ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

LÊ SƠN TRÀ

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
GIẢI CÁC BÀI TỐN SƠ CẤP

Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2018


Cơng trình được hồn thành tại
Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ VĂN DŨNG

Phản biện 1:
Phản biện 2:

TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU
TS. HOÀNG QUANG TUYẾN

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc
sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày 28
tháng 01 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại
- Trung tâm Thơng tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Đạo hàm và tích phân khơng xác định là hai phép tốn ngược nhau,
chúng thuộc lĩnh vực toán cao cấp nhưng lại liên quan mật thiết và giúp giải
quyết nhiều bài toán sơ cấp. Trước hết việc tìm nguyên hàm cơ bản được
chứng minh bằng đạo hàm, sau đó để tìm ngun hàm ta thường dùng các
công thức hoặc biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản. Có rất nhiều cách để
tìm ngun hàm của một hàm số như dùng bảng nguyên hàm cơ bản, đổi
biến số... Tuy nhiên trong một số trường hợp ta có thể dùng đạo hàm để
kiểm chứng nhanh hơn dùng các phương pháp khác. Ngồi ra, đạo hàm và
tích phân cịn giúp giải quyết rất nhiều bài tốn sơ cấp như bài tốn tính
tổng, bài tốn giới hạn, bài tốn về phương trình, hệ phương trình. . . Với
lý do đó, luận văn này muốn khai thác một ý tưởng chính là dùng đạo hàm
và tích phân để giải một số bài toán sơ cấp. Với sự gợi ý và hướng dẫn khoa
học từ TS Lê Văn Dũng, tôi quyết định chọn đề tài : “Ứng dụng đạo
hàm và tích phân để giải một số bài tốn sơ cấp” cho luận văn
thạc sĩ của mình.
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và thực tiễn. Có thể sử dụng luận văn
như là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán và các đối tượng
quan tâm đến đạo hàm và tích phân.
2. Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống lại các kiến thức cơ bản về đạo hàm, tích phân.
- Ứng dụng đạo hàm và tích phân giải các bài toán sơ cấp.


2

3. Đối tượng nghiên cứu
- Đạo hàm.
- Tích phân.
- Các bài toán sơ cấp giải bằng phương pháp dùng đạo hàm, tích phân.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết đạo hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng
trong giải toán sơ cấp.
5. Phương pháp nghiên cứu
Các kiến thức liên quan đến việc thực hiện luận văn thuộc các lĩnh vực
: Đại số tuyến tính, Giải tích, Lý thuyết Đạo hàm, Lý thuyết tích phân và
các bài tốn sơ cấp.
6. Tổng quan và cấu trúc luận văn
Luận văn có cấu trúc như sau:
Mở đầu
Chương 1: Kiến thức cơ bản Trong chương này, tác giả trình bày
các kiến thức cơ bản về đạo hàm và tích phân.
Chương 2: Ứng dụng đạo hàm và tích phân giải các bài
tốn sơ cấp Chương 2 tập trung phân loại và hệ thống các bài toán sơ
cấp giải bằng phương pháp đạo hàm và tích phân.


3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Cơng thức tính đạo hàm của hàm số hợp
Cho y là hàm số theo u và u là hàm số theo x thì ta có

yx = yu.ux
1.2. Các cơng thức tính đạo hàm
1.2.1. Các quy tắc tính đạo hàm
Với u, v là các hàm số của biến x. Ta có:

(u + v) = u + v
(u + v) = u + v
(uv) = u v + uv
uv−vu
u
( ) =
v
v2
1.2.2. Đạo hàm của một hàm số thường gặp

(ku) = ku
(uα ) = αuα−1u
1
u
= − 2 , (u = 0)
u
u
√
u

u = √ , (u > 0)
2 u


4

1.2.3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

(sin u) = u . cos u
(cos u) = −u .sinu
u
u
(tan u) =
(cot
u)
=
−
cos2u
sin2u
u
u
√
(arcsin u) = √
(arccos
u)
=
−
1 − u2
1 − u2
u

u
(arctan u) =
(u)
=
−
1 + u2
1 + u2
1.2.4. Đạo hàm của hàm số mũ và logarit

(ax) = ax ln a (au) = u .au. ln a
(ex) = ex
(eu) = u .eu
1
u
(logax) =
(logau) =
x ln a
u ln a
1
u
(ln x) =
(ln u) =
x
u
1.2.5. Đạo hàm của hàm số ngược
Định lí 1.2.1. Nếu một hàm số liên tục y = f (x) có hàm ngược

x = f −1 (y) thì hàm số ngược đó cũng liên tục.
Định lí 1.2.2. . Nếu hàm số y = f (x)có đạo hàm yx = 0 và có hàm
số ngược x = f −1 (y)thì hàm số ngược cũng có đạo hàm xy và xy =

1.2.6. Vi phân

y = f (x) ⇒ dy = d [f (x)] = f (x) dx.

1
yx


5

1.3. Các cơng thức tính tích phân bất định
1.3.1. Tính chất của tích phân bất định

f (x) dx

= f (x)

kf (x) dx = k

f (x) dx

[f (x) + g (x)] dx =

f (x) dx +

g (x) dx

[f (x) − g (x)] dx =

f (x) dx −

g (x) dx

d

f (x) dx

= f (x) dx

1.3.2. Sự tồn tại của nguyên hàm
Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a, b] đều có nguyên hàm trên đoạn [a, b]
1.3.3. Bảng tích phân bất định của một số hàm số thường gặp

du = u + C
du
= ln |u| + C, (u = 0)
u
au
u
a du =
+C
ln a
ln udu = u ln u − u + C
du
= tan u + C
cos2u
tan udu = − ln |cos u| + C
chudu = shu + C
thudu = ln (chu) + C

uα+1
+ C, (α = −1)
u du =
α+1
eudu = eu + C
α

ln udu = u ln u − u + C
sin udu = − cos u + C
du
= − cot u + C
sin2u
cot udu = ln |sin u| + C
shudu = chu + C
coth udu = ln (shu) + C

Nhận xét: Các cơng thức trên đây được chứng minh bằng tính chất:

f (x) dx = F (x) + C ⇔ F (x) = f (x) .


6

1.3.4. Tích phân của hàm số ngược
Định lí 1.3.1. Giả sử f (x) là hàm khả vi và đơn điệu. f −1 (x) là
hàm ngược của nó và

f (x) dx = F (x) + C. Khi đó f −1 (x) dx =

xf −1 (x) − F (f −1 (x)) + C.

1.4. Định lý và công thức liên quan
1.4.1. Định lý Rolle
(xem tài liệu tham khảo [8])
Giả sử hàm số f : [a, b] → R có các tính chất:
a. f (x) là hàm liên tục trên [a, b].
b. f (x)khả vi trên (a, b).
c. f (a) = f (b).
Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0
1.4.2. Định lý Lagrange
(xem tài liệu tham khảo [8])
Giả sử hàm số f : [a, b] → Rcó các tính chất:
a. f (x) là hàm liên tục trên [a, b].
b. f (x)khả vi trên (a, b).
Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho

f (b) − f (a) = f (c) (b − a) .
1.4.3. Công thức Euler trên trường số phức

eix = cos x + i sin x;

e−ix = cos x − i sin x

Suy ra

eix + e−ix
cos x =
;
2

eix − e−ix

sin x =
.
2i


7

Tổng quát

einx + e−inx
cos nx =
;
2

einx − e−inx
sin nx =
.
2i

1.4.4. Công thức khai triển Taylor
Cho f (x) là hàm số xác định và có đạo hàm tới cấp n + 1 tại a.

f (a)
f (a)
2
(x − a) +
(x − a) + ... +
1!
2!
(n)

f (a)
f (n+1) (a)
n
n+1
+
(x − a) +
(x − a) .
n!
(n + 1)!

f (x) = f (a) +

a là một số nằm giữa x và a.


8

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TỐN SƠ CẤP

2.1. Bài tốn tính diện tích hình phẳng và thể tích khối trịn
xoay
2.1.1. Các cơng thức
2.1.1. Cơng thức tính diện tích hình phẳng
Cho hàm số y = f1 (x) và y = f2 (x) liên tục trên đoạn [a, b]. Gọi
D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng
x = a, x = b. Khi đó diện tích S của D là
b

|f1 (x) − f2 (x)| dx.

S=
a

2.1.1. Công thức tính thể tích vật thể
Cắt một vật thể M bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với trục
Ox lần lượt tại x = a, x = b (a < b). Một mặt phẳng tùy ý vng góc với
Ox tại điểm x (a ≤ x ≤ b) cắt M theo thiết diện có diện tích là S (x).
Giả sử S (x) liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó thể tích của vật thể M
giới hạn vởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bởi cơng thức
b

V =

S (x) dx.
a

2.1.1. Cơng thức tính thể tích khối trịn xoay
Một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục Ox
và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quay xung quanh trục Ox tạo
thành một khối trịn xoay có thể tích
b

f 2 (x) dx.

V =π
a

9

2.1.2. Ví dụ
Ví dụ 2.1.1. (Đề Đại học Huế khối A, B, 1999)
Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi các đường
5

y = (x + 1) , y = ex, x = 1.
Ví dụ 2.1.2. Tính thể tích thùng chứa rượu là một hình trịn xoay có hai
đáy là hai hình trịn bằng nhau, chiều cao của bình là 16 cm. Biết rằng
đường cong của bình là một cung trịn của đường trịn có bán kính 9cm.
Giải. Khơng mất tính tổng qt, giả sử tâm đường trịn thân bình là gốc
tọa độ.
Khi đó, thể tích của bình là thể tích của hình trịn xoay (H) giới hạn
bởi đường trịn (C) : x2 + y 2 = 81 và các đường Ox, x = −8, x = 8 khi
quay quanh Ox.
8

V =π

√

8
2

81 − x2 dx =

81 − x2 dx =π
−8

−8

2864
π.
3

Ví dụ 2.1.3. Để trang trí cho một phịng trong một tịa nhà, người ta vẽ
lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh của hình lục giác đều có cạnh
bằng 2 dm một cánh hoa hình parabol, đỉnh của parabol cách cạnh 3 dm
và nằm phía ngồi hình lục giác, hai đầu mút của cạnh cũng là hai điểm
giới hạn của đường parabol đó. Hãy tính diện tích của hình nói trên (kể cả
hình lục giác đều) để mua sơn trang trí cho phù hợp.
Giải. Giả sử hình lục giác đều có cạnh 2 dm là ABCDEF .
Ta sẽ tính diện tích một cánh hoa. Chọn hệ trục Oxy sao cho O là
trung điểm của cạnh AB . Gọi I là đỉnh của parabol. Khi đó ta có tọa độ
các điểm là A (−1, 0) , B (1; 0) , I (0, 3). Phương trình của parabol là

y = −3x2 + 3.
Diện tích mỗi cánh hoa là
1

−3x2 + 3 dx = 4.

S1 =
−1


10

Vậy diện tích của hình là

S=6

2

2

√
4

3

+4

√
= 6 3 + 24 dm2 .

Ví dụ 2.1.4. Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m,
biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp
cách nhau 40m, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây
một chân trụ rộng 5m . Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm . Biết một
nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tơng để xây các nhịp cầu là bao nhiêu?
(bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu)
Giải.

Hình 2.5
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O (0; 0) là chân cầu (điểm tiếp
xúc Parabol trên), đỉnh I (25; 2) , điểm A (50; 0) (điểm tiếp xúc Parabol
trên với chân đế). Dựa vào giả thiết của đề bài ta tính được

2 2 4
x + bx;
625
25
1
2 2 4
(P2) : y = −
x + bx − .
625
25
5

(P1) : y = −

Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là

S = S1
, là phần diện tích giới hạn bởi hai Parabol trong khoảng (0; 25).
 0,2

15

−

S = 2
0

6 2 4
x + x dx +

625
25

1 
dx ≈ 0, 9 m2 .
5

0,2


11

Vì bề dày nhịp cầu khơng đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày

V = 0, 2.S ≈ 1, 8 m3 .
Vậy lượng bê tông cần đổ là 36m3 .
Ví dụ 2.1.5. Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vng góc hai
ống nước hình trụ có cùng bán kính đáy bằng a.
Giải.
Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể
tích vật thể V giới hạn bởi hai mặt trụ:

x2 + y 2 = a2, x2 + z 2 = a2 (a > 0) .
Hình vẽ trên mơ tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi x ∈
[0, a] , thiết diện
√ của vật thể vng góc với trục Ox tại x là một hình vng
có cạnh y = a2 − x2 .
Do đó diện tích của thiết diện là

√

S (x) =

a2

−

x2

2

= a2 − x2, x ∈ [0, a] .

Vậy thể tích của vật thể là
a

V =8

a

a2 − x2 dx =

S (x) dx = 8
0

0

x3
= 8 a x−
3

a

2

0

16a3
=
.
3

Ví dụ 2.1.6. Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính 30cm , người ta cắt
khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một
góc 45o để lấy một hình nêm. Tính thể tích V của hình nêm.
Giải.


12

Hình 2.9
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình trịn
có phương trình
√

225 − x2, x ∈ [−15, 15] .

y=

Một một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x,

x ∈ [−15, 15] cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích S (x) . Ta thấy

N P = y, M N = N P tan 45o = y =

152 − x2.

Khi đó

1
1√
1
S (x) = .M N.N P ==
225 − x2S (x) = 225 − x2 .
2
2
2

Vậy thể tích hình nêm là
15

S (x) dx = 2250 cm3 .

V =
−15

Ví dụ 2.1.7. Chứng minh rằng
1. Thể tích của một khối trụ có bán kính đáy R và chiều cao h là

V = πR2h.
2. Thể tích của phao có bán kính lớn R và bán kính bé r là V = 2Rπ 2 r2 .

Giải. 1. Diện tích phần mặt cắt A (x) = πR2 . Khi đó thể tích của khối
trụ được tính bởi cơng thức
h

πR2dx = πR2

V =

h
0

= πR2h.

0

2. Xét một mặt cắt ngang như thể hiện trong bản phác thảo ở bên phải.


13

Nếu chúng ta cắt phao vng góc với trục y chúng ta sẽ có một mặt cắt
ngang như hình vẽ.

Hình 2.15
Diện tích mặt cắt ngang là

S (y) = 4πR r2 − y 2.
Khi đó thể tích của phao là
r

r

4πR r2 − y 2dy = 2

V =
−r

r

4πR r2 − y 2dy = 8πR
0

r2 − y 2dy
0

=

2Rπ 2r2.

2.2. Tính diện tích bề mặt của vật thể
2.2.1. Cơng thức tính diện tích bề mặt của vật thể
Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên [a, b]. Khi đó diện tích
bề mặt của vật thể có được bằng cách quay đồ thị hàm số y = f (x) quanh
Ox được cho bởi cơng thức

S=
với ds =

1+

dy
dx

2πyds

2

dx.

2.2.2. Một số ví dụ
Ví dụ 2.2.1.
√ Xác định diện tích bề mặt của chất rắn thu được bằng cách
quay y = 9 − x2 ,−2 ≤ x ≤ 2 quanh trục Ox.


14

Giải. Công thức mà chúng ta sẽ sử dụng ở đây là

S=

2πyds

Vậy diện tích
2

S=
−2

√

3
2π 9 − x2. √
dx =
9 − x2

2

6πdx = 24π.
−2

2.3. Bài tốn tính tổng hữu hạn
2.3.1. Các khái niệm và cơng thức
a. Cơng thức tính tổng cấp số cộng, cấp số nhân

• Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và cơng sai d.
Đặt

Sn = u1 + u2 + ... + un
Khi đó

n
n
[2u1 + (n − 1) d] = (u1 + un)
2
2
• Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 và cơng bội q = 1.
Sn =

(2.1)

Đặt

Sn = u1 + u2 + ... + un
Khi đó

u1 (1 − q n)
Sn =
.
1−q

(2.2)

b. Cơng thức Nhị thức Newton
n

(a + b) = Cn0an + Cn1an−1b + ... + Cnk an−k bk + ... + Cnnbn
n

Cnk an−k bk

=

(2.3)

k=0

• Nhận xét 1.
Cn0 + Cn1 + ... + Cnn = 2n.
n

Cn0 − Cn1 + ... + (−1) Cnn = 0.


15
n

(1 + x) = Cn0 + Cn1x + ... + Cnk xk + ... + Cnnxn
• Nhận xét 2. Lấy đạo hàm hai vế (2.4) ta được
n−1
Cn1 + 2Cn2x... + kCnk xk−1 + ... + nCnnxn−1 = n(1 + x)

(2.4)
(2.5)

Thay x = 1 vào (2.5) ta được

Cn1 + 2Cn2... + kCnk + ... + nCnn = n2n−1

(2.6)

Thay x = −1 vào (2.5) ta được

Cn1 − 2Cn2... + n(−1)

n−1

Cnn = 0

(2.7)

1
, (a = 0) vào (2.5) ta được
a
2 2
k k
n n
1 n−1
1
Cn + Cn ... + k−1 Cn + ... + n−1 Cn = n 1 +
(2.8)
a
a
a
a
• Nhận xét 3. Lấy tích phân từ a đến b hai vế của (2.4) ta được
n+1
n+1
b − a 0 b2 − a2 1
bn+1 − an+1 n (1 + b) − (1 + a)
Cn +
Cn + ... +
Cn
1
2
n+1
n+1

Thay x =

(2.9)

2.3.2. Một số ví dụ
Ví dụ 2.3.1. Tính các tổng sau
a. A = 1 + 2x + 3x2 + ... + nxn−1 .
b. B = 1 + 4x + 9x2 + ... + n2 xn−1 .
c. F = cos x + cos 2x + ... + cos nx.
Giải.
c. F = cos x + cos 2x + ... + cos nx. Ta có

F dx =

(cos x + cos 2x + ... + cos nx) dx

= sin x + sin 2x + ... + sin nx + C
Ta tính tổng S = sin x + sin 2x + ... + sin nx
- Với x = k2π : S = 0.
- Với x = k2π :


16

x
x
x
x
2 sin .S = 2 sin x sin + 2 sin 2x sin + ... + 2 sin nx sin
2
2
2

2
x
3x
3x
5x
= cos − cos
+ cos
− cos
+ ...
2
2
2
2
(2n − 1) x
(2n + 1) x
+ cos
− cos
2
2
x
(2n + 1) x
= cos − cos
2
2
cos
Suy ra S =

x
(n + 1) x
(2n + 1) x

nx
sin
− cos
sin
2
2
2
2
=
x
x
2 sin
sin
2
2

Nên

sin
F dx = sin x+sin 2x+...+sin nx+C =

(n + 1) x
nx
sin
2
2 +C, (x = k2π)
x
sin
2

Lấy đạo hàm hai vế ta được

n sin
F =

(2n + 1) x
x
nx
sin − sin2
2
2
2 , (x = k2π) .
nx
2sin2
2

Ví dụ 2.3.2. Tính tổng
0
1
2
2018
S = C2018
+ 2.C2018
+ 3.C2018
+ ... + 2019.C2018
.

Giải.
Từ công thức (2.4)
n

(1 + x) = Cn0 + Cn1x + ... + Cnk xk + ... + Cnnxn.
Thay n = 2018 ta được
2018
0
1
2
2018 2018
(1 + x)
= C2018
+ C2018
x + C2018
x2 + ... + C2018
x .

(2.10)

Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta thu được
2017

1
2
2018 2017
= C2018
+ 2.C2018
x + ... + 2018.C2018
x .
Trong (2.10) thay x = 1 ta được
0
1

2
2018
22018 = C2018
+ C2018
+ C2018
... + C2018
= S1.

2018(1 + x)

(2.11)


17

Trong (2.11) thay x = 1 ta được
1
2
2018
2018.22017 = C2018
+ 2.C2018
+ ... + 2018.C2018
= S2.
0
1
2
2018
S − S2 = C2018
+ C2018
+ C2018

+ ... + C2018
= S1.

Vậy

S = S1 + S2 = 2018.22017 + 22018 = 1010.22018.
Ví dụ 2.3.3. Chứng minh rằng, với mọi số ngun dương n, ta ln có

Cn2 + 2Cn3 + ... + (n − 1) Cnn > (n − 2) .2n−1.
Giải. Từ cơng thức (2.1) ta có
n

(1 + x) = Cn0 + Cn1x + ... + Cnk xk + ... + Cnnxn.

(2.12)

Lấy đạo hàm hai vế ta có
n−1

n(1 + x) Cn1 + 2.Cn2.x... + k.Cnk .xk−1 + ... + n.Cnn.xn−1.
Thay x = 1 vào (2.12) và (2.13) ta được
Cn0 + Cn1 + ... + Cnn = 2n;
Cn1 + 2.Cn2 + ... + n.Cnn = n.2n−1.

(2.13)
(2.14)
(2.15)

Lấy (2.15) trừ (2.14) theo vế ta được

− Cn0 + Cn2 + 2Cn3 + ... + (n − 1) .Cnn = n.2n−1 − 2n
⇔ Cn2 + 2Cn3 + ... + (n − 1) .Cnn = (n − 2) .2n−1 + 1 > (n − 2) .2n−1.
2.4. Bài tốn phương trình, bất phương trình
2.4.1. Ứng dụng đạo hàm giải bài tốn phương trình, bất phương
trình
Ví dụ 2.4.1. (ĐH, khối A, 2008)
Tìm m
√ trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt
√ để phương
4

2x +

√
√
4
2x + 2 6 − x + 2 6 − x = m, (m ∈ R) .

Giải. Điều kiện của phương trình 0 ≤ x ≤ 6.
Xét hàm số √
4

f (x) =

2x +

√

√
√

4
2x + 2 6 − x + 2 6 − x, x ∈ [0, 6] .


18

Ta có

 

f (x) =
+



1
1
1
1  1
√
√
+
+
−
 
4
4
4
2
4

2
6−x
2x (6 − x)
2x
(2x)
1
1
1
1
√
√
√
√
+
−
4
4
4
4
6−x
6−x
2x
2x

Nhận
 xét

1 1
+


2 4 (2x)2

1
4

(6 − x)


4

1
+
2x (6 − x)

1
4

(6 − x)

2

1

+ √
4

2x

+√
4

1
6−x

> 0,

với mọi x ∈ (0, 6)
Nên

1
1
√
−
=0
f (x) = 0 ⇔ √
4
4
6
−
x
2x
√
√
4
⇔ 2x = 4 6 − x
⇔ x = 2.

Ta có bảng biến thiên

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm

số y = f (x) và đường thẳng y = m trên đoạn[0, 6].
Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán
là

√
√
√
4
2 6 + 2 6 ≤ m < 3 2 + 6.

2.4.2. Ứng dụng tích phân giải phương trình, bất phương trình
Ví dụ 2.4.2. Cho các số thực a, b, c, n thỏa mãn

a
b
c
+
+ = 0, n > 0.
n+2 n+1 n

2





19

Chứng minh phương trình

ax2 + bx + c = 0
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0, 1) .
Giải. Với n > 0, xét tích phân
n+1

ax

n

+ bx + cx

n−1

axn+2 bxn+1 cxn
+
+
+C
dx =
n+2 n+1
n

Xét một nguyên hàm

axn+2 bxn+1 cxn
F (x) =
+
+
, x ∈ [0, 1] .
n+2 n+1
n

F (x) liên tục trên [0, 1] và F (0) = 0;
a
b
c
F (1) =
+
+ = 0, n > 0.
n+2 n+1 n
Theo định lý Lagrange, tồn tại ít nhất một số thực x0 ∈ (0, 1) sao cho
F (1) − F (0) = F (x0) (1 − 0) = F (x0) .
Suy ra F (x0 ) = 0, mà
F (x) = axn+1 + bxn + cxn−1 = xn−1 ax2 + bx + cx
nên

ax20 + bx0 + c = 0 ⇔ ax20 + bx0 + c = 0.
F (x0) = 0 ⇔ xn−1
0
Vậy phương trình

ax2 + bx + c = 0
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0, 1) .

• Nhận xét.
Từ bài tốn trên ta có thể sáng tạo các bài toán khác bằng cách thay
các giá trị dương của n.
1) Với n = 1, ta có bài tốn:
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 2a+3b+6c = 0. Chứng minh phương
trình

ax2 + bx + c = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0, 1) .
2) Với n = 2, ta có bài tốn:
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 3a+4b+6c = 0. Chứng minh phương


20

trình

ax2 + bx + c = 0
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0, 1) .
Ví dụ 2.4.3. Chứng minh rằng 1 +
nguyên dương n.

1 1
1
+ + ... + > ln n với mọi số
2 3
n

Giải.

1
và các đường
x
thẳng y = 0, x = 1, x = n + 1. S là diện tích của hình (H). Khi đó
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
n+1

S=

1
dx = ln (n + 1) .
x

1

1
và các đường
x
thẳng y = 0, x = i, x = i + 1, i = 1, n. Si là diện tích của hình (Hi ).
1
Do y = là hàm nghịch biến trên mỗi khoảng xác định và diện tích
x
Gọi (Hi ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

hình thang cong bé hơn diện tích hình chữ nhật chứa nó nên

1
Si < .
i
Ta lại có

n

S=

Si
i=1

nên

S <1+

1 1
1
+ + ... +
2 3
n

hay

ln (n + 1) < 1 +

1 1
1
+ + ... + .
2 3
n

Mà ln (n + 1) > ln n. Vậy

1+

1 1
1
+ + ... + > ln n (đpcm) .
2 3
n

21

2.5. Bài tốn giới hạn
2.5.1. Định nghĩa tích phân xác định
Giả sử f (x) là hàm số xác định trên đoạn ∆ có hai đầu mút a, b.
T ∈ P (∆) là một phân hoạch của ∆ với các điểm chia

a = x0, x1, ..., xn = b.
Trên mỗi đoạn con ∆i với hai đầu mút xi−1 , xi ta lấy một điểm ξi tùy ý và
lập tổng
n

n

f (ξi) (xi − xi−1) =

σf (T, ξ) =
i=1

f (ξi) ∆xi.
i=1

Tổng σf (T, ξ) là một số xác định; số đó phụ thuộc số khoảng nhỏ n, phụ
thuộc ξi và phụ thuộc cách phân hoạch T.
Gọi d (T ) là đường kính phân hoạch.
Xét giới hạn

lim σf (T, ξ) ,

d(T )→0

nếu giới hạn tồn tại thì được gọi là tích phân xác định của hàm f (x) trên
đoạn ∆ với hai đầu mút a, b. Và viết
b

f (x) dx.
a

Giới hạn
b

lim σf (T, ξ) =

f (x) dx

d(T )→0

a

không phụ thuộc vào cách phân hoạch và khơng phụ thuộc vào cách chọn
ξi.
2.5.2. Một số ví dụ
Ví dụ 2.5.1. Tính giới hạn lim Sn với
n→∞

1. Sn =

π
2π

(n − 1) π
1
1 + cos + cos
+ ... + cos
.
n
n
n
n

(Đề thi ĐHQG Hà Nội, khối D, 1995)
2. Sn =

n
n
n
+
+
...
+
.
1 + n2 22 + n2
n2 + n2


22

(Đề thi Học viện kĩ thuật mật mã, 1999)
3. Sn =

3
1+
n

n
+
n+3

n
+ ... +
n+6

n
.
n + 3 (n − 1)


4. Sn =




1
1
1
1

.
+
...

+
+
π
nπ


2π
n 1 + sin
1
+
sin
2n 1 + sin 2n
2n

(Đề thi ĐHQG Hà Nội, khối B, 1995)
Giải.
1. Ta có

(n − 1) π
1
π
2π
1 + cos + cos
+ ... + cos
n
n
n
n
1 n−1
i

=
cos π
n 1
n

Sn =

n−1

=
1

i
1
cos π .
n
n

Xét hàm số f (x) = cos πx là hàm số khả tích trên [0, 1] .
Chia [0, 1] bởi các điểm chia xi =

i
1
, ∆xi = .
n
n

Theo định nghĩa tích phân ta có
1

lim Sn =

1

f (x) dx =

n→∞

0

Ví dụ 2.5.2. Tính lim

n→∞

1
√

0
n

1
1
cos πxdx = sin πx = 0.
π
0

n n k=1

√

k .


23

KẾT LUẬN

Trong luận văn này em đã thực hiện được các nội dung sau:
- Trình bày các kiến thức cơ bản về đạo hàm và tích phân.
- Hệ thống lại các cơng thức tính đạo hàm và tích phân đã biết.
- Phân loại và hệ thống các dạng bài toán sơ cấp giải bằng ứng dụng
đạo hàm và tích phân như: bài tốn tính diện tích và thể tích, bài tốn tính
tổng, bài tốn về phương trình, bất phương trình, bài toán giới hạn...
- Giải quyết một cách chi tiết và tỉ mỉ các dạng toán quen thuộc và
đưa ra phép so sánh giữa cách giải thông thường và phương pháp ứng dụng
đạo hàm, tích phân.
Xin chân thành cảm ơn!