icongchuc_bai-tap-co-dap-an-chi-tiet-ve-day-so-mon-toan-lop-11

DÃY SỐ - TƯ LIỆU BÀI GIẢNG - GV : NGUYỄN THANH TÙNG
I. Định nghĩa
Tập hợp các số tuân theo 1 quy luật nhất định tạo thành dãy số.
Định nghĩa: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương ¥ * được gọi là 1 dãy số
vô hạn.
Mỗi số hạng của u được gọi là 1 số hạng của dãy số. u ( 1) = u1 , u ( 2 ) = u 2 .
Ký hiệu dãy số: u ( n ) = un , và un gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
Chú ý: nếu là n hữu hạn thì gọi là dãy số hữu hạn.
II. Cách cho 1 dãy số
Cách 1. Cho dãy số theo kiểu tường minh, khai triển.
Cách 2. Cho theo công thức tổng quát
Cách 3. Cho theo kiểu hệ thức truy hồi.
Cách 4. Cho theo cách diễn đạt bằng lời cách xác định số hạng của dãy số.
VD1.

Cho các dãy số sau, cho theo số hạng tổng quát và truy hồi.
a/ un =

n
n +1

b/ un = ( −1) .
n

u1 = u2 = 1
∀n > 2, n ∈ ¥ *
c/ 
u
=
u
+

u
 n
n −1
n−2

1
n2

1. Tìm 4 số hạng đầu tiên của dãy số.
2. Tìm số hạng thứ 10 của dãy số.
Lời giải
1. Tìm 4 số hạng đầu tiên của dãy số.
n
n
un =
n +1

1
1
2

2
2
3
1
4

3
3
4

1
−
9

4
4
5
1
16

Kết quả
1 2 3 4
( un ) : ; ; ; ; ...
2 3 4 5
1
1 1
( un ) : −1; ; − ; ; ...
4 9 16

1
−1
n2
u1 = u2 = 1
∀n > 2, n ∈ ¥ * ta có u3 = u2 + u1 = 1 + 1 = 2
Với 
un = un −1 + un − 2
un = ( −1) .
n

u4 = u3 + u2 = 2 + 1 = 3 . Vậy ( un ) :1; 1; 2; 3; ...

2. Tìm số hạng thứ 10 của dãy số.
Với un =

n
10
10
= .
ta có u10 =
n +1
10 + 1 11


Với un = ( −1) .
n

1
1
1
10
u = ( −1) . 2 =
.
2 ta có 10
n
10 100

u1 = u2 = 1
∀n > 2, n ∈ ¥ * ta có ( un ) :1; 1; 2; 3; 5, 8; 13; 21; 34; 55... Vậy u10 = 55 .
Với 
un = un −1 + un − 2
u1 = 2

∀n ∈ ¥ * . Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
VD2. Cho dãy số sau dưới dạng truy hồi 
u
=
2
u
 n +1
n
Lời giải
1
Ta có: u1 = 2 = 2

u2 = 2u1 = 2.2 = 4 = 22
u3 = 2u2 = 2.4 = 8 = 23
u4 = 2u3 = 2.8 = 16 = 24
u5 = 2u4 = 2.16 = 32 = 25
…

un = 2 n
III. Dãy số tăng và dãy số giảm

( un )

được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un < un +1 .

( un )

được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un > un +1 .

Phương pháp làm bài tập.

Xét hiệu số A = un +1 − un
Nếu A > 0 thì dãy số tăng.
Nếu A < 0 thì dãy số giảm.
Nếu dãy số dương thì xét thương số B =

un +1
un

Nếu B > 1 thì dãy số tăng.
Nếu B < 1 thì dãy số giảm.
VD3.

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a/ un =

Lời giải
a/ un =

n +1
n

n +1
n

b/ un = n +

1
2n

Xét hiệu số

( n + 1) + 1 − n + 1 = n ( n + 2 ) − ( n + 1)
A = un +1 − un =
n +1
n
n ( n + 1)

2

=

−1
<0
n ( n + 1)

Vì A = un +1 − un < 0 ⇒ un +1 < un nên dãy số giảm.
b/ un = n +

1
2n

Vì un = n +

un +1
1
*
B
=

>
0,
∀
n
∈
¥
nên
xét
thương
số
un
2n

n +1
n +1
1  
1  ( n + 1) 2 + 1  n 2n +1 + 2  ( n + 1) 2 + 1 n 2n +1 + 2n +1 + 1

=  n + 1 + n +1 ÷:  n + n ÷ =
:
=
=

÷
n +1
n +1
2  
2 
2n +1
2

n
2
+
2
n2 n+1 + 1 + 1




Ta thấy 2n +1 > 1, ∀n ∈ ¥ * ⇒ n 2n +1 + 2n +1 + 1 > n 2n +1 + 1 + 1, ∀n ∈ ¥ *
suy ra B =

un +1
> 1 nên dãy số tăng.
un

IV. Dãy số bị chặn
+) Cho dãy số ( un ) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại 1 số M sao cho mọi
n ∈ ¥ * : un ≤ M .
+) Cho dãy số ( un ) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại 1 số m sao cho mọi
n ∈ ¥ * : un ≥ m .
+) Cho dãy số ( un ) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới,
*
nghĩa là tồn tại số M và m sao cho mọi n ∈ ¥ : m ≤ un ≤ M .

PHẦN 1. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1: Cho các dãy số sau.
1
2n − 1
u

=
1/ n
2/ un = n
n ( n + 2)
2 +1
n
2nπ
2 nπ
+ cos
3/ un =
4/ un = sin
2
4
3
n +1
1. Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên ?
2. Xác định số hạng thứ 10 trong dãy số trên ?
Câu 2: Cho các dãy số sau:
u1 = −1
u1 = 3
1/ 
2/ 
un +1 = un + 3
un +1 = 4un
Câu 3:

Câu 4:

Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số, từ đó tìm số hạng tổng quát của dãy số
Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau

n −1
n
1/ un =
2/ un = n
3/ un = n + 1 − n
n +1
4
Xét tính bị chặn của các dãy số sau


2
a/ un = 2n − 1

b/ un =

1
c/ un = sin n + cos n
n ( n + 2)
HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Cho các dãy số sau.
1
2n − 1
1/ un =
2/ un = n
n ( n + 2)
2 +1
n
2nπ
2 nπ

u
=
sin
+
cos
3/ un =
4/
n
4
3
n2 + 1
1. Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên ?
2. Xác định số hạng thứ 10 trong dãy số trên ?
Lời giải:
1.Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số trên ?
1
1
1
1
1/ u1 = , u 2 = , u3 = , u4 =
.
3
8
15
24
1
3
7
15
2/ u1 = , u 2 = , u3 = , u4 = .

3
5
9
17
1
2
3
4
, u2 =
, u3 =
, u4 =
3/ u1 =
.
2
5
10
17
1
3
1
4/ u1 = 0, u2 = , u3 = , u4 = − .
2
2
2
2. Xác định số hạng thứ 10 trong dãy số trên ?
10
1
1/ u10 =
.
2/ u10 =

.
101
120
Câu 2:

3/ u10 =

1023
.
1025

Cho các dãy số sau.
u1 = −1
1/ 
un +1 = un + 3

4/ u10 =

u1 = 3
2/ 
un +1 = 4un
Viết 4 số hạng đầu tiên của dãy số, từ đó tìm số hạng tổng qt của dãy số
Lời giải:
1/ Ta thấy
u1 = −1 = 3.1 − 4 
u2 = 2 = 3.2 − 4 

 ⇒ un = 3n − 4
u3 = 5 = 3.3 − 4 
u4 = 8 = 3.4 − 4 



2/ Ta thấy


u2 = 12 = 3.41 
⇒ un = 3.4n −1
2 
u3 = 48 = 3.4 
u4 = 192 = 3.43 
u1 = 3 = 3.40

Câu 3:

Xét tính tăng, giảm của dãy số sau
n −1
n
1/ un =
2/ un = n
n +1
4

3/ un = n + 1 − n
Lời giải:

1
.
2

1/ Ta xét
A = un +1 − un =

n
n −1
2
−
=
> 0 ⇒ dãy số tăng.
n + 2 n + 1 ( n + 2 ) ( n + 1)

2/ Ta xét

B −1 =

un +1
n + 1 4n
n +1
1 − 3n
− 1 = n +1 . − 1 =
−1 =
< 0 ⇒ B < 1 ⇒ dãy số giảm.
un
4
n
4n
4n

3/ Ta xét
A = un +1 − un =

Câu 4:

(

) (

n + 2 − n +1 −

)

n + 1 − n = n + 2 + n > 0 ⇒ dãy số tăng.

Xét tính bị chặn của các dãy số sau
1
2
a/ un = 2n − 1
b/ un =
n ( n + 2)

c/ un = sin n + cos n
Lời giải:

a/ Nhận thấy, vì ∀n ∈ ¥ * ⇒ 2n 2 ≥ 2.12 = 2 ⇒⇒ 2n 2 − 1 ≥ 1 do đó un ≥ 1 ⇒ dãy số bị chặn dưới
bởi 1 .
b/ Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
*
+ Dễ thấy un > 0, ∀n ∈ ¥ .

*
+ n ( n + 2 ) ≥ 3, ∀n ∈ ¥ ⇒ un ≤

1
.
3

1
⇒ 0 < un ≤ .
3

π

c/Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới vì sin n + cos n = 2 sin  n + ÷⇒ − 2 ≤ un ≤ 2 .
4

⇒ − 2 ≤ un ≤ 2, ∀n ∈ ¥ *
PHẦN 2. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

[1D3-2.2-2] Cho dãy số ( un ) với un = ( −1)
A.

1
.
2

B.

3
.
2

2π
. Khi đó u12 bằng
n
1
3
C. − .
D. −
.
2
2
Lời giải

n +1

cos

Chọn D.
Ta có u12 = ( −1)
Câu 2.

12 +1

cos

2π
3
=−
12
2

1
là dãy số có tính chất?
n +1
A. Tăng.
B. Giảm.
C. Không tăng không giảm.
D. Tất cả đều sai.
Lời giải
Chọn B.

[1D3-2.5-2] Dãy số un =


Ta có un +1 − un =

1
1
1
1
−1
−
=
−
=
<0
n + 1 + 1 n + 1 n + 2 n + 1 ( n + 1) ( n + 2 )

Suy ra dãy số ( un ) giảm.
Câu 3.

2n
9
. Số
là số hạng thứ bao nhiêu.
n +1
41
B. 9 .
C. 8 .
Lời giải

[1D3-2.3-2] Cho dãy số un =
A. 10 .

2

D. 11 .

Chọn D.
n = 9
9
2n
9
2
⇔ 2
=
⇔ 9n − 82n + 9 = 0 ⇔ 
Ta có un =
n = 1
41

n + 1 41
9


Vì n ∈ ¥ * ⇒ n = 9 .
Câu 4.

u1 = 1
[1D3-2.4-2] Cho dãy số 
. Số hạng tổng quát của dãy số trên là?
un +1 = un + 1
A. un = 1 + n .

B. un = 1 − n .

C. un = 1 + ( −1) .
2n

D. un = n .

Lời giải
Chọn .
Ta có u1 = 1 , u2 = 2, u3 = 3 ,… nên un = n .
Câu 5.

[1D3-2.4-2] Trong các dãy số sau, dãy số nào thỏa mãn u0 = 1 , u1 = 2 , un = 3un −1 − 2un − 2 , n ∈ ¥
.
n
n
*

A. 1; 2; 4;8;16;36;... .
B. 1; 2;8;16; 24;54;... . C. un = 2 + 1 .
D. un = 2 ; n ∈ ¥ .
Lời giải
Chọn D.
Ta có u0 = 1 , u1 = 2 , u3 = 4, u4 = 8 , u5 = 32 nên loại đáp án A, B, C

Câu 6.

u1 = 5
[1D3-2.4-2] Cho dãy số 
. Số hạng tổng quát của dãy số trên là?
un +1 = un + n
A. un =

( n − 1) n .

B. un = 5 +

2
n ( n + 1)
C. un = 5 +
.
2

( n − 1) n .

2
( n + 1) ( n + 2 ) .
D. un = 5 +

2
Lời giải

Chọn B.
Ta có u1 = 5, u2 = 5 + 2 = 7
Loại đáp án A vì u2 = 1 .
Loại đáp án C vì u2 = 8 .
Loại đáp án D vì u2 = 11 .
Câu 7.

[1D3-2.4-2] Tính tổng S ( n ) = 1 − 2 + 3 − 4 + ... + ( 2n − 1) − 2n + ( 2n + 1) là
A. S ( n ) = n + 1 .

B. S ( n ) = − n .

C. S ( n ) = 2n .
Lời giải

D. S ( n ) = n .


Chọn A.
Ta có tổng S3 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 = 4
Loại đáp án B vì S ( 3) = −3 .
Loại đáp án C vì S ( 3) = 6 .
Loại đáp án D vì S ( 3) = 3 .
Câu 8.

Câu 9.

[1D3-2.4-1] Cho tổng S n = 1 + 2 + 3 + ... + n . Khi đó S3 là bao nhiêu?
A. 3 .
B. 6 .
C. 1 .
Lời giải
Chọn B.
Ta có S3 = 1 + 2 + 3 = 6 .
[1D3-2.5-2] Dãy số un =
A.

1
.
2

3n − 1
là dãy số bị chặn trên bởi?
3n + 1
1
B. .
C. 1 .
3
Lời giải

D. 9 .

D. Tất cả đều sai.

Chọn .
3n − 1
< 1 nên dãy số bị chẵn trên bởi 1 .

Ta có
3n + 1

u1 = 1
Câu 10. [1D3-2.3-2] Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi 
. Hỏi số 33 là số hạng
un +1 = un + 2
thứ mấy?
A. u15 .
B. u17 .
C. u14 .
D. u16
Lời giải
Chọn B.
Ta có u1 = 1, u2 = 3 = 1 + 1.2, u3 = 5 = 1 + ( 3 − 1) .2 , u4 = 7 = 1 + ( 4 − 1) .2 .
Dự đoán un = 1 + ( n − 1) .2 = 2n − 1
Dùng phương pháp quy nạp chứng minh đẳng thức đúng.
Do đó un = 33 ⇔ 2n − 1 = 33 ⇔ n = 17 .