Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG HĐBM TỔ TOÁN Chủ đề 8 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (778.05 KB, 28 trang )
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
Chủ đề 8
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ
z
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong khơng gian
x'Ox : trục hồnh
x'
'
y Oy : trục tung
r
z'Oz : trục cao
k
y'
O : gốc toạ độ
r
rr r
r O j
i, j , k : véc tơ đơn vị
i
rr r
x
(hay i; j;k : véc tơ đơn vị )
z'
Quy ước : Khơng gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vng góc Oxyz được gọi là
khơng gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz)
y
II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:
uuuu
r
1. Định nghĩa 1: Cho M kg(Oxyz) . Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo
rr r
uuuu
r
r r r
z
i, j , k bởi hệ thức có dạng : OM xi yj +yk vớ
i x,y,z ¡ .
Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M.
Ký hiệu: M(x;y;z)
y
( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M )
M
O
x
Ý nghĩa hình học:
z
R
z
M3
O
p
uuuu
r
r r r
OM xi yj zk
M (x; y; z)
x OP
; y= OQ ; z = OR
M2
M
y
y
Q
x
x
ñ/ n
M1
r
r
2. Định nghĩa 2: Cho a kg(Oxyz) . Khi đó véc tơ a được biểu diển một cách duy nhất theo
r
r
r
r
rr r
i a1,a2,a3 ¡ .
i, j , k bởi hệ thức có dạng : a a1i a2 j +a3k vớ
r
Bộ số (a1;a2;a3) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ a .
r
a
(a1; a2; a3)
Ký hiệu:
r
a=(a1;a2;a3)
ñ/ n
r
r
r
r
a a1i a2 j a3k
172
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
II. Các cơng thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :
Định lý 1: Nếu A(xA; yA; zA) vàB(xB; yB; zB ) thì
uuu
r
AB (xB xA; yB yA; zB zA )
r
r
Nếu a (a1; a2; a3) vaøb (b1; b2; b3) thì
a1 b1
r r
* a b a2 b2
a b
3 3
r r
* a b (a1 b1; a2 b2; a3 b3)
r r
* a b (a1 b1; a2 b2; a3 b3)
r
(k ¡ )
* k.a (ka1; ka2; ka3)
Định lý 2:
III. Sự cùng phương của hai véc tơ:
Nhắc lại
Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song
song .
Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:
r
r
r r
Định lý 3 :
Cho hai véc tơ a vàb vớ
i b0
r
r
a cù
ng phương b
r
r
!k ¡ sao cho a k.b
r r
Nếu a 0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:
r
r
k > 0 khi a cùng hướng b
r
r
k < 0 khi a ngược hướng b
r
a
kr
b
uuu
r
uuur
A, B,C thẳ
ng hà
ng AB cù
ng phương AC
Định lý 4 :
r
r
Định lý 5: Cho hai véc tơ a (a1; a2; a3) vàb (b1; b2; b3) ta có :
r
r
a cù
ng phương b
a1 kb1
a2 kb2 a1 : a2 : a3 b1 : b2 : b3
a kb
3
3
IV. Tích vơ hướng của hai véc tơ:
Nhắc lại:
173
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
rr r r
r r
a.b a . b .cos(a, b)
r2 r 2
a a
r r
rr
a b a.b 0
Định lý 6:
r
r
Cho hai véc tơ a (a1; a2; a2) vaøb (b1; b2; b3) ta có :
rr
ab
. a1b1 a2b2 a3b3
r
Định lý 7: Cho hai véc tơ a (a1; a2; a3) ta có :
r
a a12 a22 a32
Định lý 8:
Nếu A(xA; yA; zA ) vàB(xB; yB; zB ) thì
AB (xB xA )2 (yB yA )2 (zB zA )2
r
r
a
(
a
;
a
;
a
)
và
b
(b1; b2; b3) ta có :
1 2 3
Định lý 9: Cho hai véc tơ
r r
a b a1b1 a2b2 a3b3 0
r
Định lý 10: Cho hai véc tơ a (a1; a2; a3)
r
vaøb (b1; b2; b3) ta có :
rr
r r
a1b1 a2b2 a3b3
a.b
cos(a, b) r r
a.b
a12 a22 a32 . b12 b22 b32
V. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:
Định nghĩa : Điểm M được gọi là chia đoạnuAB
tỷr số k ( k 1 ) nếu như :
uur theo
uuu
MA k.MB
A
M
B
uuur
uuur
Định lý 11 : Nếu A(xA; yA; zA ) , B(xB; yB; zB ) và MA k.MB ( k 1 ) thì
xA k.xB
xM 1 k
yA k.yB
yM
1 k
zA k.zB
zM 1 k
174
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
xA xB
xM 2
y y
Đặc biệt : M là trung điểm của AB yM A B
2
zA zB
zM 2
A
(
x
;
y
;
z
)
,
B(xB; yB ; zB ), C(xC ; yC ; zC )
Định lý 12: Cho tam giác ABC biết
A A A
xA xB xC
xG
3
y y y
G là trọng tâm tam giác ABC yG A B C
3
zA zB zC
zG
3
Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vng .
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A
VI. Tích có hướng của hai véc tơ:
r
r
1. Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ a (a1; a2; a3) vaøb (b1; b2; b3) là một véc tơ được
r r
ký hiệu : a; b có tọa độ là :
1 2 3
r
a (a1; a2; a3)
Cách nhớ: r
b (b1; b2; b3)
r r a a a a a a
a; b 2 3 ; 3 1 ; 1 2
b2 b3 b3 b1 b1 b2
2. Tính chất:
r r
r
r r
r
a; b a vaø a; b b
r suur
1 uuu
SABC . AB; AC
2
uuu
r uuur
SY ABCD AB; AD
VABCD.ABC
' ' ' '
D
A
B
C
D
A'
A
B
uuu
r uuur uuur'
AB; AD .AA
r uuur uuur
1 uuu
. AB; AC .AD
6
VABCD
r
r
a cù
ng phương b
r r
r
a; b 0
D'
C
C'
B'
D
D
C
A
B
C
A
B
175
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
r r r
r r r
a, b,c đồ
ng phẳ
ng a, b .c 0
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
A, B, C, D đồng phẳng AB,AC,AD đồng phẳng AB,AC .AD 0
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)
a. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng
b. Tính diện tích tam giác ABC
c. Tính thể tích tứ diện ABCD
Bài 2: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1;6),B(3; 1; 4),C(5; 1;0),D(1;2;1) . Chứng minh tam giác ABC vng.
Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.
MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN
I. Các định nghĩa:
1. Véc tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng:
r
r
r
ñn a 0
a là VTCP của đường thẳng ( ) r
c trù
ng vớ
i ()
a cógiásong song hoặ
a
a
()
Chú ý:
Một đường thẳng có vơ số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau.
Một đường thẳng ( ) hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP của nó.
2. Cặp VTCP của mặt phẳng:
a
b
a
b
r
Cho mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi a là VTCP của đường
r
thẳng a và b là VTVP của đường thẳng b. Khi đó :
uruu
r
Cặp (a,b) được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng
Chú ý :
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTCP của nó.
3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :
n
r
r
n
0
r
ñn
n là VTPT của mặt phẳng r
ng gó
c vớ
i mp
n cógiávuô
176
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
Chú ý :
Một mặt phẳng có vơ số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau.
Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó.
4. Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó:
r
a (a1; a2; a3)
Định lý: Giả sử mặt phẳng có cặp VTCP là : r
thì mp có một VTPT là :
b
(
b
;
b
;
b
)
1 2 3
r
r r a a a a a a
n a; b 2 3 ; 3 1 ; 1 2
b2 b3 b3 b1 b1 b2
a
n [a , b ]
b
Ví dụ: Tìm một VTPT của mặt phẳng biết đi qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1)
II. Phương trình của mặt phẳng :
Định lý 1: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có một
r
VTPT n ( A; B;C ) là:
n ( A; B; C )
M x;y;z
M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )
A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0
Định lý 2: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình dạng :
z
n ( A; B; C )
Ax By Cz D 0 với A2 B2 C 2 0
y
M0
là phương trình tổng quát của một mặt phẳng .
x
Chú ý :
r
Nếu ( ): Ax By Cz D 0 thì ( ) có một VTPT là n ( A; B;C)
M0(x0; y0; z0) ( ): Ax By Cz D 0 Ax0 By0 Cz0 D 0
Các trường hợp đặc biệt:
1. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:
(Oxz )
(Oxy):z = 0
x
(Oyz):x = 0
(Oxz):y = 0
2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
A(a;0;0)
Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại B(0; b;0) (a,b,c 0)
C(0;0; c)
(Oyz )
z
y
O
(Oxy )
C
c
O
a
A
b
B
177
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
x y z
1
a b c
Ví dụ 1: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
Ví dụ 2: Trong Kg(Oxyz) cho A 1;2;3 , B 2; 3;1 . Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và vng góc
với đường thẳng AB.
Ví dụ 3: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng P : x 2y 3z 4 0 và R :3x 2y z 1 0 . Viết phương
là:
trình mặt phẳng R đi qua A 1;1;1 đồng thời vng góc với cả P và Q .
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao
cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.
III. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :
1. Một số quy ước và ký hiệu:
a1 tb1
a tb
2
2
(a1, a2,..., an)
.
Hai bộ n số :
được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số t 0 sao cho
(b1, b2,..., bn)
.
an tbn
a1 : a2 :...: an b1 : b2 :...: bn
Ký hiệu:
hoặc
a
a1 a2
... n
b1 b2
bn
2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng , xác định bởi phương trình :
uu
r
( ) : A1x B1y C1z D1 0 coùVTPT n1 (A1; B1;C1)
uu
r
( ): A2x B2y C2z D2 0 coùVTPT n2 (A2; B2;C2)
n
1
n2
n1
n1
a
n2
n2
b
a
a
b
b
( ) caé
t ( ) A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 (hay:
A1 B1 C1 D1
A 2 B2 C2 D2
( ) ( )
A1 B1 C1 D1
A 2 B2 C2 D2
( ) // ( )
A1 B1
B C
C
A
hoaë
c 1 1 hoaë
c 1 1)
A 2 B2
B2 C2
C2 A2
Đặc biệt:
A 1A2 B1B2 C1C2 0
178
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
I. Phương trình của đường thẳng:
1.Phương trình tham số của đường thẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình tham số của đường thẳng () đi qua điểm M0(x0; y0; z0)
r
và nhận a (a1; a2; a3) làm VTCP là :
z
a
x x0 ta1
(): y y0 ta2
z z ta
0
3
( )
M0
M ( x, y , z ) y
(t ¡ )
O
x
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) . Phương trình chính tắc của đường thẳng () đi qua điểm M0(x0; y0; z0)
r
và nhận a (a1; a2; a3) làm VTCP là :
():
x x0 y y0 z z0
a1
a2
a3
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A( 2; 2;1) , B ( 0; 2;5) . Viết phương trình tham số của
đường thẳng đi qua A và B .
Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A ( 1;1;0) , B ( 0; 2;1) và trọng tâm
G ( 0; 2; - 1) . Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm C và vng góc với mặt phẳng ( ABC )
Ví dụ 3:
x 1 2t
Cho điểm M(-2;1;1) và đường thẳng (d): y 1 t . Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm
z 3 t
M và vng góc với đường thẳng (d).
Ví dụ 4: Cho điểm M(1;2;3) và đường thẳng (d):
x z z
. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm
1 1 1
M và đường thẳng (d)
II. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
1.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng :
M
() a
n
n
a
M
a
a
()
n
a
M
a ()
179
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho :
r
x x0 y y0 z z0
đường thẳng ():
có VTCP a (a1; a2; a3) và qua M0(x0; y0; z0)
a1
a2
a3
r
và mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 có VTPT n ( A; B;C)
Khi đó :
() cắ
t ( ) Aa1 Ba2 Ca3 0
Aa1 Ba2 Ca3 0
Ax0 By0 Cz0 D 0
Aa1 Ba2 Ca3 0
Ax0 By0 Cz0 D 0
() // ( )
() ( )
a
() ( )
Đặc biệt:
n
a1 : a2 : a3 A : B : C
a
pt()
Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của ( ) và ( ) ta giải hệ phương trình :
tìm x,y,z
pt( )
Suy ra: M(x,y,z)
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(0;0;-3) , B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x - 8y + 7z -1 = 0
Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
Ví dụ 2: Cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P) có phương trình: x 2y 3z 14 0 . Tìm tọa độ hình
chiếu vng góc của M trên mặt phẳng (P).
Ví dụ 3: Cho đường thhẳng (d):
x1 y 2 z 2
và mặt phẳng (P): x 3y 4m2z m 0 . Tìm m
1
5
4
để đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P).
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
M
M0
'
0
a
b
1
u
M0
u'
2
M 0'
1
2
u
M0
'
1 M 0 M 0
u
u'
2
M
'
0
1
u'
2
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :
r
x x0 y y0 z z0
(1) :
cóVTCP u (a; b; c) vàqua M 0( x0; y0; z0)
a
b
c
ur
x x0 y y0 z z0
'
( 2):
có
VTCP
u
(a'; b'; c' ) vàqua M '0(x0' ; y0' ; z0' )
'
'
'
a
b
c
180
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
r
r ur uuuuuuu
(1) và( 2) đồ
ng phẳ
ng u,u' .M0M0' 0
ur uuuuuuu
r
r
u, u' .M M ' 0
0 0
(1) caé
t ( 2)
a : b : c a' : b' : c'
(1) // ( 2)
a : b: c a' : b' : c' (x0' x0):(y0' y0):(z0' z0)
(1) ( 2)
a : b: c a' : b' : c' (x0' x0):(y0' y0 ):(z0' z0)
r
r ur uuuuuuu
u,u' .M0M0' 0
(1) và( 2) ché
o nhau
pt(1)
Chú ý: Muốn tìm giao điểm M của (1) vaø( 2) ta giải hệ phương trình :
tìm x,y,z
pt( 2)
Suy ra: M(x,y,z)
III. Góc trong khơng gian:
1. Góc giữa hai mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng , xác định bởi phương trình :
( ) : A1x B1y C1z D1 0
n1 ( A1 ; B1 ; C1 )
n2 ( A2 ; B2 ; C 2 )
( ): A2x B2y C2z D2 0
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có cơng thức:
cos
A1 A2 B1 B2 C1C2
a
A12 B12 C12 . A22 B22 C22
0 0 90 0
b
Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (P): x y 2 0& (Q): x z 3 0 . Xác định góc giữa hai mặt phẳng
(P) và (Q).
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ():
x x0 y y0 z z0
a
b
c
và mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng () & ( ) ta có cơng thức:
sin
()
a (a; b; c )
n ( A; B; C )
Aa Bb Cc
A B 2 C 2 . a 2 b2 c2
2
3.Góc giữa hai đường thẳng :
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng :
x x0 y y0 z z0
(1) :
a
b
c
x x0 y y0 z z0
( 2):
a'
b'
c'
a
a1 (a; b; c)
0 0 90 0
1
2
a 2 (a ' ; b' ; c' )
0 0 90 0
181
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (1 ) & ( 2 ) ta có cơng thức:
aa ' bb ' cc '
cos
a 2 b 2 c 2 . a '2 b'2 c '2
IV. Khoảng cách:
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ): Ax By Cz D 0 và điểm M0(x0; y0; z0)
Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) được tính bởi cơng thức:
M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )
d(M0; )
Ax0 By0 Cz0 D
H
a
A2 B2 C 2
Ví dụ: Cho hình tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2,3,1) ; B(4,1,-2) ; C(6,3,7) ; D(-5,-4,8)
Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ D.
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho đường thẳng ( ) đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có VTCP
r
u (a; b;c) . Khi đó khoảng cách từ điểm M1 đến () được tính bởi cơng thức:
M1
u
()
M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 ) H
uuuuuur r
M0M1; u
d(M1, )
r
u
x y 1 z 3
và điểm A(1;2;1)
3
4
1
Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d).
Ví dụ: Cho đường thẳng : (d):
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho hai đường thẳng chéo nhau :
r
(1) coùVTCP u (a; b; c) vàqua M 0(x0; y0; z0)
ur
( 2) cóVTCP u' (a'; b'; c') vaøqua M '0(x0' ; y0' ; z0' )
Khi đó khoảng cách giữa (1) và( 2) được tính bởi công thức
1
u
M0
M
'
0
u'
2
r
r ur uuuuuuu
u, u' .M0M0'
d(1, 2)
r ur
u; u'
182
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
Ví dụ: Cho hai đường thẳng :
x 9 6t
x 5 y 5 z 1
(d1) :
vaø(d2) : y 2t
3
2
2
z 2 t
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2).
MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN
I. Phương trình mặt cầu:
1. Phương trình chính tắc:
Định lý : Trong Kg(Oxyz). Phương trình của mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính R là :
z
(S):(x a)2 (y b)2 (z c)2 R2
(S )
I
R
Phương trình (1) được gọi là phương trình
chính tắc của mặt cầu
M ( x; y; z )
y
O
(1)
Đặc biệt:
Khi I O thì (C ): x2 y2 z2 R2
x
2. Phương trình tổng quát:
Định lý : Trong Kg(Oxyz). Phương trình :
x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0
với a2 b2 c2 d 0 là phương trình của mặt cầu (S) có
tâm I(a;b;c), bán kính R a2 b2 c2 d .
Ví dụ: Cho 4 điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)
Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu
II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng:
Định lý: Trong Kg(Oxyz) cho mặt phẳng ( ) và mặt cầu (S) có phương trình :
( ): Ax By Cz D 0
(S):(x a)2 (y b)2 (z c)2 R2
Gọi d(I; ) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng
Ta có :
1. ( ) cắ
t mặ
t cầ
u (S)
d(I; )
p xú
c mặ
t cầ
u (S)
d(I; ) =R
3. ( ) khô
ng cắ
t mặ
t cầ
u (S)
d(I; ) >R
(S )
(S )
I
(S )
I
R
R
R
a
H
a
M H
(C )
I
M
a
M
r
H
183
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
Chú ý:
Khi cắt mặt cầu (S) thì sẽ cắt theo một đường trịn (C). Đường trịn (C) nầy có:
Tâm là hình chiếu vng góc của tâm mặt cầu trên mặt phẳng
Bán kính r R2 d2(I , )
Ví dụ: Cho mặt cầu (S) : x2 y2 z2 4x 2y 2z 3 0 . Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu tại
điểm M(0;1;-2).
B. Các ví dụ
Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x y z 8 0 và đường thẳng (d):
x 2 y 1 z 1
2
3
5
Tìm phương trình , hình chiếu vng góc của (d) trên (P).
Bài giải
Gọi A (d) I P , tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:
2x y z 8 0
x 6
x 2 y 1 z 1 y 5 A 6;5; 9
z 9
2
3
5
Lấy B 2; 1;1 d , gọi (d') là đường thẳng qua B và vng góc với (P)
Phương trình tham số của (d') là:
x 2 2t
y 1 t
z 1 t
Gọi H (d ') I (P) , tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình:
2
t 3
10
x 2 2t
y 1 t
x 3
10 1 5
H ; ;
z 1 t
1
3 3 3
2x y z 8 0
y
3
z 5
3
uuur
8 16 32
8
chính là đường thẳng đi qua hai điểm A, H. Ta có AH ; ; 1; 2; 4
3
3 3 3
184
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
Vậy phương trình :
HĐBM-TỔ TOÁN
x 6 y 5 z 9
1
2
4
r
x 1 y 1 z 3
Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz cho M 1; 2; 3 ;a 6; 2; 3 , d :
. Tìm phương trình
3
2
5
r
đường thẳng qua M, vng góc a và cắt (d).
Bài giải
Lấy điểm N (d) , tọa độ N có dạng N 1 3t; 1 2t;5 3t , ta có:
uuuu
r
MN 2 3t; 3 2t;6 5t
r
uuuu
rr
MN a MN.a 0 6 2 3t 2 3 2t 3 6 5t 0 t 0
uuuu
r
Đường thẳng cần tìm đi qua M có VTCP là MN 2; 3;6 có phương trình là:
x 1 y 2 z 3
2
3
6
Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A 0;1;1 , vuông góc
x 1 y 2 z
(d1 ) :
và cắt d 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình:
3
1
1
x y z 2 0, x 1 0
Bài giải
185
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
x 1
Viết phương trình tham số của đường thẳng d 2 : y 1 t
z t
uuur uur
Xét điểm B 1; 1 t, t (d 2 ) . Tìm t để AB.a d1 0
uuur uur
AB.a d1 0 t 3 B 1; 2;3
Phương trình (d):
x y 1 z 1
1
2
3
x 3 y 2 z 1
và mặt phẳng (P): x y z 2 0 .
2
1
1
Gọi M là giao điểm của (d) và (P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P) saocho vng góc với
Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d):
(d) và khoảng cách từ M đến bằng
Bài giải
42 .
Do M (d) I (P) nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:
x 3 y 2 z 1
x 1
2
y 3 M 1; 3;0
1
1
z 0
x y z 2 0
r
uur
(d) có VTCP a 2;1 1 và (P) có VTPT n P 1;1;1 .
uur r uur
Mặt phẳng (Q) chứa (d) và vng góc với (P) có VTPT n Q a; n P 2; 3;1
Phương trình mp(Q): 2x 3y z 11 0
Gọi (d') là hình chiếu vng góc của (d) trên mặt phẳng (P) thì (d) P I Q
uur
uur uur
VTCP của (d') là a d ' n P ; n Q 4;1; 5 , phương trình tham số của (d') là:
x 1 4t
y 3 t
z 5t
Ta tìm N d ' sao cho MN 42 , đặt N 1 4t; 3 t; 5 , ta có:
MN 42 42t 2 42 t 1
+ Với t 1 ta có N1 5; 2; 5 . 1 qua N1 nằm trong (P) và vng góc với (d') có VTCP là
uuu
r uur uur
a 1 n P ; n d ' 6;9; 3 3 2; 3;1 . Phương trình đường thẳng cần tìm là:
x 5 y2 z5
1 :
2
3
1
x 3 y 4 z 5
+ Với t 1 ta có: 2 :
2
3
1
186
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1; 0;1 , B 1; 2;1 ;C 4;1; 2 và mặt phẳng (P): x y z 0 . Tìm
trên (P) điểm M sao cho MA 2 MB2 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có G 2;1;0 , ta có
MA 2 MB2 MC 2 3MG 2 GA 2 GB2 GC2 (1)
Từ hệ thức (1) ta suy ra :
MA 2 MB2 MC 2 đạt GTNN MG đạt GTNN M là hình chiếu vng góc của G trên (P)
Gọi (d) là đường thẳng qua G và vng góc với (P) thì (d) có phương trình tham số là:
x 2 t
y 1 t
z t
Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:
x 2 t
t 1
y 1 t
x 1 M 1, 0, 1
z t
y0
x y z 0
z 1
M
1;0;
1
.
Vậy
x 1 y 2 z
x 2 y 1 z 1
; d2 :
và mặt
1
2
1
2
1
1
phẳng P : x y 2z 5 0 . Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P) và cắt d1 , d 2 lần
lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :
Bài giải
Đặt A 1 a; 2 2a;a , B 2 2b;1 b;1 b , ta có
187
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
uuur
AB a 2b 3; 2a b 3; a b 1
Do AB song song với (P) nên:
uuur uur
AB n P 1;1; 2 b a 4
uuur
Suy ra: AB a 5; a 1; 3
Do đó: AB
a 5
2
a 1 3 2a 2 8a 35 2 a 2 27 3 3
2
2
2
a2
Suy ra: min AB 3 3 b 2
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:
x 1 y 2 z 2
1
1
1
Ví dụ 7: Trong khơng gian Oxyz, cho A 0;0; 4 , B 2;0;0 và mặt phẳng (P) có phương trình 2x y 3 0 . Lập
phương trình mặt cầu S đi qua ba điểm O, A, B và tiếp xúc mặt phẳng (P).
Bài giải
Phương trình mặt cầu (S) có dạng:
x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0
d 0
d 0
Do O, A, B S 16 8c 0 c 2
4 4a 0
a 1
Suy ra: (S) có tâm I 1; b; 2 , R 1 b 2 4 b 2 5
Do (S) tiếp xúc với (P) nên:
d I;(P) R
b 0
5
b 4 4b 10b 0
4 1
b 2
2b3
2
2
Vậy có hai mặt cầu là:
S1 : x 2 y 2 z 2 2x 4z 0
S2 : x 2 y 2 z 2 2x 5y 4z 0
Ví dụ 8: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A 0;1; 2 , B 1;1;1 , C 2; 2;3 và mặt phẳng (P): x y z 3 0 .
uuuu
r uuur uuur
Tìm điểm M trên (P) sao cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải
188
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra: G 1;0; 2
Xét điểm M (P) . Ta có:
uuuu
r uuur uuur
uuuu
r
MA MB MC 3 MG 3MG
uuuu
r uuur uuur
Suy ra: MA MB MC đạt GTNN MG đạt GTNN M là hình chiếu của G trên (P)
Tìm M
+ Gọi (d) là đường thẳng qua G vng góc với mặt phẳng (P)
x 1 t
Phương trình đường thẳng (d): y t
z 2 t
x 1 t
t 2
y 1
x 1 M 1; 2;0
+ Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình: z 2 t
y2
x y z 3 0
z 0
Vậy M 1; 2;0
Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng
5x 4y 3z 20 0;3x 4y z 8 0 .
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I 2;3; 1 và cắt (d) tại hai điểm A, B sao cho AB 16 .
Bài giải
r 4 3 3 5 5 4
;
;
Đường thẳng (d) có VTCP là: u
8; 4; 8 4 2;1; 2
4 1 1 3 3 4
Kẻ IH AB thì HA HB 8 và IH d I, (d) , R IH 2 AH 2
189
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
Xét điểm M 11;0; 25 , ta có:
uuu
r
r
IM 9; 3; 24
u; IM 30;30; 15
uur
n d 2;1; 2
r
2
2
u; IM
30 302 15
d I;(d)
15
r
3
u
Do đó: R IH 2 AH 2 225 64 17
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x 2 y 3 z 1 289
2
2
2
x2 y 3 z 1
. Xét hình bình hành ABCD có
1
2
2
A(1 ; 0 ; 0), C (2 ; 2 ; 2), D d . Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 3 2 .
Ví dụ 10: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d :
Bài giải
x2 y 3 z 1
D(t 2 ; 2t 3 ; 2t 1)
1
2
2
3 2
Vì S ABCD 3 2 S ACD
.
2
Ta có AC (1 ; 2 ; 2); AD (t 3 ; 2t 3 ; 2t 1) .
Do D d :
Suy ra [ AC , AD] ( 4 ; 4t 7 ; 4t 9)
Khi đó:
1
1
1
S ACD AC , AD 16 (4t 7) 2 ( 4t 9) 2 32t 2 128t 146 .
2
2
2
2
Từ (1) và (2) ta có 32t 128t 128 0 t 2 . Suy ra D(0 ; 1 ; 3) .
Do ABCD là hình bình hành nên AB DC . Suy ra B(3 ; 3 ; 5)
Vậy B 3;3;5 .
(1)
(2)
190
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
C. Các bài toán thi TN - CĐ - TSĐH năm 2014
Bài 1: (TN)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 1;0) và mặt phẳng ( P ) : 2 x 2 y z 1 0 .
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và vng góc với ( P ) .
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P ) sao cho AM OA và AM 3d ( A;( P ))
Đáp án
Bài 2: (CĐ)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A(2;1; 1), B (1; 2;3) và mặt phẳng ( P ) : x 2 y 2 z 3 0 .
a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của A trên ( P ) .
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B và vng góc với ( P )
Đáp án
191
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
Bài 3: (ĐH-K.D)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 6 x 3 y 2 z 1 0 và mặt cầu
( S ) : x 2 y 2 z 2 6 x 4 y 2 z 11 0 .
a) Chứng minh mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là một đường trịn (C ) .
b) Tìm tọa độ tâm của (C ) .
Đáp án
Bài 4: (ĐH-K.B)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;0; 1) và đường thẳng d :
x 1 y 1 z
.
2
2
1
a) Viết phương trình mặt phẳng qua A và vng góc với d .
b) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên d .
192
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
Đáp án
Bài 5: (ĐH-K.A)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x y 2 z 1 0 và đường thẳng
d:
x2 y z 3
.
1
2
3
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và ( P ) .
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vng góc với ( P ) .
Đáp án
193
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
HĐBM-TỔ TỐN
D. BÀI TẬP
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng P qua ba điểm A 1;0;1 , B 0;2;0 ,C 0;1;2
Kết quả: P :3x 2y z 4 0 .
Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng P qua ba điểm A 1;0;3 , B 0;2;2 ,C 1; 1;5
Kết quả: P :3x 2y z 6 0 .
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng P qua M 1;2;3 song song với mặt phẳng Q : 2x 3y 2z 1 0.
Kết quả: P :2x 3y 2z 2 0 .
Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng P qua M 1; 1;2 và vuông góc với 2 mặt phẳng
Q : x 3z 1 0; R : 2x y z 1 0.
Kết quả: P :3x 5y z 10 0 .
Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng P qua hai điểm A 0;1;0 , B 1;2; 2 và vng góc với mặt phẳng
Q : 2x y 3z 13 0.
Kết quả: P : x 7y 3z 7 0 .
Bài 6. Cho M 2;3;1 và đường thẳng :
x 1 y 2 z
. Viết phương trình mặt phẳng P chứa và đi
2
1 5
qua M
Kết quả: P :2x y z 0.
Bài 7. Cho A 1; 1;2 và P :2x 3y 5z 10 0 . Viết phương trình mặt phẳng Q đối xứng với mặt phẳng
P
qua A .
Kết quả: P :2x 3y 5z 20 0 .
Bài 8. Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của P :3x y z 5 0, Q : x 2y z 4 0
x t
Kết quả: y 1
z 6 5t
Bài 9. Cho A 1; 2;3 và P :3x y z 1 0 . Viết phương trình đường thẳng qua A và vng góc với
mặt phẳng P .
194
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
Kết quả:
HĐBM-TỔ TỐN
x 1 y 2 z 3
.
3
1
1
x 1 3t
x 2 y z 3
; 2 : y 2 t . Viết phương trình đường
Bài 10. Cho M 2;3; 1 và hai đường thẳng 1 :
1
3
2
z 1 5t
thẳng qua M vng góc với 1 , 2 .
Kết quả:
x 2 y 3 z 1
.
13
1
8
Bài 11. Cho M 3;2; 1 và hai đường thẳng 1 :
x 1 y 3 z
x 3 y z 3
. Viết phương
; 2 :
2
1
5
1 2
1
trình đường thẳng qua M vng góc với 1 và cắt 2
Kết quả:
x 3 y 2 z 1
.
4
1
5
Bài 12. Cho M 1; 1;1 và hai đường thẳng 1 :
x 2 y 1 z 2
x 2 y 3 z
. Viết phương
; 2 :
2
1
1
1
3
1
trình đường thẳng qua M cắt cả hai đường thẳng 1 và 2 .
Kết quả:
x 1 y 1 z 1
.
13 6
5
Bài 13. Tìm hình chiếu vng góc của M 3;6;2 lên mặt phẳng P :5x 2y z 25 0 .
Kết quả:
2;8;1 .
Bài 14. Tìm hình chiếu vng góc của điểm M 1;0;2 lên đường thẳng :
x 2 y 3 z 1
. Từ đó suy ra
1
2
2
tọa độ điểm M ' đối xứng với M qua .
Kết quả: H 1;5; 1 , M ' 3;10; 4 .
Bài 15. Cho đường thẳng :
x 1 y z 2
và mặt phẳng P : x y 3z 3 0 . Viết phương trình hình
2
3
1
chiếu vng góc của trên mặt phẳng P
Kết quả:
x 3 y 3 z 1
.
26
29
1
195
Tài liệu ơn thi mơn Tốn THPTQG
Bài 16. Cho đường thẳng :
HĐBM-TỔ TOÁN
x 1 y z 2
và mặt phẳng P : x 4y 3z 1 0 . Viết phương trình hình
2
1
1
chiếu vng góc của trên mặt phẳng P .
9
x 13 2t
16
Kết quả: y t .
13
14
z 3 2t
x 2 t
x 1 y 2 z 2
; 2 : y 1 t . Chứng minh 1 và 2 chéo nhau.
Bài 17. Cho hai đường thẳng 1 :
1
1
2
z 1
Viết phương trình đường thẳng là đường vng góc chung của 1 và 2 .
Kết quả:
x y 1 z
.
1
1
1
Bài 18. Cho đường thẳng :
x 2 y z 3
và mặt phẳng P :2x y 2z 1 0. Tìm tọa độ giao điểm của
1
2
3
và P .Viết phương trình mặt phẳng chứa
và vng góc với P .
7
3
Kết quả: M ; 3; , P : x 8y 5z 13 0 .
2
2
Bài 19. Cho điểm A 1;0; 1 và đường thẳng :
x 1 y 1 z
. Viết phương trình mặt phẳng qua A và
2
2
1
vng góc với . Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của A trên .
5 1 1
Kết quả: P :2x 2y z 3 0, H ; ; .
3 3 3
x 1 2t
Bài 20. Cho điểm M 1,5,3 và đường thẳng : y 2 t
. Viết phương trình mặt phẳng P vng góc
z 3 2t
và cách M một khoảng bằng 2.
196
