khảo sát năng lượng tương quan positron – electron trong phân tử đồng oxit
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.35 MB, 61 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
CHUYÊN NGÀNH VẬT LÝ HẠT NHÂN
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài
:
KHẢO SÁT NĂNG LƯỢNG TƯƠNG QUAN
POSITRON – ELECTRON TRONG
PHÂN TỬ ĐỒNG OXIT
CBHD: ThS. Trịnh Hoa Lăng
SVTT: Phạm Thị Phú
TP. HỒ CHÍ MINH – 2010
THƯ
VIỆN
LỜI CẢM ƠN
Sau khi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài "khảo sát năng lượng tương quan
electron - positron trong phân tử đồng oxit". Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến:
Thầy Trònh Hoa Lăng người đã chỉ hướng, cung cấp tài liệu tham khảo và sửa chữa sai sót
cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài.
Toàn thể các thầy cô khoa vật lý trường Đại Học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh, đã truyền đạt
cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt bốn năm học tại trường.
Người thân và tất cả các bạn đã động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận.
Một lần nữa tôi xin cảm ơn tất cả mọi người và xin nhận nơi tôi lòng biết ơn sâu sắc nhất.
Thành phố Hồ Chí Minh tháng 5 -2010
Sinh viên thực hiện:
Phạm Thò Phú - K32.
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Các ký hiệu.
n: số lượng tử chính.
l: số lượng tử quỹ đạo.
a
0
: bán kính Bohr.
m
e
: khối lượng electron.
: số PI.
E
L
: năng lượng cục bộ.
Z: điện tích hiệu dụng.
: hằng số Planck.
: mật độ.
H: Hamilton.
: toán tử Gradien.
2
: toán tử Laplace.
: delta Dirac.
T
: hàm sóng thử.
: hàm sóng của hệ.
J
: hàm Jastrow.
N: số hạt electron.
T: động năng.
E: năng lượng.
pe
c
E
: năng lượng tương quan
electron – positron.
V: thế năng.
Các chữ viết tắt.
Ps: positronium.
e
+
A: hệ liên kết positron - ngun tử.
: gamma.
I: thế ion của nguyên tử
CuO: phân tử đồng oxit
a.u: Đơn vò nguyên tử (atomic unit).
e – p: electron – positron.
VMC: Variational Monte Carlo.
CÁC ĐƠN VỊ
Các đơn vò tính toán trong nguyên tử
Đại lượng
Ký
hiệu
Trong hệ SI
Trong hệ
đơn vò nguyên
Bán kính Bohr a
0
5,291 772 108x10
-
11
m
1
Khối lượng electron m
e
9,109 3826x10
-
31
kg
1
Điện tích electron. E
1,602 176 53x10
-
19
C
1
Hằng số Planck
1,054 571 68x10
-
3
4
J
s
1
Năng lượng tính theo
Hartree
1
Hartree
4,359 744 17x10
-
18
J
(27,211 3845 eV)
1
Hằng số Rydberg Ry
1,0973731568525x
10
7
/m.
(13,9056923 eV)
0,5
LỜI MỞ ĐẦU
Positron là phản hạt của electron được khám phá lý thuyết bởi Paul Dirac năm 1928, sau
đó được Carl D. Andersen quan sát thực nghiệm năm 1932. Và ngày 15 tháng 3 năm 1933, sau
khi tạp chí khoa học Mỹ chuyên đề vật lý xuất bản bài "electron mang điện dương" bởi Carl D.
Andersen của viện công nghệ California, lòch sử thực nghiệm positron bắt đầu.
Trong thực nghiệm huỷ positron, dựa vào đặc tính huỷ electron - positron mà positron có
ph
ạm vi ứng dụng rất lớn như: Sử dụng positron để phát hiện khuyết tật trong vật liệu bằng
phương pháp đo phổ thời gian sống, CT (Computed Tomography) trong công nghiệp để phát
hiện lỗ hổng vật liệu. Trong y học, positron được ứng dụng vào công nghệ máy PET (Positron
Emission Tomography) dùng phổ biến trong chuẩn đốn và theo dõi bệnh ung thư. Các kết quả
thực nghiệm được đo gián tiếp thông qua thời gian sống của positron hoặc xung lượng huỷ cặp
electron – positron trong môi trường khảo sát. Và những kết quả thực nghiệm này sẽ được giải
thích chính xác hơn nếu chúng ta xét đến tương tác electron - positron.
Từ những năm 50, đã có rất nhiều nhà khoa học áp dụng các lý thuyết lượng tử để giải
thích sự huỷ positron trong môi trường chất rắn nhưng hầu như rất phức tạp và không đạt kết quả
mong muốn. Ngày nay, phương pháp biến phân Monte Carlo đang được áp dụng rộng rãi cho
các hệ lượng tử như nguyên tử, phân tử, vật lý chất rắn. Phương pháp này tính toán đơn giản và
giải quyết tốt các vấn đề của thế giới vi mô. Vì vậy trong phạm vi khoá luận này, tôi áp dụng
phương pháp biến phân Monte Carlo trong mô hình Born - Oppenheimer để khảo sát năng lượng
tương quan electron - positron trong phân tử đồng oxit . Nội dung khóa luận gồm bốn chương:
Chương 1: Tổng quan về hệ positron - electron.
Chương 2: Phương pháp biến phân Monte Carlo lượng tử.
Chương 3: p dụng phương pháp VMC cho phân tử đồng oxit khi có positron.
Chương 4: Các kết quả tính toán.
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ HỆ ELECTRON - POSITRON
Electron là một trong những hạt cơ bản cấu thành nên vật chất, có phản hạt là positron.
Positron mang điện dương có cùng khối lượng, cùng spin, momen từ và độ lớn điện tích với
electron. Nếu positron gặp electron, chúng có xác suất huỷ cặp phần lớn tạo ra hai tia gamma
năng lượng 511 Kev.
1.1.Cơ chế liên kết positron với vật chất
Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng một số nguyên tử và ion nguyên tử có thể liên kết
với một positron như là liti, heli, natri, canxi, magie, đồng, kẽm, bạc… Số nguyên tử này được
tìm thấy ngày càng nhiều. Và cấu trúc của các hệ này được xác đònh là lớn để positron có thể
thắng lực đẩy của hạt nhân và liên kết với các electron hoá trò. Một số hệ như là e
+
Be bao gồm
một positron chuyển động quanh nguyên tử beri phân cực. Trong khi trong các hệ khác e
+
Na,
e
+
Cu, e
+
O…có thể được mô tả tốt nhất bằng một positronium chuyển động quanh lõi mang điện
Na
+
, Cu
+
, O
+
… Ngoài ra một vài hệ có khả năng có hai positron đã được tìm thấy.
1.1.1.Positron liên kết với nguyên tử
Tương tác giữa nguyên tử và positron là đẩy nhau tại mọi điểm. Điều này thể hiện sự khó
khăn trong liên kết của nguyên tử với positron. Song đám mây điện tích electron của nguyên tử
gần positron có thể tự điều chỉnh làm cho tương tác giữa positron và nguyên tử là tương tác hút.
Khi đó đám mây electron khi này bò phân cực. Và nếu thế hút phân cực lớn hơn thế đẩy của hạt
nhân đối với positron thì trạng thái liên kết tồn tại.
Hình 1.1. Mô hình positron liên kết với nguyên tử, đám mây điện tích cuả electron ở gần
positron thay đổi
Khi th
ế ion của ngun tử I < 0,250 Hartree ( năng lượng liên kết của positronium) thì
positron chỉ liên kết với nguyên tử khi năng lượng liên kết của positron với nguyên tử lớn hơn
e
+
0,250 - I, ngược lại hệ positron- nguyên tử sẽ tách thành positronium và ion dương ( trạng thái
nguyên tử khi mất một electron )
1.1.2.Liên kết của positronium với lõi nguyên tử
Các electron hoá trò trong nguyên tử liên kết lỏng lẻo với hạt nhân. Và khi th
ế ion của
ngun tử I < 0.250 Hartree thì một trong các electron hoá trò này sẽ bò hút vào positron, tạo
thành một positronium ( kí hiệu P
S
). Positronium bao gồm một electron và một positron liên kết
với nhau, nó tương tự như nguyên tử hydro về mặt điện tích trong đó positron được xem như
proton. Positronium có khối lượng rút gọn bằng nửa khối lượng của electron, có bán kính bằng
hai lần bán kính của nguyên tử hidro. Do positron và electron đều có spin bằng ½ và mô men
quỹ đạo l=0 nên khi chúng kết hợp với nhau có thể hình thành hai trạng thái:
Trạng thái spin đối song có momen góc l = 0 và spin toàn phần s = 0 được gọi là trạng thái
singplet, hình thành paraPositronium (p-Ps) có một trạng thái là
1
S
0
.
Trạng thái spin song song có l = 0 và s = 1, được gọi là trạng thái triplet, hình thành
orthoPositronium có ba trạng thái:
3
S
-1
,
3
S
0
,
3
S
1.
Do vậy, xác suất hình thành orthopositronium là ¾ còn xác suất hình thành para positronium
là ¼.
Hình 1.2. Mô hình positron liên kết với nguyên tử, Ps bò phân cực do lõi mang điện tích
dương.
Positronium bò phân cực do tương tác Culong của lõi nguyên tử và có thể dẫn tới sự liên
kết của P
S
với lõi nguyên tử. Để Positronium liên kết với nguyên tử thì năng lượng liên kết của
positron với nguyên tử phải nhỏ hơn 0,250 - I.
1.2.Sự huỷ positron
Positron là phản hạt của electron, nên theo thuyết phản hạt trong cơ học lượng tử thì khi
positron gặp electron sẽ huỷ cặp với xác suất nào đó. Khi positron đi vào môi trường vật chất sẽ
e
-
e
+
va chạm với các electron, ion nút mạng và các phonon dao động mạng. Quá trình va chạm xảy
ra liên tiếp làm cho các positron nhanh chóng mất năng lượng và trở thành positron nhiệt. Quá
trình này được gọi là quá trình nhiệt hoá positron. Thời gian nhiệt hoá phụ thuộc vào năng lượng
ban đầu của positron. Theo Bergersen, Hautojarvi: positron có năng lượng khoảng 2 Mev có thời
gian nhiệt hoá nhỏ hơn 20 ps. Trong khi thời gian sống của positron trong kim loại là khoảng
200ps. Nên positron bò nhiệt hoá trước khi huỷ cặp.
Hình 2 : Quá trình huỷ positron.
Khi positron nhiệt gặp electron trong môi trường vật chất thì chúng có thể huỷ cặp ngay
lập tức, hoặc chúng kết hợp với electron hoá trò của nguyên tử trong môi trường vật chất tạo
thành P
S
. Nếu trạng thái spin của cặp huỷ là trạng thái singlet ( s = 0 ) thì quá trình huỷ chủ yếu
là huỷ
2
. Còn trạng thái spin của cặp huỷ là trạng thái triplet thì sự huỷ chủ yếu là huỷ
3
.
Nếu có mặt của một hạt thứ ba là electron hoặc hạt nhân nguyên tử của môi trường thì có thể
xảy ra quá trình huỷ
1
( theo đònh luật bảo toàn động lượng ). Trong đó trường hợp hủy cặp
sinh hai gamma là chủ yếu còn trường hợp sinh ra ba gamma và một gamma có xác suất rất nhỏ
nên có thể bỏ qua.
Huỷ
21
10
Khuếch
tán
Nhiệt hoá e
+
s
12
10
e
+
Nguồn e
+
CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP biến phân MONTE CARLO LƯNG TỬ
Mục đích: trình bày tổng quan về phương pháp biến phân Monte Carlo, cách áp dụng
phương pháp này cho hệ lượng tử, mô hình hàm Hamilton và hàm sóng thử cho hệ e - p.
Các nội dung chính:
Nguyên lý biến phân.
Phương pháp biến phân Monte Carlo.
Quy trình thuật toán Monte Carlo lượng tử.
Áp dụng phương pháp VMC cho hệ lượng tử.
Xấp xỉ Hamilton.
Hàm sóng thử.
2.1.Nguyên lý biến phân
Việc tìm lời giải gần đúng cho phương trình Schodinger của hệ nhiều hạt xuất phát từ
nguyên lý biến phân, được phát biểu như sau:
Giá trò trung bình của Hamilton
H
ˆ
được tính với hàm sóng thử
t
không bao giờ thấp hơn
giá trò năng lượng trạng thái cơ bản
0
của Hamilton
H
ˆ
được tính với hàm sóng trạng thái cơ bản
0
.
Từ nguyên lý biến phân ta thấy, luôn có khả năng tìm được một giới hạn trên đối với năng
lượng trạng thái cơ bản. Và nó là một phương pháp xấp xỉ tốt nhất trong việc tìm kiếm các năng
lượng trạng thái cơ bản.
Giả sử hàm sóng thử
t
là hàm sóng trạng thái cơ bản của Hamilton thì khi đó giá trò trung
bình của Hamilton là:
drrr
drrHr
E
TT
TT
)()(
)()(
*
*
(2.1)
Và khai triển hàm sóng thử
T
là sự kết hợp tuyến tính các hàm riêng của hàm hamilton
có dạng:
n
nnT
rcr )()(
(2.2)
Thay (2.2) vào (2.1) ta được
nm
nmnm
nm
nmnm
drrraa
drrHraa
E
,
**
,
**
)()(
)()(
(2.3)
n
n
n
nn
a
Ea
E
2
2
(2.4)
Trong đó
n
E
là trò riêng của hàm riêng
n
và
n
E
với mọi n suy ra:
0
E
(2.5)
Phương pháp VMC trực tiếp áp dụng nguyên lý này. Trong đó chọn hàm sóng thử phụ thộc
vào các tham số biến phân, rồi thay đổi các tham số biến phân này để cực tiểu hoá năng lượng
trung bình. Nếu hàm sóng thử được chọn là tốt, có đủ bậc tự do biến phân thì kết quả đạt được
có độ chính xác rất cao.
2.2.Phương pháp biến phân Monte Carlo (VMC)
Trong vật lý chất rắn, phương pháp VMC thường mô tả mô hình hệ hữu hạn như mô tả một
ô mô phỏng hơn là mô hình hệ vô hạn. đây chúng ta chọn mô hình hàm Hamilton và hàm
sóng thử phù hợp cho hệ nhiều hạt, áp dụng nguyên tắc biến phân lên giá trò trung bình của hàm
hamilton:
drrr
drrHr
H
TT
TT
)()(
)()(
*
*
(2.6)
Để tìm năng lượng trung bình, ta phải thực hiện các phép tính tích phân trên (2.6). Tuy
nhiên việc tính tích phân này là rất phức tạp mà ta không thể tính toán bằng giải tích toán học.
Các phương pháp tích phân cổ điển như phương pháp Gauss-Legendre không còn phù hợp cho
hệ nhiều hạt. Hiện nay thuật toán lý tưởng để giải quyết vấn đề này là phương pháp VMC.
Phương pháp VMC gồm có 3 bước cơ bản:
Bước 1: Xây dựng hàm sóng thử
),(
r
T
cho hệ gồm N hạt ở vò trí
r = ( r
1
, r
2,
,r
N
) và phụ thuộc vào bộ tham số = (
1
,
2
, ,
N
)
Bước 2: Xác đònh giá trò trung bình của hàm Hamilton
drrrr
drrHr
H
TT
TT
)())((
)( )(
*
*
(2.7)
Bước 3: Thay đổi khoảng chạy nhỏ nhất của các tham số biến phân trong thuật toán
rồi quay trở lại bước một.
Sau khi thực hiện một loạt các bước chạy tham số
, ta ghi nhận giá trò năng lượng và
phương sai tương ứng. Vẽ đồ thò biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng, sai số tương đối vào
các tham số. Sau đó tìm giá trò cực tiểu của năng lượng và sai số tương đối trong dải các tham số
biến phân. Kết quả thu được phụ thuộc vào dạng xấp xỉ hàm sóng và mô hình hàm Hamilton.
Do đó việc lựa chọn hàm sóng thử và mô hình hamilton cho ô mô phỏng là rất quan trọng,
quyết đònh mức độ thành công của việc mô tả đặc trưng của hệ vô hạn.
2.3. Quy trình thuật toán monte carlo lượng tử
Hình 2.1. Sơ đồ quy trình thuật toán Monte Carlo lượng tử [4].
Thiết lập những tham số của hệ
Thực hiện bước dòch
chuyển
Chấp nhận hoặc loại bỏ
bước dòch chuyển
Thực hiện bước dòch
chuyển
Chấp nhận hoặc loại bỏ
bước dòch chuyển
Tích lũy và tính trung
bình các đại lượng
Những đặc trưng của hệ
Thiết lập
trạng thái
cân bằng
Thực
hiện tính
toán
Quy trình thuật toán Monte Carlo lượng tử gồm hai bước chính:
Thiết lập trạng thái cân bằng Metropolis:
Thiết lập các electron ban đầu ở các vò trí ngẫu nhiên đồng nhất trong ô mô phỏng. Sau đó
dòch chuyển, mỗi bước dòch chuyển sẽ tạo ra các bước ngẫu nhiên mà chấp nhận hay loại bỏ
tuân theo thuật toán Metropolis sử dụng hàm sóng thử cho hệ nhiều hạt. Thực hiện một số bước
dòch chuyển đủ lớn để đảm bảo hệ đã đạt được trạng thái cân bằng và những electron được phân
bố ngẫu nhiên theo phân bố
2
R
T
. Đối với hầu hết những tính toán đã thực hiện thì cần sử
dụng 25% của tổng số bước dòch chuyển Monte Carlo của mỗi một electron để tạo ra những vò
trí cân bằng.
Thực hiện tính toán Monte Carlo:
Khi hệ đạt được trạng thái cân bằng thì các đại lượng quan tâm như năng lượng của hệ
được tích luỹ. Mỗi một lần dòch chuyển được tạo ra thì các đại lượng quan tâm được tính và được
cộng dồn vào quá trình tổng. Khi tạo ra đủ những bước dòch chuyển, giá trò trung bình được tính.
2.4.Áp dụng phương pháp VMC cho hệ lượng tử.
Để áp dụng phương pháp này, đầu tiên ta xây dựng mô hình cho hệ lượng tử, sau đó ta lựa
chọn hàm sóng thử phù hợp với mô hình đó. Tiếp đến ta tính xác suất phân bố hàm sóng:
drr
r
r
t
T
2
2
)(
)(
)(p
(2.8)
Năng lượng trung bình được tính theo công thức:
drrr
drrHr
E
TT
TT
)()(
)()(
*
*
(2.9)
Khi sử dụng hàm sóng thư,û ta đònh nghóa một đại lượng mới là năng lượng cục bộ E
L
:
E
L
(r) =
)(
)(
r
rH
T
T
(2.10)
drr
drEr
E
T
LT
2
2
)(
)(
(2.11)
nên:
drrErpE
L
)()(
(2.12)
Phương trình (2.12) là bước giải quyết đầu tiên của phương pháp VMC cho hệ lượng tử. Sau
khi làm gọn hàm năng lượng
)(E
L
r
ta thực hiện trên máy tính các bước sau:
Các bước thực hiện chương trình tính toán VMC
Đầu tiên cố đònh số bước Monte Carlo và số bước nhiệt hoá. Chọn giá trò khởi tạo cho r, các
tham số biến phân và tính
2
)(r
T
. Xác đònh kích thước bước nhảy để di chuyển hạt từ r đến vò trí
mới.
Khởi tạo của E
L
và phương sai tương ứng.
Bắt đầu tính toán Monte Carlo với một số chu trình cho trước
Bước 1: Gieo số ngẫu nhiên cho vector vò trí r.
Bước 2: Thực hiện bước thử Monte Carlo.
Bước 3: Di chuyển vò trí thử: r’ = r +, với là một số ngẫu nhiên gieo trong khoảng [0, 1].
Bước 4: Lập tỉ số p(r)/p(r’), nếu:
)'(
)(
rp
rp
thì thiết lập bước nhảy mới ngược lại ta dừng tại vò trí này.
Bước 5: Nếu bước nhảy được thiết lập ta gán: r = r’.
Bước 6: Tính giá E
L
và phương sai ứng với giá trò của r này.
Khi phép thử Monte-Carlo kết thúc, ta tính giá trò trung bình của E
L
và độ lệch chuẩn tương
ứng.
2.5.Xấp xỉ Hamilton
Trong hệ e -p, các hạt đều mang điện nên chúng tương tác với nhau theo nhiều cơ chế:
lực Coulomb, tương tác spin-q đạo, tương tác từ. Để mô tả các tương tác phức tạp đó ta sử
dụng trường thế tương tác cặp
)(
ji
rrU
với i j, khi đó hàm Hamilton có dạng:
ji
ji
N
i
ii
N
i
rrUrV
m
H )(
2
1
)(
2
1
2
1
2
(2.13)
Để đơn giản ta sử dụng hệ qui chiếu nguyên tử, trong đó :
1
m
và hàm Hamilton được
viết lại như sau:
)(
2
1
)(
2
1
111
2
ji
N
i
N
i
N
i
i
rrUrVH
(2.14)
Trong phương pháp biến phân Monte Carlo, người ta thường sử dụng xấp xỉ Born –
Oppenheimer [8] thì Hamilton cho hệ nhiều hạt gồm các electron, positron và các ion có dạng:
n
nm
m
mn
mn
i
pi
i
ij
j
ji
n
np
n
n i
ni
n
p
N
i
i
dd
eZZ
rr
e
rr
e
dr
eZ
dr
eZ
H
2
22
22
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
ˆ
(2.15)
r
i,
r
p
lần lượt là véc tơ tọa độ của electron thứ i và positron.
d
n
, d
m
là véc tơ tọa độ của ion thứ n và m.
Z
n
, Z
m
là điện tích của ion thứ n và m.
Số hạng đầu tiên trong (2.15) là tổng động năng của N electron, số hạng thứ hai là động
năng của positron; số hạng thứ ba là thế năng tương tác giữa electron và ion, số hạng thứ tư là
thế năng tương tác giữa positron và ion; số hạng thứ năm là thế năng tương tác giữa electron –
electron, số hạng thứ sáu là thế năng tương tác iữa positron – electron và số hạng cuối cùng là
thế năng tương tác giữa ion – ion.
2.6.Hàm sóng thử
Hệ e - p là hệ các hạt fermion không đồng nhất, trong đó có sự tương tác giữa các hạt với
nhau. Lực tương tác giữa electron và hạt nhân nguyên tử tỉ lệ nghòch với khoảng cách. Nên
trong tinh thể ta chỉ xét các nguyên tử lân cận với nguyên tử chứa electron mà ta đang khảo sát.
Khi đó hàm sóng toàn phần của hệ electron-positron có dạng như sau:
i
ij
j
ip
pe
Jij
ee
Jppii
rrrr )()()()(
(2.16)
Trong đó:
)(
ii
r
: hàm sóng của electron thứ i trong ô mô phỏng. Hàm sóng này được xấp xỉ như là
tổ hợp tuyến tính các hàm sóng quỹ đạo:
n
ninii
drCr
(2.17)
ni
dr
là hàm sóng đơn electron trong nguyên tử thứ n và tổng được lấy trên tất cả các
nguyên tử trong ô mô phỏng. C
ni
là hằng số chuẩn hóa.
)(
pp
r
là hàm sóng của positron, tương tự hàm sóng của electron nhưng chỉ khác ở các
tham số trong hàm sóng.
Còn
)(),(
ip
pe
Jij
ee
J
rr
là hệ số Jastrow thể hiện sự tương quan giữa electron-electron,
electron-positron.
2.6.1. Hàm sóng riêng phần
Hàm sóng
)(r
của electron hay positron trong trường nguyên tử xuyên tâm có thể được mô
tả bằng một trong các dạng xấp xỉ sau:
Dạng Slater:
Hàm sóng kiểu Slater là hàm sóng thường được sử dụng trong những tính toán cấu trúc
electron trong nguyên tử, được đònh nghóa như sau:
Zrln
eNrr
)(
(2.18)
Trong đó: n>l+1
Từ điều kiện chuẩn hoá hàm sóng ta được:
!2
2
12
n
Z
N
n
(2.19)
Dạng Gauss :
Hàm sóng kiểu Gauss được đònh nghóa như sau:
)exp()(
2
rNrr
ln
(2.20)
Từ điều kiện chuẩn hoá ta có:
!2
2
2
1
2
3
2
n
N
nn
(2.21)
Dạng Laguerre :
Xuất phát từ đa thức Laguerre L
k
(x) có dạng:
)()(
xk
k
k
x
k
ex
dx
d
exL
(2.22)
Lấy đạo hàm đa thức Laguerre s lần theo biến x ta thu được đa thức Laguerre suy rộng:
)()( xL
dx
d
xL
k
s
s
s
k
(2.23)
Đa thức Laguerre suy rộng thỏa phương trình Laguerre có dạng:
0)()(
)(
)1(
)(
2
2
xLsk
dx
xdL
xs
dx
xLd
x
s
k
s
k
s
k
(2.24)
Hàm xuyên tâm đơn hạt được biểu diễn trực tiếp qua đa thức Laguerre như sau:
0
12
0
22/3
0
2
22
])
