Ứng dụng hình học không gian giải các bài toán thực tế

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN GIẢI CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ
1. Diện tích hình nón và thể tích khối nón
- Diện tích xung quanh của hình nón: S xq   Rl với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh.
1
- Thể tích khối nón: V   R 2 .h với R là bán kính đáy, h là chiều cao
3

2. Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ
Với R là bán kính đáy, h là chiều cao.
-

Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq  2 Rh

-

Diện tích tồn phần của hình trụ: Stp  S xq  2Sday  2 Rh  2 R2 .

-

Thể tích khối trụ V   R2 h ( chiều cao nhân diện tích đáy).

3. Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu
Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có:
- Diện tích mặt cầu: S  4 R2 .
4
- Thể tích khối cầu: V   R3 .
3
Ví dụ: Cho biết rằng hình chỏm cầu có cơng thức thể tích là

 h  3r 2  h 2 

6
, trong đó h là chiều cao chỏm cầu và r là bán kính đường trịn bề mặt
chỏm cầu ( bán kính này khác vớibán kính hình cầu ). Bài hỏi đặt ra là với
một quả dưa hấu hình cầu, người ta dùng một cái ống khoét thủng một lỗ
hình trụ chưa rõ bán kính xun qua trái dưa như hình vẽ ( trong hình có
AB là đường kính trái dưa). Biết rằng chiều cao của lỗ là 12cm ( trong
hình trên, chiều cao này chính là độ dài HK ). Tính thể tích của phần

H

dưa cịn lại.

K

A . 200 cm3

B. 96 cm3

A

O

B

D. 144 cm3

C. 288 cm3

Lời giải
Đặt r là bán kính của hình cầu.
Chiều cao của lỗ là 12 nên chiều cao của chỏm cầu lag r  6.
Bán kính của chỏm cầu, cũng là bán kính đáy của hình trụ và là:

r 2  36

Thể tích hình trụ là 12  r 2  36  .





2
2  r  6   3  r 2  36    r  6     r  6   4r 2  12r  72 


Thể tích 2 chỏm cầu:
6
3

Thể tích cái lỗ là: 12  r  36  
2

  r  6   4r 2  12r  72 
3

Trang | 1

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

2
3
3

4r 2  12r  72    r  6   4r  24r  144  4  r  6  4 r 3
   r  6  12  r  6  


 288

3
3
3
3



Thể tích hình cầu là

4 r 3
nên thể tích cần tìm là : V  288 .
3

Chọn C.
4. Bài tập
Bài 1: Một chiếc hộp hình lập phương cạnh a bị khoét một khoảng trống có dạng là một khối lăng trụ
với hai đáy là hai đường tròn nội tiếp của hai mặt đối diện của hình hộp. Sau đó, người ta dùng bìa cứng
dán kín hai mặt vừa bị cắt của chiếc hộp lại như cũ, chỉ chừa lại khoảng trống bên trong. Tính thể tích của

khoảng trống tạo bởi khối trụ này.
A .  a3

B.

1 3
a
2

C.

1 3
a
4

D.

1 3
a
8

Lời giải
B

1
a
Ta có OE  BC  ;
2
2

C
O

A

E
D

OO'  a
Thể tích là:

B'

a
a
V   .OE .OO '    . .a 
.
4
2
2

C'

3

O'

2

D'

A'

Chọn C.

Bài 2: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối  H  như hình vẽ bên. Biết rằng thiết diện là
một hình elip có độ dài trục lớn bằng 10, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất và điểm
thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14. Tính thể tích của  H  .
A . V H   192

B. V H   275

C. V H   704

D. V H   176

Đề Thi Thử Lần 4 Chuyên KHTN HN 2017
Lời giải
B

O

C

Thật ra phần phía trên tính từ A là
một nữa của hình trụ có chiều cao

A

Trang | 2

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

AB và bán kính O’B.
Ta xét trên mặt thiết diện qua trục
của khối trụ và trục dài của eip có:

2 R  BC  AC 2  AB 2
 102  14  8  8  R  4
2

V   R 2 .14 

 R 2 . 14  8
2

 176

Chọn D.
Bài 3: Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 15 tấm tơn có
kích thước 1m  20cm (biết giá 1m2 tơn là 90000 đồng) bằng 2 cách:
Cách 1: Gị tấm tơn ban đầu thành 1 hình trụ như hình 1.
Cách 2: Chia chiều dài tấm tôn thành 4 phần rồi gị tấm tơn thành 1 hình hộp chữ nhật như hình 2.
Biết sau khi xây xong bể theo dự định, mức nước chỉ đổ đến 0,8m và giá nước cho đơn vị sự nghiệp là

9955dong / m3 . Chi phí trong tay thầy hiệu trưởng là 2 triệu đồng. Hỏi thầy giáo sẽ chọn cách làm nào
để không vượt quá kinh phí (giả sử chỉ tính đến các chi phí theo dữ kiện trong bài tốn).
Hình 1

20m
1m

Hình 2

1m
6m

4m

6m

4m

A . Cả 2 cách như nhau

B. Không chọn cách nào

C. Cách 2

D. Cách 1

Lời giải
Ở cách 2:
1m2  90.000
20m2  1.800.000

Ta có Vnuoc  0,8.6.4  19, 2m3
Do đó tổng tiền ở phương án 2 là 19, 2.9955  20.90000  1.991.136.

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ở cách 2:
20m2  1.800.000

Ta có 20  2 r  r 

2

 10 
 Vnuoc  h r 2  0,8. .    25, 46m3

 

10

Do đó tiền nước: 253.454 đồng
Tổng tiền: 2.053.454 đồng.
Vậy thầy nên chọn cách 2.
Chọn C.
Bài 4: Cho một khối cầu bán kính R. Đâm thủng khối cầu bởi một khối trụ có trục đi qua tâm mặt cầu và
chiều dài hình trụ thu được là 6 (xem hình vẽ). Tính thể tích vật thể cịn lại sau khi đục thủng.
A . 36

B. 54

D. 288

C. 27

Lời giải

Gọi bán kính khối trụ là r.
Khi đó r  R 2  9 và hai chỏm
cầu có chiều cao là h  R  3 .
Thể tích vật thể còn lại là

2
  R  3  3  R 2  9    R  3  
4 3

  36
2
V   r  6  R  9  
3
3

Nhận xét: Kết quả không phụ thuộc vào bán kính R mà chỉ phụ thuộc vào chiều dài của hình trụ.
Chọn A.
Bài 5: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với các
kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải
cần có để làm nên cái mũ đó

30cm

(khơng kể viền, mép , phần thừa).
10cm

A
A . 700  cm2 

B. 754, 25  cm2 

C. 750, 25  cm2 

D. 756, 25  cm2 

Lời giải

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Shinhtron

 35 
R   
 2

2

2

 35  20 
S xqlang tru  2 rl  2 
 .30  450

 2 

;

 35 2

S      450  756, 25 .
 2 

Chọn D.
Bài 6:
Một bang giấy dài được cuộn chặt lại
thành nhiều vòng xung quanh một ống lõi

B

C

hình trụ rỗng có đường kính C  12,5mm.
Biết độ dày của giấy cuộn là 0, 6mm và
đường kính cả cuộn giấy là B  44,9mm.
Tính chiều dài l của cuộn giấy.
A . L  44m

B. L  38m

D. L  24m

C. L  4m

Lời giải
Gọi chiều rộng của băng giấy là r , chiều dài băng giấy là L độ dày của giấy là m khi đó ta có thể tích

1

của băng giấy: V  r.m.L


B
C
Khi cuộn lại ta cũng có thể tích: V     .m     .m  r  B 2  C 2 
4
2
 24 
2

Từ 1 ,  2  suy ra: m.r.L 


4

r  B2  C 2   L 

2



B
4m

2

 2

 C2 

Bài 7: Xét một hình trụ nội tiếp tronh hình nón như hình bên dưới , trong đó S là đỉnh hình nón, O là tâm
đường tròn mặt đáy. Các đoạn AB, CD lần lượt là đường kính của đường trịn đáy của hình nón và hình
4
trụ ; AC, BD cắt nhau tại điểm M  SO. Biết rằng tỉ số thể tích của hình trụ và hình nón là . Tính tỷ số
9
SM
.
SO
A.

7
9

B.

2
3

C.

4
5

D.

5
6

Lời giải
2

4 V
 SD  hht
 SD 
 3
Ta có:  ht  3 
 .

9 Vhn
 SA  hhn
 SA 

2

 SD  SD 2
. 1 


SA 3
 SA 

Theo định lý Menelauyt đối với tam giác SOB ta có:
AO CB MS
MS

SM 4
.
.
 1 do đó
 4 hay
 .
AB CS MO
MO
MO 5

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Chọn C.
Bài 8: Một hình hộp chữ nhật kích thước 4  4  h chứa một khối cầu lớn có bán kính bằng 2 và tám khối
cầu nhỏ có bán kính bằng 1 sao cho các khối lón tiếp xúc với tám khối cầu nhỏ và các khối cầu đều tiếp
xúc với các mặt hình hộp. Thể tích khối hộp là:
A . 32  32 7

B. 48  32 5

C. 64  32 7

D. 64 5

Lời giải
Gọi tâm hình cầu lớn là I và tâm bốn hình cầu nhỏ tiếp xúc
với đáy là ABCD. Khi đó ta có

I . ABCD là hình chóp đều với cạnh bên IA  3 và cạnh đáy
AB  2 do đó chiều cao hình chóp là

7 . Suy ra khoảng

cách từ tâm I đến mặt đáy là 1  7 hay chiều cao hình hộp
chữ nhật là :









2 1  7 suy ra thể tích hình hộp là 32 1  7 .

Chọn A.

Bài 9: Người ta dùng một loại vải vintage33 để bọc quả khối khí của khinh khí cầu, biết rằng quả khối
này có dạng hình cầu đường kính 2m. Biết rằng 1m2 vải có giá là 200.000 đồng. Hỏi cần tối thiểu bao
nhiêu tiền mua vải để làm khinh khí cầu này?
A . 2.500.470 đồng

B. 3.150.342 đồng

C. 2.513.274 đồng

D. 2.718.920 đồng

Lời giải

Smat cau  4 R 2
Với R 

d
 1 m  . Vậy Smat cau  4 .12  4  m2 
2

Vậy cần tối thiểu số tiền: 4 .200000  2.513.274 đồng.
Chọn C.
3,62m

Bài 10: Một bồn chứa xăng có cấu tạo gồm
1 hình trụ ở giữa và 2 nửa hình cầu ở 2 đầu,

1,8m

biết rằng hình cầu có đường kính 1,8m và
chiều dài của hình trụ là 3, 62m. Hỏi bồn đó
có thể chứa tối đa bao nhiêu lít xăng trong
các giá trị sau đây?
A . 10905l

B. 23650l

C. 12265l

D. 20201l

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Lời giải
Ta có: Vtru   R 2 h
Vì thể tích của 2 nửa hình cầu bằng nhau nên tổng thể tích của 2 nửa hình cầu là 1 khối cầu có
4
Vc   R3 .
3
4
Vậy VH  Vtru  VC   R 2h   R 3  12,265m 3
3

Vậy bồn xăng chứa: 12265 l.
Chọn C.
Bài 11:
Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng
song song với đáy thì phần hình nón nằm
giữa mặt phẳng và đáy gọi là hình nón
cụt. Một chiếc cốc có dạng hình nón cụt
cao 9cm, bán kính của đáy cốc và miệng

B

cốc lần lượt là và 4cm. Hỏi chiếc cốc có
thể chứa được lượng nước tối đa là bao

nhiêu trong số các lựa chọn sau:

G

A . 250ml

4cm

B

D

9
G 3cm
C

B. 300ml
A

A

D. 400ml

C. 350ml

Lời giải
AGC


ABC 

AG GC 3
3

  AG  AB
AB BD 4
4

AG
3
  AG  27
AG  9 4

Suy ra Vcoc  Vnonlon  Vnonnho
1
1
 . .42.  27  9   . .32.27  111  348, 72ml
3
3

Vậy lượng nước tối đa là 300ml.
Chọn B.
S

Bài 12:
Cho sáu khối chóp tứ giác đều được lắp
ghép lại tạo thành một khối lập phương
A

B

M

O
D

C

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

như hình dưới. Biết sáu khối chóp đã cho
đều bằng nhau và thể tích khối lập
phương tạo thành là 8000cm3 . Tính diện
tích xung quanh của mỗi khối chóp tứ
giác đều đã cho?
A . 100cm2

B. 100 2cm2

C. 400cm2

D. 400 2cm2

Lời giải
Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương ,
khi đó ta có: a3  8000  a  20cm
Giả sử hình chóp S. ABCD là 1 trong 6 hình
chóp, khi đó hình chóp S. ABCD đều có

cạnh đáy là a  20cm.
VS . ABCD 

8000 4000 3

cm
6
3

1
4000
 SO.202 
 SO  10cm
3
3

Kẻ SK  CB  K  CB 
Xét SOK tại O ta có: SK  SO2  OK 2  10 2cm
 SABC 

1
1
SK .SB  .10 2.20  100 2cm2
2
2

Vậy S xq  4S ABC  4.100 2  400 2 cm 2.
Chọn D.
Bài 13: Cho một tấm nhơm hình vng cạnh 1m như hình vẽ dưới đây. Người ta cắt bỏ các tam giác cân
bên ngoài của tấm nhơm, phần cịn lại gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x  m  , sao

cho bốn đỉnh của hình vng gập lại thành đỉnh của hình chóp. Tìm x để khối chóp nhận được có thể
tích lớn nhất.

Trang | 8


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

A. x

2 2
5

B. x 

1
2

C. x 

2
4

D. x 

2
3

Lời giải

x 2

h

1
x
z

y

Ta có: y 

x

1 2x
1
z
 y2
2
4
2

2

 2 
 2 
1
1
2
Chiều cao của hình chóp: h  z  

x  
 y 2  
x  

x
2
4
2
2
2




2

1
1
2
 Vchop  x 2 . 
x
3
2 2
Vchop lớn nhất khi hàm số y  x 2
y' 

1
2

x đạt GTLN

2 2

5 2 x 2  4 x
4

1
2

x
2 2

x  0
y '  0  5 2 x  4 x  0  
x  2 2

5
2

Chọn A.

Trang | 9


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

-

Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn
Đức Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
-

Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
-

HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-

HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Trang | 10