Một số phương pháp giải phương trình logarit Toán 12

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT TỐN 12
1. Phƣơng trình logarit cơ bản
Với a > 0, a  1:

log a x  b  x  ab

2. Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit
a) Đƣa về cùng cơ số
Với a > 0, a  1:

 f ( x)  g ( x)
log a f ( x)  log a g ( x)  
 f ( x)  0 (hay g ( x)  0)

b) Mũ hoá
Với a > 0, a  1:

log a f ( x)  b  aloga f ( x )  ab

c) Đặt ẩn phụ
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e) Đƣa về phƣơng trình đặc biệt
f) Phƣơng pháp đối lập
Chú ý:

 Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.
 Với a, b, c > 0 và a, b, c  1:

alogb c  clogb a

3. Bài tập
Câu 1:

Biết phương trình log5

 x
2 x 1
1 
 2 log3 

 có nghiệm duy nhất x  a  b 2 trong đó
x
2
2
x



a, b là các số nguyên. Tính a  b ?
B. 1

A. 5

C. 1

D. 2

Hƣớng dẫn giải:.
log5

 x
2 x 1
1 
2 x 1
x 1
 2log3 

 2log 3
  log5
x
x
2 x
 2 2 x

x  0
 x 1
Đk: 
 x 1  0





Pt  log5 2 x  1  log 5 x  log 3 ( x  1) 2  log 3 4 x





 log5 2 x  1  log3 4 x  log5 x  log 3 ( x  1) 2 (1)
Đặt t  2 x  1  4 x   t  1

2

(1) có dạng log5 t  log3 (t 1)2  log5 x  log3 ( x 1)2 (2)

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Xét f ( y)  log5 y  log3 ( y  1)2 , do x  1  t  3  y  1 .
Xét y  1: f '( y ) 

1
1

.2( y  1)  0
y ln 5 ( y  1)2 ln 3

 f ( y) là hàm đồng biến trên miền 1;  
(2) có dạng f (t )  f ( x)  t  x  x  2 x  1  x  2 x  1  0
 x  1 2

 x  3  2 2 (tm) .
 x  1  2 (vn)
Vậy x  3  2 2 .
Chọn A.
Câu 2:

Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: log
A. 1 nghiệm

4

 x  1

B. 2 nghiệm

2

 2  log

2

4  x  log 8  4  x 

C. 3 nghiệm

3

D. Vô nghiệm

Hƣớng dẫn giải:

log 4  x  1  2  log
2

4  x  log8  4  x 

3

2

x 1  0
4  x  4

(2) Điều kiện: 4  x  0  
 x  1
4  x  0


(2)  log 2 x  1  2  log 2  4  x   log 2  4  x   log 2 x  1  2  log 2 16  x 2 
 log 2 4 x  1  log 2 16  x 2   4 x  1  16  x 2
x  2
+ Với 1  x  4 ta có phương trình x2  4 x  12  0 (3) ; (3)  
 x  6  lo¹ i 

 x  2  24
+ Với 4  x  1 ta có phương trình x2  4 x  20  0 (4);  4   
 x  2  24  lo¹i 





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x  2 hoặc x  2 1  6 , chọn B
Câu 3:

Phương trình log3  x2  x  1  x  2  x   log3 x có bao nhiêu nghiệm
A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

Chọn A.
Hƣớng dẫn giải:
điều kiện x > 0

 x2  x  1 
2
Phương trình tương đương với log3 
  2x  x
x



Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Ta có 2 x  x 2  1   x  1  1
2

2



 x2  x  1 
1 
1 

Và log3 

3
  log 3 3  1
  log3  x   1  log3   x 


x
x 
x






 x  12  0
 x  x 1 

2
Do đó log3 
 x 1
  2x  x  
1

x
x


0



x

2

Câu 4:

Cho phương trình 2log3  cotx   log 2  cos x  . Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên
   
khoảng  ;

6 2 

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Hƣớng dẫn giải
cot 2 x  3u


Điều kiện sin x  0,cos x  0 . Đặt u  log 2  cos x  khi đó 
u

cos x  2

 2   3u  f u   4   4u  1  0
cos 2 x
Vì cot 2 x 
suy ra
   
2
2
1  cos x
3
1   2u 
u 2

u

u

4 4
f '  u     ln    4u ln 4  0, u  . Suy ra hàm số f(u) đồng biến trên R, suy ra phương
3 3
trình f  u   0 có nhiều nhất một nghiệm, ta thấy f  1  0 suy ra

cos x 

1


 x    k 2  k 
2
3

.

Theo điều kiện ta đặt suy ra nghiệm thỏa mãn là x 


3

 k 2 . Khi đó phương trình nằm trong


7
  9 
  9
khoảng  ;
. Vậy phương trình có hai nghiệm trên khoảng  ;
 là x  , x 
3
3
6 2 
6 2


.


Chọn C.
Câu 5:

Phương trình 1  log9 x  3log9 x  log3 x  1 có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hƣớng dẫn giải:
Giải phương trình: 1  log9 x  3log9 x  log3 x  1. Điều kiện xác định: x ≥ 1

1  log9 x  3log9 x  log3 x  1  1  log9 x  3log9 x  2log9 x  1

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

 1  2log9 x   2log9 x  1

 2log9 x 1 





1  log9 x  3 log 9 x 



1  log9 x  3 log9 x  1  0

 2log9 x  1 vì: 1  log9 x  3log9 x  1  0  x = 3.
Vậy nghiệm phương trình đã cho: x = 3.
Chọn B.
Câu 6:

Tìm số nghiệm của phương trình: log 2 x 1  2 x2  x  1  log x 1  2 x  1  4 1 .
2

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hƣớng dẫn giải:

1

x 
ĐK: 
2 . Phương trình:
 x  1




log x 1  2 x 2  x  1
log x 1  2 x  1

 2 log x 1  2 x  1  4

log x 1  2 x  1  log x 1  x  1
 2 log x 1  2 x  1  4
log x 1  2 x  1

 1

1
 2 log x 1  2 x  1  4
log x 1  2 x  1

 3

Đặt t  log x 1  2 x  1 , khi đó (3) viết thành:
t  1
1
2
2t   3  0  2t  3t  1  0   1
t 
t
 2
log x 1  2 x  1  1
x  2

 x  1  2x 1



5
log  2 x  1  1
x 1  2x 1  x 

x 1

4

2

Chọn C.
Câu 7:





Số nghiệm của phương trình log3 x 2  2 x  log5 x 2  2 x  2 là
A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Chọn B.
ĐK: x  0; x  2 .
Đặt t  x2  2 x  x2  2 x  2  t  2
 log3 t  log5  t  2  .

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Đặt log3 t  log5  t  2   u

log 3 t  u


log 5  t  2   u

u
 t  3

u
t  2  5

 5u  2  3u

5u  3u  2
(1)
5  2  3
5  3  2


u
u
 u
 u
  3 
1
u
u
5  2  3
3  2  5
 5   2  5   1 (2)

u

u

u

u

.

Xét 1 : 5u  3u  2
Ta thấy u  0 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm
u  0 là duy nhất.
Với u  0  t  1  x2  2 x  1  0 , phương trình này vơ nghiệm.
u

u

3
1
Xét  2  :    2    1
5
5

Ta thấy u  1 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm
u  1 là duy nhất.
Với u  0  t  3  x2  2 x  3  0 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa x  0; x  2 .
BÌNH LUẬN:
Cho f  x   g  x 1 nếu f  x  , g  x  đối nghịch nhau nghiêm ngặt hoặc g  x   const và
f  x  tăng, giảm nghiêm ngặt thì (1) có nghiệm duy nhất.

Câu 8:

 x  2
Biết rằng phương trình

log2 4 x  2

 4.  x  2 

3

có hai nghiệm x1 ,

x2  x1  x2 

. Tính

2 x1  x2 .
C. 5 .

B. 3 .

A. 1 .

D. 1 .

Hƣớng dẫn giải:
Chọn D.
Điều kiện x  2 .
Phương trình thành  x  2 
  x  2 . x  2
2

log2  x  2

log 2 4 log 2  x  2

 4.  x  2 

 4.  x  2  hay  x  2 
3

3

log 2  x  2

 4.  x  2  .

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta được log 2  x  2  .log 2  x  2   log 2 4  x  2 

log 2  x  2   1  x  5
 log  x  2   2  log 2  x  2   

2.

log 2  x  2   2
x  6
2
2

Suy ra x1 
Câu 9:

5
5
và x2  6. Vậy 2 x1  x2  2.  6  1 .
2
2

Tìm tất cả giá trị của m để phương trình log32 x   m  2 .log3 x  3m  1  0 có hai nghiệm x1 ,

x2 sao cho x1.x2  27 .

B. m 

A. m  1 .

4
.
3

D. m 

C. m  25 .

28
.
3

Hƣớng dẫn giải:
Chọn A.
log32 x   m  2 .log3 x  3m  1  0 (1).
Điều kiện xác định: x  0 .
Đặt t  log3 x . Ta có phương trình: t 2  (m  2)t  3m  1  0 (2).
Để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 sao cho x1.x2  27 .
Thì phương trình (2) có 2 nghiệm t1 ; t2 thỏa mãn t1  t2  3 .

m2  8m  8  0
  0

 m 1.

m  2  3

m  1
Câu 10: Tập hợp các giá trị của m để phương trình m  ln 1  2x   x  m có nghiệm thuộc  ;0  là
A.  ln 2;   .

B.  0;   .

C. 1;e  .

D.  ;0  .

Hƣớng dẫn giải:
Chọn B.
Điều kiện: 1  2x  0  x  0 .
Phương trình đã cho tương đương với: m 

Xét hàm số f  x  

x
.
ln 1  2 x   1

x
với x  0 . Có f  
ln 1  2 x   1

2 x.ln 2
1  2x
2
ln 1  2 x   1

ln 1  2 x   1  x.



1  2  ln 1  2   1  2 1  x.2 .ln 2 . Vì x  0 nên 0  1  2

1  2   ln 1  2   1
x

x

x

x

x



x

2

x

 1, do đó f   x   0 x  0 .

Vậy f  x  nghịch biến trên  ; 0  .

Trang | 6

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Mặt khác, dễ thấy lim f  x    ; lim f  x   0 . Ta có BBT sau:
x 

x 0

Vậy phương trình có nghiệm khi m  0 .
Câu 11: Tìm m để phương trình log 22 x  log 2 x2  3  m có nghiệm x  1;8.
A. 3  m  6. .

B. 6  m  9. .

C. 2  m  6. .

D. 2  m  3. .

Hƣớng dẫn giải:
Chọn C.
Điều kiện x  0
log 22 x  log 2 x2  3  m  log 22 x  2log 2 x  3  m

Đặt t  log 2 x
Phương trình trở thành t 2  2t  3  m

1

Phương trình đã cho có nghiệm x  1;8  phương trình 1 có nghiệm x   0;3.

Đặt g  t   t 2  2t  3
g   t   2t  2. g   t   0  2t  2  0  t  1

BBT

Từ BBT ta suy ra để phương trình đã có nghiệm x  1;8 thì 2  m  6 .
Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log 2 x  log x2  2  m  0 có nghiệm

3

x  1;9 .
A. 0  m  1 .
Hƣớng dẫn giải:

B. 1  m  2 .

C. m  1 .

3

D. m  2 .

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Chọn B.
Đặt: t  log3 x . Vì x  1;9 nên t  0;2
pt  t 2  2t  2  m  0  t 2  2t  2  m

Đặt h  t   t 2  2t  2 với t  0;2
h '  t   2t  2 , h '  t   0  t  1
h 1  1 , h  0   h  2   2

 max h  t   2 , min h  t   1
[0,2]

[0,2]

Pt có nghiệm  1  m  2.
Câu 13: Điều kiện cần và đủ của tham số m để phương trình log22 x  (m  1) log 2 x  4  m  0 có hai
nghiệm phân biệt thuộc 1; 4 là
B. 3  m 

A. 3  m  4 .

10
.
3

C.

10
 m 4.
3

D. 3  m 

10

.
3

Hƣớng dẫn giải:
Chọn D.
Đặt t  log 2 x . Vì x  1; 4 nên t   0; 2.
Phương trình trở thành t 2   m  1 t  4  m  0  m 
Xét hàm số f  t  
Ta có f   t  

t2  t  4
.
t 1

t2  t  4
trên đoạn  0; 2.
t 1

t 2  2t  3

 t  1

2

t  1
 0  t 2  2t  3  0  
.
t  3

Bảng biến thiên

Trang | 8


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 4 thì

3 m

10
.
3

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log 2 2 x  2log 2 x  m  0 có nghiệm

x  2.
A. m  1.

B. m  3.

C. m  3.

D. m  3.

Hƣớng dẫn giải:
Chọn D.
log 2 2 x  2log 2 x  m  0 (1).

Đặt t  log 2 x , phương trình (1) trở thành: t 2  2t  m  0  t 2  2t  m (2).

Phương trình (1) có nghiệm x  2  phương trình (2) có nghiệm
t  1  do t  log 2 x  log 2 2  1  .
Xét hàm số y  t 2  2t  y '  2t  2, y '  0  t  1 ( loại).
Bảng biến thiên

x



1

y




y
3
Từ Bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm t  1  m  3.
Câu 15: Tập tất cả các giá trị của m để phương trình 2 x 1 .log2  x 2  2 x  3  4 x m .log2  2 x  m  2 
2

có đúng ba nghiệm phân biệt là:
3
1
A.  ; 1;  .
2
2

 1 3

B.  ;1;  .
 2 2

3
1
C.  ;1;   .
2
2

1 3 
D.  ;1;  .
2 2

Hƣớng dẫn giải:
Chọn D
Ta có 2 x 1 .log2  x 2  2 x  3  4
2

 2

x 1

2

x m

.log2  2 x  m  2  1

2
2 x m

.log2  x  1  2  2
.log 2  2 x  m  2   2 



Xét hàm số f  t   2t.log2  t  2  , t  0.
Vì f   t   0, t  0  hàm số đồng biến trên  0;  

Trang | 9


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

2
2
Khi đó  2   f  x  1   f  2 x  m    x  1  2 x  m



 x 2  4 x  1  2m  0  3 
 2
 x  2m  1 4 
Phương trình 1 có đúng ba nghiệm phân biệt nếu xảy ra các trường hợp sau:
+) PT  3 có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT  4 

m

3
, thay vào PT  4  thỏa mãn
2

+) PT  4  có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT  3

m

1
, thay vào PT  3 thỏa mãn
2

+) PT  4  có hai nghiệm phân biệt và PT  3 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một
nghiệm của hai PT trùng nhau

 4  x  

2m  1 ,với

1
3
 m  . Thay vào PT  3 tìm được m  1.
2
2

1 3 
KL: m   ;1;  .
2 2

BÌNH LUẬN:
B1: Đưa phương trình về dạng f  u   f  v  với u, v là hai hàm theo x .
B2: Xét hàm số f  t  , t  D.
B3: Dùng đạo hàm chứng minh hàm số f  t  , t  D tăng hoặc giảm nghiêm ngặt trên

D.

B4: f  u   f  v   u  v

Trang | 10


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.
I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

-

Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
-

Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-

Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
-

HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-

HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Trang | 11