Báo cáo BTL Mặt tham số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
Báo cáo Bài tập lớn môn Giải tích 2

MẶT THAM SỐ
Giảng viên hướng dẫn: ThS. Đồn Thị Thanh Xuân

Nhóm 9 – Lớp L15_HK 212
MSSV
2111009
2110677
2111045
2113110
2113222

Họ và tên
Nguyễn Đức Đạt
Tô Minh Vũ
Nguyễn Hải Đăng
Phan Thị Xuân Đào
Nguyễn Minh Đức

TPHCM, ngày 15 tháng 4 năm 2022


Giới thiệu
Chúng ta đã định nghĩa đường cong trong mặt phẳng Oxy bằng các cách khác
nhau như
y = f (x)
F(x, y) = 0

 x = x(t)
,a  t  b
Phương trình tham số 
y
=
y(t)

Trong khơng gian Oxyz, ta cũng đã biết một số mặt cong có thể biêu diễn dưới
nhiều các khác nhau như

Hàm số
Hàm ẩn

z = f (x, y)
Hàm số
F(x, y, z) = 0
Hàm ẩn
Tương tự như phương trình tham số trong mặt phẳng thì ta cũng có phương trình
tham số cho mặt cong trong hệ trục tọa độ Oxyz. Nó chỉ ra vị trí của các điểm trên một
mặt cong bằng một hàm vector. Ta sẽ tìm hiểu sâu hơn trong bài báo cáo này.

2


Mục lục
GIỚI THIỆU ...................................................................................................................... 1
MỤC LỤC .......................................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1. MẶT THAM SỐ ......................................................................................... 4
I. Định nghĩa .................................................................................................................................. 4
II. Ví dụ .......................................................................................................................................... 4

CHƯƠNG 2. MẶT TRÒN XOAY ................................................................................. 12
I. Định nghĩa ................................................................................................................................ 12
II. Ví dụ ........................................................................................................................................ 12

CHƯƠNG 3. TIẾP DIỆN CỦA MẶT THAM SỐ ........................................................ 14
I. Định nghĩa ................................................................................................................................ 14
II. Ví dụ ........................................................................................................................................ 15

CHƯƠNG 4. DIỆN TÍCH MẶT THAM SỐ ................................................................ 21
I. Định nghĩa ................................................................................................................................ 21
II. Ví dụ ........................................................................................................................................ 22

CHƯƠNG 5. DIỆN TÍCH CỦA MẶT CONG ĐỒ THỊ HÀM SỐ ............................. 25
I. Định nghĩa ................................................................................................................................ 25
II. Ví dụ ........................................................................................................................................ 25

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................... 29

3


Chương 1. Mặt tham số
I. Định nghĩa
Cũng giống như ta mô tả đường cong trong không gian bằng hàm vector r(t) theo
tham số t, ta mô tả một mặt bằng một hàm vector r(u, v) theo tham số u và v. Ta giả sử
rằng
r (u, v) = x(u, v)i + y(u, v) j + z(u, v)k

Là hàm vector 3 chiều theo 2 biến số (u, v) có tập xác định là D  2 , thì tập hợp

các điểm (x, y ,z) có vector vị trí là r(u, v) và (u, v)  D được gọi là mặt tham số S, với

 x = x(u, v)

 y = y(u, v)
z = z(u, v)


(u, v)  D

II. Ví dụ
1. Xác định các điểm P và Q có nằm trên mặt phẳng được cho không
a) r(u, v) = 2u + 3v,1 + 5u − v, 2 + u + v , P(7,10, 4), Q(5, 22,5)
b) r(u, v) = u + v, u 2 − v, u + v 2 , P(3, −1,5), Q(−1,3, 4)
Lời giải.
a) Phương trình tham số của mặt S là

 x = 2u + 3v

 y = 1 + 5u − v
z = 2 + u + v

Với điểm P(7,10, 4) , ta giải hệ sau

4


 x = 2u + 3v = 7

 y = 1 + 5u − v = 10

z = 2 + u + v = 4

Hệ này vơ nghiệm, do đó P(7,10, 4)  S
Với điểm Q(5, 22,5) , ta giải hệ sau

 x = 2u + 3v = 5

 y = 1 + 5u − v = 22
z = 2 + u + v = 5

Hệ này có nghiệm (u, v) = (4, −1) , do đó Q(5, 22,5)  S
b) Phương trình tham số của mặt S là

x = u + v

2
y = u − v
z = u + v 2

Với điểm P(3, −1,5) , ta giải hệ sau

x = u + v = 3

2
 y = u − v = −1
z = u + v 2 = 5

Hệ này có nghiệm (u, v) = (1, 2) , do đó P(3, −1,5)  S
Với điểm Q( −1,3, 4) , ta giải hệ sau

 x = u + v = −1

2
y = u − v = 3
z = u + v 2 = 4

Hệ này vơ nghiệm, do đó Q(−1,3, 4)  S

2. Nhận dạng mặt có phương trình vector được cho
a) r (u, v) = (u + v)i + (3 − v) j + (1 + 4u + 5v)k

5


b) r (u, v) = (2 sin u)i + (3 cos u ) j + vk
c) r(s, t) = s, t, t 2 − s2
d) r(s, t) = s sin 2t,s 2 ,s cos 2t
Lời giải.
a) Phương trình tham số của mặt S là

(1)
x = u + v

(2)
y = 3 − u
z = 1 + 4u + 5v (3)

Ta có: (2)  u = 3 − y , thay u vào (1), ta được v = x + y − 3

Thay cả u và v vào (3), ta được z = 1 + 4(3 − y) + 5(x + y − 3)  5x + y − z − 2 = 0

Vậy mặt S là mặt phẳng có phương trình (P) : 5x + y − z − 2 = 0

 x = 2 sin u (1)

b) Phương trình tham số của mặt S là  y = 3 cos u (2)
z = v
(3)


6


x 2 y2
x
y
+
= 1 là phương trình đường elip
Ta có: = sin u và = cos u . Suy ra
4
9
2
3
Do đó, mặt S là một mặt trụ elip
c) Phương trình tham số của mặt S là

x = s
(1)

(2)
y = t

z = t 2 − s 2 (3)


Ta thấy z = y2 – x2 nên S là mặt paraboloid hyperbolic
d) Phương trình tham số của mặt S là

 x = s sin 2t (1)

2
(2)
y = s
z = s cos 2t (3)


Ta thấy x 2 + z 2 = s2 = y . Do đó, S là mặt paraboloid eliptic

7


3) Tìm biểu diễn tham số của mặt dưới đây.
a) Mạt phẳng qua gốc tọa độ chứa các vector i − j và j − k.
b) Mặt phẳng đi qua điểm (0, −1, 5) và chứa các vector ⟨2, 1, 4⟩ và ⟨−3, 2, 5⟩.
c) Một phần của mặt hyperbloid 4x2 − 4y2 − z2 = 4 nằm ở phía trước của mặt
phẳng Oyz.
d) Một phần của mặt ellipsoid x2 + 2y2 + 3z2 = 1 nằm bên trái mặt phẳng Oxz.
e) Một phần của mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4 nằm phía trên mặt nón z = x 2 + y2 .
f) Một phần của mặt cầu x2 + y2 + z2 = 16 nằm giữa các mặt phẳng z = −2 và z = 2.
g) Một phần của mặt trụ y2 + z2 = 16 nằm giữa các mặt phẳng x = 0 và x = 5.
h) Một phần của mặt phẳng z = x + 3 nằm bên trong mặt trụ x2 + y2 = 1.
Lời giải.

a) Cho hai điểm P0(x0, y0, z0) và P trong mặt phẳng. Ta có thể biểu diễn
P0 P = ua + vb , với a, b là các vector chỉ phương trong mặt phẳng và u, v là các số thực.
Nếu r là vector vị trí của P thì

r (u, v) = OP0 + P0 P = r0 + ua + vb
Với a = a1 , a 2 , a 3 , b = b1 , b 2 , b3 và r0 = ⟨x0, y0, z0⟩
Mặt phẳng chứa vector i − j và j – k và vector 0 do mặt phẳng đi qua gốc tọa độ
Do đó, r(u, v) = 0, 0, 0 + u 1, −1, 0 + v 0,1, −1 = u, v − u, −v
b) Mặt phẳng chứa vector ⟨2, 1, 4⟩ và ⟨−3, 2, 5⟩ và vector ⟨0, −1, 5⟩ do đi qua điểm
(0, −1, 5)
Do đó, r(u, v) = 0, −1,5 + u 2,1, 4 + v −3, 2,5 = 2u − 3v, u + 2v − 1, 4u + 5v + 5
c) Do mặt S nằm phía trước mặt phẳng Oyz nên x > 0. Suy ra: x = 1 + y 2 +

v2
Đặt y = u, z = v. Suy ra x = 1 + u +
4
2

8

z2
4


Ta có: r (u, v) =

1+ u2 +

v2
, u, v

4

d) Do mặt S nằm phía bên trái mặt phẳng Oxz nên y < 0. Suy ra:

1 x 2 3z 2
y=
− −
2 2
2
1 u 2 3v 2
Đặt x = u, z = v. Suy ra y =
− −
2 2
2
1 u 2 3v 2
−
−
,v
Ta có: r (u , v) = u ,
2 2
2
e) Sử dụng hệ tọa độ cầu để tham số hóa mặt cầu

 x = 2 cos u sin v

 y = 2sin u sin v
z = 2 cos v

Thay z = x 2 + y2 vào phương trình mặt cầu x 2 + y2 + z 2 = 4 . Ta được

x 2 + y2 = 2  sin 2 v =

1

3
. Từ đó, suy ra  v 
2
4
4

Vậy phương trình tham số của mặt S là

 x = 2 cos u sin v

3 


 y = 2sin u sin v  0  u  2,  v  
4
4 

z = 2 cos v

f) Sử dụng hệ tọa độ cầu để tham số hóa mặt cầu

 x = 4 cos u sin v

 y = 4sin u sin v
z = 4 cos v


Thay các giá trị z vào phương trình mặt cầu x2 + y2 + z2 = 16, ta được
3

2
x 2 + y 2 = 12  sin 2 v = . Từ đó, suy ra  v 
4
3
3
Vậy phương trình tham số của mặt S là
9


 x = 4 cos u sin v

2 


 y = 4sin u sin v  0  u  2,  v 

3
3 

z = 4 cos v

g) Sử dụng hệ tọa độ trụ tham số hóa mặt trụ

x = v

 y = 4 cos u ( 0  u  2, 0  v  5)
z = 4 sin u


h) Khi chiếu vng góc mặt cong S xuống mặt phẳng Oxy, ta được hình trịn. Do
đó, ta tham số hóa

 x = u cos v
(0  u  1, 0  v  2)

y
=
u
sin
v

Mặt khác z = x + 3 = u cos v + 3
Do đó, phương trình tham số của mặt S là

 x = u cos v

( 0  u  1, 0  v  2 )
 y = u sin v
z = u cos v + 3


4) Find a parametric representation for the torus obtained by rotating about the zaxis the circle in the xz-plane with center (b, 0, 0) and radius a < b. [Hint: Take as
parameters the angles θ and α shown in the figure.]

10


Solution.

If we rotate a point (x, 0, z) about the z-axis, we will get a circle in a plane that
parallel to the xy plane and the circle’s radius will be x
We can parameterize this equation of circle by (x cos , y sin , z)
Back to the problem, we subtitute the x = y = p(α) and z = q(α) because the
intersection of the torus and the xz-plane is a circle with center (b,0,0) and radius a. So
p() = b + a cos 

q() = a sin 
Therefore, the parametric equation of the torus is

 x = (b + a cos ) cos 

 y = (b + a cos ) sin  (a  b, 0    2, 0    2)
z = a sin 


11


Chương 2. Mặt tròn xoay
I. Định nghĩa
Khi ta xoay đường cong của hàm số y = f (x), a  x  b với f (x)  0 quanh trục
Ox ta được một mặt cong S. Mặt S này được gọi là mặt trịn xoay. Phương trình tham số
của mặt S là
y = f (x) cos 
z = f (x)sin 
( a  x  b, 0    2 )
Ta có thể chứng minh cơng thức trên như

x=x

sau:
Nếu ta nhìn mặt S theo phương trục Ox,
ta sẽ thấy khối tròn xoay này là các đường tròn
xếp chồng lên nhau, có bán kính khác nhau tùy
theo giá trị của f(x). Do đó, phương trình của
đường trịn khi nhìn từ trục Ox là
y2 + z 2 = f 2 (x) . Tham số hóa đường trịn, ta đặt

 y = f (x) cos 
như sau: 
(0    2) . Vậy ta đã
z = f ( x ) sin 
chứng minh được cơng thức của mặt trịn xoay
dạng tham số
II. Ví dụ
1. Tìm phương trình tham số của mặt S được tạo bằng cách quay
đường cong của đồ thị hàm số y = f (x) = 1/(1 + x 2 ), −2  x  2
quanh trục Ox. Sử dụng nó để vẽ mặt S đó
Lời giải.
Từ cơng thức trên, ta suy ra phương trình
tham số của mặt cong S là:

cos 
sin 
z=
2
1+ x2
1+ x
( −2  x  2,0    2 )

Từ phương trình của mặt cong S ở trên, ta
dùng phần mềm CalcPlot 3D để vẽ đồ thị
(hình trái) và mặt cong S (hình phải)
x=x

y=

12


2. Tìm phương trình tham số của mặt S được tạo bằng cách quay đường cong của
đồ thị hàm số x = f (y) = 1/y, x  2 quanh trục Ox. Sử dụng nó để vẽ mặt S đó
Lời giải.
Từ cơng thức trên, ta suy ra phương trình tham số của mặt cong S là:

x=

cos 
y

y=y

z=

sin 
y

( y  1,0    2 )
Từ phương trình của mặt cong S ở trên, ta dùng phần mềm CalcPlot 3D để vẽ đồ thị
(hình trái) và mặt cong S (hình phải)

13


Chương 3. Tiếp diện của mặt tham số
I. Định nghĩa
Ta đi tìm tiếp diện của mặt tham số được cho bởi hàm vector:
r (u, v) = x(u, v)i + y(u, v) j + z(u, v)k

tại điểm P0 ứng với r(u 0 , v0 ) . Nếu ta coi u = u 0 là hằng số thì r(u 0 , v) là một hàm vector
theo tham số v. Hàm này xác định lưới đường cong C1 trên mặt S (xem hình dưới).
Vector tiếp tuyến của C1 tại điểm P0 được xác định bằng cách lấy đạo hàm riêng của r
theo biến v

rv =

x
y
z
(u 0 , v0 )i + (u 0 , v0 ) j + (u 0 , v0 )k
v
v
v

Tương tự, ta cũng coi v = v0 là hằng số thì r(u, v0 ) là một hàm vector theo tham
số u. Hàm này xác định lưới đường cong C2 trên mặt S (xem hình trên). Vector tiếp
tuyến của C2 tại điểm P0 được xác định bằng cách lấy đạo hàm riêng của r theo biến u

ru =

x
y
z
(u 0 , v0 )i + (u 0 , v0 ) j + (u 0 , v0 )k
u
u
u

Nếu tích có hướng ru  rv khác 0 u, v thì mặt S được gọi là ‘mượt’. Mặt phẳng
tiếp diện tại điểm P0 của mặt ‘mượt’ chứa hai vector chỉ phương ru và rv , có vector pháp
tuyến chính là tích có hướng ru  rv

14


i
x
ru  rv =
u
x
v

j
y
u
y
v

k
z  y z y z   x z x z   x y x y 

=   −  i +   −   j+   −  k
u  u v v u   v u u v   u v v u 
z
v

II. Ví dụ
1. Tìm các phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt tham số được cho tại
điểm được định rõ:
a) x = u + v, y = 3u 2 , z = u − v, (2,3,0)
b) x = u 2 + 1, y = v3 + 1, z = u + v, (5,2,3)
c) r (u, v) = (u cos v)i + (u sin v) j + vk , u = 1, v =


3

d) r (u, v) = (sin u)i + (cos u sin v) j + (sin v)k , u =



,v =
6
6

Lời giải.
a)
Ta tìm các vector chỉ phương của mặt tham số S

x
y
z


r
=
i
+
j
+
k = i + 6uj + k
u

u
u
u

r = x i + y j + z k = i − k
 v v v
v

ru (1,1) = i + 6 j + k
Điểm P0 (2,3,0) ứng với u = 1 và v = 1. Suy ra 
rv (1,1) = i − k
Vector pháp tuyến của mặt tiếp diện là

i j k
ru  rv = 1 6 1 = −6i + 2 j − 6k
1 0 −1
Mặt phẳng tiếp diện tại điểm P0 (2,3,0) của mặt S là

15

−6(x − 2) + 2(y − 3) − 6(z − 0) = 0

3x − y + 3z − 3 = 0
b)
Ta tìm các vector chỉ phương của mặt tham số S

x
y
z

r
=
i
+
j
+
k = 2ui + k
u

u
u
u

r = x i + y j + z k = 3v 2 j + k
 v v v
v

ru (2,1) = 4i + k
Điểm P0 (5, 2,3) ứng với u = 2 và v = 1. Suy ra 

rv (2,1) = 3j + k
Vector pháp tuyến của mặt tiếp diện là

i j k
ru  rv = 4 0 1 = −3i − 4 j + 12k
0 3 1
Mặt phẳng tiếp diện tại điểm P0 (2,3,0) của mặt S là

−3(x − 5) − 4(y − 2) + 12(z − 3) = 0

3x + 4y − 12z + 13 = 0
c)
Ta tìm các vector chỉ phương của mặt tham số S

x
y
z

ru = u i + u j + u k = (cos v)i + (sin v) j

r = x i + y j + z k = −(u sin v)i + (u cos v) j + k
v
v v
v


   1
3
j
ru 1,  = i +

1 3 
2
  3 2
,  ứng với u = 1 và v = π/3. Suy ra 
Điểm P0  ,
2 2 3
r 1,   = − 3 i + 1 j + k
 v  3 
2
2
Vector pháp tuyến của mặt tiếp diện là

16


ru  rv =
−

i

j

1
2

3
2
1
2

3
2

k
0 =

3 1
i − j+k
2
2

1

1 3 
,  của mặt S là
Mặt phẳng tiếp diện tại điểm P0  ,
2
2
3


3
1 1
3 

+z −  = 0
x − − y−
2 
2 2
2  

3


3x 3 − 3y + 6z − 2 = 0

d)
Ta tìm các vector chỉ phương của mặt tham số S

x
y
z

ru = u i + u j + u k = (cos u)i − (sin u sin v) j

r = x i + y j + z k = (cos u cos v) j + (cos v)k
v
v v
v


  
3 1
i− j
ru  ,  =
1 3 1
4
 6 6 2
,  ứng với u = π/6 và v = π/6. Suy ra 
Điểm P0  ,
2 4 2

r   ,   = 3 j + 3 j
 v  6 6  4
2
Vector pháp tuyến của mặt tiếp diện là

i
ru  rv =

3
2
0

j
1
4
3
4

−

k
0 =−

3
3 3 3
i − j+
k
8
4
8

3
2

1 3 1
,  của mặt S là
Mặt phẳng tiếp diện tại điểm P0  ,
2
4
2

17


−


3
1 3
3 3 3
1
x
−
−
y
−

+



z −  = 0
8 
2 4
4 
8 
2
2 3x + 12y − 6 3z − 3 = 0

2. Tìm các phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt tham số được cho tại
điểm được định rõ. Vẽ mặt và mặt phẳng tiếp xúc đó.
a) r(u, v) = u 2i + (2u sin v) j + (u cos v)k, u = 1, v = 0
b) r(u, v) = (1 − u 2 − v2 )i − vj − uk , (−1, −1, −1)
Lời giải.
a)
Ta tìm các vector chỉ phương của mặt tham số S

x
y
z

ru = u i + u j + u k = 2ui + 2 sin vj + cos vk

r = x i + y j + z k = (2u cos v) j − (u sin v)k
 v v v
v

ru (1,0 ) = 2i + k
Điểm P0 (1,0,1) ứng với u = 1 và v = 0. Suy ra 
rv (1,0 ) = 2 j
Vector pháp tuyến của mặt tiếp diện là

i j k
ru  rv = 2 0 1 = −2i + 4k
0 2 0
Mặt phẳng tiếp diện tại điểm của P0 (1,0,1) mặt S là

−2 ( x − 1) + 4 ( z − 1) = 0

x − 2z + 1 = 0

18


Mặt tham số S: r(u, v) = u 2i + (2u sin v) j + (u cos v)k và tiếp diện tại điểm P0 (1,0,1)
(điểm màu đỏ) của mặt S
b)
Ta tìm các vector chỉ phương của mặt tham số S

x
y
z

r
=
i
+
j
+
k = −2ui − k
u


u
u
u

r = x i + y j + z k = −2vi − j
 v v v
v

ru (1,1) = −2i − k
Điểm P0 ( −1, −1, −1) ứng với u = 1 và v = 1. Suy ra 
rv (1,1) = −2i − j
Vector pháp tuyến của mặt tiếp diện là

i j k
ru  rv = −2 0 −1 = i − 2 j − 2k
−2 1 0
Mặt phẳng tiếp diện tại điểm của P0 ( −1, −1, −1) mặt S là

( x + 1) − 2(y + 1) − 2 ( z + 1)


= 0
x − 2y − 2z − 3 = 0

19


Mặt tham số S: r(u, v) = (1 − u 2 − v2 )i − vj − uk và tiếp diện tại điểm P0 ( −1, −1, −1) (điểm
màu đỏ) của mặt S

20


Chương 4. Diện tích mặt tham số
I. Định nghĩa
Ta đã biết từ lớp 11, ta đã biết diện tích của một đa giác (H’) là hình chiếu của đa
giác (H) trong khơng gian xuống một mặt phẳng nào đó là

S' = Scos 
với S là diện tích của (H), S’ là diện tích của (H’) và α là góc giữa hai mặt phẳng chứa
(H) và (H’)
Tương tự, với mặt cong S, ta chia mặt cong thành những mặt cong Sij có diện tích
ΔSij. Gọi Dij là hình chiếu của Sij xuống mặt phẳng Oxy và ΔDij là diện tích của Dij. Suy
ra

Dij = Sij  cos 
Gọi n = n1 , n 2 , n 3 là vector pháp tuyến của Sij và k là vector pháp tuyến của Dij.
Do Dij nằm trên Oxy nên k = 0, 0,1 .Ta có:

cos  =

n k
n k

=

n3
n12 + n 22 + n 32

Diện tích mặt cong S bằng tổng Riemann của hàm 2 biến








A(S)   Sij = 
i

j

i

j

Dij
cos 





Dij n12 + n 22 + n 32

i

j

n3

= 

Từ định nghĩa tích phân, ta suy ra

A(S) = 
S

n12 + n 22 + n 32
n3

dxdy = 
S

Biểu diễn tham số của mặt cong S, ta có

21

n
n3

dxdy


Đổi biến theo định thức Jacobian

x
u

dxdy =
y
u

x
x y x y
v
dudv =
 − 
dudv
y
u v v u
v

Mặt khác, từ công thức vector pháp tuyến ở chương 3, ta suy ra

n3 =

x y x y
 − 
u v v u

Diện tích mặt cong tham số S là

A(S) = 
S

n
n3

dxdy =  n dudv =  ru  rv dudv
S

S

với

ru =

x
y
z
x
y
z
i+
j + k và rv = i + j + k
u
u
u
v v
v

II. Ví dụ
1. Cho các mặt cong S được xác định:
a) r(u, v) = 2u + 5v,1 − 5u − v, 2 + u + v , 0  u  1, 0  v  2
b) Mặt xoắn ốc có phương trình vector r(u, v) = (u cos v)i + (u sin v)j + vk, −1 ≤ u
≤ 1, −π ≤ v ≤ π.
c) Mặt có các phương trình tham số x = u2, y = uv, z = v2/2, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2
Tìm diện tích của các mặt đó

Lời giải.
a) Ta tìm các vector chỉ phương của mặt tham số S

x
y
z

ru = u i + u j + u k = 2i − 5 j + k

r = x i + y j + z k = 5i − j + k
v
v
v
v

Vector pháp tuyến của mặt cong S là

22


i j k
ru  rv = 2 −5 1 = −4i + 3j + 23k  ru  rv = 554
5 −1 1
Diện tích mặt cong S là
1

2

0

0

A(S) =  ru  rv dudv = 554  du  dv = 2 554
S

b) Ta tìm các vector chỉ phương của mặt tham số S

x
y
z

ru = u i + u j + u k = cos vi + sin vj

r = x i + y j + z k = −(u sin v)i + (u cos v) j + k
 v v
v
v
Vector pháp tuyến của mặt cong S là

i
j
k
ru  rv = cos v
sin v 0 = sin vi − cos vj + uk  ru  rv = 1 + u 2
−u sin v u cos v 1
Diện tích mặt cong S là

A(S) =  ru  rv dudv = 
S

1
−1



1 + u 2 du  dv = 2( 2 + ln(1 + 2))
−

c) Ta tìm các vector chỉ phương của mặt tham số S

x
y
z

r
=
i
+
j
+
k = 2ui + vj
u

u
u
u

r = x i + y j + z k = uj + vk
 v v
v

v
Vector pháp tuyến của mặt cong S là

i j k
ru  rv = 2u v 0 = v 2 i − 2uvj + 2u 2 k  ru  rv = v 4 + 4u 2 v 2 + 4u 4 = v 2 + 2u 2
0 u v
Diện tích mặt cong S là

23


A(S) =  ru  rv dudv = 
S

1

2

 (v

0 0

2

+ 2u 2 )dvdu = 4

2. Find the surface area of the torus that we discussed in the example 4 in Chapter
1
Solution.
We first compute the tangent vectors

x
y
z

r =  i +  j +  k = −(a sin  cos )i − (a sin  sin ) j + (a cos )k

r = x i + y j + z k = −  (b + a cos ) sin  i + (b + a cos ) cos  j
   

Thus a normal vector to the tangent plane is

i
j
k
r  r = −a sin  cos 
−a sin  sin 
a cos 
−(b + a cos ) sin  (b + a cos ) cos 
0
i
j
k
= (ab + a 2 cos ) − sin  cos  − sin  sin  cos 
− sin 
cos 
0
= (ab + a 2 cos )(− cos  cos i + sin  cos j − sin k )
 r  r = ab + a 2 cos 
The area of the torus is

2

2

0

0

A(S) =  r  r dd =  d (ab + a 2 cos )d = 42 ab
S

24


Chương 5. Diện tích của mặt cong đồ thị hàm số
I. Định nghĩa
Trường hợp đặc biệt của mặt S có phương trình z = f(x,y), với (x,y) nằm trên miền
D và f là hàm khả vi, ta coi x và y như tham số. Mặt tham số có phương trình là:

x = x

y = y
z = f (x, y)

nên

 f 
ry = j +   k
 y 

 f 
rx = i +   k
 x 
Vector pháp tuyến của mặt S là

i

j

k
f
f
f
n = rx  ry = 1 0
= − i − j+k
x
x
y
f
0 1
y
và
2

 f   f 
rx  ry = 1 +   +  
 x   y 

2

Cơng thức tính diện tích của mặt cong S là

A(S) = 
D

2

2

 f   f 
1 +   +   dA
 x   y 

II. Ví dụ
Tìm diện tích của mặt.
a) Một phần của mặt phẳng 3x + 2y + z = 6 nằm trong góc phần tám thứ nhất.
3

2  32
b) Mặt z =  x + y 2  , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
3


25