khái niệm lũy thừa trong dạy học toán ở trường phổ thông

THƯ
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tố Như

KHÁI NIỆM LŨY THỪA TRONG DẠY HỌC TỐN
Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG

Chun ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số

: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, người đã nhiệt tình
hướng dẫn và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo
Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, cùng các thầy cô khác đã nhiệt tình giảng dạy, truyền
thụ cho chúng tơi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic tốn, cung cấp cho chúng tơi
những cơng cụ cần thiết và hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã nhiệt tình giúp tơi dịch các tài liệu
tiếng pháp trong q trình làm luận văn.

Tơi cũng xin chân thành cảm ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều
kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học.
- Ban giám hiệu và các thầy cơ, đồng nghiệp ở Trường THPT Xuyên Mộc nơi tôi công tác, đã
giúp đỡ và ln động viên để tơi hồn thành tốt khóa học của mình.
- Các anh, các chị và các bạn cùng lớp, những người đã đồng hành cùng tôi chia sẽ những vui
buồn trong học tập cũng như trong cuộc sống suốt ba năm học.
- Những người thân trong gia đình đã ln sát cánh cùng tơi trong quá trình học.

NGUYỄN THỊ TỐ NHƯ


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
THCS

Trung học cơ sở

THPT

Trung học phổ thông

SGK

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên

SBT

Sách bài tập

CLHN

Chỉnh lý hợp nhất

TCTH

Tổ chức toán học

QTHĐ

Quy tắc hợp đồng

BKHTN

Ban khoa học tự nhiên

KNV

Kiểu nhiệm vụ

TLHDGD

Tài liệu hướng dẫn giảng dạy

ĐKXĐ

Điều kiện xác định

[A]

Tốn cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thông dụng, Guy Lefort

[B]

Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet

[C]

Đại số và giải tích 11, Trần Văn Hạo, Ngơ Thúc Lanh, 2000, NXBGD

[M]

Giải Tích 12 nâng cao, BKHTN, Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, 2008, NXBGD


MỞ ĐẦU
I. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát.
Lũy thừa là một đối tượng toán học được đưa vào từ đầu cấp hai và kết thúc ở cuối cấp 3,
mặc dù số lượng và nội dung của nó rất ít nhưng nó có một vai trị rất lớn trong chương trình tốn.
Chúng tơi đặc biệt quan tâm đến lũy thừa bởi những lý do sau đây:
- Qua các lần cải cách giáo dục thì mở rộng khái niệm lũy thừa vẫn được đưa vào đầu
chương: hàm số mũ-hàm số lơgarit, sau khi học giới hạn. Điều đó dẫn chúng tơi đến câu hỏi: Có hay
khơng sự phụ thuộc của lũy thừa vào giới hạn? Lũy thừa có vai trị gì trong việc nghiên cứu hàm mũ
và hàm lơgarit?
- Ở chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì mở rộng khái niệm lũy thừa được đưa vào
sau chương giới hạn và trước chương đạo hàm, nhưng sang chương trình cải cách năm 2005 thì nó
được đưa vào chương trình lớp 12 sau khi đã học xong chương “đạo hàm và các ứng dụng của đạo

hàm”. Sự thay đổi này có ý nghĩa như thế nào? Tại sao lại có sự thay đổi đó? Tiến trình đưa vào
khái niệm lũy thừa qua hai bộ SGK có gì thay đổi hay không? Khi học khái niệm lũy thừa học sinh
gặp phải những khó khăn gì?
- Sau khi tham khảo luận văn của tác giả Nguyễn Hữu Lợi và Phạm Trần Hồng Hùng, tơi
thấy khái niệm lũy thừa, hàm mũ và hàm lơgarit có mối quan hệ mật thiết với nhau. Đồng thời, mở
rộng khái niệm lũy thừa có thể đưa vào sau khái niệm hàm mũ và hàm lôgarit. Từ đó, chúng tơi đặt
ra câu hỏi: tại sao SGK hiện hành lại chọn tiến trình ngược lại? Ý nghĩa của tiến trình đó là gì?
- Có những tương đồng và khác biệt gì về sự xuất hiện cũng như vai trị của lũy thừa trong
chương trình đại học và trong chương trình phổ thơng ?
2. Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu.
Mục đích nghiên cứu của luận văn này là tìm câu trả lời cho một số câu hỏi đặt ra ở trên.
Để tìm kiếm câu trả lời, chúng tơi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết didactic
toán. Cụ thể:
- Lý thuyết nhân chủng học: Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức toán
học, tổ chức toán học, chuyển đổi didactic.
- Hệ sai lầm và khái niệm chương ngại.
- Lý thuyết tình huống: Hợp đồng didactic, biến didactic…

 Lý thuyết nhân chủng học


Ở đây, chúng tôi chỉ mô tả ngắn gọn hai khái niệm cần tham chiếu của lý thuyết nhân chủng
học để tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra.

 Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với một tri thức
Quan hệ thể chế:
Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với
tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trị gì … trong I ?
Quan hệ cá nhân:
Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có

với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao ?
Việc học tập của cá nhân X đối với tri thức O chính là q trình thiết lập hay điều chỉnh mối
quan hệ (X,O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của thể chế I mà cá nhân X là một thành
phần, luôn luôn để lại một dấu ấn trong quan hệ R(X,O). Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó
trong R(I,O).

 Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế toán học cũng
là một kiểu thực tế xã hội nên cần xây dựng một mơ hình cho phép mơ tả và nghiên cứu thực tế đó.
Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998) đã đưa ra khái niệm praxéologie.
Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,,,], trong đó T là một
kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T;  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ;  là lý
thuyết giải thích cho cơng nghệ .
Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một TCTH.
Bosch M. và Y. Chevallard (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một
vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân
chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm
vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó
nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn đến làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với
đối tượng nói trên”.
Do đó, việc phân tích TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan
hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ cá nhân X (chiếm một vị trí nào
đó trong I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với tri thức O.


Việc chỉ rõ các TCTH liên quan đến tri thức O cũng giúp ta xác định một số quy tắc của hợp
đồng didactic: mỗi cá nhân có quyền làm gì, khơng có quyền làm gì, có thể sử dụng tri thức O như
thế nào chẳng hạn.

 Chuyển đổi didactic

Quá trình chuyển đổi thể hiện ở 3 mắc xích sau:

 Mắt xích thứ nhất :  đối tượng tri thức (thể chế tạo tri thức)
Sự tồn tại của một “tri thức khoa học” đã đòi hỏi một sự soạn thảo. Ta có thể xem nó như kết quả
của một hoạt động khoa học. Đây là một hoạt động của con người, gắn liền với lịch sử cá nhân nhà
nghiên cứu. Nhà nghiên cứu đặt ra một vấn đề. Để giải quyết nó, ơng ta phải khám phá ra những
kiến thức, mà một số trong những kiến thức này được nhà nghiên cứu nhận thấy là đủ mới, đủ hay,
có thể thơng báo cho cộng đồng khoa học. Để thông báo, nhà nghiên cứu tạo cho những kiến thức
này một dạng khái quát nhất có thể được, theo quy tắc suy lý logic đang lưu hành trong cộng đồng
khoa học. Sự biến đổi kiến thức như vậy là một phần rất quan trọng của hoạt động tốn học.
«Một nhà nghiên cứu, để thông báo cho những nhà nghiên cứu khác cái mà ơng ta nghĩ rằng đã tìm
thấy, phải biến đổi nó :
- trước hết nhà nghiên cứu xóa đi thời kỳ khai thủy của nghiên cứu : những suy nghĩ vô ích, những
sai lầm, những con đường vòng lắt léo, rất dài, thậm chí dẫn đến ngõ cụt. Nhà nghiên cứu cũng bỏ
đi tất cả những gì liên quan đến động cơ cá nhân hay nền tảng hệ tư tưởng của khoa học theo nhận
thức của mình. Chúng tơi dùng từ phi cá nhân hóa để chỉ tập hợp những sự gạt bỏ này.
- nhà nghiên cứu cũng xóa đi lịch sử trước đó đã dẫn mình đến nghiên cứu này (những mị mẫm,
những con đường sai lầm), có khi cịn tách nó ra khỏi bài tốn đặc biệt mà lúc đầu mình muốn
nghiên cứu và tìm một bối cảnh tổng quát nhất sao cho trong đó kết quả vẫn đúng. Chúng tơi gọi
việc làm này là phi hồn cảnh hóa.» (Arsac 1989)

 Mắt xích thứ hai : đối tượng tri thức  đối tượng cần giảng dạy (thể chế chuyển đổi)
Để cho một tri thức có thể đưa ra dạy ở trường được, tức là có thể trở thành một đối tượng cần giảng
dạy, thì điều cần thiết là tri thức đó phải chịu một số ràng buộc nào đó.
Sau đây là danh sách mà Chevallard đã đưa ra (1985, theo Verret 1975) :
- Tính đơn nhất của tri thức [nghĩa là khả năng vạch ranh giới những tri thức bộ phận có thể được
trình bày trong một bài diễn văn tự do]
- tính phi cá nhân hóa của tri thức [nghĩa là sự tách rời tri thức ra khỏi cá nhân]
- sự chương trình hóa việc tiếp thu tri thức [nghĩa là lập chương trình cho việc dạy và kiểm tra tri
trức]

- tính cơng khai của tri thức [nghĩa là định nghĩa tường minh trong nội hàm và ngoại diên].

 Mắt xích thứ ba : đối tượng cần giảng dạy  đối tượng được giảng dạy (thể chế dạy
học)
Chính ở bước này mà giáo viên can thiệp : chuyển đổi didactic được tiếp tục trong chính hệ thống
dạy học.

 Hệ sai lầm và khái niệm chương ngại
Theo Brousseau, nếu có những sai lầm nào đó của học sinh mang tính hời hợt, hết sức riêng
biệt, thì cũng có những sai lầm khác khiến chúng ta phải quan tâm, đó chính là những sai lầm không
phải ngẫu nhiên học sinh phạm phải.
Sai lầm không chỉ đơn giản là do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra, mà còn là hậu
quả một kiến thức trước đây đã từng tỏ ra có ích, đem lại thành cơng, nhưng bây giờ lại tỏ ra sai
hoặc đơn giản là khơng cịn thích hợp nữa. Những sai lầm dạng này không phải thất thường hay
khơng dự đốn được trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên
nghĩa của kiến thức thu nhận được. Thêm vào đó, những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thể, thường liên
hệ với nhau trong một nguồn gốc chung: một cách nhận thức, một quan niệm đặc trưng nhất qnnếu khơng nói là đúng đắn, một “kiến thức” cũ đã từng đem lại thành cơng trong một lĩnh vực hoạt
động nào đó.
Đặc trưng của chướng ngại là gì?
 Chướng ngại là một kiến thực, một quan niệm chứ không phải là một khó khăn hay một sự
thiếu kiến thức
 Kiến thức này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong bối cảnh nào đó mà ta thường hay gặp
 Nhưng khi vượt ra khỏi bối cảnh này thì nó sản sinh những câu trả lời sai. Để có câu trả lời
đúng cho mọi bối cảnh cần phải có những thay đổi đáng kể trong quan điểm.
 Hơn nữa kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và chống lại sự thiết lập một kiến
thức hồn thiện hơn. Việc có một kiến thức khác hoàn thiện hơn chưa đủ để kiến thức sai này
biến mất, mà nhất thiết phải xác định được nó và đưa việc loại bỏ nó vào tri thức mới.
 Ngay cả khi chủ thể ý thức được sự khơng chính xác của kiến thức chướng ngại này, nó cũng

tiếp tục xuất hiện dai dẳng và khơng đúng lúc.

 Lý thuyết tình huống
Trong phần này, chúng tơi cũng chỉ đề cập đến khái niệm cần tham chiếu là hợp đồng didactic.


Hợp đồng didactic
Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng tri thức là sự mơ hình hóa các quyền lợi và
nghĩa vụ của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy
tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành
viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy.
Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm
ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính
xác những sự kiện quan sát được trong lớp học.
Theo Annie BESSOT và Claude COMITI (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng
didactic, người ta có thể tiến hành như sau:
 Tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy sao cho có thể đặt những thành viên chính (giáo
viên và học sinh) trong một tình huống khác lạ, được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách:
+ Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức;
+ Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó;
+ Tự đặt mình ra ngồi lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức
đang xét không giải quyết được;
+ Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đợi ở
học sinh.
 Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách:
+ Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học;
+ Phân tích các đánh giá tốn học của học sinh trong việc sử dụng tri thức;
+ Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong sách giáo khoa.
Đặc biệt, ta cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng
cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức, việc sử dụng tri thức đó khơng

chỉ được quy định bởi các văn bản hay định nghĩa của tri thức mà cịn phụ thuộc vào tình huống vận
dụng tri thức, vào những ước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong q trình
giảng dạy. Những tiêu chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này khơng cịn phụ
thuộc vào bản thân tri thức nữa mà phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactic.
Bất kỳ việc dạy một đối tượng tri thức mới nào cũng tạo ra những phá vỡ hợp đồng so với đối
tượng tri thức cũ và đòi hỏi thương lượng lại những hợp đồng mới: học tập là quá trình học sinh làm
quen với giá trị của những sự phá vỡ này thông qua thương lượng với giáo viên. Theo Brousseau, sự
thương lượng này tạo ra một loại trò chơi có luật chơi ổn định tạm thời, cho phép các thành viên


chính, nhất là học sinh đưa ra các quyết định trong một chừng mực an tồn nào đó, cần thiết để bảo
đảm cho họ sự độc lập đặc trưng của quá trình lĩnh hội.
Việc nghiên cứu quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết vì để chuẩn bị cho một tương lai,
giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó. Hợp
đồng mà giáo viên tác động tiến triển không liên tục, mà được tạo thành từ một chuỗi biến cố rất
nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với những sự phá vỡ hợp đồng. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ
đạo để có sự tiến triển mong đợi.

3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu.
Trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu, chúng tơi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu như sau:
1. Trong thể chế dạy học toán ở bậc đại học, khái niệm lũy thừa xuất hiện theo những tiến
trình nào? Nó có vai trị gì đối với các kiến thức tốn học khác? Ý nghĩa của tiến trình đó?
2. Trong thể chế dạy học phổ thông Việt Nam, khái niệm lũy thừa được đưa vào như thế nào?
Nó có vai trị gì trong việc xây dựng khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit? Các TCTH
nào được xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa? Có những thay đổi nào về TCTH được
xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa qua các thời kỳ? Có sự khác biệt và tương đồng
nào giữa mối quan hệ thể chế với mở rộng khái niệm lũy thừa ở bậc đại học và ở bậc trung
học phổ thơng? Tìm hiểu sự thay đổi vị trí của lũy thừa trong hai bộ SGK, lí do và ý nghĩa
của sự thay đổi đó? Những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi học và làm việc với
lũy thừa?

3. Những quy tắc hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy và học về
khái niệm lũy thừa?
4. Mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa có ảnh hưởng như thế nào lên mối quan hệ cá
nhân giáo viên và học sinh với lũy thừa?
4. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu đã đề ra, chúng tôi dùng phương pháp nghiên cứu như sau:
- Phân tích một số giáo trình đại học để tìm hiểu cách xây dựng, con đường mở rộng khái
niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học, ý nghĩa của tiến trình đó, cũng như vai trị của nó.
- Phân tích thể chế dạy học khái niệm lũy thừa ở bậc trung học phổ thông, so sánh sự khác
biệt giữa thể chế đại học và thể chế trung học phổ thông về con đường mở rộng lũy thừa, qua đó tìm
hiểu về sự thay đổi vai trò của lũy thừa trong hai lần cải cách SGK gần đây.
- Từ những kết quả đạt được ở trên cho phép chúng tôi đề xuất những câu hỏi mới và giả
thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của nó sẽ được kiểm chứng bằng thực nghiệm.


5. Tổ chức luận văn
Luận văn gồm các phần sau:
 Phần mở đầu:
Trình bày những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu
cũng như phương pháp nghiên cứu, và khung lý thuyết tham chiếu.
 Chương I: Khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học.
Phân tích khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể là phân tích khái niệm lũy
thừa trong một số giáo trình đại học để tìm hiểu tiến trình xuất hiện nó, đặc trưng của các tiến trình
này? Vai trị của lũy thừa đối với khái niệm hàm mũ và hàm lôgarit.
 Chương II: Khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy.
Phân tích khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy. Cụ thể, phân tích chương trình,
SGK lớp 6, 7 và hai bộ SGK là Đại số và giải tích 11 (CLHN năm 2000) và SGK Giải tích 12 nâng
cao (2005) để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa. So sánh vai trò của lũy thừa trong
hai bộ sách. So sánh việc xây dựng khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức
cần giảng dạy. Thơng qua việc phân tích chương trình và các TCTH, chúng tơi sẽ rút ra các QTHĐ

liên quan đến việc dạy và học khái niệm lũy thừa, cũng như những sai lầm mà học sinh gặp phải khi
học lũy thừa.
 Chương III: Thực nghiệm
Chúng tôi thực nghiệm trên học sinh và giáo viên nhằm tìm hiểu ảnh hưởng của mối quan hệ
thể chế lên mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh, cũng như tìm hiểu mối quan hệ cá nhân
của họ về đối tượng tri thức lũy thừa.
- Phần kết luận: Trình bày tóm tắt những kết quả đạt đươc ở ba chương trên và mở ra hướng
nghiên cứu mới từ luận văn có thể có.
- Tài liệu tham khảo.


Chương 1:
KHÁI NIỆM LUỸ THỪA
Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC
Trong chương này chúng tơi sẽ tìm hiểu tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri
thức khoa học thơng qua việc phân tích giáo trình:
1. Tốn cao cấp, Tập 2: Phép tính vi phân – các hàm thơng dụng, Guy Lefort, Viện đại học
Sài Gịn, 1975.[A]
2. Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet, Presses Universitaire de France,
1960.[B]
Việc phân tích này sẽ giúp cho chúng tơi có cơ sở để so sánh với tiến trình đưa vào khái
niệm lũy thừa ở SGK phổ thông, thấy được ý nghĩa của mỗi tiến trình, cũng như vai trị của lũy thừa
đối với việc xây dựng các khái niệm khác có sự thay đổi như thế nào.
1.1. Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [A].
Khái niệm lũy thừa với số mũ thực được đề cập trong chương 8 với nhan đề “CÁC HÀM LÔGARIT,
HÀM MŨ VÀ LŨY THỪA”, thứ tự các mục trong chương như sau:

I.

Hàm lôgarit

II.

Hàm mũ

III. Hàm lũy thừa
Theo giáo trình này thì khái niệm lũy thừa với số mũ thực không được đưa vào một cách
tường minh mà nó xuất hiện ngầm ẩn thơng qua định nghĩa của hàm mũ và các tính chất của hàm
mũ. Khái niệm lũy thừa đã được đưa vào giáo trình [A] theo tiến trình sau:

Hàm
lơgarit

Hàm
mũ e

Lũy thừa
cơ số e

Hàm mũ
cơ số a

Lũy thừa
cơ số a

Hàm
lũy thừa

Căn
bậc n

1.1.1. Giai đoạn xuất hiện ngầm ẩn của khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e qua định
nghĩa và tính chất của hàm mũ e.
Do khái niệm lũy thừa với số mũ thực được đưa vào ngầm ẩn trong định nghĩa hàm mũ e nên
để hiểu rõ hơn vấn đề này ta hãy xem xét định nghĩa hàm mũ e:
“Ta biết rằng (mệnh đề 2) nếu t là một số thực cho trước, thì phương trình:
logx=t


có một và chỉ một nghiệm, nó là một số dương thực sự ký hiệu expt (đọc là êch-pônen t). Liên
hệ với mỗi số thực t một số expt ta xác định một ánh xạ từ R vào R+* gọi là hàm mũ e; hàm
này là ngược của hàm lôgarit nêpe (định nghĩa hàm ngược đã trình bày ở 9-1).
Cho t ba giá trị 0, 1 và logs (với s>0) ta được các nghiệm :
exp0=1 ; exp1=e ; exp(logs)=s” (tr 79)
Theo định nghĩa này thì số e được giới thiệu là giá trị của hàm mũ e tại điểm 1, nhưng chưa
cho biết giá trị thực của nó. Mặt khác, để định nghĩa hàm mũ e, trước đó giáo trình đã đưa vào khái
niệm hàm lôgarit nêpe trong mục I, với kí hiệụ Log (mà SGK Việt Nam thường kí hiệu là ln). Vì
vậy, ta hãy quay lại định nghĩa hàm logarit nêpe đã được trình bày trước đó để xem số e được giới
thiệu như thế nào và giá trị của nó bằng bao nhiêu?
Hàm logairt được định nghĩa tổng quát như sau:
“Một hàm logarit là một ánh xạ từ R*+ vào R nghiệm phương trình:
(E)

f(xt)=f(x)+f(t)

với x và t bất kì trong R*+” [1,trang 71]
Sau đó, giáo trình [A] đi tìm nghiệm của phương trình (E) với giả thiết hàm f là khả vi. Kết quả
chứng minh được rằng: “Các nghiệm của phương trình (E) là:
1
x

Nguyên hàm bằng 0 tại 1 của hàm x  ; hàm này được gọi là logarit nêpe và được kí hiệu
Log.
Các hàm nhận được bằng cách nhân hàm trên đây với một hằng số tùy ý C (mỗi hàm này là
nguyên hàm bằng không tại 1 của hàm xC/x )».[tr 72]
Mặc dù hàm logarit nêpe đã được định nghĩa nhưng khái niệm cơ số vẫn chưa được đề cập.
Khái niệm cơ số chỉ xuất hiện khi định nghĩa hàm logairt cơ số a:
“Hàm logarit cơ số a, ký hiệu loga được xác định trong R*+ bởi:
log a x 

log x
log a

(a là một số dương thực sự khác 1)”.[tr76]
Tiếp theo giáo trình giới thiệu cơ số e như sau:
“Mọi hàm f xác định bởi:
f(x)=C.Logx
là một hàm logarit mà cơ số a là nghiệm duy nhất của phương trình (mệnh đề 2):
C=1/Loga  Loga=1/C
Đặc biệt hàm Log nhận được với C=1 là một hàm logarit đặc biệt mà cơ số là số vô tỉ:
e=2,71828 1828 hơn kém 5.10-10” [tr.76]


Khác với cách hiểu số e trong định nghĩa hàm mũ e, e ở đây được hiểu là một số mà tại đó
hàm logarit nêpe bằng 1: Loge=1 và e=2,71828 1828 hơn kém 5.10-10.
Mặt khác, hàm mũ e là hàm số ngược của hàm logarit nepe nên Loge=1  e=exp1 (Đúng
theo định nghĩa hàm mũ). Do đó, số e được định nghĩa trong hai trường hợp này là như nhau.
Hàm logarit và hàm mũ e đã được định nghĩa. Tuy nhiên, khái niệm lũy thừa chưa xuất hiện.
Sau khi đưa ra định nghĩa hàm mũ e là hàm số ngược của hàm logarit nêpe, các tính chất của
hàm mũ e cũng được trình bày tường minh:

“Nếu u, v, u1, …,un là các số thực tuỳ ý và n là một số nguyên dương thì:
(1) exp(u+v)=expu.expv


n



n



i 1

(2) exp   ui    exp ui
 i 1

(3) exp(nu)=(expu)n
(4) exp(u-v)=expu/expv” [tr 80]
Mặc dù kí hiệu e chưa được dùng để thay thế cho kí hiệu exp lúc này, nhưng các tính chất trên
cũng cho thấy sự xuất hiện ngầm ẩn các tính chất của lũy thừa với số mũ thực của cơ số e.
Thơng qua tính chất (3) exp(nu)=(expu)n ta thấy định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương
của một số thực dương đã được đưa vào trước đó: a.a…a=an (tích n số a với aR)
Do hàm mũ e được định nghĩa trên cơ sở hàm lôgarit nêpe nên các tính chất trên hồn tồn được
suy ra từ tính chất đại số của lôgarit nêpe. Cũng từ hệ thức (3) giáo trình cho biết thêm:
« Nếu u=1 hệ thức (3) có dạng :
expn=(exp1)n=en
Phương trình này thiết lập với n ngun dương, được mở rộng cho mọi giá trị thực :
Ký hiệu ex (đọc «e mũ x») được xác định với mọi số thực x bởi “expx=ex” [tr 80].
Theo trích đoạn trên thì ex chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x. Ngồi ra, ex cịn được hiểu

như là lũy thừa của e với số mũ thực x.
Việc mở rộng lũy thừa cơ số e từ số mũ nguyên dương sang số mũ thực được thực hiện dưới
dạng « expx=ex » chứ khơng trình bày định nghĩa một cách tường minh.
Như phần trình bày trên ta thấy nghĩa của lũy thừa với số mũ thực x, cơ số e chính là giá trị
của hàm mũ e tại điểm x.
Giáo trình cũng cho thấy sự khác biệt rõ nét giữa lũy thừa với số mũ thực và số mũ ngun
dương thơng qua chú ý : « Nhưng ký hiệu này khơng cho phép coi ex như một tích các thừa số bằng
e trừ trường hợp x là số nguyên dương ». [tr 81]


Qua cách trình bày của giáo trình này ta thấy rằng trước khi có một định nghĩa dưới dạng quy
ước về lũy thừa với số mũ thực cơ số e thì các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số e đã được
đưa vào ngầm ẩn thông qua tính chất đại số của hàm mũ e.
Khái niệm hàm mũ e, tính chất hàm mũ e đã được trình bày một cách tường minh, thơng qua
đó khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e và các tính chất của nó đã ngầm ẩn xuất hiện. Tuy
nhiên, nó vẫn chưa có tên gọi một cách chính thức là lũy thừa cơ số e với số mũ thực. Hay ta nói
rằng, khái niệm và tính chất của hàm mũ e là cơ sở để đưa vào khái niệm và các tính chất của lũy
thừa cơ số e với số mũ thực.
1.1.2. Giai đoạn xuất hiện ngầm ẩn của khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số a qua định
nghĩa hàm mũ cơ số a.
Theo giáo trình này thì «hàm mũ cơ số a là hàm ngược của hàm lôgarit cơ số a » và biểu thức
biểu diễn hàm mũ cơ số a được xác định như sau :
« Với mọi số thực t, phương trình :
logax=t 

log x
 t  log x  t.log a
log a

có một nghiệm duy nhất.

x=exp(tLoga)
Đặc biệt nếu t là một số nguyên dương n
x=exp(nLoga)=(exp(Loga))n=an» [tr82].
Do hàm mũ a là hàm số ngược của hàm logarit cơ số a nên ta ln có 0được biểu diễn thông qua hàm mũ e và logarit nêpe. Với t là một số ngun dương n thì kí hiệu an
chính thức được viết thay thế cho exp(nLoga) nhờ vào tính chất exp(nu)=(expu)n của hàm số mũ, an
được hiểu như là giá trị của hàm mũ cơ số a tại n, an còn được hiểu ngầm ẩn là lũy thừa cơ số a với
số mũ nguyên dương.
Ở đây lũy thừa cơ số a với số mũ nguyên dương được định nghĩa thơng qua hàm mũ a. Ngồi
cách viết hàm mũ a là: x=exp(tLoga), hàm mũ a cịn có cách viết khác theo trích đoạn sau:
« Với mọi số thực t ta dùng kí hiệu :

x=exp(tLoga)=at

Đây là một định nghĩa của kí hiệu at (với t nguyên cách viết đó đã được định nghĩa như một
tích các thừa số và trong trường hợp này hai định nghĩa là đồng nhất)» [tr83].
Trong trường hợp t là số thực, người ta vẫn dùng kí hiệu at như là exp(tLoga). Hàm mũ a còn
được viết dưới dạng: x=at. Kí hiệu at cũng chính là lũy thừa cơ số a với số mũ thực. Ta thấy lũy
thừa cơ số a với số mũ thực vẫn được định nghĩa tương tự như số mũ nguyên dương- định nghĩa
thơng qua hàm mũ a. Theo giáo trình [A], lũy thừa với số mũ thực t, cơ số a chính là giá trị của hàm


mũ a tại điểm t. Ngoài ra, trong trường hợp t là số n nguyên dương thì lũy thừa cơ số a với số mũ n
là tích của n số a.
Q trình phân tích ở trên cho thấy khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a được hiểu
ngầm ẩn qua việc biểu diễn hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu at. Vì vậy các tính chất của lũy thừa
với số mũ thực cơ số a cũng được đưa vào ngầm ẩn trong các tính chất của hàm mũ cơ số a.
Ta xét các tính chất của hàm mũ cơ số a:
« Định lý 2.(các tính chất đại số của các hàm mũ ).
Nếu u,v, u1,...,un là các số thực tùy ý, a và b là các số thực dương thực sự, thì :

n

(1) a .a  a
u

v

u v

n

; (2)

a  a
ui

 ui
i 1

; (3)

i 1

au
 a u v
av

(4) a u .bu   a.b  ; (5) (a u )v  a uv "[6, tr 83] .
u

Đây cũng là các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a, 0thì «tất cả các tính chất này là hệ quả trực tiếp của định nghĩa cách viết at=exp(tLoga) và các tính
chất của hàm mũ e.» [tr84].
Như vậy việc định nghĩa hàm mũ cơ số a không yêu cầu phải trình bày trước đó khái niệm
lũy thừa với số mũ thực mà ngược lại nó cịn sinh ra khái niệm lũy thừa với số mũ thực. Giống như
nhận định ở trên : việc mở rộng lũy thừa trên tập số thực với cơ số e đã được thực hiện bởi khái
niệm và tính chất của hàm mũ e, thì ở đây hàm mũ cơ số a và các tính chất của nó vẫn là cơ sở cho
việc mở rộng lũy thừa cơ số a với số mũ thực.
Sau khi chứng minh các tính chất trong định lý 2, giáo trình chính thức đề cập đến lũy thừa với
số mũ ngun:
«Các quy tắc cổ điển về lũy thừa nguyên là một trường hợp đặc biệt các kết quả của định lý
2 vì rằng nếu u và v là các số nguyên thì các cách viết au và av là các lũy thừa nguyên bậc u
và v của a nghĩa là các tích của u hay v các thừa số bằng a ». [tr 84]
Điều đó có nghĩa là, lũy thừa với số mũ nguyên đã được đưa vào trước đó, nó có các tính chất
giống tính chất của hàm mũ, nó được định nghĩa thông qua phép nhân các thừa số bằng nhau.
Việc phân tích trên cho chúng ta thấy, khái niệm hàm mũ a, tính chất hàm mũ a đã được trình
bày một cách tường minh, thơng qua đó khái niệm và tính chất lũy thừa với số mũ thực cơ số a đã
ngầm ẩn xuất hiện. Tuy nhiên, nó vẫn chưa có tên gọi một cách chính thức là lũy thừa cơ số a với số
mũ thực.
1.1.3. Hàm lũy thừa.
Xét định nghĩa hàm lũy thừa trong trích đoạn sau :
« Nếu  là một số thực cho trước, hàm lũy thừa f với số mũ  được xác định bằng :


f(x)=x
Ta đã định nghĩa ký hiệu x bằng cách đặt x=eLogx và định nghĩa này chỉ có nghĩa khi
x>0 »[ tr 89]
Hàm lũy thừa được định nghĩa thông qua phép đặt « x=eLogx », mà bản chất nó là một định
nghĩa của kí hiệu at, với t là số thực. Cũng do cách định nghĩa x=eLogx nên điều kiện đặt ra là x>0.
Ở đây, người ta không xét sự thay đổi tập xác định của hàm lũy thừa khi số mũ  thay đổi.

Ta thấy, lũy thừa cơ số e là cơ sở để định nghĩa hàm lũy thừa. Tuy nhiên, lũy thừa và các tính
chất của nó khơng được nêu ra một cách tường minh nên việc khảo sát hàm lũy thừa cũng khơng
dựa vào tính chất của lũy thừa mà dựa vào hàm mũ và hàm lơgarit, « vì nó là hợp của hàm lơgarit
và hàm mũ.
xu= .Logxf(x)=expu » [tr89]
Và để phục vụ cho viêc khảo sát nó thì trước đó giáo trình này đã đưa vào khái niệm đạo hàm và
tích phân.
1.1.4. Hàm ngược của hàm lũy thừa, căn bậc n.
Bây giờ ta hãy đi nghiên cứu hàm ngược của hàm lũy thừa. Theo giáo trình thì :
« Phương trình :
x  t

(1)

Trong đó t là một số dương cho trước, có một và chỉ một nghiệm
1

1

x  ( x )   t 

Hàm ngược của hàm lũy thừa với số mũ  liên hệ mọi số dương t với nghiệm của phương
trình (1). Đó chính là hàm lũy thừa với số mũ 1/. » [tr 91].
Theo định nghĩa này thì hàm lũy thừa với số mũ 1/ là hàm số ngược của hàm lũy thừa với
số mũ . Do đó, đồ thị của hai hàm này đối xứng với nhau qua đường phân giác của các trục.
1

« Đặc biệt nếu  là số nguyên dương n thì số t n là nghiệm của phương trình (1) theo định
nghĩa là căn bậc n của t, kí hiệu n t » [tr 91].
Như vậy, hàm ngược của hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương n là căn bậc n. Nói cách

khác, hàm lũy thừa là cơ sở để định nghĩa căn bậc n thông qua hàm số ngược. Ở đây chỉ định nghĩa
căn bậc n của một số thực dương. Căn bậc n của t được nêu ra như là nghiệm của phương trình xn=t,
với t>0, x>0. Vấn đề đặt ra ở đây là tại sao khơng có khái niệm cho căn bậc n của t<0 ?
Ta thấy, do căn bậc n được xây dựng là hàm số ngược của hàm lũy thừa, hàm lũy thừa lại
được định nghĩa là : f =x=eLogx , nên không thể đưa ra khái niệm căn bậc n của một số âm.


1

Theo cách định nghĩa trên thì :

n

t  t n (t>0). Do đó, dựa vào các tính chất đại số của hàm mũ

cơ số a, ta suy ra được các tính chất của căn bậc n, chẳng hạn :
1

1

1

" a n .b n  (a.b) n  n a . n b  n a.b
1

1

1

(a n ) m  a mn  m n a  mn a " [tr 92]

Hàm căn bậc n là hàm ngược của hàm lũy thừa y=xn, n nguyên dương nên việc khảo sát hàm căn
bậc n cũng được xem như việc khảo sát một hàm lũy thừa đặc biệt.
 Kết luận giáo trình [A]
Khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a khơng được trình bày một cách tường minh. Nó
được đưa vào ngầm ẩn qua hai giai đoạn : ex  ax. Lũy thừa với số mũ nguyên dương n, cơ số e
được định nghĩa như là tích của n thừa số e, sau đó lũy thừa với số mũ thực cơ số e được mở rộng
dưới dạng « ex=expx », lũy thừa với số mũ thực cơ số a xuất hiện ngầm ẩn thông qua khái niệm
hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu at, exp(tLoga)=at, t thực.
Ta cũng tìm thấy các tính chất của lũy thừa với số mũ thực thơng qua tính chất của hai hàm
mũ cơ số e và cơ số a. Trước khi có khái niệm lũy thừa xuất hiện một cách ngầm ẩn thì khái niệm
hàm logarit và hàm mũ đã được đưa vào. Vì vậy, mở rộng khái niệm lũy thừa khơng có vai trị gì
trong việc định nghĩa hàm logarit và hàm mũ, hàm lũy thừa mà chính hàm mũ cơ số a là cơ sở để
xây dựng khái niệm lũy thừa với số mũ thực.
Căn bậc n là hàm ngược của một hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương, nó được đưa vào
sau khi đã biết khái niệm hàm lũy thừa. Do đó, căn bậc n khơng có vai trị gì trong việc định nghĩa
lũy thừa. Theo giáo trình này thì để định nghĩa cũng như khảo sát hàm mũ và hàm logarit hay hàm
lũy thừa người ta dùng giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm...Nên các kiến thức toán học này đã được
trình bày trước đó.
1.2. Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B].
Trong giáo trình này, mở rộng khái niệm số mũ và lũy thừa được đưa vào phần II- Hàm mũ
và nằm trong chương 1-Hàm lôgarit và hàm mũ. Tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa trong giáo
trình [B] như sau:
Hàm
lơgarit
nêpe

Hàm
mũ e

Lũy thừa
cơ số e với
số mũ
thực

Lũy thừa
cơ số a
với số
mũ thực

1.2.1. Khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỷ, cơ số a.

Hàm
mũ a

Hàm
logarit
cơ số
a


Do trong giáo trình này, định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ được nhắc lại trong phần xét
tính chất của lơgarit, nên để tìm hiểu nó, ta đi xét các tính chất của lơgarit.
Khơng giống như giáo trình [A], ở giáo trình này khơng đề cập đến hàm số lôgarit tổng quát
mà nghiên cứu cụ thể là hàm lôgarit nêpe. Hàm lôgarit nêpe là một ánh xạ f từ tập số thực dương
đến tập các số thực thỏa mãn tính chất f(x.y)=f(x)+f(y), f(1)=0, có đạo hàm bằng 1/x.
Các tính chất của nó cũng được suy ra từ định nghĩa với kiến thức liên quan là đạo hàm.
Đặc biệt, với mọi số nguyên dương n, áp dụng tính chất của hàm lôgairt nêpe :
Log(a1a2...an)=Loga1+Loga2+...+Logan với a1, a2,....an >0. Ta có Logan=n.Loga với a>0. Từ đây ta
có thể hiểu rằng : với n nguyên dương thì an=a.a...a ( n số a, a>0).

Theo giáo trình này thì :
« Hệ thức trên còn đúng với n là số hữu tỷ dương. Thật vậy, xét số hữu tỷ r 

p
(p, q nguyên
q

dương), ta có theo định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ :
q

p
 q
p
a   a
 
 

p

Từ đó qLogap/q=pLoga tức Loga q 

p
Loga ». [tr3]
q

Theo trích đoạn trên, thì định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương của cơ số a dương đã
được đưa vào trước đó.
Lũy thừa cơ số a>0 với số mũ hữu tỷ r 

p

(p, q nguyên dương) được định nghĩa là một số
q

q

 p
thỏa :  a q   a p
 
 

« Đặc biệt, nếu r là số hữu tỷ âm, đặt r=-r’. Với mọi a>0, ta có a r 

1
, Logar=Log1/ar’=r'
a

logar’=-r’Loga=rLoga. Tóm lại, hệ thức Logar=rLoga đúng với mọi số hữu tỷ dương hoặc
âm và với mọi a>0 ».[tr3]
Tóm lại, lũy thừa với số mũ hữu tỷ âm được định nghĩa thông qua lũy thừa với số mũ hữu tỷ
dương : a r 

1
với r<0, r=-r’. Và định nghĩa này hiển nhiên là đúng trong trường hợp số mũ là số
ar '

nguyên âm.
Các định nghĩa trên đều được xét khi a>0, vậy khi a<0 thì nó cịn đúng khơng ? Ta hãy xét
chú ý sau :
« Nếu a<0, có thể ar tồn tại và dương, chẳng hạn khi r là số nguyên chẵn (dương hoặc âm)
hoặc khi r có dạng phân số tối giản p/q với q lẻ, p chẵn và có dấu bất kỳ » [tr4]

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ, cơ số âm vẫn tồn tại, nhưng có những ràng buộc nhất định dành
cho số mũ như số mũ phải là số nguyên chẵn hoặc nếu số mũ có dạng phân số tối giản thì mẫu số
phải là số lẻ, tử số là số chẵn.
Như vậy, khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên dương, nguyên âm, hữu tỷ đã được định nghĩa
trước khi có các định nghĩa về hàm logarit và hàm mũ, và nó là cơng cụ được dùng để tìm ra một
vài tính chất của logarit nêpe. Hay nói cách khác nó là cơng nghệ để giải thích cho một số tính chất
của logarit nêpe.

1.2.2. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số e.
Sau khi dùng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm logarit nêpe, thì hàm số mũ e xuất hiện
và được định nghĩa là hàm số ngược của hàm logarit nêpe :
« Khi biến y tăng từ 0 đến +, hàm số x=Logy được xác định, liên tục và tăng từ - đến
+. Nó có hàm số ngược mà chúng ta tạm ký hiệu là y=e(x), xác định, liên tục và tăng từ 0
đến + khi x tăng từ - đến +”.
Vì vậy, chúng ta có sự đồng nhất giữa hai kí hiệu « x=Logy và y=e(x) ». Cách định nghĩa này
hoàn toàn giống với giáo trình [A]. Trong định nghĩa hàm mũ, kí hiệu e(x) được sử dụng nhưng
khái niệm cơ số chưa xuất hiện. Đến khi trình bày các tính chất của hàm mũ, kí hiệu ex mới được
định nghĩa như sau :
«Đặc biệt, nếu kí hiệu e(1)=e (số thực dương duy nhất xác định bởi Loge=1) thì với mọi số
hữu tỉ r=r.1
e(r)=e(r.1)=[e(1)]r=er
Do đó, ta sẽ dùng kí hiệu ex để chỉ e(x) ngay cả khi x là vô tỉ, ta gọi hàm này là hàm mũ
Với số e, định nghĩa này là mở rộng cho lũy thừa với số mũ vô tỉ. Thật vậy, các quy tắc cổ
điển của lũy thừa được áp dụng cho ex với x hữu tỷ hoặc vơ tỷ như lũy thừa bình thường» [tr
6].
Giống như giáo trình [A], số e ở đây được hiểu là giá trị mà tại đó logarit nepe bằng 1 hoặc e
là giá trị của hàm mũ e tại điểm 1. Tuy nhiên giá trị thực của e chưa được xác định. Sau đó, bằng
giới hạn và khai triển Mac-Laurin cho hàm mũ e thì e được xác định là số vơ tỉ và có giá trị gần

đúng là e 2,71828. Đến đây hàm mũ cơ số e chính thức được viết dưới dạng : y=ex.
Lũy thừa với số mũ vô tỷ cơ số e được định nghĩa là : ex = e(x). Với cách định nghĩa này thì ex
chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x. Giáo trình [B] mở rộng lũy thừa từ er  ex, điều này khác
với giáo trình [A].


Đoạn trích trên phần nào nói rõ, lũy thừa với số mũ thực cơ số e có đầy đủ tính chất của lũy
thừa với số mũ nguyên. Ta thấy khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e được định nghĩa thơng
qua khái niệm và tính chất của hàm mũ e, vì vậy các tính chất của nó cũng được suy ra từ tính chất
của hàm mũ e như :

eu .ev  eu  v , u , v  R
(e a ) r  ear , a  R, r  Q

Cách định nghĩa lũy thừa với số mũ vơ tỷ cơ số e ở giáo trình [B] hồn tồn giống với giáo
trình [A], tuy nhiên nó được trình bày tường minh.
1.2.3. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số a.
Trong mục 7 trang 8, lũy thừa với số mũ thực cơ số a>0 được định nghĩa như sau :
« a x  e xL og a với a>0 và x bất kì ». Vì sao nó được định nghĩa như vậy, ta hãy xem lí giải của giáo
trình này :
« Chúng ta sẽ định nghĩa lũy thừa với số mũ bất kì cho một số thực dương sao cho các quy
tắc tính tốn cũ vẫn còn áp dụng được. Chúng ta đã chứng minh rằng Logar=rLoga, với r
hữu tỉ. Nói cách khác, ar=erLoga
Nếu thay r bằng một số thực bất kì x, vì a là số thực dương, vế phải của đẳng thức trên cịn
có nghĩa trong khi vế trái thì chưa. Do đó, ta sẽ định nghĩa rằng a x  e xL og a với a>0 và x bất
kì » [tr 8]
Lũy thừa với số mũ thực cơ số a>0 được định nghĩa thông qua lũy thừa với số mũ thực cơ số
e, mà kiến thức liên quan là logarit nêpe. Do lũy thừa ax được biểu diễn là a x  e xL og a nên cơ số a
luôn dương. Dựa vào các tính chất của lũy thừa cơ số e và tính chất của logarit nêpe, người ta chứng
minh được các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a >0. Cụ thể :

xLoga xLogb

1, Với mọi a, b dương, với mọi số thực x : e

.e

x( LogaLogb)

e

 exLogab ax.bx  (ab)x

2, Với mọi a>0, với mọi x, y : a x .a y  a x  y , (a x ) y  a xy
Thật vậy,

ax.ay exloga.eyloga e(xy)Loga axy

Ngồi hai tính chất này thì giáo trình khơng trình bày thêm tính chất nào nữa. Như vậy, các
tính chất của lũy thừa cơ số a với số mũ thực được trình bày nhưng khơng đầy đủ.
Q trình phân tích trên cho thấy, lũy thừa cơ số e là cơ sở để mở rộng khái niệm lũy thừa với
số mũ thực cơ số a, cịn các tính chất của lũy thừa cơ số e và logarit nêpe là cơng nghệ để giải thích
cho các tính chất của lũy thừa ax. Một điểm khác biệt của giáo trình này so với giáo trình [A] là định
nghĩa ax xuất hiện trước khi hàm mũ cơ số a được định nghĩa.
Sau khi mở rộng khái niệm số mũ và lũy thừa, giáo trình đưa ra khái niệm hàm mũ a như sau :
« Để nghiên cứu hàm số y=ax với a>0, ta nhắc lại định nghĩa


y=ax=exLoga
hàm số này xác định với mọi x, tăng nếu a>1, giảm nếu 0tiến ra -, ax tiến ra + khi x tiến ra +. Nếu 0

đến 0 khi x tiến ra +. Nếu a=1, y=ax=1 là hàm hằng”. [tr9]
Ta thấy, hàm mũ cơ số a được định nghĩa dựa trên khái niệm lũy thừa với số mũ thực: y=ax=exLoga.
Cũng do cách định nghĩa này mà đường biểu diễn của hàm số y=ax được suy ra từ đường biểu diễn
của hàm số y=ex.
Định nghĩa hàm lôgarit được đưa ra sau khi đã có định nghĩa hàm mũ a. Hàm số y=Logax có
thể viết y  Log a x 

Logx
hoặc một cách tương đương là x=ay. Theo giáo trình này thì hàm logarit
Loga

cơ số a là hàm số ngược cùa hàm mũ cơ số a nên các tính chất của nó tương tự như các tính chất của
hàm mũ a, đường biểu diễn của nó có được nhờ phép lấy đối xứng đồ thị hàm mũ a qua đường phân
giác thứ nhất. Trong giáo trình [A], hàm mũ a là hàm số ngược của hàm logarit cơ số a. Cách định
nghĩa hàm logarit cơ số a ở đây hoàn toàn ngược lại với giáo trình [A]. Hàm mũ a, hàm logarit cơ số
a đã được định nghĩa, vậy hàm lũy thừa có được đưa vào giáo trình này khơng? Việc khảo sát nó
được thực hiện như thế nào?
Để tìm câu trả lời cho những câu hỏi trên, ta hãy xét trích đoạn trong mục 10, trang 10 của
giáo trình này:
“Vì lũy thừa với số mũ thực đã được định nghĩa, nên ta có thể khảo sát hàm số y  x với 
là hằng số thực bất kì. Chúng ta giới hạn việc khảo sát với x>0 vì hàm này chỉ xác định với
x<0 trong nhưng trường hợp đặc biệt của  ( nguyên hoặc  hữu tỉ có dạng phân số tối
giản và mẫu số là lẻ)”.
Điều này khẳng định lại một lần nữa sự thay đổi điều kiện của cơ số khi số mũ thay đổi. Người
ta chỉ xét x,  là số thực bất kì khi x>0, điều này hoàn toàn phù hợp với định nghĩa lũy thừa với số
mũ bất kì được đưa vào trước đó. Lũy thừa với số mũ thực là cơ sở để định nghĩa hàm lũy thừa.
Căn cứ vào định nghĩa của lũy thừa với số mũ thực thì y  x  e Logx . “Dưới dạng này, tính
chất của hàm lũy thừa có thể suy ra từ tính chất của hàm Logx”.[tr10]
Kết luận giáo trình [B]
Giáo trình [B] mở rộng khái niệm lũy thừa thông qua bốn giai đoạn: lũy thừa với số mũ

nguyên lũy thừa với số mũ hữu tỷ lũy thừa với số mũ thực cơ số e  lũy thừa với số mũ thực
cơ số a. Cơ sở để định nghĩa lũy thừa với số mũ thực cơ số e là hàm mũ e, đến lượt nó lại là cơ sở để
mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ số a.


Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B] được trình bày tường minh chứ khơng cịn ngầm ẩn
như giáo trình [A].
Hàm mũ cơ số a được định nghĩa dựa trên khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a, do đó
các tính chất của nó cũng được suy ra từ tính chất của lũy thừa. Sau đó, người ta xem hàm logarit cơ
số a là hàm số ngược của hàm mũ a.
Thứ tự và cách thức mở rộng khái niệm lũy thừa ở đây hoàn toàn giống với giáo trình [A]. Tuy
nhiên, tiến trình đưa vào hàm mũ a và hàm logarit cơ số a thì hồn tồn ngược lại.
Do các giáo trình này chỉ trình bày lý thuyết mà khơng có ví dụ và bài tập đặc trưng cho phần
lũy thừa nên chúng tôi không đề cập đến tổ chức tốn học ở hai giáo trình này.


KẾT LUẬN CHƯƠNG I
Sau đây là một số kết quả chính trong q trình phân tích chương I:
+ Tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa trong hai giáo trình đều giống nhau ở chỗ : mở rộng lũy
thừa với số mũ thực cơ số e : « ex=expx (hoặc ex=e(x)) rồi đến mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ
số a : ax=exp(xLoga) hoặc ax= exLoga . Ở đây, ta thấy có hiện tượng mở rộng về số mũ lẫn cơ số của
lũy thừa. Tuy nhiên cơ sở cho phép thực hiện việc mở rộng lũy thừa trong hai giáo trình là khác
nhau. Nếu như giáo trình [A] mở rộng lũy thừa cơ số a với số mũ vô tỉ dựa trên hàm mũ a và định
nghĩa của kí hiệu at, thì giáo trình [B] lại dựa vào lũy thừa cơ số e.
+ Ở giáo trình [A] ta khơng thấy được vai trị của lũy thừa trong việc xây dựng hàm mũ và hàm
logarit thì ở giáo trình [B] ta thấy được phần nào vai trò của lũy thừa trong việc chứng minh các tính
chất của hàm logarit nêpe, cũng như việc định nghĩa hàm mũ cơ số a, hàm lũy thừa.
+ Khái niệm lũy thừa được đưa vào ngầm ẩn trong giáo trình [A] và trình bày tường minh trong
giáo trình [B]. Căn bậc n khơng có vai trị gì trong việc mở rộng khái niệm lũy thừa.
Bảng 1.1: So sánh các khái niệm cần định nghĩa giữa hai giáo trình [A] và [B].

Giáo trình

Khái niệm cần định nghĩa

Cơ sở để định nghĩa

Hàm mũ e
Lũy thừa cơ số e với số mũ thực
Hàm mũ a

Hàm logarit cơ số a
Hàm mũ a

Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Phép nhân

Lũy thừa với số mũ nguyên âm

LT với số mũ nguyên dương

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ
B

Hàm mũ

Lũy thừa cơ số a với số mũ thực

A

Hàm logarit nêpe

LT với số mũ nguyên dương

Hàm mũ e

Hàm logarit nêpe

Lũy thừa cơ số e với số mũ thực

Hàm mũ e

Lũy thừa cơ số a với số mũ thực

Lũy thừa cơ số e với số mũ thực

Hàm mũ a

Lũy thừa cơ số a


Chương 2:
KHÁI NIỆM LŨY THỪA
Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY
2.1. Mục tiêu của chương 2
Thông qua việc phân tích chương trình và SGK ở trường phổ thơng chúng tơi muốn làm rõ
tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, từ đó thấy được vai trị của lũy
thừa đối với việc xây dựng các khái niệm liên quan như hàm số mũ và hàm số lơgarit.
Trên cơ sở những gì chúng tơi đã phân tích ở chương 1 sẽ làm rõ được những điểm giống và
khác nhau giữa cách xây dựng khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và tri thức cần giảng

dạy. Giải thích được lý do vì sao có sự khác biệt giữa hai tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở
cấp độ tri thức khoa học và tri thức cần giảng dạy. Vai trò của lũy thừa trong việc xây dựng các khái
niệm hàm mũ và hàm lơgarit có thay đổi như thế nào từ cấp độ tri thức khoa học đến cấp độ tri thức
cần giảng dạy.
Cụ thể, chúng tôi sẽ phân tích chương trình và SGK ở trường THCS và THPT.
Ở trường THCS chúng tơi sẽ phân tích chương trình và SGK lớp 6, 7.
Ở trường THPT chúng tơi phân tích chương trình và SGK qua hai thời kì : chương trình chỉnh lý
hợp nhất năm 2000- Đại số và giải tích lớp 11 và chương trình chun ban năm 2005- Giải tích 12
nâng cao.
Theo chương trình chỉnh lý hợp nhất thì mở rộng khái niệm lũy thừa được đưa vào chương
trình lớp 11, với chương trình phân ban thì nó được đưa vào chương trình 12. Do đó, việc phân tích
hai bộ sách của hai thời kì có thể cho chúng tơi thấy mục đích của sự thay đổi này. Qua đó làm rõ
được vai trị, chức năng của khái niệm lũy thừa.
Đối với chương trình phân ban chúng tơi sẽ phân tích bộ sách nâng cao vì sách nâng cao trình bày
các vấn đề phong phú hơn, bài tập cũng đa dạng hơn sách cơ bản.
Thơng qua q trình phân tích các tổ chức tốn học, chúng ta sẽ thấy được sự thay đổi của
các TCTH qua hai thời kì. Từ đó làm rõ các ràng buộc của thể chế và các qui tắc hợp đồng liên quan
đến khái niệm lũy thừa, cũng như những sai lầm mà học sinh gặp phải khi làm việc với đối tượng
lũy thừa trong buổi đầu tiếp cận (lớp 6,7) và đã qua một thời gian sử dụng (lớp 12).
2.2. Khái niệm lũy thừa ở chương trình trung học cơ sở.
2.2.1. Khái niệm lũy thừa ở lớp 6 (SGK hiện hành)
Trong SGK 6, học sinh được học lũy thừa với số mũ tự nhiên ở chương I phần số học.


Lũy thừa với số mũ tự nhiên được định nghĩa như sau:
“Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:
a n  a.a.......a (n ≠ 0) » [tr26].
 
 
n thừa số

a gọi là cơ số và n gọi là số mũ.
Khái niệm lũy thừa với số mũ tự nhiên được hình thành từ phép nhân nhiều thừa số giống
nhau, phép nhân đó được gọi là phép nâng lên lũy thừa. Lũy thừa với số mũ nguyên dương được
định nghĩa hồn tồn giống với giáo trình đại học. Lũy thừa bậc n của a là một trường hợp đặc biệt
của một phép nhân.
Lũy thừa được hình thành từ một phép toán mà học sinh đã làm quen từ rất sớm, đó là phép
nhân. Tuy nhiên, kí hiệu của lũy thừa thì rất mới. Trong thời gian đầu tiếp cận nó, có thể học sinh sẽ
khó sử dụng. Vì vậy, nên chăng có hoạt động giúp học sinh phân biệt cơ số, số mũ, cũng như cách
tính lũy thừa như sau:
Chép lại và điền vào bảng sau đây giống như ở ct s 1
ô 3 m 4 ằ
34
3ì3ì3ì3
4ì4ì4
81

ô 0,7 m 5 »

« -2 mũ 6 »
3

(-1,2)

6

2

Từ một ví dụ cụ thể, SGK giới thiệu hai phép toán trên lũy thừa là: a m .a n  a m  n ; a m : a n  a m  n (1)
Cơng thức (1) hồn tồn có thể chứng minh được bằng cách dùng định nghĩa, nhưng có thể

do yêu cầu giảm tải nên SGK không chứng minh. Theo tôi nên chứng minh công thức (1) nhằm
khắc sâu định nghĩa cho học sinh.
Thơng qua khái niệm bình phương một số, học sinh biết được một loại số mới trong các số tự
nhiên, đó là số chính phương-số bằng bình phương của một số tự nhiên.
Sau đó, SGK trình bày một vài ứng dụng của lũy thừa như:
 Lũy thừa được dùng để viết gọn một tích có nhiều thừa số giống nhau.
 Thơng qua bài tốn phân tích một số ra thừa số nguyên tố, lũy thừa được dùng để viết gọn lại
kết quả phân tích đó. Chính nhờ cách viết theo lũy thừa mà học sinh xác định ƯCLN và
BCNN một cách nhanh nhất. Ngồi ra, nó cịn giúp cho chúng ta xác định được số tự nhiên
có bao nhiêu ước số.
Ví dụ: Tìm ƯCLN(36, 84, 168)
Trước hết ta phân tích ba số trên ra thừa số nguyên tố :
36=22.32 ;

84=22.3.7 ;

168=23.3.7

Chọn ra các thừa số chung, đó là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của
3 là 1. Khi đó :