BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ HỒNG NHUNG

ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT SAI PHÂN ĐỂ
GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

Chun ngành : Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số : 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - 2015


Cơng trình được hồn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hải Trung

Phản biện 1: TS. Lê Hồng Trí.

Phản biện 2: PGS. TS. Trần Đạo Dõng.

Luận văn được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ khoa học, họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng
12 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
• Trung tâm thơng tin học liệu, Đại Học Đà Nẵng.

• Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng.


1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Phương pháp sai phân và phương trình sai phân được ứng
dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật. Sai phân
có thể ứng dụng vào giải gần đúng phương trình các toán tử,
đặc biệt được sử dụng để giải gần đúng phương trình vi phân và
phương trình đạo hàm riêng. Bên cạnh đó, lí thuyết sai phân và
phương trình sai phân cịn có nhiều ứng dụng khác trong giải tích,
chẳng hạn như : tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm giới hạn
của dãy số, bài tốn tính tổng,. . . .
Sai phân và ứng dụng của sai phân là phương pháp rất quan
trọng trong tốn sơ cấp. Nó khơng những góp phần giải quyết
các bài tốn về dãy số mà cịn giúp giải các bài tốn khác như :
phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức,.. . .
Với mong muốn mang lại một sự thú vị cũng như một công cụ
và phương thức lựa chọn cho các đối tượng có sự quan tâm đến
ứng dụng của lí thuyết sai phân, được sự gợi ý của người hướng
dẫn khoa học, thầy giáo – TS. Lê Hải Trung, tôi đã chọn đề tài “
Ứng dụng lí thuyết sai phân để giải tốn trung học phổ
thơng ” cho luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài này là nghiên cứu các tính chất
của sai phân, xây dựng phương pháp giải các bài toán dựa trên
tính chất đặc trưng của chúng, đồng thời ứng dụng phần mềm

Maple trong giải toán sai phân.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu


2
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Các tính chất của sai phân, phân loại phương trình sai phân
và ứng dụng của sai phân để giải quyết một lớp các bài toán trong
chương trình THPT và các bài tốn thi học sinh giỏi quốc gia,
quốc tế, .. . . Ứng dụng phần mềm Maple để giải quyết các bài
toán đã nêu.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu sai phân của các hàm số một biến thực. Trong nội
dung của luận văn các giá trị của biến ta lấy trong tập số thực R
hoặc tập số tự nhiên N.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn, các kiến thức sử dụng nằm trong các lĩnh vực
sau đây: Giải tích, Đại số, Lí thuyết sai phân,. . . .
5. Bố cục đề tài
Luận văn có cấu trúc như sau:
Mở đầu
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương 2: Ứng dụng tính chất của sai phân để giải
một số bài toán
Chương 3: Ứng dụng của phần mềm Maple trong giải
toán sai phân
Kết luận
Tài liệu tham khảo

3
CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, tác giả trình bày một số kiến thức về khái
niệm sai phân, một số tính chất của sai phân, các loại phương
trình sai phân, tuyến tính hóa phương trình sai phân.
1.1. KHÁI NIỆM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA SAI
PHÂN
1.1.1.

Khái niệm sai phân

Giả sử f : R → R là một hàm số cho trước và h = const.
Ta gọi sai phân cấp 1 của hàm f tại x là đại lượng
∆f (x) = f (x + h) − f (x).

Sai phân cấp n của f (x) là đại lượng
∆n f (x) = ∆ ∆n−1 f (x) , (n ≥ 1)

ở đây kí hiệu ∆0 f (x) = f (x).
1.1.2.

Một số tính chất của sai phân

Tính chất 1.1.1. ∆ là tốn tử tuyến tính, nghĩa là ∀α, β ∈ R;
∀f, g thì
∆(αf + βg) = α∆f + β∆g.

Tính chất 1.1.2. Nếu c = const thì ∆c = 0.


4
Tính chất 1.1.3. ∆n (xn ) = n!hn ; ∆m (xn ) = 0 (m > n).
Tính chất 1.1.4. Nếu P (x) là đa thức bậc n thì ta có:
n

∆P = P (x + h) − P (x) =
i=1

hi (i)
· p (x).
i!

Tính chất 1.1.5.
n

Cni ∆i f (x).

f (x + nh) =
i=0

Tính chất 1.1.6.
n

∆n f (x) =

(−1)i Cni f (x + (n − i)h).
i=0

Tính chất 1.1.7. Giả sử f ∈ C n [a; b] và (x, x + nh) ⊂ θ(0; 1),
khi đó:

∆n f (x)
= f (n) (x + θnh); θ ∈ (0; 1).
hn

Nhận xét 1.1.1. Nếu f ∈ C n [a; b] thì khi h đủ nhỏ ta có thể
xem
f (n) (x) ≈

∆n f (x)
.
hn

Tính chất 1.1.8. Nếu f (x) xác định trên tập số nguyên và
h = 1; kí hiệu xk = f (k); k = 0; 1; 2; ... thì
n

∆xi = xn+1 − x1 .
i=1


5
1.2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ PHÂN LOẠI
1.2.1.

Phương trình sai phân tuyến tính

Định nghĩa 1.2.1. (Phương trình sai phân cấp k )
Định nghĩa 1.2.2. (Phương trình sai phân tuyến tính cấp k )
Nhận xét 1.2.1. Nếu x1n và x2n là các nghiệm của phương
trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k thì αx1n + βx2n , cũng
là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp
k , với α, β là các hằng số tùy ý.

1.2.2.

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1

Định nghĩa 1.2.3. (Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1)
Định nghĩa 1.2.4. (Phương trình sai phân tuyến tính thuần
nhất cấp 1)
Ví dụ 1.2.1.
1.2.3.

Phương trình sai phân tuyến tính khơng thuần

nhất cấp 1 với vế phải đặc thù
Xét phương trình axn+1 + bxn = fn .
A. Trường hợp fn = Pm (n) là đa thức bậc m của n.
Ví dụ 1.2.2.
B. Trường hợp fn = αn .Pm (n), trong đó Pm (n) là đa thức
bậc m của n.
Ví dụ 1.2.3.


6
C. Trường hợp fn = fn1 + fn2 + ... + fnk .

Ví dụ 1.2.4.
1.2.4.

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Định nghĩa 1.2.5. (Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2)
Định nghĩa 1.2.6. (Phương trình sai phân tuyến tính thuần
nhất cấp 2)
Định nghĩa 1.2.7. (Phương trình đặc trưng của phương trình
sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 2)
Ví dụ 1.2.5.
1.2.5.

Phương trình sai phân tuyến tính khơng thuần

nhất cấp 2 với vế phải đặc thù
Xét phương trình axn+2 + bxn+1 + cxn = fn .
A. Trường hợp fn = Pm (n) là đa thức bậc m của n.
Ví dụ 1.2.6.
B. Trường hợp fn = αn .Pm (n), (α = 0), trong đó Pm (n) là đa
thức bậc m của n.
Ví dụ 1.2.7.
1.2.6.

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3

Định nghĩa 1.2.8. (Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3)


7

Định nghĩa 1.2.9. (Phương trình sai phân tuyến tính thuần
nhất cấp 3)
Định nghĩa 1.2.10. (Phương trình đặc trưng của phương trình
sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 3)
Ví dụ 1.2.8.
Nhận xét 1.2.2. Phương trình sai phân tuyến tính khơng
thuần nhất cấp 3 được mở rộng trực tiếp từ phương trình sai
phân tuyến tính cấp 2.
1.3. TUYẾN TÍNH HĨA
Ví dụ 1.3.1.


8
CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SAI
PHÂN ĐỂ GIẢI TỐN TRUNG HỌC
PHỔ THƠNG

Trong chương này, tác giả trình bày một số ứng dụng tính chất
của sai phân để giải tốn trung học phổ thơng như bài tốn tìm
số hạng tổng qt, bài tốn tính tổng, bài tốn tính giới hạn của
dãy số và một số dạng bài toán khác.
2.1. BÀI TỐN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QT CỦA
DÃY
2.1.1.

Tìm số hạng tổng quát khi biết các số hạng đầu

tiên

Ví dụ 2.1.1.
Ví dụ 2.1.2.
2.1.2.

Cơng thức truy hồi là biểu thức tuyến tính

Ví dụ 2.1.3.
Ví dụ 2.1.4.
Ví dụ 2.1.5.
Ví dụ 2.1.6.


9
2.1.3.

Cơng thức truy hồi là một hệ thức tuyến tính

Ví dụ 2.1.7.
2.1.4.

Cơng thức truy hồi là biểu thức tuyến tính với

hệ số biến thiên
Trong phạm vi luận văn này chỉ xét một số dạng đặc biệt, đơn
giản của các phương trình sai phân tuyến tính với các hệ số biến
thiên chủ yếu bằng phương pháp đặt dãy số phụ, đưa về phương
trình sai phân tuyến tính.
Ví dụ 2.1.8.
2.1.5.

Cơng thức truy hồi dạng phân tuyến tính với

hệ số hằng
Bổ đề 2.1.1. Nếu yn và zn là nghiệm của phương trình sai
phân

 yn+1 = pyn + qzn ; y0 = a
 z
= ry + sz ; z = 1.
n+1

n

n

0

yn
pxn + q
là nghiệm của phương trình x0 = a; xn+1 =
.
zn
rxn + s
y0
Chứng minh. Thật vậy, ta có x0 =
= a. Ngồi ra
z0

thì xn =

xn+1

yn
p +q
yn+1
pyn + qzn
pxn + q
z
=
=
= ynn
=
.
zn+1
ryn + szn
rxn + s
r +s
zn

Ví dụ 2.1.9.
Ví dụ 2.1.10.


10
2.2. BÀI TỐN TÍNH TỔNG
2.2.1.

Bài tốn 1

Tính tổng dạng

n

S=

Pm (k)
k=1

trong đó Pm (k) là đa thức bậc m của k .
Ví dụ 2.2.1.
Ví dụ 2.2.2.
Ví dụ 2.2.3.
2.2.2.

Bài tốn 2

Tính tổng dạng
n

S=

[k!Pm (k)]
k=1

trong đó Pm (k) là đa thức bậc m của k .
Ví dụ 2.2.4.
Ví dụ 2.2.5.
2.2.3.

Bài tốn 3

Tính tổng dạng
n

xk .Pm (k)

S=
k=1

trong đó Pm (k) là đa thức bậc m của k .


11
Ví dụ 2.2.6.
Ví dụ 2.2.7.
2.2.4.

Bài tốn 4

Tính tổng dạng
n

S=

[Pr (k) cos kx + Qt (k) sin kx] .
k=1

trong đó Pr (k) là đa thức bậc r của k , Qt (k) là đa thức bậc t của
k.

Ví dụ 2.2.8.
Ví dụ 2.2.9.
Ví dụ 2.2.10.
2.3. BÀI TỐN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Ví dụ 2.3.1.
Ví dụ 2.3.2.
Ví dụ 2.3.3.
2.4. MỘT SỐ DẠNG TỐN KHÁC
Ví dụ 2.4.1.
Ví dụ 2.4.2.


12
Ví dụ 2.4.3.
Ví dụ 2.4.4. Cho a; q; d là các số thực cho trước. Hãy xác định
số hạng tổng quát của dãy số {un }, biết rằng:
un+1 = q.un + d; u1 = a (n ∈ N∗ ). (2.15)

Lời giải.
• Nếu q = 0 thì (2.15) là dãy số có số hạng tổng quát:
u1 = a; un = d (n ∈ N∗ ).
• Nếu q = 1 thì (2.15) là cấp số cộng có cơng thức số hạng

tổng qt:
un = a + (n − 1)d (n ∈ N∗ ).
• Nếu d = 0 thì (2.15) là cấp số nhân có cơng thức số hạng

tổng qt:
un = a.q n−1

(n ∈ N∗ ).

• Xét trường hợp q = 0; q = 1; d = 0.

Đặt un = vn + α, ta được:

 v1 = a − α
(2.15) ⇔
 v
∗
n+1 + α = q.(vn + α) + d (n ∈ N ) (2.16)
d
ta được (2.16) là hệ thức truy hồi xác định
1−q
một cấp số nhân với cơng bội q và do đó:

Chọn α =

vn = v1 .q n−1 ⇒ un =

a−

d
1−q

.q n−1 +

d
.
1−q

13
Ví dụ 2.4.5. Cho a; b; p; q là các số thực cho trước, hãy xác
định số hạng tổng quát của dãy số {un }, biết rằng:
un+1 = (p + q).un − p.q.un−1 ; u0 = a; u1 = b (n ∈ N∗ ) (2.17)

Lời giải. Đặt vn = un − pun−1 , ta có:
v1 = u1 − p.u0 = a − pb;
vn+1 = qvn .

Suy ra:
vn = v1 .q n−1 . (2.18)

Áp dụng liên tiếp (2.18) ta được:
u1 − pu0 = v1
u2 − pu1 = v1 .q
u3 − pu2 = v1 .q 2
...
un − pun−1 = v1 .q n−1 .

Từ công
trên ta dễ dàng nhận được kết quả sau:
 thức
n − qn
p
pn−1 − q n−1


· b − pq ·

khi p = q
p−q
p−q
un =

n.pn−1 .b − (n − 1).pn .a khi p = q.
Ví dụ 2.4.6.
Ví dụ 2.4.7.
Ví dụ 2.4.8.


14
Ví dụ 2.4.9. Tìm số hạng tổng qt của dãy số {xn }, biết:
x1 = a; xn+1 = a(n).xn + b(n). (2.21)

Trong đó a(n), b(n) là các hàm số đối với n ∈ N∗ ; a(n) = 0
(∀n ∈ N).

Lời giải. Đặt dãy số phụ:
k=0

xn = yn .

a(k)
n−1

Khi đó ta có: y1 =

a
và

a(0)

(2.21) ⇔ yn+1 − yn =

b(n)
k=0
n−1 a(k)

= g(n) (2.22)

Từ (2.22) ta nhận được:
n

yn = y1 +

g(k) =
k=1

a
+
a(0)

n

g(k).
k=1

Vậy ta có:
xn =

a
+
a(0)

n

k=1

b(n)
k
j=0 a(j)

n−1

a(k).
k=0

Ví dụ 2.4.10. Cho dãy số {xn } xác định bởi:
x0 = 2; xn+1 = 5xn +

Chứng minh rằng: xn ≥ 2.5n

24x2n − 96 ∀n ≥ 0.
∀n ≥ 0.


15
Lời giải. Ta tìm các hệ số α, β sao cho
xn+2 = αxn+1 + βxn

n ≥ 0.

Bằng cách thay các giá trị ban đầu x0 = 2, x1 = 10,
x2 = 98, x3 = 970 suy ra α = 10, β = −1.

Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được:
xn+2 = 10xn+1 + xn

(n ≥ 0).

Phương trình đặc trưng λ2 − 10λ + 1 = 0 có hai nghiệm
√
λ1,2 = 5 ± 2 6.
√ n
√ n
Suy ra xn = C1 5 + 2 6 + C2 5 − 2 6 .
Thay các giá trị ban đầu ta được C1 = C2 = 1, suy ra:
√ n
√ n
√
√
5+2 6 + 5−2 6 =
3+ 2
√
√ 2
√ 2 n
√
3+ 2 +
3− 2
≥ 2.5n .

≥ 2
2

xn =

2n

+

√

3−

√

2n

2

Ví dụ 2.4.11.
Ví dụ 2.4.12. Hệ phương trình tuyến tính bậc 2.
Tìm cơng thức tổng quát của dãy số (un ) và (vn ) được xác
định bởi:

 un = u2 + a.v 2 ; u1 = α
n−1
n−1
(a ∈ R+ ).
 v = 2u
.v

; v = β.
n

n−1

n−1

1


 un = u2 + a.v 2
n−1
n−1
Lời giải. Ta có:
√
√

a.vn = 2 a.un−1 .vn−1

√
 un + a.vn = (un−1 + √a.vn−1 )2 = ... = (u1 + √a.v1 )2n−1
⇒
√
√
2
2n−1
 u − √a.v = (u
− a.v
) = ... = (u − a.v )
n

n

n−1

n−1

1

1


16

√ 2n−1
√ 2n−1
1

 un =
(α + β a)
+ (α − β a)
2
⇒
√ 2n−1
√ 2n−1
1

− (α − β a)
 vn = √ (α + β a)
2 a

Ví dụ 2.4.13. Tìm cơng thức tổng quát của dãy số (un ) và
(vn ) được xác định bởi:

 un = u2 + 2v 2 ; u1 = 2
n−1
n−1
(∀n ≥ 2)
 v = 2u
.v
;v = 1
n

n−1

n−1

1


 un = u2 + 2v 2
n−1
n−1
Lời giải. Ta có:
√
√

2.vn = 2 2.un−1 .vn−1

√
 un + 2.vn = un−1 + √2.vn−1 2

⇒
√
2
 u − √2.v = u
n
n−1 − 2.vn−1
n

n−1
√
 un + √2.vn = u1 + √2.v1 2
= 2+ 2
⇒
 u − √2.v = u − √2.v 2n−1 = 2 − √2
n
n
1
1

n−1
√
√ 2n−1
1
2

 un =
(2 + a)
+ (2 − a)
2
⇒

√ 2n−1
√ 2n−1
1

− (2 − a)
 vn = √ (2 + a)
2 2

2n−1
2n−1

Ví dụ 2.4.14. Dạng phân thức bậc 2 trên bậc 1.
Tìm cơng thức tổng qt của dãy {xn } biết


 x1 = α
x2 + a (∀n ≥ 2)

 xn = n−1
2xn−1
un
, khi đó dãy trên được chuyển về hai
vn
dãy {un } và {vn } như sau:

Lời giải. Đặt xn =


17


 un = u2 + a.v 2 ; u1 = α
n−1
n−1
(∀n ≥ 2)
 v = 2.u
.v
;
v
=
1
n
n−1 n−1 1
√ 2n−1
√ 2n−1
+ (α − a)
un √ (α + a)
= a
Khi đó xn =
√ 2n−1
√ 2n−1
vn
(α + a)
− (α − a)
Ví dụ 2.4.15.
2.5. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 2.5.1.
Ví dụ 2.5.2.
Ví dụ 2.5.3.
Ví dụ 2.5.4.
Ví dụ 2.5.5.

Ví dụ 2.5.6.
Ví dụ 2.5.7.
Ví dụ 2.5.8. (Olympic Toán Bungari năm 1999)
Cho dãy số nguyên {an } thỏa mãn:
(n − 1)an+1 = (n + 1)an − 2(n − 1) (∀n ∈ N∗ ). (2.11)

Biết a1999 chia hết cho 2000.
Tìm số n nhỏ nhất sao cho an chia hết cho 2000

(n ≥ 2).


18
Lời giải. Chia cả hai vế của (2.11) cho (n − 1)n(n + 1) ta
được:

an+1
an
2
=
−
n(n + 1)
(n − 1)n n(n + 1)
an
Đặt bn =
n(n − 1)
Suy ra (2.12) có dạng:

bn+1 = bn −

(2.12)

2
2
2
⇔ bn+1 −
= bn −
n(n + 1)
n+1
n

(∀n ∈ N∗ )

Do đó:
bn −

2
2
2
= b2 − = b2 − 1 ⇔ bn = b2 − 1 +
n
2
n

Suy ra
2
+ b2 − 1 n(n − 1)
n
a2
= 2(n − 1) +

− 1 n(n − 1)
2
a2
−1
= (n − 1) 2 + n.
2

an =

Như vậy, bằng phương pháp sai phân ta xác định được an .
a2
Theo giả thiết, 2000 là ước của a1999 = 1998 2 + 1999.
−1
2
a2
−1
2
a2
⇔ 2 + 2000.
−1
2
.
a2
⇔ 2−
− 1 ..1000.
2
⇔

2 + 1999.

..
.1000
−

a2
−1
2

a2
− 1 = 1000m + 2 (m ∈ Z)
2
Suy ra an = 2(n − 1) + (1000m + 2)n(n − 1).

Vì thế ta có

..
.1000


19
Vì n(n − 1) chẵn nên an chia hết cho 2000
.
⇔ n − 1 + n(n − 1)..1000
.
⇔ (n − 1)(n + 1)..1000
⇒ n = 2k + 1
.
⇒ k(k + 1)..250.

Từ đó suy ra số k nhỏ nhất là 124, hay n nhỏ nhất là 249.

Ví dụ 2.5.9. (Olympic Tốn Việt Nam năm 1998)
Chứng minh rằng không tồn tại dãy {xn } thỏa mãn cả hai
điều kiện:
(i) |xn | ≤ 0, 666
(ii) |xn − xm | ≥

1
1
+
m(m + 1) n(n + 1)

∀m, n ∈ N∗

Lời giải. Giả sử có dãy số thỏa mãn cả hai điều kiện trên với
mọi n, sắp xếp lại thứ tự của x1 , x2 , ..., xn là xi1 ≤ xi2 ≤ ... ≤ xin .
Theo giả thiết ta có:
1
1
+
; ∀k = 1; 2; ...; n − 1.
xik+1 − xik ≥
ik+1 (ik+1 + 1) ik (ik + 1)
Khi đó ta có:
n

xik+1 − xik

≥ 2
i=1

1
1
1
−
−
i(i + 1) i1 (i1 + 1) in (in + 1)

≥ 2 1−

1
n+1

−

1 1
4
2
− = −
.
2 6
3 n+1

4
2
−
.
3 n+1
4
Cho n → +∞ ta được 2.0, 666 ≥ (vơ lí).
3

Ví dụ 2.5.10.

Suy ra: 2.0, 666 ≥ |xin | + |xin | ≥


20
CHƯƠNG 3

ỨNG DỤNG CỦA PHẦN MỀM MAPLE
TRONG GIẢI TOÁN SAI PHÂN

Trong chương này, tác giả trình bày một số ứng dụng của phần
mềm Maple trong giải toán sai phân như giải bài tốn tìm số hạng
tổng qt, bài tốn tính tổng.
3.1. GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ PHẦN MỀM MAPLE
Maple là một gói phần mềm tốn học được phát triển lần đầu
tiên vào năm 1980 tại Đại học Waterloo ở Canada.
Maple được dùng phổ biến, nó cung cấp đầy đủ các cơng cụ
phục vụ cho việc tính tốn số và tính tốn biểu trưng (tính tốn
trừu tượng trên các tham biến), vẽ đồ thị,. . . cho nhiều phân ngành
như Đại số tuyến tính, Tốn rời rạc, Tốn tài chính, Thống kê, Lý
thuyết số, Phương trình sai phân. . . .

Hình 3.1: Giao diện phần mềm Maple.


21
3.2. MỘT SỐ HÀM THỰC HIỆN ĐẶC TRƯNG CỦA
PHẦN MỀM MAPLE
3.2.1.

Một số hàm cơ bản

3.2.2.

Một số lệnh cơ bản

3.3. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG GIẢI
TOÁN SAI PHÂN
3.3.1.

Ứng dụng phần mềm Maple giải phương trình

sai phân
Ví dụ 3.3.1.
Ví dụ 3.3.2.
Ví dụ 3.3.3.
Ví dụ 3.3.4.
Ví dụ 3.3.5.
Ví dụ 3.3.6.
Ví dụ 3.3.7. Giải hệ phương trình sai phân:

 xn+1 = 3xn + yn ; x0 = 2
 y
= 2x + 2y ; y = −1
n+1

n

n

0

Lời giải. Ta sử dụng lệnh giải hệ phương trình sai phân theo
cấu trúc lệnh
[>rsolve({x(n + 1) − 3x(n) − y(n) = 0, y(n + 1) − 2x(n) −
2y(n) = 0, x(0) = 2, y(0) = −1},{x(n),y(n)});


22
Kết quả hiển thị trên màn hình Maple như sau:


 xn = 1 + 4 n
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
 y = −2 + 4n
n

Ví dụ 3.3.8.
Ví dụ 3.3.9. Tìm cơng thức tổng qt của dãy số xn thỏa mãn
xn+1 =

n
(xn + 1); x1 = 0.
n+1

Lời giải. Để tìm xn ta thực hiện cấu trúc lệnh :

1
Vậy xn = (n − 1).

2

Ví dụ 3.3.10.
3.3.2.

Ứng dụng phần mềm Maple giải bài tốn tính

tổng
Ví dụ 3.3.11.
Ví dụ 3.3.12. Tính tổng:
S = (13 +2.12 +3.1+1).1!+(23 +2.22 +3.2+1).2!+...+(n3 +2.n2 +3.n+1).n!


23
Lời giải.
n

(k 3 + 2.k 2 + 3.k + 1).k! (3.2).

S=
k=1

Để tính tổng (3.2), ta thực hiện lệnh:

Vậy S = (n + 1)2 .(n + 1)! − 1.
Ví dụ 3.3.13.
Ví dụ 3.3.14.
Ví dụ 3.3.15.