Tài liệu giả và biện luận các pt pptx

Chuyên đề 1:
Biến đổi đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử
A. biến đổi đẳng thức
I. Các hằng đẳng thức cơ bản và mở rộng
(a b)
2
= a
2
2ab + b
2
a
2
- b
2
= (a + b)(a - b)
(a b)
3
= a
3

3a
2
b + 3ab
2
b
3
a
3
- b
3
= (a - b)(a

2
+ ab + b
2
)
a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
- ab +b
2
)
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2

+ 2ab + 2ac + 2bc
(a - b - c)
2
= a
2
+ b
2
+ c

2
- 2ab - 2ac + 2bc
a
n
- b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
b + + ab
n-2
+ b
n-1
), mọi n là số tự nhiên
a
n
+ b
n
= (a + b)(a
n-1
- a
n-2
b + - ab
n-2
+ b
n-1
), mọi n lẻ
II. Bài tập
Bài 1

So sánh hai số A và B biết: A = 2004.2006 và B = 2005
2
Giải
Ta có A = (2005 - 1)(2005 + 1) = 2005
2
- 1 < 2005
2
=B. Vậy A < B.
Bài 2
So sánh hai số A và B biết: A = (2 + 1)(2
2
+1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1) và B = 2
32
Giải
Ta có A = (2 - 1)(2 + 1)(2
2
+1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1) = 2
32

-1 < 2
32
= B. Vậy A < B.
Bài 3
So sánh hai số A và B biết: A =(3 + 1)(3
2
+1)(3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+1) và B =3
32
-1
Giải
Ta có 2A = (3 - 1)(3 + 1)(3
2
+1)(3
4
+ 1)(3
8
+ 1)(3
16
+1) = 3
32
- 1 = B. Vậy A < B.
Bài 4
Chứng minh rằng: (m
2

+ m - 1)
2
+ 4m
2
+ 4m

= (m
2
+ m + 1)
2
, với mọi m.
Giải
VT: (m
2
+ m - 1)
2
+ 4m
2
+ 4m

= m
4
+ m
2
+ 1 + 2m
3
- 2m
2
- 2m + 4m
2

+ 4m = m
4
+
2m
3
+ 3m
2
+ 4m + 1.
VP: (m
2
+ m + 1)
2
= m
4
+ m
2
+ 1 +2m
3
+ 2m
2
+ 2m = m
4
+ 2m
3

+ 3m
2
+ 2m +1.
Bài 5
Chứng minh rằng: a

3
+ b
3
+ c
3
-3abc = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
- ab -ac -bc).
Giải
Ta có a
3
+ b
3
= (a + b)
3
- 3ab(a + b) thay vào VT
VT = (a + b)
3
- 3ab(a + b) + c
3
-3abc = [(a + b)
3
+ c
3
] - 3ab(a + b +c) = (a + b +c)[(a
+ b)

2
+ c
2
- c(a + b) -3ab] = (a + b +c)(a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab - ac - bc - 3ab) = (a + b +
c)(a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac - bc) = VP.
Bài 6
Cho ab = 1. Chứng minh rằng: a
5
+ b
5
= (a
3
+ b
3
)(a
2
+ b
2

) - (a + b)
Giải
(a
3
+ b
3
)(a
2
+ b
2
) - (a + b) = a
5
+ a
3
b
2
+ a
2
b
3
+ b
5
- (a - b)= a
5
+ b
5
+a
2
b
2

(a + b) - (a -
b) = a
5
+ b
5
Bài 7
Cho a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac - bc = 0. Chứng minh rằng: a = b = c
Hỡng dẫn
Từ: a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - ac - bc = 0 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
- 2ab - 2ac - 2bc = 0 (a - b)
2
+(a - c)
2

+ (b - c)
2
= 0 a = b = c.(đpcm)
Bài 8
Cho a, b, c đôi một khác nhau, thoả mãn: ab + bc + ca = 1. CMR
+ + +
=
+ + +
2 2 2
2 2 2
(a b) (b c) (c a)
1
(1 a )(1 b )(1 c )
Hỡng dẫn
Ta có: 1 + a
2
= ab + bc + ca +a
2
= b(a + c) + a(a + c) = (a + c)(a + b).
Tơng tự: 1 + b
2
= (b + a)(b + c).
1 + c
2
= (c +a)(c + b). Thay vào trên suy ra (đpcm).
Bài 9
Cho a > b > 0, thoả mãn: 3a
2
+ 3b
2

=10ab. Chứng minh rằng:

=
+
a b 1
a b 2
.
Giải
Đặt P =
ba
ba
+

thì P > 0 nên P =
2
P
.
Ta có P
2
=
+ +
= = =
+ + + +
2 2 2 2
2 2 2 2
a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 1
a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 4
. Vậy P = 1/2.
Bài 10
Cho a + b + c = 1 và

+ + =
1 1 1
0
a b c
. Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
=1.
Giải
Từ: a + b + c = 1 a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + ac + bc) = 1 a
2
+ b
2
+ c
2
= 1- 2(ab + ac
+ bc) .
Mặt khác:
+ +
+ + = = + + =
1 1 1 ab ac bc

0 0 ab ac bc 0
a b c abc
. Vậy: a
2
+ b
2
+ c
2
=1.
Bài 11
Cho
+ + =
1 1 1
2
a b c
(1)
và a + b + c = abc. Chứng minh rằng:
+ + =
2 2 2
1 1 1
2
a b c
Giải
(1)

+ +
+ + + + + = + + + =
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c
2( ) 4 2( ) 4

a b c ab ac bc a b c abc
.
Thay a + b + c = abc vào ta có
+ + + = + + =
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 4 2
a b c a b c
.
Bài 12
Cho
+ + =
x y z
1
a b c
(1)
, và
+ + =
a b c
1
x y z
(2)
. CMR:
= + + =
2 2 2
2 2 2
x y z
A 1
a b c
Giải

+ +
+ + + + + = = + + =
2 2 2
2 2 2
x y z xy xz yz xy xz yz cxy bxz ayz
2( ) 1 A 1 2( ) 1 2( )
a b c ab ac bc ab ac bc abc
(2)
:
+ +
=
cxy bxz ayz
0
xyz
. VËy A = 1.
Bµi 13
Cho
+ + =
1 1 1
0
a b c
.
(1)
Chøng minh r»ng:
+ + =
3 3 3
1 1 1 3
a b c abc
.
Gi¶i .

(1)
⇔
= − + ⇔ = − + + + ⇔ = − + + −
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( 3 ( ) [ 3 ( )]
a b c a b c bc b c a b c bc a
VËy
+ + =
3 3 3
1 1 1 3
a b c abc
.
Bµi 14
Cho a + b + c = 0 vµ a
2
+ b
2
+ c
2
=14. Chøng minh r»ng: a
4
+ b
4
+ c
4
= 98.
Gi¶i
Tõ: a + b + c = 0 ⇔ a = -(b + c) ⇔ a
2

= (b + c)
2
⇔ a
2
= b
2
+ c
2


+2bc
⇔ a
2
- b
2
- c
2


= 2bc ⇔ (a
2
- b
2
- c
2
)
2
= 4b
2
c

2
⇔ a
4
+ b
4
+ c
4
- 2a
2
b
2
- 2a
2
c
2
+ 2b
2
c
2
=
4b
2
c
2
⇔ a
4
+ b
4
+ c
4

= 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2a
2
c
2
⇔ 2(a
4
+ b
4
+ c
4
) = a
4
+ b
4
+ c
4
+

2a
2
b
2

- 2b
2
c
2
+ 2a
2
c
2
⇔2(a
4
+ b
4
+ c
4
) = (a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
= 14
2
=196.
VËy a
4
+ b
4
+ c

4
= 98.
Bµi 15
Cho xyz = 1, Chøng minh r»ng:
+ + =
+ + + + + +
1 1 1
1.
1 x xy 1 y yz 1 z zx
Giải
Ta có:
+ + = + + =
+ + + + + + + + + + + +
1 1 1 z x 1
1 x xy 1 y yz 1 z zx z xz xyz x yx xyz 1 z zx
=
+ +
+ + = + = +
+ + + + + + + + + + + + + +
z x 1 z 1 x z 1 xz
z xz 1 x yx 1 1 z zx 1 x xz x xy 1 1 x xz xz xyz z
+ + +
= + = =
+ + + + + +
z 1 xz z 1 xz
1.
1 x xz xz 1 z 1 x xz
B. Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 1
Phân tích tam thức bậc hai x

2
- 6x + 8 thành nhân tử.
Giải
Cách 1: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu của
hai bình phơng.
x
2
- 6x + 8 =(x - 3)
2
- 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2).
Cách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các
hạng tử và đặt nhân tử chung.
x
2
- 6x + 8 = x
2
- 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4).
Bài 2
Phân tích đa thức x
3
+ 3x
2
- 4 thành nhân tử.
Giải
Nhẩm thấy x = 1 là nghiệm đa thức chứa nhân tử x - 1 ta tách các hạng tử của
đa thức làm xuất hiện nhân tử x - 1.
C
1
: x
3

+ 3x
2
- 4 =x
3
-x
2
+4x
2
- 4=x
2
(x - 1)+4(x
2
-1)=(x-1)(x
2
+ 4x + 4)=(x-1)(x+2)
2
.
C
2
: x
3
+3x
2
- 4 =x
3
-1+3x
2
- 3 = (x-1)(x
2
+x+1)+ 3(x-1)(x+1) = (x-1)(x

2
+ 4x + 4).
Bài 3
Phân tích đa thức (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 thành nhân tử.
Giải
(x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 = [(x +1)(x +7)][(x +3)(x +5)] +15 = (x
2
+8x+7)
(x
2
+8x +15) +15
Đặt: t = x
2
+8x+7 x
2
+8x+15 = t + 8 ta có: t(t + 8) +15 = t
2
+ 8t +15 =(t + 4)
2
-
1 = (t + 4 + 1)(t + 4 - 1) = (t + 5)(t + 3).
Vậy: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x
2
+ 8x + 12)(x
2
+ 8x + 10) = (x
2
+ 6x +
2x + 12)(x
2

+ 8x +10) = (x + 6)(x + 2)(x
2
+ 8x + 10).
BTVN.
Bài 1
Cho x > y > 0 và 2x
2
+ 2y
2
= 5xy, Tính:
x y
P
x y
+
=

. (tơng tự bài 9)
Bài 2
Cho x + y + z = 0, Chứng minh rằng: x
3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz. (tơng tự bài 13)
Bài 3
Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: a
4
+ b
4

+ c
4
=
2
1
(a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
. (tơng tự bài
14)
Bài 4
Cho a, b, c khác không và a + b + c = 0.
Chøng minh r»ng:
+ + =
+ − + − + −
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
0.
a b c b c a a c b
Tõ: a + b + c = 0 ⇔ a = - (b + c) ⇒ a
2
= (b + c)
2
⇔ a
2

=b
2
+ c
2
+ 2bc ⇔ b
2
+ c
2
- a
2
= - 2bc
Bµi 5
Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö.
a/ 4x
2
- 3x - 1
b/ x
3
+ 6x
2
+ 11x +6
c/ (x-y)
3
+ (y-z)
3
+ (z-x)
3
Hỡng dẫn: x + y + z = 0 x
3
+ y

3

+ z
3
= 3xyzChuyên đề 2:
Bất đẳng thức - Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
A. Bất đẳng thức
I. Một số tính chất của bất đẳng thức
1/ a > b và b > c a > c (t/c bắc cầu)
2/ a > b a + c > b + c (t/c cộng vào hai vế cùng một số)
3/ a > b
> >


< <

ac bc nếu c 0
ac bc nếu c 0
(t/c nhân hai bđt với một số âm, dơng)
4/ a > b và c > d a + c > b + d (t/c cộng hai bất đẳng thức cùng chiều)
5/
> >

>

> >

a b 0
ac bd
c d 0

(t/c nhân hai bất đẳng thức dơng cùng chiều)
6/ a > b > 0

>


>


n n
n n
a b
a b
(n nguyên dơng)
7/
+
>
+ + +
a a
a, b,c R
a b a b c
8/
+
+
> > >
+
a c a a c c
a, b,c,d R
b d b b d d
9/ Nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì ta có:

*/ a > 0, b > 0, c > 0.
*/ b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; a - b < c < a + b
*/ Nếu a > b > c thì A > B > C
II. Bài tập
Bài 1
Cho 5 số a, b, c, d, e bất kỳ. CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
a( b + c + d + e)
(1)
.
Giải
(1)
4a
2
+ 4b
2
+ 4c
2
+ 4d
2
+ 4e
2

- 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0
(a - 2b)
2
+ (a - 2c)
2
+ (a - 2d)
2
+ (a - 2e)
2
0. (đpcm)
Bài 2
Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: a/ a
2
+ b
2
1/2, b/ a
3
+ b
3
1/4, c/ a
4
+ b
4
1/8
Giải
a/ Từ (a - b)
2
0 a
2
+ b

2
2ab 2(a
2
+ b
2
) a
2
+ b
2
+ 2ab = (a + b)
2
= 1.
Vậy a
2
+ b
2
1/2.
b/ Ta có a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
- ab + b
2
) = a
2
- ab + b
2

2(a
3
+ b
3
) = 2a
2
- 2ab + 2b
2
= (a - b)
2
+ a
2
+ b
2
a
2
+ b
2

mà a
2
+ b
2
1/2 2(a
3
+ b
3
) 1/2 a
3
+ b

3
1/4. (đpcm)
c/ Từ (a
2
- b
2
)
2
0 a
4
+ b
4
2a
2
b
2
2(a
4
+ b
4
) a
4
+ b
4
+ 2a
2
b
2
= (a
2

+ b
2
)
2
a
4
+ b
4

1
2
(a
2
+ b
2
)
2 (1)
.
Mặt khác: (a - b)
2
0 a
2
+ b
2
2ab 2(a
2
+ b
2
) a
2

+ b
2
+ 2ab = (a + b)
2
= 1
⇒ a
2
+ b
2
≥ 1/2 ⇔ (a
2
+ b
2
)
2
≥ 1/4 thay vµo
(1)
ta cã a
4
+ b
4
≥
1
8
.
Bµi 3
Cho a,b > 0, vµ a + b = 1. Chøng minh r»ng:
a/
+ + ≥
1 1

(1 )(1 ) 9
a b
; b/
+ ≥
+ +
1 1 4
a 1 b 1 3
Gi¶i
a/
+ + + + +
+ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ ⇔
1 1 a 1 b 1 ab a b 1 2
(1 )(1 ) 9 ( )( ) 9 9 1 9
a b a b ab ab

⇔1 ≥ 4ab ⇔ (a + b)
2
≥ 4ab ®óng ⇒ (®pcm).
b/
+ ≥
+ +
1 1 4
a 1 b 1 3
⇔3(a + 1 + b +1) ≥ 4(a + 1)(b + 1) ⇔ 9 ≥ 4(ab + a + b + 1)
⇔ 9 ≥ 4ab + 8 ⇔ 1 ≥ 4ab ⇔ (a + b)
2
≥ 4ab ®óng ⇒ (®pcm)
Bµi 4
Cho a, b, c ∈ R
+

. Chøng minh r»ng:
< + + <
+ + +
a b c
1 2
a b b c c a
Gi¶i

>

+ + +


>

+ + +


>

+ + +

a a
a b a b c
b b
b c a b c
c c
c a a b c
⇒
+ + >

+ + +
a b c
1
a b b c c a
.
Mặt khác:
+

< <

+ + + +

+

< <

+ + + +

+

< <

+ + + +

a c a a c
a b c a b a b c
b a b b a
b c a b c a b c
c b c b c
c a b c a a b c

+ + <
+ + +
a b c
2
a b b c c a
.
Vậy:
< + + <
+ + +
a b c
1 2
a b b c c a
Bài 5
Cho a, b, c, d R
+
. CMR:
< + + + <
+ + + + + + + +
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
Giải


< <

+ + + + + +

< <

+ + + + + +


< <

+ + + + + +


< <
+ + + + + +
a a a
a b c d a b c a c
c c c
1
a b c d c d a c a
b b b 2
a b c d b c d b d
d d d
a b c d d a b d b

< + + + <
+ + + + + + + +
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
Bài 6
Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác, CMR: ab + bc + ca a
2

+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Giải
*/ CM: ab + bc + ca a
2
+ b
2
+ c
2
, nhân cả hai vế với 2 ta có:
2ab + 2bc + 2ca 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
(a-b)
2
+ (a-c)
2
+ (b-c)
2
0, đúng (đpcm)
*/ CM: a
2
+ b
2

+ c
2
< 2(ab + bc + ca), Do a, b, c là ba cạnh tam giác nên ta có:
a < b + c a
2
< ab + ac
b < a + c b
2
< ab + bc
c < a + b c
2
< ac + bc
a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
Vậy: ab + bc + ca a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
Bài 7
Chứng minh rằng:

+

4
2 ab
ab
a b
với a > 0, b > 0.
Giải
( )
+
+ +
2
4 4 4 4
4
2 1 2 ab
a b 0 a b 2 ab ab
a b ab a b
.
III/ Bất đẳng thức Côsi (trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân)
*/ Với 2 số thực a, b không âm ta có:
+

a b
ab
2
, dấu bằng xảy ra a = b.
*/ Với 3 số thực a, b, c không âm ta có:
+ +

3
a b c
abc

3
, dấu bằng xảy ra a = b = c.
*/ Với n số thực a
1
, a
2
, a
n
không âm ta có:
+ + +

1 2 n
n
1 2 n
a a a
a a a
n
, dấu bằng xảy ra a
1
= a
2
= = a
n
.
IV/ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
*/ với 4 số thực a, b, c, d ta có:
(ab + cd)
2
(a
2

+ c
2
)(b
2
+ d
2
), dấu bằng xảy ra
=
a c
b d
.
*/ Với 6 số thực a, b, c, d, e, f ta có:
(ab + cd + ef)
2
(a
2
+ c
2
+ e
2
)(b
2
+ d
2
+ f
2
), dấu bằng xảy ra
= =
a c e
b d f

.
*/ với n cặp số thực a
1
, a
2
, a
n
, b
1
, b
2
, b
n
ta có:
(a
1
b
1
+a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)
2
(a
1

2
+ a
2
2
+ + a
n
n
)(b
1
2
+ b
2
2
+ + b
n
n
).
Dấu bằng xảy ra
= = =
1 2 n
1 2 n
a a a

b b b
.
Bài 8
Cho x, y, z là các số dơng, Chứng minh rằng:
a/ (x + y)(y + z)(z + x) 8xyz.
b/
+

+
1 1 4
x y x y
.
c/
+ +
+ +
1 1 1 9
x y z x y z
.
Giải
a/

+


+


+


x y 2 xy
y z 2 yz
z x 2 xz
(x + y)(y + z)(z + x) 8xyz.
b/
+ + +
+
1 1 4 1 1

(x y)( ) 4
x y x y x y
mà

+


+


x y 2 xy
1 1 2
x y
xy

+ +
1 1
(x y)( ) 4
x y
.
c/
+ + + + + +
+ +
1 1 1 9 1 1 1
(x y z)( ) 9
x y z x y z x y z
. (làm tơng tự)
B/ Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 1
Tìm giá trị lớn nhất của: P =

+
+
2
2
2x 4x 5
x 2x 2
Giải
Ta có:
P =
+ + +
= = + = +
+ + + +
2 2
2 2 2 2
2x 4x 5 2(x 2x 2) 1 1 1
2 2
x 2x 2 x 2x 2 x 2x 2 (x 1) 1
P lớn nhất
+
+
2
1
2
(x 1) 1
lớn nhất, muốn vậy (x

- 1)
2
+ 1 phải nhỏ nhất
mà (x

- 1)
2
+ 1 1 (x

- 1)
2
+ 1 nhỏ nhất bằng 1 x = 1. Khi đó P = 3
Vậy P
max
= 3 x = 1.
Bài 2
Cho x
2
+ y
2
= 1, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: p = x + y
Giải
Từ (x - y)
2
0 x
2
+ y
2
2xy 2(x
2
+ y
2
) x
2

+ 2xy + y
2
= (x + y)
2
Vậy 2 (x

+ y)
2

+ 2 x y 2

P
max
=
2
x = y =
2
2
; P
min
= -
2
x = y = -
2
2
Bài 3
Cho x, y > 0 và x + y = 1, Tìm giá trị nhỏ nhất của: P =

2 2
1 1

(1 )(1 )
x y
Giải
P =
+ + + +
= = =
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 (x 1)(y 1) (x 1)(x 1)(y 1)(y 1) xy(x 1)(y 1)
(1 )(1 )
x y x y x y x y
=
+ + + + + + +
= = = +
2 2
xy(x 1)(y 1) (x 1)(y 1) x y xy 1 2
1
x y xy xy xy
. (thay x - 1 = - y, y - 1 = - x)
ta có P nhỏ nhất
xy
2
nhỏ nhất xy lớn nhất.
Mà xy = x(1 - x) = - x
2
+ x = -(x - 1/2)
2
+ 1/4 1/4 xy lớn nhất = 1/4 khi x = 1/2
y = 1/2
Vậy P

min
=
+ =
2
1 9
1 1
.
2 2
khi x = y = 1/2.
Bµi 4
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P =
+
+
2 2
4
(x 1)
x 1
Gi¶i
P =
+ + +
= = +
+ + +
2 2 4 2 2
4 4 4
(x 1) x 2x 1 2x
1
x 1 x 1 x 1
Do (x
2
- 1)

2
≥ 0 ⇒ x
4
+ 1 ≥ 2x
2
⇒
≤
+
2
4
2x
1
x 1
⇒ P ≤ 2 ⇒ P
max
= 2 ⇔ x = ± 1.
Do 2x
2
≥ 0, x
4
+ 1 ≥ 1 ⇒
≥
+
2
4
2x
0
x 1
⇒ P ≥ 1 ⇒ P
min

= 1 ⇔
=
+
2
4
2x
0
x 1
⇔ x = 0.
Bµi 5
Cho a, b > 0. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña; P =
+ +
(x a)(x b)
x
, víi x > 0.
Gi¶i
Ta cã:
P =
+ + + + +
= = = + + ⇒ ≥ + +
2
(x a)(x b) x ax bx ab ab
a b x P a b 2 ab
x x x
.
VËy P
min
=
+ +
a b 2 ab

, dÊu b»n x¶y ra ⇔
= ⇔ =
ab
x x ab
x
.
Bµi 6
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: P =
+ + + − +
2 2
1 4x 4x 4x 12x 9
Giải
Ta có:
P =
( ) ( )
+ + + + = + + = + +
2 2
2 2
1 4x 4x 4x 12x 9 1 2x 3 2x 1 2x 3 2x
(1 + 2x) + (3 - 2x) = 4
áp dụng a + b = a + b ab 0. Vậy P
min
= 4 (1 + 2x)(3 - 2x) 0
-1/2 x 3/2.
BTVN
Bài 1
a/ Tìm giá trị lớn nhất của: P = 5 - 8x - x
2
.
b/ Tìm giá tị nhỏ nhất của: P = 4x

2
- 4x + 11.
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = x - 5 + x- 10.
Hỡng dẫn
Ta có: P = x - 5 + x - 10 = x - 5 + 10 - x (x - 5) + (10 - x) = 5
áp dụng a + b = a + b ab 0. Vậy P
min
= 5 (x - 5)(10 - x) 0
5 x 10.
Bài 2
Cho x, y R, Chứng minh rằng: x
2
+ y
2
+ 1 xy + x + y.
Bài 3
Cho a, b, c, d R
+
.
Ch÷ng minh r»ng :
+ + + +
< + + + <
+ + + + + + + +
a b b c c d d a
2 3
a b c b c d c d a d a b
.
Chuyên đề 3:
Biến đổi căn thức
A/ Biến đổi căn thức

I/ Kiến thức cơ bản
*/


= =

<

2
A nếu A 0
A A
A nếu A 0
*/
= =
1 2 n 1 2 n
ab a. b (a 0,b 0) / a a a a a a
*/
= >
a a
(a 0,b 0)
b
b
*/
=
2
a b a b (b 0)
Trục căn thức ở mẫu
*/
=
a a b

b
b
, (b > 0).
*/
+
= =

+
m m( a b) m m( a b)
,
a b a b
a b a b
II/ Bài tập
Bài 1
Tính giá trị các biểu thức sau:
a/ A =
6 48 2 27 4 75
b/ B =
− + −
1
48 2 75 108 147
7
Gi¶i
a/ Ta cã: A =
− − = − − = − − = −6 48 2 27 4 75 6 16.3 2 9.3 4 25.3 24 3 6 3 20 3 2 3
b/ Ta cã: B =
− + − = − + − = −
1 1
48 2 75 108 147 4 3 2.5 3 6 3 .7 3 3
7 7

Bài 1. (1,5 điểm)
Không dùng máy nh, hãy rút gọn, nh giá trị của các biểu thức sau:
1) A =
14 7 15 5 1
:
2 1 3 1 7 5
 
− −
+
 ÷
 ÷
− − −
 
2) B =
x 2x x
x 1 x x
−
−
− −

( )
x 0;x 1≥ ≠
Bài 1: (1,5 điểm) 1)A =
14 7 15 5 1
:
2 1 3 1 7 5
 
− −
+
 ÷

 ÷
− − −
 
=
( ) ( )
7 2 1 5 3 1
1
:
2 1 3 1 7 5
 
− −
 
+
 
− − −
 
=
( ) ( )
7 5 . 7 5+ −
= 7 – 5 = 2
2) B =
x 2x x
x 1 x x
−
−
− −
=
( )
( )
x 2 x 1

x
x 1
x x 1
−
−
−
−
=
( )
x 2 x 1
x 1
− −
−

=
x 2 x 1
x 1
− +
−
=
( )
2
x 1
x 1
−
−
=
x 1−

( )

x 0;x 1≥ ≠
Bµi 2
Trôc c¨n thøc ë mÉu:
a/ A =
+
− +
1 1
5 2 5 2
b/ B =
+ + +
4
3 5 2 2 5
c/ C =
+ +
3 3
2
2 2 2 4
Gi¶i
a/ A =
+ −
+ = + =
− +
1 1 5 2 5 2 2 5
3 3 3
5 2 5 2
b/ B =
+ − + + − +
= = =
+ − + +
+ + +

2
4 4(3 5 2 2 5 ) 3 5 2 2 5
(3 5) (2 2 5) 3 5
3 5 2 2 5

− + − + − − +
= =
2
(3 5)(3 5 2 2 5 ) 4 (3 5) (2 2 5)
4 4
c/ Đặt
=
3
2 a
C =

= = = = =
+ + + +
+ +
3 2
3 3
4 3 2 2 3
3 3
2 a a a(a 1) a a
4 2
a a a a a 1 a 1 2 1
2 2 2 4
Bài 3
Rút gọn biểu thức chứa căn:
a/ A =

+ 15 6 6 33 12 6
b/ B =
+8 2 15 8 2 15
c/ C =
+ 4 7 4 7
d/ D =
+ + + +4 10 2 5 4 10 2 5
e/ E =
+ +
4 4
49 20 6 49 20 6
f/ F =
+ + + +
+ + + +
1 1 1 1

1 5 5 9 9 13 2001 2005
Giải
a/ A =
+ = + + + =15 6 6 33 12 6 9 6 6 6 9 12 6 24
= + + = + + =
2 2
(3 6) (3 2 6) 3 6 2 6 3 3 6.
b/ B =
+ = + + + =8 2 15 8 2 15 5 2 15 3 5 2 15 3
+ = + =
2 2
( 5 3) ( 5 3) 5 3 ( 5 3) 2 3.
c/ C =
+ − + + − +

+ − − = − = −
8 2 7 8 2 7 7 2 7 1 7 2 7 1
4 7 4 7
2 2 2 2
+ − + −
= − = − =
2 2
( 7 1) ( 7 1) 7 1 7 1
2.
2 2
2 2
d/ Do D > 0 nªn D =
2
D
D
2
=
 
+ + + − + = + + + − +
 ÷
 
2
4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 (4 10 2 5 )(4 10 2 5 )
= + − = + − + = + − = + − = +
2
8 2 6 2 5 8 2 5 2 5 1 8 2 ( 5 1) 8 2 5 2 6 2 5
VËy: D =
+ = + = +
2
6 2 5 ( 5 1) 5 1

e/ Ta cã:
+ = + + = + = + = +
2 2 2 4
49 20 6 25 20 6 24 (5 2 6) [( 3 2) ] ( 3 2)

− = − + = − = − = −
2 2 2 4
49 20 6 25 20 6 24 (5 2 6) [( 3 2) ] ( 3 2)
VËy E =
+ + − =
3 2 3 2 2 3.
f/ F =
− − − − −
+ + + + =
5 1 9 5 13 9 2005 2001 2005 1

4 4 4 4 4
.
Bµi 4
Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a/ A =
+ − + − −x 4 x 4 x 4 x 4
b/ B =
+ − − − −
2 2 2 2
x 2 x 1 x 2 x 1
c/ C =
− + − + − − −
2 2
2x 1 2 x x 2x 1 2 x x

Gi¶i
a/ A =
+ − + − − = − + − + + − − − +x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 4 x 4 4 x 4 4 x 4 4
= − + + − − = − + + − −
2 2
( x 4 2) ( x 4 2) x 4 2 x 4 2
NÕu
− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥x 4 2 x 4 4 x 8
th× A =
− +x 4 2
+
− − = −x 4 2 2. x 4
.
NÕu
< − < ⇔ < − < ⇔ < <0 x 4 2 0 x 4 4 0 x 8
th× A =
− +x 4 2
-
− + =x 4 2 4
.
VËy: A =

− ≥


< <


2. x 4 nÕu x 8
4 nÕu 0 x 8

.
b/ B =
+ − − − − = − + − + −
2 2 2 2 2 2
x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 x 1 1
-
− − − +
2 2
x 1 2 x 1 1
-
− + − − − = − + − − −
2 2 2 2 2 2
( x 1 1) ( x 1 1) x 1 1 x 1 1
NÕu
− − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ∪ ≤ −
2 2
x 1 1 0 x 2 x 2 x 2
th× B = 2.
NÕu
− − < ⇔ < ⇔ − < <
2 2
x 1 1 0 x 2 2 x 2
th× B = 2.
−
2
x 1
.