12 đề ôn thi vào lớp 6 chất lượng cao

CLB Tốn bồi dưỡng MathExpress

www.toanboiduong.edu.vn

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TỐN BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ TRONG KÌ
THI VÀO 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2021 - 2022
Câu 1. (Trích đề thi chuyên tỉnh An Giang năm 2021 – 2022)
Cho hai số a, b phân biệt thỏa mãn a 2 − 2021a = b 2 − 2021b = c , với c là một số thực dương. Chứng minh
rằng:

1 1 2021
+ +
=0.
a b
c

Câu 2. (Trích đề thi chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2021 – 2022)
Rút gon biểu thức P =

x x −1  x + 1
x −2 
 
−
 với x  0, x  1, x  4 .
1 + x + x  x − 1 x − x − 2 

Câu 3. (Trích đề thi chuyên tỉnh Bến Tre năm 2021 – 2022)
Rút gọn biểu thức A = ( x − 2 − 1) + 4 x + 4 x − 2 − 7 (với x  2 ).
2

Câu 4. (Trích đề thi chun tỉnh Bình Định năm 2021 – 2022)

 x− y
x+ y  1 1
a) Cho biểu thức: A = 
−
 .  −  .
 x+ y
x
−
y

 x y
Tính giá trị biểu thức A với x =

2021 + 2 505 , y =

b) Cho các số thực a , b , c  0 và a + b + c  0 thỏa mãn
Chứng minh rằng:

1

+

1

+

1

=

2021 − 2 505 .

1 1 1
1
.
+ + =
a b c a +b+c

1

.
a
b
c
a + b + c 2021
Câu 5. (Trích đề thi chuyên tỉnh Bình Phước năm 2021 – 2022)
2021

2021

2021

2021

2021

(

)

 x x −1 x x +1  2 x − 2 x +1
−
Cho biểu thức A = 
.
:
x −1
x + x 
 x− x
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Câu 6. (Trích đề thi chuyên tỉnh Cà Mau năm 2021 – 2022)

 x x −1 x x + 1  2x − 4 x + 2
Cho biểu thức: A = 
(với x  0; x  1 ).
 x − x − x + x  :
x −1


a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các số ngun x để biểu thức A có giá trị nguyên.
Câu 7. (Trích đề thi chuyên tỉnh Cần Thơ năm 2021 – 2022)
 ( x − 1) x − 1 + x − 3

1
1
−
Cho biểu thức P = 
với x  1, x  2.

:
x−2
x − 1 + 1  ( x − 1) x − 1 − x + 1


a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi x = 7 + 4 3 −

(

)

5 +1

CLB MATHEXPRESS – HOTLINE: 0868199115

7−4 3 + 5 3−2 .

1


Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)
Câu 8. (Trích đề thi chuyên tỉnh Đồng Nai năm 2021 – 2022)
a a −b b a b +b a 
 : (a + b )
Rút gọn biểu thức A = 
−
a + b 
 a− b

(với a  0, b  0, a  b ).

Câu 9. (Trích đề thi chuyên thành phố Hà Nội năm 2021 – 2022)
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 . Chứng minh
a −b b−c c −a
+
+
= 0.
1 + c2 1 + a 2 1 + b2
Câu 10. (Trích đề thi chun Phổ thơng năng khiếu thành phố Hồ Chí Minh năm 2021 – 2022)

Cho M =

1 1 1
1
1
1
a
b
c
+ + ,N=
+
+
,K=
+
+
.
a b c
b+c c+a a +b
b+c c +a a +b

a 2 + b2 + c2
a) Chứng minh nếu MK =
thì N = 0.
abc

b) Cho M = K = 4, N = 1 . Tính tích abc.
Câu 11. (Trích đề thi trường THPT chuyên Hà Tĩnh năm 2021 – 2022)
Cho a, b, c lả các số thực đôi một phân biệt, rút gọn biểu thức:

( a − b) + (b − c ) + ( c − a ) .
A= 2
a ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c 2 ( a − b )
3

3

3

Câu 12. (Trích đề thi chuyên tỉnh Hải Phòng năm 2021 – 2022)

 1
x +1  
4 x +5
Cho biểu thức A = 
−
.
x
−
4

+


 (với x  0, x  1 ).
 x x −1 x −1  
x + 1 


Câu 13. (Trích đề thi chuyên tỉnh Trà Vinh (đề 1) năm 2021 – 2022)
Cho hai biểu thức: A =

2+ x
và B =
x

x −1 2 x +1
(với x  0 ).
+
x
x+ x

a) Tính giá trị của A khi x = 64.
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm x để

A 3
 .
B 2

Câu 14. (Trích đề thi chuyên tỉnh Kiên Giang năm 2021 – 2022)

x
2
2x − x x − 2
(với x  0, x  1 , và x  4 )
+
+
x −1
x −2 x −3 x + 2
a) Rút gọn biểu thức A.
Cho biểu thức A =

b) Tính giá trị biểu thức A tại x = 3 + 2 2 .
Câu 15. (Trích đề thi chuyên tỉnh Hà Nam năm 2021 – 2022)

 a +1
ab + a  a + a + b + ab
Cho biểu thức S = 
 ab + 1 + 1 − ab + 1 :
1 − ab



CLB MathExpress – Hotline: 0868199115

Page 2


Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)
với a  0, b  0, a 2 + b 2  0 và ab  1.

a) Rút gọn biểu thức S .
b) Tính giá trị của biểu thức S khi a = 3 + 2 2 và b = 11 − 6 2.
Câu 16. (Trích đề thi chuyên tỉnh Lào Cai năm 2021 – 2022)

 a a −1 a a + 1   a + 2 
a) Cho biểu thức A = 
với a  0; a  1; a  2 . Tìm tất cả các giá trị nguyên
 a − a − a + a  :  a − 2 


dương của a đề P nhận giá trị nguyên.
b) Cho x = 1 + 2021 . Tính giá trị biểu thức: x5 − 2 x 4 − 2021x 3 + 3x 2 + 2018 x − 2021.
Câu 17. (Trích đề thi chuyên Lê Qúy Đơn tỉnh Khánh Hịa năm 2021 – 2022)
Khơng dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức:

T=

(

2 1 + 3 10 + 6 3
2 2 + 2+ 3

) + 2 (1 +

2

10 − 6 3

2 2 − 2− 3

).

Câu 18. (Trích đề thi chuyên tỉnh Trà Vinh (đề 2) năm 2021 – 2022)
x−4
x+ x +2
x
+
và B =
(với x  0, x  4 ).
2
x x −8
x −2
x +1 + 3

Cho hai biểu thức: A =

(

)

a) Tính giá trị của A khi x = 9.
b) Rút gọn B.
c) Tìm điều kiện của x để A  B.
Câu 19. (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Bình năm 2021 – 2022)

 x +1
x −1 8 x   x − x − 3
1 
Cho biểu thức P = 
−

−
:
−


 (với x  0, x  1 ).
 x −1
x + 1 x − 1   x − 1
x − 1 

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm tất cả các số thực x để P nhận giá trị nguyên.
Câu 20. (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Nam năm 2021 – 2022)
Rút gọn biểu thức A =

(

8 + x 1+ x − 2 x +1

( x − 4) ( x − 2

x +4

)

)+

(

x −3 x

2 x− x −6

)

(với x  1, x  4, x  9 ).

Câu 21. (Trích đề thi chuyên tỉnh Vĩnh Long năm 2021 – 2022)
a) Cho biểu thức A =

x
2x − x
x x +1
và B =
−
− 1 với x  0, x  1. Rút gọn A và chứng minh
x −1 x − x
x +1

B  A.

b) So sánh

24 + 26 và 10.

Câu 22. (Trích đề thi chuyên tỉnh Quãng Trị năm 2021 – 2022)
Cho biểu thức P = x + 2 + 4 x − 2 + x + 2 − 4 x − 2 . Chứng minh rằng với x  2 , ta ln có P  4 .

CLB MathExpress – Hotline: 0868199115

Page 3


Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)
Câu 23. (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Ninh năm 2021 – 2022)
Rút gọn biểu thức A =

x+2
x +1
1
với x  0, x  1.
+
−
x x −1 x + x + 1
x −1

Câu 24. (Trích đề thi chuyên tỉnh Thái Bình năm 2021 – 2022)
1 1 1
Cho a, b, c la các số thực khác 0 và thóa mân (a + b + c)  + +  = 1.
a b c

Chứng minh rằng: ( a 3 + b3 )( b 25 + c 25 )( c 2021 + a 2021 ) = 0 .
Câu 25. (Trích đề thi chuyên Lam Sơn tỉnh Thanh Hóa năm 2021 – 2022)
a) Cho các số thực a, b không âm thỏa mãn điều kiện ( a + 2 )( b + 2 ) = 8 . Tính giá trị của biểu thức:
P = ab + 2 a 2 + b 2 + 8 − 2 ( a 2 + 4 )( b 2 + 4 )

b) Cho các số hữu tỉ a, b, c đôi một phân biệt. Đặt B =

1

( a − b)

2

+

1

(b − c )

+

2

1

(c − a )

2

. Chứng minh rằng B

là số hữu tỉ.
Câu 26. (Trích đề thi chuyên Tin Quốc Học Huế năm 2021 – 2022)


 a 2 − b2
a −b
a −b
Cho biểu thức P = 

+
 : 2 2 với a  b  0 .
 a +b + a −b
a 2 − b 2 − a + b  a + b

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P khi b = a − 1 .
Câu 27. (Trích đề thi chuyên Toán Quốc Học Huế năm 2021 – 2022)

 1
  1
2 x −2
1

a) Cho biểu thức A = 
−
:
−


 x + 1 x x + x − x − 1   3 x + 3 3x + 3 x 


trị của x sao cho biểu thức A nhận giá trị là số nguyên.
1
b) Cho f ( n ) =
(n  * ).
( 2n + 1) n + 1 + n

(

( x  0,

x  1) . Tìm tất cả các giá

)

1 1
1 
Chứng minh f ( n )  
−
 với mọi n 
2 n
n +1 

*

1
và f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( 2021)  .
2

Câu 28. (Trích đề thi chuyên tỉnh Tiền Giang năm 2021 – 2022)
Tính giá trị của biểu thức P = x 2022 − 10 x 2021 + x 2020 + 2021 tại x =

3− 2
.
3+ 2

Câu 29. (Trích đề thi chun tỉnh Hịa Bình năm 2021 – 2022)
2 +1

2 −1
. Tính giá trị biểu thức: P = a 7 + b 7 (khơng dùng máy tính cầm tay).
;b=
2
2
Câu 30. (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong (vòng 1) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022)

Cho a =

CLB MathExpress – Hotline: 0868199115

Page 4


Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)

x2
x +1
x + 1   x + 25 
Cho biểu thức Q = 
+
−
 . 
 với x  0; x  1
 x 2 − x3
x
−
1
x
x

+
x
+
1




a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm x để biểu thức Q có giá trị nhỏ nhất.
Câu 31. (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong (vòng 2) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022)
a) Cho a, b, c 

2
2
2
thỏa mãn a + b + c = 0 và a + b + c = 1 .

Tính giá trị của biểu thức S = a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 .
b) Cho đa thức bậc hai P ( x ) thỏa mãn P (1) = 1 , P ( 3) = 3 , P ( 7 ) = 31 . Tính giá trị của P (10 ) .

CLB MathExpress – Hotline: 0868199115

Page 5


Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. (Trích đề thi chuyên tỉnh An Giang năm 2021 – 2022)
Theo bài ra, ta có: a 2 − 2021a = b 2 − 2021b  a 2 − b 2 − 2021a + 2021b = 0

 a = b ( ktm )
 ( a − b )( a + b − 2021) = 0  
.
 a + b = 2021
Với a = b loại do a, b phân biệt.
Với a + b = 2021  b = 2021 − a  ab = 2021a − a 2 = − ( a 2 − 2021a ) = −c .
Thay a + b = 2021; ab = −c vào ta được
Vậy

1 1 2021 a + b 2021 2021 2021
+ +
=
+
=
+
=0.
a b
c
ab
c
−c
c

1 1 2021
+ +
=0.
a b
c

Câu 2. (Trích đề thi chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2021 – 2022)
Với x  0, x  1, x  4 , ta có:

( x)
P=

−1 

1+ x + x 


=

(

3

)

x −1 .

Vậy P =

(

x +1

(

)(

x +1

2

)(

x −1

) (

x −1

)

x +1

−

=


=
x −2 


x −2

)(

x +1

)

(

)

1 
 1
x −1 
−

x +1 
 x −1

2
.
x +1

2
với x  0, x  1, x  4 .
x +1

Câu 3. (Trích đề thi chuyên tỉnh Bến Tre năm 2021 – 2022)
A = ( x − 2 − 1) + 4 x + 4 x − 2 − 7
2

= x − 2 − 2 x − 2 +1+
= x −1 − 2 x − 2 +

(2

(2

x − 2 ) + 2.2 x − 2 + 1

x − 2 + 1)

2

2

= x −1 − 2 x − 2 + 2 x − 2 +1
= x −1 − 2 x − 2 + 2 x − 2 +1

( do 2

x − 2 +1  0)

=x
Vậy A = x .

Câu 4. (Trích đề thi chuyên tỉnh Bình Định năm 2021 – 2022)
a) Điều kiện: x  0 ; y  0 và x  y .

 x− y
x + y   1 1  x − 2 xy + y − x − 2 xy − y y − x
4
Ta có: A = 

.
−
.
=
 .  −  =
 x+ y
x
y
x
−
y
xy
x
−
y
xy



Thay x =

2021 + 2 505 , y =

2021 − 2 505 vào biểu thức đã thu gọn, ta được:

CLB MathExpress – Hotline: 0868199115

Page 6

Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)
4

A=

2021 + 2 505.
Vậy A =

4

=

2021 − 4.505

2021 − 2 505

x =
4

(với x  0 ; y  0 và x  y ) và A = 4 khi 
xy
 y =

1

1

1

= 4.

2021 + 2 505
2021 − 2 505

.

1

.
( )
a
b
c
a + b + c 2021
1 1 1
1
1
1
1 1
b+c
b+c
Ta có: + + =
 −
+ + =0
+
=0
a b c a+b+c
a a +b+c b c
a ( a + b + c ) bc
b) Chứng minh rằng:

2021

+

2021

+

2021

=

2021

2021


1
1
 (b + c ) 
+  = 0  ( b + c ) ( bc + a 2 + ab + ca ) = 0 (do a, b, c  0 và a + b + c  0 )
 a ( a + b + c ) bc 
 a = −b
 ( b + c )( a + b )( c + a ) = 0  b = −c .
c = −a

1
1
1

1
1
1
 1
 a 2021 + b 2021 + c 2021 = a 2021 − a 2021 + c 2021 = c 2021
 Với a = −b , suy ra: 
. Do đó ( ) đúng.
1
1
1

=
=
 a 2021 + b 2021 + c 2021 a 2021 − a 2021 + c 2021 c 2021
 Tương tự trong hai trường hợp còn lại là: b = −c và c = −a thì ( ) cũng đúng.
Do đó bài tốn được chứng minh.
Câu 5. (Trích đề thi chun tỉnh Bình Phước năm 2021 – 2022)
a) Điều kiện xác định: x  0, x  1 .

(

)

 x + x +1 x − x +1  2 x − 2 x +1
−
Ta có: A = 
 :
x −1
x
x





=



(

)(
x(

)−(

x −1 x + x +1

)

x −1

)(
(

)

x +1 x − x +1 
:

x x +1



(

)

)

 x + x +1 x − x +1  2 x −1
= 
−
=
 :
x
x
x
+
1



2

(

(

)

x −1

)(

x +1

2

)

x −1

x +1
.
x −1

x +1
2
.
= 1+
x −1
x −1
Để A nhận giá trị nguyên thì x − 1 là ước của 2  x − 1 1; 2 .
b) Ta có A =

 x − 1 = −2  x = −1 ( l )

 x − 1 = −1  x = 0  x = 0 ( l )
Suy ra 
.
 x −1 = 2  x = 3  x = 9 ( n)


 x − 1 = 1  x = 2  x = 4 ( n )
Vậy có hai giá trị x = 4; x = 9 thì A ngun.

Câu 6. (Trích đề thi chuyên tỉnh Cà Mau năm 2021 – 2022)
a) Với x  0; x  1 , ta có:

CLB MathExpress – Hotline: 0868199115

Page 7


Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)
 x x −1 x x + 1  2x − 4 x + 2
A = 
−
 :
x −1
 x− x x+ x 

=



(

)(
x(

)−(

)(
(

)

x −1

)

x +1 x − x +1 
:

x x +1


x −1 x + x +1

(

)

)

2

(

(

)

x −1

)(

x −1

x +1
.
x −1

)

x +1
2
= 1+
.
x −1
x −1

b) Với x  0; x  1 ta có: A =




x − 1 suy ra x − 1 −1;1; −2; 2  
Để A nguyên thì 2




Vậy với x  0; x  1 , để A nguyên thì x = 4 hoặc x = 9.

(

)

x +1

 x + x +1 x − x +1  2 x −1 2 x
x +1
= 
−
=
.
=
 :
x
x
x +1
x 2 x −1



(

2

)

x − 1 = −1

x = 0
  x = 4 .
x − 1 = −2 
x = 9
x −1 = 2

x −1 = 1

Câu 7. (Trích đề thi chuyên tỉnh Cần Thơ năm 2021 – 2022)
a) Với x  1, x  2 ta có:
 ( x − 1) x − 1 + x − 3

1
1
P=
−
:
x−2
x − 1 + 1  ( x − 1) x − 1 − x + 1



=


=

=

(

( x − 1)

x −1 + x − 3

)(

x −1 +1

( x − 1)

(

( x − 2)

−

) (

x −1 −1

)(

x −1 +1

x −1 + x − 3 − x −1 +1

)(

)

x −1 +1

x −1 −1

x −1 + x − 2
x −1 +1


1
:
x − 1 − 1  ( x − 1) x − 1 − 1


x −1 −1

. ( x − 1) =

. ( x − 1)

( x − 2) (

(

)

(

)

)

x −1 −1

)

x − 1 + 1 ( x − 1)
x −1 +1

= ( x − 2 )( x − 1) = x 2 − 3 x + 2.

( 5 + 1) 7 − 4 3 + 5 3 − 2
= ( 2 + 3 ) − ( 5 + 1) ( 2 − 3 ) + 5 ( 2 − 3 ) = 2 + 3 − ( 5 + 1) 2 − 3 + 5 ( 2 − 3 )
= 2 + 3 − ( 5 + 1)( 2 − 3 ) + 2 5 − 15 = 2 + 3 − 2 5 + 15 − 2 + 3 + 2 5 − 15 = 2 3.
Khi đó: P = ( 2 3 ) − 3. ( 2 3 ) + 2 = 14 − 6 3.
b) Ta có: x = 7 + 4 3 −
2

2

2

Câu 8. (Trích đề thi chuyên tỉnh Đồng Nai năm 2021 – 2022)

Ta có: A = 



( a) −( b)
3

a− b

3


a b +b a 
−
: (a + b)
a+ b 


CLB MathExpress – Hotline: 0868199115

Page 8


Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)

=



(

)(

a − b a + ab + b

a− b

(

)

= a + ab + b − ab 

)−

ab

(

)

a+ b  1

 a+b
a+ b


1
a+b
=
= 1.
a+b a+b

Câu 9. (Trích đề thi chuyên thành phố Hà Nội năm 2021 – 2022)
Ta có: VT =

=

a −b b −c c −a
a −b
b−c
c−a
+
+
=
+
+
2
2
2
2
2
1+ c 1+ a 1+ b
ab + bc + ca + c ab + bc + ca + a ab + bc + ca + b 2

( a − b )( a + b ) + ( b − c )( b + c ) + ( c − a )( c + a ) = 0 (đpcm).
a −b
b−c
c−a
+
+
=
( a + c )( b + c ) ( a + b )( c + a ) ( a + b )( b + c )
( a + b )( a + c )(b + c )

Câu 10. (Trích đề thi chun Phổ thơng năng khiếu thành phố Hồ Chí Minh năm 2021 – 2022)

b
c 
 1 1 1  a
a) Ta có: MK =  + + 
+
+

 a b c  b + c c + a a + b 

=

1
b
c
a
1
c
a
b
1
+
+
+
+
+
+
+
+
b + c a ( c + a ) a ( a + b ) b (b + c ) c + a b ( a + b ) c (b + c ) c ( c + a ) a + b

=N+

b 1 1
c 1 1
a 1 1
b
c
a
a 2 + b2 + c2
+
+
+
+
+
=
N
+
+
+
=
N
+
.






c+a  a c  a+b a b  b+c b c 

ac ab bc
abc

Mà MK =

a 2 + b2 + c 2 a 2 + b2 + c 2
a 2 + b2 + c 2
N+
=
 N = 0.
abc
abc
abc

b) Ta có: M = K = 4; N = 1.
Theo câu a), ta có:

MK = N +
Ta có: K + 3 =

a 2 + b2 + c 2
a 2 + b2 + c 2
 16 = 1 +
 a 2 + b 2 + c 2 − 2 ( ab + bc + ca ) = 15abc.
abc
abc

()

a

b
c
+1+
+1+
+1 = (a + b + c) N  7 = a + b + c .
b+c
c+a
a+b

M = 4  ab + bc + ca = 4abc .

Thay vào ( )  7 2 − 2.4abc = 15abc  abc =

49
.
23

Câu 11. (Trích đề thi trường THPT chuyên Hà Tĩnh năm 2021 – 2022)
Ta biết rằng nếu x + y + z = 0 thì x3 + y 3 + z 3 − 3xyz = ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) = 0 .
Do đó: x3 + y 3 + z 3 = 3 xyz .
Ta có: a 2 ( b − c ) + b 2 ( c − a ) + c 2 ( a − b ) = ( a − b ) c 2 − ( a 2 − b 2 ) c + ab ( a − b )
= ( a − b ) c 2 − ( a + b ) c + ab  = ( a − b )( c − a )( c − b ) = − ( a − b )( b − c )( c − a ) .

CLB MathExpress – Hotline: 0868199115

Page 9


Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)
Đặt x = a − b, y = b − c, z = c − a khi đó ta có: A = −

x3 + y 3 + z 3
= −3.
xyz

Vậy A = −3 .
Câu 12. (Trích đề thi chuyên tỉnh Hải Phòng năm 2021 – 2022)

1  x + x +1
 1
=
Ta có: A = 
−
.
x −1 
x +1
 x x −1
Để A  2 thì

x
1− x

2

( x + 1) . x + x + 1 = x .
( x − 1)( x + x + 1) x + 1 1 − x
− x

3 x −2
2

4
 0   x  1   x  1 (thỏa mãn điều kiện).
3
9
1− x

Câu 13. (Trích đề thi chuyên tỉnh Trà Vinh (đề 1) năm 2021 – 2022)
a) Thay x = 64 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A, ta được: A =

x −1 2 x +1
+
=
x
x+ x

b) Ta có: B =

c)

(

x

x +2 x +2 3
:
 
x
x +1 2

A 3

 
B 2

)(

x −1

(

)+

x +1

)

x +1

2 x +1
x

(

)

x +1

2 + 64 5
= .
4
64

x +2
.
x +1

=

x +1 3
  0  x  4.
2
x

Câu 14. (Trích đề thi chuyên tỉnh Kiên Giang năm 2021 – 2022)

) ( x − 1) + ( 2 x − x x − 2 ) = x x − 2 x + 2 x − 2 + 2 x − x
( x − 1)( x − 2 )
( x − 1)( x − 2 )
2 ( x − 2)
2 x −4
2
=
=
=
.
x
−
1
x
−
1
x

−
2
x
−
1
x
−
2
( )(
) ( )(
)
b) Ta có: x = 3 + 2 2 = ( 2 + 1) .
a) Ta có: A =

x

(

x −2 +2

x −2

2

2

Do đó: A =

(

)

2
= 2.
2 + 1 −1

=

2

2 +1 −1

Câu 15. (Trích đề thi chuyên tỉnh Hà Nam năm 2021 – 2022)
a) Ta có: S =
=

2 a +2
:
1 − ab

(

(

)(

) (

a + 1 1 − ab +

ab + a
1 − ab

a+ b

)(

)=2

a +1

1 − ab

(

b) Ta có: a = 3 + 2 2 = 1 + 2

(

b = 11 − 6 2 = 3 − 2

)

2

a +2

1 − ab

)

2

(

)(

)

ab + 1 + 1 − ab a + a + b + ab
:
1 − ab
1 − ab

a+ b

)(

)

a +1

=

2
.
a+ b

 a = 1 + 2;

 b = 3 − 2 = 3 − 2.

CLB MathExpress – Hotline: 0868199115

Page 10


Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)
Vậy S =

2
1
= .
1+ 2 + 3 − 2 2

Câu 16. (Trích đề thi chuyên tỉnh Lào Cai năm 2021 – 2022)
a) Với a  0; a  1; a  2 , ta có:
 a a −1 a a +1   a + 2  
A = 
−
 : 
 = 
a
−
2
a
−
a
a
+

a






(

)(
)−(
a ( a − 1)

)(
(

)

a +1 a − a +1   a + 2 
 :
  a − 2 
a a +1


a −1 a + a +1

)

 a + a +1 a − a +1  a + 2 
8

 a − 2  2a − 4
= 
−
= 2−
.
 : 
 = 2
=
a
−
2
a
+
2
a
+
2
a
+
2
a
a






8
Để A  thì 2 −

  a + 2  Ư ( 8 ) = 1; 2; 4; 8 .
a+2
Mà a 

+

, a  1, a  2 nên a + 2  5  a + 2  8  a = 6 (thỏa mãn).

Vậy a = 6 là giá trị cần tìm.
b) Đặt: M = x5 − 2 x 4 − 2021x3 + 3 x 2 + 2018 x − 2021
= x 5 − 2 x 4 − 2020 x3 − x 3 + 2 x 2 + 2020 x + x 2 − 2 x − 2020 − 1

= x3 ( x 2 − 2 x − 2020 ) − x ( x 2 − 2 x − 2020 ) + ( x 2 − 2 x − 2020 ) − 1
= ( x 2 − 2 x − 2020 )( x3 − x + 1) − 1.

Mà: x = 1 + 2021  x − 1 = 2021  ( x − 1) = 2021  x 2 − 2 x − 2020 = 0
2

 M = −1 .

Câu 17. (Trích đề thi chun Lê Qúy Đơn tỉnh Khánh Hòa năm 2021 – 2022)

(

2 1 + 3 10 + 6 3

Ta có: T =


2 1 + 3

= 
4+

=

(
(

2 2 + 2+ 3

) + 2 (1 +

3

10 − 6 3

2 2 − 2− 3

) = 2 (1 +

3

10 + 6 3

4+ 4+2 3

3
3

3 + 1  2 1 + 3 1 − 3  2 1 + 1 + 3 2 1 + 1 − 3

+ 
=
+
2
2
4 + 3 +1
4 − 3 +1
3 +1
4−
3 −1

)

(

)

)

(

)

(
(

)(
)(

(

) (
) (

) (

)(
)(

) + 2 (1 +

3

10 − 6 3

)

4− 4−2 3

)

)
)

4+2 3 5− 3
4 − 2 3 5 + 3 14 + 6 3 14 − 6 3 28 14
4+2 3 4−2 3
+
=
+

=
+
=
= .
22
22
22 11
5+ 3
5− 3
5+ 3 5− 3
5+ 3 5− 3

Vậy T =

14
.
11

Câu 18. (Trích đề thi chuyên tỉnh Trà Vinh (đề 2) năm 2021 – 2022)
a) Thay x = 9 vào biểu thức A, ta được: A =

9
= 3.
9 −2

CLB MathExpress – Hotline: 0868199115

Page 11

Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)

b) Ta có: B =

=

x−4
x+ x +2
+
=
2
x x −8
x +1 + 3

(

(

)

(

x +2

)(

)(

x −2

)

x −2 x+2 x +4

)

+

x+ x +2
x + 2 x +1+ 3

x +2
x+ x +2 x+2 x +4
+
=
= 1.
x+2 x +4 x+2 x +4 x+2 x +4

x
x
2
1
−1  0 
 0  x − 2  0  0  x  4.
x −2
x −2
x −2
Câu 19. (Trích đề thi chun tỉnh Quảng Bình năm 2021 – 2022)
c) Ta có: A  B 

(
P=

a) Ta có:

=

(

−4 x

)(

x −1

Vậy P =

) (
2

x +1 −

(

)

x +1



2

)(

x +1

)(

x +1

x −1

(

)

x −1 − 8 x

x −1

x − x −3−
:

)

(

)(

(

x −1

)

x +1

)

x +1

)=4

−x − 4

x
.
x+4

4 x
.
x+4

b) Vì x  0, x  1 nên P =

4 x
 0.
x+4

4 x x−4 x +4

=
=
Ta có: 1 − P = 1 −
x+4
x+4

Do đó 0  P  1 mà P 

(

x −2
x+4

)

2

 0 , suy ra P  1.

nên P = 0 hoặc P = 1.

Với P = 0 thì x = 0 (thỏa mãn).
Với P = 1 thì

x − 2 = 0  x = 4 (thỏa mãn).

Vậy x = 0; x = 4 thì P nhận giá trị ngun.
Câu 20. (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Nam năm 2021 – 2022)
Với x  1, x  4, x  9 ta có:

A=

=

(

8 + x 1+ x − 2 x +1

( x − 4) ( x − 2

(

8 + x 1+

(

)(

x +4

x −1

)+

)

)+

2 x− x −6
x

(

x −3

x −3

)(

=

) (

)

=

(

)(

8+ x x

)

)(

) (

+

) ( x − 2 )( x x + 8) 2 (
2 ( x + 2) + x ( x − 2)
1
x
x+4
=
+
=
=
.
2
x
−
4
(
)
x
−
2
2
x
+
2
2
x
−
2
x
+

2
(
) (
)
(
)(
)
x −2 x x +8

) 2(

(

x −3 x

2

8 + x 1 +
x −1 


+
x −2
x +2 x−2 x +4 2

x +2

x
x +2

x

(

x −3

x −3

)(

)

x +2

)

)

Câu 21. (Trích đề thi chuyên tỉnh Vĩnh Long năm 2021 – 2022)
a) Với x  0, x  1 ta có:

CLB MathExpress – Hotline: 0868199115

Page 12


Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)

x x +1
−1 =

x +1

B=

(

(
)
( )
x + 1)
−1 = ( x −

x 2 x −1
x
−
=
x −1
x x −1

x
2x − x
−
=
x −1 x − x

A=

)(

x +1 x −

x +1

Xét hiệu: B − A = x − x −

(

x
2 x −1 x − 2 x + 1
−
=
= x − 1.
x −1
x −1
x −1

)

x +1 −1 = x − x .

)

x −1 = x − 2 x +1 =

(

)

2

x − 1  0 với x  0, x  1.

Suy ra: B  A.
b) Ta có:

(

)

24 + 26

2

= 24 + 26 + 2. 24.26 = 50 + 2. 624  50 + 2. 625 = 100 = 102  24 + 26  10

Câu 22. (Trích đề thi chuyên tỉnh Quãng Trị năm 2021 – 2022)
Với x  2 , ta có:

(

P = x +2+4 x −2 + x +2−4 x −2 =

x−2 +2

)

2

+

(

x−2 −2

)

2

=

x−2 +2 +

x−2 −2 .

x − 2 − 2  0  x − 2  2  0  x − 2  4  2  x  6, ta có:

Trường hợp 1: Nếu

(1)

P = x − 2 + 2 + 2 − x − 2 = 4.

x − 2 − 2  0  x − 2  2  x − 2  4  x  6, ta có:

Trường hợp 2: Nếu

( 2)

P = x − 2 + 2 + x − 2 − 2 = 2 x − 2  2.2 = 4.

Từ (1) và ( 2 ) , suy ra P  4 với mọi x  2 .

Câu 23. (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Ninh năm 2021 – 2022)
Với x  0, x  1, ta có:
x+2
x +1
1
+
−
=
x x −1 x + x +1
x −1

A=

=

=

x+2

(

)(

x + 2 + x −1 − x − x −1

(

)(

)(

=

x− x

)(

−

) (

x −1 x + x +1

) (

x −1 x + x +1

)(

)

x −1 x + x +1

x −1

+

) (

x −1 x + x +1

(

x+2

)

x −1 x + x +1

+

x +1
1
−
x + x +1
x −1

x + x +1

)(

)

x −1 x + x +1

=

x
.
x + x +1

Câu 24. (Trích đề thi chun tỉnh Thái Bình năm 2021 – 2022)
1
1 1 1
1 1 1
Vì (a + b + c)  + +  = 1 nên a + b + c  0   + +  =
 a b c  a+b+c
a b c

1
b+c
b+c
1
 1 1
 −
+
=0
+ +  = 0 
a ( a + b + c ) bc
 a a+b+c  b c 


 bc + a 2 + ab + ac 
1
1
 (b + c ) 
+  = 0  (b + c ) 
=0
a
a

+
b
+
c
bc
abc
a
+
b
+
c
(
)
(
)





CLB MathExpress – Hotline: 0868199115

Page 13


Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)
 a = −b

( b + c )( c + a )( a + b ) = 0  b = −c .



abc ( a + b + c )
c = −a


Vậy ( a 3 + b3 )( b 25 + c 25 )( c 2021 + a 2021 ) = 0 (đpcm).
Câu 25. (Trích đề thi chuyên Lam Sơn tỉnh Thanh Hóa năm 2021 – 2022)
a) Ta có: ( a + 2 )( b + 2 ) = 8  2a + 2b + ab = 4 .
Do đó:

2 ( a 2 + 4 )( b 2 + 4 ) = 2 ( a 2 + ab + 2a + 2b )( b 2 + ab + 2a + 2b )

= 2 ( a + b ) ( a + 2 )( b + 2 ) = 2 ( a + b ) .8 = 4 ( a + b ) .
2

2

Suy ra: 2 a 2 + b 2 + 8 − 2 ( a 2 + 4 )( b 2 + 4 ) = 2 a 2 + b 2 + 8 − 4 ( a + b )
=2

( a + b)

2

+ 8 − 4 ( a + b ) − 2ab = 2

(a + b)

2

= 2 ( a + b).

Khi đó: P = ab + 2 ( a + b ) = 4 .
Vậy P = 4 .
b) Đặt x = a − b, y = b − c, z = c − a  x, y , z  0 và x + y + z = 0 .
1 1 1
 1
 1 1 1  2( x + y + z)
1
1
1
1 1 
+ 2 + 2 =  + +  − 2 + +  =  + +  −
2
x
y
z
xyz
x y z
 xy yz zx 
x y z
2

Ta có: B =

2

2

1 1 1

1 1 1
=  + +  = + + .
x y z
x y z

Vì a, b, c là các số hữu tỷ nên x, y , z là các số hữu tỉ, do đó B là số hữu tỷ.
Câu 26. (Trích đề thi chuyên Tin Quốc Học Huế năm 2021 – 2022)

a −b
+
a) Ta có P = 
 a +b + a −b
a −b


(
(

)

 2
2
. a + b
a + b − a − b  a 2 − b2

a −b

2

)

1
1

 a 2 + b2
= a − b.
+
.
a + b − a − b  a 2 − b2
 a +b + a −b

=

2 a − b. a + b a 2 + b2
a 2 + b2
.
=
.
b
( a + b ) − ( a − b ) a 2 − b2

b) Thay a = b + 1 vào biểu thức P ta được

( b + 1)
P=

2

b

+ b2

=

2b2 + 2b + 1
1
1
= 2 + 2b +  2 + 2 2b. = 2 + 2 2.
b
b
b

CLB MathExpress – Hotline: 0868199115

Page 14


Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)
P = 2 + 2 2  2b =

2+ 2
1
2
b=
.
. Khi đó a =
b
2
2

2+ 2
2
và b =
.
2
2
Câu 27. (Trích đề thi chuyên Toán Quốc Học Huế năm 2021 – 2022)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 + 2 2 khi a =


1
2 x −2
−
a) Ta có: A = 
 x + 1 ( x − 1) x + 1


(

A=

x −1 − 2 x + 2

( x − 1) (

)

x +1

x −1

:
3 x

(

)

(

=

) (

x +1

 
:
 3
 

(

1

)(

x −1

−

)

x +1

)

x −1

1

(
x(

3 x

2

3

)

x +1

2

.




x +1 


)
x + 1)
=

x −1

3 x
.
x +1

3 x
3
= 3−
 3 với mọi ( x  0, x  1) .
x +1
x +1

Ta có: 0  A =

Mà A nguyên nên A 1; 2 .
Với A = 1 thì

3 x
1
= 1  3 x = x +1  2 x = 1  x = .
4

x +1

Với A = 2 thì

3 x
= 2  3 x = 2 x + 2  x = 2  x = 4.
x +1

1 
Vậy với x   ; 4 thì A nguyên.
4 
b) Đặt B = f (1) + f ( 2 ) + ... + f ( 2021) .
f (n) =

n +1 − n
4n + 4n + 1 ( n + 1 − n )
2



n +1 − n
4n + 4n
2

=

n +1 − n

1 1
1 

= 
−
.
n +1 
2 n ( n + 1) 2  n

1 1
1 1
1 1
1 
1 
1 
Suy ra f (1)  
; f ( 2)  
;….; f ( 2021)  
−
−
−

.

2  2021
2 1
2 2
2022 
2
3
1
1  1
Do đó B  1 −

 .
2
2022  2
Câu 28. (Trích đề thi chuyên tỉnh Tiền Giang năm 2021 – 2022)
Ta có: x =

3− 2
=
3+ 2

(

(

3− 2

3+ 2

)(

)

2

3− 2

)

=

5−2 6
= 5 − 2 6.
3− 2

Suy ra: ( x − 5 ) = 24  x 2 − 10 x + 1 = 0 .
2

Do đó P = x 2020 ( x 2 − 10 x + 1) + 2021 = 2021 .
Câu 29. (Trích đề thi chun tỉnh Hịa Bình năm 2021 – 2022)
Ta có P = ( a 4 + b 4 )( a 3 + b3 ) − a 3b3 ( a + b ) .

CLB MathExpress – Hotline: 0868199115

Page 15


Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)
 3 3 5 2
a + b =
1
4  P = 169 2 .
Lại có: a + b = 2; ab =  
4  4
64
17
a + b4 =

8

Câu 30. (Trích đề thi trường chun Lê Hồng Phong (vịng 1) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022)

a) Với x  0; x  1, ta có


x2
x +1
1   x + 25 

Q=
+
−
.

 x x x −1
x
x − 1  x + x + 1 



(

)


x
x +1
1  x + 25
x + 25
 x + 1  x + 25
= 
+

−
= 1 +
=
.
 .
.
x
−
1
x
x
−
1
x
+
x
+
1
x
x
+
x
+
1
x




b) Với x  0; x  1 , ta có Q = x +

25
2
x

Vậy GTNN của Q bằng 10 xảy ra khi

x=

x.

25
= 10  Q  10.
x

25
 x = 25.
x

Câu 31. (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong (vòng 2) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022)
a) Ta có 0 = ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca ) = 1 + 2 ( ab + bc + ca ) .
2

1
Suy ra ab + bc + ca = − .
2

Từ ( ab + bc + ca ) = a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + 2abc ( a + b + c ) .
2

Suy ra S = a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 =

1
.
4

a + b + c = P (1) = 1

b) Đặt P ( x ) = ax 2 + bx + c thì có hệ 9a + 3b + c = P ( 3) = 3 .

49a + 7b + c = P ( 7 ) = 31
Giải hệ được a = 1 , b = −3 , c = 3 .
Suy ra P ( x ) = x 2 − 3x + 3 nên P (10 ) = 102 − 3.10 + 3 = 73 .

CLB MathExpress – Hotline: 0868199115

Page 16