoùcKhaựi nieọm ve

moõ hỡnh toaựn hoùc
9 September 2011 â H. T. Hong - éHBK TPHCM 4
há
đi à
khi å
h
á

á
đ
d
ø
ù
bû
há
lù
Khái niệm về mô hình toán họcKhái niệm về mô hình toán học
 Hệ t
h
o
á
ng
đi
e
à
u
khi
e
å
nt
h
ực te
á
ra
á
t
đ
a

d
ạng va
ø
co
ù
b
a
û
nc
h
a
á
tvật
l
y
ù
khác nhau.
 Cần có cơ sở chun
g
để
p
hân tích
,
thiết kế các he
ä
thốn
g
điều
g
p

,
ä
g
khiển có bản chất vật lý khác nhau. Cơ sở đó chính là toán học.
 Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của một hệ thống tuyến
tính
ba
á
t
bie
á
n
lie
â
n
tuc
co
ù
the
å
mo
â
ta
û
ba
è
ng
phương
trình
vi

pha
â
n
tính
bat
bien
lien
tu
ï
c
co
the
mo
ta
bang
phương
trình
vi
phan
tuyến tính hệ số hằng:
Hệ
tho
á
ng
tuye
á
n
tính
u
(

t
)
y
(
t
)

)
(
)
(
)
(
1
t
d
t
d
t
d
n
n
)
(
)
(
)
(
1
t

d
t
d
t
d
m
m

Hệ
thong
tuyen
tính
bất biến liên tục
(
)
y
(
)



)(
)
(
)
(
)
(
1
1

1
10
tya
dt
t
d
y
a
dt
t
y
d
a
dt
t
y
d
a
nn
n
n
n
n

)(
)
(
)
(
)

(
1
1
1
10
tub
dt
t
d
u
b
dt
t
u
d
b
dt
t
u
d
b
mm
m
m
m
m





n
: bậc của hệ thống, hệ thống hợp thức nếu nm.
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 5
a
i
, b
i
: thông số của hệ thống
Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phânMột số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân
h
d
2
1
h
đ
h
á
đ
T
h
í
d
ụ
2
.
1
: Đặc tín
h
đ
ộng

h
ọc to
á
c
đ
ộ xe ô tô
)
(
)
(
)(
t
f
t
B
v
d
tdv
M


)
(
)
(
f
d
t
M
kh ái

l
B
hä
á
ù
hâ
á
û
hä
há
M
:
kh
o
ái
l
ượng xe,
B
h
e
ä
so
á
ma sa
ù
t: t
h
o
â
ng so

á
cu
û
a
h
e
ä
t
h
o
á
ng
f(t): lực kéo của động cơ: tín hiệu vào
v(
t
): tốc độ xe: tín hiệu ra
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 6
Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phânMột số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân
h
d
2
2
h
đ
h
h
há
iû
há
û

T
h
í
d
ụ
2
.
2
: Đặc tín
h
đ
ộng
h
ọc
h
ệ t
h
o
á
ng g
i
a
û
mc
h
a
á
ncu
û
axe

)
(
)
(
)
(
)
(
2
t
f
t
Ky
t
d
y
B
t
y
d
M


)
(
)
(
)
(
)

(
2
t
f
t
Ky
dt
y
B
d
t
y
M



M
: khối lượng tác động lên bánh xe,
B hệ số ma sát, K độ cứng lò xo
f
(
t
)
:
lưc
do
so
á
c
:

tín
hiệu
va
ø
o
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 7
f
(
t
)
:
lư
ï
c
do
soc
:
tín
hiệu
vao
y(t): dòch chuyển của thân xe: tín hiệu ra
Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phânMột số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân
h
d
2
3
h
đ
h
h

ù
T
h
í
d
ụ
2
.
3
: Đặc tín
h
đ
ộng
h
ọc t
h
ang ma
ù
y
gMtKgM
dt
td
y
B
dt
t
y
d
M
TT Đ

 )(
)()(
2
2

M
kh ái
l
bà
h
M
kh ái
l
đái
M
T
:
kh
o
ái
l
ượng
b
uo
à
ng t
h
ang,
M
Đ

:
kh
o
ái
l
ượng
đ
o
ái
trọng
B hệ số ma sát, K hệ số tỉ lệ

(
t
): moment kéo của độn
g
cơ: tín hiệu vào
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 8
g
y
(
t
): vò trí buồng thang: tín hiệu ra

Phương
trình
vi
pha
â
n

bậc
n
(
n
>
2
)
ra
á
t
kho
ù
gia
û
i
Hạn chế của mô hình toán dưới dạng phương trình vi phânHạn chế của mô hình toán dưới dạng phương trình vi phân

Phương
trình
vi
phan
bậc
n
(
n
>
2
)
rat
kho

giai




)(
)()()(
1
1
1
10
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
nn
n
n
n
n

)(
)()()(
1

1
1
10
tub
dt
tdu
b
dt
tud
b
dt
tud
b
mm
m
m
m
m





Phân tích hệ thống dựa vào mô hình toán là phương trình vi
p
hân
g
a
ëp
rất nhiều khó khăn

(
mo
ä
t thí du đơn
g
iản là biết tín
dt
dt
dt
dt
dt
dt
p
gëp
(ä
ï
g
hiệu vào, cần tính đáp ứng của hệ thống, nếu giải phương trình
vi phân thì không đơn giản chút nào!!!.)
Thie
á
t
ke
á
hệ
tho
á
ng
dưa
va

ø
o
phương
trình
vi
pha
â
n
ha
à
u
như
kho
â
ng
Thiet
ke
hệ
thong
dư
ï
a
vao
phương
trình
vi
phan
hau
như
khong

thể thực hiện được trong trường hợp tổng quát.
 Cần các dạng mô tả toán học khác giúp phân tích và thiết kế hệ
á
å
tho
á
ng tự động de
å
dàng hơn.
 Hàm truyền
 Phươn
g
trình tran
g
thái
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 9
g
ï
g
àà
Haøm truye
à
nHaøm truye
à
n
9 September 2011 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 10

Đònh nghóa
:
Phép biến đổi LaplacePhép biến đổi Laplace


Đònh

nghóa
:
Cho f(t) là hàm xác đònh với mọi t  0, biến đổi Laplace của f(t)
là:





0
).()()( dtetfsFtf
st
L
Trong đó:

s : biến
p
hức
(
biến La
p
lace
)
p
(
p)
 L : toán tử biến đổi Laplace.


F(s) : biến đổi Laplace của hàm f(t).
Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức đònh nghóa
trên hội tụ.
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 11
Tính cha
á
t
:
Phép biến đổi Laplace (tt)Phép biến đổi Laplace (tt)
Tính

chat
:
Cho f(t) và g(t) là hai hàm theo thời gian có biến đổi Laplace là


)
(
)
(
s
F
t
f

L


)

(
)
(
s
G
t
g

L
 Tính tuyến tính


)
(
)
(
s
F
t
f
L


)
(
)
(
s
G
t

g
L


)(.)(.)(.)(. sGbsFatgbtfa



L
 Đònh lý chậm trể


)(.)( sFeTtf
Ts
L
)
(


df
 Ảnh của đạo hàm
Û
)0()(
)
(









fssF
dt
t
df
L
s
F
t
)
(


 A
Û
nh của tích phân

Đònh ly
ù
gia
ù
trò cuo
á
i
s
s
F
df

t
)
(
)(
0









L
)
(
lim
)
(
lim
s
sF
t
f

9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 12

Đònh

ly

gia

trò

cuoi
)
(
lim
)
(
lim
0
s
sF
t
f
st 

Phép biến đổi Laplace (tt)Phép biến đổi Laplace (tt)
áđå l û ùhø bû
B
ie
á
n
đ
o
å
i Lap

l
ace cu
û
a ca
ù
c
h
a
ø
m cơ
b
a
û
n:
 Hàm nấc đơn vò (step): tín hiệu vào hệ thống điều khiển ổn
đònh ho
ù
a
đònh

hoa


t
u
1
)
(

L



 0 t 1
)
(
nếu
t
u(t)
1


s
t
u
)
(

L




0 t 0
)
(
nếu
t
u
t
0

 Hàm dirac: thường dùng để mô tả nhiễu



0t 0
)
(
nếu
t


(t)




0 t
)
(
nếu
t



1
)
(
d




1)(

t

L
t
0
1
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 13



1
)
(
d
tt

t
0
Phép biến đổi Laplace (tt)Phép biến đổi Laplace (tt)
áđå l û ùhø bû
B
ie
á
n
đ
o
å

i Lap
l
ace cu
û
a ca
ù
c
h
a
ø
m cơ
b
a
û
n (tt):
 Hàm dốc đơn vò (Ramp): tín hiệu vào hệ thống điều khiển theo
do
õ
i
doi





0 t
)
(
)
(

nếut
t
tu
t
r
r(t)
1


2
1
)
(
.
t
u
t

L





0 t 0
)
(
)
(
nếu

t
tu
t
r
t
0
1


2
)
(
s
 Hàm mũ



0
t
ne
á
u
a
t
e
f(t)


1








0 0
0

)(.)(
t nếu
t
neu
at
e
tuetf
t
0
1


as
t
ue
a
t



1

)(.
L
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 14
t
0
Phép biến đổi Laplace (tt)Phép biến đổi Laplace (tt)
áđå l û ùhø bû
B
ie
á
n
đ
o
å
i Lap
l
ace cu
û
a ca
ù
c
h
a
ø
m cơ
b
a
û
n (tt):
 Hàm sin:



0
t
sin
ne
á
u
t







0 t 0
0
t

sin
)().(sin)(
nếu
neu
t
tuttf


f
(

t
)
t
0

22
)()(sin





s
tutL

B
ản
g
b
iến đổi La
p
lace: S
V
c
ần
h
o
ï
cthuo
ä

c
b
iến đổi La
p
lace
c
ủa
Á
Å
g
p
ï
ä
p
c
ác
h
àm
c
ơ
b
ản
.
Các
h
àm
k
hác
c
ó thể tra

B
ẢNG
B
IE
ÁN
ĐO
ÅI
LAPLACE ở phụ lục sách Lý thuyết Điều khiển tự động.
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 15

Xe
ù
t hệ tho
á
ng mo
â
ta
û
bơ
û
i phương trình vi pha
â
n:
Đònh nghóa hàm truyềnĐònh nghóa hàm truyền

Xet

hệ

thong

mo

ta

bơi

phương

trình

vi

phan:
Hệ thống tuyến tính
bát
bi á
li â
t
u(t)
y(t)






)
(
)()()(

1
1
1
1
0
t
y
a
tdy
a
tyd
a
tyd
a
nn

b
a
át
bi
e
á
n
li
e
â
n
t
ục







)
(
1
1
1
0
t
y
a
d
t
a
d
t
a
d
t
a
nn
nn
)
(
)()()(
1
1

1
1
0
t
ub
d
tdu
b
d
tud
b
d
tud
b
m
m
m
m
m
m







 Biến đổi Laplace 2 vế phương trình trên, để ý tính chất ảnh của
á
à

à
è
)
(
1
1
1
0
dt
dt
dt
m
m
m
m

đạo hàm, giả thie
á
tđie
à
u kiện đa
à
uba
è
ng 0, ta được:



)()()()(
1

1
10
sYassYasYsasYsa
nn
nn

1
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 16
)()()()(
1
1
10
sUbss
U
bsUsbsUsb
mm
mm








Ha
ø
m truye
à
ncu

û
a hệ tho
á
ng:
Đònh nghóa hàm truyền (tt)Đònh nghóa hàm truyền (tt)

Ham

truyen

cua

hệ

thong:
mm
mm
bsbsbsb
sY
sG





1
1
1
10
)(

)
(

 Đ
ò
nh n
g
hóa:
H
àm tru
y
ền
c
ủa
h
e
ä
thốn
g
là tỉ
s
ố
g
iữa
b
iến đổi
nn
nn
asasasas
U







1
1
10
)(
)
(

ò
g
y
ä
g
g
Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi
điều kiện đầu bằng 0.
 Chú ý: Mặc dù hàm truyền được đònh nghóa là tỉ số giữa biến
đổi La
p
lace của tín hiệu ra và biến đổi La
p
lace của tín hiệu vào
p
p
nhưng

h
àm truyền
k
hông
p
hụ thuộc vào tín
h
iệu ra và tín
h
iệu
vào mà chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống.
Do
đo
ù
co
ù
the
å
du
ø
ng
ha
ø
m
truye
à
n
đe
å
mo

â
ta
û
hệ
tho
á
ng
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 17
Do
đo
co
the
dung
ham
truyen
đe
mo
ta
hệ
thong
.
Hàm truyền của các phần tửHàm truyền của các phần tử
Ca
ù
ch tìm ha
ø
mtruye
à
n
Cach

tìm

ham

truyen
 Bước 1: Thành lập phương trình vi phân mô tả quan hệ vào – ra
của phần tử bằng cách:
A
Ù
d
ù
đò h
lä
Ki h ff
hä
dø
ù
â
đi ä

A
p
d
ụng ca
ù
c
đò
n
h

l
ua
ä
t
Ki
rc
h
o
ff
, quan
h
e
ä
d
o
ø
ng
–
a
ù
ptre
â
n
đi
e
ä
n
trở, tụ điện, cuộn cảm,… đối với các phần tử điện.
 Áp dụng các đònh luật Newton, quan hệ giữa lực ma sát và
vận tốc, quan hệ giữa lực và biến dạng của lò xo,… đối với

các phần tử cơ khí.

A
Ù
p
dung
ca
ù
c
đònh
luật
truye
à
n
nhiệt
đònh
luật
ba
û
o
toa
ø
n
na
ê
ng

Ap
du
ï

ng
cac
đònh
luật
truyen
nhiệt
,
đònh
luật
bao
toan
nang
lượng,… đối với các phần tử nhiệt.
 …

Bướ
2
Bi á
đåi
Ll
hi
á
hươ
tì h
i
hâ
ừ

Bướ
c

2
:
Bi
e
á
n
đ
o
åi
L
ap
l
ace
h
a
i
ve
á
p
hươ
ng
t
r
ì
n
h
v
i
p
h

a
â
nv
ừ
a
thành lập ở bước 1, ta được hàm truyền cần tìm.
 Chú ý: đối với các mạch điện có thể tìm hàm truyền theo
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 18
phương pháp tổng trở phức.
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Ca
ù
c kha
â
u hiệu chỉnh thu động
 Ma
ï
ch tích
p
hân ba
ä
c 1:
Cac

khau

hiệu

chỉnh

thu
ï
động
R
C
1
)
(
s
G
ïpä
C
1
)
(


RCs
s
G
R
C
 Mạch vi phân bậc 1:
1
)
(

RC
RCs
s

G
1
)
(

RC
s
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 19
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Ca
ù
c kha
â
u hiệu chỉnh thu động (tt)
Cac

khau

hiệu

chỉnh

thu
ï
động

(tt)
 Mạch sớm pha:
C
R

1

Ts

R
1
R
2
1
1
)(



Ts
Ts
Ks
G
C

R
R
R
21
2
RR
R
K
C



21
12
RR
CRR
T


1
2
21



R
R
R

 Mạch trể pha:
R
1
R
2
1
)
(


Ts
K

sG
C

C
1
)
(

Ts
C
1
2


R

9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 20
1
C
K
CRRT )(
21


1
21



RR


Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Ca
ù
c kha
â
u hiệu chỉnh tích cưc
Cac

khau

hiệu

chỉnh

tích

cư
ï
c
K
G
)
(
 Khâu tỉ lệ P: (Proportional)
P
K
s
G


)
(
2
R
K
P


1
R
K
P
 Khâu tích
p
hân tỉ le
ä
PI:
(
Pro
p
ortional Inte
g
ral
)
pä
(
p
g)
s
K

KsG
I
P
)(
s
2
R
K
P


C
R
K
I
1


9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 21
1
R
P
C
R
I
1
Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)
Ca
ù
c kha

â
u hiệu chỉnh tích cưc (tt)
Cac

khau

hiệu

chỉnh

tích

cư
ï
c

(tt)
 Khâu vi phân tỉ lệ PD: (Proportional Derivative)
s
K
K
sG
DP


)(
2
R
K
C

R
K
 Khâu vi tích
p
hân tỉ le
ä
PID:
(
Pro
p
ortional Inte
g
ral Derivative
)
1
2
R
K
P


C
R
K
D 2


pä
(
p

g
)
sK
s
K
KsG
D
I
P
)(
21
2211
CR
CRCR
K
P


21
1
CR
K
I

9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 22
12
CRK
D



Hàm truyền của các đối tượng thường gặpHàm truyền của các đối tượng thường gặp
Ha
ø
mtruye
à
n động cơ DC
Ham

truyen

động

cơ

DC
 L
ư
: điện cảm phần ứng 

: tốc độ động cơ
R
đi ä û h à ù
M
ûi

R
ư
:
đi
e

ä
n trơ
û
p
h
a
à
n ư
ù
ng 
M
t
: moment ta
ûi
 U
ư
: điện áp phần ứng  B : hệ số ma sát
 E
ư
: sức
p
hản điện độn
g

J
: moment
q
uán tính
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 23
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)

Ha
ø
mtruye
à
n động cơ DC (tt)
Ham

truyen

động

cơ

DC

(tt)
 Áp dụng đònh luật Kirchoff cho mạch điện phần ứng:
)
(
t
di
)(
)
(
).()(
t
E
d
t
t

di
L
R
t
i
t
U
ư
ư
ưưưư



)()( tKtE



ư
trong đó:
(1)
(2)
K : hệ số
 : từ thông kích từ
 Áp dụng đònh luật Newton cho chuyển động quay của trục đ.cơ:
td
J
t
B
t
M

t
M
)(
)
(
)
(
)
(




(3)
dt
J
t
B
t
M
t
M
t
)
(
)
(
)
(





trong đó:
)()( tiKtM
ư


(3)
(4)
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 24
Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)
Ha
ø
mtruye
à
n động cơ DC (tt)
Ham

truyen

động

cơ

DC

(tt)
 Biến đổi Laplace (1), (2), (3), (4) ta được:
(5)

(5)
(6)
)()().()( s
E
ss
I
L
Rs
I
s
U
ưưưưưư



)()( sKsE



ư
(7)
(8)
)()()()( sJssBsMsM
t





)()( siKsM

ư


 Đặt:
ư
ư
R
L
T

hằng số thời gian điện từ của động cơ
ư
ư
R
B
J
T
c

hằng số thời gian điện cơ của động cơ
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 25
B