áp dụng mô hình kinh tế lượng và mô hình phân tích kỹ thuật trong giao dịch vàng ở việt nam

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
LỜI NÓI ĐẦU
Trong tình hình kinh tế đang gặp khủng hoảng trên thế giới và tình
trạng trong nước gặp nhiều khó khăn, các kênh đầu tư như thị trường chứng
khoán và thị trường bất động sản đều chứa đựng những rủi ro rất lớn. Trong
thời gian từ cuối năm 2008 đến nay hầu như chỉ số VN – Index giảm liên tục,
đầu tư vào thị trường nhà đất cũng khiến các nhà đầu tư thua lỗ rất nhiều.
Trong điều kiện đó thị trường vàng càng ngày càng thu hút được sự quan tâm
của các nhà đầu tư. Vì so với hai thị trường trên, vàng được coi là ổn định hơn
cả, và giá có xu hướng tăng trong thời gian qua.
Tuy thị trường vàng có khác với thị trường chứng khoán ở chỗ là giá
vàng trong nước có quan hệ mật thiết với giá vàng thế giới vì vậy không phải
chỉ vì lý do bầy đàn mà giá vàng có thể tăng vọt tương tự như sự tăng lên vụt
vụt của chỉ số Vn – Index năm 2007. Nhưng nếu nhà đầu tư chỉ tham gia thị
trường vàng vì lý do các nhà đầu tư khác đang ưa thích thị trường này mà
không có một chút kiến thức nào về thị trường này thì đó là một rủi ro rất lớn.
Vì vậy việc đưa ra các phương pháp từ đó tạo cơ sở cho việc giao dịch trên thị
trường vàng đang được mọi người quan tâm.
Sau một thời gian thực tập tại công ty Giải pháp Công nghệ Thông tin
Tài chính Thiên Lang, một công ty chuyên xử lý các thông tin trên thị trường
chứng khoán với hệ thống phân tích kỹ thuật hiện đại, và nhiều chỉ báo được
sử dụng được coi là công ty đi đầu trong phân tích kỹ thuật, em đã tìm hiểu và
áp dụng phương pháp phân tích kỹ thuật trong giao dịch vàng. Ngoài ra cùng
với chương trình học em đã ứng dụng phương pháp kinh tế lượng trong giao
dịch vàng. Cả hai phương pháp mà em sử dụng ở đây đều dựa trên việc dự
đoán xu hướng giá vàng trong tương lai dựa và bản thân giá vàng trong quá
khứ.
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
1
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
Em xin chân thành cảm ơn các anh chị trong công ty Giải pháp Công

nghệ Thông tin Tài chính Thiên Lang đã giúp đỡ em trong quá trình thực tập và
tìm hiểu sâu hơn về phương pháp phân tích kỹ thuật.
Em xin chân thành cảm ơn thầy Ngô Văn Thứ đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ
em trong quá trình lựa chọn đề tài và định hướng nghiên cứu, cũng như giải đáp
mọi thắc mắc của em trong quá trình thực hiện chuyên đề này. Em cũng xin cảm
ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán kinh tế đã dạy dỗ em trong quá trình học
tập.
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
2
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ THỊ TRƯỜNG VÀNG Ở VIỆT NAM
1.1. Một vài đặc điểm chung về vàng
1.1.1. Vàng là hàng hóa đặc biệt
Vàng là một loại hàng hóa đặc biệt vì nó được sản xuất ra để tích lũy
trong khi các loại hàng hóa khác được sản xuất để tiêu dùng. Về cơ bản tất cả
vàng trong lịch sử đều tồn tại trên mặt đất tuy nhiên vàng vẫn rất hiếm.
1.1.2. Vàng là tiền
Quan sát nhu cầu về tiền tệ này hàm ý rằng vàng là tiền. Nói cách khác,
vàng được tích trữ là do tính hữu dụng rất cao của nó phát sinh từ những
người biến nó thành tiền.
Lợi thế của vàng như tiền là rất lớn. Có lẽ điều quan trọng nhất trong
thời buổi được đánh dấu bởi tình trạng lạm phát, thì vàng là loại tiền không bị
ảnh hưởng bởi các quyết định của chính phủ.
Một nhân tố khác ủng hộ cho vàng chính là một núi nợ và các sản phẩm
phái sinh tài chính đang treo lơ lửng trên đầu nền kinh tế toàn cầu. Vàng là
loại tiền duy nhất không phụ thuộc vào lời hứa của bất kì ai, điều này giải
thích tại sao vàng được gọi là “tiền thông thái”.
1.1.3. Vàng bảo tồn ngang giá sức mua
Vàng bảo vệ cho ngang giá sức mua, nhưng có một cách khác để mô tả

đặc tính đặc biệt này của vàng. Đừng xem giá vàng đang tăng mà hãy xem xét
sức mua của đô la đang giảm. kết luận có thể được làm rõ bằng cách nhìn vào
giá cả hàng hóa dịch vụ theo vàng cũng như đô la.
Vàng là một công cụ đầu tư truyền thống của người Việt Nam.
Trong suốt chiều dài lịch sử của dân tộc, từ trước mùa xuân năm 1975, có lẽ
chưa lúc nào, Việt Nam được bình yên trong một vài thế kỷ. Chiến tranh nối
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
3
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
tiếp chiến tranh, hết ngoại xâm này lại đến ngoại xâm khác. Do đó, việc lưu
dữ tiền luôn ẩn chứa những rủi ro bất trắc. Chỉ có vàng là loại tài sản được
xem là có giá trị bất biến với thời gian – dù trong chế độ nào thì vàng vẫn
luôn là vàng. Vàng cũng được dùng làm chuẩn đo giá trị của những tài sản
lớn khác. Nếu dùng khái niệm tiền để định giá sản phẩm thì những người ở
giai đoạn lịch sử khác nhau sẽ không hiểu nhau. Nếu nói ngôi nhà này trị giá
bao nhiêu đồng tiền Đông Dương thì chỉ có những cụ già bảy mươi tuổi mới
hiểu. Nhưng nói căn nhà giá trị 10 cây vàng thì thế hệ nào cũng hiểu được,
đây là một trong những lý do để vàng trở thành phương tiện đo lường và trao
đổi từ thế kỷ này sang thế kỷ khác.
Chính vì những đặc tính này của vàng mà vàng càng ngày càng được
ưa chuộng, không những trở thành công cụ tích trữ vì tính ổn định của vàng,
mà hiện nay vàng còn trở thành một kênh đầu tư càng ngày càng hấp dẫn.
Việc mua bán vàng xảy ra trên thị trường tự do trong nhiều năm qua là một
hình thức phổ biến của người Việt Nam. Nhưng khi vàng ngày càng trở thành
một kênh đầu tư, các giao dịch về vàng ngày càng nhiều thì thị trường tự do
không đáp ứng được yêu cầu của các nhà đầu tư. Chính vì vậy việc hình thành
sàn giao dịch vàng là tất yếu.
1.2. Sàn giao dịch vàng
1.2.1. Khái niệm
Sàn giao dịch vàng là nơi mua bán vàng theo những quy tắc nhất định.

Đây cũng là nơi thuận tiện để người có nhu cầu bán vàng cũng như người có
nhu cầu thu mua tích trữ vàng thực hiện giao dịch mà mình mong muốn dưới
sự đảm bảo an toàn về tính pháp lý của việc mua bán.
Tại sao cần hình thành sàn giao dịch vàng
Nếu muốn, chúng ta có thể mua, bán ở thị trường chợ đen, rất nhanh
chóng và gọn nhẹ, không cần phải thực thi bất cứ thủ tục, hợp đồng chuyên
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
4
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
môn rườm rà nào cả. Tuy nhiên, với điều kiện kinh tế phát triển nhanh chóng
như ở nước ta hiện nay, nhu cầu an toàn, chuyên nghiệp và pháp lý trong mọi
giao dịch nói chung cũng như giao dịch vàng nói riêng ngày càng cao, vì nhà
đầu tư muốn có chỗ dựa về mặt luật pháp, công khai về hoạt động kinh doanh
của mình và an tâm hơn trong việc kê khai tài sản. Từ những nhu cầu đó mà
sàn giao dịch vàng đã manh nha ở nước ta, đi đầu là sàn giao dịch vàng Á
Châu do ACB Bank lập nên.
1.2.2. Sàn giao dịch vàng ở Việt Nam
Ngày 25/05/2007, sàn giao dịch vàng đầu tiên của Việt Nam chính thức
đi vào hoạt động, với tên gọi là Trung tâm giao dịch vàng Sài Gòn, với sự
tham gia của các thành viên :
+ Ngân hàng TMCP Á Châu – ACB
+ Ngân hàng TMCP Xuất Nhập Khẩu Việt Nam – Eximbank
+ Ngân hàng TMCP Phát triển Nhà Tp. HCM – HDBank
+ Ngân hàng TMCP Sài Gòn – SCB
+ Ngân hàng TMCP Việt Á
Sau có sự tham gia thêm của các công ty
+ Công ty TNHH SX - TM - DV Tuấn Tài
+ Công ty TNHH Tân Vạn Hưng
+ Công ty Vàng Bạc Đá Quý Sài Gòn – SJC
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47

5
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
+ Công ty TNHH Kim Ngọc Phú
+ Công ty CP Sài Gòn Kim Hoàn ACB-SJC
Tiếp theo đó là sàn giao dịch vàng tại Hà Nội được thành lập vào ngày
27/03/2008. Sàn giao dịch vàng Sài Gòn khu vực Hà Nội có sự tham gia của 6
doanh nghiệp kinh doanh vàng bạc đá quý hàng đầu tại Hà Nội. Các công ty
này bao gồm:
+ Công ty Kinh doanh Mỹ nghệ VBĐQ Ngân hàng Nông nghiệp
& Phát triển Nông Thôn Việt Nam
+ Công ty CP SJC Hà Nội
+ Công ty TNHH Kim Linh
+ Công ty TNHH Quốc Trinh
+ Công ty CP Đầu tư Vàng Phú Quý
+ Công ty TNHH Hạnh Thuần
Các thành viên trên sẽ trực tiếp tham gia giao dịch cùng với 10 thành
viên tại Sàn giao dịch vàng Sài Gòn tại Tp. Hồ Chí Minh thông qua hệ thống
giao dịch khớp lệnh điện tử liên tục.
Các nhà đầu tư không phải là thành viên có thể tham gia gián tiếp thông
qua các thành viên của Sàn Giao dịch Vàng Sài Gòn cả khu vực Hà Nội và
Tp. Hồ Chí Minh. Thành viên ACB đã triển khai sản phẩm “Đầu tư vàng tại
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
6
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
ACB” cho phép các nhà đầu tư cá nhân tham gia đầu tư vàng tại các điểm
nhận lệnh trên toàn quốc.
Ngoài các sàn giao dịch của ngân hàng Á Châu, hiện nay có rất nhiều
ngân hàng và công ty chứng khoán mở sàn giao dịch, ví dụ Vpbank, công ty
chứng khoán An Bình. Sở dĩ ngày càng có nhiều sàn giao dịch vàng mở ra
một phần vì các kênh đầu tư như bất động sản, thị trường chứng khoán đều

chứa đựng rất nhiều rủi ro, thì kênh đầu tư vàng có vẻ khả quan hơn, ổn định
hơn, và một phần vì lợi nhuận của các sàn này đem lại cho các sàn giao dịch.
1.2.3 Cách thức giao dịch trên sàn vàng
Hiện nay trên thị trường Việt Nam tuy xuất hiện rất nhiều sàn giao dịch
vàng, tuy nhiên sàn giao dịch vàng của ACB vẫn thu hút được nhiều nhà đầu tư
hơn cả. Ở đây em xin giới thiệu về cách thức giao dịch vàng trên sàn giao dịch
ACB.
Để tham gia đầu tư vàng, nhà đầu tư cần mang bản sao chứng minh thư
nhân dân và hộ khẩu đến các địa điểm giao dịch của ACB để mở 4 tài khoản
gồm tài khoản nộp tiền, rút tiền, gửi vàng và rút vàng.
Để có thể giao dịch, cần phải ký quỹ 7% giá trị giao dịch, phần còn
lại sẽ được ACB cho vay theo hạn mức tín dụng được cấp (tối đa là 30 tỷ đồng
đối với cá nhân). Theo một nhân viên của ACB, hiện chưa có nhà đầu tư nước
ngoài nào tham gia giao dịch trực tiếp, có thể là do yêu cầu phải có sổ hộ khẩu
khi mở tài khoản.
Khối lượng giao dịch tối thiểu là 50 lượng và bước nhảy về giá là 1.000
đồng/lượng nhưng không có giới hạn biên độ giao động giá. Mỗi lần mua
hoặc bán, nhà đầu tư sẽ phải trả phí cho ACB là 2.000 đồng/lượng. Như vậy,
với 1 lần mua và bán khối lượng tối thiểu 50 lượng, sẽ mất khoản phí 400.000
đồng.
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
7
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
Cách thức đặt lệnh và khớp lệnh trên sàn giao dịch này về cơ bản cũng
giống như trên sàn chứng khoán. Tuy nhiên, có một điểm nhà đầu tư cần chú ý
là bản thân ACB cũng được phép kinh doanh vàng, vì vậy, nếu lệnh mua hoặc
bán của nhà đầu tư trong mức giá ACB công bố, ngân hàng này sẽ tự động giao
dịch trực tiếp với bạn mà không cần nhập lệnh vào sàn nữa. Mức giá khớp lệnh
chính là giá bạn đặt, chứ không phải mức giá thị trường đang khớp trên sàn
giao dịch vàng.

Thời gian giao dịch diễn ra từ 8h00 đến 11h00 sáng và 13h00 đến
16h00 chiều từ thứ Hai đến thứ Sáu, riêng thứ Bảy chỉ giao dịch buổi sáng.
Để tiến hành giao dịch, nhà đầu tư phải trực tiếp đến sàn chứ không thể giao
dịch qua điện thoại hay Internet. Kết quả khớp lệnh cũng không được nhắn tin
thông báo mà phải hỏi trực tiếp nhân viên nhận lệnh.
Những điểm khiến đầu tư vàng hấp dẫn hơn chứng khoán là việc chỉ
phải nộp tiền ký quỹ 7% giá trị giao dịch là đã có thể mua bán. Giả sử vàng
đang là 2.000.000 đồng/chỉ, tối thiểu phải mua hoặc bán là 50 lượng, tức tổng
giá trị giao dịch là 1 tỷ đồng thì bạn chỉ cần có trong tay khoản tiền gửi là 70
triệu đồng. Như vậy, nhà đầu tư có thể đầu tư gấp 14 lần số vốn tự có của
mình.
Trong khi với chứng khoán, mặc dù luật cho phép chỉ ký quỹ 70%
nhưng đa phần các công ty chứng khoán đều bắt nhà đầu tư phải có đủ 100%
ký quỹ mới cho phép giao dịch. Thêm vào đó, nhà đầu tư được phép mua bán
vàng ngay trong ngày, chỉ cần có đủ số ký quỹ là được phép giao dịch. Đồng
thời, cũng còn có thể thực hiện nghiệp vụ mua bán khống.
Do bạn đầu tư chủ yếu bằng tiền vay của ngân hàng, nên ACB sẽ yêu
cầu khách hàng nộp thêm tiền ký quỹ ngay trong ngày khi tỷ lệ tổng giá trị tài
sản ròng/tổng dư nợ vay chỉ còn 5% (tỷ lệ cảnh báo). Nếu tỷ lệ tiếp tục biến
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
8
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
động xuống 4% (tỷ lệ xử lý) thì ACB sẽ có toàn quyền xử lý tài sản của bạn
để đảm bảo mức an toàn cho Ngân hàng.
Lợi nhuận lớn bao giờ cũng đi kèm rủi ro cao, nếu mức lỗ 7% vẫn nằm
trong khả năng chịu lỗ (trên lý thuyết) đối với đầu tư chứng khoán thì với đầu
tư vàng, coi như bạn đã phá sản.
Mặc dù, khi tỷ lệ ký quỹ giảm xuống 4% thì ACB có quyền xử lý tài
sản của nhà đầu tư, nhưng trong hợp đồng cũng ghi rất rõ là ACB không có
nghĩa vụ xử lý tài sản của nhà đầu tư ngay lúc đó. Vì thế, có khả năng họ sẽ

thua lỗ nhiều hơn nữa, thậm chí có khả năng phá sản.
ACB quy định lãi suất đối với tiền gửi thanh toán là 3%/năm, còn lãi
suất vay vàng là 3%/năm, và vay tiền là 14,8%/năm; riêng đối với vàng gửi
không được tính lãi. Nếu khách hàng vay và trả lại ACB ngay trong phiên
giao dịch thì không phải chịu lãi suất này.
Giới đầu tư vàng gọi đây là chốt trong ngày, không để qua đêm. Nếu
mua vàng để qua đêm gọi là dương, vay vàng để bán chưa trả ngay gọi là âm
và sẽ phải chịu lãi suất cao như kể trên.
Do giá vàng trên sàn giao dịch có sự chênh lệch với giá bên ngoài thị
trường tự do, nên nhà đầu tư có thể rút vàng khi kết thúc giao dịch để đem ra
ngoài bán kiếm lời.
Tuy nhiên, mới đây, ACB đã ra thông báo chỉ cho khách hàng rút tối
đa số tiền là 10 tỷ đồng/ngày và 10 lượng vàng/ngày. Trong khi khối lượng
tối thiểu để giao dịch là 50 lượng, như vậy nếu muốn ngừng giao dịch, rút
vàng ra nhà đầu tư phải đợi tới 5 ngày.
1.3. Các yếu tố ảnh hưởng tới giá vàng
1.3.1. Yếu tố ảnh hưởng tới giá vàng thế giới và giá vàng Việt Nam
Các yếu tố ảnh hưởng đến giá vàng thế giới:
+) Sự biến động của giá đô la Mỹ - lãi suất tiền gởi của Mỹ.
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
9
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
+) Sự biến động của giá dầu.
+) Mức độ lạm phát của nền kinh tế Mỹ.
+) Một số chỉ số của nền kinh tế Mỹ.
Các yếu tố ảnh hưởng giá vàng trong nước:
+) Giá vàng trên thế giới.
+) Cung cầu của các nhà đầu tư và thị trường trang sức.
+) Chính sách về vàng của các ngân hàng, công ty vàng bạc đá quý lớn.
1.3.2. Yếu tố cung và cầu ảnh hưởng tới giá vàng

Tuy vàng chịu ảnh hưởng của rất nhiều nhân tố như vậy nhưng nó cũng
không ngoại lệ trong quy luật cung cầu của một hàng hoá. Nếu như lượng
vàng không tăng lên hay giảm đi trong ngắn hạn nhưng trên thị trường giao
dịch vàng thì cung có thay đổi. Cung ở đây được hiểu là lượng vàng mà nhà
đầu tư có và sẵn sàng bán ra ở mức giá nào đó. Còn lượng cầu là lượng vàng
mà nhà đầu tư có khả năng mua và sẵn sàng mua ở mức giá nào đó. Và giá
vàng trên thị trường là điểm cân bằng giữa lượng cung và cầu trên thì trường.
Và lượng cung và lượng cầu trên thị trường lại phụ thuộc vào đánh giá của
nhà đầu tư trước sự thay đổi của các yếu tố khác trong nền kinh tế.
1.3.3. Ảnh hưởng của thị trường chứng khoán đến thị trường vàng
Hiện nay thị trường tài chính của Việt Nam có thể chia làm ba thị
trường chủ yếu là: Thị trường vàng và ngoại hối, thị trường bất động sản và
thị trường chứng khoán. Về mặt lý thuyết, luồng vốn đầu tư sẽ dịch chuyển từ
kênh đầu tư có tỷ suất sinh lời thấp sang kênh đầu tư có tỷ suất sinh lời cao
hơn. Tuy nhiên dường như thị trường chứng khoán tỏ ra có một mối liên hệ
mật thiết với thị trường vàng hơn cả. Chúng ta có thể quan niệm chứng khoán
và vàng là hai kênh đầu tư có thể thay thế cho nhau, nghĩa là khi có tiền nhà
đầu tư có thể lựa chọn đầu tư vào chứng khoán hoặc vàng để sinh lời. Khi thị
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
10
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
trường chứng khoán lên sẽ tạo nhiều cơ hội cho mọi người kiếm lợi nhuận từ
thị trường chứng khoán và giảm đầu tư vào vàng và ngược lại.
Trong điều kiện kinh tế trong nước và thế giới hiện nay, vàng vẫn là
một kênh đầu tư được ưa chuộng. Tuy nhiên, cũng như thị trường chứng
khoán, nếu nhà đầu tư không thực sự hiểu biết về thị trường mà chỉ đầu tư
theo bầy đàn thì nó cũng chứa những rủi ro khó lường trước, thậm chí hậu quả
còn lớn hơn nhiều vì lượng giao dịch tối thiểu trên sàn vàng là 50 lượng, nếu
nhà đầu tư chỉ đặt tiền của mình vào sự may rủi thì chẳng khác nào đánh bài.
Chính vì thế muốn tham gia trên thị trường vàng hay bất kỳ một thị trường

nào khác chúng ta cần có những nhận định, những hiểu biết nhất định về thị
trường đó.
Trong chuyên đề thực tập này em xin trình bày hai phương pháp có thể
áp dụng trong giao dịch trên thị trường vàng đó là phương pháp dựa vào mô
hình kinh tế lượng và phương pháp dựa vào các chỉ báo phân tích kỹ thuật.
Trong phần phân tích dưới đây ta có thể coi như chuỗi giá vàng theo
thời gian như một quá trình ngẫu nhiên.
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
11
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
CHƯƠNG 2
MÔ HÌNH KINH TẾ LƯỢNG VÀ MÔ HÌNH PHÂN TÍCH KỸ THUẬT
Ta coi quá trình giá vàng theo thời gian như một quá trình ngẫu nhiên.
Để có thể áp dụng một số mô hình kinh tế lượng ta cần phải xem xét một số
đặc trưng của chuỗi giá vàng. Các đặc trưng chúng ta cần xem xét ở đây là
chuỗi giá vàng theo thời gian có dừng hay không, và mô hình chúng ta nên sử
dụng trong dự báo giá vàng trong tương lai là gì.
2.1 Mô hình kinh tế lượng
2.1.1 Quá trình ngẫu nhiên dừng và không dừng
Chúng ta xem họ các biến ngẫu nhiên
1
Y
,
2
Y
,…, trong đó các chỉ số là
các thời điểm kế tiếp nhau. Nói chung mỗi biến có một quy luật phân bố xác
suất riêng.
1
Y

,
2
Y
,… gọi là quá trình ngẫu nhiên. Giả sử rằng đối với mỗi thời
điểm biến số tương ứng nhận được một giá trị cụ thể. Khi đó ta có một chuỗi
thời gian. Mặc dù chuỗi thời gian chỉ là một phép thử của một quá trình ngẫu
nhiên, chúng ta cũng gọi chuỗi thời gian là quá trình ngẫu nhiên, kí hiệu là
t
Y
,t=1,2,…
E(
t
Y
)Var(
t
Y
) là kì vọng và phương sai của
t
Y
, có thể Cov(
i
Y
,
t
Y
)
≠
0.
Nói chung đối với mỗi
t

Y
thì kì vọng, phương sai và hiệp phương sai là
không giống nhau.
Chuỗi
t
Y
được gọi là dừng nếu kì vọng, phương sai và hiệp phương sai
không đổi theo thời gian. Về mặt toán học chuỗi
t
Y
được gọi là dừng nếu:
E(
t
Y
) =
µ

∀
t (2.1)
Var(
t
Y
) =E
2
( )
t
Y
µ
−
=

2
σ

∀
t (2.2)

[ ]
k t t-k t t-k
μ =Cov(Y ,Y )=E (Y -μ)(Y -μ)

∀
t (2.3)
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
12
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
Chuỗi
t
Y
được gọi là không dừng nếu nó vi phạm bất kỳ điều kiện nào nói ở
trên.
0
k
k
γ
ρ
γ
=
chính là hệ số tương quan
t
Y

và
t k
Y
−
Khi khảo sát các
k
ρ
theo độ dài của trễ ta có một hàm, người ta gọi là
hàm tương quan (Autoregressive Corelation Function). Khi đó ta viết :
ACF(k)=
k
ρ
=
t t-k
t
Cov(Y ,Y )
Var(Y )
Điều kiện thứ ba trong định nghĩa chuỗi dừng có nghĩa là hiệp phương
sai, do đó hệ số tương quan giữa
t
Y
và
t k
Y
−
chỉ phụ thuộc vào thời điểm t.
Chẳng hạn Cov(
t
Y
,

t+5
Y
) không đổi, thì Cov(
7
Y
,
12
Y
) = Cov(
15
Y
,
20
Y
) = Cov(
30
Y
,
35
Y
) =…=Cov(
t
Y
,
6t
Y
+
) không đổi, nhưng Cov(
t
Y

,
5t
Y
+
) có thể khác với Cov(
6
,
t t
Y Y
+
).
Chuỗi mà ta đang xét ở đây là chuỗi giá vàng theo thời gian từ
27/08/2007 đến 31/03/2009.
Có thể coi giá vàng theo thời gian như một quá trình ngẫu nhiên. Ta có:
Bảng 2.1: Mô tả quá trình giá vàng theo thời gian
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
13
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
Các thông số cơ bản của chuỗi giá vàng:
Giá trị trung bình
μ = 1720.603
Độ lệch tiêu chuẩn
σ = 159.5228
Phương sai
2
σ = 25447.52
Xét về ý nghĩa kinh tế giá trị trung bình của giá vàng là 1720.603 triệu
đồng một lượng, và mức độ dao động của giá vàng vào khoảng 159.5228 triệu
đồng một lượng.
Ta gọi chuỗi giá vàng theo thời gian là

t
Y
. Nếu chuỗi giá vàng mà ta
đang xét là một quá trình ngẫu nhiên dừng thì về mặt toán học ta có thể biểu
diễn như sau:
E(
t
Y
) = 172.603
∀
t
Var(
t
Y
) =E
2
( 172.603)
t
Y −
=
∀
t

[ ]
k t t-k t t-k
μ =Cov(Y ,Y )=E (Y -172.603)(Y -172.603)

∀
t
Về mặt ý nghĩa kinh tế nếu chuỗi giá vàng mà ta đang xét mà là chuỗi

dừng thì mức thay đổi của giá vàng ở thời kỳ sau so với thời kỳ trước là khá
ổn định.
Quá trình giá vàng theo thời gian có thể dự báo bằng mô hình kinh tế
lượng, và trong các trường hợp khác nhau thì ta có thể sử dụng các mô hình
khác nhau. Ta cần xem xét các đặc trưng này để đưa ra mô hình dự báo cho
phù hợp.
2.1.2 Một số quá trình ngẫu nhiên giản đơn
2.1.2.1 Nhiễu trắng
t t
Y = u
trong đó
t
u
là yếu tố ngẫu nhiên trong mô hình hồi quy cổ điển.
Nghĩa là
t
u
có trung bình bằng không, phương sai không đổi và hiệp phương
sai bằng không,
t
u
được gọi là nhiễu trắng (White noise). Trong trường hợp
này,
t
Y
là chuỗi dừng.
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
14
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
Nếu quá trình ngẫu nhiên giá vàng theo thời gian là nhiễu trắng thì các

dao động của giá vàng sẽ không đem lại thông tin gì trong việc dự báo giá
vàng trong các thời kỳ tiếp theo.
2.1.2.2 Quá trình tự hồi quy
t t-1 t
Y = Y + u
φ
, trong đó
t
u
là nhiễu trắng.
1 0 1
Y = Y + u
φ
2
2 1 2 0 1 2
1 2
t 0 1 2 1
Y = Y + u = Y u u

Y Y u u u u
t t t
t t
φ φ φ
φ φ φ φ
− −
−
+ +
= + + + + +
2 2( 1) 2( 2) 2
( ) ( 1)

t t
t
Var Y
σ φ φ φ
− −
= + + +
2 2( 1) 2( 2) 2
t
Var(Y ) =σ ( 1)
t t
φ φ φ
− −
+ + +
Từ biểu diễn cuối cùng này, ta thấy
t
Y
dừng khi
1
φ
<
t t-1 t
Cov(Y Y ) = Var(Y )
φ
suy ra
1

ρ φ
=
Trong đó:
t t-k

k
t
Cov(Y ,Y )
ACF(k)= ρ =
Var(Y )
t t-2 t-2 t-1 t
2 2
2
2 2 1 2
2
Cov(Y Y ) = Cov(Y ( Y + u )
=Cov(Y ( ( ( )))
=Cov( Y + Y u +Y u )
= Var( )
t t t
t t t t t
t
Y u
Y
φ
φ φ
φ φ
φ
− −
− − − −
+
Từ đó
2
2
ρ =

φ
Tương tự ta có:
k
2
ACF(k)=ρ =
φ
.
Một cách trực quan ta có thể thấy chuỗi giá vàng nói chung sẽ có các
đặc điểm sau:
+) Là chuỗi dương
+) Không tăng vô hạn, trong một thời gian nhất định sẽ hội tụ về
một mức giá nào đó.
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
15
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
Ở đây ta có thể xem xét giá vàng tăng hay giảm dựa vào việc xem xét
hệ số
φ
trong mô hình tự hồi quy.
+) Nếu
φ
> 1 trong một giai đoạn nào đó thì giá vàng có xu hướng bùng
nổ
+) Nếu
φ
< 0 trong một giai đoạn nào đó thì giá vàng sẽ có xu hướng
giảm
+) Nếu 0 <
φ
< 1 trong một giai đoạn nào đó thì giá vàng sẽ có xu hướng

hội tụ tại một mức giá nào đó.
2.1.3 Chuỗi không dừng và mô hình hồi quy cổ điển
Một trong các giả thiết của mô hình hồi quy cổ điển là các biến độc lập
là phi ngẫu nhiên, chúng có giá trị xác định. Nếu như chúng ta ước lượng một
mô hình với chuỗi thời gian trong đó các biến độc lập không dừng, khi đó giả
thiết của OLS bị vi phạm. Hay nói khác đi OLS không áp dụng cho các chuỗi
không dừng Trong kinh tế có nhiều biến số không dừng, do đó sẽ hạn chế khả
năng phân tích nếu chúng ta áp dụng các phương pháp hồi quy thông thường.
Một vấn đề khác liên quan đến tính không dừng khi làm việc với chuỗi
thời gian là vấn đề tương quan giả tạo (spuirous). Nếu như mô hình có ít nhất
một biến độc lập không dừng, biến này thể hiện một xu thế tăng (giảm) và
nếu biến phụ thuộc cũng như vậy, thì khi ước lượng mô hình có thể ta sẽ thu
được tỷ số t cao và
2
R
cao. Những thông tin này có thể là giả mạo.
2
R
cao có
thể do hai biến này đều có cùng xu thế. Yule (1926) đã đề cập vấn đề này,
Granger và Newbold (1974) đã có đóng góp ý nghĩa về hồi quy giả mạo. Hai
tác giả đã lấy hai chuỗi thời gian độc lập với nhau và ước lượng mô hình. Tỷ
số t và
2
R
cũng khá lớn.
Khi ước lượng một mô hình chẳng hạn:

t 1 2 t t
Y =β +β X +u

NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
16
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
Trong đó
t
Y
và
t
X
là không dừng. Nếu
t
Y∆
và
t
X∆
là dừng, ta ước lượng
mô hình:
t t t-1 1 2 t t 1 2 t-1 t-1
2 t t
ΔY =Y -Y =β +β X +u -β -β X -u
ΔY=β ΔX +v (2.4)

Mô hình này có hai vấn đề:
t
v
tự tương quan với nhau và mô hình chỉ
đánh giá trực tiếp ảnh hưởng ngắn hạn giữa X và Y, bỏ qua thông tin trong
dài hạn.
Giả sử quan hệ giữa X và Y được thể hiện bằng:

t 1 2 t t
Y =β +β X +u
Với mỗi X đã cho, giá trị cân bằng của Y là
1 2
β +β X
. Ở cuối thời kỳ t-1
có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau:

t-1 1 2 t-1
t-1 1 2 t-1
t-1 1 2 t-1
a)Y = β +β X
b)Y < β +β X
c)Y > β +β X
Giả sử răng ở thời kỳ tiếp theo, X thay đổi. Nếu như ở cuối t-1 xảy ra a)
thì Y thay đổi một lượng
ΔY
. Ta không có cơ sở nào để nói rằng
ΔY
được
cho bởi (2.4).
ΔY
chỉ được cho bởi (2.4) nếu ở thời kỳ t cũng như ở thời kỳ
cuối t-1 có quan hệ cân bằng giữa X và Y.
Nếu như xảy ra b) hoặc c) thì thay đổi của Y trong thời kỳ t sẽ lớn hơn
hoặc nhỏ hơn
ΔY
.
Như vậy sự thay đổi của Y trong thời kỳ t không chỉ phụ thuộc vào sự
thay đổi của X ở t mà còn phụ thuộc vào mức độ mất cân bằng giữa Y và X ở

cuối thời kỳ t-1.
Sở dĩ xảy ra những điều nói trên là do chúng ta đã đặt ra phương trình
sai phân bậc nhất, phương trình này đã bỏ qua quan hệ dài hạn giữa Y và X.
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
17
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
Từ những điều trình bày ở trên, nên việc tìm ra một chuỗi có dừng hay
không là việc cần thiết quan trọng. Do đó ta cũng cần phải quan tâm tới chuỗi
giá vàng mà ta đang xét có phải là chuỗi dừng hay không. Sau đây sẽ trình
bày các kiểm định để phát hiện một quá trình ngẫu nhiên có dừng hay không.
2.1.3 Kiểm định tính dừng dựa trên lược đồ tương quan
Theo định nghĩa tính dừng thì
t
Y
là dừng nếu:
t
E(Y )=μ
với mọi t
2 2
ar( ) ( )
t t
V Y E Y
µ σ
= − =
với mọi t
( ) ( ) ( )
k t t+k t t
γ =Cov Y ,Y =E Y -μ Y -μ
 
 

với mọi t
Để kiểm định tính dừng này, một trong các kiểm định đơn giản là kiểm
định dựa trên hàn tự tương quan
k
ρ
(autocorrelation function).
k
k
0
γ
ρ =
γ
(2.5)
Nếu k=0, ta có
0
ρ 1 ; k= ∀
, ta đều có
k
-1 ρ 1≤ ≤
. Nếu chúng ta vẽ đồ thị
của
k
ρ
đối với k, thì đồ thị được gọi là lược đồ tương quan tổng thể. Tuy nhiên
trên thực tế chúng ta chưa có tổng thể, mà chỉ có một mẫu mà thôi. Khi đó
chúng ta có thể xây dựng hàm tự tương quan mẫu.

µ
t t+1 t t+1
t t+k k

(Y -Y)(Y -Y) y y
Cov(Y ,Y )=γ = =
n-k n-k
∑ ∑

µ
( )
( )
2
1
0
k
2
1
5
1
2
ACF
1
ar( )γ
ACF =ρ
1 2 ACF(i) /
n
t
t
t
t
t t k
n
t

t
k
i
y
Y Y
V Y
n n
y y
y
SE n
=
+
=
−
=
−
= = =
=
 
= +
 ÷
 
∑
∑
∑
∑
∑
(2.6)
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
18

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
Trong trường hợp kích thước của mẫu nhỏ thì mẫu số của
µ
k
γ
(và
µ
0
γ
)
không phải là n-k(n) mà là n-k-1(n-1).
Chúng ta dễ thấy
k -k
ρ ρ=
Bartlett đã chỉ ra rằng, nếu chuỗi là ngẫu nhiên và dừng thì các hệ số
tương quan mẫu
µ
k
ρ
sẽ có phân bố xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng bằng không và
phương sai 1/n với n khá lớn.
µ
0 k 1 k
k
H :ρ =0; H : ρ 0.
U=ACF(k)/SE(ACF(k))=ρ /(1/ n)
≠
Nếu như
µ
kα/2

ρ ±U (1/ n)∉
, thì
0
H
bị bác bỏ.
Các hệ số tự tương quan cấp cao
k
ρ
,
2k
≥
phản ánh mức độ kết hợp
tuyến tính của
t
Y
và
t k
Y
−
. Tuy nhiên, mức độ kết hợp giữa hai biến có thể còn
do một số biến khác gây ra, trong trường hợp này các biến
t-1 t-2 t-k+1
Y ,Y Y
ảnh
hưởng đến mức độ kết hợp
t
Y
và
t k
Y

−
. Do đó để đo mức độ kết hợp riêng rẽ
giữa
t
Y
và
t k
Y
−
, người ta còn đưa ra hệ số tự tương quan riêng.
kk
ρ
là hệ số tự
tương quan riêng của
t
Y
và
t k
Y
−
,
kk
ρ
được tính theo công thức đệ quy của
Durbin (1960).
¶
µ
µ µ
µ µ
µ µ µ µ

µ µ
k-1
k
k-1j k-j
j=1
kk
k-1
k-1j j
j=1
kj k-1j kk k-1j
11 1
ρ - ρ ρ
PACF(k)=ρ =
1-ρ ρ
ρ =ρ -ρ ρ ; j=1,2, ,k-1
ρ =ρ
∑
∑

Các hệ thống phần mềm thống kê thông dụng đều tính được ACF và
PACF với các độ trễ khác nhau và vẽ lược đồ tương quan tương ứng.
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
19
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
Đối với các hệ số tương quan riêng, nếu chuỗi là dừng thì các
¶
kk
ρ
sẽ có
phân bố chuẩn N(0,1/n). Do vậy chúng ta có thể kiểm định giả thiết đối với

các
¶
kk
ρ
tương tự như kiểm định giả thiết đối với các
k
ρ
.
Bảng dưới đây là kết quả hàm tự tương quan riêng cho chuỗi sai phân
của giá vàng theo ngày Việt Nam từ 27/8/07 đến 31/03/09 . Bảng cũng trình
bày khoảng tin cậy 95% cho các hệ số tương ứng. Đối với hệ số tương quan,
từ trễ thư 2 trở đi chúng xấp xỉ bằng không, còn đối với hệ số tự tương quan
riêng cũng xấp xỉ bằng không từ trễ thứ 2.
Các kiểm định trên đây, mới đưa ra kết luận về từng hệ số tương quan. Box-
Pierce đã đưa ra kiểm định về sự bằng không đồng thời của các hệ số tương quan.

0 1 2 m
m
2
1 k
k=1
H :ρ =ρ =ρ =0
H : ρ 0≠
∑
Giả thiết
0
H
được kiểm định bằng thống kê:

2

1
ρ
m
k
k
Q n
=
=
∑
$
(2.7)
Trong đó n là kích thước mẫu, m độ dài của trễ.
Q
có phân bố xấp xỉ
2
( )m
χ
.
0
H
bị bác bỏ nếu
Q
nhận được từ mẫu lớn hơn
2
( )m
α
χ
.
Một dạng khác của
Q

là thống kê Ljung-Box(LB):
2
m
2
k
k=1
ρ
LB=n(n+2)χ (m)
n-k
≈
∑
$
(2.8)
Bảng dưới đây cho giá trị của LB với các độ dài khác nhau của trễ và
xác suất nhỏ nhất để giả thiết
0
H
bị bác bỏ.
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
20
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
Bảng 2.2: Lược đồ tương quan của chuỗi sai phân bậc 1 của giá
vàng từ 27/08/07 đến 31/03/09
Nhìn vào lược đồ tương quan của chuỗi giá vàng ta nhận thấy chuỗi giá
vàng không phải là nhiễu trắng, nhưng ta cũng không thể kết luận được chuỗi
giá vàng có dừng hay không. Để có thể đi tới kết luận được về tính dừng của
chuỗi giá vàng ta phải dùng một phương pháp kiểm định khác là phương pháp
kiểm định nghiệm đơn vị.
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
21

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
2.1.4 Kiểm định nghiệm đơn vị
Xét mô hình sau đây:
t t-1 t
Y =ρY +u
,
t
u
là nhiễu trắng. (2.9)
Nếu như
1
ρ
=
khi đó
t
Y
là một bước ngẫu nhiên và
t
Y
là một chuỗi
không dừng. Do đó để kiểm định tính dừng của
t
Y
ta sẽ kiểm định giả thiết
0
H : =1
ρ
t t t-1 t-1 t
ΔY =Y -Y =(ρ-1)Y +u
(2.10)

t t-1 t
ΔY Y u
δ
= +
Bây giờ giả thiết
0
H : =0
δ
Nếu
0
H
được chấp nhận thì:
t t t-1 t
ΔY =Y -Y u=
Do đó chuỗi
t
ΔY
là dừng vì
t
u
là nhiễu trắng.
Gọi
∆
là toán tử sai phân, sai phân cấp I:
t t t-1
ΔY =Y -Y
Sai phân cấp II:
2
t t t t-1 t-2
Δ(ΔY )=Δ (Y )=Y -2Y +Y

Sai phân cấp m:
1
t
Δ(Δ Y )
m−
t
Y
được gọi là liên kết bậc một nếu
t
ΔY
là chuỗi dừng, ký hiệu là I(1).
t
Y
có sai phân cấp II, được gọi là là liên kết bậc hai nếu
2
t
Δ (Y )
là chuỗi dừng,
ký hiệu là I(2).
t
Y
có sai phân cấp d, được gọi là dừng nếu
t
Δ (Y )
d
là dừng, ký hiệu là
I(d).
Nếu như d=0 thì
t
Y

là chuỗi dừng. Do đó chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ
“chuỗi dừng” và I(0) là tương đương với nhau.
Để tìm ra chuỗi
t
Y
là không dừng thì hoặc là chúng ta sẽ ước lượng
t t-1 t
Y =ρY +u
hoặc
t t t-1 t-1 t
ΔY =Y -Y =(ρ-1)Y +u
và kiểm định giả thiết
0
H : =0
δ
. Trong
cả hai mô hình này đều không dùng dược tiêu chuẩn T (Student-test) ngay
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
22
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
trong trường hợp mẫu lớn. Dickey- Fuller (DF) đã đưa ra tiêu chuẩn kiểm
định sau:
0
H :ρ=1
(Chuỗi là không dừng)
1
H :ρ<1
( Chuỗi dừng)
Ta ước lượng mô hình
t t-1 t

Y =ρY +u
,
τ=ρ/Se(ρ)
$ $
có phân bố DF. Nếu như
τ=ρ/Se(ρ)
α
τ
>
$ $
thì bác bỏ
0
H
. Trong trường hợp này chuỗi là chuỗi dừng.
Tiêu chuẩn DF được áp dụng cho các mô hình sau đây:
t t-1 t
ΔY =δY +u
(2.11)
t 1 t-1 t
ΔY =β +δY +u
(2.12)
t 1 2 t-1 t
ΔY =β +β t+δY +u
(2.13)
Đối với các mô hình trên
0
H : =0
δ
(Chuỗi không dừng- hay có nghiệm
đơn vị). Nếu các

t
u
lại tự tương quan, thì cải biên mô hình
t 1 2 t-1 t
ΔY =β +β t+δY +u
t 1 2 1 t-1
1
ΔY ΔY
m
t i t
i
t Y
β β δ α ε
−
=
= + + + +
∑
(2.14)
Tiêu chuẩn DF áp dụng cho mô hình trên được gọi là tiêu chuẩn ADF
(augumented Dickey – Fuller).
Ta sử dụng phương pháp kiểm định nghiệm đơn vị để kiểm tra tính
dừng của chuỗi giá vàng. Ta có bảng sau:
Bảng 2.3: Bảng kiểm đ ịnh tra tính dừng của chuỗi giá vàng
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
23
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
Ta có :
qs 0.05
τ = -2.154 2.8688
τ

=p
do đó chuỗi giá vàng dữ liệu theo
ngày là không dừng. Ta tiếp tục tiến hành kiểm định đối với chuỗi sai phân
của giá vàng theo ngày.
Bảng 2.4: B ảng kiểm tra tính dừng của chuỗi sai phân bậc một
của giá vàng
Do đó có thể coi chuỗi sai phân bậc 1 của giá vàng theo ngày là chuỗi
dừng với mức ý nghĩa 5%.
2.1.5 Mô hình ARIMA
Ở trên đã bàn luận đến tính chất quan trọng của chuỗi dừng. Chương
này sẽ đề cập đến hai vấn đề: (1) Làm thế nào để đưa ra một chuỗi không
dừng thành chuỗi dừng? (2) Sử dụng các mô hình để dự báo như thế nào?
Cho đến nay người ta đã đưa ra bốn phương pháp dự báo: (1) dự báo
dựa trên mô hình hồi quy một phương trình; (2) dự báo dựa trên mô hình
nhiều phương trình; (3) dự báo dựa trên mô hình trung bình trượt, đồng liên
kết, tự hồi quy ARIMA (autoregresssive models).
Khi dự báo dựa trên mô hình một phương trình, trước hết cần dự báo
các biến độc lập và sau đó dự báo biến phụ thuộc. Dự báo như vậy sai số sẽ
tăng nhanh khi dự báo quá xa trong tương lai.
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47
24
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP KHOA TOÁN KINH TẾ
Phương pháp phân tích chuỗi thời gian do G.P.E. Box và G.M.Jenkins
đề xuất đã mở ra một trang mới trong các công cụ dự báo. Phương pháp
BJ(Box – Jenkins) - về kỹ thuật gọi là phương pháp ARIMA, không dựa trên
một hoặc nhiều phương trình mà dựa trên bản chất của chuỗi thời gian. Chuỗi
thời gian có thể giải thích bằng hành vi ở hiện tại, trong qua khứ, các trễ và
yếu tố ngẫu nhiên. Mô hình ARIMA đôi khi được gọi là mô hình lý thuyết vì
nó không xuất phát từ bất kỳ mô hình lý thuyết nào
2.1.5.1 Quá trình tự hồi quy AR(p)

Quá trình tự hồi quy bậc p có dạng như sau:
t 1 t-1 2 t-2 t-p
Y Y Y Y
p t
u
φ φ φ φ
= + + + +
Trong đó
t
u
là nhiễu trắng.
Điều kiện để quá trình AR(p) dừng là
1 1, i=1,2, p
i
φ
− < <
2.1.5.2 Quá trình trung bình trượt MA
Quá trình MA(q) là quá trình có dạng:
1 1
Y
t t t p t p
u u u
θ θ
− −
= + +
, t=1,2,…n trong đó u là nhiễu trắng.
Điều kiện đê chuỗi dừng là:
1 1
i
θ

− < <
2.1.5.3 Quá trình trung bình trượt và tự hồi quy ARAMA
Cơ chế để sản sinh ra Y không chỉ là AR hoặc MA mà có thể kết hợp
cả hai vì yếu tố này. Khi kết hợp cả hai yếu tố chúng ta có quá trình gọi là quá
trình trung bình trượt và tự hồi quy
Y
t
là quá trình ARMA(1,1) nếu Y có thể
biểu diễn dưới dạng:
1 0 1 1
Y Y
t t t t t
u u u
φ θ θ
− −
= + + +
u-nhiễu trắng.
Tổng quát,
Y
t
là quá trình ARMA(p,q; nếu Y có thể biểu diễn dưới
dạng):
1 1 2 2 0 1 1
Y
t t t p t p t t q t q
Y Y Y u u u
θ φ φ φ θ θ θ
− − − − −
= + + + + + + +
NGUYỄN THỊ KIỀU TOÁN TÀI CHÍNH 47

25