BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

VŨ THỊ NAM THANH

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT GALOIS
CHO BÀI TOÁN CHIA ĐƢỜNG TRỊN

Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 60.46.40

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015


Cơng trình được hồn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu
Phản biện 2: GS. TS. Lê Văn Thuyết

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 11
tháng 01 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
 Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng
 Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

1
MỞ ĐẦU
Phương pháp dựng hình với những dụng cụ thơ sơ bằng thước
kẻ và compa thời cổ đại là những viên gạch đầu tiên tạo nền tảng cho
sự phát triển về sau trong lĩnh vực dựng hình và giải tích hiện đại.
Theo dịng lịch sử tốn học, những phát triển của Plato và
Aristotle về các nguyên tắc suy luận logic và các phương pháp tiên
đề trong chứng minh đã đặt tốn học lên một nền móng được xem là
khó lay chuyển được cho tới thế kỉ hiện nay của chúng ta. Dưới sự
dẫn dắt của hai ơng, tốn học đã chia sẻ sự vinh quang của thời
hoàng kim với tư cách là một khoa học triết lí khơng đứng sau lãnh
vực nào khác. Trong giai đoạn này đã nổi lên "các bài tốn cổ", có lẽ
là các bài tốn nổi tiếng nhất của mọi thời đại. Đó là các bài tốn
dựng hình học, chỉ được phép dùng thước kẻ (khơng khắc vạch) và
compa để giải. Với hai dụng cụ đó, yêu cầu đề ra là:
1. Chia một góc ra 3 góc bằng nhau (Chia ba một góc).
2. Tìm cạnh một hình lập phương có thể tích gấp đơi thể tích
một hình cầu cho sẵn (Gấp đơi một hình cầu).
3. Tìm một hình vng có diện tích bằng diện tích một hình
trịn (Cầu phương một hình trịn).
Cả ba đều là các câu hỏi mở cho mãi đến thời kì hiện đại. Phải
đến thế kỷ XIX sự xuất hiện của Galois và các lý thuyết tốn học
mang tên Ơng đã được kiểm chứng và công nhận là một trọng những
lý thuyết đẹp đẽ nhất của đại số, tập hợp nhiều kiến thức và phương
pháp của các lĩnh vực toán học khác nhau, nhằm giải quyết các bài
toán cổ điển và những vấn đề quan trọng khác của đại số hiện đại. Lý

2
thuyết Galois cho phép xác định đa giác đều n cạnh dựng được bằng
thước kẻ và compa.
Bên cạnh đó, chúng ta nhận được từ Lí thuyết Galois lời giải
cho ba bài tốn dựng hình cổ điển. Khi đó các phép dựng hình này
cuối cùng đã được chứng minh là khơng thể thực hiện được. Tuy
nhiên, sự hiện thực về sự tồn tại của chúng như một thứ đố chướng
mắt trêu ngươi đã dẫn các học giả đến một loạt các khám phá mới.
Dựng hình bằng thước và compa là dạng tốn khó địi hỏi
người giải phải nắm vững các kiến thức cơ bản, kỹ năng cũng như sự
sáng tạo trong việc kẻ thêm các yếu tố phụ để kết nối các dữ kiện.
Bài tốn dựng hình bằng thước và compa có ý nghĩa tốn học rất sâu
sắc và nội dung của nó nhiều lúc vượt ra khỏi lĩnh vực hình học.
Phép dựng hình và compa được đưa và giảng dạy từ lớp cơ sở
đến lớp cao học, là một phần khơng thể thiếu trong q trình đào tạo,
rèn luyện tư duy cho học sinh cũng như tính tổng quát trong nghiên
cứu tốn học cao cấp.
Với những lý do trình bày ở trên, đề tài này tập trung tìm hiểu
ứng dụng của lý thuyết Galois trong việc giải bài toán chia đường
tròn với sự kết hợp các kết quả của nhiều ngành tốn học: Đại số Hình học - Số học-Giải tích, một bài tốn có ý nghĩa sâu sắc trong kỹ
thuật và công nghệ.


3
CHƢƠNG 1
TRƢỜNG CHIA ĐƢỜNG TRÒN
1.1 MỞ RỘNG TRƢỜNG
1.1.1. Mở rộng trƣờng.
Định nghĩa: Cho trường K và F là một trường con của
trường K. Khi đó F  K được gọi là một mở rộng trường và K được

gọi là một mở rộng (trường) của F. Một mở rộng trường F  K cịn
được kí hiệu là K:F hay K/ F .
1.1.2. Bậc của mở rộng trƣờng
Định nghĩa: Bậc của mở rộng trường K: F là chiều của F –
không gian vectơ K, kí hiệu [K : F]. Nếu [K : F] hữu hạn thì ta gọi K
: F là một mở rộng hữu hạn. Nếu mở rộng K : F khơng hữu hạn thì
được gọi là mở rộng vơ hạn.
1.2 TRƢỜNG NGHIỆM, TRƢỜNG PHÂN RÃ
1.2.1. Trƣờng phân rã của một đa thức
Định nghĩa 1: Cho f  F[x] và K là một mở rộng trường của
F. Ta nói f phân rã trong K hay K phân rã f nếu f có thể viết được
dưới dạng
f = a( x – u1)...(x – un) với a, ui  K,  i = 1, ...,n.
Định nghĩa 2: Cho 0  f  F[x]. Một mở rộng trường K của
F được gọi là trường phân rã của f trên F nếu K phân rã f và f
không phân rã trong bất kỳ trường con thực sự nào của K.
Nhận xét.
1. Cho f = a( x – u1)...(x – un) với a, ui  K. Khi đó K
là trường phân rã của f nếu K = f(u1,...,un).
2. Trường phân rã Ef của đa thức f trên F là một mở
rộng hữu hạn của F. Mọi phần tử của Ef đều đại số trên F.


4
Mệnh đề: Cho đa thức f  F[x] bậc n. Tồn tại một trường
phân rã Ef của f trên F sao cho [Ef : F] là ước của n!.
1.2.2. Mở rộng tách đƣợc.
Định nghĩa: Một mở rộng đại số E : F được gọi là tách
được nếu đa thức tối tiểu của mọi phần tử thuộc E đều tách được.
- Mở rộng E : F là không tách được nếu các trường có đặc số

p và đa thức tối tiểu của một phần tử nào đó của E có dạng g(xp) với
g  F[x].
1.2.3. Mở rộng chuẩn tắc.
Định nghĩa. Một mở rộng đại số E : F gọi là chuẩn tắc nếu
đa thức tối thiểu của mọi phần tử thuộc E phân rã trong E.
Nhận xét. Cho E : F là một mở rộng chuẩn tắc và tách được.
Giả sử f  F[x] là một đa thức bất khả quy bậc m. Khi đó nếu f có
nghiệm trong E thì f có đúng m nghiệm phân biệt trong E.
.1.3. TRƢỜNG CHIA ĐƢỜNG TRỊN
1.3.1. Trƣờng chia đƣờng trịn bậc n.
Định nghĩa. Cho F là một trường và n  * không chia hết
cho đặc số của F. Trường phân rã En của xn -1 trên trường F được gọi
là trường chia đường tròn bậc n (trên F). Mỗi nghiệm của xn -1
được gọi là căn bậc n của đơn vị.
1.3.2. Đa thức chia đƣờng tròn.
Định nghĩa: Cho 1, 2 ,..., ( n) là  (n) căn nguyên thuỷ bậc
n của đơn vị trong trường chia đường tròn bậc n trên F. Đa thức chia
đường tròn thứ n là đa thức xác định bởi
 (n)

n ( x )  ( xi )
.
i 1


5
Ta có các tính chất sau liên quan đến đa thức chia đường tròn
thứ n.
Mệnh đề.
(i) xn 1  d ( x)

d /n

(ii) Nếu F có đặc số 0 và đồng nhất
với ảnh của nó trong F
qua đơn cấu xác định bởi n  n.1F thì  n ( x)  p .
(iii) Nếu F có đặc số p và đồng nhất
nguyên tố của F thì  n ( x) 

p

p với

trường con

bằng với đa thức nhận được ở (ii)

modulo p.
1.3.4. Tính khả quy của đa thức chia đƣờng trịn trên trƣờng đặc số khác 0
Mệnh đề. Cho F là trường có đặc số 0 hoặc khơng chia hết
n. Gọi F( n ) là trường chia đường tròn bậc n trên F, với  n là một
căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Khi đó các mệnh đề sau là tương
đương:
(i) Đa thức chia đường tròn  n ( x) bất khả quy trên F .
(ii)  Fn :F    n  .
(iii) Đơn cấu Gal (F n  / F) 

x
n

là một đẳng cấu.

Tiếp theo là một kết quả về tính chất bất khả quy của đa thức
 n ( x) .

Định lý.
Đa thức chia đường tròn  n ( x) là bất khả quy trên

.


6
CHƢƠNG 2
BÀI TỐN CHIA ĐƢỜNG TRỊN
2.1. MỞ RỘNG GALOIS VÀ NHÓM GALOIS CỦA ĐA THỨC
2.1.1. Mở rộng Galois.
Định nghĩa: Một mở rộng hữu hạn E:F được gọi là mở rộng
Galois nếu F=T N(F)  , với T  N(F)  là trường trung gian cố định
bởi N(F) . Khi đó N(F) Aut  E/F gọi là nhóm Galois của mở rộng
trường và được ký hiệu là Gal  E/F
Mở rộng bậc hữu hạn F của trường K được gọi là mở rộng
Galois nếu mở rộng là chuẩn tắc và tách được.
Định lý ( Tiêu chuẩn mở rộng Galois ): Cho mở rộng trường
E:F . Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

(i)

E là trường phân rã của một đa thức tách được trên
F.

(ii)

 E:F Aut  E/F:1 .

(iii)

E:F là mở rộng Galois.

(iv)

F=T G  với G là một nhóm hữu hạn của Aut  E/F .

(v)

E:F là mở rộng chuẩn tắc, tách được và hữu hạn trên
F.

2.1.2. Nhóm Galois của đa thức.
Định nghĩa: Nhóm Galois của một đa thức tách được
f

 F[x] là nhóm Galois của trường phân rã f.
Từ định nghĩa ta thu được các tính chất sau:
Tính chất 1: Mọi mở rộng hữu hạn, tách được đều chứa trong

một mở rộng Galois.
Tính chất 2: Cho FME là các mở rộng trường. Nếu
FE là mở rộng Galois thì ME là mở rộng Galois.


7

2.1.3. Trƣờng hữu hạn.
Định nghĩa. Trường có hữu hạn phần tử được gọi là trường
hữu hạn. Ta thường ký hiệu Fq là trường hữu hạn có q phần tử.
2.2. ĐỊNH LÝ ABEL VÀ TIÊU CHUẨN GIẢI ĐƢỢC BẰNG
CĂN THỨC
2.2.1. Tiêu chuẩn giải đƣợc bằng căn thức:
a. Định nghĩa 1:
Một mở rộng FE gọi là mở rộng căn nếu EF(1,.....,m ) sao
cho với mọi i = 1, 2, …m tồn tại ni thỏa ini F(1,....., m ) . Khi đó ta
cũng nói E là một mở rộng căn của F. Ta nói các phần tử 1 tạo ra
một chuỗi căn cho mở rộng FE .
b. Định nghĩa 2:
Một phần tử  thuộc vào một mở rộng căn E:F gọi là biểu
diễn được bằng căn thức (trên F ).
c. Định nghĩa 3:
Một đa thức f trên F được gọi là giải được bằng căn thức
(trên F ) nếu trường phân rã của f nằm trong một mở rộng căn của F .
Bổ đề:
Cho f  xn 1F x  với n không chia hết cho đặc số của F . Gọi
Ef

là trường phân rã của f trên F . Khi đó E f : F là mở rộng

Galois và Gal (E f /F) là một nhóm Aben.
Định nghĩa:
Một mở rộng Galois E : F gọi là mở rộng Aben (tương ứng
Cyclic) nếu nhóm Gal (E / F) là nhóm Aben (tương ứng Cyclic).


8

2.2.2. Định lý Aben.
Với mỗi số tự nhiên n5 tồn tại những phương trình đại số
thực bậc n khơng giải được bằng căn thức.
a. Định nghĩa:
Cho F là một mở rộng trường K . Các phần tử u1,u2 ,....un được
gọi là độc lập đại số trên K nếu không tồn tại đa thức khác không
PK( x1,...., xn )

sao cho P(u1,....,un )0

b. Định nghĩa: Phương trình tổng quát bậc n
Cho A là trường tất cả các số đại số và u1,u2 ,....un là n số
thực độc lập đại số trên . Khi đó phương trình:
f ( x) xu1 xu2 ... xun 0

được gọi là “Phương trình tổng quát bậc n trên A ’’
c.Định lý 1:
Với mỗi số nguyên n  2 tồn tại phương trình tổng qt
bậc n có nhóm Galois là nhóm đối xứng S n
d. Định lý 2:
Nhóm đối xứng S n với n5 không giải được
e.Chứng minh định lý Aben:
Theo định lý 1 mục 2.2.2 thì tồn tại phương trình đại số thực
có nhóm Galois là nhóm đối xứng. Nhóm này khơng giải được theo
định lý 2 mục 2.2.2.
Do đó phương trình khơng giải được bằng căn thức.


9
2.3 DỰNG HÌNH BẰNG THƢỚC KẺ VÀ COMPA. ĐỊNH LÝ

GAUSS-WANTZEL
2.3.1. Khái niệm cơ bản về điểm và số dựng đƣợc:
a. Khái niệm
b. Bổ đề
+ Nếu (a,0) là điểm dựng được thì (0,a) và (-a,0) là điểm dựng
được.
c. Mệnh đề
+ Điểm (a,b) dựng được khi và chỉ khi a, b dựng được.
d. Định lý :
Tập hợp tất cả các số dựng được là một trường con của trường
. Hơn nũa, nếu c dựng được và c>0 thì c cũng dựng được.
2.3.2 Định lý:
Cho P( ; ) 2 là điểm dựng được, khi đó  ( ; ): 2r ,
với r  .
2.3.3 Định lý:
Cho E với E là một mở rộng Galois của . Nếu
r
 E: 2 thì  dựng được bằng thước kẻ và compa   E  .
2.3.4. Định lý Gauss-Wantzel.
Đường trịn có thể chia thành n phần bằng nhau bằng thước kẻ
và compa khi và chỉ khi n có dạng:
n2k p1...p s

trong đó k là một số tự nhiên, pi là những số nguyên tố lẻ dạng
r
22 1 (

Số nguyên tố Fermat).

a. Bổ đề 1

Nếu n=a.b , (a,b)=1 thì đường trịn chia được thành n phần
bắng nhau khi và chỉ khi nó chia được thành a, b phần bằng nhau


10
b. Bổ đề 2.
Điều kiện cần và đủ để dựng được góc 2 /n là   :  2m ...
c.Chứng minh Định lý Gauss-Wantzel
2.3.5. Hệ quả.
Nếu đa giác đều p cạnh (p nguyên tố) dựng được thì p là số
nguyên tố Fermat.
2.3.6. Công thức Gauss

cos

2
17



1
16



1
16

17 

1
16

342 17 

1
8

173 17 

342 17  2

34 2 17

2.3.7 Quỹ tích và các phép dựng hình cơ bản:
Quỹ tích cơ bản:

a.


Quỹ tích những điểm cách đều hai điểm A và B là

đường trung trực của đoạn thẳng đó, tức là đường thẳng qua trung
điểm M của AB và vng góc với AB.


Quỹ tích những điểm A cách một điểm I cố định một

đoạn AI = R khơng đổi là đường trịn tâm I bán kính R. Quỹ tích
những điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau a và b là hai đường

phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đó.


Quỹ tích những điểm cách một đường thẳng a cho

trước một đoạn d không đổi là hai đường thẳng song song với a và
cách a một khoảng cách bằng d.


Quỹ tích những điểm nhìn đoạn AB cố định một

góc α khơng đổi là hai cung chứa góc  nhận AB làm dây cung.
Đặc biệt, nếu   90 thì quỹ tích là đường trịn đường kính AB .
0

b.

Một số phép dựng hình cơ bản


11


Dựng trung trực của một đoạn thẳng. Dựng trung

điểm của một đoạn thẳng. Dựng một đường thẳng đi qua một điểm
đã cho và vng góc với một điểm đã cho.


Dựng một đường thẳng đi qua một điểm đã cho và

song song với một điểm đã cho.


Dựng một đoạn thẳng bằng n lần đoạn thẳng đã cho.

Dựng một đoạn thẳng bằng


1
đoạn thẳng đã cho.
n

Dựng một góc bằng góc đã cho. Chia đơi một góc.

Dựng tổng và hiệu của hai góc.


Cho hai đoạn thẳng có độ dài a, b , dựng đoạn thẳng

có độ ab dài.

giác.



Dựng tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến một đường tròn.



Dựng đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của một tam


12
2.4 CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC CỔ ĐIỂN
2.4.1. Bài tốn chia ba một góc.
Cho một góc bất kỳ , hãy chia góc đó ra ba phần bằng nhau
bằng thước kẻ và compa.
Nghĩa là cho góc  hãy dựng góc
-

.

3
Đặt   cos  và ta có u là nghiệm của phương trình
4 x3 3x

z
3

-

Đặt x 

-

Ta đưa phương trình trên về dạng f  z 4 z3 3z 1 là bất

khả quy trên QQ(1) .
-

Giả sử f  z  bất khả quy trên Q(a) . Gọi v là nghiệm

của f  z  và F là trường nghiệm của nó ta có dãy trường mở rộng
Q(a)Q(a,v)F .

- Từ đó  F:Q  F:Q(a,v) .Q(a,v):Q(a)  .
Bởi vì Q(a,v):Q(a)  3 nên  F:Q(a,v)  2m .
Do đó cos

 là không dựng được, nghĩa là  là không
3
3

dựng được.
2.4.2. Bài tốn gấp đơi khối lập phƣơng.
Dùng thước kẻ và compa dựng một khối lập phương có thể
tích gấp đơi thể tích của một khối lập phương đã cho.


13
Gọi  là cạnh của hình lập phương cần dựng. Khi đó  là
nghiệm của đa thức x3-2. Đa thức này là bất khả quy trên Q. Gọi  là
một nghiệm, còn F là trường nghiệm của đa thức này ta có dãy mở
rộng của trường
Q  Q( )  F .

Từ đó
 F:Q  F:Q( ) . Q( ):Q


 



Bởi vì

 Q( ):Q  3



.

nên  F:Q 2m .

Điều này chứng tỏ bài tốn khơng giải được. Hay là bài
tốn gấp đơi khối lập phương là khơng thể thực hiện được.
2.4.3 Bài tốn cầu phƣơng hình trịn.
Dùng thước kẻ và compa dựng một hình vng có diện tích
bằng diện tích một hình trịn đã cho.
Giả sử độ dài cạnh hình vng là x và lấy bán kính R của
hình trịn làm đơn vị dài thì bài tốn đưa đến giải phương trình:
x2  . Vì  siêu việt trên



nên  cũng siêu việt trên

  khơng có bậc hữu hạn trên

không giải được bằng căn thức bậc hai trên

. Do đó,

hay phương trình x2  .
.

Vì vậy, bài tốn cầu phương hình trịn khơng thể thực hiện
được.
2.4.4. Bài tốn dựng đoạn thẳng có độ dài vơ tỉ.
Cho trước một đoạn thẳng có độ dài 1 đơn vị. Hãy dùng thước
và compa dựng các đoạn thẳng với chiều dài theo dãy
sau: 1, 2, 3,..., n .
- Dựng 1 tam giác vng cân, cạnh 1 đơn vị, ta sẽ có cạnh
huyền có độ dài bằng

2 .


14
- Đoạn

2 đã có, dựng tam giác vng có cạnh

2 và 1 ta sẽ

có cạnh huyền có độ dài bằng 3 .
- Tương tự dựng được đoạn thẳng có độ dài căn n (thực ra
sau khi dựng được một vài đoạn nhỏ, ta có thể tổ hợp các đoạn nhỏ
đó, để dựng một đoạn bất kỳ lớn hơn, mà không cần thiết phải tuần
tự). Ví dụ khi dựng được 7 và 10 ta dựng tam giác vng cân có

hai cạnh 7 và 10 ta sẽ được cạnh huyền là 17 .
2.5 BÀI TỐN CHIA ĐƢỜNG TRỊN
2.5.1 Bài tốn dựng đa giác đều 3 cạnh (tam giác đều) và
các đa giác đều là bội chẳn của 3:
a. Bài toán dựng đa giác đều 3 cạnh (tam giác đều)
Bài toán chia một đường tròn thành 3 (số nguyên tố Fermat)
phần bằng nhau hay bài tốn dựng góc 23 .
Cách dựng như sau:
- Dựng đường trịn tâm I bán kính R = 1.
- Dựng đường kính AB.
- Dựng đường trung trực của đoạn thẳng IB cắt đường tròn lần
lượt tại C và D.

- Góc ADC  2 .
3

- Tam giác ACD là tam giác cần dựng.
b. Bài toán dựng đa giác đều 6 cạnh (lục giác đều)
- Cách dựng dựa trên tam giác đều 3 cạnh đã dựng được ở
trên.
- Dựng đường thẳng CI, DI lần lượt cắt đường tròn tại F và
E.
- Lục giác AECBDFA là lục giác cần dựng.


15
- Đây là cách dựng cơ bản chia đều cung trịn.
c. Bài tốn dựng đa giác đều 12 cạnh, 24 canh, 36 canh,…
Tổng quát là đa giác bội chẳn của 3
- Cách dựng chia đều cung tròn ta sẽ được các đa giác cần

tìm.
- Hình dựng đa giác 12 cạnh. Các đa giác khác dựng tương
tự.
2.5.2. Bài toán dựng đa giác đều 4 cạnh (tứ giác đều) và các
đa giác bội chẵn của 4
a. Bài toán dựng đa giác đều 4 cạnh
Bài tốn là chia một đường trịn thành 4 (4 = 22) phần bằng
nhau hay bài tốn dựng góc  .
2
Cách dựng như sau:
- Dựng đường tròn tâm I bán kính R = 1.
- Qua I dựng hai đường thẳng d1, d2 vng góc với nhau lần
lượt cắt đường tròn tại các điểm A, B, C, D.
- Dựng đường thẳng CD là trung trực của đoạn AB.
- Góc CAD .
2
- Tứ giác ACBD là tứ giác đều cần dựng.
b. Bài toán dựng đa giác đều 8 cạnh
- Cách dựng dựa trên tứ giác đều 4 cạnh đã dựng được ở
trên.
- Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, CB, BD và
AD.
- Dựng đường thẳng MP và NQ lần lượt cắt đường tròn tại
các điểm F, H, E, G.


16
- Bát giác AFCEBHDG là bát giác đều cần dựng.
- Đây là cách dựng cơ bản chia đều cung tròn.
c. Bài toán dựng đa giác đều 16 cạnh, 32 cạnh,.... Tổng quát

là đa giác bội chẳn của 4
- Cách dựng chia đều cung tròn của đa giác 4 cạnh ta sẽ được
các đa giác cần tìm.
2.5.3. Bài tốn dựng đa giác đều 5 cạnh (ngũ giác đều) và
đa giác bội chẳn của 5
a. Bài toán dựng đa giác đều 5 cạnh (ngũ giác đều)
Bài tốn chia một đường trịn thành 5 (số nguyên tố Fermat)
phần bằng nhau hay bài toán dựng góc 2 / 5 .


Xét đa giác đều nội tiếp 5 cạnh N1N2N3N4N5.

Ta có
N3OH 

N3ON3 
 .
5
2

Nên



OH  R cos( 5 )

2  3  .
5 5

Xét đẳng thức

Đặt x  
5
 2x + 3x =  , tức là 2x và 3x là hai góc bù nhau.
Suy ra ta có: cos2x = -cos3x.
Áp dụng các cơng thức nhân đơi và nhân ba, ta có
Cos2x = 2cos2x – 1.
Cos3x = 4cos3x- 3cosx.
Ta có phương trình

2cos2x – 1= -(4cos3x- 3cosx)

 4cos3x + 2cos2x – 3cosx – 1 = 0.


17
Đặt t = cosx  4t3 + 2t2 – 3t -1 = 0

 (t-1) (4t2 - 2t - 1) = 0.
Giải phương trình bậc hai ta được t  (1 5) .
4
cos( / 5) chính là nghiệm dương


1 5 



 cos( ) 
.

5


1




5 

4


OH = R cos( ) 
5
4
Trong đó R là bán kính của đường trịn tâm O.

Từ đó ta có cách dựng như sau:
- Dựng hệ trục tọa độ x’Ox; y’Oy.
- Dựng đường trịn tâm O bán kính R = 1 lần lượt cắt Ox, Ox’,
Oy tại các điểm X, N1, Y.
- Dựng điểm A trên tia Oy sao cho OY = YA.
- Dựng điểm B trên tia Ox sao cho XB= XA.
- Dựng trung điểm C của OB và trung điểm H của OC.
- Dựng đường thẳng qua H vng góc Ox cắt đường trịn tại
N3, và N4.
- Dựng đường trịn tâm N1 bán kính R = N3N4 cắt đường tròn
tâm O tại N2, N5.
- N1N2N3N4N5 là ngũ giác cần dựng.

Thật vậy
 OA = 2R = 2, XA =

5 , OB = 4 OH = (1 +



1 5 



Hay OH = R cos( ) 
5
4

5 ).


18


Ngồi ra ta có thể dựng hình theo phương pháp Richmond

như sau:
- Dựng đường trịn tâm O, bán kính R. Giả sử R=1.
- Từ 1 điểm B trên vòng tròn, kẻ đường thẳng qua O và B.
- Dựng trung điểm D của OB.
- Dựng hai đường thẳng góc với OB tại O,cắt vòng tròn tại hai
điểm mà một điểm là P1.
- Dựng phân giác của góc ODP1 cắt OP1 tại N2.

- Dựng đường thẳng thẳng góc với OP1 tại N2 cắt vòng tròn tại
hai điểm mà một điểm là P2.
- P1, P2 là cạnh của một ngũ giác đều. Dựng các điểm còn lại
P3, P4, P5 bằng compa.
- Ta được ta đa giác đều 5 cạnh P1P2 P3,P4P5.
b. Bài toán dựng đa giác đều 10 cạnh, 20 cạnh, 40 cạnh,…
Tổng quát là đa giác bội chẳn của 5
- Cách dựng chia đều cung tròn của đa giác 5 cạnh ta sẽ được
các đa giác cần tìm.
- Hình dựng đa giác 10 cạnh. Các đa giác khác dựng tương tự.
2.5.4. Bài toán dựng đa giác đều 15 cạnh và các đa giác là bội
chẳn của 15
a. Bài toán dựng đa giác đều 15 cạnh

 . Vì 1 2 1 cho nên bài tốn dựng
Bài tốn dựng góc 215
15  5  3

góc 215

đưa về các bài tốn dựng góc

2
2 
15  5  3
Cách dựng:

2
5


và 3 . Tức là


19

 ). Dựng
- Đầu tiên dựng cung AM theo 2.4.3 (dựng góc 215

 ).
cung AN  2 AM (dựng góc 2 215
- Dựng cung AB theo 2.4.1 (dựng góc 3 ). Dựng cung
(dựng góc 2 3 ).

AC  2 AB

 ).
- Cung CN là cung cần dựng ( dựng được góc 215
- Dùng compa vẽ các cung cịn lại ta được đa giác đều 15
cạnh.
b. Bài toán dựng đa giác đều 30 cạnh, 60 cạnh,… Tổng quát
là đa giác bội chẳn của 15
- Cách dựng chia đều cung tròn của đa giác 15 cạnh ta sẽ được
các đa giác cần tìm.
2.5.5. Bài tốn dựng đa giác đều 17 cạnh và các đa giác là
bội chẳn của 17
a. Bài toán dựng đa giác đều 17 cạnh
Bài tốn chia đường trịn thành 17 phần bằng nhau thực chất
là dựng đoạn thẳng có độ dài là cos

2
.
17

Theo tính tốn xác định ở mục 2.3.6 ta có
2
1
1
1
cos



17



16



16

17 

16

342 17

1

173 17  342 17 2 342 17
8

2
Cách dựng góc 17 như sau:


20
- Dựng đường trịn đường trịn tâm O, bán kính OA=1. Đường
kính GS.
- Dựng đường trịn tâm A bán kính
2

17
1
đường tròn này cắt GS tại B.
R  1   
2
4
2

- Dựng đường tròn (B;BA) đường tròn này cắt GS tại C và D .


Khi đó ta có OC  0 , OD  1 .
2
2

0 

Với

1  17
2

, 1 

1  17
2

2

  1
2
Và CA  1   0  
4  0 .
 2 2
2

- Dựng đường tròn (C;CA) đường tròn này cắt GS tại E ta

1
2
được OE   0 với  0  0 
4  0 .
2 2
- Dựng đường tròn (D;DA) đường tròn này cắt GS tại F ta
 1
2
được OF  1 với 1  1 

4  1 .
2 2
2

 
Vì
  4 1   0  
2
 2
1

2
0

nên ta tiếp tục dựng như sau:

 
1

2


21
- Dựng đường trịn đường kính FG, đường trịn này cắt OA tại
H. Ta được OH 

1 .




- Dựng đường tròn  H,
Ta được OI 
OL  1x cos

1
2
2

17

OE 

 đường tròn này cắt GS tại I.

2 

2
 0  4 1 . Vậy ta dựng được đoạn



1 OE
1 
1
2
(
 OI )  ( 0 
 0  4 1 ) .
2 2

2 2 2

Dựng đường thẳng qua L vuông góc với OL cắt đường trịn
2
(O,OA) tại K . Ta có SK 
.
17
Dùng compa dựng các cung cịn lại ta được đa giác đều 17 cạnh.
b. Bài toán dựng đa giác đều 34 cạnh, 68 cạnh,… Tổng quát
là đa giác bội chẳn của 17
- Cách dựng đơn giản chia đều cung tròn của đa giác 17 cạnh
ta sẽ được các đa giác cần tìm.
2.6 NHẬN XÉT:
Cho p là số nguyên tố lẻ. Khi đó, một đường trịn chia được p
phần bằng nhau khi và chỉ khi p là số nguyên tố Fermat.
Do đó khơng thể chia đường trịn thành cách phần bằng nhau :
7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25,……………
Với các phương pháp dựng hình được giới thiệu ở trên, ta có
thể tiến hành dựng cho các đa giác là bội số chẳn của những đa giác
ở trên bằng phương pháp chia cung tròn thành 2 đoạn bằng nhau:
1.

Với đường tròn chia thành đa giác đều 3 cạnh, ta sẽ chia

được thành đa giác đều 6 cạnh => 12 cạnh => 24 cạnh => ...


22
2.

Với đường tròn chia thành đa giác đều 4 cạnh, ta sẽ chia

được thành đa giác đều 8 cạnh => 16 cạnh => 32 cạnh => ...
3.

Với đường tròn chia thành đa giác đều 5 cạnh, ta sẽ chia

được thành đa giác đều 10 cạnh => 20 cạnh => 40 cạnh => ...
4.

Với đường tròn chia thành đa giác đều 15 cạnh, ta sẽ chia

được thành đa giác đều 30 cạnh =>60 cạnh => 120 cạnh => ...
5.

Với đường tròn chia thành đa giác đều 17 cạnh, ta sẽ chia

được thành đa giác đều 34 cạnh => 68 cạnh => 136 cạnh => ...
6.

Tổng kết lại, theo định lý Gauss-Wantzel ta có thể chia một

đường trịn thành n phần bằng nhau với
n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, ... , 257, ... , 65537, ...


23
KẾT LUẬN
Trong luận văn này tác giả đã trình bày Lý thuyết Galois và
các ứng dụng qua phép dựng hình bằng thước kẻ và compa thể hiện

qua các nội dung chính như sau:
+ Hệ thống lý thuyết cần thiết cho việc dựng hình, chia đường
trịn bằng thước kẻ và compa, đặc biệt là Định lý Gauss-Wantzel cho
phép xác định số phần bằng nhau có thể chia được trên đường trịn,
nói cách khác là số cạnh của đa giác đều có thể dựng được trên
đường trịn đó
+ Trình bày các lời giải cho ba bài tốn cổ đã có cách đây từ
2000 năm trước: Chia ba một góc, gấp đơi một hình cầu và cầu
phương hình trịn, đặc biệt là bài tốn dựng đoạn thẳng có độ dài vơ
tỷ, đây là bài toán cơ bản để dựng được các đa giác đều nội tiếp
đường trịn
+ Trình bày các lời giải và cách dựng chi tiết, tổng quát cho
bài toán chia đường tròn thành n phần bằng nhau, với n là các phần
có thể dựng được.
Đến nay dựa vào lý thuyết Galois các nhà nghiên cứu đã tìm
tịi được nhiều cách dựng hình bằng thước kẻ và compa tường minh
hơn so với các phương pháp được giới thiệu trong luận văn. Do thời
gian nghiên cứu có hạn, tác giả chỉ trình bày được vài phương pháp
dựng. Trong thời gian tới hy vọng sẽ có điều kiện nghiên cứu tìm tịi
và bổ sung thêm.
Hy vọng luận văn đóng góp được những thơng tin cơ đọng
hữu ích cho các bạn sinh viên, học viên muốn nghiên cứu sâu hơn về
lĩnh vực này.