BÀI TẬP GIẢI TÍCH 2
Ứng dụng các dấu hiệu để giải bài tập giải tích – Lời giải mẫu
-----------------Lời giải
Ghi chú
Bài tập 1: (Sử dụng dấu hiệu Cauchy – dấu hiệu căn)
Tỉ lệ điểm đạt
2
2
n
1
n
được
n 1
n 1
a. S1
b. S 2
Ôn lại dấu hiệu
n 1 2n 1
n 1 n
Cauchy
Lời giải
n 1
a. S1
n 1 2n 1
Ta có:
2 n 1
n 1
ta có a n
2n 1
n 1
lim n a n lim n
n
n
2n 1
2
2 n 1
2 n 1
n 1
lim
n 2n 1
2 n 1
n
1
1 1 n 1
n
lim
1
n
4
2 1
n
Theo dấu hiệu Cauchy, S1 hội tụ.
n 1
b. S 2
n 1 n
Ta có
n2
n 1
, an
n
n2
n2
n2
n 1
n 1 n
1
lim n a n lim n
lim
lim 1 e 1
n
n
n
n
n
n
n
Theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi S2 phân kỳ.
Một số lưu ý:
- Khi áp dụng dấu hiệu Cauchy, cần nhớ lại các bài tốn về tính giới hạn.
Đặc biệt là giới hạn liên quan đển hàm mũ e (exponential).
- Nếu ta áp dụng dấu hiệu Cauchy, thấy giới hạn lim n an bằng 1, thì cần
n
n
đổi sang dấu hiệu khác để thử.
Bài tập 2:
Sử dụng dấu hiệu D’Alambert để khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
1
2n 1
a. S1 n
b. S 2 n
2
n 1 2 n
n 1
Lời giải:
1
1
1
a. S1 n , a n n , a n 1 n 1
2 n
2 n 1
n 1 2 n
Ta có:
a
2n n
n
1
lim n 1 lim n 1
lim
n a
n 2
n 1 n 2n 1 2
n
Theo dấu hiệu D’Alambert (dấu hiệu thương) thì chuỗi S1 hội tụ.
2n 1
2n 1
2n 1
, a n 1 n 1
b. S 2 n , a n
n
2
2
2
n 1
Viết được dấu hiệu
(25% số điểm)
Tính được giới hạn
(75% số điểm)
Ta có:
a n 1
2n 1 2 n
1 2n 1 1
lim
lim
lim
n 1
n a
n
n
2n 1
2 2n 1 2
2
n
Theo dấu hiệu D’Alambert (dấu hiệu thương) thì chuỗi S1 hội tụ.
Lưu ý: Câu a và câu b đều có thể sử dụng dấu hiệu Cauchy
Ví dụ câu a:
1
1
S1 n , a n n
2 n
n 1 2 n
Ta có:
1
1
1
lim n a n lim n n lim n n 1
n
n
n
2
2
2 n
Theo dấu hiệu Cauchy, S1 hội tụ.
Bài tập 3:
Sử dụng dấu hiệu tích phân để khảo sát sự hội tụ của chuỗi sau:
1
a. S1 trong đó là α tham số.
n 1 n
Ta có:
1
- Khi 0 , ta có dãy số là dãy phân kỳ (đơn điệu tăng hoặc bằng
n
1), vì vậy chuỗi phân kỳ.
1
- Khi 0 , ta xét hàm số f x , và khảo sát tích phân:
x
1
1
1
1
1
1 x 1 1
1 f ( x)dx ln x 1 1
1
1
1 x 1 1
1
Theo dấu hiệu tích phân, chuỗi S1 phân kỳ khi 1 và hội tụ khi 1.
Bài tập về nhà là phần còn lại.
Bài tập cần nộp lại cho đến thứ Ba ngày 17/3/2020:
- Bài tập 1 câu e,f
- Bài tập 2 câu c,f
- Bài tập 3 câu b
Các bạn sinh viên làm bài tập ra giấy, chụp ảnh lại và gửi vào mail cho thầy:
Hoặc nộp lên trên app.
Khi làm bài nộp chú ý:
- Ghi rõ họ tên và mã sinh viên lên bài làm.
- Trình bày rõ ràng (lưu ý cách trình bày bên trên của thầy).
Thầy sẽ sử dụng việc nộp bài tập để điểm danh. Các bài làm sẽ được thầy chấm điểm để làm
thang điểm vừa đưa vào điểm chuyên cần và vừa để phân nhóm sau này.
