(THCS) hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình toán 7

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Hội đồng sáng kiến huyện ..............
Tơi ghi tên dưới đây:
Số
TT

1

Họ và tên

..............

Ngày tháng
năm sinh

Nơi cơng tác

Chức
danh

Trình độ
chun
mơn

Trường

Giáo

Đại học

THCS ..............

viên

Tốn

Tỷ lệ (%)
đóng góp
vào việc tạo
ra sáng kiến
100%

Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh giải một
số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình tốn 7”
1. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: ..............
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Lĩnh vực áp dụng: Mơn Tốn lớp 7 cấp Trung học cơ sở
- Vấn đề mà sáng kiến giải quyết: Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán
về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình tốn 7.
3. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu:
Năm học 2017-2018, năm học 2018-2019.
4. Mô tả bản chất của sáng kiến:
Trong thời điểm hiện nay, chúng ta đang nỗ lực xây dựng một xã hội văn
minh hiện đại. Muốn vậy con người phải có tri thức. Chính vì vậy Đảng ta đã xác
định “Giáo dục là quốc sách hàng đầu”. Trong những năm gần đây, Đảng và nhà
nước đã luôn quan tâm đến giáo dục, từng bước có những cải cách giáo dục từ bậc
mầm non đến đại học và sau đại học nhằm đưa nền giáo dục nước nhà phát triển
ngang tầm khu vực. Trong chương trình giáo dục phổ thơng, mơn tốn là môn học
quan trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thơng của con

1


người mới. Mơn tốn có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí
tuệ chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.
Để giúp học sinh cấp THCS học tốt mơn tốn thì điều cần thiết với người
thầy giáo là trang bị cho các em một khối lượng kiến thức đầy đủ, vững chắc một
cách có hệ thống, khoa học và đồng thời điều tra chất lượng học tập mơn tốn của
học sinh. Từ đó tìm ra ngun nhân thành cơng hay thất bại khi dạy học tốn và rút
ra một số biện pháp khắc phục những tồn tại nhằm nâng cao chất lượng học tập của
học sinh. Cụ thể là với đối tượng học sinh lớp 7. Đó là điều mà tơi muốn viết sáng
kiến này: “Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số
bằng nhau trong chương trình toán 7”
4.1. Thực trạng trước khi thực hiện sáng kiến
4.1.1 Thuận lợi:
Trường THCS .............. nơi tôi công tác là trường đã đạt chuẩn Quốc gia, có
cơ sở vật chất tương đối đầy đủ phục vụ cho việc giảng dạy và học tập. Ban giám
hiệu năng động, tâm huyết với nghề, quan tâm sát sao đến chất lượng dạy và học
của nhà trường, đội ngũ giáo viên có trình độ chun môn vững vàng, phụ huynh
học sinh đa số quan tâm đến việc học tập của con em mình, các em học sinh phần
đơng ham học hỏi, mỗi lớp đều có học sinh khá, giỏi.
4.1.2. Khó khăn:
Trước khi thực hiện sáng kiến, qua thực tế giảng dạy, bồi dưỡng cũng như qua
việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 7 Trường
THCS .............. và tham khảo ý kiến đồng nghiệp cùng giảng dạy các em, tôi nhận
thấy việc giải các dạng toán liên quan đến tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau của học
sinh cịn gặp nhiều khó khăn, có nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được,
chưa biết phân dạng các bài toán và chưa đưa ra được phương pháp giải cho từng
dạng tốn, chưa có kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán
cụ thể, nhiều em cịn sợ và ngại học mơn Tốn.

Khi chưa áp dụng sáng kiến, tơi tiến hành khảo sát tồn bộ học sinh ở hai
lớp 7A và 7C năm học 2017-2018 trường THCS .............. với một số dạng bài tập
như sau:
2


Câu 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ các số sau: 3 ; 9 ; 27 ; 81
x

−2

Câu 2: Tìm x trong tỉ lệ thức: 27 = 3, 6
Câu 3: Tìm x, y, z biết:

x
y
z
=
=
và x + y − z = 21
15 20 28

Câu 4: Chứng minh rằng: Nếu

a c
a+b c+d
= ≠ 1 thì
=
với a, b, c, d ≠ 0
b d

a −b c −d

Câu 5: Trường có ba lớp 7, biết
7B và bằng

2
3
có số học sinh lớp 7A bằng số học sinh
3
4

4
số học sinh 7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của 2
5

lớp 7A và 7B là 57 bạn. Tính số học sinh của mỗi lớp?
Kết quả cho thấy:
Đa số các em chưa nhận biết được các dạng bài tập nên việc giải bài tập còn
lúng túng, chưa linh hoạt, một số em biết vận dụng nhưng lại sai sót trong cách
trình bày lời giải, một số bài tốn nâng cao thì chưa biết cách giải hoặc giải chưa
chính xác. Kết quả cụ thể:
Tổng
số
67

Điểm giỏi
SL
%
2
3%

Điểm Khá
SL
%
13
19,4%

Điểm TB
SL
%
31
46,3%

Điểm Yếu - Kém
SL
%
21
31,3%

Từ thực trạng trên, tôi nhận thấy cần đưa ra giải pháp giúp học sinh lớp 7 tháo
gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc khi giải các bài toán về tỉ lệ thức
và dãy tỉ số bằng nhau, từ đó có phương pháp học tập tốt hơn, giúp học sinh khơng
cịn cảm thấy sợ và ngại học mơn Tốn, do đó tơi chọn sáng kiến: “Hướng dẫn
học sinh giải một số dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong chương
trình tốn 7”.
4.2. Giải pháp:
4.2.1. Tính mới:
Nội dung kiến thức về "Tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau" được học ở
chương trình Tốn lớp 7 với thời lượng 4 tiết, nó có rất nhiều bài tập và được ứng
dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chương trình đại số lớp 7 cũng như ở các

3


lớp trên. Vì vậy học sinh phải hiểu rõ và vận dụng nhuần nhuyễn các tính chất của
tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào bài tập là vấn đề rất quan trọng. Tuy nhiên
trong sách giáo khoa, sách bài tập và một số sách nâng cao mới chỉ đưa ra kiến
thức về mặt lí thuyết và một số bài tập cụ thể chứ không thực hiện phân dạng và
đưa ra phương pháp giải cho từng dạng, cho từng đối tượng học sinh. Vì vậy trong
sáng kiến này tôi đưa ra một số giải pháp mới như sau:
- Thực hiện việc phân dạng và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng bài tập.
- Phân loại bài tập cho từng đối tượng học sinh:
+ Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản qua một số bài tập
đơn giản trong các dạng toán: Lập tỉ lệ thức, tìm ẩn trong tỉ lệ thức, bài tốn thực
tế.

+ Đối với học sinh trung bình: Vận dụng và phát triển kỹ năng giải các dạng
toán nêu trên nhưng ở mức độ cao hơn.

+ Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy thông qua các bài tập nâng cao
hơn, đa dạng hơn và bổ sung dạng toán chứng minh dựa trên tính chất của tỉ lệ
thức và dãy tỉ số bằng nhau.
- Sắp xếp các bài toán theo mức độ từ dễ đến khó.
- Đưa ra bài tập áp dụng tương tự cho mỗi dạng toán.
- Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán.
Khi học chuyên đề này học sinh tiếp thu rất thích thú. Các ví dụ đa dạng, có
nhiều bài tập vận dụng tương tự nên giúp cho học sinh biết cách vận dụng các kiến
thức về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau vào các dạng tốn cụ thể. Điều đó giúp
các em phát triển tư duy linh hoạt, tạo tiền đề để các em tự tin trong việc chiếm
lĩnh kho tri thức của nhân loại. Hình thành cho học sinh khả năng tự học, sự đam mê,
tính hiếu kì, tự đi tìm và tự lí giải kiến thức, chấm dứt sự nhồi nhét kiến thức, nhớ

máy móc thụ động, từ đó giúp các em cảm thấy u thích mơn Tốn hơn, khơng cịn
cảm thấy sợ và ngại học Tốn, các em tích cực, chủ động hơn trong học tập. Học
sinh giỏi có sự say mê tự tìm hiểu những bài tốn nâng cao hơn để tự thực hành,
học sinh trung bình, yếu tự giải được những bài tập trong sách giáo khoa.
4.2.2. Tính khoa học:
4


Sáng kiến được viết trên cơ sở khoa học, bám sát định hướng của Bộ Giáo
dục và Đào tạo về chương trình giáo dục phổ thơng hiện hành theo định hướng
phát triển năng lực và phẩm chất học sinh, đổi mới phương pháp, hình thức tổ chức
dạy học.
Nội dung của sáng kiến được viết dựa trên cơ sở các kiến thức trọng tâm
trong chương trình học, ln bám sát các nguồn tư liệu như sách giáo khoa, sách
giáo viên, sách bài tập và các sách tham khảo khác.
Trong sáng kiến, bài tập được phân chia theo từng dạng, có hệ thống logic,
khoa học, trình bày theo mức độ vận dụng từ dễ đến khó, phù hợp với trình độ của
từng đối tượng học sinh, tạo điều kiện để tư duy phát triển, rèn luyện cho học sinh
đức tính cẩn thận, kiên trì, tích cực, chủ động trong lao động và học tập, tính năng
động, sáng tạo khi xử lí các vấn đề đặt ra. Mặt khác, rèn luyện cho học sinh tính
chính xác của khoa học và nâng cao lịng u thích mơn học.
4.2.3. Tính thực tiễn:
Để bắt kịp được với xu hướng phát triển của thế giới thì con người trong xã
hội ngày nay phải có năng lực, có trình độ, có tri thức khoa học đồng thời phải
năng động, sáng tạo, tích cực, chủ động trong mọi việc. Vì vậy việc rèn luyện cho
học sinh trở thành một người có kiến thức vững chắc, ln tích cực, chủ động,
sáng tạo, làm việc khoa học là nhiệm vụ mà mỗi giáo viên nói chung và giáo viên
dạy bộ mơn Tốn nói riêng phải làm. Do đó sáng kiến này được viết với nội dung
cơ bản là phù hợp với nhu cầu của thực tiễn đặt ra ở trên.
4.2.4. Một số dạng toán cơ bản thường gặp về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng

nhau:
Một số lưu ý khi dạy học dạng toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau
Để thực hiện tốt kĩ năng giải các dạng toán, trong thực hành giải toán, giáo
viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản sau:
+ Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi ở các lớp 6, 7.
+ Ngay từ đầu chương trình Đại số 7 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học sinh
nhớ và thực hiện được các phép tính trên số thực, có các kỹ năng biến đổi biểu
thức một cách linh hoạt.
5


+ Khi gặp các dạng toán, học sinh cần quan sát đặc điểm của bài toán, nhận
dạng bài toán, chọn lựa phương pháp giải thích hợp với bài tốn, cẩn thận trong khi
thực hiện các phép biến đổi, sau mỗi bước giải phải có sự kiểm tra, đánh giá bài
tốn chính xác theo một trình tự nhất định.
4.2.4.1. Lý thuyết cơ bản :
* Khái niệm tỉ lệ thức:
a c
= .
b d

- Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
* Tính chất của tỉ lệ thức:
Tính chất 1: Nếu

a c
= thì ad = bc.
b d

Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

a c a b d c d b
= , = , = , = .
b d c d b a c a

* Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức

a c
a c a +c a −c
= suy ra = =
=
, (b ≠ ± d).
b d
b d b+d b−d
a

c

e

Tính chất 2: Từ dãy tỉ số bằng nhau b = d = f ta suy ra :
a c e a +c+e a −c+e
= = =
=
b d f b+d+f b−d+f
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
Tính chất 3: Nếu x, y, z tỉ lệ với a, b, c thì ta có:

x y z
= = .

a b c

4.2.4.2. Một số dạng toán thường gặp về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau và
phương pháp giải:
Dạng 1: Lập tỉ lệ thức từ các số đã cho
* Phương pháp chung: Từ các số đã cho lựa chọn các số thích hợp sao cho lập
được đẳng thức ad = bc, sau đó lập các tỉ lệ thức.
Ví dụ 1. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ các số sau: 3 ; 9 ; 27; 81
Hướng dẫn: Lập tích từ các số đã cho dạng ad = bc, sau đó viết các tỉ lệ thức.
Chú ý hai thừa số ở một vế của đẳng thức sẽ nằm ở vị trí chéo nhau trong tỉ lệ thức.
6


Giải
Ta có 3.81 = 9.27
Các tỉ lệ thức lập được là :
3 27 3
9 81 27 81 9
= ;
= ; = ;
=
9 81 27 81 9
3 27 3

Ví dụ 2. Hãy lập tất cả các tỉ lệ thức từ 4 trong 5 số sau đây: 4 ; 16 ; 64 ; 256 ;
1024
Giải
Ta có ba đẳng thức: 4. 1024 = 16. 256 ; 16.1024 = 64. 256 ; 4.256 = 16.64
Các tỉ lệ thức lập được là:
4

256 4
16 1024 256 1024 16
=
;
=
;
=
;
= ;
16 1024 256 1024 16
4 256
4
16 256 16
64 1024 256 1024 64
=
;
=
;
=
;
= ;
64 1024 256 1024 64
16 256 16
4
64 4
16 256 64 256 16
=
; =
;
= ;

= .
16 256 64 256 16
4 64
4

* Bài tập vận dụng:
Bài 1. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ các số sau: 7 ; 49 ; 343 ; 2401.
Bài 2. Hãy lập tất cả các tỉ lệ thức từ 4 trong 5 số sau đây: 1 ; 5 ; 25 ; 125 ; 625
Dạng 2: Tìm ẩn (x, y, z , ...) trong tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau :
* Phương pháp chung: Dựa vào tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau
để biến đổi một cách linh hoạt nhằm giải quyết bài tốn.
Ví dụ 1. Tìm x trong tỉ lệ thức:
x

−2

a) 27 = 3, 6

b) - 0,52 : x = -9,36 : 16,38

Đây là bài toán đơn giản, phần lớn học sinh đều có khả năng làm được. Tuy
nhiên với học sinh yếu, kém thì kỹ năng tính tốn của các em nhiều khi cịn gặp
lúng túng, nhất là các phép tính có chứa số âm. Học sinh cần vận dụng được dạng
tốn đã biết là tìm thừa số chưa biết của một tích.
Giải
x

−2

a) 27 = 3, 6 ⇒ x.3,6 = 27.(-2)

7


⇒ x.3,6 = -54
⇒ x=

54 : 3,6

⇒ x = -15

b) - 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
⇒ x.(-9,36) = (- 0,52).16,38
⇒ x=

( −0,52 ) . 16,38 = 0,91
−9,36

Ví dụ 2. Tìm ba số x, y, z biết

x y z
= = và x + y - z = 45
9 11 5

Đây là bài toán cơ bản, dễ làm, vận dụng trực tiếp tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải.
Giải
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x y z x + y − z 45
= = =
=

=3
9 11 5 9 + 11 − 5 15
⇒ x = 3.9 = 27; y = 3.11 = 33; z = 3.5 = 15

Ví dụ 3. Tìm x, y, z biết:

x y z
= = và 5 x + y − 2 z = 28
10 6 21

Hướng dẫn: Giả thiết cho 5 x + y − 2 z = 28 . Làm như thế nào để sử dụng hiệu quả
giả thiết trên? Để làm xuất hiện 5x, 2z như giả thiết bài toán cho ta sẽ nhân cả tử
và mẫu của mỗi tỉ số trong dãy với số thích hợp.
Giải:
x y z 5 x y 2 z 5 x + y − 2 z 28
= =
=
= =
=
=
=2
10 6 21 50 6 42 50 + 6 − 42 14
⇒ x = 2.10 = 20; y = 2.6 = 12; z = 2.21 = 42

Ví dụ 4. Cho tỉ lệ thức

x y
= và xy = 90 Tìm x và y?
2 5

* Phương pháp chung : Đặt tỉ số bằng k, biểu diễn x và y theo k rồi tìm k dựa
vào yếu tố đề bài cho biết. Sau đó tìm x và y.
Cần tránh sai lầm:

x y xy
= =
2 5 2.5

Giải
8


Đặt

x y
= = k ⇒ x = 2k và y = 5k
2 5

Vì xy = 90 ⇒ 2k.5k = 90 ⇒ 10k2 = 90 ⇒ k2 = 9 ⇒ k = 3 hoặc k = -3
Từ đó suy ra: x = 6; y = 15 hoặc x = -6; y = -15
Cịn có thể hướng dẫn học sinh giải theo cách khác :
Hiển nhiên x ≠ 0 .
Nhân cả hai vế của
Nên

x y
x 2 xy
= với x, ta có
=
2 5

2
5

x 2 90
=
= 18 ⇒ x 2 = 36 ⇒ x = ±6
2
5

Từ đó suy ra: x = 6; y =15 hoặc x = -6; y = -15
Ví dụ 5. Tìm x, y, z biết rằng:

x y z
= = và xyz = 810
2 3 5

* Phương pháp chung: Lập tích ba tỉ số, tích đó bằng lập phương của một tỉ
số.
Giải:
3

x y z
xyz 810
x
= = ⇒ ÷ =
=
= 27
2 3 5  2  2.3.5 30
x3
⇒

= 27
8
⇒ x 3 = 8.27 = 216
⇒x=6

Thay x vào dãy tỉ số ban đầu ⇒ y = 9; z = 15
5x − y

7

x

Ví dụ 6. Cho tỉ lệ thức x + y = 5 . Giá trị của y bằng bao nhiêu ?
* Phương pháp chung : Dựa vào tính chất của tỉ lệ thức, lập tích chéo, biến đổi
về dạng ax = by.
Giải
Từ tỉ lệ thức đã cho ta có : 5.(5x - y) = 7(x + y)
25x - 5y = 7x + 7y
25x - 7x = 7y + 5y
18x = 12y
9


⇒

x 2
=
y 3

Ví dụ 7. Cho tỉ lệ thức

3x − 1 3 − 6 x
=
. Tìm x?
5 − x 2x + 3

* Phương pháp chung: Dựa vào tính chất của tỉ lệ thức để lập tích chéo, thực
hiện phép tính ở hai vế, thu gọn rồi tìm x.
Giải
Từ tỉ lệ thức

3x − 1 3 − 6 x
=
5 − x 2x + 3

Suy ra: (3x - 1)(2x + 3) = (5 - x)(3 - 6x)
3x.2x + 3x.3 - 1.2x - 1.3 = 5.3 - 5.6x - x.3 + x.6x
6x2 + 7x - 3 = 6x2 - 33x + 15
40x = 18 ⇒ x = 0,45
Ví dụ 8. Biết

x y
= và x 2 − y 2 = 4 . Tìm x, y > 0 ?
5 3

Hướng dẫn: Làm thế nào để xuất hiện x2 và y2? Bình phương hai vế của tỉ lệ
thức sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Giải
2

2

x y
4 1
x
y
x2 y 2 x2 − y 2
⇒  ÷ =  ÷
⇒
=
=
=
=
=
5 3
25 9
25 − 9 16 4
5  3

Vì x, y > 0 nên suy ra x =

5
3
và y =
2
2

Ví dụ 9. Tìm các số a1, a2, …a9 biết:
a −9
a1 − 1 a 2 − 2

=
= ... = 9
và a1 + a 2 + ... + a 9 = 90
9
8
1

Giải :
Ta có:

a − 9 ( a1 + a 2 + ... + a 9 ) − ( 1 + 2 + ... + 9 ) 90 − 45
a1 − 1 a 2 − 2
=
= ... = 9
=
=
=1
9
8
1
9 + 8 + ... + 1
45

Suy ra : a1 = a2 = a3 = ... = a9 = 10
Ví dụ 10. Ba phân số tối giản có tổng bằng −3

7
. Tử của chúng tỉ lệ với 2; 3;
60

5, mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 4; 6. Tìm ba phân số đó ?
Giải
10


Gọi ba phân số cần tìm lần lượt là

x y z
; ;
a b c

Vì tử của chúng tỉ lệ với 2; 3; 5 và mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 4; 6 nên ta có :
x y z
x y z
a b c
= = và = = ⇒ 2 = 3 = 5
a b c
2 3 5
5 4 6
5 4 6
x y z x y z −187
+ +
a
b
c
a
b c = 60 = −11
⇒ = = =
2 3 5 2 3 5
119

7
+ +
5 4 6 5 4 6
60
⇒

x −11 2 −22 y −11 3 −33 z −11 5 −55
=
. =
. =
. =
; =
; =
a
7 5 35 b
7 4 28 c
7 6 42

Vậy ba phân số cần tìm là :

−22 −33 −55
;
;
35
28
42

Ví dụ 11. Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỉ số giữa số thứ 1
và số thứ 2 là

2
4
; giữa số thứ 1 và số thứ 3 là . Tìm 3 số đó?
3
9

Giải:
Gọi ba số là x ; y ; z. Theo bài ra ta có:
x 3 + y 3 + z 3 = −1009
x 2
x y
x y
= ⇒ = ⇒ =
y 3
2 3
4 6
x 4
x z
= ⇒ =
z 9
4 9
x y z
= = =k
4 6 9
⇒ x = 4 k ; y = 6k ; z = 9k
⇒

⇒ x 3 + y 3 + z 3 = ( 4k ) + ( 6k ) + ( 9k ) = 64k 3 + 216k 3 + 729k 3 = 1009k 3 = −1009
3

3

3

⇒ k 3 = −1 ⇒ k = −1
⇒ x = 4.( −1) = −4
y = 6.(−1) = −6
z = 9.( −1) = −9

Vậy ba số cần tìm là: - 4 ; - 6 ; - 9
* Bài tập vận dụng:
11


Bài 1. Tìm x trong tỉ lệ thức: a)
Bài 2. Tìm x, y, z biết:
Bài 3. Cho tỉ lệ thức

5
: x = 20 : 3 ;
6

4
8
b) 3 : 40 = 0, 25 : x
5
15

x
y

z
=
=
và 2 x + 3 y − z = 186
15 20 28

x y
= và xy = 112. Tìm x và y ?
4 7

Bài 4. Tìm x, y, z biết rằng:
3x − y

x y z
= = và xyz = 20
12 9 5
1

x

Bài 5. Cho tỉ lệ thức x + y = 2 . Giá trị của y bằng bao nhiêu ?
Bài 6. Cho tỉ lệ thức
Bài 7. Biết

x−2 x+4
=
. Tìm x ?
x −1 x + 7

x y

= và x 2 − y 2 = 405 . Tìm x, y > 0 ?
7 2

Bài 8. Tìm các số a1, a2, …,a10 biết:
a − 10
a1 − 1 a 2 − 2
=
= ... = 10
và a1 + a 2 + ... + a10 = 110
10
9
1

Bài 9. Tìm hai phân số tối giản biết hiệu của chúng là

3
, các tử tỉ lệ với 3
196

và 5; các mẫu tương ứng tỉ lệ với 4 và 7.
Bài 10. Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là 701. Biết tỉ số giữa số thứ 1 và
số thứ 2 là

4
1
; giữa số thứ 1 và số thứ 3 là . Tìm 3 số đó?
5
2

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức:

* Phương pháp chung: Dựa vào tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau
để biến đổi một cách linh hoạt nhằm giải quyết u cầu bài tốn.
Ví dụ 1. Cho

a c
= ( a, b, c, d ≠ 0, a ≠ b, c ≠ d).
b d

Chứng minh rằng:

a −b c −d
=
a
c

Hướng dẫn: Ta có thể hốn vị các trung tỉ của tỉ lệ thức đã cho, dùng tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau. Cuối cùng lại hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức mới
được tạo ra để đi đến tỉ lệ thức phải chứng minh. Hoặc cách giải khác là chứng

12


minh hai tỉ số ở hai vế của tỉ lệ thức

a −b c −d
=
cùng bằng một tỉ số thứ ba bằng
a
c

cách đặt giá trị chung của các tỉ số ở tỉ lệ thức đã cho là k, từ đó tính giá trị của mỗi
tỉ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
Giải
Cách 1:

a c
a b a −b
a−b c−d
=
⇒ = =
⇒
=
(ĐPCM)
b d
c d c−d
a
c

Cách 2: Đặt
Thế thì

a c
= = k ⇒ a = kb; c = kd
b d

a − b kb − b b(k − 1) k − 1
=
=
=
a

kb
kb
k

( 1)

c − d kd − d d (k − 1) k − 1
=
=
=
c
kd
kd
k

( 2)

Từ (1) và (2) suy ra

a −b c −d
=
(ĐPCM)
a
c

Ví dụ 2. Cho tỉ lệ thức

a c
ac a 2 + c 2
= . Chứng minh rằng:

=
b d
bd b 2 + d 2

Hướng dẫn: Làm thế nào để xuất hiện được a 2 , b2 , c 2 , d 2 , ac, bd ? Ta bình
phương hai vế của tỉ lệ thức đã cho, từ đó biến đổi để được tỉ lệ thức cần chứng
minh.
Giải
a c
a 2 c 2 ac a 2 + c 2
=
⇒ 2 = 2 =
=
(ĐPCM)
b d
b
d
bd b 2 + d 2

Ví dụ 3. Chứng minh rằng: Nếu

a c
a+b c+d
= ≠ 1 thì
=
với a, b, c, d ≠ 0
b d
a −b c −d

Hướng dẫn: Để làm xuất hiện a + b; a − b; c + d ; c − d em làm như thế nào? Ta

hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức đã cho, dùng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Cuối cùng lại hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức mới được tạo ra để đi đến tỉ lệ thức
phải chứng minh. Hoặc cách làm khác là ta cộng, trừ hai vế của tỉ lệ thức với 1 rồi
áp dụng tính chất của tỉ lệ thức biến đổi tiếp.
Giải
Cách 1:

a c
a b a +b a −b
a+b c+d
= ⇒ = =
=
⇒
=
(ĐPCM)
b d
c d c+d c−d
a−b c−d
13


Cách 2: Với a, b, c, d ≠ 0 ta có:
a c
a
c
a +b c+d
a+b b
= ⇒ +1 = +1 ⇒
=
⇒

= (1)
b d
b
d
b
d
c+d d
a c
a
c
a −b c −d
a −b b
= ⇒ −1 = −1 ⇒
=
⇒
= (2)
b d
b
d
b
d
c−d d

Từ (1) và (2) ⇒

a +b a −b
a+b c+d
=
⇒
=

(ĐPCM)
c+d c−d
a −b c −d

Ví dụ 4. Chứng minh rằng: Nếu

a c
5a + 3b 5c + 3d
= thì
=
b d
5a − 3b 5c − 3d

Hướng dẫn:
- Nhận xét điều phải chứng minh?
- Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
- Ví dụ 3 gợi ý gì cho ví dụ 4?
Giải:
Từ

a c
a b
5a 3b 5a + 3b 5a − 3b
5a + 3b 5c + 3d
= ⇒ = ⇒
=
=
=
⇒
=

b d
c d
5c 3d 5c + 3d 5c − 3d
5a − 3b 5c − 3d

Ví dụ 5. Chứng minh rằng: Nếu a 2 = bc thì

a+b c+a
=
điều đảo lại có đúng hay
a −b c −a

khơng?
Hướng dẫn: Từ đẳng thức đã cho lập tỉ lệ thức, sử dụng tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau để biến đổi.
Giải:
a
c

b
a

Ta có: a 2 = bc ⇒ = =

a +b a −b
a +b c+a
=
⇒
=
c+a c−a

a −b c −a

Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy:
a+b c+a
=
⇒ ( a + b) ( c − a) = ( a − b) ( c + a )
a −b c −a
ac − a 2 + bc − ab = ac + a 2 − bc − ab ⇒ 2bc = 2a 2 ⇒ a 2 = bc

Ví dụ 6. Chứng minh rằng: Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b + d) (2)
với b; d ≠ 0 thì

a c
= .
b d

Hướng dẫn: Thay 2b = a + c vào (2) hoặc nhân cả hai vế của (1) với d rồi biến
đổi tiếp.
14


Giải:
Cách 1: Thay 2b = a + c vào (2) ta được: (a + c)d = c(b + d)
⇒ ad + cd = cb + cd ⇒ ad = cb ⇒

a c
=
b d

(ĐPCM)

Cách 2: Ta có: a + c = 2b ⇒ ( a + c ) d = 2bd ( 3)
a
b

Từ (2) và (3) ⇒ c ( b + d ) = ( a + c ) d ⇒ cb + cd = ad + cd ⇒ cb = ad ⇒ =

c
(ĐPCM)
d

* Bài tập vận dụng:
a
b

Bài 1. Cho =

c
a
c
≠ 1 ( a, b, c, d ≠ 0). Chứng minh rằng:
=
d
a −b c −d

Bài 2. Cho tỉ lệ thức

a c
a 2 + b 2 ab
= . Chứng minh rằng: 2

=
b d
c + d 2 cd

Bài 3. Chứng minh rằng: Nếu

a c
2a + 5b 5c + 2d
= thì
=
b d
2a − 5b 5c − 2d

Bài 4. Cho b 2 = ac . Chứng minh rằng:

a 2 + b2 a
=
b2 + c2 c

2
2
2
2
Bài 5. Cho a + d = b + c và a + d = b + c ( b, d ≠ 0 ) . Chứng minh rằng bốn

số a, b, c, d có thể lập thành một tỉ lệ thức.
Dạng 4: Các bài toán thực tế, toán đố
* Phương pháp chung: Gọi các yếu tố cần tìm, hoặc các yếu tố chưa biết cùng
loại của bài toán là x, y, z,…Dựa vào dữ liệu bài toán cho biết biến đổi linh hoạt
theo dãy tỉ số bằng nhau để tìm được lời giải.

Ví dụ 1. Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2; 4; 5.
Tính số viên bi của mỗi bạn, biết rằng ba bạn có tất cả 44 viên bi.
Giải
Gọi số bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng lần lượt là x; y; z (viên) (x; y; z Є N*)
Theo bài ra ta có:

x y z
= = và x + y + z = 44
2 4 5

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x y z x + y + z 44
= = =
=
=4
2 4 5 2 + 4 + 5 11
⇒ x = 4.2 = 8; y = 4.4 = 16; z = 4.5 = 20
15


Vậy số bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng lần lượt là : 8; 16; 20 (viên)
Ví dụ 2. Ba đội A, B, C có tất cả 130 người đi trồng cây. Biết rằng số cây mỗi
người đội A, B, C trồng được theo thứ tự là 2; 3; 4 cây. Biết số cây mỗi đội trồng
được như nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu người đi trồng cây?
Hướng dẫn:
- Gọi số người của mỗi đội A, B, C lần lượt là x, y, z thì số cây trồng được của
mỗi đội là bao nhiêu? (HS: 2x; 3y; 4z)
- Số cây trồng được của ba đội bằng nhau, ta suy ra điều gì?
(2x = 3y = 4z)
Giải:

Gọi số người đi trồng cây của đội A, B, C lần lượt là: x; y; z (người),
(x; y; z Є N*)
Theo bài ra ta có:
2x = 3y = 4z (1) và x + y + z = 130
x
3

y
2

(1) ⇒ = và

y z
x y z x + y + z 130
= ⇒ = = =
=
= 10 ⇒ x = 60; y = 40; z = 30
4 3
6 4 3 6 + 4 + 3 13

Vậy ba đội A, B, C có số người đi trồng cây theo thứ tự là 60; 40; 30 (người)
Ví dụ 3. Trường có ba lớp 7, biết
7B và bằng

2
3
có số học sinh lớp 7A bằng số học sinh
3
4

4
số học sinh 7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của 2
5

lớp 7A và 7B là 57 bạn. Tính số học sinh của mỗi lớp?
Giải
Gọi số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x; y; z (học sinh) (x; y; z ∈ N*)
Theo bài ra ta có:

2
3
4
x = y = z (1) và x + y - z = 57
3
4
5

Chia các tỉ số của dãy (1) cho 12, rút gọn ta được:
x
y
z
x+ y−z
57
=
= =
=
=3
18 16 15 18 + 16 − 15 19
⇒ x = 54; y = 48; z = 45

Vậy số học sinh các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là: 54; 48; 45 (học sinh)
16


Ví dụ 4. Ba cạnh của một tam giác vng tỉ lệ với 5; 12; 13. Nửa chu vi của
tam giác vng là 15 cm. Tính diện tích tam giác vng?
Hướng dẫn:
- Nửa chu vi được tính như thế nào theo độ dài ba cạnh của tam giác?
- Tính diện tích tam giác vng như thế nào?
Giải
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác vuông lần lượt là a; b; c (cm) (a; b; c > 0)
Theo bài ra ta có:

a b
c
a+b+c
=
=
= 15 ⇒ a + b + c = 30
và
5 12 13
2

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a b
c
a+b+c
30
=
= =

=
=1
5 12 13 5 + 12 + 13 30
⇒ a = 5; b = 12; c =13

Hai cạnh góc vng của tam giác vng là 5 (cm) và 12 (cm)
Vậy diện tích tam giác vng là: (5.12) : 2 = 30 (cm2)
Ví dụ 5. Ba mảnh vườn hình chữ nhật. Biết diện tích mảnh thứ nhất và mảnh
thứ hai tỉ lệ với 4 và 5. Diện tích mảnh thứ hai và mảnh thứ ba tỉ lệ với 7 và 8.
Mảnh thứ nhất và mảnh thứ hai có cùng chiều dài và có tổng chiều rộng là 27m.
Mảnh thứ hai và mảnh thứ ba có cùng chiều rộng. Mảnh thứ ba có chiều dài là 24
m. Hỏi tổng diện tích của ba mảnh vườn là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
- Mảnh thứ nhất và mảnh thứ hai có cùng chiều dài nên chiều rộng của chúng
tỉ lệ với nhau theo tỉ số nào?
- Mảnh thứ hai và mảnh thứ ba có cùng chiều rộng nên chiều dài của chúng tỉ
lệ với nhau theo tỉ số nào?
Giải
Gọi diện tích của ba mảnh vườn lần lượt là S 1; S2; S3 (m2), chiều dài của mảnh
vườn thứ nhất và mảnh thứ hai là x (m) và chiều rộng của mảnh thứ nhất và mảnh
thứ hai lần lượt là a; b (m) (S1; S2; S3; x; a; b > 0)
Theo bài ra ta có:

S
S1 S 2
S
=
(1) ; 2 = 3 (2) và a + b = 27
4
5

7
8
17


Vì mảnh thứ nhất và mảnh thứ hai có cùng chiều dài nên chiều rộng của mảnh
thứ nhất và mảnh thứ hai cũng tỉ lệ với 4 và 5
Do đó:

a b a + b 27
= =
=
= 3 ⇒ a =12 (m); b =15 (m)
4 5 4+5 9

Vì mảnh thứ hai và mảnh thứ ba có cùng chiều rộng nên chiều dài của mảnh
thứ hai và mảnh thứ ba cũng tỉ lệ với 7 và 8
Do đó:

x 24
=
= 3 ⇒ x = 21 (m)
7 8

Diện tích mảnh thứ hai là: S2 = x.b = 21.15 = 315 (m2)
Thay S2 vào (1) và (2) ta tính được: S1 = 252 (m2) và S3 = 360 (m2)
Vậy tổng diện tích ba mảnh vườn là: 252 + 315 + 360 = 927 (m2)
Ví dụ 6. Tìm 3 số tự nhiên, biết rằng BCNN của chúng bằng 2160, tỉ số của
số thứ nhất và số thứ hai là 5:6, tỉ số của số thứ nhất và số thứ ba là 10:9.
Giải

Gọi ba số tự nhiên cần tìm là x; y; z
Theo bài ra ta có:

x y
x z
= và
=
5 6
10 9

x y
x
y
x
y z
⇒
=
=
⇒
=
= =k
5 6
10 12
10 12 9
⇒ x =10k = 2.5.k ; y = 12k = 22.3.k ; z = 9k = 32.k

BCNN(x, y, z) = 22.32.5.k = 180k = 2160 ⇒ k = 12
⇒ x = 10.12 = 120

y = 12.12 = 144

z = 9.12 = 108
Vậy ba số tự nhiên cần tìm là 120; 144; 108
* Bài tập vận dụng:
Bài 1. Ba người thỏa thuận góp vốn để lập cơ sở sản xuất theo tỉ lệ 3; 5; 7.
Hỏi mỗi người góp bao nhiêu, biết rằng số vốn cần huy động là 120 triệu đồng.

18


Bài 2. Ba lớp 7 có tất cả 153 học sinh. Số học sinh lớp 7B bằng
lớp 7A, số học sinh lớp 7C bằng

8
số học sinh
9

17
số học sinh lớp 7B. Tính số học sinh của mỗi
16

lớp.
Bài 3. Ba máy bơm cùng bơm nước vào một bể bơi có dung tích 235 m3 từ lúc
khơng có nước cho đến khi đầy bể. Biết rằng thời gian để bơm được 1 m 3 nước của
máy thứ nhất là 3 phút, máy thứ hai là 4 phút và máy thứ ba là 5 phút. Hỏi mỗi
máy bơm được bao nhiêu nước vào bể?
Bài 4. Diện tích một tam giác bằng 27 cm2. Biết rằng tỉ số giữa một cạnh và
đường cao tương ứng của tam giác bằng 1,5. Tính độ dài cạnh và đường cao nói
trên.
Bài 5. Ba học sinh An, Bình, Cúc có số điểm 10 tỉ lệ với các số 2; 3; 4. Biết
rằng tổng điểm 10 của An và Cúc hơn Bình là 6 điểm 10. Hỏi mỗi em có bao nhiêu

điểm 10?
Bài 6. Tỉ số của hai số bằng 4:5. Nếu thêm 1,2 vào số thứ nhất thì tỉ số của
chúng sẽ bằng 11: 15. Tìm hai số đó.
Bài 7. Tìm một số có ba chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số
của nó tỉ lệ với ba số 1; 2; 3.
Trên đây là một số dạng tốn mà trong q trình giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh tôi đã sưu tầm được. Các dạng toán cơ bản này phần nào đã giúp cho học sinh
định hướng và hình thành các kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán tương tự.
4.3. Khả năng áp dụng của sáng kiến.
Sáng kiến này tôi đã áp dụng tại trường THCS .............. trong năm học
2017- 2018, 2018-2019 đã mang lại nhiều hiệu quả trong việc giảng dạy. Sau khi
áp dụng sáng kiến các em cảm thấy u thích mơn Tốn hơn, khơng cịn cảm thấy
sợ và ngại học Tốn, các em tích cực, chủ động hơn trong việc tự học, tự tìm hiểu
kiến thức. Học sinh giỏi phát triển tư duy linh hoạt, có sự say mê tự tìm hiểu những
bài tốn nâng cao hơn để tự thực hành, học sinh trung bình, yếu tự giải được những
bài tập trong sách giáo khoa.
19


Cụ thể sau khi áp dụng sáng kiến này tôi đã tiến hành khảo sát học sinh với một
bài kiểm tra như sau:
Câu 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ các số sau: 5 ; 25; 125; 625
4
7

Câu 2: Tìm x trong tỉ lệ thức: 3 : 40
Câu 3: Tìm x, y, z biết:
Câu 4: Chứng minh nếu

2

= 0, 2 : x
15

x
y
z
=
=
và 2 x + 3 y − z = 186
15 20 28
a c
7a + 3b 7c + 3d
= thì:
=
b d
7a − 3b 7c − 3d

Câu 5: Ba vòi nước cùng chảy vào một bể có dung tích 15,8 m 3 từ lúc khơng
có nước cho đến khi đầy bể. Biết rằng thời gian để chảy được 1 m 3 nước của vòi
thứ nhất là 3 phút, vòi thứ hai là 5 phút và vòi thứ ba là 8 phút. Hỏi mỗi vòi chảy
được bao nhiêu nước vào bể?
Kết quả như sau:
Tổng
số
67

Điểm giỏi
SL
%
8

11,9%

Điểm Khá
SL
%
23
34,3%

Điểm TB
Điểm Yếu - Kém
SL
%
SL
%
30
44,8%
6
9%

Qua bảng kết quả trên, ta thấy rằng khi được học các phương pháp giải các
bài toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau thì kết quả bài kiểm tra của học sinh
cao hơn hẳn so với khi các em chỉ học kiến thức trong sách giáo khoa, tự tham
khảo sách bài tập và một số sách nâng cao. Số học sinh đạt điểm khá, giỏi tăng, số
học sinh bị điểm dưới trung bình giảm.
Đặc biệt sáng kiến trên có khả năng áp dụng cho các năm học sau, cho những
trường cùng loại hình trong tồn huyện hoặc tồn tỉnh.
5. Những thơng tin cần được bảo mật: Không
6. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Để sáng kiến này có thể áp dụng vào thực tế giảng dạy tại trường
THCS .............. (mở rộng áp dụng cho các trường cùng loại hình trong huyện,

trong tỉnh) thì bản thân giáo viên cần có sự tận tâm với nghề, tích cực trong việc
nghiên cứu, chủ động lựa chọn phương pháp dạy học tích cực, hiệu quả và hợp lý
20


để xây dựng các tiết học hiệu quả cao, tạo hứng thú học tập cho các em từ đó nâng
cao chất lượng giảng dạy.
Giáo viên cần thường xuyên xây dựng các chuyên đề trong việc giảng dạy,
bồi dưỡng học sinh, cần có tính sáng tạo, nâng cao nhưng bám sát chuẩn kiến thức
kĩ năng, các năng lực cần đạt của tiết học, phải phù hợp với tình hình thực tế với
từng đối tượng học sinh.
Bản thân mỗi học sinh phải tự giác, ủng hộ, hợp tác trong quá trình học tập.
Cần có sự phối hợp chặt chẽ, sự tạo điều kiện của phụ huynh học sinh.
Ban giám hiệu, tổ chuyên môn, đồng nghiệp tạo điều kiện tốt nhất, hỗ trợ giáo
viên về tinh thần, cơ sở vật chất, tài liệu, thiết bị,… phục vụ cho việc giảng dạy và
học tập.
7. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
7.1. Theo ý kiến tác giả
Trong khuôn khổ có hạn, các dạng bài nêu trên chưa phản ánh hết được sự
phong phú và đa dạng của các loại toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau. Tuy
nhiên sau khi áp dụng sáng kiến trên vào thực tế giảng dạy tôi và đồng nghiệp nhận
thấy một số kết quả thu được như sau:
* Đối với giáo viên:
- Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng
hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương
pháp giảng dạy hiệu quả.
- Nghiên cứu vấn đề này để biết được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học
phần tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau, từ đó định hướng nâng cao chất lượng dạy
và học mơn tốn.

- Giúp giáo viên có thêm tư liệu tham khảo về dạng toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số
bằng nhau.
- Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng
kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích
học dạng tốn này hơn.
21


- Sáng kiến có thể triển khai phổ biến và áp dụng cho các năm học sau, cho
những trường cùng loại hình trong tồn huyện hoặc tồn tỉnh.
* Đối với học sinh:
Sau khi áp dụng sáng kiến các em cảm thấy u thích mơn Tốn hơn, khơng
cịn cảm thấy sợ và ngại học Tốn, các em tích cực, chủ động hơn trong việc tự
học, tự tìm hiểu kiến thức. Học sinh giỏi phát triển tư duy linh hoạt, có sự say mê
tự tìm hiểu những bài tốn nâng cao hơn để tự thực hành, học sinh trung bình, yếu
tự giải được những bài tập trong sách giáo khoa.
Cụ thể với kết quả bài kiểm tra :
a) Chưa áp dụng sáng kiến:
Tổng
số
67

Điểm giỏi
SL
%
2
3%

Điểm Khá
SL

%
13
19,4%

Điểm TB
SL
%
31
46,3%

Điểm Yếu - Kém
SL
%
21
31,3%

b) Sau khi áp dụng sáng kiến:
Tổng
số
67

Điểm giỏi
SL
%
8
11,9%

Điểm Khá
SL
%

23
34,3%

Điểm TB
Điểm Yếu - Kém
SL
%
SL
%
30
44,8%
6
9%

Qua bảng kết quả trên, ta thấy rằng khi áp dụng sáng kiến thì kết quả bài kiểm
tra của học sinh cao hơn hẳn so với khi chưa áp dụng sáng kiến (khi mà các em chỉ
học kiến thức trong sách giáo khoa, tự tham khảo sách bài tập và một số sách nâng
cao). Số học sinh đạt điểm khá, giỏi tăng, số học sinh bị điểm dưới trung bình
giảm.
7.2. Theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần
đầu, kể cả áp dụng thử:
Giải pháp đưa ra có tính mới, khoa học, thực tiễn, hiệu quả. Áp dụng sáng
kiến này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập bộ môn của học sinh.
Sáng kiến có thể áp dụng cho các năm học sau, cho những trường cùng loại
hình trong tồn huyện hoặc tồn tỉnh.
22


8. Danh sách những người đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng
kiến lần đầu:

8.1. Danh sách giáo viên tham gia giảng dạy:
Số
TT

Họ và tên

Ngày
tháng
năm
sinh

Nơi cơng
tác
Trường
THCS ...........
...
Trường
THCS ...........
...

1
2

Chức
danh

Trình độ
chun
mơn

Giáo
viên

Đại học
Tốn

Giáo
viên

Đại học
Tốn

Nội dung
cơng việc
hỗ trợ
Hợp tác
trong giảng
dạy
Hợp tác
trong giảng
dạy

8.2. Danh sách học sinh tham gia học tập:

Số
TT

Họ và tên

Ngày

tháng
năm
sinh

Nơi
công tác
(hoặc
nơi
thường
trú)

Chức
danh

Trình
độ
chun
mơn

1

.............. Học sinh Lớp 7

2

.............. Học sinh Lớp 7

3

.............. Học sinh Lớp 7

4

.............. Học sinh Lớp 7

5

.............. Học sinh Lớp 7

6

.............. Học sinh Lớp 7

7

.............. Học sinh Lớp 7
23

Nội
dung
công
việc hỗ
trợ
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác

trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác


8

.............. Học sinh Lớp 7

9

.............. Học sinh Lớp 7

10

.............. Học sinh Lớp 7

11

.............. Học sinh Lớp 7

12

.............. Học sinh Lớp 7

13

.............. Học sinh Lớp 7

14

.............. Học sinh Lớp 7

15

.............. Học sinh Lớp 7

16

.............. Học sinh Lớp 7

17

.............. Học sinh Lớp 7

18

.............. Học sinh Lớp 7

19

.............. Học sinh Lớp 7

20

.............. Học sinh Lớp 7

21

.............. Học sinh Lớp 7
24

trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học

tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học


22

.............. Học sinh Lớp 7

23

.............. Học sinh Lớp 7

24

.............. Học sinh Lớp 7

25

.............. Học sinh Lớp 7

26

.............. Học sinh Lớp 7

27

.............. Học sinh Lớp 7

28

.............. Học sinh Lớp 7

29

.............. Học sinh Lớp 7

30

.............. Học sinh Lớp 7

31

.............. Học sinh Lớp 7

32

.............. Học sinh Lớp 7

33

.............. Học sinh Lớp 7

34

.............. Học sinh Lớp 7

35

.............. Học sinh Lớp 7
25

tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập

Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập

Hợp tác
trong học
tập
Hợp tác
trong học
tập