BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LƯU DANH CƯỜNG

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE VÀO
DẠY VÀ HỌC CÔNG THỨC TRUY HỒI

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số : 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2013


Cơng trình được hồn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Trần Quốc Chiến

Phản biện 1: TS. Lê Hải Trung
Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào
ngày 14 tháng 12 năm 2013.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng

1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Sự phát triển của cơng nghệ thơng tin đã làm cho xã hội có
nhiều thay đổi trong cách nghĩ, cách làm của nhiều lĩnh vực. Giáo
dục nước ta cũng khơng nằm ngồi xu hướng chung đó.
Ứng dụng cơng nghệ thơng tin là xu hướng phát triển tất yếu
của giáo dục nước nhà nói chung trong dạy học nói riêng. Cơng nghệ
thơng tin khơng những là công cụ minh họa cho bài giảng thêm sinh
động mà còn trực tiếp tham gia vào giải quyết những vấn đề chuyên
môn của nhiều ngành, nhiều môn học khác nhau. Maple là phần mềm
mở có khả năng như vậy. Nhờ phần mềm này mà mỗi giáo viên tốn
khơng những minh họa làm cho bài giảng sinh động hơn mà cịn giải
được nhiều bài tốn nhanh và đạt độ chính xác cao, thậm chí giải
được nhiều bài tốn mà dùng phương pháp biến đổi rất khó và gần
như khơng thực hiện được.
Tốn học tổ hợp được hình thành vào đầu thế kỷ XVII và
phát triển mạnh cùng với sự bùng nổ của công nghệ thông tin, đặc
biệt là các công trình nghiên cứu của các nhà tốn học nổi tiếng như
Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler,…
Trong những năm gần đây, Tổ hợp đã được đưa vào giảng
dạy ở chương trình học phổ thơng, đại học, sau đại học và nó là một
bộ mơn tương đối khó đối với học sinh, sinh viên vì khái niệm trừu
tượng và nhiều dạng tốn rất khó nhưng thời lượng dành cho mơn
này cịn hạn chế nhất là bậc trung học phổ thơng.
Với những tính năng của phần mềm Maple, được Thầy giáo
PGS.TSKH Trần Quốc Chiến gợi ý và bản thân thấy phù hợp với khả
năng của mình nên tơi lựa chọn đề tài: "Ứng dụng phần mềm Maple

vào việc dạy và công thức truy hồi" để nghiên cứu. Điều kiện đảm


2
bảo cho việc hoàn thành đề tài. Được Thầy giáo PGS.TSKH Trần
Quốc Chiến hướng dẫn, cung cấp tài liệu và tận tình giúp đỡ, bản
thân cố gắng nghiên cứu, sưu tập tài liệu để đảm bảo hoàn thành đề
tài.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Tạo hứng thú cho học sinh khi học công thức truy hồi bằng
Maple.
- Xây dựng phương pháp ứng dụng vào các bài toán và ứng
dụng của Maple trong giảng dạy và ứng dụng một cách phù hợp.
- Sử dụng phần mềm Maple vào việc dạy và học công thức
truy hồi giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn, phát huy tính tích cực, sáng
tạo cho học sinh
3. Đối tượng nghiên cứu
- Sử dụng phần mềm Maple hỗ trợ dạy và học cơng thức truy hồi.
- Các bài tốn về công thức truy hồi được giải quyết với sự
hỗ trợ của phần mềm Maple.
- Phạm vi về quy mô: Nghiên cứu việc xây dựng bài tốn về
cơng thức truy hồi với sự hỗ trợ của phần mềm toán học Maple.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm, phân tích và tổng hợp tài liệu mang nội dung,
kiến thức liên quan đến nội dung đề tài nghiên cứu; phần mềm toán
học Maple.
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua việc sưu tầm các loại tài
liệu như sách, báo, tạp chí, mạng internet, thầy cơ, bạn bè. Trình bày
một cách có hệ thống các nội dung lý thuyết đã nghiên cứu và tìm
hiểu.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Đề tài góp phần nghiên cứu ứng dụng của phần mềm maple


3
vào dạy và học giải công thức truy hồi phù hợp với chuyên ngành
Phương pháp toán sơ cấp.
- Sau khi cho phép bảo vệ, được sự góp ý của các thầy cơ
trong hội đồng, luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh
viên, giáo viên, học sinh phổ thông và những ai quan tâm đến lĩnh
vực này.
6. Cấu trúc luận văn
Gồm các mục:
- Mở đầu
- Chương 1: Cơng thức truy hồi
- Chương 2: Phần mềm tốn học Maple và ứng dụng
- Chương 3: Sử dụng phần mềm Maple công thức truy hồi
- Kết luận và hướng phát triển

CHƯƠNG 1
CƠNG THỨC TRUY HỒI
1.1. ĐỊNH NGHĨA
Cơng thức truy hồi của dãy số s(0), s(1), s(2), … là phương
trình xác định s(n) bằng các phần tử s(0), s(1), s(2), …, s(n-1) trước
nó.
s(n) = F(s(0), s(1), s(2),…, s(n-1)).
Điều kiện ban đầu là các giá trị gán cho một số hữu hạn các
phần tử đầu.
Định nghĩa 1.1. Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng
bậc k có dạng

s(n) = c1.s(n-1) + c2.s(n-2) + … + ck.s(n-k) + f(n) , (1.1)


4
Trong đó c1, c2, …, ck là các hằng số, ck ¹ 0 và f(n) là hàm
theo n.
Điều kiện ban đầu là giả thiết một số phần tử đầu của dãy có
giá trị cho trước: s(0) = C0, s(1) = C1, … , s(k-1) = Ck-1.
Nếu f(n)

¹ 0 thì (1.1) được gọi là cơng thức truy hồi tuyến

tính khơng thuần nhất hệ số hằng bậc k.
Nếu f(n) = 0 thì (1.1) được gọi là cơng thức truy hồi tuyến
tính thuần nhất hệ số hằng bậc k.
1.2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI
1.2.1. Phương trình đặc trưng của cơng thức truy hồi
tuyến tính thuần nhất hệ số hằng
Xét cơng thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc
k
s(n) = c1.s(n-1) + c2.s(n-2) + …+ck.s(n-k) (1.2)
Giả sử an = s(n). Thay vào công thức (1.2) ta được:
an = c1.an-1 + c2.an-2 + … + ck.an-k
Chia 2 vế cho an-k (với a ¹ 0), ta được:
ak = c1.ak-1 + c2.ak-2 + …+ ck
Hay
ak – c1.ak-1 – c2.ak-2 – … – ck = 0 (1.3)
Nghiệm của phương trình đặc trưng (1.3) gọi là nghiệm đặc
trưng của công thức (1.2).
1.2.2. Định lý

Định lý 1.1
Nếu s1, s2, …, sm là các nghiệm của cơng thức thuần nhất
(1.2) thì
s = C1.s1 + C2.s2 + … + Cm.sm là nghiệm của (1.2)
với C1, C2, …, Cm là các hằng số tùy ý.


5

Định lý 1.2
Nghiệm tổng quát của (1.1) có dạng
s(n) = h(n) + p(n)
Trong đó p(n) là nghiệm riêng nào đó của (1.1) và h(n) là
nghiệm tổng quát của công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất ứng
với (1.1).
s(n) = c1.s(n-1) + c2.s(n-2) + … + ck.s(n-k)

(1.1.1)

Định lý 1.3
Nếu r là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng (1.3) thì
rn, n.rn, …, nm-1.rn
là các nghiệm của công thức (1.2).
Định lý 1.4
Nếu r1, r2, …, rq tương ứng là các nghiệm bội m1, m2, …, mq của
phương trình đặc trưng (1.3) thì nghiệm tổng qt của (1.2) có dạng
s(n) = s1(n) + s2(n) + …+ sq(n)
Trong đó
si(n) = (Ci,0 + Ci,1.n + Ci,2.n2 + … +

Ci,mi -1.n mi -1 ). rin " i =

1,2,…,q
với Ci,j , j = 0,1,2,…,mi – 1, là các hằng số bất kì.
Định lý 1.5 (cơng thức nghiệm của cơng thức truy hồi tuyến
tính hệ số hằng bậc 2)
Cho cơng thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc hai
s(n) = c1.s(n – 1)+ c2.s(n – 2), (1.4)

với c1, c2 là các hằng số, c2 ¹ 0 và phương trình đặc trưng có

dạng
t2 – c1.t – c2 = 0 (1.5)


6
Giả sử phương trình đặc trưng (1.5) có 2 nghiệm phân biệt r1
và r2 thì nghiệm tổng quát của (1.4) có dạng
s(n) = C1.r1n + C2.r2n ,
Trong đó C1, C2 là các hằng số tùy ý.
Định lý 1.6
Cho công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc hai
s(n) = c1.s(n – 1)+ c2.s(n – 2), (1.4)
Với c1, c2 là các hằng số, c2 ¹ 0 và phương trình đặc trưng
có dạng t2 – c1.t – c2 = 0 (1.5)
Giả sử phương trình đặc trưng (1.5) có nghiệm kép r0 thì
nghiệm tổng qt của (1.4) có dạng
s(n) = C1.r0n + C2.n.r0n
trong đó C1, C2 là các hằng số tùy ý.
Định lý 1.7 Cho công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ

số hằng bậc hai
s(n) = c1.s(n – 1)+ c2.s(n – 2) (1.4)
Với c1, c2 là các hằng số, c2

¹

0 và phương trình đặc trưng

có dạng
t2 – c1.t – c2 = 0 (1.5)
Giả sử phương trình đặc trưng (1.5) có 2 nghiệm phức liên
hợp là
r = x + i.y và r = x – i.y (i2 = 1), thì nghiệm tổng qt của
(1.4) có dạng
s(n) = l n .(C1.cos(n j ) + C2.sin(n j )), trong đó
l = x 2 + y 2 , tgj =

y
ỉ p pư
, jẻ ỗ - , ữ v C1, C2 l cỏc hằng
x
è 2 2ø

số tùy ý.
c. Giải công thức truy hồi bằng phương pháp lặp


7
Nội dung của phương pháp này là thay thế liên tiếp cơng
thức truy hồi vào chính nó, mỗi lần thay bậc n giảm ít nhất 1 đơn vị,

cho đến khi đạt giá trị ban đầu.
1.3. Phương pháp tổng quát giải cơng thức truy hồi
a. Cơng thức truy hồi tuyến tính thần nhất hệ số hằng bậc k
Cho công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc k
s(n) = c0.s(n – 1) + c1.s(n – 2) + …+ ck-1.s(n – k)
Các bước giải công thức truy hồi trên như sau:
Bước 1. Giả sử công thức truy hồi tồn tại nghiệm dạng s(n)
n

= r . Thay vào công thức truy hồi và viết phương trình đặc trưng của
cơng thức truy hồi dạng
rk – c0.rk-1 – c1.rk-2 - … - ck-1 = 0.
Bước 2. Tìm nghiệm r1, r2, …, rk của phương trình đặc trưng.
Bước 3. Khi đó nghiệm tổng quát có dạng
s(n) = c0.r1n + c1.r2n + … + ck-1.rkn.
Bước 4. Từ các điều kiện ban đầu của công thức truy hồi ta
thay vào công thức nghiệm tổng quát, giải các hệ phương trình này
để tìm các hệ số c0, c1, …, ck-1. Từ đó ta thu được kết quả.
b. Cơng thức truy hồi tuyến tính khơng thuần nhất hệ số
hằng bậc k
Cho cơng thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số
hằng bậc k
s(n) = c1.s(n-1) + c2.s(n-2) + … + ck.s(n-k) + f(n)
trong đó c1, c2, …, ck là các hằng số, ck

¹ 0 và f(n) là hàm

theo n.
Ta có thể giải cơng thức truy hồi trên qua các bước sau:

8
Bước 1. Viết lại cơng thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ
số hằng bậc k tương ứng và tìm nghiệm tổng qt pn của cơng thức
truy hồi đó
Bước 2. Tìm nghiệm riêng hn của cơng thức truy hồi tuyến
tính không thuần nhất.
Bước 3. Viết lại nghiệm tổng quát của cơng thức truy hồi
tuyến tính khơng thuần nhất cần giải s(n) = pn + hn.
Bước 4. Sử dụng các điều kiện đầu và các giả thiết ban đầu
để giải hệ các phương trình tương ứng khi thay vào cơng thức
nghiệm ở bước 3. Sau khi giải ta thu được các hệ số tương ứng và có
nghiệm cuối cùng.

CHƯƠNG 2
PHẦN MỀM MAPLE VÀ ỨNG DỤNG
2.1. GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE
Maple là một phần mềm Toán học do Đại HọcTổng Hợp
Waterloo (Canada) xây dựng và đưa vào sử dụng năm 1985. Sau
nhiều lần cải tiến và phát triển qua nhiều phiên bản khác nhau và
ngày càng được hoàn thiện. Maple chạy trên tất cả các hệ điều hành,
có trình trợ giúp (Help) rất dễ sử dụng. Maple cung cấp nhiều cơng
cụ trực quan, các gói lệnh gắn liền với tốn học phổ thơng và đại
học.
2.1.1. Các tính năng cơ bản của Maple
Maple có thể thực hiện hầu hết các phép tốn cơ bản trong
chương trình tốn học, cung cấp các cơng cụ minh họa, hình học tĩnh
và động. Mơ phỏng các mơ hình tốn học mà con người ta khó có thể
thực hiện được bằng cách thủ cơng. Maple cũng là một ngôn ngữ lập

9
trình đơn giản và mạnh mẽ có khả năng tương tác với các ngơn ngữ
lập trình khác, cho phép trích xuất ra các định dạng khác nhau như
Latex, Word, HTML, Maplet… Maple cịn là cơng cụ soạn giáo án
điện tử, trình diễn, soạn câu hỏi trắc nghiệm…
2.1.2. Cấu trúc và giao diện Maple
Sau khi khởi động Maple, đầu tiên mở một trang(Worksheet)
mới bằng cách chọn New/File. Trên trang màn hình hiện cửa sổ làm
việc của Maple với dấu nhắc [>.Sau đó ta có thể gõ các phép tính,
cơng thức u cầu Maple thực hiện.
Các dữ liệu được lưu trữ trong thư viện của Maple và được chia làm
hai nhóm : Nhóm lệnh cơ bản và nhóm các gói lệnh. Muốn gọi lệnh
phải nạp bằng >with(gói lệnh cần mở):. Giao diện của Maple dễ sử
dụng, cho phép ta soạn thảo văn bản, gõ dạng cơng thức tốn học.
Sau khi gõ lệnh và ấn Enter để thực hiện lệnh thì kết quả hiện ra
ngay sau dưới dịng lệnh.
2.1.3. Lưu trữ và trích xuất dữ liệu
Trang làm việc của Maple được lưu dưới dạng tệp (file) có
phần mở rộng .mws. Lưu file dữ liệu bằng File/Save, và mở file có
trên đĩa bằng File/Open. Ngồi việc lưu và mở như trên thì Maple
cịn chức năng trích xuất dữ liệu thành các định dạng khác như
Word, Latex, HTML, Maplet… Trích xuất bằng cách vào
File/Export/<dạng dữ liệu cần xuất>.
2.2. CÁC THAO TÁC ĐẦU TIÊN
2.2.1. Nhập biểu thức
Dữ liệu : Maple cho phép ta nhập ba loại dữ liệu : Lệnh,
công thức và văn bản. Để chọn kiểu lệnh nhấp chuột vào nút [>
(hoặc nhấn tổ hợp phím Ctrl + M), để chọn kiểu cơng thức ta nhắp
nút Math (hoặc Ctrl + R), để chọn kiểu văn bản nhắp nút T (hoặc Ctrl

10
+ T).Thực hiện lệnh mỗi lệnh trong Maple phải kết thúc bởi dấu
chấm phẩy (;) hoặc dấu hai chấm (:). Nhấn Enter để thực hiện lệnh
trên dòng con trỏ.
Nếu kết thúc bằng dấu chấm phẩy (;), thì kết quả hiển thị trên
màn hình. Nếu kết thúc lệnh bằng dấu hai chấm (:), thì kết quả khơng hiển
thị trên màn hình. Nhấn Shift + Enter để nối lệnh với dòng tiếp theo.
2.2.2. Các tốn tử, hàm và hằng
2.2.3. Tính giá trị thập phân của biểu thức
Cú pháp : evalf(<biểu thức số>,<n>);
Ký hiệu % chỉ biểu thức cuối cùng.
2.2.4. Phép gán
Cú pháp : Biến :=<biểu thức>; Phép gán giá trị biểu thức cho
biến.
2.2.5. Biến tự do và biến ràng buộc
Lệnh restart; giải phóng các biến đã được sử dụng thành biến
tự do.
2.3. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN
2.3.1. Hàm khai triển biểu thức đại số
Cú pháp : expand(<biểu thức>,<tùy chọn>); Khai triển biểu
thức theo tùy chọn.
2.3.2. Hàm phân tích biểu thức thành thừa số
Cú pháp : factor(<biểu thức>); Hàm factor phân tích biểu
thức thành thừa số.
2.3.3. Hàm tối giản phân thức
Cú pháp : normal(<biểu thức>); Hàm tối giản phân thức hữu tỉ.
2.3.4. Hàm đơn giản biểu thức
Cú pháp : simplify(<biểu thức>,[tùy chọn]); Đơn giản biểu

thức theo tùy chọn.


11
2.3.5. Hàm chuyển đổi dạng biểu thức
Cụ thể : convert(, parfrac, x) ;
2.3.6. Định nghĩa hàm số
Cú pháp : Tên hàm := biến-><biểu thức>
2.4. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Sử dụng một lệnh duy nhất là solve
2.4.1. Giải phương trình
Cú pháp : solve(phương trình, {biến 1, biến 2, …}) ;
2.4.2. Giải gần đúng phương trình
* Hàm fsolve(f(x),x) trả về nghiệm gần đúng của phương
trình f(x) = 0
2.4.3. Bất phương trình
* Hàm solve(<bpt>,<x>) trả về nghiệm bất phương trình bpt theo ẩn
x.
2.4.4. Giải hệ phương trình
Cú pháp : solve({f1, f2, …},{x1, x2, …}); Trả về nghiệm
của phương trình {f1, f2, …} theo các ẩn {x1, x2, …}.
2.4.5. Giải công thức truy hồi
* Hàm rsolve(eqns, fcns)
rsolve(eqns, fcns, ‘genfunc’(z))
trong đó eqns là phương trình hoặc tập hợp phương trình.
f(a) = f(a+1) =…= f(b) = c có thể viết gọn là f(a..b) = c
f(a) = g(a), f(a+1) = g(a+1),…,f(b) = g(b) có thể viết gọn là
f(m=a..b) = g(m)
* Hàm rsolve({u(n) = a*u(n-1)+b*u(n1)+…,u(0)=u0,u(1)=u1,…},u) giải công thức truy hồi
rsolve({u(n) = a*u(n-1)+b*u(n-1)+…,u(0)=u0,u(1)=u1,…

12
2.5. MAPLE VỚI GIẢI TÍCH
2.5.1. Giới hạn của biểu thức
Cho biểu thức p tham số x
* Hàm limit(p,x=a) : trả về giới hạn của p khi x tiến đến a.
2.5.2. Giới hạn của hàm
Sử dụng hàm limit đối với hàm.
* Hàm limit(f(x),x=a) : trả về giới hạn của hàm f(x) khi x
tiến đến a.
2.5.3. Đạo hàm
a. Đạo hàm của biểu thức một biến
Cho biểu thức p tham số x
Hàm diff(p,x) : trả về đạo hàm của p theo x.
b. Đạo hàm hàm một biến
Cho hàm f biến x.
* Hàm D(f) : trả về đạo hàm f’ của f theo x.
2.6. LẬP TRÌNH TRÊN MAPLE
2.6.1. Lệnh nhập xuất dữ liệu
Hàm readstart(“”): Trả về dữ liệu nhập từ bàn
phím.
Hàm print(data1, data2, …): Hiển thị dữ liệu ra màn hình.
Nếu dữ liệu là xâu ký tự thì đặt trong dấu “.
Để tạo chương trình trong Maple ta có thể gộp lệnh như sau :
+ Viết và thực hiện từng lệnh, sau đó bơi đen các lệnh rồi
ghép các lệnh thành chương trình bằng cách thực hiện lệnh thực đơn
Edit\Spit or Join\Join Execution Groups.
2.6.2. Xây dựng thủ tục
Procedure_name:=proc(parameter_sequence)

[local local_sequence]


13
[global global_sequence]
[options options_sequence] statements_sequence;
End proc;
2.6.3. Lưu và nạp thủ tục
+ Lưu thủ tục : trong file chưa các thủ tục đã được biên dịch
và thực hiện lệnh save <tên thủ tục 1, tên thủ tục 2, …>, “[Đường
dẫn]/<tên file>.m”
+ Nạp thủ tục : Sau khi lưu lại ta có thể gọi ra để thi hành
lệnh Read “[Đường dẫn]/<tên file>.m”;
2.6.4. Các cấu trúc điều khiển
a. Lệnh rẽ nhánh
Cú pháp :
If <conditional epression> then <statement sequence>
| else <conditional epression> then <statement sequence>|
| else <statement sequence> | end if;
b. Vòng lặp for
Cú pháp:
for <name> from <expr1> by <expr0> to <expr2> while
<condition> do <statement sequence> end do;
Hoặc dạng phát biểu khác :
For <name> in <exprL> while <condition> do sequence> end do;
c. Vòng lặp while
Cú pháp :
While <condition> do <statement sequence> end do;
Chức năng : Vòng lặp While được sử dụng để thực hiện dãy

các lệnh <statement sequence> cho đến khi điều kiện <condition>
khơng cịn thỏa mãn thì kết thúc.


14
2.7. GĨI LỆNH MAPLET
Gói lệnh Maplet, chúng ta có thể tạo ra các ứng dụng trực
quan, tương tác với người dung như thực hiện tính tốn, vẽ đồ thị
trực tiếp trên cửa sổ ứng dụng đó.
Maplet gồm các gói thủ tục : Display, Elements, Examples,
Tools.
Cấu trúc lệnh của maplet : with(Maplets[gói thủ tục]);
Thi hành lệnh của maplet : Maplet[Display](Tên gói lệnh
trong maplet)
Tạo cửa sổ Maplet và các nút điều khiển trong cửa sổ.

CHƯƠNG 3
SỬ DỤNG MAPLE TRONG GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI
3.1. ỨNG DỤNG MAPLE VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRUY
HỒI TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
3.1.1. Bài tốn truy hồi tuyến tính hệ số hằng bậc hai
* Phương pháp tổng quát
Bài tốn số 1( Số Fibonacci)
Giải cơng thức truy hồi
a n = a n -1 + a n - 2 với n ³ 2 , a 0 = 0,a1 = 1
Bài giải
Phương trình đặc trưng
t2 - t -1 = 0
Phương trình có hai nghiệm đơn là

15
1+ 5
2
1- 5
b=
2
a=

Như vậy dãy fibonacci có dạng
f n = aa n + bbn
Thế vào điều kiện ban đầu ta có hệ phương trình
a+b =1

và aa + bb = 1

Giải ta c
an =

1 ổ1+ 5 ử
.ỗ
ữ
5 ố 2 ứ

n +1

-

1 ổ1- 5 ử
.ỗ

ữ
5 ố 2 ứ

n +1

Thc hin gii bng Maple :
>

Print( Phương trình có nghiệm là) ; x :solve (x2-x-1,x) ;


16

Bài tốn 2.
Giải cơng thức truy hồi

ìu 0 = 1; u1 = 2
với "n ³ 1
í
ỵu n +1 = 4u n + u n -1

Bài tốn 3. (tính số các xâu nhị phân)
Tính số các xâu nhị phân độ dài n và khơng có hai bit 0 liên tiếp.
3.1.2. Bài tốn truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc ba
* Phương pháp giải tổng qt
Bài tốn 4.
Giải cơng thức truy hồi
ìu1 = 0;u 2 = 1; u 3 = 3
:í
ỵu n = 7u n -1 - 11u n - 2 + 5u n - 3 , "n ³ 4

17
3.1.3. Cơng thức truy hồi tuyến tính khơng thuần nhất hệ
số hằng
* Phương pháp giải tổng qt
Bài tốn 5. Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi:
an = 3an-1+2n với điều kiện đầu a1 = 3
Bài tốn 6. Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi :
u n = 3u n -1 - 1 , u1 = -2

Bài tốn 7.
ìu = 2
Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi : u n = í 1
ỵu n = u n -1 + 2n + 1
Bài tốn 8.
Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi:
ìïu 0 = -1;u1 = 3
í
2
ïỵu n - 5u n -1 + 6u n - 2 = 2n + 2n + 1 "n ³ 2
Bài tốn 9.
ìïu1 = 1
Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi: (u n ) : í
n
ïỵu n = 3u n -1 + 2
Bài tốn 10.
Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi:
ìïu1 = -2
í

n
n
ïỵu n = 5u n -1 + 2.3 - 6.7 + 12 ;

n = 1, 2,3...

Bài tốn 11.
Tìm nghiệm của hệ thức truy
ìïu 0 = -1;u1 = 3
hồi: í
n
ïỵu n - 4u n -1 + 3u n - 2 = 5.2 "n ³ 2


18
Bài tốn 12.
ìïu 0 = 1; u1 = 3
Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi: í
n
ïỵu n - 4u n -1 + 4u n - 2 = 3.2
3.2. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH MỘT SỐ DẠNG BÀI TRUY HỒI
3.2.1. Chương trình tính bài tốn truy hồi tuyến tính
thuần nhất bậc hai
Khi thực hiện chương trình này ta chi cần đặt chuột lên dịng
lệnh bất kì và nhấn Enter sau đó gọi lệnh >thtt2(); sau đó thực hiện
u cầu của đề bài.
Bài tốn 14.
Tìm cơng tính cơng thức truy hồi:
u(n) = u(n-1) + u(n-2) , u(0)=1, u(1)=1
Để giải bài toán ta thực hiện chương trình như sau:

>thtt2();
Sau đó nhập u(0) là 1 nhập u(1) là 1 ,nhập a là 1 nhập b là
1ta thu được kết quả bài toán là :


19

+

3.2.2. Chương trình tính bài tốn truy hồi tuyến tính
thuần nhất bậc ba
Khi thực hiện chương trình này ta chỉ cần đặt chuột lên dịng
lệnh bất kì và nhấn Enter sau đó gọi lệnh >thtt3(); sau đó thực hiện
yêu cầu của đề bài.
Bài tốn 15
Tìm cơng tính cơng thức truy hồi:
u(n) = 6u(n-1) -11 u(n-2)+6u(n-3) , u(0)=0, u(1)=1,u(2)=1
Để giải bài tốn ta thực hiện chương trình như sau:
>thtt3();
Sau đó nhập u(0) là 0 nhập u(1) là 1 u(2) là 1, nhập a là 6
nhập b là -11 nhập c là 6 ta thu được kết quả bài toán là :
>


20

-2,3,-1

3.2.3. Chương trình tính bài tốn truy hồi tuyến tính
khơng thuần nhất dạng u(n)=a.u(n-1)+fn với fn là đa thức

Khi thực hiện chương trình này ta chi cần đặt chuột lên dịng
lệnh bất kì và nhấn Enter .Sau đó thực hiện u cầu của đề bài.
Bài tốn 16.
Tìm cơng tính cơng thức truy hồi:
u(n) = 3.u(n-1) + 2n , u(0)=2
Để giải bài tốn ta thực hiện chương trình như sau:
>¿
Sau đó nhập u(0) là 2 nhập a là 3 ,nhập f(n) là 2n ta thu
được kết quả bài toán là :


21

Vì đa thức fn có dạng 2n


22
3.2.4. Chương trình tính bài tốn truy hồi tuyến tính
khơng thuần nhất dạng U(n)=a.u(n-1)+b.U(n-2)+fn với fn là đa
thức
Khi thực hiện chương trình này ta chỉ cần đặt chuột lên dịng
lệnh bất kì và nhấn Enter .Sau đó thực hiện u cầu của đề bài.
Bài tốn 17.
Tìm cơng tính cơng thức truy hồi:
u(n) = 5.u(n-1) -6u(n-2)+ 2n2 -2n-1, u(0) = -1, u(1) =3
Để giải bài tốn ta thực hiện chương trình như sau:
>¿
Sau đó nhập u(0) là -1 , nhập u(1)là 3 ,nhập a là 5, nhập b
là -6,
nhập f(n) la -2n2-2n-1 ta thu được kết quả bài tốn là :

Vì đa thức f(n) có dạng -2n-2n-1


23

3.2.4. Chương trình trích một phần tử bất kì trong dãy
truy hồi.
Tạo một chương trình con để trích xuất phần tử bằng câu lệnh
With(LREtools):interface(verboseproc=3)
Truyhoi:=REtoproc(eqns,fcns):
Trong đó
eqns là phương trình
fcns là hàm