Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 chuyên đề Bốn phép tính với phân số

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHUYÊN ĐỀ
BỐN PHÉP TÍNH VỚI PHÂN SỐ
1. Kiến thức cần nhớ
1.1. Phép cộng phân số
a) Cách cộng
* Hai phân số cùng mẫu:
a c a+c
+ =
(b  0)
b b
b

* Hai phân số khác mẫu số:
- Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đa về trờng hợp cộng 2 phân số có cùng mẫu số.
* Cộng một số tự nhiên với một phân số.
- Viết số tự nhiên thành phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số đã cho.
- Cộng hai tử số và giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ:
3 8 3 11
= + =
2+ 4 4 4 4

b) Tính chất cơ bản của phép cộng
- Tính chất giao hốn:
a c c a
+ = +
b d d b.

- Tính chất kết hợp:

a c  m a  c m
 + + = + + 
b d  n b d n 

- Tổng của một phân số và số 0:
a
a a
+0 = 0+ =
b
b b

1.2. Phép trừ phân số
a) Cách trừ
* Hai phân số cùng mẫu:
a c a−c
+ =
b b
b

* Hai phân số khác mẫu số:
- Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đưa về trường hợp trừ 2 phân số cùng mẫu số
b) Quy tắc cơ bản:
- Một tổng 2 phân số trừ đi một phân số:
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 1

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a c  m a  c m
c m
 + − = + − 

 b d  n b  d n  (Với d n )

c a m
a m
+ − 

= d  b n  (Với b n )

- Một phân số trừ đi một tổng 2 phân số:
a  c m a c  m
− +  =  − −
b d n  b d  n
a m c
 − −
= b n  d

- Một phân số trừ đi số 0:
a
a
−0 =
b
b

1.3. Phép nhân phân số
a c axc
x =
a) Cách nhân: b d bxd

b) Tính chất cơ bạn của phép nhân:
- Tính chất giao hốn:
a c c a
x = x
b d d b

- Tính chất kết hợp:
a c  m a  c m
  
  
b d  n =b d n 

- Một tổng 2 phân số nhân với một phân số:
a c  m a m c m
 +  =  + 
b d  n b n d n

- Một hiệu 2 phân số nhân với một phân số:
a c  m a m c m
 −  =  − 
b d  n b n d n

- Một phân số nhân với số 0:
a

a
x0 = 0 x = 0
b
b

c) Chú ý:
- Thực hiện phép trừ 2 phân số:
1 1 2 1 1
1
− = − = =
1 2 2 2 2 1x 2
W: www.hoc247.net

1 1
1
− =
Do đó: 1 2 1x 2

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1 1 3 2 1
1
− = − = =

2 3 6 6 6 2 x3

1 1
1
− =
Do đó: 2 3 2 x3

1 1 4
3
1
1
− =
−
=
=
3 4 12 12 12 3 x 4

1 1
1
− =
Do đó: 3 4 3 x 4

1
1
n +1
n
1
1
1
1

−
=
−
=
−
=
n n + 1 n  (n + 1) n  (n + 1) n  (n + 1) Do đó: n n + 1 n  (n + 1)

- Muốn tìm giá trị phân số của một số ta lấy phân số nhân với số đó.
1
1
6 = 3
Ví dụ: Tìm 2 của 6 ta lấy: 2
1
1
1 1 1
 =
Tìm 2 của 3 ta lấy: 2 3 6

1.4. Phép chia phân số
a c axd
: =
a) Cách làm: b d bxc

b) Quy tắc cơ bản:
- Tích của 2 phân số chia cho một phân số.
a c  m a  c m
 x  : = x : 
b d  n b d n 

- Một phân số chia cho một tích 2 phân số:
a  c m a c  m
: x  =  : : .
b d n  b d  n

- Tổng 2 phân số chia cho một phân số:
a c  m a m a m
 + : = : + :
b d  n b n b n

- Hiệu 2 phân số chia cho một phân số:
a c  m a m c m
 − : = : − :
b d  n b n d n

0:

- Số 0 chia cho một phân số:

a
= 0.
b

- Muốn tìm 1 số khi biết giá trị 1 phân số của nó ta lấy giá trị đó chia cho phân số tương ứng.
2
Ví dụ: Tìm số học sinh lớp 5A biết 5 số học sinh của lớp 5A là 10 em.

Bài giải
Số học sinh của lớp 5A là:
2

= 25
10 : 5
(em)
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a
c
* Khi biết phân số b của x bằng d của y (a, b, c, d  0)
c a
:
- Muốn tìm tỉ số giữa x và y ta lấy d b
a c
:
- Muốn tìm tỉ số giữa y và x ta lấy b d
2
3
Ví dụ: Biết 5 số nam bằng 4 số nữ. Tìm tỉ số giữa nam và nữ.

Bài giải
Tỉ số giữa nam và nữ là:

3 2 15
:
4 5= 8 .

2. Một số dạng tốn
2.1. Dạng 1: Tổnh nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân
số liền trước 2 lần.
1 1 1
1
1
1
+ + +
+
+
Ví dụ: 2 4 8 16 32 64 .

Cách giải:
Cách 1:
1 1 1
1
1
1
+ + +
+
+
Bớc 1: Đặt A = 2 4 8 16 32 64
1
1
=1−
2

Bớc 2: Ta thấy: 2
1 1 1
= −
4 2 4
1 1 1
= −
8 4 8
1 1
1
1
1 

1
 1
−
1 −  +  −  +  −  + ... + 

2 2
4
8
4
 32 64 
Bớc 3: Vậy A = 

1−

A=

1 1
1 1

1
1
1
+ −
+ −
+ ... +
−
2 2
4 4
8
32 64

1
A = 1 - 64
64
1
63
−
=
A = 64 64 64
63
Đáp số: 64 .
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 4

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Cách 2:
1 1 1
1
1
1
+ + +
+
+
Bước 1: Đặt A = 2 4 8 16 32 64

Bước 2: Ta thấy:
1
1
=1−
2
2
1 1 3
1
+ = =1−
2 4 4
4

1 1 1 7
1
+ + = =1−
2 4 8 8
8

…………….
1 1 1
1
1
1
+ + +
+
+
Bước 3: Vậy A = 2 4 8 16 32 64
1
64
1
63
−
=
= 1 - 64 = 64 64 64

2.2. Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số
của phân số liền trước n lần. (n > 1)
1 1 1
1
1
1
+ + +
+
+
Ví dụ: A = 2 4 8 16 32 64

Cách giải:

Bước 1: Tính A x n (n = 2)
1
1
1 
1 1 1
+
+
 + + +

Ta có: A x 2 = 2 x  2 4 8 16 32 64 

2 2
2
2
2
2
+ +
+
+
+
8 16 32 64
= 2 4
1+

=

1 1 1 1
1
+ + +
+

2 4 8 16 32

Bước 2: Tính A x n - A = A x (n - 1)
1 1 1
1
1 
1
1
1 

1 1 1
+
+
+
1 + + + +
−  + + +

2 4 8 16 32 
 2 4 8 16 32 64 
Ax2-A= 

1+

A x (2 - 1) =

1 1 1
1
1
1 1 1
1

1
1
+ + +
+
− − −
−
−
2 4 8 16 32 - 2 4 8 16 32 64

1
A = 1 - 64
64
1
63
−
=
A = 64 64 64
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

5 5
5

5
5
5
+ +
+
+
+
Ví dụ 2: B = 2 6 18 54 162 486

Bước 1: Tính B x n (n x 3)
5
5
5
5 
5 5
+
+
+
 + +

B x 3 = 3 x  2 6 18 54 162 486 

15 5 5
5
5
5
+ + +
+
+
2 6 18 54 162

= 2

Bước 2: Tính B x n - B
5
5
5  5 5
5
5
5
5 
 15 5 5
+
+
+
+
+
 + + +
  + +

2 6 18 54 162  -  2 6 18 54 162 486 
Bx3 - B =  2

15 5 5
5
5
5
5 5
5
5
5

5
+ + +
+
+
− −
−
−
−
2 6 18 54 162 - 2 6 18 54 162 486
B x (3 - 1) = 2
15
5
−
486
Bx2= 2
3645 − 5
486
Bx2=
=

Bx2

3640
486

3640
:2
B = 486
=

1820
486

=

910
243

B
B

2.3. Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng
n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trớc là thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau:
1
1
1
1
+
+
+
Ví dụ: A = 2 x 3 3 x 4 4 x 5 5 x 6
3− 2
4−3 5− 4 6−5
+
+
+
A = 2 x 3 3x4 4 x5 5 x6
3
2
4

3
5
4
6
5
−
+
−
+
−
+
−
= 2 x 3 2 x3 3x4 3x4 4 x5 4 x5 5 x6 5 x6

1 1 1 1 1 1 1 1
− + − + − + −
= 2 3 3 4 4 5 5 6
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1 1 3 1 2 1
− = − = =

= 2 6 6 6 6 3

Ví dụ:
3
3
3
3
+
+
+
B = 2 x 5 5 x 8 8 x 11 11 x 14

5 − 2 8 − 5 11 − 8 14 − 11
+
+
+
.
2
x
5
5
x
8
8
x
11
11
x
14
B=

5
2
8
5
11
8
14
11
−
+
−
+
−
+
−
5 x 8 5 x 8 8 x 11 8 x 11 11 x 14 11 x 14
B = 2 x5 2 x5

1 1 1 1 1 1
1
1
− + − + −
+
−
= 2 5 5 8 8 11 11 14
1
1
7
1
6 3

−
=
−
=
=
= 2 14 14 14 14 7

3. Bài tập tự luuyện
Bài 1: Tính nhanh:
4
4
4
4
4
4
+
+
+
+
+
a. 3 x 7 7 x 11 11 x 15 15 x 19 19 x 23 23 x 27
2
2
2
2
2
2
2
2
2

2
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+ ... +
+
8 x 9 9 x 10
b. 3 x 5 5 x 7 7 x 9 9 x 11 11 x 13 13 x 15 1 x 2 2 x3 3 x 4

3
3
3
3
3
3
77
77
77
77
+
+
+
+
+ ... +

+
+
+
+ ... +
9 x 10 2 x 9 9 x 16 16 x 23
93 x 100
c. 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4 x 5 5 x 6
4
4
4
4
+
+
+
d. 3 x 6 6 x 9 9 x 12 12 x 15
7
7
7
7
7
+
+
+
+
đ. 1 x 5 5 x 9 9 x 13 13 x 17 17 x 21

1 1 1 1 1 1
1
+ + + + +
+ ... +

110
e. 2 6 12 20 30 42
1 1 1
1
1
1
+ + +
+
+
g. 10 40 88 154 138 340

Bài 2: Cho tổng:
S=

4
4
4
664
+
+
+ ... =
3  7 7 11 1115
1995

a) Tìm số hạng cuối cùng của dãy S.
b) Tổng S có bao nhiêu số hạng?
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài 3: Tính nhanh:
5 11 19 29 41 55 71 89
+ + + + + + +
a) 6 12 20 30 42 56 72 90

b) Tính tổng của 10 phân số trong phép cộng sau:
1 5 11 19 29 41 55 71 89 109
+ + + + + + + + +
2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
1 1 1 1 1 1
, , ,
,
, ........
Bài 4: Cho dãy số: 2 6 12 20 30 42

a) Hãy tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số trên.
1
b) Số 10200 có phải là một số hạng của dãy số trên khơng? Vì sao?

Bài 5: Tính nhanh:
1
1
1

1
+
+
+ ... +
1 + 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50

Bài 6: So sánh S với 2, biết rằng:
1 1 1
1
S = 1 + + + + ... +
3 6 10
45

Bài 7: Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + + + 1
3 7 13 21 31 43 57 73 91

Bài 8: Điền dấu >,< hoặc = vào ô trống:
S=

1 1 1
1
1
+ + +
+ ... +
4 9 16 25
1000  1

Bài 9: Tính
1993  19941994
a) 1994  19931993
abc  mnpmnp
b) mnp  abcabc

c)

206  195195
195  206206

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 8


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng.
I.Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS.
Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng
đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.
III.Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng
Anh.
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

Y: youtube.com/c/hoc247tvc

Trang | 9