BÀI điều KIỆN môn TOÁN CAO cấp học PHẦN i

BỘ TÀI CHÍNH
HỌC VIỆN TÀI CHÍNH
-----

-----

BÀI ĐIỀU KIỆN MƠN TỐN CAO CẤP HỌC
PHẦN I
LỚP: CQ59/10.21
NHÓM:3
THÀNH VIÊN:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Lê Văn Quốốc Trung
Nguyêễn Bùi Tuấốn Anh
Nguyêễn Phương Dung
Nguyêễn Hà Thu
Nguyêễn Vũ Minh Chấu
Nguyêễn Th Thăốm
ị

1|Page

7. Ngố Minh Nguyên
8. Hà Ngọc Linh
9. Hoàng Tuấốn Dương

10. Văn Thị Nga
11. Nguyêễn Minh Hiêốu.


Bài 1. Trong không gian R , cho các véc tơ:
4

A   2,1, 3, 0  ; B  1,  2, 0,  1 ; C   1, 2,  1, 4 ; D  4,  5,1, 3

Tính 2 A  B ;3A  2B ; A  B  2C ; B  3D ;  A  2B , C 
Lời giải:
2 A  B  2   2,1,3, 0   1,  2, 0,  1   5, 4, 6,1

3 A  2 B 3  2,1, 3, 0  2  1,  2, 0,  1   4,  1, 9,  2
A  B  2C   2,1, 3, 0    1,  2, 0,  1  2   1, 2,  1, 4    1,  1, 5,  7 
B  3D  1,  2, 0,  1  3  4,  5,1, 3  13,  17, 3, 8
 A  2B, C  19

Bài 2: Hãy viết biểu diễn tuyến tính véc tơ X qua hệ véc tơ 
A1 , A2 , A3  , với

A1  1,  1, 0 ; A2  2,3,  1 ; A3  0,5,  1 ; X   2,1,5

Lời giải:
Theo định nghĩa ta cần tìm các số a1 , a2 , a3 sao cho
 1
 2
 0   2 
  1    3    5   1 
a1  

a2   a3    
 0
  1
  1  5 
 
 
   

Thực hiện các phép tính với biểu thức vectơ ở vế trái dẫn đến đẳng
thức tưởng ứng

  1  2 2

 1  3 2  5 3

 2  3


 2
1
 5

Đẳng thức vectơ này tương ứng với hệ phương trình với 3 ẩn số
a1 , a2 , a3

2|Page


a1  2 a2  0 a3  2


 a1  3a 2  5a 3 1
 0a  1a  a 5
2
3
 1

do phương trình vơ nghiệm vậy ta
khơng có biểu diễn tuyến tính.
Bài 3. Sử dụng định nghĩa, xét sự độc lập tuyến tính, phụ
thuộc tuyến tính của hệ véc tơ sau:

 A  0,  2,1 ; A  2,1,  3 ; A  6,  1,  7  
1

2

3

Lời giải:
3
Trong R xét hệ trên ta có:

1 A1   2 A2  3 A3 0 3

0 
2 
 6   0





1   2   2  1   3   1   0 
1 
 3 
 7   0 
 
 
   

2 2  6 3


  2 1  2  3

  1  32  7 3

0
0
0

 hệ phương trình có vơ số nghiệm

Vậy hệ vectơ

 A1 ; A2 ; A3  phụ thuộc tuyến tính

Bài 4. Xét xem hệ véc tơ sau có là cơ sở của khơng gian
tương ứng không?

 A  1,  1, 2 ; A  0, 2, 3 ; A   1, 3,  1  , không gian R

1

2

3

3

Lời giải:
3
Hệ đã cho gồm 3 vectơ trong khơng gian R nên nó thỏa mãn điều
3
kiện cần cho một cơ sở của R

Xét hệ thức vectơ : 1 A1  2 A2  3 A3 03

3|Page


 3 0
 1

   1  22  33 0 

 2 1  3  2  3 0

là một cơ sở của R

1 0


2 0

 3 0

 hệ vectơ độc lập tuyến tính. Vậy nó

3

Bài 5. Bằng định nghĩa, chỉ ra một cơ sở và tìm biểu diễn
tuyến tính của các véc tơ cịn lại qua cơ sở của hệ véc tơ:

 A  2,1,  1 ; A    1, 0, 2  ; A   0,1, 3  ; A    1,  2,  4  
1

2

3

4

Lời giải:
 2
  1
 
 
A1  1  ; A2  0 
 1 
 2
 
 

Xét hệ 2 vectơ:

Xét đẳng thức vectơ:

1 A1  2 A2 03

21  2 0

0 1  0
1
   2 0   0
 2
2
  1

dễ thấy hệ phương trình tuyến tính chỉ có duy nhất nghiệm
1 0  2 0

;

và dẫn đến hệ



A1 , A2

độc lập tuyến tính.

Giả sử:
A3 3 A1  4 A2

2 3   4  0
  1

  3
1   3
 4  2
   2 3
4
 3

Giả sử:

4|Page

 A 3  A1  2 A 2


A4  5 A1   6 A2
2 5   6  1

   5  2

   2  4
 5
6

  5  2

 6  3

 A4  2 A1  3 A2

Như vậy, cả 2 vectơ đều được biểu diễn tuyến tính qua 
định nghĩa thì

A1 , A2 

A1 , A2

. Theo

là một cơ sở của hệ vectơ theo đề bài đã cho.

Bài 6. Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản
phẩm. Cho các véc tơ:
 1
 2


 
A1  2 ; A2  1  ; A3
 1
 1
 
 

 1
 2 ; A4
 2
 

 3
 3


 1  ; A5  0
 2
 1
 
 

trong đó AJ là véc tơ định mức vật liệu để sản xuất sản phẩm
thứ j.
a) Chứng minh rằng, hệ
tuyến tính.

B  A2 , A4 , A5 

là một hệ độc lập

Lời giải :
 2
 3
 3




 
A2  1  ; A4 1  ; A5  0 

1 
 2
1 
3
 
 
 
Trong R xét vectơ

xét 1 A2  2 A4  3 A5 B để là 1 hệ độc lập tuyến tính
1 A2  2 A4  3 A5 03
2 
3 
3   0 




 1 1    2 1    3  0   0 
1 
2
1   0 
 
 
   

5|Page


2 1  3  2  3 3 0


  1  2
0 
   2    0
2
3
 1

Vậy hệ
minh)

B  A2 ; A4 ; A5 

1  0

  2 0
  0
 3

là 1 hệ độc lập tuyến tính (điều phải chứng

b) Viết biểu diễn tuyến tính của các véc tơ cịn lại qua hệ
B và nêu ý nghĩa kinh tế của biểu diễn tuyến tính đó
Lời giải:
Ta có:
A1 1 A2  2 A4  3 A5
1 
 2
 3
 3







  2  1  1   2  1   3  0 
1 
1 
 2
1
 
 
 
 

1 2  1  3  2  3 3
 1  2


 2  1  2
  2  0
1    2   

1
2
3

 3  1  A1 2 A2  A5  A1  A5 2 A2

Vậy lượng vật liệu vừa đủ để sản xuất 1 đơn vi sản phẩm 1
và 1 đơn vị sản phẩm 5 bằng lượng vật liệu đủ để sản xuất 2 đơn vị
sản phẩm 2
Ý nghĩa kinh tế: Nếu bớt đi 1 đơn vị sản phẩm 1 và 1 đơn vị
sản phẩm 5 thì ta được thêm 2 đơn vị sản phẩm 2.
Ta có:
A3 1 A2  2 A4  3 A5
1 
2
3
3






  2  1  1   2  1   3  0 
 2
1 
 2
1
 
 
 
 

6|Page

1

1  2
1 2  1  3  2  3  3

3


 2  1  2
  2 
2
 2    2  

1
2
3

3

 3  2
1
3
3
3
1
3
 A 3  A 2  A 4  A 5  A 3  A 5  A 2  A 4
2
2
2

2
2
2
3
Vậy lượng vật liệu đủ để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm 3 và2
1
đơn vị sản phẩm 5 bằng lượng vật liệu đủ để sản xuất 2 đơn vị sản
3
phẩm 2 và 2 đơn vị sản phẩm 4.
3
Ý nghĩa kinh tế: vậy nếu bớt đi 1 đơn vị sản phẩm 3 và 2
1
3
đơn vị sản phẩm 5 thì ta được thêm 2 đơn vị sản phẩm 2 và 2 đơn vị

sản phẩm 4.
c) Tính số lượng các loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất
tương ứng được 10, 40, 50, 60, 20 đơn vị sản phẩm từ loại 1
đến loại 5.
Lời giải:
số lượng vật liệu đủ đề sản xuất theo yêu cầu là :
vật liệu 10 A1  40 A2 50 A3  60 A4  20 A5
1 
2
1 
3 
3









10  2   40  1   50  2   60  1   20  0 
1 
1 
2
 2
1 
 
 
 
 
 
 10 
 20
 10 
 

7|Page

 80 
 40
 40
 

 50 
 100

 100



 180
 60 
 120



 60  380
 0   220
 20  290
  



n
Bài 7. Cho A B, là các véc tơ trong không gian R . Sử dụng
định nghĩa chứng minh rằng:

 và 
 cùng độc lập tuyến tính
a) Các hệ véc tơ 
hoặc cùng phụ thuộc tuyến tính.
A  B, A  B

A, B

lời giải:

Đặt:

P   A; B 

Ta có:

;

P   A; B 

Q  A  B; A  B

độc lập tuyến tính

 1 A  2 B 0  1 2 0

Giả sử ngược

Q  A  B; A  B

phục thuộc tuyến tính, khi đó tồn tại 2

 A  B   2  A  B   0
số thực 1 và 2 không đồng thời là 1 
  1   2  A   1   2  B  0
1  2 0
 1 2 VÔ LÝ

1  2 0





 Q  A  B; A  B độc lập tuyến tính

b,

h  A, B   h  A, B , A  B 

Lời giải:
gọi hệ vectơ C là một cơ sở của hệ vectơ 

A, B

 nên mọi vectơ của 
Do C là một cơ sở của 
diễn tuyến tính qua hệ C (1)
A, B

Mà vectơ 

A  B

đều được biểu

được biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ 

Từ (1),(2) ta có vectơ

 A  B được biểu diễn qua hệ C

 hệ C cũng là 1 cơ sơ của hệ  A, B, A  B

8|Page

A, B

A, B

(2)


 h  A, B   h  A, B, A  B 

Bài 8. Cho hai ma trận:
1

2
A 
1

1
B 
 2

3

 2 ;

0

3
1

 4
2 

a, Tính A  B ; A  B; 2A  3B ; 3 A  5B
lời giải:
2
A  B 
1

1

2
A  B 
1

1

0

3   1

 2   2

3
1

 4  1
 
2 3

1

2

3
1

 4  3
 
2   1

3 
 2

0

2
2A  3B  2
1

1

2
3A  5B  3
1

1

0

0

 4  1
 
2 8

1
5
 2

3

 4   11
 
2   7

1

A  3X B ; 2 2 A  B  Y  Y  3A  5B

Lời giải:


 1
 X 

1

3

4
3
1
3

B A
3

 7
3

4 

3 

2 2 A  B  Y  Y  3A  5B  Y  A  3B

9|Page

4

3
1

b) Tìm các ma trận X,Y biết rằng:

A  3X B  X 

1

3   1
3
 2   2

3

 2 

 1

0 

2

1

7
 4 

7
3

 18
5

 6


2

29 
 16 


8

 1
 Y 
 7

9
 4 

3

Bài 9. Cho các ma trận:
 2 1  1


A  1 3 0  ;
 2 1 2 



2  1 1
B 
;

 0 1 3

 1 1 


C  2  1
0  3 



Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau bằng
phương pháp ma trận nghịch đảo:
XA  C T  B .

Lời giải:
T
Gọi D  B  C

1
1

2

0

1 1

3  1

2

1

3
2

0  3
 
 3   1

1

6

1
Ta có detA = 3 0 nên tồn tại A
T
Xét : XA  C  B

 XA  B  C T
 XA  D

 X DA  1 (1)

Thiết lập ma trận ghép:
 2
 A E   1

2

10 | P a g e

1 
3
1

1 1 0 0  2 1
 
0 0 1 0   5 0
2 0 0 1    4 0

1

3 
3

0 0
 3 1 0 
 1 0 1 
1


 1 1 0
 3

5
0 1
 
 3

 1 0 0




1 0 0

 0 1 0


0 0 1


1
0   0 1 0
3
 
1
0   0 0 1
1
 
3
 
2  1 1  1 0 0
 
 
0

1
2
2 2


3 3
7
4

3
3




1
A  




Từ trên ta có



2
3
7
3
2

2
1
 
3

3

4 5 

3 3 

1 1 




1 

1

3
5 

3 
2
2
3
7
3

1
2
3
4


3


1

1

3
5 
3

Xét (1) ta được :

3

3
X 
 1

2



1  
 
6 




2
2
3
7
3

1
2
3
4

3


1

1
 31
  
3   3
5   32
 
3  3

19
3
17

3



17 
3 

25 

3 

Bài 10. Bằng việc tính định thức hoặc hạng của ma trận, hãy
xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ
sau:

A

1

Lời giải :

11 | P a g e

 2,1,3, 0, 0 ; A2  3,1,1, 2,1 ; A3  1, 0,  2, 2, 0 ; A4  4,1,  1, 4, 2




2

1
A  3


0
0

 2

 1
 7

4
 0

 1

 1
 0

 0
 1


0
2

 0

0
 1


3

 1

1
1

0
2

2

2

1

0

4

1
1

4
2 
4 

1
7


4
2


3

1

1 

0

7

0

4
1

0
0

0

1

1
0

0

0

0

0

0

0

1 

1 
0 

0 
 1 

0
1
0
0
0

1
0
0
0
0

0 0
0   2
0   1
 
0 0
1   0

Ta thấy số vectơ của hệ là 4,
Vậy hệ

0
1
0
0
0
h  A  3

1
0
0
0
0

0
0 
1

0
0   h  A  3

< số vectơ của hệ là 4

 A1 , A2 , A3 , A4  phụ thuộc tuyến tính.

Bài 11. Sử dụng phương pháp khử tồn phần, tìm hạng, một
cơ sở và viết các biểu thị tuyến tính của các hệ véc tơ ngồi
cơ sở qua cơ sở đối với hệ véc tơ sau:

 A   2, 1, 0, 2  ;
1

Lời giải:
Theo đề bài ta có:

12 | P a g e

A2   1, 2,1,  3  ; A3  1, 4,3,  5  ;


 2

1
A 
 0

 2

1  

1

2
1
3







4
3
5

Áp dụng phương pháp khử toàn phần ta được:
 2

9
A 
 6

 12
 1
 2

3
A  
2
 0


 0



1

 6
4
8

1

0
0

0 

0
1
0
0


1

0


0
0 

(1)

 Cơ sở của A là :  A2 , A3
 Số hạng của A là h  A  2

Từ (1) ta có:

A1 

1
3
A2  A3
2
2

Bài 12. Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại
sản phẩm trung gian. Từ 3 loại sản phẩm trung gian, hãng
sản xuất ra 4 loại thành phẩm. Cho các ma trận:

3
2
A 
1

3

13 | P a g e

4

2
1
2

5
1
4 
; B  4
3
6


1

2
3

3
2

5

3

 30 
4
 45 

1  và X  
 25 

2 
 
 35 


với

aij

cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại i cần
b

để sản xuất ra 1 đơn vị sản phẩm trung gian loại j , jk cho
trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian loại j cần
để sản xuất ra 1 đơn vị thành phẩm loại k và xk cho trong ma
trận X là số đơn vị thành phẩm loại k mà hãng dự định sản
xuất

 i, k 1, 4 ; j 1,3 .

a) Tính số đơn vị sản phẩm trung gian mỗi loại vừa đủ để
sản xuất được số lượng thành phẩm cho trong X.
Lời giải:

sản phẩm trung gian

1
 BX  4
6


2
3

3
2

5

3

 30 
4     335 
45
1     340 
 25 
2     550 
 35 

b) Tính số đơn vị vật liệu thô mỗi loại vừa đủ để sản xuất
được ma trận thành phẩm X .
Lời giải:
 3

2
 AB  X   
 1

  3
Vật liệu

c, Kí hiệu
3 A1  2 A2  A3

được.



1
2



A j j 1,3

5
 1
4 
 4
3  
 6
1

2

3

3

2

5

3

  30   5115 
4   

3550
 45

1    
   25   2325 
2     

  35   2235

là véc tơ cột thứ j của ma trận A. Tính

và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả vừa tìm

Lời giải:

xét: 3 A1  2 A2  A3
14 | P a g e

4
2

3 
4
2 
2 


3
 2 
1 
1 
 
 
3 
2

 5   22 
 4  14 
   
3  8 
   
1   14 

Ý nghĩa kinh tế: để sản xuất ra 3 đơn vị sản phẩm trung
gian loại 1; 2 đơn vị sản phầm trung gian loại 2; 1 đơn vị
sản phẩm trung gian loại 3 thì cần 22 đơn vị vật liệu thô
loại 1; 14 đơn vị vật liệu thô loại 2; 8 đơn vị vật liệu thô
loại 3 và 14 đơn vị vật liệu thơ loại 4.

d) Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của cột 2 trong ma trận AB.
Lời giải:

 49
 34
AB  
 23

 17
ta có:

43
30

32
22

20
17

14
16

26 
18 
11 

16 

trong đó ma trận AB là ma trận định mức số vật liệu thô để sản xuất
ra 1 đơn vị mỗi loại thành phẩm
ý nghĩa kinh tế của cột 2: để sản xuất ra 1 thành phẩm loại 2 thì

cần 43 đơn vị vật liệu thơ loại 1; 30 đơn vị vật liệu thô loại 2; 20
đơn vị vật liệu thô loại 3 và 17 đơn vị vật iệu thô loại 4.

Bài 13: Một hãng dùng 4 loại vật liệu thô để sản xuất 3 loại
sản phẩm trung gian. Sau đó, từ 3 loại sản phẩm trung gian
sản xuất 5 loại thành phẩm. Cho các ma trận:
3
2
A 
1

4

15 | P a g e

1
1
0
0

0
1
1
 ; B  3

4
2


2

2

0

2

2
0

1
1

3
1

1
4
3 


aij

Trong đó

cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu thô loại
b
i dùng để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm trung gian j và jk cho
trong ma trận B là số đơn vị sản phẩm trung gian j dùng để
T

Y 0  10
15
5
là vec
sản xuất 1 đơn vị thành phẩm k. Cho
tơ số đơn vị sản phẩm trung gian hãng dự định sản xuất.

a) Viết biểu thức ma trận và thực hiện các phép tốn để
tính số lượng vật liệu thô đủ để sản xuất số lượng sản
0
phẩm trung gian Y .

Lời giải:

Ta có

Gọi

Y 0 10

 10 
Y 15 
5 
 

5

15

T

 10 
 Y  15
5 
 

là ma trận sản phẩm trung gian

Ta có: số lượng vật liệu thô đủ để sản xuất số lượng sản phẩm
trung gian Y là:
3
2
AY 
1

4

1
1
0
0

0
10 
1   
15
4  
 5
2  

 45 
 40
 
 30
 
 50 

b) Tính AB và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả vừa tính.
Lời giải:
3
2
AB 
1

4

1
1
0
0

0
1
1
 3
4 
2
2

Ý nghĩa kinh tế của AB:

16 | P a g e

2

0

2

2
0

1
1

3
1

6
1 
 7
4  
9
3  
8

8
6

1
2

9
8

2
8

4
2

6
10

7 
9 

13 

10 


Ðể sản xuất một đơn vị thành phẩm loại 1 , ta cần 6 đơn vị vật
liệu loại 1 , 7 đơn vị vật liệu loại 2 , 9 đơn vị vật liệu loại 3 , 8 đơn vị
vật liệu loại 4.
Ðể sản xuất một đơn vị thành phẩm loại 2 , ta cần 8 đơn vị vật
liệu loại 1 , 6 đơn vị vật liệu loại 2 , 2 đơn vị vật liệu loại 3 , 8 đơn vị
vật liệu loại 4
Ðể sản xuất một đơn vị thành phẩm loại 3 , ta cần 1 đơn vị vật

liệu loại 1 , 2 đơn vị vật liệu loại 2 , 4 đơn vị vật liệu loại 3 , 2 đơn vị
vật liệu loại 4
Ðể sản xuất một đơn vị thành phẩm loại 4 , ta cần 9 đơn vị vật
liệu loại 1 , 8 đơn vị vật liệu loại 2 , 6 đơn vị vật liệu loại 3 , 10 đơn
vị vật liệu loại 4
Ðể sản xuất một đơn vị thành phẩm loại 5 , ta cần 7 đơn vị vật
liệu loại 1 , 9 đơn vị vật liệu loại 2 , 13 đơn vị vật liệu loại 3 , 10 đơn
vị vật liệu loại 4

Bài 14. Cho hệ véc tơ:
S   A1  1,1, 2  ; A2  0,1, 1  ; A3   2,1,1  ; A 4   3,3, 2  ; A 5   2,  1,3  

a) Chứng tỏ rằng hệ véc tơ
Lời giải:

B  A1 , A2 , A3 

Xét 1 A1  2 A2  3 A3 03
1 
 0
 2   0




 1 1    2  1    3 1   0 
 2
  1
 1   0
 

 
   
 2 3 0
1

 1   2   3  0 

2 1   2   3  0
 B  A1 ; A2 ; A3 

17 | P a g e

1 0

 2  0

  3 0

độc lập tuyến tính.

là một cơ sở của S.


Giả sử A4 1 A1  2 A2  3 A3
 3
1 
 0
 2







  3   1  1    2  1    3  1 
 2
 2
  1
1 
 
 
 
 
 23  3
1

 1   2   3  3 
2      2
2
3
 1

1  1

 2 1
  1
 3

 A4  A1  A2  A3

Giả sử: A5 1 A1  2 A2  3 A3
 2
1 
 0
 2






   1  1  1    2  1    3  1 
 3
2 
 1 
1 
 
 
 
 
 2 3  2  1  0
1


 1   2   3  1   2  2
2       3  1
2
3
 1
 3

 A5  2 A2  A3

Vậy hệ vectơ

B   A1 ; A2 ; A3 

là 1 cơ sở của S.

b) Hệ véc tơ  1 3 5 có phải là một cơ sở của S hay
khơng ? Vì sao ?
A ,A ,A

Lời giải:
Xét: 1 A1  2 A3  3 A5 03
1 
 2
 2 0




 1 1    2  1    3   1   0 
2 
 1
 3  0 
 
 
   
1  2 2  23 0


 1   2   3  0 

2 1   2  3 3  0

Vậy hệ

 1  0

 2  0

 3 0

 A1 ; A3 ; A5  là độc lập tuyến tính.

18 | P a g e


Giả sử:
A2 1 A1  2 A3  3 A5
 0
1 
 2
 2







  1  1 1    2  1    3   1 
  1
 2
 1
 3
 
 
 
 

1  0
1  2 2  23  0

1


 1   2   3  1   2 
2
2    3  1 
2
3
 1
1

 3  2
1
1
 A2  A3  A5
2
2

Giả sử:
A4 1 A1  2 A3  3 A5
 3
1 
 2
 2






  3  1 1    2  1    3   1 
 2
 2
 1
 3
 
 
 
 

 1 1
1  22  23  3

3


 1   2   3  3   2 

2
2    3  2

 1
2
3
1

 3  2

 A4  A1 

Vậy hệ 

3
1
A3  A5
2
2

A1 ; A3 ; A5 

là 1 cơ sở của S.

c) Dùng phương pháp khử tồn phần, tìm các biểu thị
tuyến tính của A4 , A5 qua B
  1

A 1
2



19 | P a g e

0

2

3

1

1

3

1

1

2

2

 1
3 


1


 0
0


Cơ sở

0
1

2
1

3
0

  1

3

4

0

2

3

1

 0

0


0

  4

 4

1

3

4

1
  0

0

0
0
1

0
1
0



1
1
1

2

 3
 1 
2

 4
1 
0

1
 2 

A1 ; A2 ; A3

biểu thị tuyến tính:
A4  A1  A2  A3
A5 0 A1  2 A2  A3

Bài 15. Cho hệ phương trình tuyến tính:
 0
 1
 3   2
           
x1  1  x2  1  x3  1   1 
 1

  1
  3  2
 
 
   

Chứng tỏ rằng hệ phương trình đã cho là hệ Crame, viết hệ
dưới dạng ma trận và dạng tường minh rồi tìm nghiệm của
hệ bằng phương pháp ma trận nghịch đảo
Lời giải:
Hệ phương trình đã cho có số phương trình bằng số ẩn ( vì
cùng bằng 3)
 Hệ phương trình là hệ Cramer
20 | P a g e


Viết hệ dưới dạng ma trận có:
 0

 1
 1


3   x1   2 
1   x2  .    1 
 3   x3   2 

1
1
1

Hệ phương trình dưới dạng tường minh có:
x 2  3x 3  2


  x1  x2  x3  1
 x  x  3x  2
2
3
 1

Tìm nghiệm của hệ bằng phương pháp ma trận nghịch đảo:
 0
 1

 1
Xét A = 

3
1

 3   det A  2 0

1
1
1

 x1 
 2



X   x2  ; B   1 
x 
 
 2
 3
Đặt

1
Từ trên ta có: AX B  X  A B

Có A

1


1

 0
1






 X 




3
2
1
0


0

0
0



1
2

1
2

 là nghiệm

Bài 16. Tìm một nghiệm khơng âm của hệ ràng buộc sau:

21 | P a g e


3 x 5 7
 x1  3x 2  x 3


2x 4
12
 2x1  2x 2
 4x  x  2x  2x  x 12
2
3
4
5
 1

Lời giải:
 A B 

Lập Ã
1 3

 2 2
4 1


1

7

0 12 
 1 12 

0

3

0 2
2  2

5

 1 2 0

 2 2 0

1
1
2
2



7
0 2

 1 1

1  1

2


1

2 

1


1

12 

1
6

2

7
2
0

7
0 0  
2
0 1
0
1 0



1
2


7


6

0 


0 1 0 0 1 2
  1 1 0 1 0 6 
1 0 1 0 0 1



Cho

 x3 1

x1  x 2 0,   x 4 6
 x 2
 5

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

X   0, 0,1, 6, 2 

Bài 17. Tìm một nghiệm của hệ ràng buộc sau bằng phương
pháp khử toàn phần

22 | P a g e

4
 2x1  x 2  3x 3
  x  2x  x  2x
 3
2
3
4
 1
 5 x  x  x  3x  x  3
2
3
4
5
 1
 x  0,j 1,5
 j

Lời giải:

0
0 4
2 1 3
1 2 1
 2  0 3 

5 1 1  3 1 3

Xét à = 

 2 1  3 0 0


1
1
1 0
 
1
2
2
 13
1

0 1
2
2
2


4 

3 
2 
15 

2 



 2
1 3 0 0 4 



5
7
11 

0
1 0

2
2
2


  21  0 13 0  1 31 
  2 
2
2 

0 1


 0 0


 1 0


Cho:

37

5
0
21
12
41
5
1
21
12
13
2
0
21
21

22 
21 

38 
21 
31 
21 

x3  0, x5  0  x1 

 31

Vậy nghiệm của hệ là:  21

31

22
38
, x2  , x 4 
21
21
21

22
21

0

38
21


0


T

Bài 18. Chuyển hệ hỗn hợp sau về dạng chính tắc rồi tìm một
nghiệm của hệ:
23 | P a g e


 x1  2 x 2  x 3  x 4
 x  x  2x  2x
2
3

4
 1
 x  3x  4 x  x
2
3
4
 1
 x  0,j 1, 4
 j

9
 10
 4

Lời giải:
Chuyển hệ phương trình về dạng chính tắc, sử dụng ẩn bù x5 , x6 thu
được hệ:
9
 x1  2 x 2  x 3  x 4  x 5
 x  x  2x  2x
 x 6  10
2
3
4
 1
 x  3x  4 x  x
 4
2
3
4

 1
 x j 0, j 1, 6

 x1  2 x2  x3  x4  x5
9
 x  x  2x  2x
 x6 10
2
3
4
 1
 
x 3x 4x
x
4
 1  2  3  4
x j 0, j 1, 6


 1  2 1 1  1 0 9


à  1 1  2 2 0 1 10
  1 3   4  1 0 0 4 


Xét
5 1
 1
 3 0 3 3


4
2 7
    0 
3 3
 3

 1 1  4  1

3
3
 3

3

0 0  2

1
 1 0 

2

 0 1  3
2


24 | P a g e



35 
3 

26 
1
3 

4 
0

3 

1 0
0
0

1
1 19 
1 
4
4 2 

7
3 13 
0
4
4
2 

1

1
8 
0

4
4
3 


Nhìn vào dịng 1 của ma trận thấy nửa trái gồm các hệ số nhỏ hơn
hoặc bằng 0 và nửa phải dương nên:
 Hệ phương trình khơng có nghiệm khơng âm
 Hệ phương trình vơ nghiệm.

Bài 19. Một hãng dùng 3 loại vật liệu thô liệu để sản xuất 4
loại sản phẩm trung gian. Sau đó, từ 4 loại sản phẩm trung
gian, hãng sản xuất ra 3 loại thành phẩm. Cho các ma trận:
1

A  2
2


trong đó

3

1

1

0

2
1

2
2

3

1  , B 
4
3 

1

1
2
3
1

3

1
2

3

aij

cho trong ma trận A là số đơn vị vật liệu loại i
b
dùng để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm trung gian loại j, jk cho
trong ma trận B là số lượng đơn vị sản phẩm trung gian loại j
cần để sản xuất 1 đơn vị thành phẩm loại k

 i, k 1, 3, j 1, 4 .

a) Gọi xj  0 với j 1, 3 là số đơn vị thành phẩm loại j mà
hãng có thể sản xuất được khi sử dụng hết 41 đơn vị vật
liệu thô loại 1, không quá 38 đơn vị vật liệu thơ loại 2 và
ít nhất 27 đơn vị vật liệu thơ loại 3. Viết hệ ràng buộc
x
tuyến tính xác định j , j 1, 3 .
Lời giải:
Ma trận định mức tiêu hao vật liệu thô để sản xuất ra thành phẩm
là:

25 | P a g e