lec6-7-8

Lec 6-7-8
Logic mệnh đề Logic vị từ cấp một

Chương 6. p.1


Nội Dung



Biểu diễn tri thức
Logic mệnh đề
– Cú pháp và ngữ nghĩa của Logic mệnh đề
– Dạng chuẩn tắc
– Luật suy diễn



Logic vị từ cấp một
– Cú pháp và ngữ nghĩa logic vị từ cấp một
– Chuẩn hố các cơng thức
– Các luật suy diễn

Lec 6. p.2


Biểu diễn tri thức


Cơ sở tri thức (CSTT): tập hợp các tri thức được biểu diễn dưới
dạng nào đó.



Thủ tục suy diễn: liên kết các sự kiện thu nhận từ môi trường với
các tri thức trong CSTT để đưa ra các câu trả lời hoặc hành động
cần thực hiện.

Để máy tính có thể sử dụng tri thức, xử lý tri thức
Ngôn ngữ biểu diễn tri thức
= Cú pháp + Ngữ nghĩa + Cơ chế lập luận
Lec 6. p.3


Ngôn ngữ biểu diễn tri thức




Cú pháp: gồm các ký hiệu, các quy tắc liên kết các ký
hiệu (luật cú pháp) để tạo thành các câu (công thức).
Ngữ nghĩa: xác định ý nghĩa của các câu trong một
miền thế giới thực.
Cơ chế lập luận: thực hiện q trình tính tốn, sử dụng
các luật suy diễn để đưa ra các công thức mới.
Luật suy diễn: từ một tập công thức đã cho suy ra một
công thức mới
Ngôn ngữ biểu diễn tri thức tốt cần có khả năng mơ tả
một phạm vi rộng lớn thế giới thực và thực hiện lập luận
hiệu quả.
Lec 6. p.4

Logic mệnh đề
Cú pháp
•
–
–
–
–

Các ký hiệu
Hằng logic: True, False.
Các ký hiệu mệnh đề (biến mệnh đề): P, Q,...
Các phép kết nối logic: ∧, ∨, ¬, ⇒, ⇔.
Các dấu mở ngoặc”(“ và đóng ngoặc ”)”.
• Các quy tắc xây dựng các công thức
– Các biến mệnh đề là công thức.
– Nếu A và B là cơng thức thì (A∧B), (A∨B), (¬A), (A⇒B),
(A⇔B) là các công thức.

Lec 6. p.5


Logic mệnh đề
Cú pháp
– Các công thức là các ký hiệu mệnh đề được gọi là các câu đơn
hoặc câu phân tử.
– Các công thức không phải là câu đơn được gọi là câu phức
hợp.
– Nếu P là ký hiệu mệnh đề thì P và ¬P được gọi là literal, P là

literal dương, cịn ¬ P là literal âm.
– Câu phức hợp có dạng A1∨...∨Am gọi là câu tuyển (clause),
trong đó Ai là các literal.

Lec 6. p.6


Logic mệnh đề
Ngữ nghĩa
Diễn giải (interpretation): sự kết hợp các kí hiệu mệnh đề với các
sự kiện trong thế giới thực
Ví dụ: diễn giải là một cách gán cho mỗi ký hiệu mệnh đề một
giá trị chân lý True hoặc False

Bảng chân lý của các kết nối logic

Lec 6. p.7


Logic mệnh đề
Ngữ nghĩa
– Một công thức được gọi là thoả được (satisfiable) nếu nó đúng
trong một diễn giải nào đó.
Ví dụ: (P∨ Q) ∧¬S là thoả được vì nó có giá trị True trong
diễn giải {P = True, Q=False, S=True}.
– Một công thức được gọi là vững chắc (valid) nếu nó đúng
trong mọi diễn giải
Ví dụ: P∨¬P là vững chắc
– Một công thức được gọi là không thoả được, nếu nó là sai
trong mọi diễn giải

Ví dụ: P∧¬P là không thỏa được

Lec 6. p.8


Logic mệnh đề
Ngữ nghĩa
Mơ hình (model) của một cơng thức là một diễn giải sao cho
công thức là đúng trong diễn giải này.
Như vậy một công thức thoả được là cơng thức có một mơ hình.

Lec 6. p.9


Logic mệnh đề
Các cơng thức tương đương
A⇒B ≡ ¬A∨B
A⇔B ≡ (A⇒B)∧(B⇒A)
¬(¬A) ≡ A
De Morgan
¬(A∨B) ≡ ¬A ∧¬B ;
¬(A∧B) ≡ ¬A∨¬B
Giao hoán
A∨B ≡ B∨A;
A∧B ≡ B∧A
Kết hợp
(A∨B) ∨C ≡ A ∨(B∨C);
(A∧B) ∧C ≡ A ∧(B∧C)
Phân phối
A ∧(B∨C) ≡ (A∧B) ∨(A∧C);

A ∨(B∧C) ≡ (A∨B) ∧(A∨C)

Lec 6. p.10


Logic mệnh đề
Dạng chuẩn hội




Câu tuyển: A1∨...∨Am (Ai : literal)
Dạng chuẩn hội: hội của các câu tuyển
Biến đổi về dạng chuẩn hội:
– Bỏ dấu ⇒: thay (A⇒B) bởi ¬A∨B
– Chuyển các dấu ¬ vào sát các ký hiệu mệnh đề: áp dụng De
Morgan (thay ¬(¬A) bởi A)
– Chuyển A∨(B∧C) về dạng (A∨B)∧(A∨C): áp dụng luật phân phối
Ví dụ: chuẩn hố cơng thức (P⇒Q)∨¬(R∨¬S)
về dạng (¬P∨Q∨¬R)∧(¬P∨Q∨S)

Lec 6. p.11


Logic mệnh đề
Câu Horn

Câu tuyển có dạng:
¬P1∨...∨¬Pm ∨Q1∨...∨Qn (Pi, Qi :literal dương)
tương đương với:

P1∧...∧Pm ⇒ Q1∨...∨Qn
Nếu n≤ 1câu này trở thành câu Horn
Khi m>0, n=1, câu Horn có dạng:
P1∧...∧Pm ⇒ Q
Câu Horn dạng này gọi là luật if-then:
If P1 and ... and Pm then Q
Khi m=0, n=1, câu Horn trở thành câu đơn Q (sự kiện Q)
Lec 6. p.12


Logic mệnh đề
Luật suy diễn
H là hệ quả logic của tập G={G1, ..., Gm} nếu trong mọi thể hiện mà G
đúng thì H cũng đúng
Modus Ponens
α ⇒ β, α
β
Modus Tollens
α ⇒ β, ¬β
¬α
Bắc cầu
α ⇒ β, β ⇒ γ
α ⇒γ
Loại bỏ hội
α1∧...∧αi ∧...∧αm
αi

Lec 6. p.13

Logic mệnh đề
Luật suy diễn
Đưa vào hội
α1,...,αi, ...,αm
α1∧...∧αi ∧...∧αm
Đưa vào tuyển
αi
α1∨...∨αi∨...∨αm
Phân giải
α ∨β, ¬β∨γ
α ∨γ

Lec 6. p.14


Logic mệnh đề
Ví dụ
Giả sử có các cơng thức sau:
• A ∧B ⇒ C ∧D
• E ⇒A

(2)

• F ⇒B

(3)

• E

(4)

• F

(5)

(1)

Giả sử cần chứng minh C?
Tiên đề: Các công thức đã cho
Định lý: các công thức được suy ra
Chứng minh: dãy các luật được áp dụng để dẫn tới định lý

Lec 6. p.15


Logic mệnh đề
Định lý phân giải
- Câu phân giải được: Nếu có thể áp dụng luật phân giải cho các câu đó
- Giải thức: Kết quả nhận được khi áp dụng luật phân giải cho các câu
- Câu rỗng: giải thức của hai câu đối lập nhau P và ¬P, ký hiệu □
- G là tập các câu tuyển, R(G) là tập câu bao gồm các câu thuộc G và
tất cả các câu nhận được từ G bằng một dãy áp dụng luật phân giải.
Định lý phân giải:
Một tập câu tuyển là không thỏa được nếu và chỉ nếu câu rỗng □∈R(G)
Một tập luật suy diễn là đầy đủ nếu mọi hệ quả logic của một tập các
tiên đề đều chứng minh được bằng cách chỉ sử dụng các luật của tập
đó
Lec 6. p.16

Logic mệnh đề
Thủ tục phân giải
Procedure Resolution;
Input: G={các câu tuyển};
Begin
1. Repeat
1.1 Chọn hai câu A, B ∈G;
1.2 If A và B phân giải được then tính Res(A,B);
1.3 If Res(A,B) là câu mới then thêm Res(A,B) vào G;
Until nhận được câu rỗng hoặc khơng có câu mới nào xuất hiện;
2. If nhận được câu rỗng then thông báo G không thỏa được
else thông báo thỏa được;
End;

Lec 6. p.17


Logic mệnh đề
Thủ tục phân giải


Sử dụng luật phân giải ta có thể chứng minh được một cơng thức
bất kì có là hệ quả của một tập cơng thức đã cho hay khơng bằng
phương pháp chứng minh bác bỏ.

Vì vậy luật phân giải được xem là luật đầy đủ cho bác bỏ.

Lec 6. p.18

Logic mệnh đề
Chứng minh bác bỏ
Ví dụ: Giả giử G là tập hợp các câu tuyển sau
¬A∨ ¬B ∨ P
(1)
¬C ∨ ¬D ∨ P
(2)
¬E ∨ C
(3)
A
(4)
E
(5)
D
(6)
Giả sử ta cần chứng minh P. Thêm vào G câu sau:
¬P
(7)
áp dụng luật phân giải cho câu (2) và (7) ta được câu:
¬C ∨¬ D
(8)
Từ câu (6) và (8) ta nhận được câu:
¬C
(9)
Từ câu (3) và (9) ta nhận được câu:
¬E
(10)
Từ câu (5) và (10) ta nhận được câu rỗng
Vậy P là hệ quả logic của các câu (1) --(6).

Lec 6. p.19


Logic vị từ cấp một
Cú pháp
Các ký hiệu:



–

Hằng: a, b, c,…

–

Biến: x, y, z,…

–

Vị từ: P, Q, R, …
•

Vị từ n biến p(x1, …, xn)

•

Vị từ khơng biến là mệnh đề

–

Hàm: f, g, … f(x1, …, xn) - hàm n biến

–

Liên kết logic: ∧, ∨, ¬, ⇒, ⇔

–

Lượng từ: ∀, ∃

–

Dấu phảy, đóng mở ngoặc

Lec 6. p.20


Logic vị từ cấp một
Cú pháp (tiếp)


Các hạng thức:
–

Các ký hiệu hằng và biến

–

Nếu t1, …, tn là các hạng thức, f là hàm n biến, thì
f(t1, …, tn) là hạng thức



Công thức phân tử (câu đơn):
–

Các vị từ không biến (mệnh đề)

–

Nếu t1, …, tn là các hạng thức, P là vị từ n biến, thì P(t1, …, tn)
là công thức phân tử

Lec 6. p.21


Logic vị từ cấp một
Cú pháp (tiếp)
Công thức:



–

Các công thức phân tử là công thức

–

Nếu P, Q là các công thức thì P∧Q, P∨Q, ¬P, P⇒Q, P⇔Q là các
cơng thức

–

Nếu P là cơng thức, x là biến thì ∀xP, ∃ xP là các công thức.

–

Literal: công thức phân tử hoặc phủ định của cơng thức phân tử

–

Cơng thức đóng: cơng thức mà tất cả các biến đều là biến bị buộc

–

Biến bị buộc x nếu trong cơng thức có dạng ∀xP hoặc ∃ xP, cịn
lại là biến tự do
Ví dụ: ∀x P(x, f(x,y)) ∧∃ x Q(x)

Lec 6. p.22


Logic vị từ cấp một
Ngữ nghĩa




Trong một diễn giải:
–

Hằng → đối tượng cụ thể

–

Hàm → hàm cụ thể

Ngữ nghĩa của các câu đơn
Ví dụ: Sinhviên(Lan)



Ngữ nghĩa các câu phức
–



Ví dụ: Sinhviên(Lan) ∧Thích(Lan, Bóngđá)

Ngữ nghĩa các câu chứa lượng từ
∀xP : ngữ nghĩa của công thức là hội của tất cả các công thức nhận
được từ P bằng cách thay x bởi một đối tượng trong miền
∃ xP: ngữ nghĩa của công thức là tuyển của tất cả các công thức nhận
được từ P bằng cách thay x bởi một đối tượng trong miền

Lec 6. p.23


Logic vị từ cấp một
Công thức tương đương

∀x P(x) ≡ ∀y P(y)
∃ x P(x) ≡ ∃ y P(y)
¬(∀x P(x)) ≡∃ x(¬P(x))
¬(∃ x P(x) ≡∀x(¬P(x))
∀x (P(x) ∧Q(x)) ≡ ∀x P(x) ∧∀x Q(x)
∃ x (P(x) ∨Q(x)) ≡ ∃ x P(x) ∨∃ x Q(x)
Ví dụ: ∀x Thích(x, Chồng(x)) ≡ ∀y Thích(y, Chồng(y))

Lec 6. p.24


Logic vị từ cấp một
Chuẩn hóa cơng thức
–

Loại bỏ kéo theo
P⇒Q bởi ¬P∨Q

–

Chuyển ¬ tới các phân tử
¬(¬P) ≡ P
¬(P∧Q) ≡ ¬P∨¬Q
¬(P∨Q) ≡ ¬P∧¬Q
¬(∀x P(x)) ≡ ∃ x(¬P(x))
¬(∃ x P(x) ≡ ∀x(¬P(x))

–

Loại bỏ ∃

–

Loại bỏ ∀

–

Chuyển tới các literal

–

Loại bỏ hội

Lec 6. p.25