TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI Đề tài: MÔĐUN TỰ DO

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI
Đề tài: MÔĐUN

Giáo viên hướng dẫn:
TS. PHAN VĂN THIỆN

TỰ DO

Học viên: NGUYỄN THỊ PHƯƠNG CHI
Lớp: TOÁN K20 ( 2011-2013)
Chuyên ngành: LL và PP dạy học Toán


LỜI NĨI ĐẦU
Trong sự phát triển của tốn học hiện đại, cơ sở đại số hiện đại là môn
học quan trọng, là cơ sở tiền đề cho sự phát triển của đại số hiện đại. Trong
đó mơđun đúng vai trị nền tảng của môn học. Trong tiểu luận này tôi xin
trình bày về một số lý thuyết được dùng để chứng minh điều kiện để có
mơđun con khả nghịch và bài tốn ứng dụng.
Trong tiểu luận này có hai chương, đó là:
Chương I: Kiến thức chuẩn bị
Chương II: Bài tập


Chương I: PHẦN LÝ THUYẾT
1.1 Môđun:
1.1.1. Định nghĩa Môđun:
Cho R là một vành,  M , là một nhóm aben. M được gọi là một R  mơđun

trái nếu có một ánh xạ (được gọi là phép nhân vô hướng)
R M  M
(r , s )  rs
Thỏa mãn các tính chất sau:
(M1) r ( x  y ) rx  ry
(M2) (r  s ) x rx  sx
(M3) (rs ) x r ( sx)
(M4) 1.x  x
r , s  R, x, y  M
Một R  môđun trái trên M được ký hiệu là R M , cịn gọi là một mơđun trái trên
R.
Tương tự cho S là một vành. Một S  môđun phải là một nhóm cộng aben M
cùng với một ánh xạ:
M S  M
( x, s )  xs
Thỏa mãn các tính chất sau:
(M1) ( x  y ) s  xs  ys
(M2) s ( x  y )  sx  sy
(M3) x(rs ) ( xr ) s
(M4) x.1  x
r , s  S , x, y  M
Một S  môđun phải M được ký hiệu là M s , cịn gọi là một mơđun phải trên S .
Cho R, S là các vành. Nhóm aben M được gọi là R  S song môđun nếu M là
một R  môđun trái và một S  môđun phải thỏa mãn điều kiện:
(r.x) s r ( x.s)
r  R, s  S , x  M
Ký hiệu một R  S song môđun là R M S .
Cho R là một vành giao hốn, M là một R  mơđun trái, ta có thể xem M là
một R  mơđun phải bằng cách đặt x.r r.x . Khi đó, M là một R  R song môđun.

Trong tiểu luận này, ta quy ước: khi nói M là một R  môđun nghĩa là M là một
R  môđun trái.
1.1.2. Định nghĩa Môđun con:
Cho M là một R  môđun. Tập con N được gọi là một mơđun con của M nếu
N là một nhóm con của nhóm cộng M và N đóng kín đối với phép nhân vơ hướng của
R  mơđun M
1.1.3. Định lí
Một tập con H 0 của R  môđun M là một môđun con của M khi và chỉ khi
với mọi a  R với mọi x, y  H ta có:
1) x  y  H 2) ax  H
Chứng minh: Điều kiện cần là hiển nhiên, ta kiểm chứng điều kiện đủ: Hai điề
kiện (1) và (2) chứng tỏ rằng phép cộng trong H và phép nhân vô hướng giữa H và R
với miền toán tử R được xác định. Đây là hai phép toán được cảm sinh từ hai phép tốn
của R  mơđun M .
Nhưng tính giao hốn và kết hợp của phép cộng và bốn tiên đề trong định nghĩa
mơđun thỏa mãn trên tồn bộ M thì cũng thỏa mãn đới với tập con H của M .
Ngồi ra, vì H 0 nên x  H . Khi đó 0 M 0 R x  H (do điều kiện (2)); và với
mỗi x  H , phần tử đối  x ( 1) x  H (do điều kiện (2)).
Vậy H là một R  môđun.
1.1.4. Định lí:
Giao của một họ khác rỗng các mơđun con của R  môđun M là một môđun con
của M
Hợp của một họ khác 0 các môđun con của một môđun nói chung khơng phải là
một mơđun con.
Hợp của một tập sắp thứ tự toàn phần (theo quan hệ bao hàm) các môđun con của
M là một môđun con của M
1.1.5. Hệ quả:
Cho M là một R  môđun, S là tập con của M . Khi đó, giao các mơđun con của
M chứa S là môđun con bé nhất của M chứa S .

1.1.6. Định nghĩa:
Môđun con của M bé nhất chứa S trong hệ quả trên gọi là môđun con của M
sinh bởi tập S , ký hiệu là S
Nếu S M , thì S được gọi là hệ sinh của M .
Nếu S là một hệ sinh của môđun M sao cho với mọi tập con S 
 S ta đều có
S  M thì S được gọi là hệ sinh cực tiểu của môđun M .
Nếu M có hệ sinh hữa hạn thì M được gọi là môđun hữu hạn sinh.
Môđun được sinh bởi một phần tử gọi là môđun cyclic.


1.1.7. Mệnh đề:
Cho M là một R  môđun, 0 S  M . Khi đó,
 n

S   ri si | ri  R, xi  S , n    .
 i 0

1.1.8. Định nghĩa:
Cho M là một R  môđun, X là tập con của M . Một tổ hợp tuyến tính các phần
n

tử của X là một tổng hữu hạn

r x
i

i

, trong đó ri  R , xi  X , i 1,..., n .

i 1

Phần tử x  M được gọi là biểu thị tuyến tính được qua các phần tử của X nếu
x có thể viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính các phần tử của X .
Tập con X  M được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi tập con hữu hạn bao
gồm các phần tử phân biệt x1 ,..., x n của X có tổ hợp tuyến tính triệt tiêu:
n

 x
i

i

0

i 1

kéo theo ri 0, i 1,..., n
Một tập con của M được gọi là một cơ sở nếu nó là một hệ sinh độc lập tuyến
tính của M .
1.1.9. Mệnh đề:
Cho  M i | i  I  là một tập khác 0 các môđun con của R  mơđun M . Khi đó,
tập:


M i   xi | xi  M I , I  J  , J hữu hạn.

iI
 i J


là môđun con của M sinh bởi M i
iI

1.1.10. Định lí:
Mơđun con

M
iJ

i

trong mệnh đề trên gọi là tổng của các môđun con M i , i  I

Trong mệnh đề trên, sư biểu diễn của một phần tử x   M i thành một tổng hữu
iI

hạn

x
iJ

i

các phần tử xi  M i , i  J có thể là khơng duy nhất.

1.1.11. Định lí:
Cho M là R  mơđun:
Mơđun con N của M được gọi là cực đại nếu N M và khơng có mơđun con
H của M thỏa mãn N 

 H M .
Môđun con A của M được gọi là cực tiểu nếu A 0 và khơng có mơđun con N
của M thỏa mãn 0  N 
 A.


M gọi là môđun đơn nếu M 0 và M chỉ có hai mơđun con của 0 và M (ở
đây 0 là cực đại, M là cực tiểu).
1.1.12. Bổ đề:(Bổ đề zorn)
Cho T là một tập sắp thứ tự. Nếu mọi tập con sắp thứ tự toàn phần của T đều có
cận trên trong T thì T có phần tử cực đại.
1.1.13. Định lí:
Cho M là một R  mơđun hữu hạn sinh, M 0 . Khi đó, mọi mơđun con thực sự
N của M đều chứa trong một môđun cực đại.
1.1.14. Hệ quả:
Mọi vành R đều có chứa iđêan cực đại.
Cho N là môđun con của R  môđun M . Khi đó, N là nhóm con của nhóm cộng
aben M nên ta có nhóm thương aben  M / N , : với mọi x  M , y  N  M / N
 x  N    y  N  x  y  N
1.1.15. Định lí:
Cho N là một mơđun con của R  mơđun M . Khi đó,
i)
Quy tắc
R M / N  M / N
 r , x  N   rx  N
là một ánh xạ, nó xác định một phép nhân vô hướng giữa phần tử của vành R với phần
tử nhóm thương M / N .
ii)
Nhóm thương aben M / N với phép nhân vô hướng trên làm thành một R 
môđun.

2.1. Đồng cấu môđun:
2.1.1. Định nghĩa:
Cho M , N là các R  môđun. Ánh xạ f : M  N được gọi là một đồng cấu
R  môđun nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
f ( x  y )  f ( x)  f ( y )
f (rx ) rf ( x)
x, y  M , r  R
Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu nếu f là đơn ánh, tồn ánh,
song ánh tương ứng.
Nếu có một đẳng cấu f : M  N , thì M được gọi là đẳng cấu với N , ký hiệu là
M N
Nếu f : M  N là một đồng cấu R  mơđun, thì ta có:
i) f  0  0
ii) f   x   f  x , x  M


2.1.2. Mệnh đề:
Cho M , N là các R  môđun. Ánh xạ f : M  N là đồng cấu R  môđun khi
và chỉ khi
f ( rx  sy ) rf ( x)  sf ( y )
r , s  R; x, y  M
2.1.3. Mệnh đề:
Cho f : M  N và g : N  P là các đồng cấu R  mơđun. Khi đó là đồng cấu
R  môđun
Chứng minh:
r , s  R; x, y  M
 gf  rx  sy   g  f  rx  sy  
 g  rf  x   sf  y  
r  g  f  x    sg  f  y   
r  gf  x   s gf  y 

2.1.4. Mệnh đề:
Cho f : M  N là đẳng cấu R  mơđun. Khi đó f
R  mơđun.

1

: N  M cũng là đồng cấu

2.1.5. Hệ quả:
Cho f : M  N là đồng cấu R  môđun:
i) Im f  f  M  là môđun con của N , được gọi là ảnh của f
ii) Kerf  f  1  0  là môđun con của M , được gọi là hạt nhân của f .
2.1.6. Mệnh đề:
Cho f : M  N là đồng cấu R  mơđun. Khi đó, f đơn cấu khi và chỉ khi
Kerf 0 .
2.1.7. Định lí:
Giả sử f : M  N là đồng cấu R  môđun và H là môđun con của M sao cho
M  Kerf . Khi đó, có duy nhất một đồng cấu R  mơđun f : M / H  N thỏa mãn
f p  f , trong đó p : M  M / H là tồn cấu chính tắc. Hơn nữa:
Kerf Kerf / H , Im f Im f
2.1.8. Hệ quả:
Giả sử f : M  N là đồng cấu R  mơđun. Khi đó: M / Kerf Im f
2.1.9. Mệnh đề:
Cho H , K là các môđun con của R  mơđun M . Khi đó:
 H  K  / K H / H  K 


2.1.10. Mệnh đề:
Cho H  K  N là các mơđun con của R  mơđun M . Khi đó:
N / K  N / H  K / H 

2.1.11. Mệnh đề:
Cho f : M  N là đồng cấu R  môđun, g : M  H là tồn cấu R  mơđun sao
cho Kerg  Kerf . Khi đó, có duy nhất một đồng cấu R  môđun h : H  N thỏa mãn
hg  f .
2.1.12. Mệnh đề:
Cho f : M  N là đồng cấu R  môđun, g : M  H là đồng cấu R  môđun sao
cho Im g  Kerf . Khi đó, có duy nhất một đồng cấu R  môđun h : H  Kerg thỏa mãn
ih  g , với i : Kerf  M là đồng cấu bao hàm.
2.1.13. Mệnh đề:
Cho  : M  N là đồng cấu R  mơđun. Khi đó,
i)
Với mọi R  mơđun H , ta có đồng cấu nhóm cộng

 * : HomR  H , M   HomR  H , N 
ii)

f  f

Với mọi R  mơđun P , ta có đồng cấu nhóm cộng:
 * : HomR  N , P   HomR  M , P 
f  f

2.1.14. Mệnh đề:
Cho R là một vành giao hoán, M , N là các R  mơđun. Khi đó, nhóm cộng
aben HomR  M , N  với phép nhân cô hướng xác định như sau là một R  môđun với mọi
f  HomR  M , N , r  R :
 r , f  x  rf  x , x  M
2.1.15. Mệnh đề:
Cho R là một vành giao hoán, M là R  môđun hữu hạn sinh, I là iđêan của R
và  : M  N là tự đồng cấu sao cho Im   Im M . Khi đó, có a1 ,..., a n  I thỏa mãn:

 n  a1 n 1  ...  a n  1  a n 0
2.1.16. Hệ quả:
Cho R là một vành giao hốn, M là R  mơđun hữu hạn sinh, I là iđêan của R
sao cho IM M . Khi đó, có r  R thỏa mãn r  1  I và rM 0 .
2.1.17. Mệnh đề:
Cho R là một vành giao hoán, M là R  môđun hữu hạn sinh, I là iđêan của R
sao cho IM M và I chứa trong mọi iđêan cực đại của R . Khi đó, M 0 .
3.1 Mơđun tự do:


3.1.1. Định nghĩa:
Cho R  môđun là một vành, S là một tập hợp. Một R  môđun tự do trên S là
một R  môđun F cùng với mọi ánh xạ f : S  F sao cho với mọi ánh xạ g : S  X
từ tập S vào R  môđun X , tồn tại duy nhất đồng cấu R  môđun h : F  X thỏa mãn
hf  g
f
S

F

g
h
X
3.1.2. Mệnh đề:
Nếu  F, f  là một R  môđun tự do trên tập S thì f : S  F là đơn ánh và f  S 
là một hệ sinh của R  mơđun F .
3.1.3. Định lí :
Với mọi tập S , bao giờ cũng tồn tại duy nhất sai khác đẳng cấu một R  môđun
tự do trên S .
3.1.4. Định lí:

R  mơđun X được gọi là R  mơđun tự do nếu X đẳng cấu với một R  mơđun
tự do trên một tập S nào đó.
3.1.5. Mệnh đề:
Mọi R  mơđun M đều là ảnh tồn cấu của một R  môđun tự do. Suy ra, mọi
R  môđun M đều đẳng cấu với một R  môđun thương của một R  mơđun tự do.
3.1.6. Định lí:
Cho M là một R  môđun. Tập con S  M là một cơ sở nếu vầ chỉ nếu ánh xạ
bao hàm i : S  M có thể mở rộng thành đẳng cấu R  môđun h : F  M , với F là
R  môđun tự do sinh bởi S
f
F
S
i
h
M

3.1.7. Hệ quả:


R  môđun M là tự do khi và chỉ khi M có một cơ sở.

3.1.8. Mệnh đề:
Mọi cở sở của một R  môđun hữu hạn sinh là hữu hạn.
3.1.9. Định lí:
Mọi khơng gian vecto trên một trường K đều là K  môđun tự do.
4.1. Môđun xạ ảnh:
4.1.1. Định nghĩa:
R X gọi là xạ ảnh nếu mọi đồng cấu R  môđun f : X  B và mọi tồn cấu R 
mơđun g : A  B thì có một đồng cấu R  mơđun h : X  A thỏa mãn gh  f
X

h

f
g

A

B

0

4.1.2. Định lí:
Mọi R  môđun tự do đều là xạ ảnh.
4.1.3. Mệnh đề:
Mọi hạng tử trực tiếp của R  môđun xạ ảnh là R  môđun xạ ảnh.
4.1.4. Mệnh đề:
Tổng trực tiếp các R  môđun xạ ảnh là R  mơđun xạ ảnh.
4.1.5. Mệnh đề:
Mọi R M đều có thể nhúng vào một dãy khớp ngắn các R  môđun
0 L F  M  0
4.1.6. Mệnh đề:
Cho R X . Các khẳng định sau là tương đương:
i) X là R  môđun xạ ảnh.
ii) Mọi dãy khớp ngắn các đồng cấu R  môđun.
0  U   V   X  0
đều chẻ ra.
iii) X đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một R  môđun tự do.
iv) Nếu g : A  B là toàn cấu R  mơđun thì:
g * : HomR  X , A  HomR  X , B 
  g

f
g
v) Nếu 0  A   B   C  0 là dãy khớp các đồng cấu R  mơđun thì dãy
sau cũng là dãy khớp:


g*
0  HomR  X , A f*  HomR  X , B  
 HomR  X , C   0

4.1.7. Định nghĩa:
Cho R M , một phép xạ ảnh của M là một dãy khớp các đồng cấu R  môđun:
c : ...  cn 1  cn  ...  c0  M  0
trong đó ci là R 
mơđun xạ ảnh i 0 .
4.1.8. Mệnh đề:
Mọi R  mơđun M đều có một phép giải xạ ảnh.
5.1. Bổ đề cơ sở đối ngẫu:
Kết quả chính của phần này là đặc tính cơ bản của một mơđun xạ ảnh P về đối
ngẫu của nó P * : HomR  P, R 
5.1.1. Bổ đề:
Một R  môđun phải P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu tồn tại tập họ  ai : i  I   P và
*
những hàm tuyến tính  f i : i  P  P , sao cho với mọi a  P , f i  a  0 với mọi i , và
a  a i f i  a 
i

Chứng minh:
*
Giả sử tồn tại  ai : i  I   P ,  f i : i  P  P

Xét g toàn cấu từ môđun F  ei R đến P được xác định bởi g  ei  ai với
mọi i  I . Bản đồ h : P  F được xác định bởi h a   ei f i  a  , rõ ràng R là đồng cấu
được chia thành g . Do đó P là đẳng cấu từ số hạng trực tiếp của F ; do đó P là xạ ảnh.
Đảo lại, giả sử P là xạ ảnh và cố ddingj một toàn cấu g từ một môđun tự do phù
hợp F  ei R lên P . Ánh xạ h : P  F được xác định bởi h a   e f  a   a  P 



i

i

*
Ở đây, f i dễ dàng kiểm tra R  tuyến tính (tức là f i  P ), và f  a  0 với mọi i

.
Áp dụng g, ta có a gh a   ai f i  a  , ở đâu ai : g  ei   P .
5.1.2. Nhận xét:
Chứng minh trên cũng chứng minh rằng P là một xạ ảnh hữu hạn nếu và chỉ nếu
tồn tại  ai , f i : 1 i n sao cho a  ai f i  a  , a  P . Trong trường hợp này, điều này
i

cũng chứng minh f i cũng tạo thành P * . Hơn nữa, bản đồ  : P  P ** được định nghĩa
là một phép đẳng cấu của R  môđun.


Chương II: PHẦN BÀI TẬP
Bài 1: Cho R  S là các vành giao hoán. Xem S là R  môđun. Giả sử P , Q là các
R  môđun con của S . Đặt



PQ   pi qi | pi  P, qi  Q 
(h.h: hữu hạn)
 h .h

P  1  x  S | sP  R
Chứng minh rằng các khẳng định sau tương đương:
i)
Tồn tại một R  môđun con Q  S sao cho PQ  R
ii)
PP  1  R
Khi đó, ta nói P là một R  môđun con khả nghịch của S .
Giải:
ii)  i) là tầm thường, nên ta chỉ cần chứng minh i)  ii)
Cho PQ  R , rõ ràng ta có Q  P  1
Như vậy, R  PP  1  PQ  R , do đó PP  1  R
Bài 2: Cho P là một R  môđun con khả nghịch của S . Đặt P *  Hom R  P, R  . Chứng
minh rằng:
i)
P * P  1 xem là R  môđun
ii)
P là môđun tự do khi và chỉ khi P  Rs , với s  S .
Giải:
i) Cho Q P  1
Xét  : Q  P * xác định bởi   q  p  qp  R  p  P, q  Q  . Nếu   q  0 ,
thì q  qR qPQ 0 , vậy  là nội xạ.
*
Ta có f i   qi  , P  Rf i    Rqi  (do 5.1.2), nên  cũng là toàn ánh
ii) Giả sử P sR với s  S .
Thì R PQ SQ , nên sq 1 đối với một số q  Q . Điều này chứng minh rằng

s  U  S  . Đặc biệt, PR là tự do với cơ sở  s . Ngược lại, giả sử PR tự do. Thì P  R n
với n   , nên Q  P *  R n cho cùng một n . Nhưng:

 

 

2

R PQ  P  R Q  R n  R R n R n
Nếu R 0 , ta phải có n 1 nên P sR với s  S . Và cũng đúng nếu R 0

KẾT LUẬN


Trong tiểu luận này, tơi đã trình bày những kiến thức cơ bản về môđun
con khả nghịch, đặc biệt đã giải hai bài tập liên quan đến môđun con khả
nghịch. Mặc dù đã cố gắng nhưng vì kiến thức và thời gian cịn hạn chế nên
vẫn khơng tránh khỏi sai sót. Rất mong thầy cơ và các bạn góp ý để bài tiểu
luận của tơi hồn thiện hơn.
Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của TS
Phan Văn Thiện, xin cám ơn các anh chị, bạn bè trong lớp Toán K20 và các
tác giả của các quyển sách mà tôi đã tham khảo để tôi hồn thành tiểu luận
này. Tơi xin chân thành cảm ơn!


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Giáo trình cơ sở đại số hiện đại, NXBGD, 2001. Nguyễn Xuân Tuyến –
Lê Văn Thuyết
[2] Đại số (Giáo trình sau đại học), Nhà xuất bản (1985). Ngô Thúc Lanh

[3] Đại sô trừu tượng – Tập 1, NXBGD (2005). Nguyễn Xuân Tuyến – Lê
Văn Thuyết
[4] Theory of Categories, NEWYORK, Copyright 1965. BARRY MITCHELL
[5] T.Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999.
[6] T.Y. Lam, Exercise in Modules and Rings, Springer, 2007.