BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
_____________________

NGUYỄN MINH HỒNG

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC
BÀI TỐN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
_____________________

NGUYỄN MINH HỒNG

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC
BÀI TỐN SƠ CẤP

Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. LÊ HỒNG TRÍ

Đà Nẵng – Năm 2016


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1

1. Lý do chọn đề tài

1

2. Mục đích nghiên cứu

1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

1

4. Phương pháp nghiên cứu

2

5. Ý nghĩa khoa học

2

6. Cấu trúc luận văn

2

CHƯƠNG 1. SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

3

1.1. LỊCH SỬ SỐ PHỨC

3

1.2. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC

6

1.3. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

6

1.3.1. Xây dựng số i

6

1.3.2. Biểu diễn hình học của số phức

7

1.3.3. Phép cộng và phép trừ số phức

8

1.3.4. Phép nhân số phức

9

1.3.5. Số phức lien hợp và môđun của số phức

10

1.3.6. Phép chia cho số phức khác 0

13

1.3.7. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

13

1.4. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

14

1.4.1. Acgumen của số phức z  0

14

1.4.2. Dạng lượng giác của số phức

14

1.4.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

15

1.4.4. Công thức Moa-vrơ

15

1.4.5. Căn bậc n của số phức dưới dạng lượng giác

16


CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC,
ĐẠI SỐ

17

2.1. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC

17

2.2. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ

29

2.2.1. Ứng dụng số phức giải hệ phương trình

29

2.2.2. Ứng dụng số phức chứng minh bất đẳng thức

38

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC

44

3.1. KIẾN THỨC SỬ DỤNG

44

3.2. BÀI TẬP

47

KẾT LUẬN

67

TÀI LIỆU THAM KHẢO

68

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI ( BẢN SAO )


LỜI CAM ĐOAN
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai
công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.

Tác giả luận văn

Nguyễn Minh Hoàng


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong các ngành của tốn học thì số phức xuất hiện khá muộn kể từ thế kỷ
XVI khi các nhà toán học nghiên cứu về các phương trình đại số. Mặc dù sinh
sau nhưng số phức có rất nhiều đóng góp trong các ngành tốn học như đại số,
giải tích , lượng giác, hình học…
Ở trường phổ thơng thì học sinh chỉ được tiếp xúc với số phức khi học đến
lớp 12. Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh
chỉ mới biết được những kiến thức cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng
dụng của số phức còn khá hạn chế, đặc biệt là khai thác số phức để giải quyết
các bài toán sơ cấp khó.
Nhằm mục đích đào sâu tìm hiểu về số phức, các ứng dụng của số phức
trong việc giải các bài toán sơ cấp và đáp ứng mong muốn của bản thân về một
đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ cho việc giảng dạy của mình ở trường
trung học phổ thông nên tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng số
phức trong các bài toán sơ cấp”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm nghiên cứu các ứng dụng của số phức trong việc giải một số dạng
toán thường gặp trong các đề thi cao đẳng, đại học cũng như thi học sinh giỏi.
Phân tích cách giải có sử dụng số phức và so sánh với những cách giải không sử
dụng số phức để rút ra ưu, nhược điểm trong từng cách giải.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu: Các ứng dụng của số phức trong các bài tốn
sơ cấp phổ thơng : đại số, giải tích, lượng giác, hình học.


2

3.2. Phạm vi nghiên cứu: Từ các nguồn tài liệu, giáo trình của các thầy, cơ
có nhiều kinh nghiệm trên cùng lĩnh vực, các tài liệu trên mạng và các tài liệu
ôn thi cao đẳng, đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi, các tạp chí tốn học…
4. Phương pháp nghiên cứu
- Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài liệu
trên internet có liên quan đến đề tài của luận văn) để thu thập thơng tin và tập
hợp các bài tốn phục vụ cho yêu cầu của đề tài.
- Trao đổi, thảo luận với Thầy hướng dẫn khoa học.
5. Ý nghĩa khoa học
Xây dựng được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh
giỏi toán ở bậc trung học phổ thơng. Góp phần thiết thực cho việc dạy và học
tốn ở nhà trường, đem lại niềm say mê, hứng thú, sáng tạo cho giáo viên và
học sinh.
6. Cấu trúc luận văn
Dự kiến cấu trúc của luận văn gồm:
Chương 1: Số phức và các khái niệm cơ bản
Chương 2: Ứng dụng của số phức trong lượng giác, đại số
Chương 3: Ứng dụng của số phức trong hình học
Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành luận văn. Tuy nhiên do thời gian và trình
độ có hạn, chắc chắn luận văn sẽ khơng thể tránh khỏi các thiếu sót, tác giả rất
mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp, tác
giả xin chân thành cảm ơn!

3

CHƯƠNG 1

SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1. LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
Tương truyền vào những năm đầu thế kỉ XVI, có lẽ trên thế giới chưa ai biết
cách giải phương trình bậc 3. Có nguồn tin nói rằng một giáo sư tốn trường
ĐH Bologne (Ý) tên là Scipione del Ferro ( 1465-1526) đã biết cách giải
phương trình x 3  px  q , nhưng ông không hề công bố, người ra nghĩ rằng cách
giải của ơng chưa hồn chỉnh. Mãi đến khi ơng sắp qua đời, ơng mới truyền lại
cách giải (chưa hồn chỉnh) cho học trị ơng là một nhà tốn học ít tên tuổi là
Antonio Mario Fior.
Nhưng dù có nguồn tin như vậy, Tartaglia vẫn tìm ra cách giải một độc lập.
Nhưng Fior khơng tin, tìm cách giảm uy tín của Tartaglia bèn thách thức
Tartaglia giả 30 phương trình bậc 3 trong 2h. Ngược lại , Fior cũng nhận thách
thức sẽ giải 30 phương trình bậc 3 do Tartaglia đặt ra.
Thời bấy giờ, việc giải các phương trình bậc 3 nói trên đều được làm một
cách mò mẫm. Trong đêm 12 sáng ngày 13 tháng hai năm 1535 là hạn cuối
cùng cuộc thi giữa Tartaglia và Fior thì Tartaglia đã tìm ra cách giải tổng quát
30 phương trình mà Fior đã ra cho ơng trong khi đó thì Fior đang bí và chỉ giải
được một phương trình mà thơi vì vậy chi sau vài giờ là Tartaglia đã giải xong
toàn bộ để lãnh thưởng là 30 bữa tiệc liên tiếp. Ông giữ kín phương pháp giải,
hy vọng cịn dự thi lần nữa để lấy thưởng.
Cardano (1501-1576) lúc này cũng chưa tìm ra cách giải phương trình bậc 3
trong trường hợp tổng quát. Khi nghe tin Tartaglia thắng Fior , Cardano muốn
gặp ngay Tartaglia. Tháng 3 năm 1539 nhân gặp Tartaglia ở Milan, Cardano
bèn chớp cơ hội nhơ Tartaglia bày cho mình cách giải tổng quát phương trình
bậc 3. Cardano phải thề thốt rằng sẽ khơng bao giờ truyền cho ai “bí mật” này

4

hoặc cơng bố trên sách, báo chí. Nhưng sau đó nghe lống thống rằng giáo sư
Scipione del Ferro đã tìm ra cách giải trước Tartaglia nên Cardano đã không giữ
lời hứa với Tartaglia bèn cho công bố trong tác phẩm của ông là Ars magna vào
năm 1545.
Tartaglia vô cùng tức giận, bèn quyết tâm vạch mặt Cardano trong quyển
sách của mình nhan đề “New Problems and inventions”. Từ đó xảy ra cuộc cải
vã giữa hai người này, và cuộc cải vã này sẽ khơng có hồi kết thúc nếu như
khơng có sự xuất hiện cơng trình nghiên cứu của Bombelli về số ảo. Vì khi đi
giải phương trình bậc 3 cả Tartaglia và Cardano đều chưa biết số phức là gì cho
nên nếu gặp phải căn bậc 2 của số âm thì cả hai đều cho là vơ lý.
Nhân nói về Cardano thì ơng là một nhà bác học người Ý. Ông sinh năm
1501, đạt học vị tiến sĩ y khoa năm 1526, nhưng không được hành nghề y, mà
trở thành thầy giáo dạy tốn. Ơng có trên 200 cơng trình về các lĩnh vực Tốn
học, Y học, Triết học, Thiên văn học, Âm nhạc và Thần học. Năm 1545 ông
xuất bản quyển sách “Nghệ thuật lớn giải các phương trình đại số”. Trong cuốn
sách này ơng trình bày cách giải phương trình bậc 3, bậc 4 và đề cập tới căn bậc
hai của số âm. Có thể nói sự nghiên cứu số phức khởi nguồn từ cơng trình này.
Cịn đối với R.Bombelli (1526-1573), người ta xem ông là một kỹ sư đồng thời
là nhà tốn học, nhưng ít ai biết lai lịch của ơng. Sự đóng góp của nhà khoa học
người Ý này chủ yếu là hệ thống hóa kiến thức về các phép tính số phức. Năm
1560 R.Bombelli viết tác phẩm Đại số trong đó có điều thú vị là ơng xét phương
trình bậc 3: x3  mx  n và ơng chỉ ra rằng phương trình trên có 3 nghiệm thực
nếu

n m
 là âm. Trong trường hợp này cơng thức của Tartaglia-Cardano khơng

2 3

dùng được vì trong trường hợp này ta gặp phải căn bậc 2 của số âm, là một trở
ngại vào thời đó chưa ai vượt qua nổi. Với sự sáng tạo của mình , Bombelli vẫn
dùng cơng thức trên nhưng tìm cách vượt qua trở ngại đó. Ví dụ với phương
trình x 3  15x  4 , ông làm việc với các số có dạng a  b 1 như đối với số thực,


5

ông nhận xét rằng 2  1 là căn bậc 3 của 2  121 và công thức CardanoTartaglia đã cho ông kết quả x  4 là một nghiệm của phương trình x 3  15x  4 ,
cịn các nghiệm khác có được là nhờ ba căn bậc 3 của 2  121 . Điều này đưa
ông đến chỗ tìm được các qui tắc tính tốn đối với số phức. Đời sau đánh giá
Bombelli là người có cơng đầu tiên trong việc tìm hiểu số phức.
Đến thế kỷ XVIII bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lượng ảo
khơng được hình dung một cách rõ ràng mà cịn đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử
cũng ghi lại rằng I.Newton đã không thừa nhận các đại lượng ảo và không xem
các đại lượng ảo thuộc vào các khái niệm số, cịn G.Leibniz thì thốt lên rằng:
“Các đại lượng ảo- đó là nơi ẩn náy đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của
đấng tối cao, đó dường như một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đấy giữa
cái có thật và khơng có thật”.
Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gauss( năm 1831) . Vào thế
kỷ XVII-XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của
đại lượng ảo (số phức!) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn L.Euler
mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738) , cịn Moa-vrơ nghiên cứu
và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736).
Sự nghi ngờ đối với số ảo ( số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người
Nauy là C.Wessel đưa ra sự minh họa hình học về số phức và các phép tốn trên
chúng trong cơng trình cơng bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh họa số
phức cũng được gọi là “sơ đồ Argand” để ghi nhận công lao của nhà toán học

Thụy Sỹ R.Argand- người thu được kết quả như của Wessel một cách độc lập.
Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực
có thứ tự (a; b), a  R, b  R được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là
W.Hamilton(1837). Ở đây đơn vị “ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ
tự - cặp (0;1) , tức là đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực.


6

Cho đến thế kỷ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách
vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng
minh chính xác đầu tiên đối với Định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng
trong trường số phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm.

1.2. ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC
Xét tập R 2  R * R  {( x, y ) | x, y  R}
Hai phần tử (x1, y1) và (x2, y2) bằng nhau khi và chỉ khi :
 x1  x2

 y1  y2

Ta xây dựng các phép toán trên R2 như sau: z1  ( x1 ; y1 ), z2  ( x2 ; y2 )  R 2
Phép cộng : z1  z2  ( x1  x2 , y1  y2 )
Phép nhân: z1. z2  ( x1 x2  y1 y2 , x1 y2  x2 y1 )
Định nghĩa 1.2.
Tập R2 cùng với hai phép toán cộng và nhân được định nghĩa như trên gọi là
tập số phức C, phần tử ( x, y )  C là một số phức.
Kí hiệu C* để chỉ tập hợp C\{(0;0)}.
Định lý 1.2.2.
(C,+,.) là một trường ( nghĩa là trên C với các phép tốn đã định nghĩa có

các tính chất tương tự trên R với các phép tốn cộng nhân thơng thường)
1.3. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
1.3.1. Xây dựng số i
Xét tương ứng

f : R  R  {0}
x  ( x;0)

Dễ thấy f là ánh xạ và hơn nữa là một song ánh.
Ngồi ra ta cũng có: ( x, 0)  ( y, 0)  ( x  y, 0);

( x, 0)( y, 0)  ( xy, 0)

Vì là song ánh nên ta có thể đồng nhất ( x, 0)  x


7

Đặt i  (0,1) thì i 2  (0,1)(0,1)  ( 1, 0)  1
và z  ( x, y )  ( x, 0)  (0, y )  ( x, 0)  ( y, 0)(0,1)  x  yi
Từ đó ta có kết quả sau:
Định lí 1.3.1.
Mỗi số phức z  ( x, y )  R 2 có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
z  x  yi,

x, y  R trong đó i 2  1 .

Biểu thức x  yi được gọi là dạng đại số của số phức z  ( x; y )
Kí hiệu : x  Re( z ) gọi là phần thực của số phức z
y  Im( z ) gọi là phần ảo của số phức z

Chú ý
Số phức z  a  0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là
a  0i  a  R  C

Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo ( còn gọi là số thuần ảo) :
z  0  bi  bi(b  R); i  0  1i  1i

Số 0  0  0i  0i vừa là số thực vừa là số ảo.
Hai số phức z  a  bi(a, b  R), z '  a ' b ' i(a ', b '  R) gọi là bằng nhau nếu
a  a ', b  b ' . Khi đó ta viết z  z '

1.3.2. Biểu diễn hình học của số phức
Xét mặt phẳng Oxy . Mỗi số phức z  ax  bi(a, b  R) được biểu diễn bởi
điểm M có tọa độ (a;b). Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số
phức z  ax  bi(a, b  R) . Ta còn viết M (a  bi ) hay M ( z ) .
Vì thế mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức còn gọi là mặt phẳng phức.
Gốc tọa độ O biểu diễn số 0.
Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, nên gọi là trục thực.
Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn số ảo nên gọi là trục ảo.


8

1.3.3. Phép cộng và phép trừ số phức
a. Tổng của hai số phức
Định nghĩa 1.3.3
Tổng của hai số phức z  a  bi (a, b  R), z '  a ' b ' i (a ', b '  R) là số phức
z  z '  a  a ' (b  b ')i

Tinh chất của phép cộng số phức:
Tính chất kết hợp:
( z  z ')  z ''  z  ( z ' z "), z, z ', z "  C

Tính chất giao hoán:
z  z '  z ' z, z, z '  C

Cộng với 0:
z  0  0  z  z, z  C

Với mỗi số phức z  a  bi(a, b  R) , nếu kí hiệu số phức  a  bi là  z thì ta
có:
z  ( z )  ( z)  z  0

Số  z được gọi là số đối của số phức z.
b. Phép trừ hai số phức
Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z với –z’ tức là:
z  z '  z  (  z ')

Nếu z  a  bi(a, b  R), z '  a ' b ' i(a ', b '  R) thì:
z  z '  a  a ' (b  b ')i

Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ
Trong mặt phẳng phức , ta coi điểm M có tọa độ (a;b) biểu diễn số phức
z  a  bi .



Ta cũng coi mỗi vecto u có tọa độ (a;b) biểu diễn số phức z  a  bi


Khi đó, nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là vecto OM biểu diễn số
phức đó.
 

Dễ thấy rằng, nếu u, u ' theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z ' thì


9

 
u  u ' biểu diễn số phức z  z '
 
u  u ' biểu diễn số phức z  z ' .

1.3.4. Phép nhân số phức
a. Tích của hai số phức
Cho hai số phức z  a  bi(a, b  R), z '  a ' b ' i(a ', b '  R) . Thực hiện phép
nhân một cách hình thức biểu thức a  bi với biểu thức a ' b ' i rồi thay i 2  1 , ta
được
( a  bi )(a '  b ' i )  aa '  bb ' i 2  (ab " a ' b)i  aa ' bb ' ( ab ' a ' b)i

Định nghĩa 1.3.4
Tích của hai số phức z  a  bi (a, b  R), z '  a ' b ' i (a ', b '  R) là số phức
zz '  aa ' bb ' (ab ' a ' b)i

Nhận xét 1.3.4
Với mọi số thực k và mọi số phức a  bi(a, b  R) thì:
k (a  bi )  (k  0i )(a  bi )  ka  kbi

Đặc biệt : 0z  0, z  C
b. Tính chất của phép nhân số phức
Tính chất giao hốn:
zz '  z ' z, z, z '  C

Tính chất kết hợp:
( zz ') z ''  z( z ' z "), z, z ', z "  C

Nhân với 1:
1. z  z.1  z, z  C

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
z( z ' z ")  zz'  zz ", z, z ', z "  C


10

1.3.5. Số phức liên hợp và môđun của số phức
a. Số phức liên hợp
Định nghĩa
Số phức liên hợp của số phức z  a  bi(a, b  R) là z  a  bi
Nhận xét
zz

Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng
với nhau qua trục thực Ox
Định lý
1. z  z, z  R
2. z.z  R
3. z1  z2  z1  z2

4. z1 z2  z1 z2 , z1 , z2  C
5. z 1  ( z ) 1 , z  C
 z1  z1
  , z1 , z2  C
 z2  z2

6. 

7. Re( z ) 

zz
zz
, Im( z ) 
2
2i

Chứng minh:
Giả sử: z  x  yi, z1  x1  y1i, z2  x2  y2i ( x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3  R )
1. Ta có: z  z  x  yi  x  yi  2 yi  0  y  0  z  R
2. Ta có: z. z  ( x  yi )( x  yi )  x 2  y 2  R
3. Ta có: z1  z2  ( x1  y1i )  ( x2  y2 i )  ( x1  x2 )  ( y1  y2 )i
 ( x1  x2 )  ( y1  y2 )i
 ( x1  y1i )  ( x2  y2 i )
 z1  z2


11

4.

z1 z2  ( x1  y1i )( x2  y2 i )  ( x1 x2  y1 y2 )  ( x1 y2  x2 y1 )i
 ( x1 x2  y1 y2 )  ( x1 y2  x2 y1 )i

Mà z1 . z2  ( x1  y1i )( x2  y2 i )  ( x1 x2  y1 y2 )  ( x1 y2  x2 y1 )i
Vậy z1 z2  z1 z2 , z1 , z2  C
1
1
1
5. z  1   z   1  z.   1  z 1  ( z ) 1 , z  C
z

 z

z

 z1 
1
1
1 z1
  ( z1 . )  z1 .   z1 . 
z2
z2 z 2
 z2 
 z2 

6. 
7.

z  z ( x  yi )  ( x  yi )


 x  Re( z )
2
2

z  z ( x  yi )  ( x  yi ) 2 yi


 y  Im( z )
2i
2i
2i

b. Môđun của số phức
Định nghĩa
Môđun của số phức z  a  bi(a, b  R) là số thực khơng âm

a 2  b 2 và được

kí hiệu là | z |
Nhận xét
Nếu z  a  bi(a, b  R) thì | z | zz  a 2  b2
Nếu z là số thực thì mơđun của z là giá trị tuyệt đối của số thực đó
z  0 | z | 0

Định lý
Cho số phức z thì
1.  | z | Re( z ) | z | và  | z | Im( z ) | z |
2. | z | 0
3. | z ||  z || z |
4. | z1 . z2 || z1 || z2 |

12

5. | z1 |  | z2 || z1  z2 || z1 |  | z2 |
6. | z 1 || z |1
7.

z1
|z |
 1 , z2  0
z 2 | z2 |

Chứng minh:
Giả sử z  a  bi(a, b  R)
1.  | z | Re( z ) | z |  a 2  b2  a  a 2  b2 (đúng)
 | z | Im( z ) | z |  a 2  b2  b  a 2  b2 (đúng).

2. | z | a 2  b2  0
3.

| z | a 2  b2 ,|  z || a  bi | a 2  b2 ,| z || a  bi | a 2  b2
| z ||  z || z |

4. z. z  (a  bi )(a  bi )  a 2  b2  ( z )2
5.

| z1  z2 |2  ( z1  z2 ) z1  z2  ( z1  z2 )( z1  z2 )
| z1 |2  z1 z2  z1 z2  | z2 |2

Ngoài ra: z1 z2  z1 z2
Nên : z1 z2  z1 z2  2 Re( z1 z2 )  2 | z1 z2 | 2 | z1 || z2 | 2 | z1 || z2 |
Do đó: | z1  z2 |2  (| z1 |  | z2 |) 2 | z1  z2 || z1 |  | z2 |
Mà :

| z1 || z1  z2  z2 || z1  z2 |  |  z2 || z1  z2 |  | z2 |
| z1 |  | z2 || z1  z2 |

Vậy | z1 |  | z2 || z1  z2 || z1 |  | z2 |
1
z

6. z  1 | z |

1
1
1
1 
z
z |z|

Vậy | z 1 || z |1
7.

z1
|z |
1
 z1 .
| z1 . z21 || z1 | . | z2 |1  1
z2

z2
| z2 |


13

1.3.6. Phép chia cho số phức khác 0
Định nghĩa 1.3.6.
Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là z 1 

1
z'
z . Thương
của phép chia
2
|z|
z

số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức
là

z'
 z '. z 1
z

Nhận xét 1.3.6.
1
z

Với z  0 ta có  1.z 1  z 1

Dễ thấy rằng thương

z'
là số phức w sao cho zw  z ' . Từ đó có thể nói phép
z

chia cho số phức khác 0 là phép tốn ngược của phép nhân.
1.3.7. Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
a. Căn bậc hai của số phức
Định nghĩa
Cho số phức w  a  bi(a, b  R ) . Mỗi số phức z  x  yi( x, y  R) gọi là một
căn bậc hai của w khi và chỉ khi :
 x2  y2  a
z2  w  
 2xy  b

Nhận xét
Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0
Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau ( khác 0).
Số thực dương a có hai căn bậc hai là a ,  a
Số thực âm a có hai căn bậc hai là ai,  ai


14

b. Phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai có dạng: Az 2  Bz  C  0( A  0) . Trong đó A, B, C là
các số phức
Cách giải:
Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép

z1  z2  

B
2A

Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
z1 

B  
B  
, z2 
2A
2A

trong đó  là một căn bậc hai của 
1.4. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
1.4.1. Acgumen của số phức z  0
Định nghĩa 1.4.1.
Cho số phức z  0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức
z. Số đo (rađian) của một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đươc gọi là
một acgumen của z.
Nhận xét 1.4.1.
Nếu  là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng   k 2 , k  Z
Hai số phức z và lz ( với z  0 là l là số thực dương) có acgumen sai khác k 2 ,vì
các điểm biểu diễn của chúng cùng thuộc một tia gốc O.
1.4.2. Dạng lượng giác của số phức
Xét số phức z  a  bi  0(a, b  R)
Kí hiệu r là môđun của z và  là một acgumen của z thì dễ thấy:
a  rcos , b  r sin  . Từ đây ta có

Định nghĩa 1.4.2.
Dạng z  r(cos  i sin  ) trong đó r  0 được gọi dạng lượng giác của số phức
z  0.


15

Nhận xét 1.4.2.
Để tìm dạng lượng giác r(cos  i sin  ) của số phức z  a  bi(a, b  R) khác 0
cho trước, ta cần :
1) Tìm r: đó là mơđun của z, r  a 2  b 2 ; số r đó cũng là khoảng cách từ gốc O
đến điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức.
a
r

b
r

2) Tìm  : đó là một acgumen của z;  là số thực sao cho cos  , sin   ; số
 đó cũng là số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM.

1.4.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Định lí 1.4.3
Nếu z  r(cos  i sin  )
z '  r '(cos ' i sin  ')

(r,r'  0)

thì zz '  rr '[cos(   ')  i sin(   ')]
z

r
 [cos(   ')  i sin(   ')] ( khi r  0 )
z' r'

Chứng minh:
z. z '  [r (cos   i sin  )][r ' cos  ' i sin  ']
 rr '[cos  cos  ' sin  sin  ' i (sin  cos  ' cos  sin  ')]
 rr '[cos(   ')  i sin(   ')]

Mặt khác, ta có:

1
1
1

 [cos(  )  i sin(  )]
z r (cos  i sin  ) r

Theo công thức nhân số phức, ta có:
z
1 r'
 z '  [cos( '  )  i sin( '  )]
z'
z r

1.4.4. Công thức Moa-vrơ
Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ
dàng suy ra rằng với mọi số nguyên dương n
[r (cos  i sin  )]n  r n (cos n  i sin n )

Đặc biệt: khi r  1 thì: ( cos  i sin  ) n  cos n  i sin n


16

1.4.5. Căn bậc n của số phức dưới dạng lượng giác:
Định nghĩa 1.4.5
Ta gọi số phức z là căn bậc n của số phức w nếu
z n  w ( n là số nguyên cho trước, n  1 )

Định lí 1.4.5
Khi w  0 , ta viết w dưới dạng lượng giác w  R(cos  i sin  ), R  0 . Khi đó


căn bậc n của w là số phức z  n R [(cos( 
n

k 2
 k 2
)  i sin( 
)] . Lấy
n
n
n

k  0,1,..., n  1 ta được n căn bậc n phân biệt của w.

Chứng minh :
Đặt z  r (cos  i sin  ), ( r  0) sao cho z n  w
Theo cơng thức Moa-vrơ thì: r n (cos n  i sin n )  R ( cos  i sin  )

tức là r n  R, n    k 2 , ( k  Z) . Do đó:
z  n R [(cos(


n



k 2
 k 2
)  i sin( 
)]
n
n
n


17

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG
ĐẠI SỐ, LƯỢNG GIÁC
2.1. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC
Trong phần này ta xét các bài tốn lượng giác hay gặp như tính giá trị lượng
giác của một biểu thức, chứng minh đẳng thức lượng giác, giải phương trình
lượng giác,... Đơi khi có những bài tốn khá khó khăn để giải thuần túy bằng
lượng giác. Việc áp dụng các kiến thức về số phức, công thức Moa-vrơ, khai
triển nhị thức Newton sẽ giúp ta giải quyết các bài toán nhẹ nhàng, tự nhiên
hơn.

Bài toán 2.1.1.
Tính giá trị biểu thức : A  sin

2
?
5

Giải:
A  sin

2


 2 sin cos
5
5
5





5

5

Đặt z  cos  i sin

Ta có: z5  cos +i sin   1  z5  1  0
 ( z  1)( z 4  z 3  z 2  z  1)  0

 z 4  z 3  z 2  z  1  0 (Vì z  1)
1
1
)  (z  )  1  0
2
z
z
1
1
 ( z  )2  ( z  )  1  0
z
z
 ( z2 

Mà cos


5



1
1
| z |2
1
1
( z  z)  ( z 
)  ( z  ) nên:
2

2
z
2
z


18

cos2





 cos

1  0
5
 1 5
 cos 
5
4
5

Vì cos


5

 0 nên cos

Vậy A  2.


5



1 5

5 5
 sin 
4
5
8

1 5 5  5
.
4
8

Mở rộng hơn ta có các bài tốn sau:
Bài tốn 2.1.2.


Tính giá trị biểu thức B  cos  cos
7

2
3

 cos
( IMO lần 5)
7
7

Giải:
cos

 i sin
7
7

Đặt z 



Suy ra: cos  cos
7

2
3

2
3
 cos
 i(sin  sin
 sin )  z 3  z 2  z
7
7
7

7
7

Và z 7  cos  i sin   1
 z7  1  0
 ( z  1)( z 6  z 5  z 4  z 3  z 2  z  1)  0
 z 6  z 5  z 4  z 3  z 2  z  1  0(Vì z  1)
1
 z3  z2  z 
(Vì z  1)
1  z3
3
3
1  cos
 i sin
1
7
7  1  i 1 cot 3


3
3
3
3 2
2
14
1  ( cos
 i sin ) (1  cos )2  sin 2
7
7

7
7

Vậy B  Re( z 3  z 2  z ) 

1
2



Nhận xét 2.1.2. Để ý thấy B  cos  cos
7

Trong đó

 3 5
7

,

7

,

7

2
3

3

5
 cos
 cos  cos
 cos
.
7
7
7
7
7

tạo thành cấp số cộng. Ta xét bài toán tương tự sau


19

Bài tốn 2.1.3
Tính giá trị biểu thức: C  cos


11

 cos

3
5
7
9
 cos
 cos

 cos
?
11
11
11
11

Giải:
Đặt z  cos

11

 i sin


11

3
9

3
9
 ...  cos
 i (sin  sin
 ...  sin )
11
11
11
11
11

11
3
5
7
9
 zz z z z

 cos





 cos

Và z11  1
 z11  1  0
 ( z  z 3  z 5  z 7  z 9 )( z 2  1)  1  z  0
z 1
(Vì z  1)
z2  1
1
 z  z3  z5  z7  z9 
z 1
 z  z3  z5  z7  z9 

cos

1


cos


11

 1  i sin





11

(cos


11



 1  i sin


11



11

 1)2  (sin )2
7

Vậy C  Re( z  z 3  z 5  z 7  z 9 ) 



1
1

 i cot
2
2
22

1
2

Bài tốn 2.1.4.
Tính giá trị biểu thức:
D  cos


3

 cos

2
3
2016

 cos
 ...  cos
3
3
3

Giải:
Xét số phức : z 

cos

 i sin thì
3
3

z  z 2  z 3  ...  z 2015  (cos


3

 ...  cos

2015

2015
)  i (sin  ...  sin
)
3
3
3

20

Lại có: 1  z  z 2  ...  z 2015 

z

2016

1

z 1

cos

2016
2016
 i sin
1
3
3
0


( cos  1)  i sin
3
3

 Re(1  z  z 2  ...  z 2015 )  0. Vậy

D  Re( z  z 2  ...  z 2016 )  Re(1  z  ...  z 2015 )  1  Re( z 2016 )  0  1  cos

2016
0
3

Nhận xét 2.1.3.
Qua các bài toán trên ta nhận thấy rằng để tính tổng có dạng
cosx+cos( x  a )  cos( x  2a)  ...  cos( x  na ) (Trong đó các góc liên tiếp lập thành

cấp số cơng có cơng sai bằng a) thì việc sử dụng số phức giúp học sinh tư duy
một cách tự nhiên hơn với cách giải thông thường).
Bây giờ ta xét bài tốn tổng qt :
Bài tốn 2.1.4.
Tính giá trị biểu thức với n  Z*, a  2k , k  Z :
E  cosx  cos( x  a )  cos( x  2a)  ...  cos( x  na ) ?

Giải :
Đặt z  cosx  i sin x, w  cos a  i sin a . Theo công thức nhân và công thức
Moa-vrơ
zw k  (cosx  i sin x )(cos a  i sin a )k  (cos x  i sin x )(cos ka  i sin ka )
 cos( x  ka )  i sin( x  ka )

Xét

cos x  cos( x  a )  ...  cos( x  na )  i[sin x  sin( x  a )  ...  sin( x  na )]
 (cos x  i sin x )  [cos( x  a )  i sin( x  a )]  ....  [cos( x  na )  i sin( x  na )]