Khảo sát thuật toán OSD sử dụng bộ mã RS và kỹ thuật điều chế QAM

Khảo Sát Thuật Toán OSD Sử Dụng Bộ Mã RS và
Kỹ Thuật Điều Chế QAM
Lê Hoàng Hiệp, Hồ Văn Cừu và Nguyễn Thị Thu Hằng
Khoa Điện tử Viễn Thông,
Đại học Sài Gòn
Email: , ,
Abstract— Trong bài báo này, các tác giả sẽ tiến hành khảo sát việc
ứng dụng thuật toán giải mã theo bậc thống kê (OSD) cho bộ mã
Reed-Solomon (RS) kết hợp kỹ thuật điều chế biên độ vng góc
(QAM). Việc nghiên cứu trước hết sẽ được tiến hành bằng sự triển
khai về mặt lý thuyết cho thuật tốn thơng qua các cơng thức tốn
học và sau đó là lập trình mơ phỏng sử dụng cơng cụ Matlab cho
bộ mã RS(15,9,7) cùng điều chế 16-QAM. Để đảm bảo thời gian
thực hiện thuật tốn giải mã, các thơng số được sử dụng trong khảo
sát này đều ở mức gần tối thiểu, như là bậc thống kê thấp, bộ mã
có khoảng cách Hamming lớn. Các kết quả thu được cho thấy chỉ
với một hệ thống như vậy nhưng chất lượng cũng đã có thể đạt tới
mức tiệm cận với kết quả khi dùng phương pháp giải mã đại số
truyền thống sử dụng thuật toán Berlekamp. Điều này cho thấy
thuật toán OSD có tiềm năng sử dụng trong hệ thống thơng tin tốc
độ cao và mang lại độ tin cậy mã hóa tốt. Tuy nhiên vấn đề được
đặt ra tiếp theo đó là làm sao giảm thiểu thời gian giải mã, qua đó
phương pháp này mới có thể được áp dụng thực tế với các thông
số giải mã tối ưu, mang lại hiệu quả tốt hơn so với các phương
pháp đại số truyền thống.

trọng khác cũng được trình bày trong nhiều tài liệu tham khảo
khác [5-8]. Theo đề xuất của nhóm tác giả, trong hệ thống
truyền dẫn đã được đề cập trong các nghiên cứu vừa liệt kê ở
trên, chúng ta có thể gia tăng tốc độ truyền tin bằng kỹ thuật
điều chế QAM và nâng cao độ tin cậy thông tin thơng qua việc

sử dụng bộ mã RS. Từ đó đặt ra bài tốn cần được giải quyết đó
là việc áp dụng thuật OSD nên như thế nào trong khi một thách
thức rất lớn hiển hiện thực tế rằng thời gian giải mã sẽ kéo dài.
Bài báo này của nhóm tác giả cũng chính là sự đề xuất cho một
hướng giải quyết khả quan. Tuy nhiên, kết quả thu được vẫn
còn ở mức hạn chế và chắc chắn sẽ còn và cần rất nhiều các giải
pháp nâng cao hiệu suất khác. Trong khuôn khổ điều kiện
nghiên cứu cho phép, chúng tôi chỉ mới thực hiện được việc mô
phỏng trong kênh truyền nhiễu trắng cộng Gaussian (AGWN)
cho bộ mã RS(15,9,7) cùng điều chế 16-QAM với bậc giải mã
thống kê khá thấp L=2. Thực sự, nếu vấn đề trên có thể thực thi
với kỹ thuật điều chế 128-QAM trở lên, và với L đủ lớn, nó sẽ
đóng góp nhiều lợi ích trong việc nâng cao tốc độ truyền tin và
độ lợi mã hóa thơng tin cho các ứng dụng trong các kênh truyền
dẫn băng rộng, đặc biệt là kênh vô tuyến ngày nay.

Keywords- Giải mã theo bậc thống kê, thuật toán Berlekamp, bộ
mã Reed-Solomon, điều chế biên độ vng góc.

I.

GIỚI THIỆU

Chúng tơi nhận thấy rằng việc áp dụng kỹ thuật giải mã
theo bậc thống kê là một hướng đi còn nhiều tiềm năng. Trong
bài báo này, trước hết các tác giả sẽ tiến hành phân tích về mặt
lý thuyết việc áp dụng thuật toán OSD vào bộ mã RS và điều
chế QAM. Việc xây dựng bộ mã RS sẽ được tiến hành thông
qua các phần tử trong trường Galois GF(2m). Tiếp theo sau đó,
các tác giả sẽ đề xuất hai tiêu chuẩn bổ trợ nhằm góp phần rút

ngắn thời gian giải mã đối với trường hợp trên. Nhằm đưa ra
một kết quả trực quan cho nghiên cứu, trong bước cuối cùng
của khảo sát các tác giả sẽ tiến hành mô phỏng bằng lập trình
Matlab và thu được tỉ lệ lỗi bit, lỗi ký hiệu (symbol), và lỗi từ
mã (codeword). Các kết quả này sẽ được so sánh với chất lượng
khi sử dụng phương pháp giải mã đại số truyền thống sử dụng
thuật toán Berlekamp [2]. Các tác giả cũng hi vọng rằng, sau
bài báo này sẽ có thêm nhiều nghiên cứu mới về kỹ thuật OSD
nhằm hồn thiện thuật tốn và tăng khả năng áp dụng thực thế
cho phương pháp này vào hệ thống truyền dẫn thế hệ mới tốc
độ nhanh, tin cậy tốt. Các nội dung nghiên cứu tiềm năng sẽ tập
trung vào phương pháp rút ngắn thời gian giải mã, đồng thời
tìm ra cơng thức lý thuyết cho tỉ lệ lỗi trong thuật toán trên.

Kỹ thuật giải mã theo bậc thống kê (ordered statistics
decoding – OSD) được trình bày cụ thể trong cuốn sách kinh
điển về kỹ thuật mã hóa sửa sai “Error Control Coding:
Fundamentals and Applications” của hai tác giả Shu Lin và
Daniel J. Costello [1]. Đây là một hướng đi mới trong kỹ thuật
giải mã quyết định mềm dựa trên thực tế (xác suất) thông tin đầu
thu (reliability-based soft-decision). Cũng theo tác giả Shu Lin,
kỹ thuật quyết định mềm này mang lại hiệu quả độ lợi giải mã
là 3 dB so với các thuật toán giải mã đại số thông thường.
Tuy vậy, các phương pháp giải mã dựa trên quyết định
mềm (soft decision), trong đó có phương pháp giải mã theo bậc
thống kê nói trên đa phần là rất phức tạp và khó triển khai trên
thực tế. Nó có độ phức tạp cao trong cả mặt lý thuyết tốn học,
kỹ thuật lập trình (đặc biệt là thời gian chạy chương trình), cũng
như thực thi trên bo mạch điện tử. Vì vậy hướng nghiên cứu này
hiện nay vẫn cịn chưa được quan tâm đúng mức. Đa phần các

nghiên cứu về quyết định mềm thường sử dụng đối tượng là bộ
mã nhị phân, bộ mã Bose, Chaudhuri, Hocquenghem (BCH) mà
bài báo của tác giả Hu [3] là một ví dụ cụ thể. Ngoài ra, ứng
dụng giải mã theo bậc thống kê còn được áp dụng cho mã phân
cực ngắn (short polar codes) như trong nghiên cứu [4] của tác
giả Daolong Wu và các cộng sự. Một loạt các nghiên cứu quan

Phần còn lại của bài báo được tổ chức như sau: trong phần
II, các tác giả sẽ trình bày nội dung lý thuyết của thuật toán OSD.

73


Định nghĩa 2: (đại lượng đo lường tương quan) Đặt
R   r0 , r1 , , rN 1  là một chuỗi phi lượng tử hóa có chiều dài

Phần III sẽ bàn về các tiêu chuẩn bổ trợ do các tác giả để xuất
nhằm rút ngắn thời gian giải mã. Trong phần IV chúng tôi sẽ
cung cấp các kết quả mơ phỏng và phân tích so sánh với kết quả
của thuật toán Berlekamp. Cuối cùng, nội dung kết luận sẽ được
trình bày trong phần V.
II.

N, trong đó ri   ri I , ri Q  , với 0  i  N  1 , là một điểm bất kì

trên hệ trục tọa độ, đại lượng đo lường tương quan của R sẽ
được tính theo cơng thức như sau
N 1

M  R    d  si , ri 

THUẬT TOÁN GIẢI MÃ THEO BẬC THỐNG KÊ

m

2,…, và  2

trong đó

. Các phần tử này là thành phần mở rộng của
trường Galois nhị phân GF(2) và chúng hồn tồn có thể được
đại diện bằng các điểm trên tọa độ tín hiệu M-QAM với quan
hệ tồn ánh.

là một chuỗi tín hiệu QAM và đồng thời cũng là vector quyết
định cứng (hard decision) của R.

, s1QAM ,..., s QAM
Đặt S QAM   sQAM
0
N 1  là một chuỗi N các tín hiệu

QAM, trong đó siQAM   siI , siQ  là một điểm bất kì trên sơ đồ

Dựa vào đại lượng đo lường tương quan, ta thu được từ mã cứng
QAM
là điểm sao
, s1QAM , , sQAM
của R là S QAM   sQAM
0

N 1  , với s i

sao tín hiệu 2m-QAM và 0  i  N  1 .

gần nhất của ri. Ánh xạ ngược của chuỗi tín hiệu S QAM là một
vector chiều dài N được biểu diễn là Z RS   z0RS , z1RS , , z NRS1 

Đặt Z RS   z 0RS , z1RS , , z RS
N 1  là một vector hay một chuỗi bao

trong đó ziRS  GF  2m  . Độ tin cậy của mỗi ký hiệu ri của R

gồm N phần tử bất kì trong GF(2m), nghĩa là z iRS  GF(2 m ) với

được định lượng bằng khoảng cách Euclidean d  siQAM , ri  ,

0  i  N  1 . Nếu ta gọi s iQAM là một phần tử song ánh của z iRS
thì vector S

là một song ánh QAM (hay còn gọi là ảnh

0  i  N  1 . Nếu khoảng cách này càng ngắn thì độ tin cậy của
ri càng cao. Dựa vào giá trị độ tin cậy này, vị trí của các phần

QAM) của vector Z RS . Xét h   h I , hQ  và k   k I , k Q  là hai

điểm bất kì trên hệ trục tọa độ Descartes (sau đây gọi là hệ trục
tọa độ), thì khoảng cách Euclidean giữa chúng sẽ được tính theo
cơng thức

d  h, k  

h

I

 k I    hQ  k Q 
2

2

tử ziRS trong Z RS sẽ được sắp xếp lại theo thứ tự độ tin cậy
và
giảm dần. Vị trí của ký hiệu trong chuỗi tín hiệu QAM s QAM
i
từ mã cứng ri trong R cũng sẽ được sắp xếp lại theo vị trí tương

(1)

ứng của ziRS .

Định nghĩa 1: (điểm sao gần nhất) Đặt s QAM   s I , s Q  là một

điểm trên sơ đồ sao tín hiệu QAM và f   f , f
I

Q

si là điểm sao gần nhất của ri .

Trong nghiên cứu này, giá trị M(R) được sử dụng làm thước đo
độ tin cậy của chuỗi dữ liệu nhận được tại đầu thu R. Chúng ta
, s1QAM , , sQAM
có thể nhận ra rằng chuỗi S QAM   sQAM
0
N 1  chính

2

QAM

(2)

i 0

Trong phần này, thuật toán giải mã theo bậc thống kê (OSD) sẽ
được trình bày một cách chi tiết. Như chúng ta đã biết trong một
trường Galois GF(2m) thì bao gồm 2m phần tử, đó là: 0, 1, ,

Gọi S QAM   s 0QAM , s1QAM ,..., s QAM
N 1 

 là một điểm

   r , r ,..., r  và
, R
N 1
0 1

Z RS   z0RS , z1RS ,..., zNRS1  lần lượt là các vector từ mã cứng,

QAM

bất kì trên hệ trục tọa độ có chứa sơ đồ sao đó, s
được gọi
là điểm sao gần nhất của f khi và chỉ khi khoảng cách
d  sQAM , f  là nhỏ nhất.

chuỗi thu và chuỗi phần tử GF(2m) mới được sắp xếp lại. Như
vậy, hiển nhiên là:

d  s 0QAM , r0   d  s1QAM , r1     d  s QAM
(3)
N 1 , rN 1 

Như vậy chúng ta thấy bất kì điểm nào trên hệ trục tọa độ cũng
đều có ít nhất một điểm sao gần nhất. Khoảng cách tối thiểu
d min  s QAM , f  giữa hai điểm sQAM và f có thể được xem như là

Đặt  là phép tốn hốn vị ta có thể viết như sau
    R  . Ngoài ra, K
Z RS    Z RS  , S QAM    SQAM  và R
vị trí đầu tiên của Z RS được gọi là vị trí có giá trị tin cậy độc
lập cao nhất (most reliable independent – MRI) và N-K vị trí
cịn lại gọi là vị trí có giá trị tin cậy độc lập thấp nhất (least
reliable independent – LRI).

một đại lượng đo lường (metric) của phần tử GF(2m) được biểu
diễn (hay đại diện) bởi sQAM. Còn khoảng cách d  sQAM , f  cũng
được sử dụng làm giá trị tin cậy (reliability) hay độ tin cậy của

điểm f đối với điểm sQAM. Giá trị tin cậy này chính là một đại
lượng quan trọng được dùng trong q trình giải mã theo thuật
tốn OSD. Cụ thể, đối với bất kì một điểm nào trên hệ tọa độ
thì điểm sao gần nó hơn sẽ có độ tin cậy cao hơn, nghĩa là khả
năng giải mã thành điểm sao QAM đó sẽ cao hơn. Giá trị tin
cậy của các cặp điểm riêng lẻ như vậy cũng sẽ là tiền đề cho
định nghĩa tiếp theo sau đây.

Như vậy, ta có thể viết lại như sau


Z RS   z0RS , z1RS ,..., z KRS1 , zKRS , zKRS1 ,..., z NRS1 
   
MRI positions
LRI positions


(I )
(P )
RS
RS
 Z
|| Z

74


quan của một từ mã vừa được tạo ra, nhằm kết thúc quá trình
giải mã. Tuy nhiên đây là một tiêu chí khó và có khi sẽ khơng
được thỏa mãn cho tới khi kiểm tra đến từ mã tiềm năng cuối

cùng.

trong đó || là ký tự biểu diễn phép tốn kết nối, đồng thời các ký
tự I và P lần lượt có ý nghĩa biểu thị cho K vị trí MRI và (N-K)
vị trí LRI.
Xét G K  N là ma trận sinh của một bộ mã RS(N,K,D). Xét

  G  là phép hoán vị cột của G dựa vào độ tin cậy của các ký

III.

hiệu trong vector tín hiệu nhận R. Sau khi áp dụng phép hoán
vị này, chúng ta sẽ thu được một ma trận mới G    G  , sau

A. Tiêu chuẩn kiểm tra độ tương quan của từ mã
Xét R   r0 , r1 ,..., rN 1  với ri   ri (I) , ri(Q)  là một chuỗi tín

đó ta tiếp tục cần thực hiện các phép biến đổi sơ cấp theo hàng
 . Đặt  là phép biến
để đưa G về dạng ma trận hệ thống G
đổi sơ cấp theo hàng như vậy ta có:
    G   I , P

G
(4)
 K K  N  K  
trong đó I K là một ma trận đơn vị cấp K.

hiệu thu phi lượng tử và vector X   x0 , x1 ,..., xN 1  là một từ
mã trong một bộ mã ℂ thuộc trường Galois GF(2m), và

S QAM   sQAM
, s1QAM ,..., s QAM
0
N 1  là một vector tín hiệu QAM của
X. Dựa vào (2) ta có đại lượng đo lường tương quan của X là
N 1

M ( X)   d  ri , siQAM 

Trong thuật toán OSD, chúng ta cần tạo ra rất nhiều từ mã tiềm
năng (hay còn gọi là từ mã ứng cử viên - candidate codeword)
trên trường GF(2m). Sau đó ta cần chọn ra một từ mã đúng nhất
với chuỗi QAM của nó có độ tương quan lớn nhất với chuỗi tín
hiệu nhận R. Việc lựa chọn như vậy chính là thách thức đáng
kể trong việc giải mã.
 là một từ mã tiềm năng, ta có:
Gọi X
q




   1 Z
 RS  G
X
q
q



CÁC TIÊU CHUẨN BỔ TRỢ GIẢI MÃ

(6)

i 0

Sau khi áp dụng phép hoán vị cho R, X và SQAM dựa vào độ tin
  (R) , X
   ( X) ,
cậy của ri ( 0  i  N  1 ), ta được R
 )  M ( X) . Giả sử X là
S QAM  (S QAM ) và rõ ràng là M ( X
HD

từ mã cứng (được giải mã bằng phương pháp giải mã quyết định
cứng), Xk và Xl là hai từ mã bất kì, tương ứng có SQAM(HD),
SQAM(k) và SQAM(l) lần lượt là các vector tín hiệu QAM của XHD,
Xk và Xl kể trên. Nếu Xk có độ tương quan cao hơn Xl thì

(5)

 RS là một chuỗi thứ q được tạo ra bởi việc lần lượt
trong đó Z
q

M  X k   M  Xl 

thay thế tối đa L phần tử trường GF(2m) tại các vị trí trong tồn
 RS( I ) . Giá trị của L còn được gọi là bậc giải mã thống
bộ chuỗi Z

kê. Để chọn được một từ mã đúng nhất, máy tính sẽ phải thực
hiện một số lượng rất lớn các phép tính tốn cũng như so sánh
trong một khoảng thời gian rất dài. Việc tinh giản lượng phép
tính toán này hiện đang là một vấn đề nan giải thậm chí với cả
tín hiệu điều chế nhị phân BPSK [3]. Cụ thể, số lượng tính tốn
cho một thuật tốn OSD bậc L trên bộ mã RS(N,K,D) và sử
dụng tín hiệu điều chế M-QAM thì tổng số lượng từ mã tối đa
được tạo ra để chọn lựa sẽ là
K
L
 i 0 M i  i  .
 
Thực ra, số lượng này có thể sẽ được giảm đi đáng kể nếu tại
 RS( I ) chúng ta không cần lần lượt thay thế
mỗi vị trí của chuỗi Z
bởi tồn bộ M=2m phần tử trong trường GF(2m) mà chỉ cần đến
một số những phần tử có khả năng cao nhất mà thôi. Việc lựa
chọn các phần tử này cũng là một hướng nghiên cứu hứa hẹn về
sau. Quay lại nội dung chính, ta nhận thấy sẽ có rất nhiều từ mã
được tạo ra sau có độ tương quan thấp hơn so với một từ mã đã
được tạo ra trước đó. Đối với những từ mã đến sau này hệ thống
không cần kiểm tra nữa vì như thế sẽ lãng phí thời gian. Vấn đề
là làm sao để nhận diện các từ mã vơ ích này. Trong phần tiếp
theo đây, tác giả sẽ đề xuất hai tiêu chí so sánh nhằm nhận diện
và loại bỏ việc sản sinh các từ mã vô ích nêu trên, đồng thời
cũng xem xét cân nhắc thời điểm dừng giải mã khi đã đạt kết
quả tối ưu. Cụ thể, tiêu chí thứ nhất sẽ dự đốn liệu từ mã sắp
sản sinh sẽ có độ tương quan thấp hơn so với các từ mã trước
đó đã kiểm tra. Tiêu chí thứ hai sẽ xác định sự tối ưu về tương

   
   M X
   M X
 
 M X
   M X
   M X
 
 M X
 M X

M X
k
l
(I )
k

( P)
k

(I )
k

l

(7)

l

(P)

k

Đối với một bộ mã RS(N,K,D) thì khoảng cách Hamming tối
thiểu là D=N-K+1. Cho nên ta được





N 1

 ( P )   d  r , s QAM( k ) 
M X
k
i
i
iK

D2

  d  ri , s iQAM (HD) 

(8)

i 0

Do đó,





 

D2

 (I )  M X
   d  r , s QAM(HD) 
M X
k
l
i
i

(9)

i0

Như vậy ta thấy nếu từ mã Xk có độ tương quan lớn hơn Xl thì
 ( I ) của X
 ( I ) phải thỏa mãn
phép đo lường tương quan M X
k
k





bất đẳng thức (9).

Tiêu chuẩn 1: Kiểm tra độ tương quan của từ mã
  ( X )
Gọi Xl là từ mã có tương quan lớn nhất hiện tại, và X
l
l
RS
là một hoán vị của Xl. Gọi Z là từ mã cứng của tín hiệu ngõ
 RS  (ZRS )  Z
 RS( I ) || Z
 RS( P ) là một hoán vị của ZRS và
ra và Z

75


nên vế trái của (12) luôn luôn lớn hơn 0. Điều này cũng có nghĩa
là M(Xl) > M(Xk) và Xk được xác định chính là từ mã tương
quan nhất. Việc tìm kiếm có thể được dừng lại tại bước này.

|| là kí hiệu của phép nối. Chuỗi S QAM(HD) là một vector tín hiệu
(I )

 RS . Đặt Z RS là một chuỗi mới được tạo ra bằng
QAM của Z
k
cách thay thế tối đa L phần tử trường Galois GF(2m) tại vài vị
(I )
trí trong chuỗi Z RS . Xét từ mã Xk là từ mã sẽ được tạo ra trong
vịng lặp tiếp theo của q trình tạo mã bằng công thức:


    1 Z RS( I )  G
X   1  X
k



k

Tiêu chuẩn 2: Kiểm tra tương quan tối ưu
Nếu một từ mã Xk thỏa mãn bất đẳng thức



k

M  X k   M  Z RS  

nếu bất đẳng thức





 

 D / 2  1


i 0

i

thì nó sẽ là từ mã có độ tương quan lớn nhất.

D2

 (I )  M X
   d  r , s QAM(HD) 
M X
k
l
i
i

Như vậy, một khi đã tìm được từ mã có độ tương quan lớn nhất,
hệ thống xem nhưng đã giải mã xong và có thể dừng q trình
giải mã. Áp dụng tiêu chuẩn 2 này, quá trình giải mã sẽ kết thúc
nhanh hơn so với quy trình bình thường. Tuy nhiên, không phải
lúc nào tiêu chuẩn 2 cũng được thỏa mãn, và như vậy hệ thống
phải tiến hành kiểm tra cho tất cả các từ mã được tạo ra.

i0

được thỏa mãn thì Xk sẽ sản sinh ra từ mã có tương quan lớn
nhất trong thời điểm giải mã hiện tại. Ngược lại, hệ thống khơng
cần phải tạo ra hay tính toán độ tương quan cho từ mã này.
B. Tiêu chuẩn kiểm tra tương quan tối ưu
Đưa ra một tiêu chuẩn kiểm tra tương quan tối ưu là rất quan
trọng trong việc rút ngăn thời gian giải mã. Giả sử Xl và Xk có
mức độ đo lường tương quan lần lượt là M(Xl) và M(Xk), là hai

từ mã trong bộ mã RS(N,K,D). Vì bộ mã này có khoảng cách
Hamming ngắn nhất là D, nên sẽ có ít nhất D vị trí khác nhau
giữa Xl và Xk. Tập hợp các điểm khác nhau của hai từ mã WRS
và YRS bất kì thuộc bộ mã RS được định nghĩa như sau:
(10)
  W RS , Y RS   i : wiRS  yiRS , 0  i  N  1

IV.

KẾT QUẢ

Trong phần này, chúng tôi thực hiện các mô phỏng của hệ thống
truyền tin bằng công cụ Matlab với bộ mã được sử dụng là
RS(15,9,7) và phương pháp điều chế 16-QAM. Ngoài ra, bậc
giải mã thống kê được sử dụng là L=2. Môi trường truyền dẫn
trong kênh truyền này là nhiễu cộng Gausian (AWGN). Các kết
quả về lỗi bit, lỗi ký hiệu (symbol) và lỗi từ mã (codeword) được
thể hiện lần lượt tại hình 1, 2 và 3 bên dưới.

và độ khác nhau giữa hai từ mã RS sẽ được định nghĩa như sau:
 i( p )  d  rp , p iQAM   d  rp , sQAM
(11)

p

trong đó p    Xl , Z RS  là một trong những vị trí mà Xl và Xk

có giá trị khác nhau, và p QAM
, 0  i  2m  2 , là một trong
i

khác với
2m  1 điểm trên chòm sao QAM sao cho p QAM
i
(HD)
( p)
là giá trị nhỏ nhất của  i( p ) tại vị trí p của
s QAM
. Đặt  min
p
(0)
(1)
( N 1)
s QAM (HD) . Xét chuỗi    min
,  min
,...,  min
 với các phần tử

( p)
,
được sắp xếp dựa theo thứ tự tăng dần của các phần tử  min
và chuỗi sau khi được sắp xếp mới sẽ là
(0)
(1)
( N 1)
   min
,  min
,...,  min
 với  min(0)   min(1)     min( N 1) .

Ta thấy:

M  Xl   M  X k    M  Xl   M  Z RS     M  X k   M  Z RS  






p Xl , Z RS



 j( p ) 




p*  Xl , Z RS



 (j p

*

)

(12)

Hình 1. Xác suất lỗi bit được vẽ là một hàm của Eb/N0 (dB) khi sử

*

*

dụng bộ mã RS(15,9,7), phương pháp điều chế 16-QAM và L  2
m

trong đó j và j biểu tả các phần tử trường GF(2 ) được thay thế
tại vị trí p và p*. Bởi vì

D    Xl , X k     Xl , Z RS     Xk , Z RS 

(13)

D    X k , Z RS     Xl , Z RS 

(14)

nên

Từ kết quả trên cho thấy, kết quả của phương pháp OSD với chỉ
L=2 đã có thể cho ra hiệu quả gần bằng với của thuật tốn
Berlekamp trong cùng một bộ mã. Thậm chí như trong hình 3
thì giá trị của lỗi từ mã trong hệ thống sử dụng thuật toán OSD
thấp hơn so với hệ thống sử dụng thuật toán Berlekamp, đối với
trường hợp giá trị Eb/N0 thấp, từ 0 dB đến 5 dB. Như vậy chúng
ta thấy việc áp dụng thuật toán giải mã OSD cho bộ mã RS cùng
kỹ thuật điều chế QAM là hồn tồn có triển vọng. Thêm nữa,
nếu ta tăng giá trị của L thì hiệu quả của thuật tốn OSD càng

Vì vậy, nếu   X k , Z RS   D / 2 thì   Xl , Z RS   D / 2 . Vì




p*  Xk , ZRS

*



 (j p ) là tổng của  D / 2 phần tử đầu tiên của 
*

76


trong phạm vi cho phép. Tuy nhiên, thực tế chạy chương trình
mơ phỏng cho thấy q trình giải mã bằng thuật toán OSD lâu
hơn so với thuật toán cổ điển rất nhiều lần. Như vậy hiệu quả
của hai định lý bổ trợ đề xuất trong phần III là thực tế nhưng
vẫn còn khiêm tốn, cần phải được nghiên cứu và cải tiến thêm.
Bên cạnh đó, một hướng nghiên cứu khác cũng được mở ra đó
tìm cơng thức về mặt lý thuyết của giá trị xác suất lỗi khi áp
dụng thuật toán OSD cho bộ mã RS và điều chế QAM.

gia tăng hơn và chắc chắn sẽ vượt qua kết quả của thuật tốn đại
số. Bên cạnh đó, trong trường hợp hệ thống sử dụng một loại mã
RS có giá trị khoảng cách Hamming tối thiểu D ít hơn nữa thì

chắc chắn thuật tốn OSD sẽ có chất lượng giải mã tốt hơn. Vì
hiệu quả của thuật tốn OSD khơng phụ thuộc hoàn toàn vào giá
trị của D trong khi thuật tốn đại Berlekamp thì có phụ thuộc, cụ
thể, số lượng lỗi ký hiệu được phát hiện và số lượng lỗi ký hiệu
được sửa lỗi tối đa lần lượt bằng 𝐷 − 1 và ⌊(𝐷 − 1)/2⌋.

V.

Trong bài báo này, các tác giả đã tiến hành khảo sát việc áp dụng
thuật toán giải mã theo bậc thống kê OSD cho bộ mã RS và
phương pháp điều chế M-QAM. Nội dung trọng tâm của bài báo
đó là hai tiêu chuẩn được đề xuất nhằm giúp hiện thực hóa việc
áp dụng thuật tốn OSD cho bộ mã RS kể trên. Ngồi việc phân
tích và khảo sát bằng lý thuyết như vậy, các tác giả đã tiến hành
mô phỏng một hệ thống cụ thể với bộ mã RS(15,9,7) và phương
pháp điều chế 16-QAM. Kết quả đạt được cho thấy triển vọng
của thuật toán mới này và việc áp dụng giải mã theo bậc thống
kê OSD như đề xuất là có thể thực hiện được. Hai tiêu chuẩn
cũng đã phần nào giải quyết bài toán rút ngắn thời gian giải mã
rất nhiều, tuy nhiên hiệu quả vẫn còn hạn chế, nhất là khi so sánh
với thuật toán giải mã bằng phương pháp đại số. Các hướng
nghiên cứu mới được đặt ra đó là: làm sao để giảm thiểu thời
gian thực thi giải mã của thuật tốn, và tìm ra cơng thức lý thuyết
về xác suất lỗi của thuật tốn.

Hình 2. Xác suất lỗi ký hiệu được vẽ là một hàm của Eb/N0 (dB) khi
sử dụng bộ mã RS(15,9,7), phương pháp điều chế 16-QAM và L  2

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Codeword error rate for {RS(15,9,7), 16-QAM, order = 2}

10 0

[1]

Berlekamp
OSD

[2]
10

-1

[3]

[4]

10 -2

[5]
10 -3

[6]
10 -4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

KẾT LUẬN

10

[7]

E b /N0 (in dB)

Hình 3. Xác suất lỗi từ mã được vẽ là một hàm của Eb/N0 (dB) khi sử
dụng bộ mã RS(15,9,7), phương pháp điều chế 16-QAM và L  2 .

[8]

Việc áp dụng thuật toán OSD mang lại cho hệ thống sự linh

động trong việc gia tăng tốc độ truyền dẫn cũng như nâng cao
độ tin cậy của kênh truyền mà vẫn điều chỉnh được mức lỗi

77

Su Lin, Daniel J. Costello, Error Control Coding, 2nd edition, ISBN 0-13042672-5, NJ: Prentice-Hall, 2005.
Elwyn R Berlekamp, Algebraic Coding Theory, revised edition, ISBN
978-981-4635-89-9, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 1984.
Ta-Hsiang Hu, Shu Lin, “An efficient hybrid decoding algorithm for
Reed-Solomon codes based on bit reliability,” IEEE Transaction on
Communications, vol. 51, no. 7, July 2003.
Daolong Wu, Ying Li, Xudong Guo, and Yue Sun, “Ordered statistic
decoding for short polar codes,” IEEE Communications Letter, vol. 20,
no. 6, June 2016.
Salf E. A. Alnawayseh, and Pavel Loskot, “Order statistics based list
decoding techniques for linear binary block codes,” IEEE Transaction on
Information Theory, Jan 2011.
Yingquan Wu ; Christoforos N. Hadjicostis, “Soft-decision decoding
using ordered recodings on the most reliable basis,” IEEE Transaction on
Information Theory, vol. 53, issue 2, Feb, 2007.
M.P.C. Fossorier, Shu Lin, “Soft decision decoding of linear block codes
based on ordered statistics,” IEEE Transactions on Information Theory,
vol. 41, issue 5, 1995.
Marc P. C. Fossorier, “Reliability-Based Soft-Decoding With Iterative
Information Set Reduction,” IEEE Transactions on Information Theory,
vol. 48, no 12, December 2002.