BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
NGUYỄN MAI VI
PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ,
HÀM SỐ VÀ CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN
Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 60.46.40
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2015
Cơng trình đ
c hồn thành t i
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hồng Trí
Ph n bi n : TS Lê Hải Trung
Phản biện : PGS. TS. Tr n Đạo Dõng
Lu n văn đã được bảo vệ trước H i ng chấm Luận văn
t t nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày
tháng năm
C
ể
-T
ể
ă
T
ạ:
-
ọ
ệ , Đạ
ệ , Đạ
ọ Đ
ẵ
ọ Đ
ẵ
1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Giới hạn là một chủ đề cơ bản, có vị trí đặc biệt quan trọng trong ngành
Giải tích Tốn học nói chung và Giải tích Tốn học phổ thơng nói riêng, khơng
những như là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của hàm số mà cịn là một
cơng cụ đắc lực của Giải tích trong lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lý
thuyết biểu diễn,...ngồi ra chủ đề này này có nhiều ứng dụng về mặt lý thuyết
cũng như thực tiễn. Trên cơ sở nội dung của chủ đề này, ta có thể giải quyết
nhiều vấn đề thuộc phạm vi Đại số, Hình học, Số học, Vật lý,...Vì vậy Giới
hạn ở THPT có ý nghĩa quan trọng. Ta đã biết, nói đến chủ đề giới hạn ta nghĩ
ngay đến các phương pháp tìm giới hạn mà đối tượng chính là dãy số và hàm
số.Chúng ta đã được học một số định lý cơ bản của giới hạn dãy số, hàm số làm
phương pháp để tính giới hạn trong chương trình tốn THPT. Ngồi những định
lý cơ bản ta có thể vận dụng một số định lý sau để tìm giới hạn: định lý kẹp
giữa về giới hạn, định lý Lagrange, định lý Stolz, quy tắc L’Hospital, định lý
Weierstrass. Để nắm chắc nội dung và bản chất của định lý đồng thời chúng ta
phải biết vận dụng các định lý trong những trường hợp cụ thể nào và hiểu rõ hơn
về vai trị, ý nghĩa của giới hạn thì đây chính là lý do tơi viết đề tài: “ Phương
pháp tính giới hạn dãy số, hàm số và các dạng toán liên quan.” nhằm giúp
cho học sinh phổ thông, đặc biệt là học sinh giỏi biết cách áp dụng các định lý
trên để tìm giới hạn của dãy số, hàm số. Đồng thời học sinh nắm chắc vai trò và
ý nghĩa của giới hạn thơng qua việc giải các dạng tốn liên quan đến giới hạn.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Giúp cho học sinh hiểu được bản chất và ý nghĩa của các định lý, khái
niệm giới hạn dãy số, hàm số.
- Vận dụng các định lý để tính giới hạn dãy số, hàm số từ đó định hướng
được phương pháp tìm giới hạn dãy số, hàm số cụ thể tạo hứng thú khi giải bài
2
tập.
- Vận dụng giới hạn để giải các bài toán liên quan đến giải tích giúp các em
thấy vai trị và ý nghĩa của giới hạn.
- Rèn luyện học sinh kỹ năng giải bài tập, khả năng phát triển trí tuệ thông
qua hệ thống bài tập từ mức độ dễ đến khó.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Các định lý cơ bản của giới hạn, định lý kẹp giữa về giới hạn, định lý
Lagrange, định lý Stolz, quy tắc L’Hospital, định lý Weierstass để tính giới hạn
dãy số, hàm số và các dạng tốn giải tích liên quan đến giới hạn.
- Học sinh trung học phổ thông, đặc biệt là học sinh giỏi toán.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, giáo trình, tạp chí, các tài liệu
trong và ngồi nước có liên quan đến giới hạn dãy số, hàm số.
5. Bố cục của đề tài
Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và phụ lục.
Chương 1 Lý thuyết về giới hạn dãy số, hàm số.
Chương 2 Phương pháp tính giới hạn dãy số, hàm số.
Chương 3 Các dạng toán liên quan.
6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu
Luận văn đã tham khảo một số tài liệu khoa học tiếng Việt và tiếng Anh về
các phương pháp tính giới hạn dãy số, hàm số và các dạng toán liên quan đến
giới hạn. Hiện tại trong và ngoài nước đã viết luận văn về đề tài này.
Tuy nhiên các cơng trình khoa học vẫn chưa tổng hợp được nhiều các
phương pháp tính giới hạn dãy số và hàm số trong sơ cấp và trong thực tế
hoặc có nhưng vẫn cịn hạn chế.
Vì vậy việc nghiên cứu, tổng hợp các phương pháp tính giới hạn dãy số,
hàm số và các dạng toán liên quan đến giới hạn một cách rõ ràng, hệ thống là
cần thiết. Kết quả nghiên cứu của đề tài sẽ giúp người học toán dễ dàng hơn
trong việc áp dụng các phương pháp để tính giới hạn dãy số, hàm số phức tạp
và áp dụng lí thuyết về giới hạn để giải một số dạng toán liên quan.
3
CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT GIỚI HẠN DÃY SỐ, HÀM SỐ
1.1
CÁCH CHO DÃY SỐ
1.1.1 Định nghĩa dãy số
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi ánh xạ u từ tập số tự nhiên N = 1, 2, 3, ..., n, ... vào
một tập số thực R là một dãy số.
u : n → u(n) = un
Định nghĩa 1.1.2. Cho dãy {un } với n ∈ N ∗
Dãy {un } được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nếu un ≤ un+1 , ∀n ∈ N∗ .
Dãy {un } được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nếu un ≥ un+1 , ∀n ∈ N∗ .
Dãy {un } được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nghiêm ngặt nếu un < un+1 ,
∀n ∈ N∗ .
Dãy {un } được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nghiêm ngặt nếu un > un+1 ,
∀n ∈ N∗ .
Định nghĩa 1.1.3. Cho dãy số {xn }
Dãy {xn } được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại hằng số M sao cho xn ≤ M,
∀n ∈ N∗ .
Dãy {xn } được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại hằng số M sao cho xn ≥ M,
∀n ∈ N∗ .
Dãy {xn } vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn.
Định nghĩa 1.1.4. Dãy {xn } bị chặn khi và chỉ khi tồn tại hằng số c ≥ 0 sao
cho |un | ≤ c, ∀n ∈ N∗ .
4
1.1.2 Cách cho dãy số
+) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát
+) Dãy số cho bởi công thức truy hồi
+) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
+) Dãy số xác định bởi phương trình
1.2
CÁCH CHO HÀM SỐ
1.2.1. Định nghĩa hàm số
Cho tập X ⊂ R. Ta gọi một ánh xạ f đi từ tập X vào tập số thực R là một
hàm số.
Kí hiệu.
f :X → Y
x → y = f (x)
1.2.2. Cách cho hàm số
Có thể cho hàm số bằng biểu thức : y = f(x) được dùng nhiều trong tốn
học.
Ví dụ 1.2.1.
1.3
PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
CỦA DÃY SỐ
1.3.1. Cấp số cộng, cấp số nhân
1.3.1.1. Cấp số cộng
Định nghĩa 1.3.1. Dãy số {un } có tính chất un = un−1 + d , ∀n ≥ 2 , d là số
thực không đổi gọi là cấp số cộng.
5
d: công sai cấp số cộng, u1 là số hạng đầu, un là số hạng tổng quát thứ n.
Số hạng tổng quát là: un = u1 + (n − 1)d, ∀n ≥ 2.
Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng có cơng sai d. Ta có
Sn =
n
[2u1 + (n − 1)d]
2
1.3.1.2. Cấp số nhân
Định nghĩa 1.3.2. Dãy số {un } có tính chất un+1 = q.un , ∀n ∈ N∗ gọi là cấp
số nhân bội q.
Số hạng tổng qt của {un } có cơng bội q là un = u1 .qn−1 .
Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân {un } công bội q. Ta có
n
Sn = u1 1−q
1−q với q = 1.
Lưu ý:
i) Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vơ hạn có cơng bội q thỏa mãn
|q| < 1.
ii) Cơng thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn là
S = u1 + u2 + ... + un + ... =
u1
1−q .
1.3.2. Hàm lặp
Để tìm công thức tổng quát của dãy số bằng phương pháp hàm lặp ta thường
tìm các hàm số f (x) và h(x) sao cho: f (xn ) = h( f (xn−1 )).
(*)
Áp dụng (*) liên tiếp ta được:
f (xn ) = h( f (xn−1 )) = h(h( f (xn−2 ))) = h2 ( f (xn−2 )) = ... = hn ( f (x0 )).
Từ đó ta tìm được cơng thức tổng quát của dãy số.
Hàm f được gọi là hàm số phụ, hàm hđược gọi là hàm lặp.
u = x
1
0
, trong
Dạng 1. Dãy số {un } xác định bởi :
u = au + f (n), ∀n ≥ 2
n
n−1
đó f(n) là đa thức bậc k theo n.
Phương pháp. Phân tích f (n) = g(n)−ag(n−1) (1) với g(n) cũng là đa thức
theo n. Khi đó ta có : un − g(n) = a[un−1 − g(n − 1)] = ... = an−1 [u1 − g(1)].
Vậy ta có un = [u1 − g(1)]an−1 + g(n).
6
Vấn đề còn lại là ta xác định g(n) như thế nào?
Ta thấy: Nếu a=1 thì g(n) − ag(n − 1)là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của
g(n) một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g(n), mà f(n) là đa thức
bậc k nên để có (1) ta chọn g(n) là đa thức có bậc k+1 có hệ số tự do bằng khơng
và khi đó để xác định g(n) thì trong đẳng thức (1) ta cho k+1 giá trị của n bất kì
ta được hệ k+1 phương trình, giải hệ này ta tìm được các hệ số của g(n).
Nếu a = 1 thì g(n)-ag(n-1) là một đa thức cùng bậc với f(n) nên ta chọn g(n)
là đa thức bậc k và trong đẳng thức (1) ta cho k+1 giá trị của n thì ta xác định
được g(n).
u = x
1
0
Dạng 2. Dãy số {un } xác định bởi :
u = au
n
n−1
như sau:
+ b(α )n , ∀n
, ta làm
≥2
Nếu a = α ⇒ un = b(n − 1)(α )n + u1 (α )n−1 .
Nếu a = α ta phân tích (α )n = k(α )n − ak(α )n−1 .
Khi đó un = an−1 (u1 − bk) + bk(α )n .
α
.
Ta tìm được: k = α−a
u = p
1
Dạng 3. Dãy số {un } xác định bởi :
,
u = au + b(α )n + f (n), ∀n ≥ 2
n
n−1
trong đó f(n) là đa thức theo n bậc k, ta phân tích (α )n và f(n) như cách phân
tích ở trên.
u = q
1
Dạng 4. Dãy số {un } xác định bởi :
, trong đó
u
= g(u ), ∀n ≥ 1
n+1
n
g(un ) là hằng đẳng thức đáng nhớ.
u1 = α
p.un−1 +q
un = r.un−1
+s , ∀n ≥ 2
Để tìm cơng thức tổng quát ta làm như sau:
Đặt un = xn + t. Khi đó:
Dạng 5. Dãy số {un } xác định bởi:
xn =
1
xn
pxn−1 +pt+q
run−1 +rt+s
−t =
(p−rt)xn−1 −rt 2 +(p−s)t+q
.
rxn−1 +rt+s
Ta chọn t sao cho: rt 2 + (s − p)t − q = 0. Khi đó chuyển dữ kiện về dạng
1
= a xn−1
+ b.
Đến đây ta chỉ việc chuyển đổi về CSN hoặc sử dụng hàm lặp đều được.
7
1.3.3. Phương trình sai phân
1.3.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1
Định nghĩa 1.3.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có dạng:
axn+1 + bxn = fn , n ∈ N∗ trong đó a, b = 0.
(1.1)
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) là: xn = xn∗ + xn′ .
1.3.3.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp k
Phương pháp giải
A/ Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
1/ Giải phương trình đặc trưng
x0 λ k + x1 λ k−1 + ... + xk−1 λ + xk = 0
(1.2)
để tìm λ .
2/ Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng.
B/ Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính khơng thuần
nhất: Việc tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính khơng thuần
nhất cấp k làm tương tự khi tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến
tính cấp 1 và 2.
C/ Tìm nghiệm tổng qt của phương trình sai phân tuyến tính cấp k:
Nghiệm tổng quát có dạng xn = xn′ + xn∗
Trong đó xn′ là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng, xn∗ là nghiệm
riêng của phương trình khơng thuần nhất.
1.3.4. Lượng giác hóa
u = m, m ∈ R
1
Dạng 1. Tìm cơng thức tổng qt của dãy số {un } có dạng :
u = 2u2 − 1, ∀n ≥ 2
n
ta làm như sau:
+ Nếu |m| ≤ 1, ta đặt u1 = cosα . Khi đó ta có un = cos2n−1 α .
n−1
+ Nếu m > 1 ta đặt u1 = 21 (a + a1 ) trong đó a = 0 và cùng dấu với u1 .
Khi đó u2 = 12 (a2 + 2 + a12 ) − 1 = 21 (a2 + a12 ) ⇒ u3 = 12 (a4 + a14 )...
8
Ta chứng minh được un =
1
2
a2
n−1
+
1
n−1
a2
, ∀n ≥ 1.
Trong đó a là nghiệm cùng dấu với u1 của phương trình: a2 − 2u1 a + 1 = 0.
Vì phương trình này có hai nghiệm có tích bằng 1 nên ta có thể viết cơng
thức tổng qt của dãy như sau:
un =
1
2
u21 − 1)2
(u1 −
n−1
+ (u1 +
n−1
u21 − 1)2
.
u = p, p ∈ R
1
Dạng 2. Tìm cơng thức tổng qt của dãy {un } có dạng
u = u3 − 3u
n
ta làm như sau:
+ Nếu |p| ≤ 1 ⇒ ∃α ∈ [0; π ] : cosα = p.
n−1
n−1 , ∀n
Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được : un = cos3n−1 α .
+ Nếu |p|> 1, ta đặt u1 = 21 (a + 1a ) với a cùng dấu với u1
Bằng quy nạp ta chứng minh được
un =
1
2
a3
Hay un =
n−1
1
2
+
1
n−1
a3
.
3n−1
u1 −
u21 − 1
3n−1
+ u1 +
u21 − 1
.
Từ trường hợp
thứ hai của bài tốn trên ta có thể tìm cơng thức tổng quát
u = p
1
của dãy số: un :
bằng cách đặt u1 = 21 (a − a1 ).
u = u3 + 3u , ∀n ≥ 2
n
n−1
n−1
Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được
un =
1
2
a3
Hay un =
n−1
1
2
−
1
n−1
a3
u1 −
.
3n−1
u21 + 1
3n−1
+ u1 +
u21 + 1
.
u = a
1
Dạng 3. Để tìm cơng thức tổng quát của dãy số có dạng
u = un−1 +b , ∀n ≥ 2
n
1−bun−1
ta đặt:
a = tanα , b = tanβ , khi đó ta chứng minh được un = tan[α + (n − 1)β ].
Chú ý: Nếu un có thể đưa về công thức lượng giác quen thuộc và u1 là giá
trị lượng giác đặt biệt thì ta dùng phép thế lượng giác để tìm cơng thức tổng
qt của {un }.
≥2
9
1.4
LÝ THUYẾT GIỚI HẠN DÃY SỐ
1.4.1. Định nghĩa.
Ta nói rằng L là giới hạn của dãy số {un } nếu đối với mọi số dương ε tùy ý,
tồn tại số tự nhiên N sao cho ∀n ≥ N ta đều có |un − L| < ε
tức là L − ε < xn < L + ε .
Kí hiệu :
lim un = L ( hoặc lim un = L, hoặc un → L khi n → ∞ ).
n→∞
1.4.2. Các tính chất của dãy hội tụ
Định lý 1.4.1. Giới hạn một dãy số ( nếu có) là duy nhất.
Định lý 1.4.2. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
Định lý 1.4.3. Nếu |q| < 1 thì lim qn = 0.
n→∞
Định lý 1.4.4. Mọi dãy con của một dãy hội tụ là một dãy hội tụ và có cùng
giới hạn.
Định lý 1.4.5. (Các phép toán giới hạn)
1.4.3. Điều kiện hội tụ của một dãy số
Định nghĩa 1.4.1. Dãy {xn } được gọi là dãy cơ bản ( hay là dãy Cauchy)
nếu ∀ε > 0 bao giờ cũng tồn tại p ∈ N∗ sao cho ∀m, n > p ta có |xn − xm | < ε .
Định lý 1.4.6. (Nguyên lý Cauchy) Một dãy số hội tụ khi và chi khi nó là
dãy cơ bản.
Định lý 1.4.7. (Tiêu chuẩn Weierstrass) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì
hội tụ.
1.4.4. Định lí Lagrange
Định lý 1.4.8. (Định lý Lagrange) Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có
f (a)
đạo hàm trên khoảng (a; b) khi đó tồn tại x0 ∈ (a; b) sao cho f (b)−
= f ′ (x0 ).
b−a
10
1.4.5. Định lý kẹp giữa về giới hạn
Định lý 1.4.9. Cho ba dãy số {xn }, {yn }, {zn } trong đó lim xn = lim zn = A
n→∞
n→∞
( hữu hạn hoặc +∞ hoặc -∞) và ∃N0 mà ∀n ∈ N∗ : n > N0 ta có xn ≤ yn ≤ zn .
Khi đó lim yn = A.
n→∞
1.4.6. Định lý Stolz
Định lý 1.4.10. (Định lý trung bình Cesaro) Nếu dãy số {xn } có giới hạn
hữu hạn là a thì dãy số các trung bình (x1 + x2 + ... + xn )/n cũng có giới hạn là
a.
Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương như sau:
Nếu lim (xn+1 − xn ) = a thì lim xnn = a . Đây là trường hợp đặc biệt của định
n→∞
n→∞
lý Stolz được phát biểu như sau:
Định lý 1.4.11. ( Định lý Stolz).
Cho {un }, {vn } là các dãy số thỏa mãn: {vn } là dãy số tăng
un+1 − un
un
và lim vn = +∞, lim
= a. Khi đó lim
= a.
n→∞
n→∞ vn+1 − vn
n→∞ vn
1.5
LÝ THUYẾT GIỚI HẠN HÀM SỐ
1.5.1. Giới hạn hàm số tại một điểm
Định nghĩa 1.5.1. ( Lân cận)
x0 ∈ R, α > 0,U(x0 , α ) = (x0 − α , x0 + α ) lân cận tâm x0 bán kính α .
x ∈ U(x0 , α ) ⇔ x0 ∈ (x0 − α , x0 + α )
⇔ x0 − α < x < x0 + α
⇔ −α < x − x0 < α
⇔ |x − x0 | < α .
U ∗ (x0 , α ) = (x0 − α , x0 + α )\x0 là lân cận thủng tâm x0 , bán kính α .
11
x ∈ U(x0 , α ) ⇒ |x − x0 | < α
x ∈ U ∗ (x0 , α ) ⇒ 0 < |x − x0 | < α
Định nghĩa 1.5.2. Hàm số f(x) xác định lân cận thủng của x0 , số L được
gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến x0 nếu với mỗi ε > 0, ∃δ > 0 :
| f (x) − L| < ε với mọi x∈ A mà 0 < |x − x0 | < δ (ε ). ( A là miền xác định của
hàm số f(x))
Kí hiệu: lim f (x) = L hay f (x) → L khi x → x0 .
x→x0
1.5.2. Giới hạn một bên
Định nghĩa 1.5.3. Hàm số f(x) xác định ( x0 − α , x0 ), α > 0.
Ta gọi số L là giới hạn trái của hàm số f(x) khi x → x0− nếu với mỗi
ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ta có : | f (x) − L| < ε nếu 0 < x0 − x < δ .
Kí hiệu :
lim f (x) = L, x → x0− tức là x → x0 , x < x0 .
x→x0−
Định nghĩa 1.5.4. Hàm số f(x) xác định ( x0 , x0 + α ), α > 0.
Ta gọi số L là giới hạn phải của hàm số f(x) khi x → x0+ nếu với mỗi
ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ta có : | f (x) − L| < ε nếu 0 < x − x0 < δ .
Kí hiệu:
lim f (x) = L, x → x0+ tức là x → x0 , x > x0 .
x→x0+
Định lý 1.5.1. Điều kiện cần và đủ để lim f (x) = L là:
x→x0
lim f (x) = lim f (x) = L.
x→x0−
x→x0+
1.5.3. Giới hạn ở vô cùng
Định nghĩa 1.5.5. Ta gọi số L là giới hạn của hàm số f(x) khi x dần
đến +∞ nếu ∀ε > 0 cho trước , ∃K > 0 sao cho ∀x ∈ A, x > K, ta có |f(x)-L|<ε
và kí hiệu lim f (x) = L.
x→+∞
12
Định nghĩa 1.5.6. Ta gọi số L là giới hạn của hàm số f(x) khi x dần
đến −∞ nếu ∀ε > 0 cho trước , ∃K > 0 sao cho ∀x ∈ A, x < −K, ta có |f(x)-L|<ε
và kí hiệu lim f (x) = L.
x→−∞
1.5.4. Giới hạn vô cùng
Định nghĩa 1.5.7. Giả sử X là một tập số thực, x0 ∈ R là một điểm tụ của
X, f là một hàm số xác định trên tập X. Ta viết
a) lim f (x) = +∞ hoặc f (x) → +∞ khi x → x0 nếu với một số dương A bất
x→x0
kì, tồn tại δ > 0 : (∀x ∈ X)
0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) > A.
b) lim f (x) = −∞ hoặc f (x) → −∞ khi x → x0 nếu với một số dương A bất
x→x0
kì, tồn tại δ > 0 : (∀x ∈ X)
0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) < −A.
Định nghĩa 1.5.8. Giả sử X là tập số thực không bị chặn trên, f là hàm số
xác định trên tập X. Ta viết
a) lim f (x) = +∞ hoặc f (x) → +∞ khi x → +∞ nếu với một số thực A
x→+∞
bất kì, tồn tại một số thực B : (∀x ∈ X)
x > B ⇒ f (x) > A.
b) lim f (x) = −∞ hoặc f (x) → −∞ khi x → +∞ nếu với một số thực A
x→+∞
bất kì, tồn tại một số thực B : (∀x ∈ X)
x > B ⇒ f (x) < A.
Bạn đọc tự phát biểu các định nghĩa lim f (x) = +∞, lim f (x) = +∞, lim f (x) =
x→x0+
+∞, ...
x→x0−
x→−∞
1.5.5. Các định lý cơ bản
Định lý 1.5.2. (Tính duy nhất của giới hạn) Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi
x dần tới x0 thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lý 1.5.3. Nếu lim f (x) = L thì lim | f (x)| = |L|.
x→a
x→a
Định lý 1.5.4. (Các phép toán trên giới hạn của hàm số) Nếu các hàm số
f(x) và g(x) đều có giới hạn khi x dần đến a thì:
lim [ f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x)
x→a
x→a
lim [ f (x).g(x)] = lim f (x). lim g(x)
x→a
x→a
x→a
x→a
13
f (x)
lim g(x)
=
x→a
lim f (x)
với g(x)= 0
x→a
lim g(x)
x→a
1.5.6. Điều kiện tồn tại giới hạn
Định lý 1.5.5. ( Bolzano-Cauchy) Cho hàm số f(x) xác định trên tập X. Điều
kiện cần và đủ để lim f (x) = L là với mỗi số ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x′ , x” ∈ X,
x→a
0 < |x′ − a| < δ , 0 < |x” − a| < δ ta có: | f (x′ ) − f (x”)| < ε .
1.5.7. Quy tắc L’Hospital
f ′ (x)
′
x→x0 g (x)
Định lý 1.5.6. Cho lim f (x) = lim g(x) = 0 và lim
x→x0
f (x)
x→x0 g(x)
thì lim
x→x0
=A
= A.
Định lý vẫn đúng trong trường hợp x0 = −∞, x0 = +∞ .
f ′ (x)
′
x→x0 g (x)
Định lý 1.5.7. Cho lim f (x) = ±∞, lim g(x) = ±∞ và lim
x→x0
f (x)
g(x)
x→x0
thì lim
=A
x→x0
=A
(A ∈ R hoặc A = ±∞).
Định lý vẫn đúng trong trường hợp x0 = −∞, x0 = +∞.
1.6
HÀM SỐ LIÊN TỤC
1.6.1. Các định nghĩa cơ bản
Cho f: A → R là một hàm số xác định trên tập con A của R.
Định nghĩa 1.6.1. Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a, b) và
điểm x0 ∈ (a, b). Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu :
lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Định nghĩa 1.6.2. Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên (a, b) khi và chỉ
khi hàm số y=f(x) liên tục tại mọi x ∈ (a; b).
Định nghĩa 1.6.3. Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục phải tại x0
⇔ lim f (x) = f (x0 ).
x→x0+
14
Hay hàm số y=f(x) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu :
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ A, 0 ≤ x − x0 < δ ta có: | f (x) − f (x0 )| < ε .
Định nghĩa 1.6.4. Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trái tại x0
⇔ lim f (x) = f (x0 ).
x→x0−
Hay hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trái tại x0 nếu :
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ A, 0 ≤ x0 − x < δ ta có: | f (x) − f (x0 )| < ε .
Định nghĩa 1.6.5. Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên [a, b] khi và chỉ
khi hàm số y=f(x) liên tục tại mọi x ∈ (a, b) đồng thời y=f(x) liên tục phải tại
x=a và liên tục trái tại x=b.
Định nghĩa 1.6.6. Hàm số y=f(x) xác định trong khoảng (a, b). Hàm số này
được gọi là hàm số gián đoạn tại điểm x0 ∈ [a, b] nếu nó khơng liên tục ( hay
khơng liên tục một phái) tại điểm đó.
1.6.2. Tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn
Định lý 1.6.1. ( Định lý Bolzano- Cauchy 1) Nếu y=f(x) liên tục trên [a, b]
và f (a). f (b) <0 thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0.
Định lý 1.6.2. ( Định lý Bolzano- Cauchy 2) Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và
f (a) = A, f (b) = B thì hàm số đó nhận giá trị trung gian giữa A và B.
Định lý 1.6.3. ( Định lý Weierstrass 1) Nếu hàm số f(x) liên tục trên một
đoạn thì bị chặn trên đoạn đó.
Định lý 1.6.4. ( Định lý Weierstrass 2) Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn
[a, b] thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và bé nhất trên đoạn đó.
15
CHƯƠNG 2
PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ,
HÀM SỐ
2.1
PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ
2.1.1. Phương pháp tìm cơng thức số hạng tổng quát của dãy số
2.1.1.1. Sử dụng công thức đối với các dãy số quen thuộc
1
1
=
n(n + a) a
1
1
−
n n+a
1
1 + 2 + 3 + .. + n = n(n + 1)
2
1
12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)
6
n(n + 1)
13 + 23 + 33 + ... + n3 =
.
2
Bài toán 2.1.
2.1.1.2. Sử dụng tổng cấp số nhân, số cộng
Dạng 1.
u = a
1
Dãy số {un } xác định bởi :
u = u + d, ∀n ≥ 2
n
n−1
u = b
1
Dãy số {un } xác định bởi :
.
u = q.u , ∀n ≥ 2
n
Bài toán 2.2.
n−1
16
u = x
1
0
Dạng 2. Dãy số {un } xác định bởi :
u = au
n
Bài toán 2.3.
.
n−1 + b, ∀n ≥ 2
2.1.1.3. Sử dụng phương pháp hàm
lặp
u = x
1
0
Dạng 1. Dãy số {un } xác định bởi :
u = au + f (n), ∀n ≥ 2
n
n−1
đó f(n) là đa thức bậc k theo n.
, trong
Bài toán 2.4.
u = x
1
0
Dang 2. Dãy số {un } xác định bởi :
u = au
n
n−1 + b(α )
Bài toán 2.5.
u = p
1
Dạng 3. Dãy số {un } xác định bởi :
u = au
n
n−1
n , ∀n
+ b(α )n +
trong đó f(n) là đa thức theo n bậc k.
≥2
,
f (n), ∀n ≥ 2
Bài toán 2.6.
u = q
1
Dạng 4. Dãy số {un } xác định bởi :
u
n+1 = g(un ), ∀n ≥ 1
g(un ) là hằng đẳng thức đáng nhớ.
, trong đó
Bài tốn 2.7.
Dạng 5. Dãy số {un } xác định bởi:
Bài toán 2.8.
u1 = α
p.un−1 +q
un = r.un−1
+s , ∀n ≥ 2
2.1.1.4. Sử dụng
phương pháp sai phân
u = b , ..., u = b , b ∈ R, i = 1, ..., k
1
1
k
k i
.
Dạng. Dãy số
∗
u
n+k = a1 un+k−1 + a2 un+k−2 + ... + ak un + f (n), ∀n ∈ N
Phương pháp. Giải phương trình sai phân tương ứng để tìm số hạng tổng
quát.
Bài toán 2.9.
17
2.1.2. Sử dụng định lý Weierstrass
Phương pháp
+ Xét tính đơn điệu của dãy số: Dự đoán dãy số {un } tăng hoặc giảm sau đó
dùng phương quy nạp để chứng minh.
+ Xét tính bị chặn: Sử dụng các định lí về bất đẳng thức để xét tính bị chặn
+ Kết luận sự tồn tại của giới hạn
+ Gọi a là giới hạn dãy số {un }, lấy giới hạn hai vế tìm a.
Bài tốn 2.10.
2.1.3. Sử dụng định lý kẹp giữa về giới hạn
Phương pháp. Tìm 2 dãy {un } và {vn } sao cho un ≤ wn ≤ vn và
lim un = lim vn = a ⇒ lim wn = a.
n→∞
n→∞
n→∞
Bài toán 2.11.
2.1.4. Sử dụng định lý Lagrange
Phương pháp. Định lý Lagrange được sử dụng để giải quyết một số bài toán
vế giới hạn dãy số, với các dãy số xác định bởi hàm số f(x) và dãy số xác định
bởi nghiệm của một phương trình fn (x) = 0 , nói chung f(x), fn (x) là các hàm
số có đạo hàm và đơn điệu trên tập xác định của chúng, đạo hàm của chúng có
thể ước lượng được bởi một bất đẳng thức. Do đó nếu tìm được giới hạn là a, ta
có thể so sánh được hiệu f (xn ) − f (a), fn (xn ) − fn (a) với xn − a và có thể ước
lượng được xn .
Bài toán 2.12.
2.1.5. Sử dụng định lý Stolz
Bài toán 2.13.
18
2.1.6. Phương pháp lượng giác hóa
Bài tốn 2.14.
2.2
PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ
2.2.1. Khử các dạng vô định
∞
Dạng ( ∞
) của hàm đa thức. Xét I= lim
P(x)
Q(x)
x→∞
hoặc các hàm đại số
với P(x), Q(x) là các đa thức
Gọi bậc P(x) là p, Q(x) là q và m = max{p; q} khi đó chia cả tử và mẫu cho
xm ta có kết luận sau:
+ Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn là vơ cùng.
+ Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì giới hạn là không.
+ Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn là số xác định.
∞
của hàm số chứa căn thức ta không nhân lượng liên
Chú ý. Dạng vô định ∞
hợp. Đây là điểm khác biệt cần phân biệt để tránh nhầm lẫn. Với giới hạn khi
x → ∞, cần lưu ý hai khả năng x → −∞, x → +∞ trong phép lấy giới hạn có
chứa căn bậc chẵn.
Bài toán 2.15.
Dạng (∞ − ∞) đối với hàm đa thức. Đối với biểu thức chứa căn: Ta dùng
biến đổi đại số bình thường, nhân lượng liên hợp và đưa về dạng ( ∞
∞)
Bài toán 2.16.
Dạng 1∞ . Sử dụng số e lim (1 + 1x )x = lim (1 + x) x = e
1
x→∞
Xét I =
lim u(x)v(x)
x→a
có dạng
x→0
1∞
1
Biến đổi I =lim (1 + (u − 1) u−1 )(u−1)v
x→a
Chú ý: Sử dụng kỹ năng thêm bớt và đổi biến số.
Bài tốn 2.17.
Dạng vơ định 0.∞. Biến đổi bằng cách nhân lượng liên hợp, thêm bớt, đổi
∞
)
biến,...đưa về dạng ( ∞
19
Bài tốn 2.18.
Dạng vơ định 00 đối với hàm đa thức có các loại sau đây.
f (x)
với f(x), g(x) là các đa thức và f (x0 ) = g(x0 ) = 0
Loại 1: lim g(x)
x→x0
Phương pháp. Khử dạng vô định bằng cách phân tích cả tử và mẫu thành
nhân tử chung. Sau đó giản ước nhân tử chung:
(x − x0 )A(x)
A(x) A(x0 )
f (x)
= lim
= lim
=
= L.
x→x0 (x − x0 )B(x)
x→x0 B(x)
x→x0 g(x)
B(x0 )
lim
Bài toán 2.19.
Loại 2: lim
f (x)
g(x)
x→x0
với f(x), g(x) chứa các căn thức cùng bậc và f (x0 ) =
g(x0 ) = 0
Phương pháp. Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp tương ứng của biểu
thức chứa căn:
Một số biểu thức liên hợp thường dùng:
√
a−1
1) a ± 1 = √
a∓1
√
√
a−b
√
2) a ± b = √
a∓ b
√
a±1
3) 3 a ± 1 = √
√
3 2
a ∓ 3 a+1
√
√
a±b
3
√
4) 3 a ± b = √
√
3
3 2
a ∓ 3 ab + b2
√
√
a±b
n
√
√
√
√
5) n a ± b = √
n
n
n
n
n n−1
a ∓ an−2 b + an−3 b2 ∓ ... + a1 bn−2 + bn−1
Bài toán 2.20.
Loại 3: lim
f (x)
g(x)
x→x0
với f(x), g(x) chứa căn thức không cùng bậc và f (x0 ) =
g(x0 ) = 0
Phương pháp. Sử dụng thuật toán thêm bớt đối với f(x) để có thể nhân biểu
thức liên hợp ta làm như sau:
f (x)
= lim
lim
x→x0
x→x0 g(x)
m
[ m u(x) − c] − [ n v(x) − c]
u(x) − n v(x)
= lim
x→x0
g(x)
g(x)
20
[ m u(x) − c]
[ n v(x) − c]
− lim
x→x0
x→x0
g(x)
g(x)
= lim
Với c = m u(x0 ) =
n
v(x0 )
Lưu ý: Khi u(x) hoặc v(x) chứa căn thức không cùng chỉ số ( từ 4 trở đi) ta
làm như sau:
Ta đổi biến số bằng cách đặt t= m u(x) ⇒ t m = u(x), x → x0 ⇒ t → t0
k=
n
v(x) ⇒ kn = v(x), x → x0 , k → k0 .
Bài tốn 2.21.
Dạng vơ định 00 đối với hàm số lượng giác.
Phương pháp: Ta thực hiện các phép biến đổi đại số và lượng giác để sử
dụng các kết quả cơ bản dưới đây:
x
sinx
= 1, lim
=1
x→0 sinx
x→0 x
sinax
sinax
sinax
= lim
.a = a. lim
=a
+) lim
x→0 ax
x→0 ax
x→0 x
sinax bx ax
sinax
bx
ax a
sinax
= lim
.
. = lim
. lim
. lim
=
+) lim
x→0 ax sinbx bx
x→0 ax x→0 sinbx x→0 bx
x→0 sinbx
b
tgax
sinax a
sinax
sinax
a
+) lim
= lim
= lim
= lim
. lim
= a.
x→0 x
x→0 ax cosax
x→0 x
x→0 ax x→0 cosax
+) lim
Trong quá trình biến đổi cần vận dụng linh hoạt các cơng thức lượng giác,
thêm bớt, nhân liên hợp,...
Bài tốn 2.22.
Dạng vơ định
0
0
đối với hàm mũ và logarit.
Phương pháp.Thực hiện các biến đổi và sử dụng các giới hạn cơ bản sau
đây:
ex − 1
=1
+) lim
x→0
x
ln(1 + x)
+) lim
=1
x→0
x
ax − 1
exlna − 1
exlna − 1
+) lim
= lim
.lna = lna, ( vì lim
= 1)
x→0
x→0 x.lna
x→0 x.lna
x
ln(1 + x)
ln(1 + x)
1
1
loga (1 + x)
= lim
=
lim
=
+) lim
x→0
x→0
x
xlna
lna x→0
x
lna
21
Bài toán 2.23.
Dạng 0∞ và ∞∞ của hàm số mũ. Biến đổi đưa về dạng 1∞
Bài toán 2.24.
2.2.2. Sử dụng định lý kẹp giữa về giới hạn
Bài toán 2.25.
2.2.3. Sử dụng quy tắc L’Hospital
Bài toán 2.26.
2.3
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC TÍNH GIỚI HẠN
2.3.1. Sử dụng máy tính Casio FX 570 ES PLUS
2.3.2. Sử dụng máy tính Casio FX 570 ES
2.3.3. Sử dụng phần mềm Maple
22
CHƯƠNG 3
CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN
3.1
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
3.1.1. Hàm số liên tục tại một điểm
Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tai điểm x0 ta thực hiện các bước sau:
B1 : Tìm TXĐ của hàm số y=f(x). Kiểm tra x0 ∈ TXĐ thì tiếp tục B2 .
B2: Tìm f(x0 ).
B3: Tìm lim f (x) ( có những trường hợp tìm lim f (x) và lim f (x)). Nếu
x→x0−
x→x0
x→x0+
khơng tồn tại lim f (x) thì kết luận hàm số f(x) không liên tục tại x0 . Nếu khơng
x→x0
tồn tại lim f (x) thì tiếp tục B4 .
x→x0
B4: Nếu lim f (x)=f(x0 ) ( lim f (x) = lim f (x) = f (x0 )) hay thì hàm số
x→x0
x→x0−
x→x0+
y=f(x) liên tục tại điểm x0 . Nếu lim f (x) = f (x0 ) thì hàm số y=f(x) khơng liên
x→x0
tục ( gián đoạn) tại điểm x0 .
Bài tốn 3.1.
3.1.2. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn
Để xét tính liên tục của hàm số f(x) liên tục trên [a, b] ta thực hiện các bước
sau:
B1 : Xét tính liên tục của hàm số trên ( a, b)
+ Cho điểm x0 bất kỳ với x0 ∈ (a, b).
+ So sánh lim f (x) và f (x0 ).
x→x0
B2 : So sánh lim và f(a); lim f (x) và f(b).
x→a+
B3 : Kết luận.
x→b−
23
Bài tốn 3.3.
3.2
TÌM TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ
Định nghĩa 3.2.1. Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). M ∈ C,MH là khoảng
cách từ M đến đường thẳng d.
Đường thẳng d gọi là tiệm cận của đồ thị hàm số nếu MH tiến đến 0 khi x
dần đến vô cùng.
Phương pháp:
B1. Tìm TXĐ của hàm số f(x).
B2. Tìm giới hạn của f(x) khi x tiến đến các biên của miền xác định.
B3. Từ các giới hạn suy ra các đường tiệm cận.
3.3
XÉT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp.
Chứng minh phương trình f(x) có nghiệm trong khoảng (a, b) ta thực hiện
như sau:
+) Chứng tỏ f(x) liên tục trên [a, b].
+) Chứng tỏ f(a).f(b)<0.
Khi đó f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a, b).
Nếu chưa có (a, b) ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng
minh f(x)=0 có hai, ba nghiệm thì ta tìm hai, ba khoảng rời nhau và trên mỗi
khoảng f(x)=0 có nghiệm.
Bài tốn 3.6.
