BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ TUYẾT NGA

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG
GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp
Mãsố: 60.46.01.13

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015


Cơng trình được hồn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 2: TS. HOÀNG QUANG TUYẾN

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 18 tháng 12
năm 2015.

Có thể tìm Luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng


1

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Từ bài toán xác định vận tốc tức thời của một chất điểm đã
dẫn đến khái niệm đạo hàm. Trong giải tích, người ta đã khảo sát rất
kỹ các tính chất của đạo hàm và các ứng dụng của nó. Với vai trị là
một giáo viên tốn bậc trung học, chúng tơi muốn khảo sát các ứng
dụng của đạo hàm vào việc giải toán phổ thông trung học nhằm phục
vụ cho việc giảng dạy của mình sau này. Một số bài tốn rất khó ở
bậc phổ thơng trung học có thể được giải một cách ngắn gọn và gây
sự lý thú cho người học nhờ vào việc ứng dụng đạo hàm. Đó là
những lý do làm tôi chọn đề tài “Ứng dụng của đạo hàm trong giải
tốn trung học phổ thơng” để làm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ toán,
chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp của mình.
2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Nội dung nghiên cứu của luận văn này được giới hạn trong
phạm vi về các ứng dụng của đạo hàm trong việc giải toán ở bậc
trung học. Chẳng hạn bằng cách sử dụng đạo hàm ta có thể tính giới
hạn phức tạp một cách dễ dàng, hoặc giải những hệ phương trình
khơng mẫu mực khó...
3. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là ứng dụng
của đạo hàm để giải một số lớp bài tốn ở bậc trung học. Chúng tơi
muốn trình bày những dạng tốn mà các học sinh ở phổ thơng khó
tiếp thu theo cách sử dụng đạo hàm đơn giản và dễ hiểu hơn nhiều so
với cách thông thường, nhằm giúp các em học toán tốt hơn và yêu

toán hơn. Chúng tơi giới hạn phạm vi nghiên cứu của mình trong việc
ứng dụng của đạo hàm trong giải toán trung học, các vấn đề khác
khơng liên quan đến tốn học phổ thông chúng tôi không đề cập.


2

4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Chúng tôi dựa vào các tài liệu chuyên khảo về giải tích, các
tài liệu giảng dạy và sách tham khảo ở bậc trung học để tổng hợp các
phương pháp giải toán bằng cách sử dụng đạo hàm. Ngồi ra chúng
tơi cũng mạnh dạng đưa thêm vào những dạng tốn ở bậc trung học
mà có thể sử dụng đạo hàm để giải chúng.
5. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI
Chúng tôi hy vọng bản luận văn là một tài liệu tham khảo
cho người dạy toán ở bậc trung học phổ thơng. Luận văn trình bày
các phương pháp sử dụng đạo hàm vào việc giải một số dạng toán ở
bậc trung học.
6. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ Ý NGHĨA THỰC TIỄN CỦA ĐỀ
TÀI
6.1. Ý nghĩa khoa học
Luận văn góp một phần nhỏ trong việc nghiên cứu các áp dụng
của đạo hàm trong việc giải toán trung học, nhằm tăng cường chất
lượng dạy và học trong trường phổ thông hiện nay.
6.2. Ý nghĩa thực tiễn
Luận văn làm sáng tỏ thêm việc ứng dụng của đạo hàm trong
giải tốn phổ thơng nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học
trong nhà trường phổ thông.
7. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Nội dung luận văn gồm 3 chương với những nội dung tóm tắt

như sau:
Chương 1: Đạo hàm của hàm số một biến số thực
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về đạo hàm, các
quy tắc tính đạo hàm cũng như tính chất của nó.


3

Chương 2: Ứng dụng của đạo hàm trong giải tích
Trình bày về ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát hàm số,
trong việc tính xấp xỉ giá trị của hàm số và ứng dụng trong việc giải
phương trình hàm...
Chương 3: Ứng dụng của đạo hàm trong giải toán bậc trung học
Trình bày các ứng dụng của đạo hàm trong việc tính giới hạn,
chứng minh bất đẳng thức, giải hệ phương trình khơng mẫu mực, tính
tổng...


4

CHƢƠNG 1
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC
1.1. KHÁI NIỆM VỀ ĐẠO HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ
1.1.1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
*/ Bài toán vận tốc
Xét một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình
chuyển động x = f(t), trong đó t là thời gian chất điểm chuyển động.
Đoạn đường chất điểm đi được thời gian t1 đến thời gian t2 là:

x  f (t2 )  f (t1 )

Vận tốc trung bình của chất điểm từ thời gian t1 đến thời gian t2 là:

v

f (t2 )  f (t1 )
t2  t1



Vận tốc tức thời tại thời điểm t0  t1; t2

v(t0 )  lim
t t0



được định nghĩa bởi:

f (t )  f (t0 )
t  t0

Tổng quát xét hàm số y=g(x) có tập xác định D, với x, x0  D ta
gọi:
-/ x  x  x0 là số gia của biến số x tại x0.
-/ y  g ( x0  x)  g( x0 ) là số gia của hàm số tại x0. Nếu

y
tồn tại, thì ta nói giới hạn đó là đạo hàm của hàm g tại x0 và
x  0 x
lim

ký hiệu là g’(x0).
Vậy:

y
x  0 x

g '( x0 )  lim

*/ Bài tốn hệ số góc của tiếp tuyến


5

Giả sử đường cong có phương trình y = f(x) có tiếp tuyến tại (x0;y0).
Bài tốn đặt ra là tính hệ số góc của tiếp tuyến tại (x0;y0).
Ta đặt M(x0;y0) và N(x;y) trên đường cong y = f(x). Tiếp tuyến tại x0
của đường cong là giới hạn của cát tuyến MN khi N chạy trên đường
cong tiến tới M.
Hệ số góc của cát tuyến MN là: kMN 

y  y0
x  x0

Suy

tuyến

ra

k  lim
x x0

hệ

số

góc

của

tiếp

tại

x

=

x0

là:

y  y0
 f '( x0 )
x  x0

1.1.2. Đạo hàm và đạo hàm một phía của hàm số định
nghĩa 1.1.1
Cho hàm số f xác định trong (a;b) và x0 (a; b) , ta nói rằng

hàm số f(x) khả vi tại x0 nếu tồn tại giới hạn lim

x  x0

y  y0
và giới hạn
x  x0

đó được gọi là đạo hàm của hàm số f tại x0 và ký hiệu f’(x0)
Nếu hàm f có đạo hàm tại x0 thì:

f '( x0 )  lim

x x0

y  y0
x  x0

Nếu hàm f khả vi tại mọi x  (a; b) thì ta nói f khả vi trong khoảng

( a; b ) .
ĐỊNH LÝ 1.1.1 [2]
Cho các hàm f và g xác định trên ( a; b) , khả vi tại x  (a; b) . Khi
đó f + g, f.g cũng khả vi tại x và :
a/ [f  g ]'( x)  f '( x)  g '( x) ,
b/ [f ( x).g( x)]'  f '( x).g( x)  f ( x).g '( x) .


6

CHÚ Ý: Nếu lấy g(x)=k ,  x với k là hằng số và chú ý rằng (k)’=0,
suy ra (k. f ) '( x)  k. f '( x) .
ĐỊNH LÝ 1.1.2 [2] (Định lý về đạo hàm của hàm số hợp).
Giả sử:
1/ Hàm u  g ( x) xác định trong ( a; b) và có miền giá trị (c; d ) khả
vi tại e  (a; b) .
2/ Hàm y  f ( x) xác định trong (c; d ) và khả vi tại ue  g (e) .
Khi

đó

hàm

hợp

y  f g khả

vi

tại

e

và

( f g )'(e)  f 'u ( g (e)).g '(e) .
ĐỊNH LÝ 1.1.3 [2] (Định lý về đạo hàm của hàm ngược).
Giả sử f :  a; b   c; d  là một song ánh liên tục, g  f 1 là ánh
xạ ngược của f. Nếu f có đạo hàm tại x0  a; b và f '( x0 )  0 thì g
có đạo hàm tại y0 = f(x0) và g 'y ( y0 ) 

1
.
f '( x0 )

ĐỊNH LÝ 1.1.4 [2] (Đạo hàm của một thương).
Nếu f, g là các hàm khả vi tại x và g ( x)  0 thì

f
g

và ( ) '( x) 

f
cũng khả vi tại x
g

f '( x).g ( x)  f ( x).g '( x)
g 2 ( x)

1.2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Từ các Định lý đã chứng minh ở phần trước, giả sử u, v là
các hàm khả vi, ta có các quy tắc tính đạo hàm như sau:


7

1/ (u  v) '  u ' v '.
2 / (k .u ) '  k .u '.
3 / (u.v) '  u '.v  u.v '.

u
u '.v  u.v '
4 / ( )' 
, (v  0).
v
v2
5 / ( f (u )) '( x)  f u '(u ). u '( x).
Trong đó k là hằng số, u là một hàm
(Đạo hàm của hàm hợp).
Sau đây bảng đạo hàm của một số hàm thường gặp.

(k ) '  0,
(a.x) '  a,
1
1
( )'   2 ,
x
x

( x ) '   x 1 ,
(s inx) '  cosx,
(cosx) '   s inx,
1
,
s in 2 x
1
(cot x) '  
,
cos 2 x
1

(log a x) ' 
,
x ln a
(a x ) '  a x ln a,
(tan x) ' 

(arc s inx) ' 

1

,
1  x2
1
(arccos x) '  
.
1  x2


8

Trong đó k, a là hằng số.
1.3. ĐẠO HÀM CẤP CAO
ĐỊNH NGHĨA 1.3.1. Cho hàm f ( x) xác định trong  a; b ; f ( x)
được gọi là khả vi n lần trong  a; b nếu f khả vi n  1 lần trong

 a; b và đạo hàm cấp

n  1 của f cũng khả vi. Khi đó đạo hàm cấp

n của f được định nghĩa bởi: f ( n) ( x)  [f ( n1) ]'( x)

Công thức Leibnitz.
ĐỊNH LÝ 1.3.1. Nếu f, g là các hàm khả vi n lần có cùng tập xác
n

định thì f.g cũng khả vi n lần và ta có: ( f .g )

( n)

  Cnk f ( n k ) .g ( k )
k 0

(1.3.1), trong đó f

(0)

 f.

Công thức (1.3.1) được gọi là công thức Leibnitz


9

CHƢƠNG 2
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG GIẢI TÍCH
2.1. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
Cho hàm f xác định trong khoảng  a; b . Ta nói hàm f đạt
cực đại (cực tiểu) tại c  a; b nếu tồn tại lân cận Vc   a; b của c
sao cho x Vc , f ( x)  f (c),( f ( x)  f (c)) . Một hàm đạt cực đại
hoặc cực tiểu tại c thì được gọi chung là đạt cực trị tại c.
BỔ ĐỀ 2.1.1. (Bổ đề Fermat)

Nếu hàm f :  a; b 

đạt cực trị tại c  a; b và nếu f

khả vi tại c thì f’(c)=0.
CHỨNG MINH.
Giả sử f đạt cực đại tại c, khi đó tồn tại lân cận Vc   a; b
sao cho f (c  h)  f (c)  0, c  h Vc .
Do f khả vi tại c và từ: lim

f (c  h )  f (c )
0
h

lim

f (c  h )  f (c )
0
h

h0

h0

Suy ra f '(c)  0 .
Trường hợp f đạt cực tiểu chứng minh tương tự.
ĐỊNH LÝ 2.1.1. (Định lý Rolle)
Cho hàm f

xác định, liên tục trong

 a; b thỏa

mãn

f (a)  f (b) và khả vi trong ( a; b) ; khi đó tồn tại c  (a; b) sao
cho f '(c)  0 .
ĐỊNH LÝ 2.1.2. (Định lý Lagrange).


10

Cho hàm f liên tục trên  a; b , khả vi trong ( a; b) . Khi đó tồn tại

c  (a; b) sao cho:
f (b)  f (a)  f '(c).(b  a)
ĐỊNH LÝ 2.1.3. (Định lý Cauchy).
Cho hai hàm f, g liên tục trong  a; b , khả vi trong ( a; b) và

g (a)  g (b), g '( x)  0, x (a; b) . Khi đó tồn tại c  (a; b) sao
cho:

f (b)  f (a) f '(c)

.
g (b)  g (a) g '(c)

CHÚ Ý.
Nếu g ( x)  x thì kết luận trong Định lý Cauchy chính là nội dung
của Định lý Lagrange, nên Định lý Cauchy là một tổng quát hóa của

Định lý Lagrange.
Cơng thức Taylor
ĐỊNH LÝ 2.1.4.
Nếu f là hàm có đạo hàm liên tục đến cấp n trong [ a;b] và
có đạo hàm cấp n+1 trong (a;b), thì với bất kỳ x0 (a; b) cố
định cho trước, với mọi x [a; b] luôn tồn tại  sao cho:

n

f ( x)  
k 0

f ( k ) ( x0 )
f ( n1) ()
k
( x  x0 ) 
( x  x0 )n1 ,
k!
k!

(2.1.1)
trong đó,   (min(x;x 0); max(x;x 0 )) và quy ước
f ( 0 ) ( x 0 ) = f(x 0 ).


11

Công thức (2.1.1) thường được gọi là công thức Taylor khai
triển hàm f tại x 0 ; đặc biệt khi
x0 = 0 thì nó được gọi là cơng thức Mac Laurin và khai triển đó

được gọi là khai triển Mac Laurin.
2.2. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG KHẢO SÁT
HÀM SỐ
Trước hết ta nhắc lại rằng: Hàm f xác định trên [a; b] được
gọi là tăng hay đồng biến (giảm hay nghịch biến) trên [a; b] nếu

x1, x2 [a; b], x1  x2 thì
f ( x1 )  f ( x2 )

( f ( x1 )  f ( x2 ) .

ĐỊNH LÝ 2.1.5.
Cho f là hàm số liên tục trong [a; b] và khả vi trong ( a; b) ,
khi đó:
a/ Điều kiện cần và đủ để hàm f tăng (giảm) trong [a; b] là

f '( x)  0 ( f '( x)  0) với mọi x  (a; b) .
b/ Nếu

f '( x)  0 ( f '( x)  0) với mọi x  (a; b) và nếu

x0 (a; b) sao

cho

f '( x0 )  0 ( f '( x0 )  0)

thì

f (b)  f (a) ( f (b)  f (a)) .

ĐỊNH LÝ 2.1.6.
Nếu f là hàm có đạo hàm liên tục đến cấp n và nếu:

f '( x0 )  f ''( x0 )  ...  f ( n1) ( x0 )  0, f ( n) ( x0 )  0
Khi đó:
a/ Nếu n chẵn và f ( n) ( x0 )  0 thì f đạt cực tiểu tại x0, nếu n
chẵn và f ( n) ( x0 )  0 thì f đạt cực đại tại x0 .


12

b/ Nếu n lẻ thì f khơng đạt cực trị tại x0 .
CHÚ Ý.
Ở trường phổ thông ta chỉ xét khi n = 2.
Ngoài ra sử dụng đạo hàm ta cũng khảo sát được tính lồi, lõm
của đồ thị hàm số. Cụ thể ta có định lý sau đây:
ĐỊNH LÝ 2.1.7
Nếu
f
là

hàm

có

đạo

hàm

cấp

hai

f " x  0  f " x  0 trong (a; b) thì hàm f có đồ thị lồi
(lõm) trong (a;b).
2.3. DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH XẤP XỈ GIÁ TRỊ CỦA
HÀM SỐ
Giả sử hàm f khả đạo trong lân cận của x 0 , ta cần tính f ( x) với x
nằm trong lân cận đó (x khá gần x0).
Ta có: f ( x)  f ( x0 )  f '( x0 ).( x  x0 )  ( x  x0 ) .
Từ đó suy ra :

f ( x)  f ( x0 )  f '( x0 ).( x  x0 ) .
Để tăng độ chính xác trong tính xấp xỉ các hàm người ta thường
dùng khai triển Taylor để tính và ta có cơng thức xấp xỉ như sau:
n

f ( x)  
k 0

Với

sai

số

f ( k ) ( x)
.( x  x0 )k
k!
không

vượt

f ( n1) ()
.( x  x0 )n1 ,   x0  .( x  x0 ),   (0;1).
(n  1)!

quá


13

CHƢƠNG 3
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG GIẢI TỐN PHỔ
THƠNG
3.1.
DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN
Nguyên lý cơ bản của mục này là sử dụng Định lý De L’Hospital sau
đây:
ĐỊNH LÝ 3.1.1. [2] (Định lý De L’Hospital).
Giả sử các hàm f, g khả vi trong lân cận của x0 

có thể trừ lại

x0. Nếu lim f ( x)  lim g ( x)  0, g '( x0 )  0 trong lân cận của x0
x x0

và nếu

x  x0

lim

x  x0

f '( x)
A
g '( x)
lim

thì

x  x0

f ( x)
A
g ( x)

CHÚ Ý
Nếu

A   hay lim
x  x0

f '( x )
  thì định lý De L’Hospital vẫn
g '( x )

cịn đúng.
BÀI TỐN 3.1.1.

Tính

x3
lim
.
x x0 x  sin x

Giải.

( x3 ) '
3x 2
(3x 2 ) '
 lim
 lim
x x0 ( x  sin x) '
x0 1  cos x
x0 (1  cos x) '

Ta có: lim

6x
(6 x) '
 lim
x x0 sin x
x0 (s in x) '

 lim


14

6
6
x  x0 cosx

 lim

x3
lim
6
x x0 x  s inx

Vậy:
BÀI TỐN 3.1.2.
x
Tính lim x .
x 0

Giải. Đặt: y  x x
Suy ra:

Do:

Nên:

ln x
1
x
1
(ln x) '

lim
 lim x  0
x  0  1 
x0 1
  '
x2
x
ln y  x ln x 

 

lim ln y  0  ln lim y  0
x  x0

x0

 lim y  1
x  x0

Do đó:

lim x x  1

x  x0

Quy tắc De L’Hospital khơng nằm trong chương trình tốn ở bậc
trung học do đó người dạy đưa vào như một bổ đề để tính các bài
tốn giới hạn khó. Hay có thể sử dụng ý tưởng của quy tắc này một
cách trực tiếp. Sau đây là một vài ví dụ.

15

BÀI TỐN 3.1.3.
Tính giới hạn

ax 1
, 0  a  1.
x  x0
x
lim

BÀI TỐN 3.1.4.
3

lim

Tính

x1

x 1
.
x 1

BÀI TỐN 3.1.5.
3

lim 5

Tính

x1

x 1
.
x 1

Giải.
Đặt f ( x) 

3

x , g ( x)  5 x , ta có:

f ( x)  f (1)
x 1
x 1
lim 5
 lim
x1
x

1
g
(
x
)  g (1)
x 1
x 1

3

f ( x)  f (1)
x1
x 1

g ( x)  f (1)
lim
x1
x 1
lim

1  23
x |x 1
f '(1) 3
5



4
g '(1) 1  5
3
x |x 1
5


16

3.2. DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
*/ Chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng định lý

Lagrange
Ta có thể chứng minh một bất đẳng thức bằng cách sử dụng
đinh lý Lagrange . Sau đây là một số bài tốn minh họa cách chứng
minh như thế.
BÀI TỐN 3.2.1.
Chứng minh bất đẳng thức sin x  sin y  x  y , x, y.
Giải.
Ta đặt f (t )  sin t, t 
Nếu x = y thì bất đẳng thức là hiển nhiên.
Nếu x  y, do tính đối xứng của các biến trong bất đẳng thức
nên không mất tổng quát ta giả sử x > y và áp dụng đinh lý
Lagrange cho hàm f (t ) trên [y; x] có tồn tại c  (y; x ) sao cho :

sin x  sin y  ( x  y) cos c.
Suy ra :

sin x  sin y  ( x  y).cos c  x  y (do cos t  1, t )
Vậy bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn .
Với cùng phương pháp giải của Bài tốn (3.2.1) ta có thể giải
được một lớp các bài tốn dạng này. Nội dung chính thường hay sử
dụng để giải ở đây là sử dụng thành thạo định lý Lagrange .
BÀI TỐN 3.2.2. (Trích đề thi vô địch sinh viên Nga).
Cho 0< m < n. Chứng ming bất đẳng thức

nm
n nm
 ln 
.
n
m

m
Giải.
Với bài toán này ta giải như sau:


17

Đặt:

f ( x)  ln x
Dùng định lý Lagrange cho hàm f ( x)  ln x trên  m; n có
tồn tại c  (m;n) thỏa mãn:

1
ln n  ln m  .(n  m)
c
Do 0 < m < c < n nên :

nm nm nm


n
c
m
Kết hợp với đẳng thức trên suy ra :

nm
nm
 ln n  ln m 
n

m



nm
n nm
 ln 
.
n
m
m

*/ Chứng minh bất đẳng thức bằng cách dùng tính đơn
điệu của hàm số
Ta có thể dùng đạo hàm để xác định tính đơn điệu của hàm
số và từ đó ta có thể chứng minh một bất đẳng thức. Nếu f tăng

 a; b  thì x1 , x2  a; b , x2  x1 ta suy được
f ( x2 )  f ( x1 ), ( f ( x2 )  f ( x1 )). Để minh họa cho cách chứng

(giảm) trên

minh này, ta xét một số ví dụ sau :
BÀI TỐN 3.2.3. (Trích đề thi học sinh giỏi Nga).
Cho 0  x1  x2 


4

. Chứng minh rằng :

18

tan x1 tan x2
.

x1
x2
BÀI TOÁN 3.2.4.
Cho x  y  3 . Chứng minh rằng x y  y x .
3.3. DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI
NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH
Ta có thể dùng định lý Rolle, định lý Lagrange... để chứng
minh một phương trình có nghiệm thực. Ta sẽ xét một số bài toán cụ
thể để minh họa cho phương pháp chứng minh này .
BÀI TOÁN 3.3.4. (Trích đề thi vơ địch tốn sinh viên Nga).
Cho đa thức Pn ( x)  c0  c1x  c2 x2  ...  cn xn thỏa mãn
điều kiện :

1
1
c0  c1  ... 
cn  0.
2
n 1
Chứng minh rằng phương trình Pn ( x)  0 có ít nhất một
nghiệm thực trong (0;1).
Giải.
Xét hàm đa thức :

x2
x n 1
Pn ( x)  c0 x  c1  ...  cn
2
n 1
Ta có :
P(0) = 0, P(1) = c0 

1
1
c1  ... 
cn  0
2
n 1

(giả thiết)

P '( x)  c0  c1x  c2 x2  ...  cn xn  Pn ( x)


19

Áp dụng định lý Rolle ta có tồn tại c (0;1) thỏa mãn

P '(c)  0 ,

nghĩa

là

:

Pn (c)  c0  c1c  c2c2  ...  cn xn  0.
Nên phương trình : Pn ( x)  c0  c1x  c2 x2  ...  cn xn  0
có

ít

nhất

một

nghiệm

thực

thuộc

(0;1).

Bằng cách chứng minh tương tự như bài tốn trên và với
phương pháp hồn tồn tương tự ta có một số bài tốn tiêu
biểu sau :
BÀI TỐN 3.2.2.
Chứng minh rằng tồn tại một hàm khả vi trên
phương trình hàm
mọi x, y 

thỏa mãn

f ( x)  f ( y)  k ( x  y)2 , k  0 với

.

BÀI TOÁN 3.3.3.
Cho

a1 , a2 ,...an

là

các

số

dương

thỏa

mãn

ai  an , i  1, n 1 . Chứng minh rằng phương trình :
a1x  a2x  ...anx1  anx có một nghiệm thực duy nhất.
BÀI TOÁN 3.3.4. (Thi vào đại học miền Bắc trước năm
1975).
Giải phương trình :

3x  4 x  5x
Chú ý rằng bài toán (3.3.4) là một trường hợp đặc biệt của

bài tốn (3.3.3).
BÀI TỐN 3.3.5. Giả sử hàm f khả vi đến cấp n trên
và phương trình f ( n) ( x)  0 có nghiệm.


20

f ( x)  0 có n+1 nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng
phương trình f ( n) ( x)  0 có nghiệm.
3.4. DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH KHƠNG
MẪU MỰC
Trong mục này ta sẽ dùng đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu
của hàm số hay giá trị cực trị của hàm số và áp dụng chúng
vào giải một lớp các phương trình và hệ phương trình không
mẫu mực. Để minh họa ta xét một số bài tốn sau đây.
BÀI TỐN 3.4.1.
Giải hệ phương trình :

 x3  3 y 2  4 y  y 3  3x 2  4 x

y
ln( x  1)
BÀI TOÁN 3.4.2.
Giải hệ

ln x  x  sin x  ln y  y  sin y
 3
x  x  2 y  0
3.5. DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH CÁC TỔNG
Để tính tổng của một chuỗi hữu hạn hay vơ hạn nhiều khi ta

gặp những khó khăn nhất định, tuy nhiên chuỗi này là đạo hàm của
một chuỗi khác mà việc tính tổng của nó lại đơn giản hơn nhiều, nên
ta sẽ sử dụng đạo hàm trong việc tính các tổng để được thuận lợi
hơn. Một số các bài toán sau đây sẽ minh họa cho phương pháp này
một cách khá rõ ràng.
BÀI TỐN 3.5.1.
Tính tổng hưu hạn sau

Sn  1  2x  3x2  4x3  ...  (n  1) xn , x 


21

BÀI TỐN 3.5.2.
Tính tổng:

Sn  2.1  3.2.x  4.3.x2  ...  (n  1).n.xn1
3.6. DÙNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Ta biết rằng nếu hàm

f

khả vi trong D 

thì

f '( x)  0, x  D khi và chỉ khi f ( x)  const , x  D . Sử dụng
điều này ta chứng minh được các đẳng thức một cách dễ dàng. Các
bài toán sau đây sẽ minh họa điều này.
BÀI TỐN 3.6.1. (Trích đề thi học sinh giỏi Nga).

Chứng minh đẳng thức

arcsin x  arccos x 
BÀI TOÁN 3.6.2.
Chứng
minh

rằng


2

, x   1;1 .
biểu

thức

sau

cos4 x  sin 4 x  2sin 2 x  4 khơng phụ thuộc vào x .
BÀI TỐN 3.6.3.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n đẳng thức sau
luôn luôn đúng

Cn1  2.Cn2  3.C3n  ...  n.Cnn  n.2n1 .


22

KẾT LUẬN

Luận văn ’’Ứng dụng của đạo hàm trong giải tốn trung học
phổ thơng’’ đã thực hiện được các mục đích sau đây:
1/ Luận văn đã trình bày đầy đủ các khái niệm, các tính chất
của đạo hàm với các chứng minh kỹ lưỡng.
2/ Luận văn đã trình bày về các ứng dụng của đạo hàm trong
giải toán sơ cấp như dùng đạo hàm để tính giới hạn, dùng đạo hàm
để chứng minh bất đẳng thức, dùng đạo hàm để chứng minh sự tồn
tại nghiệm của một hệ phương trình, dùng đạo hàm để tính các
tổng...
Tác giả đã rất cố gắng để hoàn thành luận văn nhưng với thời
gian thực hiện có hạn nên những sai sót xảy ra là điều khơng thể
tránh khỏi, rất mong sự đóng góp ý kiến và sự chỉ bảo của quý thầy
cô cùng các bạn đồng nghiệp.


23