chuong-7cay-can-bang

3. Cây cân bằng (Balanced Tree)
3.1. Định nghĩa – Cấu trúc dữ liệu

Cây cân bằng tương đối:

Là cây nhị phân thỏa mãn điều kiện là đối với mọi nút của
cây thì chiều cao của cây con trái và chiều cao của cây con
phải của nút đó hơn kém nhau khơng quá 1 (theo định
nghĩa của Adelson-Velskii và Landis).

Cây cân bằng tương đối còn gọi là cây AVL (AVL Tree).

Cây cân bằng hoàn toàn:

Là cây nhị phân thỏa mãn điều kiện là đối với mọi nút của
cây thì số nút của cây con trái và số nút của cây con phải
của nút đó hơn kém nhau khơng q 1.

Cây nhị phân cân bằng hoàn toàn là cây nhị phân cân
bằng tương đối.
1


Ví dụ:

AVL Tree

AVL Tree

2

3.1. Định nghĩa – Cấu trúc dữ liệu (tt)

Để ghi nhận mức độ cân bằng tại mỗi nút gốc cây con, dùng
thêm thành phần Bal trong cấu trúc dữ liệu của mỗi nút.
typedef struct BALNode
{
T Key;
int Bal;
BALNode *BALLeft;
BALNode *BALRight;
}BALOneNode;
typedef BALOneNode * BALType;

Để quản lý cây cân bằng, chỉ cần quản lý địa chỉ nút gốc của
cây
BALType BALTree;
3


3.1. Định nghĩa – Cấu trúc dữ liệu (tt)

Giá trị chỉ số cân bằng Bal tại 1 nút gốc của cây con trong cây
cân bằng tương đối bằng hiệu số giữa chiều cao cây con trái
và chiều cao cây con phải của nút đó.

Giá trị chỉ số cân bằng Bal tại 1 nút gốc của cây con trong cây
cân bằng hoàn toàn = hiệu số giữa số nút cây con trái và số
nút cây con phải của nút đó.


Nếu tại mọi nút trong cây nhị phân mà thỏa mãn điều kiện
-1 <= Bal <= 1 thì cây là cây cân bằng. Phạm vi từ -1  1 là
phạm vi cho phép của chỉ số cân bằng Bal

Nếu Bal = 0: cây con trái & cây con phải đều nhau

Nếu Bal = -1: cây con trái nhỏ hơn cây con phải (lệch phải)

Nếu Bal = +1: cây con trái nhỏ lớn cây con phải (lệch trái)
4


3.2. Các thao tác trên cây cân bằng
Các thao tác trên cây cân bằng áp dụng cho cây nhị phân tìm
kiếm cân bằng tương đối.
3.2.a Thêm 1 nút vào cây cân bằng
3.2.b. Hủy một nút khỏi cây cân bằng
3.2.a Thêm 1 nút vào cây cân bằng

Thêm một nút NewNode có thành phần dữ liệu là NewData vào trong cây
cân bằng BALTree sao cho sau khi thêm BALTree vẫn là một cây cân
bằng.

Để thực hiện điều này cần tìm kiếm vị trí của nút cần thêm là nút con trái
hoặc nút con phải của một nút PrNewNode tương tự như trong cây nhị
phân tìm kiếm.

Sau khi thêm NewNode vào cây con trái hoặc cây con phải của
PrNewNode thì chỉ số cân bằng của các nút từ PrNewNode trở về các nút
trước sẽ bị thay đổi dây chuyền và chúng ta phải lần ngược từ

5


3.2.a Thêm 1 nút vào cây cân bằng

Nếu phát hiện tại một nút AncestorNode có sự thay đổi vượt
quá phạm vi cho phép (bằng –2 hoặc +2) thì tiến hành cân
bằng lại cây ngay tại nút AncestorNode này.

Việc cân bằng lại cây tại nút AncestorNode được tiến hành cụ
thể theo các trường hợp như sau:
Trường hợp 1: Nếu AncestorNode->Bal = -2:

AncRL có chiều cao là h và AncRR có chiều cao là h+1
(AncR->Bal = -1)

AncRL và AncRR đều có chiều cao là h+1 (AncR->Bal = 0)

AncRL có chiều cao là h+1 và AncRR có chiều cao là h
(AncR->Bal = 1)
6


3.2.a Thêm 1 nút vào cây cân bằng

Nếu phát hiện tại một nút AncestorNode có sự thay đổi vượt
quá phạm vi cho phép (bằng –2 hoặc +2) thì chúng ta tiến
hành cân bằng lại cây ngay tại nút AncestorNode này.


Việc cân bằng lại cây tại nút AncestorNode được tiến hành cụ
thể theo các trường hợp như sau:
Trường hợp 1: Nếu AncestorNode->Bal = -2:

AncRL có chiều cao là h và AncRR có chiều cao là h+1
(AncR->Bal = -1)

AncRL và AncRR đều có chiều cao là h+1 (AncR->Bal = 0)

AncRL có chiều cao là h+1 và AncRR có chiều cao là h
(AncR->Bal = 1)
7


3.2.a (tt) Trường hợp 1: Nếu AncestorNode->Bal = -2: (lệch phải)
Gọi: AncL = AncestorNode->BAL_Left
AncR = AncestorNode->BAL_Right
=>AncL có chiều cao là h và AncR có chiều cao là h+2 (h 0)
=>Có ít nhất 1 cây con của AncR có chiều cao là h+1
Gọi: AncRL = AncR->BAL_Left
AncRR = AncR->BAL_Right

8


3.2.a (tt) Trường hợp 1: Nếu AncestorNode->Bal = -2:
a1) AncRL có chiều cao là h và AncRR có chiều cao là h+1
(AncR->Bal = -1)
Để cân bằng lại AncestorNode, thực hiện việc


quay đơn cây con phải AncR của nút này lên thành nút gốc;

chuyển AncestorNode thành nút con trái của nút gốc và
AncestorNode có hai cây con là AncL và AncRL (BAL_Right
Rotation).
Cây con AncestorNode sau khi quay cây con phải AncR sẽ là một
cây cân bằng.

9


3.2.a (tt) Trường hợp 1: Nếu AncestorNode->Bal = -2:
a1) AncRL có chiều cao là h và AncRR có chiều cao là h+1
(AncR->Bal = -1)

10


Ví dụ:
Việc thêm nút có Key = 50 vào cây nhị phân tìm kiếm cân bằng sau đây
sẽ làm cho cây mất cân bằng và chúng ta phải cân bằng lại theo trường
hợp này:

trở thành
nút gốc

trở thành
nút phải của
19

11




Thực hiện quay cây con phải của BALTree, cây nhị phân tìm
kiếm sau khi quay trở thành cây nhị phân tìm kiếm cân bằng
như sau:

12


3.2.a (tt) Trường hợp 1: Nếu AncestorNode->Bal = -2:
b1) AncRL và AncRR đều có chiều cao là h+1 (AncR->Bal = 0)

13




Vd 1.b:

40
25
25

19

40
19

35

32

44

44

32

50
35

50
14


3.2.a (tt) Trường hợp 1: Nếu AncestorNode->Bal = -2:
c1) AncRL có chiều cao là h+1 và AncRR có chiều cao là h (AncR>Bal = 1)
Để cân bằng lại AncestorNode thực hiện việc quay kép: quay cây
con trái AncRL và quay cây con phải AncR (Double Rotation).
Việc quay được tiến hành:
Gọi: AncRLL = AncRL->BAL_Left
AncRLR = AncRL->BAL_Right
=> AncRLL và AncRLR có chiều cao tối đa là h
=> Cây con có nút gốc AncestorNode có thể ở vào một trong ba
dạng:

AncRLL có chiều cao là h và AncRLR có chiều cao là h-1
(AncRL->Bal =1; h >= 1)


AncRLL có chiều cao là h-1 và AncRLR có chiều cao là h
(AncRL->Bal =-1; h >= 1)

Cả AncRLL và AncRLR đều có chiều cao là h (AncRL->Bal =0; h
>= 0)

15


3.2.a (tt) Trường hợp 1: Nếu AncestorNode->Bal = -2:
c1) AncRL có chiều cao là h+1 và AncRR có chiều cao là h
(AncR->Bal = 1)

AncRLL có chiều cao là h và AncRLR có chiều cao là h-1
(AncRL->Bal =1; h >=1)

16


Ví dụ:
Thêm nút có Key = 27 vào cây nhị phân tìm kiếm cân bằng,
thực hiện cân bằng lại như

17




Thực hiện quay đơn cây con trái của BALTree->BAL_Right cây

nhị phân tìm kiếm sau khi quay trở thành cây nhị phân tìm kiếm
như sau:

18




Thực hiện quay đơn cây con phải của BALTree cây nhị phân
tìm kiếm sau khi quay trở thành cây nhị phân tìm kiếm cân
bằng như sau:

19


3.2.a Thêm 1 nút vào cây cân bằng
Trường hợp 2: Nếu AncestorNode->Bal = 2:

Cũng tương tự như trường hợp 1, thực hiện quay đơn hoặc quay
kép các nhánh phía ngược lại
Gọi: AncL = AncestorNode->BAL_Left
AncR = AncestorNode->BAL_Right
=> AncL có chiều cao là h+2 và AncR có chiều cao là h (h 0)
=>Có ít nhất 1 cây con của AncL có chiều cao là h+1
Gọi: AncLL = AncL->BAL_Left
AncLR = AncL->BAL_Right
Cây con có nút gốc AncestorNode có thể ở vào một trong ba dạng sau:

AncLL có chiều cao là h+1 và AncLR có chiều cao là h (AncL->Bal
= 1)


AncLL và AncLR đều có chiều cao là h+1 (AncL->Bal = 0)

AncLL có chiều cao là h và AncLR có chiều cao là h+1 (AncL->Bal
= -1)

20


3.2.a (tt)Trường hợp 2: Nếu AncestorNode->Bal = 2(lệch trái):
a2) AncLL có chiều cao là h+1 và AncLR có chiều cao là h (AncL>Bal = 1)

21


Minh hoạ quay đơn:

22


3.2.a (tt)Trường hợp 2: Nếu AncestorNode->Bal = 2:
b2) AncLL và AncLR đều có chiều cao là h+1 (AncL->Bal = 0)

23




Vd 2.b:
35

50
35

20

10

20

70

50

10

40

40

70

44
44

24


3.2.a (tt) Trường hợp 2: Nếu AncestorNode->Bal = 2:
c2) AncLL có chiều cao là h và AncLR có chiều cao là h+1 (AncL>Bal = -1)


Tương tự như T1.3), việc cân bằng lại AncestorNode được
thực hiện thông qua phép quay kép: quay cây con phải AncLR
và quay cây con trái AncL (Double Rotation). Việc quay được
tiến hành:
Gọi: AncLRL = AncLR->BAL_Left
AncLRR = AncLR->BAL_Right
=> AncLRL và AncLRR có chiều cao tối đa là h

25