ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
----- -----

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ
BÀI TỐN VẬT LÝ LIÊN QUAN ĐẾN
HÀM ĐIỀU HỊA

Giảng viên hướng dẫn : TS. HOÀNG NHẬT QUY
Sinh viên thực hiện

: TRẦN THỊ THANH NHÀN

Lớp

: 15ST

ĐÀ NẴNG – năm 2019


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
----- -----

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ
BÀI TỐN VẬT LÝ LIÊN QUAN ĐẾN
HÀM ĐIỀU HỊA

Giảng viên hướng dẫn : TS. HOÀNG NHẬT QUY
Sinh viên thực hiện

: TRẦN THỊ THANH NHÀN

Chuyên ngành

: Sư phạm Toán

Lớp

: 15ST

ĐÀ NẴNG – năm 2019


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn chân thành và sâu sắc đến Tiến sĩ Hồng Nhật Quy – người thầy tận

tình dìu dắt, chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến q thầy cơ khoa Toán,
khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng đã hướng dẫn, dạy bảo
em tận tình trong suốt thời gian học tập tại trường.
Nhân dịp này, em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn
cổ vũ, động viên, hỗ trợ em trong suốt q trình học tập và thực hiện khóa luận
tốt nghiệp.

Đà Nẵng, tháng 01 năm 2019
Sinh viên

Trần Thị Thanh Nhàn

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 4
NỘI DUNG ....................................................................................................... 7
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ .......................................................... 7
BÀI TOÁN VẬT LÝ LIÊN QUAN ĐẾN ........................................................ 7
HÀM ĐIỀU HÒA ............................................................................................. 7
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 8
1.1.

Số phức và các phép toán về số phức ................................................... 8

1.2.

Dao động điều hịa .............................................................................. 12

1.2.1. Phương trình động lực học.................................................................. 12
1.2.2. Dao động điều hịa .............................................................................. 13
1.3.

Sóng cơ ............................................................................................... 14

1.4.

Dao động điện ..................................................................................... 19

1.4.1. Mạch LC ............................................................................................. 19
1.4.2. Điện tích q phụ thuộc thời gian q (t ) .................................................. 19
1.4.3. Đoạn mạch xoay chiều chỉ có điện trở thuần. Các giá trị hiệu dụng .. 21
1.4.4. Đoạn mạch xoay chiều chỉ có tụ điện ................................................. 23
1.4.5. Đoạn mạch xoay chiều chỉ có cuộn cảm thuần................................... 26
1.4.6. Đoạn mạch R, L, C mắc nối tiếp......................................................... 28
1.5.

Giới thiệu một số tính năng tính tốn số phức bằng máy tính
CASIO.................................................................................................. 30

Chương 2 NỘI DUNG CỤ THỂ ..................................................................... 32
2.1.

Ứng dụng số phức trong dao động điều hòa ...................................... 32

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

2.1.1. Viết phương trình dao động điều hịa ................................................. 33
2.1.3. Tổng hợp dao động điều hịa............................................................... 37
2.2.

Ứng dụng số phức trong sóng cơ........................................................ 41

2.3.

Ứng dụng số phức trong dòng điện xoay chiều.................................. 43

2.3.1. Bài toán cộng điện áp trong đoạn mạch xoay chiều ........................... 44
2.3.2. Tìm biểu thức u, i trong mạch điện xoay chiều .................................. 45
2.3.3. Bài toán hộp đen ................................................................................. 46
2.3.4. Bài toán tổng hợp ................................................................................ 48
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 50
Tài liệu tham khảo ........................................................................................... 51

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhà tốn học Jacques Hadamard đã nói rằng: “Đường đi ngắn nhất từ
thực đến thực là qua phức”. Hiện tượng rất hay gặp trong Toán học
là người ta phân loại số thực thì thường phức hóa nó và phân loại
trường số phức trước cho đơn giản sau đó mới quay sang trường số
thực.
Số phức khơng chỉ quan trọng trong tốn học mà cịn ngay cả trong
vật lý, số phức cũng xuất hiện rất nhiều do Vật lý cũng liên quan đến
hình học và có nhiều đại lượng khơng chỉ dùng để đo độ lớn mà cịn
có hướng. Vì vậy, khi nói đến hướng là phải nhắc đến số phức bởi số
ảo i đại diện cho sự quay 90 độ. Đặc biệt, một số đại lượng vật lý có
tính chất sóng, được biểu diễn theo hàm sóng, số phức giúp cho việc
hình dung hiện tượng và tính tốn các đại lượng dễ dàng hơn.
Đặc biệt hiện nay, với việc chuyển đổi hình thức thi từ tự luận sang
trắc nghiệm trong các kỳ thi đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia, yêu
cầu học sinh không những nắm vững lý thuyết mà cịn phải tính được
kết quả chính xác trong thời gian ngắn. Trong số các phương pháp,
em nhận thấy rằng phương pháp số phức là phương pháp đơn giản,
gần gũi và có tính hiệu quả cao. Khơng những vậy, bắt kịp xu hướng
dạy học tích hợp và tạo mối liên hệ chặt chẽ giữa các môn khoa học
tự nhiên, giúp học sinh dễ dàng tiếp nhận và chủ động liên hệ giữa

các môn học giúp cho việc học toán trở nên thú vị và đồng thời giảm
bớt gánh nặng cho chương trình vật lý lớp 12.
Trong khóa luận này, em sẽ trình bày một số ứng dụng của số phức
vào giải một số bài toán vật lý liên quan đến hàm điều hòa.
SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

Bố cục khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị cho nội dung chính gồm các kiến thức
về số phức, dao động điều hịa, sóng cơ và mạch điện xoay chiều.
Chương 2: Nội dung chính của khóa luận trình bày về cách ứng dụng
số phức vào giải nhanh từng dạng bài tập vật lý có liên quan đến hàm
điều hịa.

2. Mục đích nghiên cứu
 Đề tài nghiên cứu giúp các em học sinh hiểu rõ thêm tầm quan
trọng của số phức, từ đó tạo được niềm u thích và hứng thú
học tập mơn tốn.
 Giúp học sinh có thêm một lựa chọn tốt khi giải các bài toán
liên quan đến hàm dao động điều hịa, ứng dụng giải nhanh các
bài tốn trên máy tính cầm tay.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu

 Kiến thức cơ bản về số phức và biểu diễn số phức.
 Các bài tốn về dao động cơ, sóng cơ, mạch điện xoay chiều
RLC mắc nối tiếp.
 Phương pháp giải bài tập dao động cơ, sóng cơ, mạch điện
xoay chiều RLC mắc nối tiếp bằng số phức và ứng dụng giải
trên máy tính cầm tay CASIO fx-570ES; fx-570ES PLUS; FX-

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

570VN PLUS hoặc Vinacal 570 ES PLUS; Vinacal 570 ES
PLUS II.
 Phạm vi nghiên cứu
 Khái niệm, tính chất và cách biểu diễn số phức.
 Các bài tập về dao động cơ, sóng cơ, mạch điện xoay chiều
RLC mắc nối tiếp thuộc chương trình Vật lý 12.

4. Phương pháp nghiên cứu
 Tìm hiểu, đọc, phân tích, tổng hợp tài liệu trên mạng Internet,
sách tham khảo.
 Tổng hợp từ kinh nghiệm học tập và giảng dạy của cá nhân và
học hỏi kinh nghiệm giảng dạy của thầy cô.
 Lựa chọn các dạng bài tập phù hợp với nội dung và chuẩn kiến
thức của chương trình học.

 Quan sát biểu hiện hứng thú của học sinh và sự linh hoạt của
học sinh khi áp dụng kiến thức vào giải quyết vấn đề.

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

NỘI DUNG

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN VẬT LÝ LIÊN QUAN ĐẾN
HÀM ĐIỀU HÒA

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số lý thuyết cơ bản về số phức, dao động điều hịa,

sóng cơ và dịng điện xoay chiều.

1.1. Số phức và các phép tốn về số phức
Định nghĩa 1.1.1: Giả sử ta đặt

 (a, b) : (a , b ) 

 . Trên ℂ xác định 2 phép

toán sau:
(a, b)  (c, d )  (a  c, b  d )
(a, b).(c, d )  (ac  bd , ad  bc) .

Khi đó, tập ℂ là một trường và ta gọi là trường số phức.
Mỗi phần tử z  (a, b) được gọi là một số phức.
Ký hiệu
a  Re z gọi là phần thực của z .
b  Im z gọi là phần ảo của z .

Mỗi số phức dạng z  (a,0) được đồng nhất với số thực a  .
Đơn vị ảo: Đặt i  (0,1) , ta có:
i  (0,1).(0,1)  (1,0)  1.

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

Định nghĩa 1.1.2: (Dạng đại số của số phức) Giả sử z  (a, b)  . Khi đó ta
gọi biểu thức z  a  bi là dạng đại số của z . Và ta gọi z  a  bi là số phức liên
hợp của z .
* Một số tính chất:
1. z.z  a 2  b 2  0 .
2. z1  z2  ...  zn  z1  z2  ...  zn .
3. z1.z2 .....zn  z1.z2 .....zn .
4. z  z  2.Re z ; z  z  2.Im z ; z  z .
Định nghĩa 1.1.3: (Môđun của số phức) Mỗi số phức z  a  bi , môđun của z
được xác định là
z  z. z  a 2  b 2  0 .

* Một số tính chất:
1.

z  0; z  0  z  0 .

2.

z1  z2  z1  z2 .

3.

z1.z2  z1 . z2 .

4.

z1  z2  z1  z2 .

5.

Re z  z ; Im z  z .

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 9


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

Định nghĩa 1.1.4: (Argument của số phức) Giả sử z  a  bi  0 . Góc  tạo bởi
vectơ Oz và chiều dương của trục Ox gọi là argument của z .
 Argument chính: Ký hiệu arg z   , với      .
 Argument phụ: Ký hiệu Arg z  arg z  k 2 với k  .
Định nghĩa 1.1.5: (Dạng lượng giác của số phức) Với mỗi z  0 , đặt r  z ,

  arg z .
Khi đó, số phức z có thể được viết dưới dạng sau:
z  r (cos   i sin  )

được gọi là dạng lượng giác của số phức z .
Chú ý: Có thể chứng mình được các tính chất sau đây:
z n  r n (cos.n   i sin.n  )

(cos   i sin  )n  cos n  i sinn  .

(Công thức Moivre)
Định nghĩa 1.1.6: (Dạng mũ của số phức) Đặt ei  cos   i sin  . Khi đó, số
phức z có thể viết được dưới dạng sau:
z  rei , r  z ,   arg z .

được gọi là dạng mũ của số phức.

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

* Một số tính chất:
Cho z1  r1ei , z2  r2ei , ta có:
1

2

1. z1.z2  r1.r2ei (  ) .
1

2.

2

z1 r1 i (  )

.
 e
z2 r2
1

2

3. Công thức Euler:
ei  e  i
ei  e  i
cos  
, sin  
.
2i
2

Định nghĩa 1.1.7: (Căn bậc n của số phức) Với n  1 và z  , căn bậc n của
z là số phức w

thỏa mãn: wn  z .

Mỗi số phức z  0 sẽ có n căn bậc n khác nhau và được ký hiệu là

n

z và được

xác định như sau:

n

  2k
  2k


z   n r (cos
 sin
), k  0;1;2;...n  1 .
n
n



SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 11


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

1.2. Dao động điều hịa
1.2.1. Phương trình động lực học
Con lắc lị xo gồm một vật nặng khối lượng m , gắn vào đầu một lị xo

có độ cứng k , đầu kia của lị xo cố định (hình 1.2.1)
Hình 1.2.1
Khi vật nặng có li độ (độ dời tính từ vị trí cân bằng O) là x thì lực đàn
hồi F của lị xo tác dụng lên vật cùng phương, ngược chiều với li độ x

và, trong giới đàn hồi, có độ lớn tỉ lệ thuận với x :
F  kx

(1.2.1)

hệ số tỉ lệ k gọi là độ cứng của lò xo. Lực F có khuynh hướng đưa vật
trở về vị trí cân bằng gọi là lực kéo về hay lực hồi phục.
Phương trình động lực học của chuyển động vật nặng là:
mx "  kx

(1.2.2)

trong đó x " là gia tốc của vật:
x" 

d 2x
.
dt 2

x "

k
x0
m

Có thể viết lại (1.2.2) như sau:

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 12

Khóa luận tốt nghiệp
Đặt



GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

k
m

ta sẽ có:

(1.2.3)
x "  2 x  0 .

(1.2.4)

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1.2.4) có dạng:
x  A sin( t   )

(1.2.5)

Có thể chọn nghiệm tổng quát của (1.2.4) là hàm cosin:
x  A cos( t   ) , khi đó    


2

.

Phương trình (1.2.5) cho biết sự phụ thuộc của li độ x của vật nặng vào
thời gian, đó chính là phương trình chuyển động của vật.
1.2.2. Dao động điều hòa
Chuyển động của một vật mà li độ x biến đổi theo thời gian theo quy
luật dạng sin (1.2.5) gọi là dao động (cơ học) điều hịa với:
  gọi là tần số góc của dao động, tần số góc có đơn vị là rad / s .


A là li độ cực đại, và được gọi là biên độ dao động.

 (t   ) được gọi là pha của dao động tại thời điểm t .
Với một biên độ A đã cho thì pha xác định li độ.
Vào thời điểm t  0 thì pha có giá trị bằng  . Vì vậy,  gọi là pha ban
đầu của dao động.
Nếu pha của dao động biến đổi một góc 2 thì:
x(t )  Asin( t   )  Asin[( t   )  2 ]  Asin[ (t 

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

2



)   ]  x(t 

2



).

Trang 13


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

Như vậy, cứ sau một khoảng thời gian T 

2



, x trở lại giá trị cũ. Người

ta nói rằng li độ x là một hàm tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ T.
T

2



(1.2.6)

và như thế dao động điều hòa là một chuyển động tuần hoàn với chu kỳ
T , giai đoạn chuyển động trong một chu kỳ T được gọi là một dao động.

Số dao động f trong một đơn vị thời gian gọi là tần số của dao động.
f 

1 

.
T 2

(1.2.7)

Vận tốc trong dao động điều hịa có phương trình x  A sin( t   )
v

dx

 x '   A cos(t   )   A sin(t    ) .
dt
2

(1.2.8)

Gia tốc trong dao động điều hịa có phương trình x  A sin( t   )
a

d 2x
 x "   2 A sin(t   )   2 x .
2
dt

(1.2.9)

1.3. Sóng cơ
Nếu các mặt đầu sóng đều là mặt phẳng và song song với nhau thì sóng
được gọi là sóng phẳng.
Giả thiết rằng đại lượng đặc trưng cho dao động tại mặt sóng qua gốc toạ
độ O là:
u(0, t )  f (t )

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

(1.3.1)

Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy
b

M
b

x
b

b

O

P

Hình 1.3.1
Nếu sóng truyền theo chiều OP (chiều dương của trục Ox) với vận tốc v
thì từ mặt sóng qua O đến mặt sóng qua P mất một khoảng thời

x
. Như
v

vậy nếu khơng có sự hấp thụ sóng thì đại lượng đặc trưng cho dao động
x
v

tại M vào thời điểm t bằng đại lượng đó tại O vào thời điểm t  .
x
x
u (x, t )  u (0, t  )  f (t  )
v
v

(1.3.2)

Nếu sóng truyền theo chiều âm của trục Ox nghĩa là theo chiều PO với
giá trị tuyệt đối của vận tốc là v thì đại lượng đặc trưng cho dao động tại
O vào thời điểm t 

x
là:
v

x
x
u (x, t )  u (0, t  )  f (t  )
v
v

(1.3.3)

Nếu biết dạng cụ thể của f (t ) thì (1.3.2) và (1.3.3) là phương trình của
các sóng phẳng truyền theo chiều dương và chiều âm của trục Ox với
vận tốc có giá trị tuyệt đối là v .

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

Sóng phẳng hình sin
Xét sóng phẳng hình sin lan truyền trong mơi trường không bị hấp thụ.
Giả thiết rằng đại lượng đặc trưng cho dao động tại cho các điểm trên
mặt sóng qua O phụ thuộc thời gian theo định luật dạng sin:
u (0, t )  A sin(t  0 )

(1.3.4)

Dao động lan truyền theo chiều dương Ox với vận tốc v là sóng. Sóng

này tạo thành dao động tại M, theo (1.3.4) đại lượng đặc trưng cho dao
động tại M có biểu thức:
x


u (0, t )  A sin  (t  )  0 
v



(1.3.5)

Phương trình (1.3.5) cho phép tính đại lượng u ( x, t ) đặc trưng cho dao
động tại điểm M có tọa độ x (và trên tồn bộ mặt sóng qua M) vào thời
điểm t. Người ta gọi đó là phương trình của sóng phẳng.
A gọi là biên độ của sóng tại M (và trên mặt sóng qua M). ω là tần số góc
của sóng.
x
v

Đối với hàm sin ở vế phải  (t  )  0 là pha của dao động tại M (và
trên mặt sóng qua M) vào thời điểm t, đó cũng là pha của dao động tại O
x
v

(và trên mặt sóng qua O) vào thời điểm t  . Người ta gọi v là vận tốc
truyền (pha) của sóng.
Nếu chú ý rằng chu kì dao động T là T 

2



thì ta có thể viết lại phương

trình (1.3.5) của sóng phẳng:
x
 2

u (0, t )  A sin  (t  )  0 
v
T


SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

(1.3.6)

Trang 16


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

Ta có:

2
T

Đặt

  vT

x
 x
    2
vT
 v

Bước sóng  là khoảng cách mà sóng lan truyền được trong một chu kì.
Ta có thể viết lại phương trình của sóng như sau:
t x


u (0, t )  A sin  2 (  )  0 
T 



(1.3.7)

Sóng kết hợp
Xét hiện tượng giao thoa của hai sóng nước xuất phát từ hai nguồn dao
động S1 và S 2 . Điểm M trên mặt nước cách S1 một đoạn S1M  d1 và cách
S 2 một đoạn S2 M  d 2 (hình 1.3.2)

Hình 1.3.2
Các nguồn S1 và S 2 dao động với phương trình lần lượt là:
u1  A1 cos(t  1 )

u2  A2 cos(t  2 )

Giả thiết rằng biên độ dao động khơng thay đổi trong q trình truyền
sóng. Dao động từ nguồn S1 và nguồn S 2 truyền đến M có phương trình:
SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

u1M  A1 cos(t  1 

2 d1

)

2 d 2
u2  A2 cos(t  2 
)

Dao động tại M là tổng hợp của hai dao động từ S1 và S 2 truyền đến:
uM  u1M  u2 M
uM  AM cos( t   M )

Trong đó:
Biên độ dao động tổng hợp tại M:
AM  A12  A22  2 A1 A2 cos  .

Với   (1  2 ) 

2



(d 2  d1 ) : là độ lệch pha của hai sóng tại M

2 d1 
2 d 2 


A1 sin  1 
  A2 sin  2 
 
 


Pha ban đầu: tan  
.
2 d1 
2 d 2 


A1 cos  1 
 A cos  2 
  2
 




SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

1.4. Dao động điện
1.4.1. Mạch LC
Xét một mạch điện kín gồm một tụ điện có điện dung C và một cuộn
dây có độ tự cảm L , điện trở thuần của cuộn dây bằng khơng, gọi là
mạch LC (hình 1.4.1)

+

Hình 1.4.1
Nếu ban đầu tụ điện được tích một điện lượng Q (bản A có điện tích Q,
bản B có điện tích – Q) thì nó sẽ phóng điện qua cuộn dây, tạo thành
dịng điện xoay chiều (có cường độ biến đổi theo thời gian theo định luật
dạng sin), người ta nói là có dao động điện trong mạch.
Gọi q và i là giá trị đại số của điện tích bản A và cường độ dòng điện
chạy trong mạch, chiều dương quy ước là chiều đi về bản A biểu diễn
bằng mũi tên trên hình.
1.4.2. Điện tích q phụ thuộc thời gian q (t )
Cường độ i liên quan với điện tích q như sau: trong khoảng thời gian
dt dòng điện chuyển qua một điện tích idt đến tích thêm vào bản A, vậy

idt  dq , ta suy ra:
i

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

dq
.
dt

Trang 19


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

Dịng điện biến thiên tạo nên suất điện động cảm ứng e trong cuộn dây:
di
d 2q
e  L  L 2 .
dt
dt

Suất điện động cảm ứng này bằng hiệu điện thế ở hai đầu cuộn dây (vì
điện trở thuần của cuộn dây bằng không) tức là bằng hiệu điện thế giữa
q
hai bản A và B của tụ điện  

C 

d 2q q
L 2 
dt
C

Ta có: Lq "

q
0
C

Hay: q "

1
q0
LC

(1.4.2.1)

Đặt  

1
LC

(1.4.2.2)

Ta sẽ có:

q "  2 q  0

(1.4.2.3)

Đây là phương trình điện động lực học của dao động điện trong mạch
LC. Nghiệm tổng qt của phương trình vi phân (1.4.3) có dạng:
q  A sin(t   ) .

(1.4.2.4)

A và  là hai hằng số phụ thuộc điều kiện ban đầu.

* Điều kiện ban đầu
Nếu lấy gốc thời gian t  0 vào lúc bản A có điện tích Q và tụ điện bắt
đầu phịng điện, chưa kịp có dịng điện trong mạch, ta sẽ có điều kiện
ban đầu:
q(0)  Q0 ;i(0)  0 .

từ đây, ta có thể viết:

q  Q0 sin(t   ) .

với Q là điện tích cực đại (biên độ)

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 20


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

Cường độ dịng điện: i 

dq

 Q0 cos( t   )   Q0sin( t    ) .
dt
2

Hiệu điện thế giữa hai bản A và B của tụ điện:
u AB 

Hoặc

u AB

q Q0

sin t   
C C

d 2q
 e   L 2  L 2Q0 sin t    .
dt

Có thể viết phương trình dao động điện từ trong mạch LC như sau:
q  Q0 cos( t   ).
u  U 0 cos( t   ).
i  I 0 cos( t   


2

).

1.4.3. Đoạn mạch xoay chiều chỉ có điện trở thuần. Các giá trị hiệu dụng
 Đoạn mạch xoay chiều chỉ có điện trở thuần
Đặt một điện áp xoay chiều u  U 0 cos t vào hai đầu đoạn mạch chỉ có
điện trở thuần R (hình 1.4.3.1.)

Hình 1.4.3.1
Trong những khoảng thời gian rất nhỏ, điện áp và cường độ dòng điện
coi như khơng đổi, ta có thể áp dụng định luật Ohm cho đoạn mạch như
đối với dịng điện khơng đổi:
i

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

u U0

cos t  I 0 cos t .
R R

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

Như vậy, cường độ dòng điện trên điện trở thuần biến thiên cùng pha với
điện áp giữa hai đầu điện trở và có biên độ xác định bởi:
I0 

U0
.
R

U

I

x

Hình 1.4.3.2

 Các giá trị hiệu dụng
Dịng điện xoay chiều cũng có hiệu ứng tỏa nhiệt như dịng điện một
chiều.
Cho dịng điện xoay chiều có cường độ i  I 0 cos t chạy qua đoạn
mạch chỉ có điện trở thuần R . Cơng suất tỏa nhiệt tức thời (công suất
ở thời điểm t bất kỳ) được tính bằng cơng thức:
p  Ri 2  RI 02 cos 2 t

Suy ra:
RI 02 RI 02
p

cos 2t
2

2

Biểu thức trên gồm hai số hạng: một số hạng không đổi và một số
hạng biến đổi điều hòa theo thời gian. Nếu xét trong một khoảng thời
gian rất lớn so với chu kỳ dịng điện thì giá trị trung bình của số hạng
thú hai bằng 0.
Công suất tỏa nhiệt trung bình của dịng điện xoay chiều trong một
chu kỳ, gọi tắt là cơng suất tỏa nhiệt trung bình, có giá trị là:

RI 02
P  p  RI cos t 
.
2
2
0

SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

2

Trang 22


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: TS. Hồng Nhật Quy

Đó cũng là cơng suất tỏa nhiệt trung bình trong thời gian t rất lớn so
với chu kỳ vì phần thời gian lẻ so với chu kỳ rất nhỏ, gây sai lệch
không đáng kể. Vậy nhiệt lượng tỏa ra trong thời gian t là:

RI 02
Q
t
2

Nếu cho dịng điện khơng đổi cường độ I chạy qua điện trở nói trên
trong cùng thời gian t sao cho nhiệt lượng tỏa ra cũng bằng Q , nghĩa
là:
Q  RI 2t

I

thì

I0
.
2

Đại lượng I xác định như trên được gọi là giá trị hiệu dụng của
cường độ dòng điện xoay chiều hay cường độ hiệu dụng của dòng
điện xoay chiều.
Tương tự như vậy, người ta xác định được suất điện động hiệu dụng
của nguồn điện xoay chiều:
E

E0
.
2

và điện áp hiệu dụng ở hai đầu đoạn mạch xoay chiều:

U

U0
.
2

1.4.4. Đoạn mạch xoay chiều chỉ có tụ điện

Hình 1.4.4.1
 Giá trị tức thời của cường độ dòng điện và điện áp
SVTH: Trần Thị Thanh Nhàn

Trang 23