Chuong-II-3-Lien-he-giua-day-va-khoang-cach-tu-tam-den-day

Tuần 11ppct:22 MỪNG
NHIỆT LIỆT
CHÀO
§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
NgàyCAÙC
dạy: 19/11/2020
GV: ĐẾN
Mai Văn DỰ
ThiêmGIỜ LỚP
THẦY COÂ
92


? Các hình dưới đây biểu thị nội dung của
định lí nào? Em hãy phát biểu các định lí đó.
C

A

C

D
A

O

B

O

A

I

.. o

B

C

//

D

Hình 1

Hình 2

AB > CD

IC = ID

//

I

B

Hình 3
AB

CD

D


Cùng suy ngẫm
Hãy so sánh độ dài của dây AB
và dây CD trên mỗi hình vẽ sau.
D

D

C
A

C
O

B

O
A

AB > CD

B

AB ? CD

OK là khoảng cách từ
tâm O đến dây CD

C
K

OH là khoảng cách
từ tâm O đến dây
AB

O
D
H
A

B

Biết khoảng cách từ tâm của đường trịn đến hai
dây, có thể so sánh độ dài hai dây đó được
khơng?


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1. Bài toán
Cho AB và CD là hai dây (khác đường kính) của đường trịn
(O; R). Gọi OH, OK theo thứ tự là khoảng cách từ O đến AB,
CD. Chứng minh rằng OH2 + HB2 = OK2 + KD2 .
C
K

O
H
A

D

R

B


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1. Bài tốn
GT Đường trịn (O) , dây AB , AC khác đường kính

OH ⊥ AB , OK ⊥ CD

KL

OH2 + HB2 = OK2 + KD2 (*)
Phân tích
C
K

cạnhởcủa
tam
Ta HO,
thấyHB
hệlàthức

mỗi
vế
giác vng nào?
trong
Chứng
đẳng
minh
thức
bài(*)
tốn?
có
OK, KD là cạnh của tam
liên quan
định
giácđến
vng
nàolí? nào ?

O
H
A

D

R

B


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1. Bài tốn
GT Đường trịn (O) , dây AB , AC khác đường kính
OH ⊥ AB , OK ⊥ CD
KL OH2 + HB2 = OK2 + KD2
Giải
Áp dụng định lý Pitago vào các
C
tam giác vng OHB và OKD có :
OH 2 + HB 2 = OB 2 = R 2 (1)
OK 2 + KD 2 = OD 2 = R 2 (2)

K
O

Từ (1) và (2)
=> OH2 + HB2 = OK2 + KD2

H
A

D

R

B


? Kết luận của bài toán trên: OH2 + HB2 = OK2 + KD2 cịn
đúng khơng nếu một dây là đường kính hoặc cả hai dây là

đường kính?
C

K

A

R

H

O

C

D

B

A

R

H

K O

B
D

H ≡ O ⇒ OH = 0 ⇒ HB = R

và HB2 = R2 = OK2 + KD2.

H ≡ K ≡ O ⇒ OH = OK = 0
và HB2 = R2 = KD2.

Chú ý: Kết luận của bài toán trên vẫn đúng nếu một dây là
đường kính hoặc cả hai dây là đường kính.


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

?1 OH 2 + HB 2 = OK 2 + K D 2 (*)

Chứng minh

a) AB = CD thi OH = OK
b) OH = OK thi AB = CD
Phân tích

C

K
D

AB = CD

=>

=>

AB
CD
; KD =
)
HB = KD(Do HB =
2
2
HB2 = KD2

=>

OH2= OK2

=>

OH = OK

O
A

H

R

B

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

?1 OH 2 + HB 2 = OK 2 + K D 2 (*) Chứng minh

a)AB = CD thi OH = OK
b) OH = OK thi AB = CD
Phân tích

<
=> <=> <
=> <=>

AB = CD

AB
CD
; KD =
)
HB = KD (Do HB =
2
2
HB2 = KD2
OH2= OK2
OH = OK

Tương tự ta có suy luận
theo chiều ngược lại.

A
C

a. Nếu AB = CD . Hãy c/m
OH = OK ?

Bài giải

Ta có OH⊥
=
OK

⊥

AB
⇒

⇒

CD

CD
2 =
CK = KD

mà AB = CD (⇒
gt )
Suy ra HB = KD
Mặt khác

2
OH2 + HB
⇒

AB
AH = HB
2

H
O

B
R
D

K

b. Nếu OH = OK . Hãy
c/m AB = CD ?

Ta có OH
⊥

⊥
OK

Bài giải
AB
⇒

AB
AH = HB =
2

CD
2 =
CK = KD

⇒

CD

⇒

mà OH = OK ( gt)

OH2 = OK2

HB2 = KD2 Mặt khác OH2 + HB2 = OK2 + KD2
⇒
⇒
2
2
= OK + KD
Nếu HB2 = KD2
HB =KD
AB


c

K
O

A

Nếu AB = CD thì OH
= OK

D
R

H

B

Nếu OH = OK thì AB =
CD

Hãy phát biểu kết quả nói trên thành một định lí?

AB = CD  OH = OK


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

O

A

O'

3 cm B

3 cm

C

O
A

D

O'
B

C

D

Định lí 1 có đúng trong
hai đường trịn khơng?


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Chú ý. Trong hai đường
O

A

O'

3 cm B

3 cm

C

O
A

tròn, hai dây bằng nhau chưa
chắc đã cách đều tâm.
D

Trong hai đường trịn, hai
dây cách đều tâm chưa
chắc đã bằng nhau.

O'
B

C

D

Định lí 1 có thể đúng được trong hai đường trịn khơng?
Nếu có thể cần thêm điều kiện gì ?

§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Chú ý. Trong hai đường tròn
O

A

O'

3 cm B

3 cm

C

O
A

khác nhau, hai dây bằng nhau
chưa chắc đã cách đều tâm.
D

Trong hai đường tròn khác
nhau, hai dây cách đều tâm
chưa chắc đã bằng nhau.

O'
B

C

D

Định lí 1 chỉ đúng khi hai dây trong một
đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau.


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
?2

Sử dụng kết quả OH2 + HB 2 = OK 2 + K D 2 (*) để so sánh
a) OH và OK, nếu biết AB > CD.
Phân tích
b) AB và CD, nếu biết OH < OK.
C

AB > CD
K
O
H
A

D

R

B

Nếu AB > CD ta so sánh được
độ dài hai đoạn thẳng nào?


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

?2

Sử dụng kết quả OH2 + HB 2 = OK 2 + K D 2 (*) để so sánh
a) OH và OK, nếu biết AB > CD
Phân tích
b) AB và CD, nếu biết OH < OK
C

<=>

AB > CD

K

HB > KD

O

A

B

<=> <=> <=>

H

D

R

HB2> KD2
OH2< OK2
OH < OK


?2

a, nếu AB > CD thì OH

< OK:
Xét (O;
R) có OH ⊥ AB và OK ⊥
1
1
O
CD
⇒ HB = 2
....... AB; KD2
= ...... CD
H
GT
(1)

A
1
1
Vì AB > CD
⇒ ….AB > ..... CD (2)
2
2
(gt)
> KD
Từ (1) và (2) ta có:HB
.....
…..
⇒ HB
….2 >….
> KD2
(3)
⇒
mà: OH2 + HB2 = OK2 + KD2
< 2 ..... OK2⇒ OH
Từ(3)(4)
và (4) ta cã: OH
< .....
OK
b, nếu OH < OK thì AB >
2
CD:
OH < OK ⇒OH
……………
< OK2
(5)

Từ (4) và (5) ta có:
: HB2 >
………………
AB = CD ⇔ OH =1OK KD21
⇒ HB > KD ⇒ AB > ...........
CD
AB > CD
⇒……………
2
2

C
K
D

R

B


§3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
* Định lí 2
a) OH và OK, nếu biết AB > CD
b) AB và CD, nếu biết OH < OK
C
K
O
H

A

D

R

B

AB > CD  OH <
OK

Trong hai dây của một đường trịn:
a) Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn.

Kết quả bài tốn ?2 chính là
nội dung định lí 2.


Củng cố – Luyện tập
?3

Cho tam giác ABC , O là giao điểm của các đường trung trực của
tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC,
AC. Cho biết OD > OE, OE = OF ( Hình 69). Hãy so sánh các độ
dài:
A
a) BC và AC;
x
=

b) AB và AC.
F
D

GT

KL

_
_

x
∆ABC, O là giao điểm ba
=
đường trung trực.
///
///
C
E
AD = BD , BE = EC, AF = FC. B
OD > OE , OE = OF.
So sánh :
Giao điểm
điểm ba
ba đường
đường trung
trung trực
trực của
của
a) BC và AC

Giao
tamgiác
giáccó
cótính
tínhchất
chấtgì?
gì?Nó
Nócịn
cịncó
có
b) AB và AC
tam
têngọi
gọikhác
khácnhư
nhưthế
thếnào
nào??
tên
O


Củng cố – Luyện tập
?3
GT

KL

A
∆ABC,O là giao điểm ba

đường trung trực.
=
AD = BD , BE = EC, AF = FC.
D
OD > OE , OE = OF.
=
So sánh :
a. BC và AC
B
b. AB và AC

x
_
_

F

x

O
///

E

///

Giải

a) O là giao điểm của các đường trung
trực các cạnh ∆ABC nên O là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ ABC.

VớiKhi
điềuđó
kiện
của
đề bài,
đểcủa
so đường
sánh hai
dây BC
BC
và
AC
là
gì
trịn?
Khi đó BC và AC là gì của đường trịn?
và AC của đường tròn (O) ta làm thế nào ?

C


Củng cố – Luyện tập
?3
GT

KL

A
∆ABC,O là giao điểm ba

đường trung trực.
=
AD = BD , BE = EC, AF = FC.
D
OD > OE , OE = OF.
=
So sánh :
a. BC và AC
B
b. AB và AC

x
_
_

F

x

O
///

E

///

Giải

a) O là giao điểm của các đường trung
trực các cạnh ∆ABC nên O là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ ABC.

Có OE = OF (gt) => BC = AC (đ/l 1b về liên hệ giữa dây và
khoảng cách đến tâm).
b) Ta có OD
> OEtựvàso
OE
= OFdây
=> AB
OD và
> OF
AB < AC
Tương
sánh
dây=>AC?
( đ/l 2b về liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm).

C


Hướng dẫn học ở nhà
- Học thuộc và chứng minh lại hai định lí về liên hệ giữa
dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
- Làm bài tập 12, 13, 14 trang 106 SGK.
- Tiết sau Luyện tập