BÁO cáo bài tập lớn PHƯƠNG PHÁP số PHƯƠNG án a 6

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH
KHOA CƠ KHÍ


BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP SỐ
PHƯƠNG ÁN: A-6
LỚP L04 --- NHÓM 04 --- HK 201
NGÀY NỘP: 15/12/2020
Giảng viên hướng dẫn: TS Lê Thanh Long
Sinh viên thực hiện

MSSV

Đỗ Ngọc Thành Danh

1912838

Huỳnh Tấn Ánh

1910784

Lê Văn Duy

1912888

Phạm Hồng Hiệp

1911183

1

download by :


MỤC LỤC
BÀI 1:................................................................................................................................ 4
1.1. Mục tiêu................................................................................................................... 4
1.2. Cơ sở lí thuyết..........................................................................................................4
1.3. Giải tìm nhiệt độ tại 3 nút........................................................................................6
1.4. Vẽ đồ thị bằng Matlab..............................................................................................7
BÀI 2:.............................................................................................................................. 10
2.1. Mục tiêu................................................................................................................. 10
2.2. Cơ sở lí thuyết........................................................................................................10
2.3. Giải bài tốn bằng phương pháp tính tay................................................................11
2.4. Giải bài toán bằng phần mềm ANSYS...................................................................15
2.5. Đánh giá kết quả....................................................................................................25

3

download by :


BÀI 1:
o
Cho một tấm uranium có chiều dày L và hệ số dẫn nhiệt k = 28 W / m. C (Hình 1). Tốc
2
độ truyền nhiệt khơng đổi ġ = 5.106 W / m . Một bên của tấm được duy trì ở nhiệt độ 0°C

bởi nước đá và bên còn lại chịu ảnh hưởng đối lưu với nhiệt độ môi trường T và hệ số
truyền nhiệt h. Xét 3 nút cách đều nhau trên bề mặt tấm gồm 2 nút ở 2 biên và 1 nút ở

giữa tấm. Tính nhiệt độ của các nút 1, 2 trên bề mặt tấm với điều kiện ổn định bằng cách
sử dụng công thức sai phân hữu hạn. Viết chương trình MATLAB và vẽ biểu đồ thể hiện
0
2
nhiệt độ của tấm. (Phương án A-6: L 6 cm, T 55 C , h 45W / m )

Hình 1

1.1. Mục tiêu
 Tính nhiệt độ tại các nút 1, 2.
 Xây dựng chương trình Matlab:
+ Nhập số nút
+ Dùng các cơng thức để tính nhiệt độ tại các nút
+ Vẽ biểu đồ thể hiện nhiệt độ của tấm
1.2. Cơ sở lí thuyết
Xét phần tử mảng có độ dày . Giả sử mật độ bức tường là ρ , nhiệt dung riêng là
C, diện tích bức tường theo phương truyền nhiệt là A, hệ số dẫn nhiệt k, tốc độ truyền
G
nhiệt g , tốc độ sinh nhiệt phần tử phantu , năng lượng phần tử E.
Định luật Fourier về sự truyền nhiệt cho bài toán truyền nhiệt một chiều, ta có:
4

download by :


dT
Q  kA
dx

(W)

Trong đó: Q là độ lớn của tốc độ truyền nhiệt theo phương x.
Cân bằng năng lượng trên phần tử này trong một khoảng thời gian nhỏ t được biểu
thị rằng :
+ =
hay
E
Q x  Q x x  G phantu 
t
Xét một tấm kim loại có bề dày L:
+
+ =
hay
E
Q trai  Q phai  G phan tu 
0
 x
G
 gA
t
(1) với phantu
 Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn ta có :

Tốc độ dẫn nhiệt bên mặt trái:

Qtrai  kA

Tốc độ dẫn nhiệt bên mặt phải:

Tm  1  Tm

x
(2)

Q phai kA

Tm1  Tm
 x (3)

 Từ (1), (2) và (3) suy ra:

Tm  1  Tm
T T
 x  0
 kA m 1 m  gA
x
x
T  2Tm  Tm 1 g
 m 1
 0 (*)
2
x
k
kA

 Trong mơi trường có tốc độ truyền nhiệt h. Dưới điều kiện tĩnh ta có:

5

download by :

hay
T T
Q h1 A  T 1  T1  kA 2 1 h2 A  T2  T2 
L

(4)

 Điều kiện biên:
T T
Q trai  kA 1 0  g  Ax / 2 0
x

(5)

 Từ (4) và (5) suy ra:
hA  T  T 0   kA

T1  T0
 g  Ax / 2  0 (**)
x

1.3. Giải tìm nhiệt độ tại 3 nút
 x 

L
0.06

0.03(m)
3 1

2

 Số nút trong bài là 3
 Ta có số nút là 0, 1 và 2. Nhiệt độ tại nút 0 là = 0 .
 Nút 1 là một nút bên trong, áp dụng công thức sai phân hữu hạn ta có :
T0  2T1  T2 g
 0
k
x2
0  2T1  T2 g

 0
x 2
k
g x 2
 2T1  T 2 
(6)
k
 Áp dụng điều kiện biên tại nút số 2 :
T1  T2
 g  A x / 2  0
x
h x
g x 2
 h x 
 T1   1 


T
T

(7)
 2

k 
k
2k

hA T  T2   kA

 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
2

Giải hệ trên ta được:

6

download by :


1.4. Vẽ đồ thị bằng Matlab
 Mã nguồn chương trình:
%Phuong trinh bai 1-PPS
% Mo ta cac bien
% kk la ma tran truyen nhiet
% T la ma tran nhiet tai cac nut phan tu
% Q la ma tran g/k, P la ma tran ket qua
% g la toc do truyen nhiet khong doi
% k la he so dan nhiet
% h la he so truyen nhiet
% L la chieu dai cua tam uranium

% T_mt la nhiet do moi truong
node = input('Nhap so nut(bat dau tu nut 1): '); % node la so nut
l = input('Nhap chieu dai l cua tam uranium(m): ');
g = input('Nhap toc do truyen nhiet g(khong doi)(W/m3): ');
k = input('Nhap he so dan nhiet k(W/m): ');
h = input('Nhap he so truyen nhiet h(W/m2): ');
T_mt = input('Nhap nhiet do moi truong(°C): ');
% Khoi tao ma tran kk,T,Q, P
kk = zeros(node-1,node);
T = zeros(node-1,1);
Q = zeros(node-1,1);
P = zeros(node-1,1);
% Khoang cach giua cac phan tu
denta_x = l/(node-1);
% Nhap ma tran truyen nhiet
for i = 1: node-2
for j=1: node
if j == i
kk(i,j)= 1;
elseif j == i+1
kk(i,j)= -2;
elseif j == i+2
kk(i,j) = 1;
else
kk(i,j)=0;
end
end
end
% Tai nut n tiep xuc voi moi truong
for i=1:node

7

download by :


if i == node -1
kk(node-1,i) = 1;
elseif i == node
kk(node-1,i) = -(1+ h*denta_x/k);
end
end
% Ma tran Q
for i=1:node-1
if i==node-1
Q(i,1) = 0;
else
Q(i,1)= g*denta_x*denta_x/k;
end
end
% Ma tran P
for i=1:node-1
if i==node-1
P(i,1) = -h*denta_x*T_mt/k - g*denta_x*denta_x/(2*k);
else
P(i,1) = 0;
end
end
% In ma tran truyen nhiet
for i =1:node-1

kk(i,:);
end
kk
% Giai tim ma tran nhiet tai cac nut
Y = P-Q;
for i =1:node-1
Y(i,1);
end
Y
T = linsolve(kk,Y);
for i =1:node
T(i,1);
end
T
% Ve do thi the hien nhiet do cua tam
x = 0:denta_x:l;
plot(x,T);

 Nhập chương trình :
8

download by :


 Kết quả :

Đồ thị thể hiện nhiệt độ của tấm

BÀI 2:
Một kế cấu giàn gồm 5 thanh được đánh số (nút và thanh) như Hình 2. Vật liệu của các

thanh đều là thép và có module đàn hồi Ethép = 210 GPa. Tiết diện thanh I, II và III là 15
cm2 và tiết diện của thanh IV và V là 8 cm2. Xác định chuyển vị của các nút và ứng suất
trong các thanh. Giải bài toán bằng hai cách: tính tay và bằng phần mềm ANSYS.
0
(Phương án A-6: a 1 m,  40 , P 2.5 kN , Q 3.5 kN )

9

download by :


Hình 2

2.1. Mục tiêu
Giải tay và dùng Ansys để tính :



Chuyển vị các nút.
Ứng suất các thanh.

2.2. Cơ sở lí thuyết
Cho phần tử thanh trong hệ tọa độ toàn cục OXY có 2 đầu nút là i và j với tọa độ
tương ứng là ( X i , Yi ) và ( X j, Y j) .
Gọi:
 E, A, L lần lượt là là module đàn hồi, tiết diện và chiều dài của thanh.
 ui , vi là chuyển vị của nút i theo 2 phương OX và OY

u j ,v j


là chuyển vị của nút j theo 2 phương OX và OY
 f là ma trận lực tác dụng lên các nút của thanh (hệ thanh)
X j  Xi

 l  cos  
L

 m sin   Y j  Yi

L
Đặt 

Khi đó:
 Ma trận chuyển vị của phần tử thanh:

u  ui

vi

uj

v j

T

10

download by :

 Ứng suất của phần tử thanh:

 ij 

E
 l  m l
L

u i 
v 
 i
m  
u j 
v j 

 Ma trận độ cứng k của phần tử thanh trong khơng gian 2 chiều có dạng:
ui

vi

 l2
ml

m2
EA  ml
k ij 
L   l 2  ml

2
 ml  m

uj

vj

 l 2  ml 

 ml  m2 
l2
ml 

ml
m2 

Khi một hệ gồm nhiều thanh, ta tiến hành ghép ma trận độ cứng của từng
thanh vào ma trận độ cứng chung để ra được ma trận độ cứng của hệ thanh.
 Phương trình phần tử hữu hạn cho thanh (hệ thanh) có dạng:
ku  f

2.3. Giải bài tốn bằng phương pháp tính tay
Gọi ki (N/cm), E (N/cm2), Ai (cm2), Li (cm) lần lượt là ma trận độ cứng, module
đàn hồi, tiết diện và chiều dài của thanh i




Đặt l cos , m sin , n tan

k 15

0 0
EA  0 1
k I  I 
LI  0 0

0 1

k 34

0 0

EAII  0 1
k II 
LII  0 0

0  1

0 0
0 0

0  1 15E  0 1
 

0 0  100 n  0 0


0 1
0 1
0

0
0 0

0  1 15E  0 1

0 0  100n  0 0


0 1
0  1

0 0
0 0

0 1
0 1
  3E 
0 0  20 n  0 0


0 1
0  1
0

0
0 0

0  1 3E  0 1

0 0  20n  0 0



0 1
0  1

11

download by :

0 0
0  1
  N / cm 
0 0

0 1
0

0
0  1
 N / cm 
0 0

0 1


k 45 k III

k 25 k IV

k 24

1

EAIII  0

LIII   1

0

1 0
1

0
0 0
  15 E 
1 0 2.100   1


0 0
0

0
0
0
0

 l2

EAIV   ml


LIV   l 2

 ml

 l2

EAV  ml
kV 
LV   l 2

  ml

1 0
1

0
0 0
 3 E 
1 0 40   1


0 0
0

0
0
0
0

0

0
0
0

ml
 m2

 l3
 ml 2  l 3
ml 


ml 2
 m 2  2 E   ml 2 m 2l

l 2  ml  25   l 3
ml 2
l3

 2
 ml m2 
 m2 l  ml 2
 ml

ml

l2

m2
 ml

 ml
l2

 m2

ml

 ml
m2

 l2
ml

 ml 
 l3


 m 2  2 E  ml 2

ml  25   l 3


2
m2 
  ml

ml 2

l3

m 2l
 ml 2

 ml 2
l3

 m 2l

ml 2

1 0 
0 0
  N / cm 
1 0

0 0

ml 2 

 m 2l 
 N / cm 
 ml 2 

m2 l 
 ml 2 

 m 2l 
 N / cm 
ml 2 


m 2l 

Ma trận độ cứng chung k của hệ thanh là:
0
0
0

3
0
0
20n


4 3
l
0
0
25


0
0
0

0
0
0

k E  0

0
0


2 3
l
0

0
25


2 2
ml
0

0
25

2 3
0
l
0


25

2
0  3
ml2


20n 25

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2 3
l
25
2 2
ml

25
0

2
ml 2
25
2 2
ml

25
0
3

20n
2
ml 2
25
3
2 2
ml


20n 25

4 2
ml
25
0

0

0

0

0

0

0
3
20n

2
ml2
25
2 2
ml

25
2
ml2

25
2 2
ml

25



0

0

0 

3
20n

0

0

0

0



0
3
2 3

l

40 25
2 2
ml
25
3

40
0



0
0



2 3
l
25

2 2
ml
25
0
0


3

40
0

3
2 3
l

40 25
2
ml 2

25

Phương trình phần tử hữu hạn của hệ thanh:
ku  f

12

download by :

0
3

20n
2
ml 2
25
2 2
ml


25
0














0


0



0


2
2
ml 


25

3
2
 m 2 l
20n 25 
 N / cm 


Với :
u  u1

v1

f  F1X

u2
F1Y

v2

u3

F2 X

v3

F2Y

u4

v4

F3X

v5

u5

F3Y

F4X

T

F4Y

F5X

F5Y 

T

Sử dụng điều kiện biên tại nút 1, 2 và 3 ta có:

u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 0
 u  0 0 0 0 0 0 u4

v4

u5

F3 X

F3Y

v5 

T

Lực tác dụng tại nút 4 và 5:
 F4X  F5X 2500 N

 F4X  F5X  3500 N
 f  F1X

F1Y

F2 X

F2Y

2500 3500  2500 3500

T

Áp dụng điều kiện biên và các điều kiện về lực vào phương trình phần tử hữu hạn
cho tồn hệ thanh bằng cách xóa các hàng và cột từ 1 đến 6, ta được
2 3
 3

 40  25l

 2 ml 2
 25
E
  3
40


0



2
ml 2
25
3
2
 m2 l
20 n 25
0
0

2 3
 3
 40  25 l

u 4 
2 2


ml
v 
 4  1  25
   
 u5  E   3
 v5 
40



0




3
40
0

3
2
 l3
40 25
2

ml 2
25
2
ml2
25

3
2
 m 2l
20 n 25



 u   2500 
 4 
0
 v4   3500 
  u    2500 
2

2


ml   5  
25
  v5   3500 

3
2
 m 2l 
20 n 25

0

3


40
0
3
2
 l3
40 25
2

ml 2
25

0
0


0



0


2

ml 2 
25


3
2

 m 2l

20 n 25

0
0
0
Thay m sin 40 , l cos 40 , n tan 40 thu được

13

download by :

1

 2500 
 3500 




 2500
 3500 


u 4   5.201 
 v   7.398 
 4 

4

  
 10 (cm)
u 5    5.201
 v5   7.398 
Suy ra:
Chuyển vị tại nút 4 là

u 24  v 24 9.043 10 4 (cm) 9.043 10  6 (m)

Chuyển bị tại nút 5 là

u52  v52 9.043 10 4 (cm) 9.043 10 6 (m)

Chuyển vị tại nút 1, 2 và 3 là 0, vì các nút 1, 2, 3 được cố định.
Ứng suất:

 u1 
 0 
v 


7
E
2.110
 1
 0 
4
2





0 1 0 1  
1 0 1 
I

 10 185.1N / cm
0 0
LI
u 2  100 tan 40
  5.201
 v2 
 7.398 
 u3 
 0 
v 


7
E
2.1 10
 3
 0 
4
2
0  1 0 1 
 II   0  1 0 1   
 10 185.1N / cm
0 
LII

 u4  100 tan 40
 5.201
 v4 
7.398

 III

u 4 
5.201 
v 
7.398 
7
E
 4  2.110

4
2

 1 0  1 0  u  
 1 0  1 0 
 10 109.2N / cm
LIII
 5  100 2
 5.201
v 5 
7.398 

14

download by :

 IV 

E
 cos 400
LIV 

 sin 400

7



V 

2.110
 cos 400
100 / cos 400 

E
  cos 40 0
LV 

 sin 400

2.1 10

  cos 400
0 

100 / cos 40
7

 cos 400

 sin 400

cos 400

 sin 400

 u2 
v 
0  2
sin 40   
 u5 
 v5 
 cos 400

 0 


 0 
2
4
sin 400  
 10  140.6N /cm
5.201



 7.398 

u 2 
v 
0  2
sin 40   
u 4 
 v4 

cos 400

 0 
 0 

4
0 
2

sin 40  
 10 140.6 N / cm
5.201 
 7.398

 I II 1.85110 6 Pa

6
 III 1.092 10 Pa

 V 1.406 10 6 Pa
Suy ra  IV

2.4. Giải bài toán bằng phần mềm ANSYS
Dùng phần mềm ANSYS Workbench (Phiên bản 2020R2)
Bước 1:
Chọn Statics Structural  Bảng công cụ

15

download by :


Bước 2:
Chọn Engineering Data

Nhập Young’s Modulus (210 Gpa = 2,1E+11)
Bước 3:
Chọn Geometry để vẽ hình dạng cần phân tích

16

download by :


Chọn File  SpaceClaim Options  Units
Tại Length : Chọn Meters
Tại Grid, Minor grid spacing : nhập 1m (điều chỉnh khoảng cách 1 ô trong lưới là 1m)
Bước 4:
Sketch

Chọn lệnh tương ứng trên thanh cơng cụ để vẽ hình dạng, Dimension để điều chỉnh độ
dài, góc….

Bước 5:

17

download by :


Vào Sketching Plane, chọn các đường thẳng cần chỉnh tiết diện
Chọn Prepare trên thanh công cụ:

Chọn Profiles

Chọn tiết diện tương ứng ( ở đây là Circle (hình trịn))
18

download by :


Chọn Beam Profiles -> nhấp chuột phải vào Circle -> Edit Beam Profiles , Circle2 để
điều chỉnh tiết diện:

Nhập bán kính tương ứng.
Bước 6: Chọn Beams  Chọn tất cả  Nhấp chuột phải  Move to New Component

Bước 7: Chọn Component  Analysis  Topology  Merge

19

download by :

Bước 8: Chọn Model

Bước 9: Chọn Generate Mesh

20

download by :


Bước 10:
Chọn Static Structural

Chọn Fixed là gối cố định.
Chọn Force để thêm lực tác động.

21

download by :


Chọn Force  Define By  Components  Điều chỉnh X,Y,Z Components theo yêu cầu
 Chọn Geometry  Apply.
Bước 11:

Chọn Solutions  Insert  Deformation  Total (Chuyển vị)

Chọn Solve để giải  Kết quả

22

download by :


Muốn tìm chuyển vị tại 1 nút:
Nhấn tổ hợp phím Ctrl+N  Chọn nút cần tìm  Nhấp chuột phải  Insert 
Deformation  Total  Solve
Kết quả: chuyển vị tại nút 4 và nút 5.

Muốn tìm ứng suất trong các thanh ta làm như sau:
Chọn Solution  Chuột phải  Insert  Beam Tool  Beam Tool

23

download by :


Chọn Beam Tool  Insert  Beam Tool  Stress  Direct (Ứng suất)

Chọn Solve để giải  Kết quả:

Muốn tìm ứng suất trong thanh, ta làm như sau:
24

download by :


Chọn Direct Stress  chọn Probe trên Thanh công cụ  Nhấp vào điểm cần hiển thị ứng
suất  Kết quả:

2.5. Đánh giá kết quả
Có thể thấy kết quả tính bằng phần mềm ANSYS và giải tay có độ sai lệch khơng
đáng kể:


6
Ở phần tính chuyển vị, giải tay cho kết quả nút 4 và 5 là 9.04310 m , phần mềm



6
cho kết quả 9.0475 10 m , rõ ràng sự khác biệt rất nhỏ. Lí do dẫn đến sai số ở 2
cách tính có thể kể đến như làm trịn trong q trình giải tay và phương pháp xấp
xỉ của phần mềm.
Ở phần tính ứng suất, kết quả ở 2 cách tính rất sát nhau. Ứng suất thanh III trong 2
6
cách tính đều cho kết quả 1.092 10 Pa , hay ở thanh IV và V đều cho kết quả

1.406 106 Pa . Thanh I và II sai lệch cũng rất nhỏ: 1.851 106 Pa so với
1.8528 106 Pa .

Như vậy, sử dụng phần mềm ANSYS để tính ứng suất hay chuyển vị rất sát với lí
thuyết về phương pháp phần tử hữu hạn, tốc độ tính tốn của phần mềm nhanh, giảm
25

download by :


thiểu sai sót trong q trình tính tay, phù hợp giải các bài tốn phức tạp, cần độ chính
xác cao.

26

download by :