Thuật toán di truyền và thuật toán NSGA-II cho một mô hình quy hoạch và sử dụng đất

Thuật tốn di truyền và thuật tốn NSGA-II
cho một mơ hình quy hoạch và sử dụng đất
Trần Đức Quỳnh
Khoa Cơng Nghệ Thông Tin, Học Viện Nông Nghiệp Việt Nam- Gia Lâm, Hà Nội
Email:

Tóm tắt—Bài tốn quy hoạch và sử dụng đất là một bài
tốn quan trọng trong nơng nghiệp, tài nguyên môi trường
và kinh tế xã hội. Mục tiêu của bài tốn này là tìm cách
sử dụng đất sao cho hiệu quả về mặt kinh tế và đảm bảo
một số điều kiện đặt ra. Tùy vào các giả thiết mà mơ hình
tốn học cho bài tốn này có thể là mơ hình tối ưu liên
tục hoặc rời rạc, một mục tiêu hoặc đa mục tiêu. Trong
nghiên cứu này chúng tơi xét một mơ hình cho bài tốn sử
dụng đất được đưa ra bởi Jeroen và các cộng sự. Trong
mô hình này người ta muốn tối ưu hóa lợi nhuận và tính
compact của các thửa đất sử dụng cùng một mục đích.
Đây là một mơ hình tối ưu đa mục tiêu và có chứa biến
ngun. Việc tìm lời giải tối ưu cho bài tốn này ln là
thách thức cho các nhà tốn học và khoa học máy tính.
Cách giải được đề xuất trước đó cho bài tốn này là đưa
bài toán về một mục tiêu bằng cách đánh trọng số và sử
dụng phần mềm giải bằng phương pháp tất định. Tuy vậy
số biến nguyên lớn dẫn đến phương pháp này chỉ áp dụng
được cho những số liệu mô phỏng khá nhỏ. Trong nghiên
cứu này chúng tôi đề xuất phương pháp giải xử lý trực
tiếp mơ hình ban đầu. Phương pháp giải của chúng tôi
dựa trên ý tưởng áp dụng giải thuật di truyền (GA) và
NSGA-II. Đóng góp của nghiên cứu là đã đưa ra được
một cách thiết kế chi tiết thuật tốn GA, NSGA-II cho bài
tốn. Kết quả tính tốn mô phỏng với số liệu đơn giản

cũng đã cho thấy nghiệm cung cấp bởi thuật tốn là khá
tốt.
Từ khóa—Thuật tốn di truyền (GA), NSGA-II, khoa
học máy tính, tối ưu, sử dụng đất.

I. MỞ ĐẦU
Quy hoạch và sử dụng đất sao cho hiệu quả là vấn
đề quan trọng. Một phần vì tài nguyên đất có hạn mà
số lượng người trên thế giới tăng lên hàng năm. Theo
[8] thì diện tích đất nơng nghiệp chiếm khoảng 46%
diện tích đất liền của trái đất. Diện tích này có thể ngày
càng bị thu hẹp do sự tăng dân số trong khi đó nhu
cầu lương thực lại ngày càng tăng. Ước tính đến năm
2050 thì nhu cầu lương thực sẽ tăng khoảng 70% so với
hiện nay. Do đó làm sao để sử dụng hiệu quả đất nơng
nghiệp là một vấn đề chung trên tồn thế giới. Bài tốn
tối ưu sử dụng đất nói chung và đất nơng nghiệp nói
riêng đã được nhiều nhà khoa học trong lĩnh vực nơng

169

nghiệp, tính tốn khoa học, cơng nghệ thông tin quan
tâm nghiên cứu. Các nghiên cứu này thường là mơ hình
hóa bài tốn thực tế dưới dạng một bài toán tối ưu và
đi nghiên cứu các giải thuật để giải quyết nó một cách
hiệu quả. Trong vịng hơn 20 năm qua, nhiều mơ hình
tốn học đã được các nhà nghiên cứu đưa ra, trong mỗi
mơ hình các tác giả xem xét các ràng buộc hoặc mục
tiêu khác nhau. Tuy có nhiều mơ hình nhưng theo [8] ta
có thể phân ra 3 nhóm chính là: mục tiêu hiệu quả kinh

tế [3], mục tiêu quản lý hiệu quả tài nguyên nước [1],
bảo vệ môi trường và hệ sinh thái [2]. Một số tác giả
xem xét nhiều mục tiêu đồng thời và dẫn đến bài toán
tối ưu đa mục tiêu.
Mặc dù bài toán quy hoạch và sử dụng đất là rất quan
trọng nhưng theo hiểu biết của chúng tôi những nghiên
cứu ở Việt Nam hiện nay mới chỉ dừng lại ở mức độ rất
đơn giản thường là dùng các mơ hình tuyến tính, biến
liên tục. Đặc biệt chưa có tác giả nào nghiên cứu mơ
hình có xét tới mức độ phù hợp của từng khu đất cho
các mục đích sử dụng khác nhau. Khi xét đến thông tin
về sự phù hợp đất với các mục đích sử dụng khác nhau
thì mơ hình sẽ gần với thực tế hơn nhưng lại làm cho
bài tốn trở nên phức hơn vì bài tốn sẽ phải đưa vào
các biến quyết định rời rạc (chỉ nhận nhận giá trị 0 hoặc
1). Do đó mơ hình tốn học sẽ trở thành một bài tốn
tối ưu khơng lồi, biến rời rạc và có thể là bài tốn đa
mục tiêu. Phương pháp giải cho những bài toán tối ưu
đa mục tiêu, rời rạc và không lồi là không nhiều. Vì vậy
việc nghiên cứu các thuật tốn cho các mơ hình dạng
như trên và có thể tiếp tục phát triển để ứng dụng trong
điều kiện ở Việt Nam là hết sức cần thiết.
Trong nghiên cứu này chúng tôi nghiên cứu phương
pháp giải cho mơ hình bài tốn tối ưu được Jeroen và
cộng sự đưa ra năm 2003. Đây là một mơ hình tối ưu đa
mục tiêu, khơng lồi, biến nhị phân và có xét đến mức
độ phù hợp của từng đơn vị đất với các mục đích sử
dụng khác nhau. Trước đó các nhà nghiên cứu đã dùng
phương pháp đánh trọng số cho hàm mục tiêu và chuyển
về bài toán một mục tiêu sau đó dùng một phần mềm để

giải bài toán. Cách tiếp cận trong nghiên cứu của chúng
tôi là sử dụng giải thuật di truyền. Trong cách làm thứ
nhất chúng tơi cũng đưa bài tốn về một mục tiêu và
đưa ra thiết kế chi tiết giải thuật di truyền cho bài toán
này. Trong cách làm thứ 2 thì chúng tơi giải quyết trực
tiếp bài tốn đa mục tiêu ban đầu bằng cách thiết kế
một giải thuật di truyền NSGA-II.
II. MƠ

cùng mục đích sử dụng đất. Ngồi hai mục tiêu trên
chúng ta cịn có các ràng buộc
K

xijk = 1 ∀(i, j)

Ràng buộc này để đảm bảo mỗi ô đất chỉ được gán cho
một mục đích sử dụng đất

HÌNH TỐN HỌC

N

Trong mục này chúng tơi xét mơ hình bài toán quy
hoạch và sử dung đất đã được phát biểu trong [7] với
một chút thay đổi cho phù hợp là mục tiêu cực tiểu hóa
hàm chi phí được thay bằng cực đại hóa hàm lợi nhuận.
Bài tốn được phát biểu như sau: xét một mảnh đất hình
chữ nhật được sử dụng cho nhiều mục đích sử dụng đất

khác nhau. Đầu tiên ta chia mảnh đất thành N.M ô
bởi N hàng và M cột, ô đất ở hàng thứ i và cột thứ j
sẽ được gọi là ô (i, j). Giả sử ta có K mục đích khác
nhau, ký hiệu k là một mục đích sử dụng đất cụ thể,
k ∈ {1, 2, ..., K}. Với mỗi ô (i, j) ta biết các thông tin
Bijk lợi nhuận thu được nếu ta dùng ơ (i, j) cho mục
đích sử dụng k. Ngồi ra ta cũng biết rằng tổng số ô đất
được sử dụng cho mục đích thứ k là Tk . Bài tốn đặt
ra là tìm cách sử dụng đất sao cho tổng lợi nhuận thu
được từ vùng đất là lớn nhất và các mảnh đất sử dụng
cùng một mục đích phải được đặt ở gần nhau để có thể
tạo thành một khối (tính compact).
Trong bài báo [7] các tác giả đã đưa ra mơ hình tốn
học cho bài tốn trên dưới dạng bài toán tối ưu hai mục
tiêu biến nguyên 0-1 và ràng buộc tuyến tính. Xét biến
nhị phân xijk là biến quyết định thể hiện rằng nếu ô
(i, j) được sử dụng cho mục đích k thì xijk = 1 và
bằng 0 nếu ngược lại. Ta có lợi nhuận cho tồn bộ mục
đích sử dụng đất được biểu diễn bởi
N

M

i=1 j=1 k=1

Để biểu diễn mục tiêu thứ 2 người ta đưa vào biến yijk
như sau
yijk = xi−1jk + xi+1jk + xij−1k + xij+1k .

(1)

Khi đó mục tiêu về tính compact của các mục đích sử
dụng đất được biểu diễn bằng công thức
N

M

∀k

xijk = Tk

(3)

i=1 j=1

Ràng buộc này để đảm bảo tổng số ơ đất (tổng diện
tích) được sử dụng cho mục đích k. Do đó chúng ta có
bài tốn tối ưu đa mục tiêu như sau
N

max

M

K

f1 (x) =

Bijk xijk
i=1 j=1 k=1

N M K

max

f2 (x) =

yijk xijk

ràng buộc

(1)-(3) và xijk ∈ {0, 1}

(P )

i=1 j=1 k=1

Ta có thể chọn một trọng số w > 0 cho mục tiêu thứ 2
và chuyển bài toán này về bài toán tối ưu một mục tiêu.
max
f (x) = f1 (x) + w.f2 (x)
(P )
ràng buộc (1)-(3) và xijk ∈ {0, 1}
Bài toán (P ) là một bài toán tối ưu đa mục tiêu, với
ràng buộc tuyến tính, biến nhị phân và hàm mục tiêu
thứ hai f2 (x) là hàm khơng tuyến tính. Để giải bài tốn
này thì trong [7] các tác giả đánh trọng số để chuyển về
bài toán một mục tiêu (P ) và sử dụng một phần mềm
giải bài toán bằng phương pháp tất định.
Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ đề xuất phương
pháp giải bài toán trên ý tưởng của giải thuật di truyền.

A. Giới thiệu về GA và NSGA-II

Bijk xijk

K

f2 (x) =

M

III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

K

f1 (x) =

(2)

k=1

yijk xijk
i=1 j=1 k=1

Về bản chất thì hàm đo tính compact f2 (x) được tính
bằng số các ô cạnh nhau theo hàng hoặc theo cột có

170

Thuật tốn di truyền (GA) là một thuật tốn mơ phỏng

q trình tiến hóa trong tự nhiên. GA cho phép chúng ta
tìm nghiệm cho một bài tốn tối ưu ngay cả trong trường
hợp hàm mục tiêu hay các ràng buộc khơng tuyến tính,
khơng lồi, khơng liên tục. Những tính chất này làm cho
GA có thể áp dụng được cho một số bài tốn mà các
thuật tốn tất định khơng áp dụng được vì các thuật tốn
tất định thường u cầu chặt chẽ về tính chất giải tích
của các hàm mục tiêu và ràng buộc. Tuy thuật tốn GA
khơng cung cấp nghiệm tối ưu tồn cục cho bài tốn
nhưng nghiệm địa phương cho bởi GA là chấp nhận
được trong thực tế. Hơn nữa nhìn chung GA dễ dàng
cài đặt và thời gian chạy thuật toán là hợp lý nên ngày
càng được nhiều người sử dụng. Ngày nay các thuật


toán di truyền đã trở thành một hướng phổ biển trong
lĩnh vực khoa học máy tính. Về cơ bản thì thuật toán di
truyền gồm các bước sau:
Khởi tạo
Bước 1: Sinh ngẫu nhiên một tập hợp đại diện cho
các nghiệm (quần thể).
Các bước lặp
Bước 2: Đánh giá độ thích nghi của từng cá thể và
quần thể. Có nhiều cách đánh giá độ thích nghi nhưng
về cơ bản thì dựa trên giá trị của hàm mục tiêu.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện dừng nếu thỏa mãn thì
dừng thuật tốn nếu khơng thì chuyển sang Bước 4.
Bước 4: Lai tạo và đột biến.
Bước 5: Chọn lọc các cá thể để đưa vào thế hệ tiếp
theo và quay lại Bước 2.

Thuật toán GA dùng cho bài tốn tối ưu một mục tiêu
thì NSGA-II là một thuật toán di truyền để giải quyết
bài toán tối ưu đa mục tiêu. Đây cũng là một thuật toán
trong nhóm các thuật tốn tính tốn tiến hóa. Hiện nay
đã có rất nhiều nhà nghiên cứu ứng dụng thuật tốn
NSGA-II để giải các bài toán của họ. Để hiểu rõ hơn
về NSGA-II chúng ta có thể tham khảo trong các cơng
trình [5]. Các bước cơ bản của thuật tốn NSGA-II có
thể được mơ tả như sau:
Khởi tạo
Bước 1: Sinh ngẫu nhiên quần thể ban đầu. Tính tốn
độ thích nghi với từng cá thể.
Các bước lặp
Bước 2: Kiểm tra điều kiện dừng. Nếu điều kiện thỏa
mãn thì dừng thuật tốn. Nếu điều kiện chưa thỏa mãn
thì chuyển sang Bước 3.
Bước 3: Lai tạo, đột biến để tạo ra thêm các cá thể
mới.
Bước 4: Sắp xếp các nghiệm bằng một thủ tục non
dominated sorting. Kết thúc bước này các nghiệm sẽ
được sắp xếp thành các lớp F1 : tập các nghiệm (có
rank=1) mà khơng có nghiệm nào trội hơn nó về mọi
mục tiêu, F2 : tập các nghiệm (rank=2) có một nghiệm
trội hơn nó, F3 : tập các nghiệm (rank=3) có hai nghiệm
trội hơn nó,...
Bước 5: Tính khoảng cách quy tụ từ một nghiệm đến
quần thể (xem chi tiết trong [4],[5]).
Bước 6: Chọn lọc ra những cá thể có rank thấp, khi
các cá thể có rank bằng nhau ta chọn cá thể có khoảng
cách quy tụ lớn hơn để đưa vào quần thể tiếp theo và

quay lại Bước 2.
Chúng ta có thể thấy NSGA-II cơ bản khác thuật toán
di truyền ở việc xét đồng thời tất cả các mục tiêu mà
không đưa về một mục tiêu. Chính vì vậy mà để đánh
giá độ thích nghi các nghiệm và lựa chọn cá thể đưa
vào thế hệ tiếp theo thì trong thuật tốn NSGA-II người

171

ta dựa vào thủ tục sắp xếp non dominated sorting và
khoảng cách quy tụ.
Trên đây là những bước cơ bản của thuật toán di
truyền GA và thuật toán NSGA-II. Để áp dụng các thuật
toán này cho một bài toán cụ thể chúng ta phải nghiên
cứu cách mã hóa các nghiệm sao cho thỏa mãn các yêu
cầu bài toán, toán tử tính độ thích nghi, thủ tục sinh
quần thể, thủ tục lai tạo và đột biến. Chi tiết của những
thủ tục này sẽ được chúng tơi trình bày trong phần tiếp
theo.
B. Thiết kế thuật tốn
Mã hóa: Mỗi phương án sẽ được mã hóa bởi một
mảng hai chiều X có N dịng và M cột. Nếu Xij = k
có nghĩa là ơ (i, j) được sử dụng cho mục đích k.
Hàm mục tiêu thứ nhất được tính bởi cơng thức:
N

M

f1 (X) =

Bijk với k = Xij .
i=1 j=1

Hàm mục tiêu thứ hai được tính như sau:
N −1 M

N M −1

f2 (X) = 2

cij .

rij + 2
i=1 j=1

i=1 j=1

Ở đây rij = 1 nếu Xij = Xij+1 và bằng 0 nếu ngược
lại, cij = 1 nếu Xij = Xi+1j và bằng 0 nếu ngược lại.
Sinh cá thể ngẫu nhiên: Để đảm bảo trong mảng X
có đúng Tk ơ nhận giá trị bằng k ta thực hiện vòng lặp
với k từ 1 đến K, ở mỗi bước ta chọn ngẫu nhiên ra Tk
ô chưa sử dụng trong mảng X và gán giá trị cho các ô
này bằng k.
Lai tạo: Chọn ngẫu nhiên 2 mảng X và Y trong quần
thể hiện thời và cho lai ghép với nhau ra X’ và Y’. X’
được tạo thành bởi nửa trái của X ghép với nửa phải
của Y còn Y’được tạo nửa trái của Y ghép với nửa phải
của X. Nếu chỉ ghép như vậy thì sẽ có thể xẩy ra trường
hợp X’, Y’ không thỏa mãn ràng buộc (3) ta phải dùng

một thủ tục để chuẩn hóa X’, Y’ nhằm đảm bảo X’, Y’
thỏa mãn các ràng buộc của bài tốn. Trong thủ tục này
chúng tơi sẽ xem xét các mục đích sử dụng đất chưa
đảm bảo ràng buộc (3) sau đó điều chỉnh thêm hoặc
bớt các ô đất để đảm bảo mục đích k được sử dụng bởi
đúng Tk ô đất.
Đột biến: Đổi chỗ một số ô một cách ngẫu nhiên
trong mảng.
IV. KẾT QUẢ SỐ

THỬ NGHIỆM

Chúng tơi chạy thử nghiệm hai thuật tốn đề xuất là
GA và NSGA-II. Thuật toán GA được dùng để giải bài
toán (P ), thuật toán NSGA-II được áp dụng để giải bài
toán (P ). Cả hai thuật toán được cài đặt thử nghiệm


KẾT
Lần chạy
GA
NSGAII
Lần chạy
GA
NSGAII
Lần chạy
GA
NSGAII

QUẢ CỦA

1
411
464
8
451
465
15
424
467

2
428
465
9
420
450
16
412
465

Bảng I
20 LẦN CHẠY
3
423
466
10
437
473
17

419
469

4
418
470
11
446
475
18
416
456

THUẬT TOÁN

5
457
456
12
422
460
19
441
482

6
419
477
13
425

472
20
413
466

7
433
466
14
429
471
TB
427,2
466,75

trên Matlab và chạy trên máy tính có CPU Core2Duo
2.4 GHz, Ram 4GB. Do chưa thể thu thập được số liệu
thực tế và một phần để có thể kiểm tra được chất lượng
của nghiệm thu được nên chúng tôi dùng số liệu giả
định với mục đích quan sát kết quả của thuật toán. Dữ
liệu giả định xem xét với một vùng đất được chia thành
10 hàng, 10 cột (100 ơ đất). Có 4 mục đích sử dụng
đất khác nhau (K=4). Sự phù hợp đất với các mục đích
được giả định là: góc phần tư trên cùng bên trái rất phù
hợp với mục đích 1, góc phần tư phía trên bên phải phù
hợp cho mục đích 2, góc dưới bên phải phù hợp cho
mục đích 3, góc dưới bên phải phù hợp cho mục đích 4.
Giá trị lợi nhuận mang lại khi dùng đất phù hợp được
đặt gấp 5 lần so với đất khơng phù hợp. Diện tích đất
sử dụng cho mục đích sử dụng đất lần lượt là 20, 30,

30, 20. Giá trị cho hệ số w được chọn là 0,5. Số vịng
lặp tối đa đặt cho cả hai thuật tốn là 500 vịng lặp.
Chúng tơi thực hiện chạy thuật tốn 20 lần và lấy kết
quả tốt nhất ở mỗi lần để so sánh. Các tham số về kích
thước quần thể, tỷ lệ lai ghép và tỷ lệ đột biến được
cài đặt cho cả hai thuật toán là như nhau và lần lượt là
psize=60, pc=0,9, pm=0,1. Kết quả về giá trị hàm mục
tiêu (là tổ hợp của hai mục tiêu với trọng số w = 0, 5)
của 20 lần chạy thuật toán GA và NSGA-II được trình
bày ở trong Bảng I. Số liệu trong bảng cho ta thấy kết
quả cho bởi NSGA-II tốt hơn kết quả của thuật toán GA
ở hầu hết các lần chạy. Kết quả trung bình của thuật
tốn NSGA-II là 466,75 trong khi kết quả trung bình
của GA chỉ là 427,2. Như vậy kết quả trung bình của
NSGA-II tốt hơn kết quả trung bình của GA 9,13%. Kết
quả tốt nhất của NSGA-II là 482 trong khi đó kết quả
tốt nhất của GA chỉ là 457. Ngoài ra chúng ta cũng có
thế thấy trong 20 lần chạy thuật tốn NSGA-II chỉ có
3 lần cho kết quả thấp hơn 457 và giá trị thấp hơn là
không đáng kể, các giá trị đó lần lượt là 456 (lần 5),
450 (lần 9), 456 (lần 18). Từ kết quả này cho thấy với
bộ số liệu thử nghiệm thì thuật tốn NSGA-II cho kết
quả tốt hơn thuật tốn GA.
Hình 1 biểu diễn kết quả tốt nhất cho bởi GA. Hình 2

172

Hình 1. Kết quả tốt nhất với GA.

Hình 2. Kết quả tốt nhất với NSGA-II.

biểu diễn kết quả cho bởi NSGA. Từ kết quả này chúng
ta có thể thấy các ơ đất phục vụ cho mục đích sử dụng
1 (màu xanh) tập trung chủ yếu ở góc trên cùng bên
trái, các ơ sử dụng cho mục đích thứ 2 (màu vàng) tập
trung chủ yếu góc trên cùng bên phải, các ơ dùng cho
mục đích sử dụng 3 (màu đỏ) tâp trung ở góc dưới bên
trái và các ơ dùng cho mục đích 4 (màu mận chín) tập
trung chủ yếu cho góc dưới cùng bên phải. Từ hình ảnh
kết quả chúng ta có thể thấy nghiệm thu được chưa phải
là nghiệm tối ưu toàn cục nhưng mức độ tập trung của
các ô sử dụng cho cùng một mục đích là cao và chủ yếu
nằm ở phần đất đem lại lợi nhuận cao hơn. Kết quả này
cho thấy nghiệm thu được bởi các thuật toán đề xuất là
khá tốt.


V. KẾT LUẬN
Trong bài báo này chúng tôi đã nghiên cứu thuật giải
một mơ hình tối ưu một cho bài toán quy hoạch sử dụng
đất. Hai thuật toán dựa trên ý tưởng của giải thuật di
truyền là GA và NSGA-II đã được thiết kế một cách
chi tiết cho bài toán. Các thuật toán cũng đã được cài
đặt trên Matlab và chạy thử nghiệm để so sánh kết quả
thu được. Từ kết quả số với dữ liệu mô phỏng cho thấy
thuật toán NSGA-II cho kết quả tốt hơn khi tổ hợp cả
hai mục tiêu với trọng số cho tính compact của các mục
đích sử dụng đất là 0,5. Hình ảnh nghiệm cũng cho thấy
các nghiệm thu được cho kết quả quy hoạch khá tốt. Tuy
vậy, có nhiều vấn đề chúng tơi dự định sẽ tiếp tục đào

sâu trong các nghiên cứu tiếp theo như áp dụng mơ hình
và thuật tốn cho bộ dữ liệu thực cấp huyện hoặc cấp
tỉnh. Khi đó kích thước của bài tốn sẽ lớn hơn cũng
như cần có số liệu được cung cấp bởi cơ quan quản lý
hoặc các nhà nghiên cứu về đất đai. Ngoài ra về phương
diện khoa học máy tính thì tiếp tục nghiên cứu các biến
thể của NSGAII hoặc lựa chọn các phương pháp tối ưu
tất định để có thể cải thiện chất lượng nghiệm thu được
là một đề tài hứa hẹn cho thêm các kết quả sâu sắc hơn.
TÀI LIỆU

THAM KHẢO

[1] Altinakar M, Qi H (2008), Numerical-simulation based multiobjective optimization of agricultural land-use with uncertainty.
In: World Environmental and Water Resources Congress, Honolulu, Hawaii, United States, May 12–16, 2008, Pages 1–10.
doi:10.1061/40976(316) 481.
[2] Aerts JJH, Herwijnen M, Stewart T (2003), Using simulated
annealing and spatial goal programming for solving a multi site
land use allocation problem. In: Fonseca C, Fleming P, Zitzler E,
Thiele L, Deb K (eds) Evolutionary multi-criterion optimization,
vol 2632. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin,
Heidelberg, Pages 448– 463.
[3] Chetty S, Adewumi AO (2013), Three new stochastic local
search metaheuristics for the annual crop planning problem based
on a new irrigation scheme. J Appl Math 2013, 14 pages,
/>[4] Keith B. Matthews (2000), Applying Genetic Algorithms to MultiObjective Land Use Planning, Proceedings of the 2nd Annual
Conference on Genetic and Evolutionary Computation, Pages 613620, ISBN:1-55860-708-0(2000).
[5] K. Deb, A. Pratap, S. Agarwal, T. Meyarivan, A Fast and Elitist
Multiobjective Genetic Algorithm NSGA-II, IEEE Transactions
on Evolutionary Computation, Volume 6 , Issue 2, Pages 182 197(2002).

[6] Michael Batty ,Bo Huang ,Yan Liu,Le Yu, Spatial multi-objective
land use optimization: extensions to the non-dominated sorting
genetic algorithm-II,International Journal of Geographical Information Science Volume 25, Issue 12, Pages 1949-1969(2011).
[7] Jeroen C.J.H., Using Linear Integer Programming for Multi-Site
Land- Use Allocation, Journal: Geographical Analysis, Volume
35; Pages 148-169(2003).
[8] Mohamed-Mahmoud Memmah, Franc¸oise Lescourret, Xin Yao,
Claire Lavigne, Metaheuristics for agricultural land use optimization. A review, Agron. Sustain. Dev. Volume 35, Pages 975–998
(2015).

173

[9] Mohammad M., et al., Optimization Crops Pattern in Variable
Field Ownership, World Applied Sciences Journal 21 (4): Pages
492-497 (2013).