TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI ĐỀ TÀI: MÔĐUN TỰ DO

Giải hai bài tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự do

ðại số

ðẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN

TIỂU LUẬN CƠ SỞ ðẠI SỐ HIỆN ðẠI

ðỀ TÀI:

MÔðUN TỰ DO

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Phan Văn Thiện

Học viên thực hiện: Nguyễn Thị Thuỳ Dâng
Lớp: Cao học Toán K20 (2011-2013)
Chuyên ngành: ðại số

Huế - 02/2012

Nguyễn Thị Thuỳ Dâng

1


Giải hai bài tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự do

ðại số

LỜI MỞ ðẦU
Cơ sở ñại số hiện ñại là môn học quan trọng trong sự phát triển của tốn học hiện đại, là
cơ sở tiền đề cho sự phát triển của đại số hiện đại. Mơn học này giúp học viên tìm hiểu và
nghiên cứu về các cấu trúc đại số, trong đó vành và mơđun đóng vai trị là nền tảng của
mơn học. Mơđun một trong số các cấu trúc đại số có một tập nên là một vành cùng với
phép tốn cộng và nhân vơ hướng. Có thể nói khái niệm mơđun là khái niệm quan trọng
nhất trong đại số hiện đại, nó được chia làm nhiều lớp: mơđun tự do, mơđun chia được,
mơđun nội xạ, mơđun xạ ảnh.
Nhằm mục đích hiểu rõ hơn về mơđun tự do, tiểu lụân này sẽ trình bày cách giải của

hai bài tập liên quan đến mơđun tự do.
Nội dung của tiểu luận gồm 2 phần:
• Phần 1( Phần lý thuyết ): Trình bày các kiến thức lý thuyết về mơđun tự do bao
gồm các định nghĩa về mơđun tự do, cơ sở của mơđun tự do, một số định lí, mệnh
đề liên quan đến mơđun tự do.
• Phần 2( Phần bài tập ): Trình bày cách giải của hai bài tập liên quan đến mơđun tự
do.
Do kiến thức của bản thân và thời gian còn hạn chế nên nội dung của tiểu luận có thể cịn
nhiều sai sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của q thầy cô và bạn bè.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS. Phan Văn Thiện đã nhiệt tình giảng dạy học
phần “ Cơ sở ñại số hiện ñại “ và tạo điều kiện cho tơi hồn thành được tiểu luận này.

Nguyễn Thị Thuỳ Dâng

2


Giải hai bài tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự do

ðại số

MỤC LỤC
LỜI MỞ ðẦU
1. Lý thuyết về mơđun tự do
1.1 ðịnh nghĩa vành và idean ...........................................................................
1.2 ðịnh nghĩa mơđun tự do và cơ sở................................................................
1.3 ðịnh nghĩa tổng và tích trực tiếp ................................................................
1.4 Một số mệnh đề và định lí ...........................................................................

2. Bài tập áp dụng

2
4
4
5
6
7

12

2.1 ðề bài..................................................................................................................
2.2 Bài giải................................................................................................................

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Nguyễn Thị Thuỳ Dâng

3

Giải hai bài tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự do

ðại số

1. LÝ THUYẾT VỀ MÔðUN TỰ DO
ðỊNH NGHĨA VÀNH VÀ IDEAN:
• ðịnh nghĩa 1: Vành là một tập hợp R cùng với hai phép tốn hai ngơi trên R, kí
hiệu cộng và nhân, sao cho:
i) ∀x, y, z ∈ R : ( x + y ) + z = x + ( y + z )
ii) ∃1R ∈ R, ∀x ∈ R : 1R x = x1R = x
iii) ∀x ∈ R, ∃x −1 ∈ R : x −1 x = xx −1 = 1R
iv) ∀x, y ∈ R : x + y = y + x
v) ∀x, y, z ∈ R : ( xy ) z = x ( yz )
vi) ∀x, y, z ∈ R : x ( y + z ) = xy + xz , ( y + z ) x = yx + zx
• ðịnh nghĩa 2: Một vành gọi là giao hốn nếu và chỉ nếu phép nhân của nó là giao
hốn.
• ðịnh nghĩa 3: Trường là một vành khác {0}, giao hốn, có phần tử đơn vị và mọi
phần tử khác 0 đều khả nghịch.
• ðịnh nghĩa 4: Cho một vành R, 1 idean trái ( phải ) của vành R là một nhóm con
I của nhóm cộng R thoả điều kiện: ∀x ∈ R , ∀k ∈ I ( kx ∈ I ) .
Một bộ phận I của vành R vừa là idean trái vừa là idean phải ñược gọi là idean hai
phía của vành R.
• Mệnh đề 1: Cho vành giao hốn R. Khi đó, tập hợp V x = {vx x ∈ V } là 1 idean.
Idean V x gọi là idean chính sinh bởi x , kí hiệu (x ) .

•
•

•

•

ðịnh nghĩa 5: Trong vành giao hốn R ≠ {0 R }, một idean I của R gọi là idean
nguyên tố nếu I ≠ R và thoả mãn ñiều kiện xy ∈ I ⇒ x ∈ I hay y ∈ I , ∀x, y ∈ R .
Mệnh ñề 2: Nếu I là một idean của vành R. Khi đó:
i) Lớp xy + I chỉ phụ thuộc vào các lớp x + I và y + I mà không phụ thuộc vào
sự lựa chọn của các phần tử x, y từ các lớp đó.
ii) R / I cùng với hai phép toán: ( x + I , y + I ) → x + y + I
(x + I , y + I ) → xy + I
là 1 vành gọi là vành thương của R trên I.
ðịnh nghĩa 6: Trong 1 vành giao hoán R ≠ {0 R }, một idean I của R gọi là idean
nguyên tố nếu I ≠ R và thoả mãn ñiều kiện: xx ∈ I ⇒ x ∈ I hay y ∈ I , ∀x, y ∈ R .
ðịnh nghĩa 7: Trong 1 vành giao hoán R ≠ {0 R }, một idean I của R gọi là idean
tối ñại nếu I ≠ R và khơng có idean J nào của R chứa I khác I và khác R.

Nguyễn Thị Thuỳ Dâng

4


Giải hai bài tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự do

ðại số

ðỊNH NGHĨA MƠðUN TỰ DO VÀ CƠ SỞ:
• ðịnh nghĩa 1: Giả sử R là một vành có ñơn vị 1 ≠ 0 , M là một nhóm cộng aben.
Nhóm aben M cùng với ánh xạ:
R× M → M
(r , x ) a rx
được gọi là một mơđun trái trên vành R ( hay R-mơđun trái ) nếu:

i) r ( x + y ) = rx + ry , ∀r ∈ R , ∀x, y ∈ M
ii) (r + s )x = rx + sx, ∀r , s ∈ R, ∀x ∈ M
iii) (rs )x = r (sx ), ∀r , s ∈ R, ∀x ∈ M
iv) 1.x = x, ∀x ∈ M
• ðịnh nghĩa 2: Giả sử X, Y là hai R-mơđun trái. Một ánh xạ f : X → Y là một Rđồng cấu mơđun nếu:
i) f ( x + y = f ( x) + f ( y ), ∀x, y ∈ M
ii) f ( rx ) = rf ( x ), ∀r ∈ R, ∀x ∈ M
• ðịnh nghĩa 3: Cho R là vành, S là tập hợp. Một R-mơđun tự do trên S là một cặp
(F, f) trong đó F là R-mơđun, f : S → F là một ánh xạ sao cho với mỗi ánh xạ
g : S → X , X là R-mơđun, có duy nhất một đồng cấu R-mơđun h : F → X thoả
hf = g .
•
•

ðịnh nghĩa 4: R-mơđun M là tự do nếu M là mơđun tự do trên một tập nào đó.
ðịnh nghĩa 5: M là R-mơđun, S là tập con của M.
S được gọi là hệ sinh của M, nếu ∀x ∈ M thì
n

x = ∑ ri si , ri ∈ R, s i ∈ S , ∀i = 1,..., n
i =1

S ñược gọi là ñộc lập tuyến tính, nếu
n

x = ∑ ri si , ri ∈ R, s i ∈ S ⇔ ri = 0, ∀i = 1,..., n
i =1

•

S được gọi là cơ sở của M khi và chỉ khi S ñộc lập tuyến tính và S là hệ
sinh của M.
ðịnh nghĩa 6: Giả sử M là một R- mơđun trái và H là mơđun con của nó. Vì H là
nhóm con của nhóm aben trong R-mơđun trái M nên ta có nhóm thương
H / M = {x + H x ∈ M } với phép cộng xác ñịnh như sau:

(x + H ) + ( y + H ) = x + y + H

•

ðịnh nghĩa 7: R-mơđun trái M/H trong định lí 7 được gọi là mơđun thương của Rmơđun trái M theo mơđun con H của nó.
Ví dụ: Mỗi vành R có đơn vị 1 ≠ 0 là một R-mơđun trái, nên I là một idean trái
của vành R thì I chính là mơđun con của R-mơđun R, và do đó, mơđun thương
R / I là R-mơđun trái.

Nguyễn Thị Thuỳ Dâng

5


Giải hai bài tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự do

ðỊNH NGHĨA TỔNG VÀ TÍCH TRỰC TIẾP
Giả sử M i là một R - mơđun với mọi i ∈ I . Trên tập tích

ðại số

∏M

i

ta định nghĩa hai

i∈I

phép tốn cộng và nhân như sau:
(xi )i∈I + ( yi )i∈I = (xi + yi )i∈I .

a ( xi )i∈I = (axi )i∈I

trong đó xi , y i ∈ M i , a ∈ R . Khi đó dễ dàng kiểm tra được

∏M

i

cùng với hai phép

i∈I

tốn nói trên lập thành một R - mơđun, được gọi là tích trực tiếp của họ mơđun

{M i }i∈I .

Gọi ⊕ M i là tập các dãy ( xi )i∈I ( với xi ∈ M i ) có giá hữu hạn tức là hầu hết xi = 0
i∈I

trừ ra một số hữu hạn các chỉ số i. Với hai phép tốn cộng và nhân vơ hướng ñịnh
nghĩa như ở trên ⊕ M i là một R - mơđun, được gọi là tổng trực tiếp của họ

{M i }i∈I .

i∈I

Khi I là tập chỉ số hữu hạn. I = {1,2,..., n} thì tích trực tiếp và tổng trực tiếp của họ
{M i }i∈I là trùng nhau:

M 1 × M 2 × ... × M n ≡ M 1 ⊕ M 2 ... ⊕ M n .

Nguyễn Thị Thuỳ Dâng

6


Giải hai bài tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự do

ðại số

MỘT SỐ MỆNH ðỀ VÀ ðỊNH LÝ:
• Bổ ñề Zorn: Cho A là một tập sắp thứ tự. Nếu mỗi tập con sắp thứ tự hoàn toàn
trong A có cận trên trong A thì A có phần tử tối đại.
• ðịnh lí 1: Nếu (F, f) là mơđun tự do trên S thì f : S → F là ñơn ánh và f(S) sinh
ra F.
Chứng minh:
Chứng minh f : S → F là đơn ánh.
Giả sử f khơng ñơn ánh. Khi ñó: ∃a, b ∈ S , a ≠ b sao cho f ( a ) = f (b) .
Lấy X là mơđun có nhiều hơn một phần tử và g : S → X là ánh xạ sao cho
g (a ) ≠ g (b) .
Suy ra có ñồng cấu h : F → X sao cho hf = g .
Vì hf ( a ) = hf (b) nên g ( a ) = g (b) (mâu thuẫn).

Vậy f : S → F là ñơn ánh.
Chứng minh f(S) sinh ra F.
Lấy X = f ( S ) là mơđun sinh bởi f ( S ) ⊂ F . Khi đó với ánh xạ
g:S → X
s a f (s )
tồn tại h : F → X sao cho hf = g
Xét d : F → X là ñồng cấu bao hàm.
Khi đó: dg = f ⇒ dhf = f ⇒ dh = id ⇒ d là toàn cấu.
Vậy X ≅ F hay f ( S ) = F .

•

•

ðịnh lí 2: Nếu (F, f) và (F’, f’) là các mơđun tự do trên S thì F và F’ đẳng cấu với
nhau.
Chứng minh:
Vì F tự do trên S nên ∃h : F → F ' là ñồng cấu sao cho hf = f ' (1).
Vì F’ tự do trên S nên ∃h': F ' → F là ñồng cấu sao cho hf ' = f (2).
Từ (1) và (2) suy ra h' hf = f và hh ' f ' = f '
Do đó: hh' = id và h' h = id .
Vậy h là ñẳng cấu hay F ≅ F '
ðịnh lí 3: Với mọi tập S bất kì bao giờ cũng có một R-mơđun tự do trên S.
Chứng minh:
ðặt F = {φ : S → R φ ( s) = 0 hầu khắp}
Dễ dàng kiểm tra ñược F cùng với hai phép tốn
+ : F×F → F
(φ ,ψ ) a φ + ψ : S → R
s a φ ( s) + ψ ( s)
. : R× F → F

(r ,φ ) a rφ : S → R
s a rφ (s )
làm thành một R-mơđun.

Nguyễn Thị Thuỳ Dâng

7


Giải hai bài tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự do

∀s ∈ S , xét

ðại số

fs : S → R

Ta có: f s ∈ F
Xét
f :S → F
s a fs
Ta chứng minh (F, f) là R-mơđun tự do trên S.
Thật vậy: Với mọi ánh xạ g : S → X , X là R-mơđun.

φ = ∑ φ ( s) f s

Lấy φ ∈ F , ta có:

s∈S

h(φ ) = ∑ φ ( s ) g ( s )

Xét

s∈S

Ta chứng minh h là ñồng cấu.
Thật vậy: h(φ + ψ ) = ∑ (φ + ψ )( s ) g ( s ) = ∑ (φ ( s ) g ( s ) + ψ ( s ) g ( s ) ) = h(φ ) + h(ψ )
s∈S

s∈S

h(rφ ) = ∑ (rφ )(s )g (s ) = ∑ rφ ( s ) g ( s ) = r ∑ φ ( s ) g ( s ) = rh(φ )
s∈S

s∈S

s∈S

Ta chứng minh hf = g .
Thật vậy: ∀s ∈ S , hf ( s ) = h( f ( s )) = h( f s ) = g ( s ) . Vậy hf = g .
Ta chứng minh h duy nhất.
Giả sử có đồng cấu h': F → X thoả h' f = g . Khi đó:
∀φ ∈ F , φ = ∑ φ ( s ) f s
s∈S

Ta có:

•



h' (φ ) = h'  ∑ φ ( s ) f s  = ∑ φ ( s )h' f ( s ) = ∑ φ ( s ) g ( s ) = h(φ )
s∈S
 s∈S
 s∈S
Vậy h = h' hay h là duy nhất.
Vậy với mọi tập S bất kỳ bao giờ cũng có một R-mơđun tự do trên S.
ðịnh lí 4: F là R-mơđun tự do với cơ sở S khi và chỉ khi
F = ⊕ As , As ≅ R, ∀s ∈ S
s∈S

Chứng minh:
xét ánh xạ:
Rõ ràng là tồn cấu.
Hơn nữa:
( vì S là cơ sở của F ).
Suy ra
là đơn cấu.
Vậ y
là đẳng cấu.
ðặt
Vì S là cơ sở của F nên Rs là hệ sinh. Do đó: F = ∑ Rs = ∑ As
s∈S

Nguyễn Thị Thuỳ Dâng

s∈S

8

Giải hai bài tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự do

x ∈ Rt I

Với mỗi t ∈ S , xét:

ðại số

∑ Rs

s∈S , s ≠ t

Lúc đó có s1 ,..., s n ∈ S , s i ≠ t , ∀i = 1,..., n và r , r1 ,..., rn ∈ R sao cho:
n

n

i =1

i =1

x = rt = ∑ ri s i ⇒ − rt + ∑ ri s i = 0
Suy ra r = r1 = ... = rn = 0 (vì t , s1 ,..., s n ∈ S và S là cơ sở của F). Do đó: x = 0 .
Rt I

Vậ y

At I

Hay

∑ Rs = 0

s∈S , s ≠ t

∑A

s∈S , s ≠ t

s

=0

Vậ y

F = ⊕ As , As ≅ R, ∀s ∈ S

Ngược lại, ta có:

As = ϕ s ( R ) = ϕ s ( R.1) = Rϕ s (1)

Suy ra:

F = ⊕ As = ⊕ Rϕ s (1)

s∈S

s∈S

s∈S

Do đó: {ϕ s (1)}s∈S là hệ sinh của F và ñộc lập tuyến tính hay S là cơ sở của F.

•

ðịnh lí 5: Một tập con S của R-mơđun X ≠ 0 là một cơ sở của X khi và chỉ khi
ánh xạ bao hàm d : S → X ñược mở rộng thành ñẳng cấu h : F → X , với F là
mơđun tự do sinh bởi S.
Chứng minh:
Giả sử F là mơđun tự do sinh bởi S. Khi đó ∃h : F → X là ñồng cấu thoả hf = d .
(⇒ ) Giả sử S là cơ sở của X. Chứng minh h là đẳng cấu.
Vì h(F ) = h( f ( S ) ) = hf ( S ) = d ( S ) = S = X nên h toàn cấu.

Lấy φ ∈ F sao cho h(φ ) = 0 . Lúc đó: φ = ∑ φ ( s ) f s
s∈S

với

fs : S → R



0 = h(φ ) = h ∑ φ ( s ) f s  = ∑ φ ( s )hf ( s ) = ∑ φ ( s )d ( s ) = ∑ φ ( s )
s∈S
s∈S
 s∈S
 s∈S
Suy ra φ ( s ) = 0, ∀s ∈ S hay φ = 0 hay là ñơn cấu.

Vậy h là ñẳng cấu.
(⇐) Giả sử h ñẳng cấu. Chứng minh S là cơ sở của X.
Chứng minh S độc lập tuyến tính.
và

n

Xét

∑r s
i =1

Ta có:

i i

= 0, ri ∈ R, si ∈ S

n
n
n
 n

0 = ∑ ri s i = ∑ ri d ( s i ) = ∑ ri hf ( s i ) = h ∑ ri f si 
i =1
i =1
i =1
 i =1

n

Hơn nữa h là ñẳng cấu nên:

∑r f
i =1

i

si

=0

Suy ra ri = 0, ∀i = 1,..., n . Vậy S độc lập tuyến tính.

Nguyễn Thị Thuỳ Dâng

9


Giải hai bài tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự do
Chứng minh S là hệ sinh của X.
∀x ∈ X , ∃φ ∈ F : h(φ ) = x ( do h ñẳng cấu ), với

ðại số

φ = ∑ φ ( s) f s
s∈S




Ta có: x = h(φ ) = h ∑ φ ( s ) f s  = ∑ φ ( s )hf ( s ) = ∑ φ ( s )d ( s ) = ∑ φ ( s )
s∈S
s∈S
 s∈S
 s∈S
Vì φ ( s ) = 0 hầu khắp nên ∃s1 , s 2 ,..., s n ∈ S sao cho:
n

Suy ra: x = ∑ φ ( s i ) s i , φ ( si ) ∈ R, si ∈ S
i =1

•
•

Do đó: S là hệ sinh của X.
Vậy S là cơ sở của X.
Hệ quả 1: Mơđun M là mơđun tự do khi và chỉ khi M có cơ sở.
ðịnh lí 6: Mọi K-khơng gian vectơ V đều là K-mơđun tự do.
Chứng minh:
Giả sử V là K-khơng gian vectơ. Khi đó:
Nếu V = 0 thì V là K-mơđun tự do sinh bởi 0.
Nếu V ≠ 0 thì gọi M là tập tất cả các bộ phận độc lập tuyến tính của V.
Rõ ràng M ≠ φ và M sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm.
Lấy N là tập con sắp thứ tự tuyến tính của M.
ðặt
W = UWi
Wi ∈N

Lấy w1 ,..., wn ∈ W . Suy ra wi ∈ Wi nào đó, và tồn tại W j sao cho w1 ,..., wn ∈ W j .

Do đó w1 ,..., wn độc lập tuyến tính. Vậy W độc lập tuyến tính và W là chặn trên
của N trong M.
Suy ra M có phần tử cực ñại ( theo bổ ñề Zorn). Gọi C là phần tử cực đại của M.
Vì C ∈ M nên C độc lập tuyến tính.
∀x ∈ V
+ Nếu x = 0 thì x ∈ C .
+ Nếu x ≠ 0 thì C U {x} phụ thuộc tuyến tính ( vì C cực đại ).
Suy ra ∃r0 , r1 ,..., rn ∈ R không bằng 0 tất cả sao cho:
r0 x + r1 x1 + ... + rn x n = 0, x1 ,..., x n ∈ C
Do đó: r0 ≠ 0 (vì nếu r0 = 0 thì mâu thuẫn với x1 ,..., x n độc lập tuyến tính)
−1

•

Suy ra x = r0 (r1 x1 + ... + rn x n ) ∈ C . Do đó: C là hệ sinh của V.
Vậy C là cơ sở của V nên V là mơđun tự do.
ðịnh lí 7: Giả sử M là một R-mơđun trái và H là một mơđun con của M.
i) Quy tắc R × (M / H ) → M / H
(r , x + H ) a rx + H là một ánh xạ nên nó là phép nhân vơ hướng
giữa vành R và nhóm aben M/H.
ii) Nhóm aben cùng với phép nhân vơ hướng trong i) là một R-mơđun trái.

Nguyễn Thị Thuỳ Dâng

10


Giải hai bài tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự do

ðại số

Chứng minh:
i) Thật vậy: Nếu x + H = x'+ H thì x − x'∈ H .
Do đó với r ∈ R vì H là mơđun con nên ta có:
r ( x − x') ∈ H ⇒ rx − rx'∈ H
Vậy rx + H = rx'+ H .
ii) Ta kiểm chứng việc thoả mãn 4 tiên ñề của R-mơđun trái:
Với mọi x + H , y + H ∈ M / H và mọi r , s ∈ R ta có:
r [( x + H ) + ( y + H )] = r ( x + y + H )

•
•

= r ( x + y ) + H = rx + ry + H
= (rx + H ) + (ry + H ) = r ( x + H ) + r ( y + H )
(r + s )(x + H ) = (r + s )x + H = rx + sx + H
= (rx + H ) + (sx + H )
= r (x + H ) + s(x + H )
(rs )(x + H ) = (rs )x + H = r (sx ) + H = r ((sx + H ) = r[s(x + H )]
1( x + H ) = 1x + H = x + H
Mệnh ñề 1: Tổng trực tiếp của các mơđun tự do là mơđun tự do.
Mệnh đề 2: Mọi R-mơđun đều là ảnh tồn cấu của một R-mơđun tự do.
Chứng minh:
Giả sử M là R-mơđun. Khi ñó lấy tập con S của M sao cho M = S .
Gọi (F, f) là R-mơđun tự do trên S, với f : S → F . Lúc đó F = f (S ) và với ánh
xạ bao hàm d : S → M , ∃h : F → M là đồng cấu sao cho hf = d .

•

Ta có: h( F ) = h( f ( S ) ) = hf ( S ) = d ( S ) = S = M .

Suy ra: h là toàn cấu
Hệ quả: Mọi R-mơđun M đều đẳng cấu với mơđun thương của một R-mơđun tự
do.

Nguyễn Thị Thuỳ Dâng

11


Giải hai bài tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự do

ðại số

2. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
2.1 ðỀ BÀI:
• Bài tập 1: Cho R là một vành và I là idean của R thoả mãn I là R - mơđun tự do
với cơ sở b j j ∈ A . Chứng minh rằng nếu M là một R - mơđun tự do với cơ sở

{x

•

{

i

}

{

}

i ∈ B} thì IM là R - mơđun tự do với cơ sở b j xi j ∈ A, i ∈ B .

Bài tập 2: Cho R là một vành và I ⊂ J là các idean của R thoả mãn, I , J là R mơđun tự do.
Chứng minh rằng:
a) ∀i ∈ N , I i J / I i +1 J và I i / I i +1 là các R / I - mơđun tự do.
b) Tồn tại dãy khớp các R / I - mơđun:
... → I 2 / I 3 → IJ / I 2 J → J / J 2 → J / IJ → R / I → R / J → 0
Ở đây tất cả mơđun, ngoại trừ R / J , là tự do trên R / I .

2.2 BÀI GIẢI:
• Bài tập 1:
Vì M là một R-mơđun tự do với cơ sở {xi i ∈ B} nên M = ⊗ Rxi
i

Mà I là một idean ( phải ) nên IM = ⊕ I R

{

i

}

i

= ⊕ Ixi .
i

Vì I là R-mơđun tự do với cơ sở b j j ∈ A nên I = ⊕ Rb j .

i

Ta có: IM = ⊕ ⊕ Rb j  xi = ⊕ Rb j xi .
i  j
ij

Nếu r (b j xi ) = 0, ∀r ∈ R thì rb j = 0 ( vì Rxi là tự do trên xi ) và do đó r = 0 ( vì
Rb j là tự do trên b j ).
Do đó, Rb j xi là tự do trên b j xi và IM là R-mơđun tự do với cơ sở

{b x
j

•

i

j ∈ A, i ∈ B

}

Bài tập 2:
Áp dụng bài tập 1, ta thay M=J. Khi đó: IJ là R-mơđun tự do.
Bằng phương pháp qui nạp trên i, theo đó mỗi I i J là R-mơđun tự do, và do đó
I i J / I i +1 J là R / I -mơđun tự do.
Trong trường hợp đặc biệt, khi J = R , ñiều này kéo theo I i / I i +1 cũng là R / I mơđun tự do.
Vì I ⊆ J ( và I là idean ), ta có một dãy con các idean:
R ⊇ J ⊇ I ⊇ IJ ⊇ I 2 ⊇ I 2 J ⊇ I 3 ⊇ ...
Từ ñiều này, tồn tại dãy khớp
(*) ... → I 2 / I 3 → IJ / I 2 J → J / J 2 → J / IJ → R / I → R / J → 0

Ở đây tất cả mơđun, ngoại trừ R / J , là tự do trên R / I .

Nguyễn Thị Thuỳ Dâng

12


Giải hai bài tập liên quan đến cấu trúc mơđun tự do

ðại số

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. N.T.Lanh, ðại số ( Giáo trình sau đại học ), NXBGD, 1985.
2. S.Lang, ðại số ( T.V.Hạo, H.Kỳ dịch ), NXBðHTHCN, 1978.
3. F.W Anderson, K.R.Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer – Verlag,
1974.
4. C.Faith, Algebra I: Rings, Modules and Categories, Springer – Verlag, 1981.
5. T.Y.Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer – Verlag, 1999.
6. T.Y.Lam, Exercises in Modules and Rings, Springer, 2007.

Nguyễn Thị Thuỳ Dâng

13