Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng, giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng toán 12

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

PHƢƠNG PHÁP TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG,
GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TỐN 12
1.Góc giữa hai mặt phẳng.
Góc giữa hai mặt phẳng (P): Ax  By  Cz  D  0 , (Q): A’x  B’ y  C’z  D’  0 được ký
hiệu: 0o  (( P),(Q))  90o , xác định bởi hệ thức
AA'  BB'  CC'

cos(( P), (Q)) 

A  B 2  C 2 . A' 2  B' 2  C' 2
2

.

Đặc biệt: ( P)  (Q)  AA' BB'CC '  0.
2. Góc giữa hai đƣờng thẳng, góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng.
a) Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương u  (a; b; c) và u'  (a' ; b' ; c' )
cos  

aa ' bb ' cc '
a b  c . a' b'  c'
2

2

2

2

2

2



(0o    90o ).

Đặc biệt: (d )  (d ' )  aa'bb'cc'  0.
b) Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  (a; b; c) và mp ( ) có vectơ pháp tuyến n  (A; B; C).

sin   cos(n, u ) 

Aa  Bb  Cc
A B C . a b c
2

2

2

2

2

2

(0o    90o ).

Đặc biệt: (d) //( ) hoặc (d )  ( )  Aa  Bb  Cc  0.

Ví dụ: Cho vectơ u 2;  2; 0 ; v
A. 135 .





2; 2; 2 . Góc giữa vectơ u v vectơ v bằng:

B. 45 .

C. 60 .

D. 150 .

Hƣớng dẫn giải
Ta có cos(u, v) 

u. v
u. v

2. 2  2. 2  2.0



(2)2  (2)2 .

 2   2
2

2


 22

1
2

 (u, v)  135 .

3. Bài tập
Câu 1.

Cho đường thẳng  :

x
y
z

 và mặt phẳng (P): 5x  11y  2z  4  0 . Góc giữa đường
1 2 1

thẳng  và mặt phẳng (P) là:
A. 60 .
Câu 2.

B.  30 .

C. 30 .

D.  60 .

Cho mặt phẳng ( ) : 2x  y  2z  1  0; ( ) : x  2y  2z  3  0 . Cosin góc giữa mặt phẳng
( ) và mặt phẳng (  ) ằng:

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

A.
Câu 3.

4
9

4
B.  .
9

4

C.

D. 

.

3 3

4

.

3 3

Cho mặt phẳng (P) : 3x  4y  5z  2  0 v đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) : x  2y  1  0; ( ) : x  2z  3  0 . Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Khi đó:
A. 60 .
Câu 4.

B. 45 .

C. 30 .

D. 90 .

Cho mặt phẳng ( ) : 3x  2y  2z  5  0 . Điểm A(1; – 2; 2). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua
A và tạo với mặt phẳng ( ) một góc 45.
A. Vơ số.

Câu 5.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Hai mặt phẳng n o dưới đây tạo với nhau một góc 60
A. (P) : 2x  11y  5z  3  0 và (Q) : x  2y  z  2  0 .
B. (P) : 2x  11y  5z  3  0 và (Q) :  x  2y  z  5  0 .
C. (P) : 2x  11y  5z  21  0 và (Q) : 2x  y  z  2  0 .
D. (P) : 2x  5y  11z  6  0 và (Q) :  x  2y  z  5  0 .

Câu 6.

Cho vectơ u(1; 1;  2), v(1; 0; m) . Tìm m để góc giữa hai vectơ u, v có số đo ằng 45 .
Một học sinh giải như sau:

 

Bước 1: Tính cos u, v 

1  2m
6. m2  1

Bước 2: Góc giữa u, v có số đo ằng 45 nên

1  2m
6. m2  1



1
2

 1  2m  3(m2  1) (*)

Bước 3: Phương trình (* )  (1  2m)2  3(m2  1)
m  2  6
 m2  4m  2  0  
 m  2  6.

Bài giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở ước nào?
A. Sai ở ước 3.
Câu 7.

B. Sai ở ước 2.

C. Sai ở ước 1.

D. Đúng.

Cho hai điểm A(1;  1; 1); B(2;  2; 4) . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa A, Bvà tạo với mặt phẳng
( ) : x  2y  z  7  0 một góc 60 .

A. 1.
Câu 8.

B. 4.

C. 2.

Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB, CD. Khẳng định n o sau đây

D. Vô số.
khẳng định đúng:

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

A. cos 

AB.CD
AB . CD

C. cos 

Câu 9.

.

AB . CD

AB.CD
 AB, CD 



AB.CD

B. cos 

.

D. cos 

.

 AB.CD 



.

AB . CD

Cho hình lập phương ABCD.A' B'C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần ượt

trung điểm các

cạnh BB', CD, A' D ' . Góc giữa hai đường thẳng MP và C’N là:
A. 30o.

B. 120o.

C. 60o.

D. 90o.

Câu 10. Cho hình chóp A.BCD có các cạnh AB, AC, AD đơi một vng góc.  ABC cân, cạnh bên bằng
a, AD  2a . Cosin góc giữa hai đường thẳng BD và DC là:

4
A. .
5

2

B. 

.

4

C.

5

.

D.

5

1

.

5

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2, AC = 5 . SAC vuông cân
tại A. K trung điểm của cạnh SD. Hãy xác định cosin góc giữa đường thẳng CK và AB?
A.

4

.

B.

17

2

.

11

C.

4

.

D.

22

2

.

22

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm A(3;  4; 5); B(2; 7; 7); C(3; 5; 8);

D(2; 6; 1) . Cặp đường thẳng nào tạo với nhau một góc 60 ?

A. DB và AC.

B. AC và CD.

C. AB và CB.

D.CB và CA.

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng n o dưới đây đi qua A(2; 1; – 1) tạo với trục
Oz một góc 30 ?
A. 2( x  2)  ( y  1)  (z  2)  3  0.

B. ( x  2)  2( y  1)  (z  1)  2  0.

C. 2( x  2)  ( y  1)  (z  2)  0.

D. 2( x  2)  ( y  1)  (z  1)  2  0.

Câu 14. Cho mặt phẳng (P) :3x  4y  5z  8  0 . Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) : x  2y  1  0; ( ) : x  2z  3  0 . Góc giữa d và (P) là:

A. 120.

B. 60.

C. 150.

D. 30.

Câu 15. Gọi  là góc giữa hai vectơ AB, CD . Khẳng định n o sau đây
A. cos 

 AB.CD 


AB . CD

.

B. cos 

đúng:

AB.CD
.
AB . CD

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

AB.CD

C. sin 

D. cos 

.
AB . CD

AB.DC
AB . DC

Câu 16. Cho ba mặt phẳng (P) : 2x  y  2z  3  0; (Q) : x  y  z  2  1; ( R) : x  2y  2z  2  0 .
Gọi 1;  2; 3 lần ượt là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), (Q) và (R), (R) và (P). Khẳng định
n o sau đây

khẳng định đúng.

A. 1  3  2 .

B. 2  3 1.

C. 3   2 1.

D. 1   2 3 .

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt phẳng   : x  2 y  2 z  m  0 v điểm A 1;1;1 .
Khi đó m nhận giá trị n o sau đây để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng   bằng 1?
A.  2.

B.  8.

C.  2 hoặc 8 .

D. 3.

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, mặt phẳng   cắt các trục Ox, Oy, Oz lần ượt tại 3
điểm A  2;0;0 , B  0;3;0  , C  0;0; 4  . Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng

 ABC  là
A.

61
.
12

B.4.

C.

12 61
.
61

D.3.

y  0
Oxyz cho điểm M 1;0;0  và N  0;0; 1 ,
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ 
2 x  y  2 z  2  0
mặt phẳng  P  qua điểm M , N và tạo với mặt phẳng  Q  : x  y  4  0 một góc ằng 45O .
Phương trình mặt phẳng  P  là

y  0
A. 
.

2 x  y  2 z  2  0

y  0
B. 
.
2 x  y  2 z  2  0

2 x  y  2 z  2  0
C. 
.
2 x  y  2 z  2  0

2 x  2 z  2  0
.
D. 
2 x  2 z  2  0

Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho điểm A  2; 0; 1 , đường thẳng d qua điểm A và tạo với trục
Oy góc 45O . Phương trình đường thẳng d là

y
z 1
x2
 2  5  1
A. 
.
y
z 1
x2
 2   5  1



y
z 1
x2
 2  5  1
B. 
y
z 1
x2
 2   5  1


y
z 1
x2
 2  5  1
C. 
y
z 1
x2
 2  5  1


y
z 1
x2
 2   5  1
D. 
y

z 1
x2
 2  5  1


Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tƣơng lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,
giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học v các trường chuyên
danh tiếng.
I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH v THPT danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học.

-

Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An v các trường
Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn
Đức Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao và HSG
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
-

Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên d nh cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao th nh tích học tập ở trường v đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG.

-

Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng 5 phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh
Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Phạm Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

III.

Kênh học tập miễn phí
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí
HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí
-

HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư
liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất.

-

HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và
Tiếng Anh.

Trang | 6