ĐẠI H CăĐÀăNẴNG
TR
NGăĐẠI H CăS ăPHẠM

NGUYỄN THỊ THẾ NHÂN

ỨNG DỤNG XÁC SU TăĐỂ GIẢI
CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP

Chuyên ngành: Ph ơngăphápătốnăsơăc p
Mưăsố:ă60.46 .01.13

TĨMăTẮTăLU NăV NăTHẠCăSĨăKHOAăH C

Đ ăN ng - N mă2017


TR

Cơng trình được hồn thành tại
NGăĐẠIăH CăS ăPHẠM,ăĐHĐN

Ng

iăh

ngăd năkhoaăh c:

TS.ăCaoăV năNuôi

Phản biện 1: TS. Lê Văn Dũng

Phản biện 2: TS. Trần Đức Thành

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp Toán Sơ
Cấp tại Trường Đại học Sư phạm ngày 28 tháng 1 năm
2017.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


2
M ăĐ U
1. Lý do ch năđ ătƠi:
Hiện nay trong chương trình tốn ở bậc phổ thơng, phần tổ
h p – xác suất là m t trong những n i dung quan trọng, nó thường
xuất hiện trong các đề thi cao đẳng và đ i học ở nước ta. Mặc dù ở
m c đ khơng khó nhưng học sinh vẫn gặp khó khăn khi giải quyết
các bài tốn này. Cịn trong các kỳ thi Quốc gia và Quốc tế, các bài
tốn tổ h p ln có mặt và là m t thử thách thực sự với các thí sinh,
thậm chí quyết định thành tích đối với các đ i tuyển dự thi. Trong
thực tế có nhiều bài tốn xác suất thường đư c giải nhờ ng d ng
các kỹ thuật tính tốn c a tổ h p. Ngư c l i, theo cách nhìn khác thì
ta có thể ng d ng các kỹ thuật tính tốn c a xác suất để giải các bài
tốn tổ h p, nên tơi chọn đề tài: “

ng d ng xác suất để giải các bài

toán tổ h p” làm đề tài luận văn tốt nghiệp bậc học cao học Tốn c a

mình, nhằm ph c v cho công tác giảng d y c a tơi nói chung và
luyện thi học sinh giỏi nói riêng
2. M căđíchănghiênăc u:
- Nghiên c u về lý thuyết xác suất và ng d ng các kỹ thuật tính
tốn c a lý thuyết xác suất để giải các bài toán tổ h p
3. Đ iăt

ngăvƠăph măviănghiênăc u:

- Đối tư ng:

ng d ng xác suất để giải các bài toán tổ h p

- Ph m vi nghiên c u: Xác suất, tổ h p và ng d ng c a lý thuyết
xác suất đến tổ h p
4. Ph

ngăphápănghiênăc u


3
- Nghiên c u lý thuyết thông qua việc sưu tầm các lo i tài liệu như
sách, báo, t p chí, m ng internet, thầy cơ, b n bè. Trình bày m t cách
có hệ thống các n i dung lý thuyết đã nghiên c u và tìm hiểu. M i
n i dung ta phải ch ng minh c thể, rõ ràng và lấy ví d minh họa
xác thực dễ hiểu.
- Phân lo i và hệ thống các d ng toán c thể.
5. ụănghƿaăkhoaăh căvƠăthựcăti năc aăđ ătƠi:
Đề tài đã tổng h p các lý thuyết xác xuất, tổ h p.
Đề tài sẽ h tr các b n sinh viên ngành Tốn ng d ng các

kỹ thuật tính tốn c a xác suất để tính các bài tốn tổ h p.
6.ăC uătrúcăc aălu năvĕn
Ch

ngă1.ăC ăs ălỦăthuy tăxácăsu t

Ch

ngă2.ă ngăd ngăxácăsu tăđ ăgi iăcácăbƠiătốn t ăh p

Ch

ngă3.ăM tăs ăvíăd ăminhăh a


4
Ch

ngă1

C ăS ăLụăTHUY TăXỄCăSU T
1.1 CỄCăKHỄIăNI MăM

Đ U

1.1.1. ăđoăxácăsu tăvƠăkhôngăgianăxácăsu t

Xét  là m t tập khác r ng,  là  - đ i số các tập con

c a  và  là đ đo xác định trên . Nếu đ đo  thỏa mãn:

 ( )  1

Thì ta nói  là m t đ đo xác suất trên 

Khi đó ta gọi b ba (  ,,  ) là m t không gian xác suất.
Trong tường h p không gian mẫu hữu h n hoặc vô h n đếm đư c,
người ta thường lấy  = (  ) với (  ) là lớp tất cả các tập con
c a  và thường kí hiệu  = P (P là viết tắt c a từ Probability).
Khi đó người ta gọi:

-/ Tập chỉ ch a m t phần tử c a không gian mẫu {  } là biến cố sơ
cấp.

-/ Tập A   là biến cố.

-/ Nếu A, B   và A  B thì ta nói B là biến cố kéo theo c a A
-/ Nếu A, B  

khắc nhau.

và A  B =  thì A và B gọi là hai biến cố xung

-/ Nếu A   và B =  \ A thì A và B gọi là hai biến cố đối nhau.


5

-/ Tập  đư c gọi là biến cố chắc chắn (surely event).

-/ Tập  đư c gọi là biến cố không thể (hay bất khả) (the imposible

event).
1.1.2 Cácăđ nhănghƿaăc ăđi năc aăxácăsu t
Đ nhănghƿaăc ăđi năc aăxácăsu t
Giả sử xác suất c a các biến cố sơ cấp là đồng khả năng và

tập  (thường gọi là không gian mẫu) có số phần tử hữu h n. Giả sử
n là số tất cả các kết quả có thể xảy ra trong m t thí nghiệm ngẫu
nhiên để biến cố A nào đó xảy ra và m là số tất cả các trường h p
biến cố A có thể xảy ra.
Khi đó xác suất c a biến cố A theo định nghĩa cổ điển c a xác suất
là :

P ( A) 

m
n

Ta dễ dàng thử l i rằng với định nghĩa cổ điển c a xác suất

như thế thì nó thỏa mãn các tiên đề c a m t đ đo xác suất trên  -

đ i số lớp tất cả các tập con c a  .
Đ nhănghƿaăhìnhăh căc aăxácăsu t

Ta kí hiệu G là miền khơng gian mẫu c a m t thí nghiệm
ngẫu nhiên về biến cố A nào đó và g đư c kí hiệu là miền biểu diễn
biến cố g xảy ra.
Định nghĩa theo hình học xác suất c a biến cố A là :

P ( A) 

meas ( g )
.
meas(G )

trong đó Meas(g) là đ đo c a miền g


6
Rõ ràng, định nghĩa hình học c a xác suất thỏa mãn các tiên đề c a
m t đ đo xác suất.
Đ nhănghƿaăxácăsu tătheoăth ngăkê
Trong m t thí nghiệm ngẫu nhiên có n trường h p xảy ra và
trong đó có m trường h p biến cố A xảy ra. Định nghĩa theo thống kê
c a biến cố A là :

P ( A)  lim

m
n  n

Trong thực tế với n đ lớn, người ta xấp xỉ :

P ( A) 

m
.
n

1.2 CỄCăTệNHăCH TăC AăĐ ăĐOăXỄCăSU T
Vì đ đo xác suất là m t đ đo nên nó có tất cả các tính chất
c a m t đ đo trên các vành. Ngồi ra nó cịn có thêm m t số tính
chất đặc biệt khác. Trong phần này ta chỉ đề cập đến các tính chất
đặc biệt c a đ đo xác suất và khơng nhắc l i các tính chất c a đ đo
trên vành đã biết . Ta kí hiệu (  ,,  ) là m t không gian xác suất.
Tínhăch tă1. Với mọi biến cố A   ta có 0   ( A)  1.
Tínhăch tă2. Với mọi biến cố A   ta có :

 ( AC )  1   ( A)

Tínhăch tă3. Với mọi biến cố A, B   ta có :

 ( A B)   ( A)   ( B)   ( A B)

Công th c này đư c gọi là công th c c ng xác suất.


7
1.3 XỄCăSU TăĐI UăKI NăVĨăCỌNGăTH CăXỄCăSU Tă
TOĨNăPH Năă(Đ YăĐ )ă
1.3.1

Xácăsu tăđi uăki n

Cho họ {An }nN   .Ta nói họ này là họ đầy đ các biến cố

nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn:
1/  ( An )  0, n.

2/ Ai  Aj  , i  j
3/  Ai  .
n

i 1

Đ nhălíă1.3.1 Xét B   và  ( B)  0 . Lớp B ={ A B \A  } t o

thành 1  - đ i số con c a  - đ i số 
Đ nhălíă1.3.2. Với mọi A   hàm tập:

 B ( A) 

 ( A B)
, (B  ,  ( B)  0 )
 ( B)

là m t đ đo xác suất và đư c gọi là xác suất điều kiện với điều kiện
B.

Hơn nữa,  B ( B)  1 nên  B là m t đ đo xác suất trên B Không

gian (B; B;  B )là không gian xác suất con c a c a không gian xác

suất (  ,,  ).

Đ đo  B đư c gọi là xác suất điều kiện với điều kiện B.

8
Từ cơng th c tính xác suất điều kiện ta suy ra:

 ( A B)   ( B). ( A)

Công th c này đư c gọi là công th c nhân xác suất.
1.3.2

Côngăth căxácăsu tătoƠnăph n:

Đ nhălỦă1.3.3 Với mọi biến cố E trong không gian xác suất

(  ,,  ) có họ các biến cố đầy đ {An }nN , ta ln có cơng th c

xác suất tồn phần:

 ( E )    ( Ai ). A ( E )
n

i 1

1.3.3

i

Côngăth căBayes

Đ nhălỦă1.3.4. Với mọi E  ,  ( E )  0 , ta ln có cơng th c:

 E ( Aj ) 

 A ( E ). ( Aj )

  ( A ).


i 1

j

i

Ai

( E ),

Công th c này đư c gọi là cơng th c Bayes.
Víăd . Có hai cái h p:
-/ H p th nhất: ch a 1 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh, 3 viên bi trắng;
-/ H p th hai: ch a 2 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 4 viên bi trắng..
Chọn ngẫu nhiên m t h p và lấy ra m t viên bi trong h p đó.
a/ Tính xác suất để chọn đư c bi màu trắng.
b/ Biết bi chọn đư c là bi màu trắng, tính xác suất để nó thu c h p
th hai.
1.4 BI NăNG UăNHIểNăVĨăHĨMăPHỂNăPH I
1.4.1.ăBi năng uănhiên


9

Cho (  ,,  ) là không gian xác suất và (X;) là m t
không gian đo đư c. Ta gọi ánh x :

 :  X

là m t biến ngẫu nhiên X –giá trị nếu và chỉ nếu nó là m t ánh x (

- ) –đo đư c, nghĩa là với mọi B   ta có  1 ( B)  

*/ Nếu X =  và  = ( ) là  -đ i số Borel c a  thì ta nói  là
m t đ i lư ng ngẫu nhiên.

*/ Nếu X = n, n > 1và  = (n ) là  -đ i số Borel c a n thì ta

nói  là vectơ nẫu nhiên.

1.4.2.ăPhơnăph iăxácăsu tăvƠăhƠmăphơnăph iăxácăsu t

Cho  là m t biến ngẫu nhiên, với mọi B  (n ) ta gọi:

 ( B)   ( 1 ( B))

là đ đo ảnh c a  qua ánh x  và nó là m t đ đo xác suất trên
(n ).  còn đư c gọi là phân phối xác suất c a 

Hàm số:

F ( x)   [(; x)]  [ 1 (; x)], x  

đư c gọi là hàm phân phối xác suất c a 

Đ nhălíă1.4.1. Hàm phân phối xác suất F c a đ i lư ng ngẫu nhiên

 có các tính chất:


10

a/ Đơn điệu không giảm, nghĩa là nếu x1  x2 thì

F ( x1 )  F ( x2 )

b/ F ()  lim F ( x)  1, F ()  lim F ( x)  0.
x

x

= ()   ()  0

1.4.3.ăBi năng uănhiênăr iăr c,ăbi năng uănhiênăliênăt cătuy tăđ i
Đ nhăănghƿaă1.4.1. Biến ngẫu nhiên  đư c gọi là biến nhẫu nhiên

đơn giản ( hay có phân phối đơn giản) nếu và chỉ nếu hàm phân phối
xác suất c a nó là hàm đơn giản, nghĩa là hàm phân phối xác suất
c a nó có d ng:

F ( x)    i . Ai ( x),
n

i 1

Trong đó Ai  (),  i  , i, n  ,
/

0, n eˆ u x  Ai
 Ai ( x)  
/
1, n eˆ u x  Ai .

Biến ngẫu nhiên  đư c gọi là biến ngẫu nhiên rời r c nếu và chỉ
nếu hàm phân phối xác suất c a nó là hàm rời r c, nghĩa là nó có
d ng:

F ( x)    i . Ai ( x),


i 1


11

Víăd . Đ i lư ng ngẫu nhiên  có Im(  ) =  và có hàm khối lư ng
( the mass function) pk  P (  k )  e   .

k
k!

,   0 là đ i lư ng

ngẫu nhiên rời r c và đư c gọi là đ i lư ng ngẫu nhiên có phân phối

Poisson với tham số 

Đ nhănghƿaă1.4.2. Biến ngẫu nhiên  đư c gọi là có phân phối tuyệt
đối liên t c nếu và chỉ nếu tồn t i hàm f ( x) không âm sao cho hàm
phân phối xác suất c a nó có d ng:

F ( x)  

x



f (t )dt

Hàm f (t ) đư c gọi là hàm mật đ c a 

Đ nhălíă1.4.2. Hàm mật đ c a đ i lư ng ngẫu nhiên  có các tính
chất:

a/ f ( x)  0

b/ P (a    b) 
c/







f (t )dt  1



b

a

f (t )dt  F (b)  F (a )

Víăd . Biến ngẫu nhiên  có hàm mật đ đư c cho bởi:
1  x  
 

 
1
f ( x) 
.e 2 
2 .

2

,  0

đư c gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn (phân phối Gauss)
tham số (  ;  ).


12

1.5 KǵăV NGăVĨăPH

NGăSAIăC AăBI NăNG UăNHIểN

1.5.1.ăKǶăv ng (Expectation)

Cho ( ; ; P) là m t không gian xác suất và  là đ i lư ng

ngẫu nhiên.
Nếu tồn t i





 P (d ) thì ta nói  có kì vọng và kì vọng c a nó

đư c xác định bởi:
trong đó, P  P  1.



E(  ) =



 P (d ) =  xP (dx),
R

*/ Nếu  là đ i lư ng ngẫu nhiên rời r c có Im(  ) = {xi i  N} và

pi  P (  i ) là hàm khối lư ng thì kì vọng c a nó là:
E(  ) =

x p


i 0

i

i

nếu tổng đó h i t tuyệt đối.

*/ Nếu  là đ i lư ng ngẫu nhiên liên t c tuyệt đối có hàm mật đ

f (t ) thì kì vọng c a nó là:

E(  ) =







f (t )dt

nếu tích phân đó h i t tuyệt đối.

*/ăCácătínhăch tăc aăkǶăv ng

M nhăđ ă1.5.1. Giả sử  và  là các đ i lư ng ngẫu nhiên có kỳ
vọng.
Khi đó, ta có:


a/ E(  + ) = E(  ) + E( )

13

b/ Với mọi k   ta ln có E (k. )  k.E ( ) .

c/ Nếu  và  là các đ i lư ng ngẫu nhiên đ c lập, nghĩa là với mọi
A, B  () ta có

P[ 1 ( A). 1 ( B)]  P[ 1 ( A)].P[ 1 ( B)] thì E(  . ) =

E(  ).E( )

Chú ý. Nếu  = k là hằng số thì E(k) = k

1.5.2. Ph

ngăsaiă(Variance)

Cho đ i lư ng ngẫu nhiên  , nếu tồn t i E (  E ) 2 thì ta gọi đ i

lư ng này là phương sai c a đ i lư ng ngẫu nhiên  và đư c kí hiệu
Var(  ).

Vậy:

Var(  ) = E (  E ) 2

*/ăCácătínhăch tăc aăph

ngăsai

M nhăđ ă1.5.2. Nếu  là đ i lư ng ngẫu nhiên có phương sai thì:
Var(  ) = E ( 2 )  [E ( )]2 .

M nhăđ ă1.5.3. Nếu  = k (hằng số) thì Var(  ) = 0
M nhăđ ă1.5.4. Nếu k là hằng số và  là đ i lư ng ngẫu nhiên có
phương sai thì

Var(k  ) = k2.Var(  )


14

M nhăđ ă1.5.5. Nếu  và  là hai đ i lư ng ngẫu nhiên đ c lập thì
Var(  +  ) = Var(  )+Var( ).

1.6.ăLU TăS ăL NăD NGăY U
1.6.1.ăĐ nhănghƿa

Đ nhănghƿaă1.6.1. Cho dãy đ i lư ng ngẫu nhiên { n }nN và đ i
lư ng ngẫu nhiên  n đư c xác định như sau:

 n  fn (1 ;  2 ;...;  n )

trong đó fn là hàm đối x ng.

Nếu tồn t i dãy số thực {a n }nN sao cho với m i   0 tùy ý cho
trước, ta có:

lim P{  n  a n   }  1
n 

thì ta nói dãy { n }nN tn theo luật số lớn d ng yếu với dãy hàm {
fn }
Chú ý. Trong lý thuyết xác suất cổ điển, người ta thường lấy:

n 

1   2  ...   n
n

;

an 

1 n
 Ei
n i 1

Nếu dãy { n }nN tuân theo luật số lớn d ng yếu khi và chỉ khi với
m i   0 cho trước bất kỳ, ta có:

lim P{

n 

1 n
1 n


Ei   }  1
 i n
n i 1
i 1

1.6.2.ăLu tăs ăl năd ngăy u


15

Đ nhălíă1.6.1. Với mọi biến ngẫu nhiên  có phương sai hữu h n và

với   0 cho trước tùy ý, ta ln có:

P (   E   ) 

Var( )

2

Bất đẳng th c này đư c gọi là bất đẳng th c Chebyshev.
Đ nhălíă1.6.2 ( Định lí Chebyshev) Giả sử dãy đ i lư ng ngẫu nhiên

{ n }nN đ c lập đôi m t và có phương sai đồng bị chặn, nghĩa là tồn

t i 0 < c <  sao cho Var ( n )  c, n . Khi đó dãy { n }nN tuân

theo luật số lớn d ng yếu, nghĩa là với m i   0 cho trước bất kì, ta
có:

1 n

1 n
lim P   i   Ei     1
n 
n i 1
 n i 1


Đ nhălíă1.6.3. ( Định lí Bernoulli) Giả sử  là số lần xảy ra c a biến
cố A trong n phép thử đ c lập và p là xác suất xảy ra c a biến cố A
trong m i phép thử. Khi đó, với bất kì   0 cho trước ta ln có:



lim P   p     1
n 
n


Đ nhălíă1.6.4. ( Định lý Poisson) Gọi  là số lần xảy ra biến cố A
trong n phép thử đọc lập và pk là xác suất xảy ra biến cố A trong lần

thử th k. Khi đó với m i   0 cho trước, ta có:

16

n


pk

lim P   k 1
   1
n 
 n

n



.

Đ nhălíă1.6.5. (Định lý Khinchine) Giả sử { n }nN là đ c lập và

cùng phân phối với kì vọng hữu h n (  a  E n  ) . Khi đó,
nó tuân theo luật số lớn d ng yếu, nghĩa là với mọi   0 cho trước

bất kì, ta có:

1 n

lim P   i  a     1

n 
 n i 1



17

CH

NGă2

NGăD NGăXỄCăSU TăĐ ăGI IăCỄCăBĨIăTOỄNăT ăH P
2.1. NGUN LÍ DIRICHLET
2.1.1.ăNgunălíăDirichletă1ă(ăNgunălíăchimăb ăcơu)
Gọi n là m t số nguyên dương, ta đặt [n]={1,2,…..,n}.
Trong chương này, X là m t tập h p và k là số nguyên không âm
sao cho k ≤ |X|, ta ký hiệu C(X, k) là họ tất cả các tập con k phần tử
c a X.
Vì vậy, |C([n], k)| = C (n,k) , với 0 ≤ k ≤ n.
Nguyên lý chuồng bồ câu khẳng định rằng nếu n+1 chim bồ
câu đư c nhốt vào n chuồng bồ câu, thì sẽ có ít nhất m t chuồng
ch a ít nhất 2 con chim bồ câu. Hơn nữa, nếu n và k là số nguyên

dương, t  n(k  1) và f : t    n  là hàm số bất kỳ, khi đó có m t
tập con k phần tử H  t  và m t phần tử j  [n] sao cho f  i   j
với m i i  H .

2.1.2.ăNguyênălíăDirichletăm ăr ng
Giả sử A1,..., Ak là các tập con c a tập hữu h n S.
a) Nếu m i phần tử c a S ch a trong ít nhất r tập con Ai, thì

A1  ...  Ak  r . S

b) Nếu m i phần tử c a S ch a đúng trong r tập con Ai, thì

A1  ...  Ak  r . S


18
2.1.3.ăNguyênălíăDirichletăđ iăng u

Cho tập hữu h n S   và S1 , S2 ,..., Sn là các tập con c a S
sao cho :

S1  S2  ...  Sn  k. S

Khi đó, tồn t i m t phần tử x  S sao cho x là phần tử chung

c a k+1 tập Si
(i = 1, 2,..., n).
Ta sẽ ch ng minh nguyên lí này tương đương với nguyên lí
Dirichlet.
Đ nhălíă1ă(Đ nhălíăt

ngăđ

ng). Nguyên lí Dirichlet và

Nguyên lí Dirichlet đối ngẫu là tương đương nhau.
Đ nhălíă2.

Cho A là m t khoảng giới n i, A1, A2,..., An là các khoảng sao
cho

Ai  A (i  1, 2,..., n) và d ( A)  d ( A1 )  d ( A2 )  ...  d ( An )
Khi đo ít nhất có hai khoảng trong số các khoảng trên có m t

điểm trong chung.
2.2.ăM TăụăT

NGăV ăLụăTHUY TăRAMSEY

B ăđ ă2.2.1. Gọi G là m t đồ thị bất kì với 6 đỉnh. Khi đó G
sẽ vừa ch a m t đồ thị con đầy đ có cỡ 3 vừa là m t tập h p đ c
lập có cỡ 3.
Lưu ý rằng giới h n 6 đỉnh trong phần trên là rất rõ ràng. Ta
sẽ chỉ ra rằng m t đồ thị bất kỳ có nhiều hơn 5 đỉnh thì ch a m t tập
h p đ c lập cỡ 3 hoặc m t đồ thị đầy đ cỡ 3.


19
Đ nhălỦă2.2.2. Nếu m và n là hai số nguyên dương, khi đó có
ít nhất m t số ngun dương R(m,n) sao cho G là m t đồ thị có ít
nhất R(m,n) đỉnh thì hoặc G ch a m t đồ thị con đầy đ có m đỉnh
hoặc G ch a m t tập h p đ c lập với cỡ n.
2.3.ăS ăRAMSEYăBÉ
Đ nhănghƿa. Cho m, n là các số nguyên dương. Số R(m, n) đư c xác
định trong Định lý 2.2.2 đư c gọi là số Ramsey.
2.4.ăTệNHăX PăX ăC AăS ăRAMSEY
Sử d ng các phép xấp xỉ c a Stirling, ta có:

n
n !  2 n  
e
Từ đó, ta suy ra:

n

1
1
139
1 



 o( 4 )  .
1 
2
3
n 
 12n 288n 51840n

n
n !  2 n   .
e
n

Sử d ng phép xấp xỉ c a Stirling , ta có cận trên sau đây:

 2n  2 
22 n


R(n, n)  
.

 n 1  4  n

2.5.

NGăD NGăXỄCăSU TăT IăLụăTHUY TăRAMSEY

Định lí sau đây là c a P. Erdos và đư c trình bày như lần cơng bố
đầu tiên c a tác giả.
Đ nhălỦă2.5.

R(n, n) 

2.6. Đ NHăLụăRAMSEY

n
e 2

1

22

n


20
Đến đây, có lẽ chúng ta sẽ khơng cịn ng c nhiên để thấy m t

d ng rất tổng quát c a Định lý Ramsey.
Đ nhălỦă2.6.1. Gọi r và s là số nguyên dương và h = (h1, h2,
….,hr) là dãy số nguyên dương với hi ≥ s với m i i = 1,2,…,s. Khi đó
tồn t i ít nhất m t số nguyên dương R(s : h1,h2,…,hr) sao cho nếu n
≥ n0 và  : C ([n], s]  [r ] : là hàm số bất kì, thì tồn t i m t số

nguyên dương α  [r] và m t tập h p con H   n  với

H  ha sao cho  (S) = α với m i S  C ( H  , s).
2.7.ăPH

NGăPHỄPăXỄCăSU T

2.7.1.ăTínhătrựcăgiácăv iăph

ngăphápăxácăsu t

Đ nhălỦă2.7.1ă(Erdos). Với m i cặp g, t c a các số nguyên
dương với g ≥ 3, tồn t i m t đồ thị G với x(G) > t và chu vi c a G
lớn hơn g.
Ví d .

Muốn E(X1) nhỏ thì ta đặt n s e ps  1 . = 1 và lấy s = ln n/p.
2

Nếu ta muốn số c a chu kỳ là khoảng n thì ta thành lập  gp   n
g

1/ g
và lấy p=n1/ g 1 . Cuối cùng, để n  st cần phải có n  t .

2.7.2.ăCácăvíăd ăminhăh a
Víăd ă1.
M t tập h p M là h p c a m t số đo n thẳng nằm trong
khoảng [0,1]. Biết rằng khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ c a M khác
0,1. Ch ng ming rằng tổng đ dài c a những đo n t o nên M không
vư t quá 0,5.


21
Víăd ă2.ă
Trong h i nghị có n người bao giờ cũng có 2 người có số
người quen bằng nhau.

Víăd ă3. Ch ng minh rằng trong n + 1 số nguyên dương 

2n, bao giờ cũng tìm đư c 2 sơ chia hết cho nhau.
.

Víăd ă4.
Xếp ngẫu nhiên các số 1, 2, ..., 12 trên vòng tròn. Ch ng

minh rằng lun tìm đư c ba số kề nhau có tổng  20.
CH

NGă3

M TăS ăVệăD ăMINHăH A
3.1. NGUYÊN LÍ BAO HÀM - LO IăTR ăVĨă NGăD NG.
*ăM tăvƠiăđ ngăth căc ăb năc aăngunălíăbaoăhƠmăvƠă

lo iătr :

Xét tập h p X bất kì, tập h p con A  X và tập I  {0,1} .

Khi đó ánh x  A ( x) : X  I đư c gọi là hàm đặc trưng c a

tập A trên nền tập X nếu đư c xác định:  A ( x)  1 nếu x  A và
bằng 0 nếu x  A  X \ A

Khơng khó khăn để kiểm ch ng:
Với A, B  X , khi đó
i.  A  1   A

ii.  A B   A B   A   B

Trong đó ký hiệu ( f  g )( x)  min{ f ( x), g ( x)} với x  D f  Dg


22

iii.  A B   A   B nếu A B  
iv. A 



xX

A

( x)

Từ iv. cho ta nhận xét rằng, để ch ng tỏ hai tập h p có số
phần tử bằng nhau thì ta xét đến sự bằng nhau c a hai hàm đặc trưng
ng với hai tập đó. Cách nhìn ở đây đã chuyển từ góc đ tập h p
sang hàm số.

Từ iii., khơng cần điều kiện A B   , ta có công th c

tổng quát hơn như sau:

v.  A B   A   B   A B   A   B

Ký hiệu ( f  g )( x)  max{ f ( x), g ( x)} với x  D f  Dg
Từ iv. và v., suy ra ngay công th c quen

thu c A B  A  B  A B sự tổng quát c a công th c này
và ng d ng c a nó chính là điều chúng ta đang xét trong bài viết
này
Ta sẽ ch ng minh công th c bao hàm – lo i trừ trong phần
sau.
M nhăđ ă3.1.1 Giả sử A1 , A2 ,..., An là các tập con c a
tập X hữu h n,

là tập con c a {1, 2, ..., n} = [n]. Đặt AI 

quy ước A  X . Kí hiệu tập h p các phần tử c a X không
thu c AI là E . Khi đó

E 

 (1)

I [n ]

I

AI

iI

Ai ,


23
M nhăđ ă3.1.2
Giả sử A1 , A2 ,..., An là các tập con c a tập X hữu h n,

tập con c a {1, 2, ..., n} = [n]. Đặt AI 

iI

là

Ai , quy ước A  X . Kí

hiệu tập h p các phần tử c a X thu c AI sao cho nó khơng thu c tập
Ai nào khác . Khi đó

EI   (1)
J I

M nhăđ ă3.1.3. Số phần tử c a

J \I

AJ
thu c vào đúng tập h p

trong số A1 , A2 ,..., An là

Nm 

  1

J m

m J  n

C mJ AJ

Nếu chọn m bằng 0, l i thu đư c PIE.
M nhăđ ă3.1.4. Số phần tử c a
hơn

thu c vào đúng khơng ít

tập trong số A1 , A2 ,..., An là

Nm 

  1

m J  n

J m

C mJ 11 AJ

Điều này đư c suy ra từ N m1  N m  Nm
M nhăđ ă3.1.5. Cho f, g là m t hàm tập nhận giá trị thực xác
định với m i tập con c a [n]. Khi đó hai cơng th c sau là tương
đương


i. f ( I ) 
ii. g ( I ) 

 g(J )

24

J I

 (1)
J I

J \I

f (J )

3.2.ăTệNHăB CăC AăNHịMăABELăHỮUăH NăSINH
Bổ đề 3.2.1.

Cho A = {a1, a2,...,an}   và (A) là lớp gồm tất

cả các tập con c a A. Ta có |(A)| = 2n . (|A| là số phần tử c a A).
Định lí 3.2.1. Cho G là m t nhóm Abel có tập sinh A= {a1, a2,...,ak}
thỏa mãn a i2  e, i  1, k , trong đó e là phần tử đơn vị c a G. Khi
đó |G| = 2k
Định lý . . . Cho G là một nhóm Aben có tập sinh A = {a1,

a2,...,ak} thỏa mãn a ip  e, i  1, k và p là m t số nguyên dương
nào đó, e là đơn vị c a G. Khi đó, |G| = p.
Ch ng minh. M i phần tử c a G có d ng:
trong đó, 1  i j  p, j  1, k

a1i1 a 2i2 ...a kik

Dùng ngun lí đếm (ngun lý nhân), có p cách chọn m t lũy thừa
cho m i a i (i  1, k) nên số phần tử c a G là:

G  p. p... p  p k
k thừa số