Đề thi vào 10 toán chuyên 2020 2021 tỉnh long an

ho

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2020-2021
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Ngày thi: 17/07/2020
Thời gian làm bài: 150 phút

no

oa
ct

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LONG AN



x 1

x 3





x 3
x 1



x 3

với x  0, x  9
3 x

vn





2

e.

Cho biểu thức P 

x x 3

in

Câu 1. (2,0 điểm)

nl

ĐỀ CHÍNH THỨC

a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P là số nguyên
Câu 2. (1,5 điểm)
3
Cho hàm số y   x  3 có đồ thị  d 

4
a) Vẽ đồ thị  d 

b) Gọi A là giao điểm của  d  với trục tung Oy, B là giao điểm của  d  với trục hồnh
Ox. Tính chu vi tam giác OAB và khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng
d 
Câu 3. (1,0 điểm)
Cho phương trình : m  m 2 x  m  2   8 x  4 với m là tham số, m  2
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm nhỏ hơn 2
Câu 4. (2,5 điểm)
Cho đường trịn  O  có AB là đường kính. Vẽ đường kính CD khơng trùng với
AB. Tiếp tuyến tại A của đường tròn  O  cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E và
F . Gọi Q là trung điểm của đoạn thẳng AF
a) Chứng minh : ACBD là hình chữ nhật
b) Chứng minh QO song song với BF và BQC là tam giác cân
c) Chứng minh EB.EC  FB.FD  2CD 2
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho đa giác đều 24 cạnh A1 A2 ..... A23 A24 . Có tất cả bao nhiêu tam giác vuông nhưng
không phải là tam giác vuông cân được tạo thành từ các đỉnh trên ?
Câu 6. (1,0 điểm)
3
b2 c 2
2
Cho các số thực a, b, c sao cho a  0, b  , c  5 và a    12
2 9
2
Tìm giá trị lớn nhất của M  2ab  3a  ca  8c  2 c  5
Câu 7. (1,0 điểm)
Cho ABC nhọn có AB  AC. Gọi O, H , G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp,
trực tâm, trọng tâm của tam giác trên. Gọi E là điểm tùy ý sao cho luôn tạo thành EHG

và EOG. Chứng minh tỉ số diện tích EHG và diện tích EOG khơng phụ thuộc vào vị
trí điểm E


ho
oa
ct

ĐÁP ÁN

no

Câu 1.
2

x 3 

in
e.
vn




nl

  x  3 x  1
a) P 
x  1 x  3
x x  8 x  3x  24  x  3  x  8

x8



 x  1 x  3  x  1 x  3 x  1
x x 3 2

P  P 2  4 P  32

b)Ta có: P  0, P  và  x   
2
4

2

P   P  4  P  8

 x   
2
4

2

 P  4, P 

&

x

P


2

 P  4  P  8
2

8  P  4, P 
P
x



 P  4  P  8 
2

P
P  8, P  ; x  



2

P
;x  





 P  4  P  8 


2


 P  4  P  8 
2

2




2

Câu 2.
a) Học sinh tự vẽ đồ thị
b)

Tọa độ các giao điểm A 0;3 ; B  4;0  ; OA  OB  4  AB  OA2  OB 2  32  42  5

Chu vi tam giác OAB : OA  OB  AB  3  4  5  12
Vẽ OH  AB tại H. Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác OAB vuông tại O có đường cao
OA.OB 12

OH , ta có: OH 
5
AB
Câu 3.
m  m 2 x  m  2   8 x  4   m3  8  x  m 2  2m  4   m  2  x  1

ho

2

nl

1
2m  3
3
 2 
0  x2
2
m2
m2

no
in

x

1
m2

oa
ct

(vì m2  2m  4   m  1  3  0) . Phương trình có nghiệm x 

e.

vn

Câu 4.

F
Q
A
E

C

D

O

B
a) Vì AB là đường kính nên ACB  ADB  900
Vì CD là đường kính nên CAD  CBD  900  ACBD là hình chữ nhật
b) Vì O là trung điểm AB, Q là trung điểm AF nên QO là đường trung bình tam giác
ABF  QO / / BF
Mà BC  BF  QO  BC
Vì QO  BC nên QO đi qua trung điểm BC (tính chất đường kính dây cung)

BQC có QO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên BQC cân tại Q


ho
nl
in
e.

Câu 5.
Đa giác đều A1 A2 ...... A23 A24 sẽ nội tiếp đường tròn tâm O và A1 A13 , A2 A14 ,...., A12 A24 là 12
đường kính của đường trịn trên.
Từ đường kính A1 A13 ta có 22 tam giác vuông
A1 A13 A2 , A1 A13 A3 ,....., A1 A13 A12 , A1 A13 A14 ,.....A1 A13 A24

Trong 22 tam giác vng trên thì có 2 tam giác cân là A1 A13 A7 , A1 A13 A19
Tương tự cho các đường kính khác, tổng cộng ta có 240 tam giác thỏa đề bài
Câu 6.
a  2b  3
ca 8
; c  a  8 
2
2
4c5
2 c  5  4  c  5 
 M abc2
2
2ab  3a  a  2b  3 

a2  1
b2  4
c 2  81
;b 
;c 
Ta có: a 
2
4
18

abc

a 2 b2 c 2
   6  12  M  14
2 4 18

Vậy Max M  14  a  1; b  2; c  9

vn

Vậy EB.EC  FB.FD  2CD 2

no

oa
ct

c) BEA vng tại A có AC đường cao nên EA2  EB.EC
BFA vng tại A có AD là đường cao nên FA2  FB.FD
 EB.EC  FB.FD  EA2  FA2
Mà EA2  FA2  2.EA.FA (Co  si) và EA.FA  AB 2  CD2


ho
no

oa
ct

Câu 7.

nl

A

in
e.
vn

H

F
G O

B

C
D

Vẽ đường kính AD
Ta có: BH / / DC (vì cùng vng góc AC)

CH / / BD   AB   BHCD là hình bình hành
Gọi F là trung điểm AC , vì OF là đường trung bình của ADC và BHCD là hình bình
1
hành nên OF / / BH , OF  BH
2
Vì

BG BH

 2; HBG  OFG  BHG
FG FO



GH
 2; HGB  OGF
GO

FOG(c.g.c)

Suy ra ba điểm O, H , G thẳng hàng (vì HGB  OGB  1800 ) và GH  2GO 

SEHG
2
SEOG