Đề 15 mã 102 l2 2021 đáp án

Đề số 15

Câu 1.

Câu 2.

MÃ 102-ĐỀ CHÍNH THỨC-L2-NĂM HỌC 2021 CỦA BGD

cho hai số phức z  4  3i và w  1  i . Số phức z  w bằng
A. 5  2i .
B. 7  i .
C. 3  4i .
Lời giải
Chọn C
z  w  4  3i  1  i   3  4i .

D. 3  4i .

Cho cấp số cộng  un  với u1  3 và u2  5 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. 2 .

B.

3
.
5

C.

5
.

3

D. 2.

Lời giải
Chọn D
Công sai của cấp số cộng bằng d  u2  u1  5  3  2 .
Câu 3.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y  5 .

B. y  1 .

5x 1
là đường thẳng có phương trình
x 1
C. y  5 .
D. y  1 .

Lời giải
Chọn A
5x  1
 5 suy ra
x 1
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là y  5 .

Do lim

x 

Câu 4.

Tập xác định của hàm số y  log 3  x  4  là
A.  ; 4 .

B.  4;   .

C.  4;   .

D.  ; 4  .

Lời giải
Chọn C
Điều kiện xác định của y  log3  x  4  là: x  4  0  x  4 .
Câu 5.

Cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao là h . Thể tích V của khối chóp đã cho được tính
theo cơng thức nào dưới đây?
1
4
A. V  Bh .
B. V  Bh .
C. V  Bh .
D. V  3Bh .
3
3
Lời giải
Chọn A
1

Cơng thức tính thể tích khối chóp là: V  Bh .
3

Câu 6.

Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị của hàm số y  x 3  x  2 ?
A. Điểm M 1;1 .

B. Điểm N 1; 2  .

C. Điểm P 1;3 .

D. Điểm Q 1;0  .

Lời giải
Chọn D
y 1  0  điểm Q 1;0  thuộc đồ thị của hàm số y  x 3  x  2 .
Câu 7.

Với n là số nguyên dương bất kì, n  3 , công thức nào dưới đây đúng?
HDedu - Page 1


A. Cn3 

 n  3 ! .
n!

B. Cn3 

3! n  3 !
n!

.

C. Cn3 

n!
.
 n  3 !

D. Cn3 

n!
.
3! n  3 !

Lời giải
Chọn D
Ta có Cn3 
Câu 8.

n!
.
3! n  3 !

Tập nghiệm của bất phương trình log 3  2 x   2 là
A.  0; 4  .

9


B.  ;    .
2


 9
C.  0;  .
 2

D.  4;    .

Lời giải
Chọn B
Ta có log 3  2 x   2  2 x  9  x 

9
.
2

9

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là  ;    .
2


Câu 9.

2

2

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  3  z 2  9 . Tâm của  S  có tọa dộ là
A. 1;  3;0  .

B. 1;3;0  .

C.  1;3;0  .

D.  1;  3;0  .

Lời giải
Chọn A
Tọa độ tâm mặt cầu  S  là 1;  3;0  .
Câu 10. Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình dưới đây?

A. y 

3x  1
.
x2

B. y  x 2  2 x .

C. y  2 x3  x 2 .

D. y   x 4  2 x 2 .

Lời giải
Chọn D
Đường cong đã cho không phải là đồ thị của hàm phân thức, cũng không phải là đồ thị của hàm đa

thức bậc hai, bậc ba. Do đó chỉ có phương án D là đúng.

 


Câu 11. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u  1; 2; 0  và v 1;  2;3 . Tọa độ của vectơ u  v là
A.  2; 4;  3 .

B.  2;  4;3 .

C.  0;0;3 .

D.  0;0;  3 .

Lời giải
HDedu - Page 2


Chọn C
 
 
Ta có: u  v   1  1; 2  2;0  3  u  v   0;0;3 .
Câu 12. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 1 .

B. 3 .

C. 0 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số xác định trên  và đạo hàm đổi dấu hai lần nên hàm số
đã cho có hai điểm cực trị.

Câu 13. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua O và nhận vectơ n   2;  1; 4  làm vectơ pháp tuyến
có phương trình là:
A. 2 x  y  4 z  1  0 .

B. 2 x  y  4 z  0 .

C. 2 x  y  4 z  0 .

D. 2 x  y  4 z  1  0 .
Lời giải

Chọn C


Mặt phẳng đi qua O  0;0;0  và nhận vectơ n   2;  1; 4  làm vectơ pháp tuyến có phương trình
2x  y  4z  0 .

Câu 14. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B  5a 2 và chiều cao là h  a. Thể tích của khối lăng trụ đã
cho bằng
5
5
5

A. a 3 .
B. 5a 3 .
C. a 3 .
D. a 3 .
3
6
2
Lời giải
Chọn B
Thể tích khối lăng trụ V  B.h  5a 2 .a  5a 3 .
Câu 15. Phần ảo của số phức z  3  4i bằng
A. 4 .
B. 3 .

C. 4 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn C
Phần ảo của số phức z  3  4i là 4 .
Câu 16. Điểm nào trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức z  2  i ?

HDedu - Page 3


A. Điểm Q .

C. Điểm N .

B. Điểm P .

D. Điểm M .

Lời giải
Chọn A
Điểm Q  2; 1 là điểm biểu diễn cho số phức z  2  i .
Câu 17. Đạo hàm của hàm số y  4 x là
A. y   x.4 x 1 .

B. y  4 x.ln 4 .

C. y 

4x
.
ln 4

D. y   4 x .

Lời giải
Chọn B
Ta có y   4 x   4 x.ln 4 .
Câu 18. Thể tích của khối cầu bán kính 2a bằng
4
32 3
a .
C. 32 a 3 .
A.  a 3 .
B.

3
3
Lời giải
Chọn B
4
32
Thể tích khối cầu tính bằng V   .r 3   a 3 .
3
3

D.

8 3
a .
3

Câu 19. Cho hàm hàm số y  f  x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  ; 2  .
B.  2; 2  .
C.  2;0  .

D.  0;   .

Lời giải
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2 
Câu 20. Cho hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l . Diện tích xung quanh S xq của hình nón
đã cho được tính theo cơng thức nào dưới đây?

4
A. S xq   rl .
B. S xq   rl .
C. S xq  4 rl .
D. S xq  2 rl .
3
Lời giải
Chọn B
Áp dụng cơng thức tính diện tích xunh quanh của hình nón S xq   rl .
Câu 21. Với mọi số thực a dương, log3  3a  bằng
HDedu - Page 4


A. 3log 3 a .

B. 1  log3 a .

C. log 3 a .

D. 1  log3 a .

Lời giải
Chọn D
Ta có: log3  3a   log3 3  log3 a  1  log3 a
Câu 22. Nghiệm của phương trình 5 x  2 là:
A. x  log 2 5.

2
C. x  .
5

B. x  log5 2.

D. x  5.

Lời giải
Chọn B
Ta có: 5 x  2  x  log 5 2 .
Câu 23. Cho hàm số f ( x)  2  cos x . Khẳng định nào dưới đây đúng?

 f ( x) dx  2 x  sin x  C .
C.  f ( x) dx   sin x  C .

 f ( x) dx  2 x  cosx  C .
D.  f ( x) dx  2 x  sin x  C .

A.

B.

Lời giải
Chọn A
Ta có:

 f ( x) dx    2  cos x dx  2 x  sin x  C .


Câu 24. Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua hai điểm M  2;1;3 và nhận vectơ u   2; 3; 4 

làm vetơ chỉ phương có phương trình là:

x  2 y 1 z  3
x2
A.
.
B.



3
2
4
2
x2 y3 z4
x2
C.
.
D.



2
1
3
2
Lời giải
Chọn A
x  2 y 1 z  3
Sử dụng phương trình chính tắc ta có:



3
2
4

y 1

3
y 1

3

z 3
.
4
z 3
.
4

Câu 25. Cho hàm số f  x   4 x3  2 . Khẳng định nào dưới đây đúng?
4

 f  x  dx  x  2 x  C .
C.  f  x  dx  12 x  C .
A.

3

 f  x  dx  4 x  2 x  C .
D.  f  x  dx  x  C .
B.

2

4

Lời giải
Chọn A
Ta có

 f  x  dx    4 x

3

 2  dx  x 4  2 x  C .

Câu 26. Cho hàm số f  x   ax 4  bx 2  c  a, b, c    có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực
tiểu của hàm số đã cho là

HDedu - Page 5


A. x  1 .

B. x  2 .

C. x  1 .

D. x  0 .

Lời giải

Chọn D
Dựa vào đồ thị ta thấy, điểm cực tiểu của hàm số là x  0 .
1

Câu 27. Nếu

3

3

 f  x  dx  5 và  f  x  dx  2 thì  f  x  dx bằng
0

0

1

A. 10 .

B. 3 .

C. 3 .

D. 7 .

Lời giải
Chọn D
3

Ta có


0

1

3

f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  5  2  7 .
0

1

Câu 28. Cho f là hàm số liên tục trên đoạn 1;2 . Biết F là nguyên hàm của f trên đoạn 1;2 thỏa mãn
2

F 1  2 và F  2   3 . Khi đó

 f  x  dx bằng
1

A. 5 .

B. 1.

C. 1 .

D. 5.

Lời giải

Chọn D
2

Ta có

 f  x  dx  F  2   F 1  3   2   5 .
1

Câu 29. Cho hình lập phương ABCD. ABC D có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ C
đến mặt phẳng  BDDB  bằng

A.

3a .

B.

2
a.
2

C.

3
a.
2

D.

2a .

HDedu - Page 6


Lời giải
Chọn B

Gọi O trung điểm BD ta có CO  BD 1 .
Mặt khác, do . ABCD. ABC D . là hình lập phương nên BB   ABCD   BB  CO  2  .
Từ 1 và  2  suy ra CO   BDDB  , hay d  CO,  BDDB    CO .
Do ABCD. ABC D là hình lập phương cạnh a nên AC  2a .
Do đó CO 

1
2
AC 
a.
2
2

Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2; 1 và mặt phẳng  P  : 2 x  y  3z  1  0 .
Mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng  P  có phương trình là:
A. 2 x  y  3z  7  0 .
C. 2 x  y  3 z  1  0 .

B. 2 x  y  3 z  7  0 .
D. 2 x  y  3 z  1  0 .

Lời giải
Chọn A

Vì mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng  P  nên có 1 VTPT là n   2;1; 3 .
Phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng  P  là:

2  x  1   y  2   3  z  1  0  2 x  y  3z  7  0
Câu 31. Với a  0 , đặt log 2  2a   b , khi đó log 2  4a 3  bằng
A. 3b  5 .

C. 3b  2 .

B. 3b .

D. 3b  1 .

Lời giải
Chọn D
Ta có: log 2  2a   b  1  log 2 a  b suy ra log 2 a  b  1
Khi đó: log 2  4a 3   log 2 4  log 2 a 3  2  3log 2 a  2  3(b  1)  3b  1 .
Câu 32. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp gồm 17 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn
được hai số chẵn bằng
7
9
9
8
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
34
34
17
17
Lời giải
Chọn A
 Ta có: Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp gồm 17 số nên n     C172 .
 Gọi A :” là biến cố chọn được hai số chẵn” ta có n  A  C82 .

 Khi đó P  A 

C82
7

2
C17 34
HDedu - Page 7


Câu 33. Cho số phức z  4  2i , môđun của số phức 1  i  z bằng
A. 2 10 .

B. 24 .

C. 2 6 .

D. 40 .

Lời giải

Chọn A

z  4  2i  1  i  z  2  6i  1  i  z  22  62  2 10 .
Câu 34. Trên đoạn  4; 1 , hàm số y   x 4  8 x 2  19 đạt giá trị lớn nhất tại điểm
A. x  3 .

B. x  2 .

C. x  4 .
Lời giải

D. x  1 .

Chọn B
Ta có y  4 x3  16 x  4 x  4  x 2 

 x  0   4; 1

y '  0   x  2   4; 1

 x  2   4; 1
Ta có y  4   147; y  2   3; y  1  12 .
Vậy max y  y  2   3 , khi x  2
4;1

Câu 35. Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình sau). Góc giữa hai đường
thẳng SB và CD bằng

A. 60 .

B. 90 .

C. 45 .
Lời giải

D. 30 .

Chọn A
Do hình chóp có các cạnh bằng nhau nên SAB đều.

  60
; SB  
AB; SB  SBA
Ta có: CD //AB  CD



 



Câu 36. Trong không gian Oxy , cho hai điểm M 1;1; 1 và N  3;0; 2  . Đường thẳng MN có phương
trình là:
x  1 y  1 z 1
A.
.


4
1

1

B.

x 1 y 1 z  1
.


2
1
3

HDedu - Page 8


C.

x 1 y 1 z  1
.


4
1
1

D.

x 1 y 1 z 1
.



2
1
3

Lời giải
Chọn B


Đường thẳng MN có vectơ chỉ phương là MN   2; 1;3 .
Vậy phương trình đường thẳng MN đi qua điểm M 1;1; 1 và có vectơ chỉ phương

x 1 y 1 z 1
MN   2; 1;3 là:
.


2
1
3
Câu 37. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên  ?
A. y  x3  4 x .

B. y  x 3  4 x .

C. y  x 4  2 x 2 .

D. y 

4x 1

.
x 1

Lời giải
Chọn A
Hàm số y  x 3  4 x có tập xác định là D   và có đạo hàm y  3x 2  4  0, x  D
Nên hàm số đồng biến trên  .
2

Câu 38. Nếu


0

2

f  x dx  2 thì   2 x  f  x  dx bằng
0

B. 8 .

A. 2 .

C. 6 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn A
2

2

2

 2 x  f  x dx   2 xdx   f  x dx  4  2  2 .
0

0

0

Câu 39. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  1;6 và có đồ thị là đường gấp khúc ABC như hình
bên dưới.

Biết F là nguyên hàm của f thỏa mãn F  1  2 . Giá trị của F  4   F  6  bằng
A. 3 .

C. 8 .

B. 4 .

D. 5 .

Lời giải
Chọn A

HDedu - Page 9

Dựa vào hình vẽ ta có
6

F  6   F 1 

 f  x  S

1

1
4

F  4   F 1 

 f  x  S

1

1

1
1
 S 2  S3  3.1  .2.1  .2.1  3  F  6   3  F 1  1 .
2
2
1
 S 2  3.1  .2.1  4  F  4   4  F 1  2 .
2

F  4   F  6  2  1  3

Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn log3  x 2  1  log3  x  21  . 16  2 x 1   0 ?
A. 17 .
B. 18 .
C. 16 .
D. Vô số.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: x  21

 * .

 Trường hợp 1: Ta có

log 3  x 2  1  log 3  x  21  0


x 1
16

2

0


log 3  x 2  1  log3  x  21
 x 1
4
2  2

  x  4

 x 2  1  x  21  x 2  x  20  0  
 x  4


  x  5  
.
x  5
x 1  4
x  5
x  5

 21  x  4
Kết hợp với điều kiện * ta có 
1 .
x  5
 Trường hợp 2: Ta có

log 3  x 2  1  log 3  x  21  0
log 3  x 2  1  log3  x  21


x 1
x 1
4
16  2  0
2  2

 x 2  1  x  21  x 2  x  20  0 4  x  5




 x5
x  5
x 1  4
x  5

 2

(thỏa mãn).

 21  x  4
Từ 1 và  2  ta suy ra các giá trị x thỏa mãn bất phương trình đã cho là 
.
x  5
Vì x  nên ta có x  20; 19;...; 5; 4;5 .
Vậy tất cả có 18 số nguyên x thỏa mãn đề bài.
Câu 41. Cho hàm số f  x   ax 4  bx3  cx 2 ,  a, b, c    . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình bên.

HDedu - Page 10


Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 3 f  x   4  0 là
A. 1 .

C. 3 .

B. 2 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn B

x  m  0
Ta có f  0   0 và hệ số a  0 . Từ đồ thị của y  f   x  ta có f   x   0   x  0
.
 x  n  0

Từ đây ta có bảng biến thiên của y  f  x  như sau

Xét phương trình 3 f  x   4  0  f  x  

4
từ bảng biến thiên của hàm số y  f  x  ta có
3

phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 42. Cắt hình trụ T  bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a , ta được
thiết diện là một hình vng có diện tích bằng 16a 2 . Diện tích xung quanh của T  bằng

HDedu - Page 11


A.

16 13 2
a .
3

B. 4 13 a 2 .

C.

8 13 2
a .
3

D. 8 13 a 2 .

Lời giải
Chọn D

Gọi  P  là mặt phẳng song song với trục OO .
Theo giả thiết: Mặt phẳng  P  cắt hình trụ T  theo thiết diện là hình vng ABCD .
Khi đó, diện tích của hình vng S ABCD  16a 2  AB  CD  4a .
 OI  AB
Gọi I là trung điểm AB  
 OI   ABCD  . Do đó OI  3a .
OI  AD
Lại có: r  OA  OI 2  IA2  9a 2  4a 2  a 13 .
Diện tích xung quanh của hình trụ T  bằng: S xq  2 OA. AD  2 a 13.4a  8 13 a 2 .
Câu 43. Xét các số phức z và w thay đổi thoả mãn z  w  4 và z  w  4 2 . Giá trị nhỏ nhất của

P  z  1  i  w  3  4i bằng
A.

41 .

B. 5  2 2 .

C. 5  2 .

D. 13 .

Lời giải
Chọn D
Gọi M và N là các điểm biểu diễn số phức z và w .

 z  w  4
Theo giả thiết 
nên ta suy ra M và N nằm trên đường tròn  C  tâm O  0;0  bán
z

w

4
2

kính R  4 và độ dài MN  4 2 .

HDedu - Page 12


 
Vậy suy ra tam giác OMN vuông cân tại O suy ra OM  ON  OM .ON  0 .



Đặt z  a  bi  M  a; b   OM   a; b   ON   b;  a  hoặc ON   b; a  .
Vậy ta có w  b  ai  iz hoặc w  b  ai  iz .

Xét 2 trường hợp.
TH1: w  b  ai  iz ta có:

P  z  1  i  w  3  4i  z  1  i  iz  3  4i  z  1  i   z  3i  4
 z  1  i    z  3i  4   13 .

TH2: w  b  ai  iz ta có:

P  z  1  i  w  3  4i  z  1  i  iz  3  4i  z  1  i  z  3i  4
z  1  i   z  3i  4  z  1  i    z  3i  4   5  4i  41 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P  13 .
Xác định z để P đạt giá trị nhỏ nhất:
Gọi A 1;1 , B  4;3 khi đó giá trị nhỏ nhất của P  13 xảy ra khi M  AB   C  và nằm giữa A

và B .

Câu 44. Cho hàm số f  x   ax 4  bx3  cx 2  3x và g  x   mx3  mx 2  x với a, b, c, m, n   . Biết hàm
số y  f  x   g  x  có ba điểm cực trị là 1; 2;3 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường

y  f   x  và y  g   x  bằng
A.

32
.
3

B.

71

.
9

71
.
6
Lời giải

C.

D.

64
.
9

Chọn B
Ta có: f   x   4ax3  3bx 2  2cx  3; g   x   3mx 2  2nx  1
Khi đó: f   x   g   x   4ax3   3b  3m  x 2   2c  2n  x  4
HDedu - Page 13


Do hàm số y  f  x   g  x  có ba điểm cực trị là 1; 2;3 nên ta suy ra a  0 và

f   x   g   x   4a  x  1 x  2  x  3
1
2
. Suy ra f   x   g   x    x  1 x  2  x  3
6
3

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y  f   x  và y  g   x  bằng

Ta có: f   0   g   0   24a  4  a 

3

S

2
71
 3  x  1 x  2  x  3 dx  9 .

1

Câu 45. Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho tồn tại số thực x  1;5  thỏa mãn
4  x  1 e x  y  e x  xy  2 x 2  3 ?

A. 14 .
Chọn B

B. 12 .

C. 10 .

D. 11 .

Phương trình đã cho tương đương 4  x  1 e x  y  e x  xy  2 x 2  3  0.
Xét hàm số f  x   4  x  1 e x  y  e x  xy  2 x 2  3 ta có
f   x   4e x  4  x  1 e x  y  e x  y  4 x   4 xe x  y  e x  y  4 x    e x  y   4 x  y  .

+ TH1. Nếu 0  y  4, ta có bảng biến thiên

Với f 1   y  e  y  5  và
f  5   16e5  y  e5  5 y  53   e5 16  y   y  53  y   0, y  4.

Ycbt được thỏa mãn khi f 1  0   y  e  y  5  0  e  y  5  0  y  5  e.
Do y  * và y  4 nên y  3; 4 .
+ TH2. Nếu y  20, ta có bảng biến thiên

Ta thấy f 1   y  e  y  5   0, y  * , y  20 (không thỏa mãn ycbt).
+ TH3. Nếu 4  y  20, ta có bảng biến thiên

HDedu - Page 14


Ta thấy f 1  t  e  y  5   0, y   4;20  .
Khi đó ycbt được thỏa mãn khi f  5   0  16e5  y  e5  5 y  53   0
 5 y 2   e5  53  y  16e5  0  5 y 2   e5  53  y  16e5  0

53  e5 


e

5

2

 53  320e5

10

53  e5 
 y

e

5

2

 53  320e5

10

.

Do y  * và y  4 nên y  5;6;;14 .
Kết hợp các trường hợp, ta thu được y  3;4;5;6;14 .
Vậy có 12 giá trị nguyên của y thỏa mãn yêu cầu bài toán.
x 1 y z  1
.
 
1
2
1
Đường thẳng qua A cắt trục Oy và vng góc với d có phương trình là

Câu 46. Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A  3;1;1 và đường thẳng d :

x  3  t

A.  y  1  t .
z  1 t


 x  1  t

B.  y  4  2t .
 z  3  3t


 x  3  3t

C.  y  1  t .
z  1 t


 x  3  3t

D.  y  5  2t .
 z  1  t


Lời giải
Chọn D


d có vectơ chỉ phương u  1; 2;1 . Gọi  là đường thẳng cần tìm.


Gọi B  0; b;0     Oy , khi đó BA   3;1  b;1 .
 
d    BA.u  0  3  2  2b  1  0  b  3 .

 nhận BA   3; 2;1 làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm A  3;1;1 nên có phương trình là

 x  3  3t

 y  1  2t .
z  1 t

Cho t  2 , ta được M  3;5; 1   .

 x  3  3t

Nên phương trình  có thể viết là:  y  5  2t .
 z  1  t

Câu 47. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có cạnh bên bằng 4a , góc giữa hai mặt phẳng
 ABC  và  ABC  bằng 30 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

HDedu - Page 15


A. 64 3a3 .

B.

64 3 3
a .

3

64 3 3
a .
27
Lời giải

C.

D.

64 3 3
a .
9

Chọn A

A'

C'
B'

A

C

30o
M

B

+ Gọi M là trung điểm cạnh BC .
 AMA
+ Khi đó dễ thấy:   ABC  ,  ABC    
suy ra 
AMA  30 .
+ Xét tam giác AAM là tam giác vng tại A , do đó: AM  AA.cot 30
 AM  4a 3 .
+ Tam giác ABC đều nên: AM 

2 AM
AB 3
 AB 
 8a .
2
3

+ Từ đó, diện tích tam giác ABC là SABC 

 8a 

2

3

4

 16a 2 3 .

+ Vậy thể tích khối lăng trụ là VABC . ABC   4a.16a 2 3  64a3 3 .
Câu 48. Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2  4az  b 2  2  0 ( a, b là các tham số thực). Có

bao nhiêu cặp số thực  a; b  sao cho phương trình đó có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn
z1  2iz2  3  3i ?
A. 4 .

B. 1.

C. 2 .

D. 3 .

Lời giải
Chọn D
 z1  3

 Trường hợp 1: z1 và z2 là hai nghiệm thực. Ta có: z1  2iz2  3  3i  
3.
 z 2  2

Khi đó: 4a  z1  z2  3 

3
9
3
10
 a   và b 2  2  z1.z2  3.  b  
.
2
2
2
8

 9
10   9 10  
Như vậy, trường hợp 1 có :  a; b     ; 
;  ;
 .
2   8 2  
 8
 Trường hợp 2: z1 và z2 là hai nghiệm phức. Đặt: z1  x  yi thì z2  x  yi

 x  2 y  3  x  1  z1  1  i


Ta có: z1  2iz2  3  3i  x  yi  2i  x  yi   3  3i  
.
 2 x  y  3  y  1  z2  1  i

HDedu - Page 16


1
và b 2  2  z1.z2  2  b  0 .
2
 1 
Như vậy, trường hợp 2 có :  a; b     ;0  .
 2 

Khi đó: 4a  z1  z2  2  a  

 Vậy có 3 cặp số thực  a; b  thỏa mãn ycbt.

Câu 49. Cho hàm số f  x   x 4  12 x3  30 x 2   3  m  x , với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của m để hàm số g  x   f  x  có đúng 7 điểm cực trị ?
A. 25.

B. 27.

C. 26.

D. 28.

Lời giải
Chọn B
Hàm số f  x  xác định trên  và có đạo hàm f   x   4 x3  36 x 2  60 x  3  m .
Ta thấy f   x   0  4 x3  36 x 2  60 x  3  m

(1)

Hàm số g  x   f  x  có đúng 7 điểm cực trị khi và chỉ khi f   x  có ba nghiệm phân biệt
dương.
x  1
Đặt h  x   4 x3  36 x 2  60 x  3 , ta có h  x   12 x 2  72 x  60; h  x   0  
 x  5.
Bảng biến thiên của hàm số h  x  :
x

0



+

+

h'(x)

1

5

0

0

+
+
+

31
h(x)

3
97



Phương trình (1) là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y  h  x  và đường thẳng
y  m . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt dương khi và chỉ

khi m   3;31 . Kết hợp giả thiết m nguyên ta được m  4;5;6;...;30 . Vậy có 27 giá trị m thỏa
mãn.

2

2

2

Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  2    y  3   z  1  1 . Có bao nhiêu điểm M
thuộc  S  sao cho tiếp diện của  S  tại điểm M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm

A  a;0;0  , B  0; b;0  mà a, b là các số nguyên dương và 
AMB  90o ?
A. 4 .

B. 1.

C. 3 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn D

HDedu - Page 17


I

B
M
A

 S  có tâm I  2;3;1 , bán kính R  1 .
Do mặt phẳng  MAB  ( M không trùng với
của  S  tại M  IM   MAB  .
2

2

A hoặc B vì d  I , Ox   1; d  I , Oy   1 ) là tiếp diện

2

2

Ta có IA2   a  2   10; IB 2   b  3  5  MA2   a  2   9; MB 2   b  3  4 .
2
2
Vì 
AMB  900  MA2  MB 2  AB 2   a  2   9   b  3  4  a 2  b 2 .

 a  5

b  1
*
. Suy ra có hai cặp điểm A, B .
 2a  3b  13 . Do a, b    
 a  2

 b  3

Thử lại, có hai tiếp diện của  S  thỏa mãn  có hai điểm M thỏa ycbt.

HDedu - Page 18