Áp dụng phương pháp xác suất để giải toán sơ cấp

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

PHAN QUỐC KHÁNH

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT
ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP

Mã số: 8.46.01.13

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Lê Văn Dũng

Đà nẵng, 2020


Cơng trình được hồn thành tại
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Văn Dũng

Phản biện 1: TS. Phạm Qúy Mười
Phản biện 2: PGS.TS. Trần Đạo Dõng

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
Toán học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 30 tháng 5 năm 2020.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thơng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng.


CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

1.1. XÁC SUẤT VÀ CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

1.1.1. Khơng gian mẫu và biến cố
Phép thử. Trong xác suất, khái niệm phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép
thử) là khái niệm cơ bản khơng có định nghĩa. Ta có thể hiểu phép thử
là việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản nào đó để quan sát một
hiện tượng có xảy ra hay khơng. Nói chung, là những thí nghiệm mà khi
thực hiện sẽ xảy ra kết quả hoàn toàn ngẫu nhiên ngay cả khi thí nghiệm
đó được lặp lại nhiều lần trong cùng một điều kiện giống nhau.
Ví dụ 1. Khi tung một xúc xắc cân đối thì ta khơng thể biết chắc chắn
số chấm xuất hiện của nó. Việc tung xúc xắc đó ta gọi là phép thử ngẫu
nhiên.
Khơng gian mẫu. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một
phép thử ngẫu nhiên. Ta thường kí hiệu là Ω.
Ví dụ 2. Gieo một đồng xu cân đối đồng nhất, có hai kết quả có thể xảy
ra: xuất hiện mặt sấp (S) hoặc xuất hiện mặt ngữa (N) nên có khơng gian
mẫu là:
Ω = S; N .

Biến cố. Mỗi tập con của một không gian mẫu gọi là biến cố. Ta nói
"biến cố A xảy ra" khi thực hiện phép thử nếu kết quả phép thử rơi vào A.
Như vậy mỗi phần tử của không gian mẫu cũng là một biến cố và được gọi
là biến cố sơ cấp, không gian mẫu Ω cũng là một biến cố và được gọi là


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

3

biến cố chắc chắn, tập rỗng ∅ cũng là một biến cố và được gọi là biến cố
khơng thể.
Ví dụ 3. Khi tung một con xúc xắc thì số chấm xuất hiện một cách ngẫu
nhiên. Ta có khơng gian mẫu là:
Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6 ,
còn biến cố xuất hiện mặt lẻ là:
A = 1; 3; 5 .

a. Mối quan hệ giữa các biến cố
Quan hệ bao hàm: Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, kí hiệu A
⊂ B, nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra.
Quan hệ bằng nhau: Hai biến cố A, B được gọi là bằng nhau nếu A ⊂
B và B ⊂ A.

b. Các phép toán trên biến cố
Cho A và B là 2 biến cố của không gian mẫu Ω
*Phép giao
A ∩ B (hoặc kí hiệu là: A.B hay đơn giản hơn là AB ), là biến cố xảy
ra khi và chỉ khi đồng thời hai biến cố A và B cùng xảy ra.
A ∩ B = ω ∈ Ω : ω ∈ A và ω ∈ B .

Nếu hai biến cố A và B không thể đồng thời xảy ra (A ∩ B = ∅) thì ta
nói A và B xung khắc.
*Phép hợp
A ∪ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A,
B xảy ra,
A ∪ B = ω ∈ Ω : ω ∈ A hoặc ω ∈ B .


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

4

*Phép lấy phần bù
A = Ω\A được gọi là biến cố đối của A. Nếu A xảy ra thì A khơng xảy
ra và ngược lại.
A= ω∈Ω:ω∈
/A .

c. Đại số tổ hợp
1) Quy tắc nhân
Nếu một công việc được thực hiện k bước.
Bước 1 có n1 cách thực hiện,
Bước 2 có n2 cách thực hiện,
...
Bước k có nk cách thực hiện.
Khi đó, có n1 .n2 .....nk cách thực hiện cơng việc đó.
2) Hốn vị
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự
n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Số cách sắp xếp n phần tử vào n vị trí sao cho mỗi vị trí có đúng 1 phần

tử là n!.
3) Tổ hợp
Tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần
tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp thứ tự.
Số tập con k phần tử của một tập n phần tử là:
k
Cn =

n!
k!(n − k)!

(0 ≤ k ≤ n).

4) Chỉnh hợp
Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n
phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp thứ tự.
Số cách lấy ra k phần tử từ tập n phần tử rồi sắp xếp theo một thứ tự nào


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

5

đó là:
k
An =

n!
= Cnk .k! (1 ≤ k ≤ n).
(n − k)!

1.1.2. Xác suất của biến cố
a. σ-đại số
Cho không gian mẫu Ω khác rỗng. Một lớp F các tập con của Ω được gọi
là σ-đại số nếu thỏa mãn 3 điều kiện:
(1) ∅ ∈ F ;
(2) Nếu A ∈ F thì A ∈ F;
∞

(3) Nếu A1 , A2 , ...., An , ... ∈ F thì

An ∈ F.
n=1

b. Độ đo xác suất
Định nghĩa 1.1.1. Cho F là một σ-đại số trên không gian mẫu Ω. Hàm
tập hợp P : F → R được gọi là độ đo xác suất nếu thỏa mãn 3 tiên đề:
Tiên đề 1. Với mọi A ∈ F, 0 ≤ P (A) ≤ 1;
Tiên đề 2. P (Ω) = 1;
Tiên đề 3. Nếu A1 , A2 , ..., An , ... ∈ F đôi một xung khắc (Ai ∩ Aj = ∅ với
mọi i = j) thì
∞

P(
n=1

∞

An ) =

P (An ).
n=1

Khi đó, P (A) được gọi là xác suất biến cố A. (Ω; F; P ) được gọi là khơng
gian xác suất.

c. Các tính chất cơ bản của xác suất
Từ định nghĩa xác suất trên ta dễ dàng suy ra các tính chất sau:
1) P ∅ = 0,


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

6

2) 0 ≤ P A ≤ 1.
3) Nếu A ∩ B = ∅ thì P A ∩ B = P A + P B .
Tổng quát: Nếu A1 , A2 , ..., An đơi một xung khắc thì:
P A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = P A1 + P A2 + ... + P An .
4) P A + P A = 1.
Từ đây ta có cơng thức cộng xác suất như sau: Với A và B là hai biến
cố bất kì,
P A ∪ B = P A + P B − P AB .

d. Không gian mẫu gồm các biến cố sơ cấp
đồng khả năng
Cho không gian mẫu Ω gồm N biến cố sơ cấp có khả năng xảy ra bằng
nhau, tức là:
Ω = {ω1 , ω2 , ..., ωN }.
và

P ({ω1 }) = P ({ω2 }) = ... = P ({ωN }).
Khi đó, theo Tiên đề 2 ta có:
P ({ω1 }) = P ({ω2 }) = ... = P ({ωN }) =

1
.
N

Kết hợp Tiên đề 3 ta có: Với A là một biến cố bất kì của Ω,
P (A) =

|A|
,
|Ω|

trong đó |A| là số phần tử của A.

e. Định nghĩa của xác suất theo hình học
Xét một phép thử có vô hạn kết cục đồng khả năng. Giả sử ta có thể biểu
thị tập hợp mọi kết cục này bởi một miền hình học G nào đó: một đoạn


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

7

thẳng, một miền phẳng, một mảnh mặt cong hay một khối không gian . . .
và những kết cục thích hợp cho sự kiện A bởi các điểm thuộc miền cong
g ⊂ G. Với các giả thiết trên, xác suất của sự kiện A được tính như sau:
P (A) =

kích thước miền g
.
kích thước miền G

Tùy theo G là đoạn thẳng, miền phẳng hay khối khơng gian mà kích
thước được hiểu là độ dài, diện tích hay thể tích.

1.1.3. Xác suất có điều kiện
Định nghĩa 1.1.2. Cho hai biến cố A và B với P B = 0, xác suất của
A với điều kiện B đã xảy ra, kí hiệu P A|B , xác định bởi

P A|B =

P A∩B
.
P B

Tính chất 1.1.3. 1) P ∅|B = 0, P B|B = 1, P Ω|B = 1.
2) P A|B + P A|B = 1.
3) Với A1 và A2 là hai biến cố xung khắc,
P A1 ∪ A2 |B = P A1 |B + P A2 |B
4) Nếu P B = 0 thì P A ∩ B = P B P A|B .
Nếu P A = 0 thì P A ∩ B = P A P B|A .
P B P A|B
5) P B|A =
P A
6) Công thức nhân xác suất
Cho A1 , A2 , ..., An là các biến cố của không gian mẫu Ω thỏa mãn
P A1 A2 ...An−1 = 0. Khi đó:

P A1 A2 ...An = P A1 P A2 |A1 P A3 |A1 A2 ...P An |A1 A2 ...An−1 .


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

8

1.1.4. Các biến cố độc lập
Định nghĩa 1.1.4. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy
ra hay không xảy ra biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của
biến cố kia hay ta có thể nói A và B độc lập nếu P A∩B = P A P B .
Tổng quát ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.5. Một tập hữu hạn các biến cố A1 ; A2 ; ...; An (n ≥ 2)
được gọi là độc lập nếu k (1 ≤ k ≤ n) biến cố bất kì An1 , An2 , ..., Ank ta
có:
P An1 An2 ...Ank = P An1 P An2 ...P Ank .
Định lí 1.1.6. Nếu A và B độc lập thì A và B, A và B, A và B là những
cặp biến cố độc lập.

1.1.5. Công thức xác suất tồn phần và cơng
thức Bayes
Định nghĩa 1.1.7. Một hệ gồm n biến cố E1 , E2 , ..., En được gọi là hệ
đầy đủ nếu thỏa mãn hai điều kiện:
(i) Ei ∩ Ej = 0 nếu i = j (các biến cố đôi một xung khắc);
(ii) E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ En = Ω (chắc chắn có 1 biến cố xảy ra).
Từ định nghĩa hệ đầy đủ ta suy ra: nếu E1 , E2 , ..., En là hệ đầy đủ thì:
P E1 + P E2 + ... + P En = 1.
Định lí 1.1.8. Giả sử Ei ;1 ≤ i ≤ n là một hệ đầy đủ sao cho P Ei >
0, A là biến cố bất kì. Khi đó:
1) P A = P E1 P A|E1 + P E2 P A|E2 + ... + P En P A|En .

2) Nếu thêm điều kiện P A > 0 thì
P Ei |A =

P Ei P A|Ei
P Ei P A|Ei
.
=
P A
P E1 P A|E1 + ... + P En P A|En


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

9

1.2. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC SUẤT

1.2.1. Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian xác suất (Ω, F, P). Ánh xạ
X : Ω → R,
được gọi là biến ngẫu nhiên nếu với mọi a ∈ R, ω ∈ Ω : X ω < a ∈ F.
Nhận xét 1.2.2. Cho không gian xác suất (Ω, F, P). Mọi ánh xạ X : Ω →
R có miền giá trị hữu hạn đều là biến ngẫu nhiên và được gọi là biến ngẫu
nhiên đơn giản.

1.2.2. Hai loại biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Định nghĩa 1.2.3. Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị hữu hạn hoặc
vơ hạn đếm được thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.
Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có miền giá trị X Ω , hàm số p :

R → R xác định bởi:
p x =


P X = x

nếu x

∈

X Ω

0

nếu x

∈
/

X Ω

được gọi là hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X. Trong trường hợp X Ω
hữu hạn thì ta có thể lập bảng các giá trị của p x như sau:
x
p x

x1
p x1

x2

p x2

...

xn

...

p xn

Bảng trên được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X.


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

10

Định lí 1.2.4. Cho biến ngẫu nhiên X có miền giá trị X Ω = x1 , x2 , ...
và hàm xác suất là p x . Khi đó:
1) p x ≥ 0 với mọi x.
2) P a ≤ X ≤ b =

p (xi ).
a≤xi ≤b

p (xi ) = 1.

3)
xi ∈X(Ω)

b. Biến ngẫu nhiên liên tục
Định nghĩa 1.2.5. Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị là gồm một số
khoảng trên trục số thì X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.
Nếu tồn tại hàm số y = f x thỏa mãn f x ≥ 0, ∀x sao cho với mọi a ≤ b
ta có:

b

P a≤X≤b =

f (x) dx,
a

thì f x được gọi là hàm mật độ xác suất của X.
Định lí 1.2.6. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
f x . Khi đó:
1) P X = a = 0, ∀a ∈ R.
b

2) P X < b = P X ≤ b =

f (x)dx.
−∞
∞

3) P X > a = P X ≥ a =

f (x)dx.
b

+∞

f (x)dx = 1.

4)
−∞


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

11

1.2.3. Hàm phân phối xác suất
Định nghĩa 1.2.7. Cho biến ngẫu nhiên X, hàm số :
F x = P X < x , x ∈ R,
được gọi là hàm phân phối xác suất của X.
1. Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị x1 , x2 , ... thì:
F x =

P (X = xk ) =
xk
P (xk ).
xk
2. Nếu biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f x thì:
x

f (t)dt.

F x =
−∞

Tính chất 1.2.8. Hàm phân phối xác suất F x của biến ngẫu nhiên X có
các tính chất sau:
1. 0 ≤ F x ≤ 1, ∀x ∈ R, lim F (x) = 0, lim F (x) = 1.
x→−∞

2. Khơng giảm: nếu x1 ≤ x2

x→+∞

thì

F x1 ≤ F x2 .

3. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f x thì:
F x = f (x).
4. Với a < b, P a ≤ X ≤ b = F b − F a .

1.2.4. Kì vọng
Định nghĩa 1.2.9. Cho biến ngẫu nhiên X xác định trên khơng gian mẫu
Ω. Kì vọng của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là E X , được xác định như
sau:
1. Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất p x thì :
E X =

xk p (xk ).
xk ∈X(Ω)

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

12

2. Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f x thì:
+∞

E X =

xf (x)dx.
−∞

Tính chất 1.2.10. 1. Nếu X = C là hằng số thì E C = C.
2. Nếu a,b ∈ R và X, Y là hai biến ngẫu nhiên cùng xác
định trên không gian mẫu Ω thì: E aX + b = aE X +b

và

E X±Y =

E X ±E Y .

1.2.5. Phương sai và độ lệch chuẩn
Định nghĩa 1.2.11. Cho biến ngẫu nhiên X. Khi đó, đại lượng:
Var X = E(X − E (X))
được gọi là phương sai của X, σ (X) =

2

V ar (X) được gọi là độ lệch chuẩn

của X.
Tính chất 1.2.12. 1. Var X ≥ 0, Var X = 0 khi và chỉ khi X = C
(hằng số).
2

2. Var X = E X 2 − (E (X)) .
3. Var aX + b = a2 Var X với mọi a,b ∈ R.
Định lí 1.2.13. 1. Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm xác suất p x
thì:

2


x2 k p (xk ) − 

Var X =

xk p (xk ) .

xk ∈X(Ω)

xk ∈X(Ω)

2. Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f x thì:
+∞

 +∞

x2 f (x)dx − 

Var X =
−∞

−∞

2

xf (x)dx .


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

13

1.2.6. Trung vị
Định nghĩa 1.2.14. Số thực m được gọi là trung vị của biến ngẫu nhiên
X nếu:
P (X < m) ≤ 0, 5 và P (X > m) ≤ 0, 5.
Kí hiệu med X = m.
Định lí 1.2.15. Nếu biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất F x
liên tục trên R thì trung vị là nghiệm phương trình F x = 0,5.

1.2.7. Mốt
Định nghĩa 1.2.16. Giá trị xk của biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là
mode của X nếu
P (X = xk ) ≥ P (X = x) ∀x ∈ R.
Kí hiệu mod X = xk .
Giá trị x0 của biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f x được gọi là

mode của X nếu hàm mật độ f x đạt giá trị lớn nhất tại x0 .

1.2.8. Biến ngẫu nhiên độc lập
Định nghĩa 1.2.17. Các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , ..., Xn (n ≥ 2) được gọi
là độc lập nếu với mọi x1 , x2 , ..., xn ∈ R ta có:
n

{Xk < xk }

P

= P ({X1 < x1 }) P ({X2 < x2 }) ...P ({Xn < xn }) .

k=1

Định lí 1.2.18. Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì:
1. E XY = E X E Y .
2. Var X ± Y

= Var X + Var Y .


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

14

1.2.9. Một số phân số xác suất quan trọng
a. Phân phối Bernoulli
Định nghĩa 1.2.19. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố Bernoulli với
tham số p 0 < p < 1 nếu X có miền giá trị X (Ω) = {0, 1} và hàm xác

suất:



1−p



p (k) = P (X = k) =
p



 0

nếu k = 0
nếu k = 1
nếu k ∈
/ {0, 1}

Kí hiệu: X ∼ Ber (p).
Tính chất 1.2.20. Nếu X ∼ Ber (p) thì E (X) = p và V ar (X) =
p (1 − p).

b. Phân phối nhị thức B n,p
Định nghĩa 1.2.21. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố nhị thức với
tham số n và p n ∈ N∗

và 0 < p < 1 nếu X có miền giá trị X (Ω) =

{0, 1, ..., n} và hàm xác suất:
p (k) = Cnk pk (1 − p)

n−k

, k ∈ X (Ω)

Kí hiệu: X ∼ B (n, p).
Tính chất 1.2.22. 1. Nếu X ∼ B (n, p) thì E (X) = np và V ar (X) =
np (1 − p).
2. Nếu X1 , X2 , ..., Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập,
cùng phân bố xác suất với X ∼ Ber (p) thì biến ngẫu nhiên T = X1 + X2 +
... + Xn có phân bố nhị thức B (n, p).


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

15

c. Phân phối siêu bội
Định nghĩa 1.2.23. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố siêu bội với
ba tham số là các số tự nhiên N ∈ N và K, n ≤ N nếu X có miền giá trị
X (Ω) = {max{0, n + K − N }; ...; min{K, n}} và hàm xác suất:
n−k
k
CK
CN
−K
p(k) =
, k ∈ X(Ω).

n
CM

Kí hiệu: X ∼ H(K, N, n).
Tính chất 1.2.24.

d. Phân phối Poisson
Định nghĩa 1.2.25. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố Poisson với
tham số λ λ > 0 nếu X có miền giá trị N = 0, 1, 2, ... và hàm xác suất:
e−λ λk
p (k) = P (X = k) =
, k ∈ N.
k!
Kí hiệu: X ∼ P oi (λ).
Tính chất 1.2.26. 1. Nếu X ∼ P oi (λ) thì E (X) = λ, V ar (X) = λ.
2. Nếu X1 , X2 , ..., Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố xác suất
với X ∼ P oi (λ) thì biến ngẫu nhiên T = X1 + X2 + ... + Xn có phân bố
Poisson P oi (nλ).
Định lí 1.2.27. (Luật biến cố hiếm) Cho

Xn ; n ≥ 1

là dãy biến cố

ngẫu nhiên có phân bố nhị thức Xn ∼ B (n; pn ) . Nếu tồn tại giới hạn
lim npn = λ thì:

n→∞

−λ λ

lim P (Xn = k) = e

n→∞

k

, k = 0, 1, 2, ...

k!

Ứng dụng Nếu X ∼ B (n, p) với n khá lớn và p khá bé thì X có xấp
xỉ phân bố Poisson với λ = np, tức là:
P (X = k) =

k
Cn

k

n−k

p (1 − p)

λk −λ
≈
e .
k!

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

16

e. Phân phối chuẩn
Định nghĩa 1.2.28. Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân bố chuẩn với
tham số µ và σ (−∞ < µ < +∞, σ > 0) nếu có hàm mật độ xác suất:
2
1
− (x−µ)
2
f (x) = √ e 2σ , x ∈ R.
σ 2π

Kí hiệu: X ∼ N µ, σ 2
Phân bố chuẩn tắc
Biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn với µ = 0 và σ = 1 được gọi là phân bố
chuẩn tắc và kí hiệu là Z. Khi đó, hàm mật độ xác suất được kí hiệu là
ϕ (x),
1 − x2
ϕ (x) = √ e 2 .
2π
Hàm phân bố xác suất được kí hiệu là Φ x ,
x

Φ x =
−∞

x

1
ϕ (t) dt = √
2π

t2

e− 2 dt.
−∞

Chú ý rằng Φ − x = 1 − Φ x , ∀x ∈ R.
Tính chất 1.2.29. Cho biến ngẫu nhiên X ∼ N µ, σ 2 . Khi đó:
1. E (X) = µ, V ar (X) = σ 2 .
X −µ
2. Z =
∼ N (0; 1) .
σ
3. Nếu X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân bố xác
suất với X ∼ N µ, σ 2 thì:
T = X1 + X2 + ... + Xn ∼ N nµ; nσ 2
và
X1 + X2 + ... + Xn
∼ N µ; σ 2 /n .
n
a−µ
4. P (X < a) = P (X ≤ a) = Φ
.
σ
5. Với α < β ta có:
X=

P (α < X < β) = P (α ≤ X ≤ β) = Φ

β−µ
σ

−Φ

α−µ
σ

.


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

17

f. Phân phối đều
Định nghĩa 1.2.30. Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân bố đều trên đoạn
[a; b] (a < b) nếu có hàm mật độ xác suất:

 1
nếu x ∈ [a; b]
b−a
f x =
 0
nếu x ∈
/ [a; b]
Kí hiệu: U ([a; b]) .
2

a+b
(b − a)
Tính chất 1.2.31. Nếu U ([a; b]) thì E (X) =
, V ar (X) =
.
2
12

g. Phân phối mũ
Định nghĩa 1.2.32. Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối mũ với
tham số λ λ > 0 nếu có hàm mật độ

 λe−λx nếu x ≥ 0
f x =
 0
nếu x < 0
Kí hiệu: X ∼ Exp (λ).
Tính chất 1.2.33. Nếu X ∼ Exp (λ) thì E (X) =

1
1
, V ar (X) = 2 .
λ
λ

1.2.10. Các định lí giới hạn
a. Luật số lớn
Định lí 1.2.34. (Bất đẳng thức Chebyshev) . Cho X là biến ngẫu nhiên.
Khi đó, với mọi ε > 0 ta có

P (|X − E (X)| > ε) ≤

V ar (X)
.
ε2

Định lí 1.2.35. (Luật yếu tố lớn). Dãy Xn , n ≥ 1 các biến ngẫu nhiên
độc lập, cùng phân phối xác suất với biến ngẫu nhiên X có kì vọng E (X) =


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

18

µ và phương sai Var X = σ 2 hữu hạn thì
1
n

lim P

n→∞

n

Xk − µ ≤ ε

= 1,

k=1

với mọi ε > 0.

b. Định lí giới hạn trung tâm
Định lí 1.2.36. Nếu

Xn , n ≥ 1

là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập,

cùng phân phối xác suất với biến ngẫu nhiên X có kì vọng E (X) = µ và
phương sai Var X = σ 2 hữu hạn thì
lim P

n→∞

S − nµ
√
nσ

=Φ x ,

trong đó S = X1 + X2 + ... + Xn .
Ý nghĩa Định lí giới hạn trung tâm: Nếu X1 , X2 , ..., Xn là các
biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối xác suất (khơng cần thiết có phân
phối chuẩn) thì với n đủ lớn ta có:
Sn = X1 + X2 + ... + Xn có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn N nµ; nσ 2 .
Hệ quả 1.2.37. (Định lí giới hạn tích phân Moivre - Laplace) Giả sử Xn
là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B n; p . Đặt
Zn =

Xn − np
np (1 − p)

.

Khi đó với mọi x ∈ R,
lim P (Zn < x) = Φ x .

n→∞

Nói cách khác, với n đủ lớn ta có B (n; p) có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn
N (np; np (1 − p)).
Xấp xỉ trên tốt nhất khi np > 5 và n(1-p) > 5.


CHƯƠNG 2

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT ĐỂ
GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chương này sẽ giới thiệu những ý tưởng cơ bản nhất trong phương
pháp xác suất để áp dụng vào các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực. Một phần
quan trọng trong chương sẽ là những ứng dụng của phương pháp xác suất
trong các bài tốn Olympic. Trong phần cuối, tơi sẽ giới thiệu ứng dụng
của phương pháp xác suất để chứng minh một vài định lý quan trọng trong
lý thuyết cực trị tập hợp hữu hạn. Toàn bộ nội dung của chương này tôi
tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [4], [5], [7], [8], [9], [10].
2.1. Một số bài toán mở đầu
Lần đầu tiên tôi biết đến ứng dụng của phương pháp xác suất trong

các bài toán thi học sinh giỏi trung học phổ thơng là qua bài tốn sau đây:
Bài toán 1. Một người đi thi lấy bằng lái xe. Nếu thi không đạt anh ta lại
đăng ký thi lại cho đến khi nào đạt mới thôi. Gọi X là số lần anh ta đi thi.
1
Tìm phân bố xác suất của X, biết rằng xác suất thi đạt của anh ta là .
3
1
Giả sử có 243 người dự thi, mỗi người đều có xác suất thi đỗ là và cũng
3
đều thi đến khi nào có bằng mới thơi. Có khoảng bao nhiêu người thi đạt
ngay lần đầu? Phải thi tới hai lần? Phải thi ít nhất bốn lần?.
Lời giải. Các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên X nhận là 1, 2, 3, 4, 5... .
Ta có:
1
2
P (X = k) = ( )k−1 . với k = 1, 2, 3,...
3
3
1
Với 243 người đi thi, do xác suất thi đạt lần đầu bằng , vậy có khoảng
3
1
243. = 81 người thi đạt ngay lần đầu.
3


CHƯƠNG 2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT ĐỂ GIẢI TỐN SƠ CẤP20

Để thi đạt sau hai lần sẽ có khoảng 243.

2
= 54 người phải thi tới lần thứ
9

hai mới đạt.
Từ đó theo cơng thức trên ta có:
P (X ≥ 4) = 1 − (P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)) =
1 2
4
8
1−( + + )=
.
3 9 27
27
8
Do đó sẽ có khoảng 243.
= 72 người phải thi ít nhất 4 lần mới thi đạt.
27
Bài toán 2. (APMO 1998) Cho F là tập hợp tất cả các bộ (A1 , A2 , ..., An )
trong đó mỗi Ai , i = 1, 2, ..., n là tập con của 1, 2,..., 1998. Giả sử |A| ký
hiệu số phần tử của tập hợp A, hãy tìm:
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An |.
(A1 ,A2 ,...,An )∈F

Lời giải. Chú ý rằng tập hợp 1, 2,..., 1998 có 21998 tập con. Vì ta có thể
chọn hay khơng chọn một phần tử vào tập con, nên có tất cả 21998n số
hạng trong tổng trên.
Bây giờ ta tính giá trị trung bình của mỗi số hạng. Với mỗi i = 1, 2,..., 1998,
ta có i là phần tử của A1 ∪A2 ∪...∪An . Xác suất của biến cố này là 1−2−n .
Do đó, giá trị trung bình của mỗi số hạng trong tổng là 1998(1 − 2−n ), và

như thế đáp số 3à 21998n .1998(1 − 2−n ).

2.2. Phương pháp xác suất ứng dụng trong các bài toán học sinh
giỏi
Kết quả đơn giản sau đây là bổ đề chìa khóa cho rất nhiều bài tốn giải
bằng phương pháp xác suất:
Bổ đề 2.1. Cho X là biến ngẫu nhiên. Khi đó tồn tai điểm nào đó của
khơng gian xác suất mà X ≥ E(X), và tồn tại điểm bào đó của khơng gian
xác suất mà X ≤ E(X).
Bài tốn 5 (Iran TST, 2008). Giả sử rằng 799 đội bóng chuyền tham gia


CHƯƠNG 2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT ĐỂ GIẢI TỐN SƠ CẤP21

và một giải đấu mà trong đó hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng một lần.
Chứng minh rằng tồn tại hai nhóm A và B rời nhau, mỗi nhóm có 7 đội
sao cho mỗi đội bóng của nhóm A đều thua các đội bóng của nhóm B.
Lời giải. Xét giải đấu như một đồ thị có hướng đầy đủ. Ta xét A là một
tập ngẫu nhiên có 7 phần tử. Gọi X là só đội thắng tất cả các đội của A.
Gọi d(v − ) là bậc vào của v, ta có
E(X) =

v

7
Cd(v
−)

7
C799

2
d(v − ) = C799
, nghĩa là bậc trong trung bình của một đỉnh đúng

Nhưng
v

bằng 399. Theo tính lồi của hàm Cx6 ta có
7
17
799C399
≈ 800.( ) ≈ 6.25.
E(X) ≥
7
C799
2

Do X nhận giá trị nguyên, tồn tại A sao cho X(A) ≥ 7. Với A như vậy, chỉ
cần chọn 7 đội bóng của B từ nhóm đội thắng tất ca các đội của A.
Bài toán 6 (Nga, 1996). Trong viện Duma quốc gia có 1600 đại biểu, lập
thành 16000 tiểu ban, mỗi tiểu ban có 80 người. Chứng minh rằng ta có thể
tìm được hai tiểu ban có ít nhất 4 thành viên chung.
Lời giải. Chọn ngẫu nhiên một cặp tiểu ban (tức là lấy một cách ngẫu nhiên
2
một cặp trong C16000
cặp). Gọi X là số người có trong cả hai tiểu ban được

chọn. Chú ý rằng X = X1 + X2 + ... + X1600 , trong đó mỗi Xi là biến ngẫu
nhiên {0, 1} nói rằng người thứ i có mặt trong cả hai tiểu ban hay khơng.

theo tính tuyến tính kỳ vọng, ta có
E(X) = E(X1 ) + E(X2 ) + ... + E(X1600 ).
Điều thần kỳ ở đây là mỗi một E(Xi ) có thể tính dễ dàng. Gọi ni là số
tiểu ban mà người thứ i thuộc vào. Khi đó:
Cn2i
E(Xi ) = P (người thứ i được chọn vào cả hai tiểu ban) = 2
.
C16000
Thông tin duy nhất mà chúng ta biết về {ni } là tổng của chúng:

=
i

16000.80. Điều này gợi ý chúng ta sử dụng tính lồi để đánh giá E(X) thông


CHƯƠNG 2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT ĐỂ GIẢI TỐN SƠ CẤP22

qua giá trị trung bình của {ni }, được kí hiệu là n va bằng n =

16000.80
=
1600

800.
2
1600Cn2
1600C800
E(X) ≥ 2
=

= 3, 995.
2
C16000
C16000

Nhưng theo bổ đề, ta biết rằng sẽ có một kết quả nào đó cho ta: X ≥ 3, 995.
Vì X ln là số ngun, kết quả này thưc sự phải có X ≥ 4. Nói riêng, ta
kết luận rằng có một cặp hai tiểu ban có ít nhất 4 thành viên chung.
Bài toán 7. Giả sử a, b, c là các số thực dương sao cho với mọi n nguyên
thì
an + bn = cn .
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a, b, c nguyên. (Kí hiệu an là
phần ngun của an)
Ghi chú. Bạn có thể sử dụng kết quả lý thuyết số quen thuộc sau đây: Nếu
x là số vơ tỷ thì phần lẻ của các bội số của x phân bố đều trên đoạn [0,
1]. Nói riêng, nếu ta chọn n một cách ngẫu nhiên trong {1, 2,..., N} thì
1
E({xn}) → khi N → ∞.
2
Lời giải. Giả sử rằng khơng có số nào trong a, b, c là số nguyên. Chia hai
vế cho n và cho n dần đến vô cùng ta được a + b = c. Từ đó ta suy ra
{an} + {bn} = {cn} (1).
Nếu x vơ tỷ thì {xn} phân bố đều tên đoạn [0, 1]. Nói riêng, nếu ta chọn
1
n một cách ngẫu nhiên trong {1, 2,..., N} thì E({xn}) → khi N → ∞.
2
p
Mặt khác, nếu x là số hữu tỷ có dạng tối giản là
thì {xn} có kỳ vọng
q

q−1
1
1
1 1
tiến đến
= − . Như vậy nó nằm trong khoảng
,
. Tóm lại,
2q
2 2q
4 2
1 1
với mọi số khơng ngun x, ta có E({xn}) → t, trong đó t ∈
,
. Lấy
4 2
kỳ vọng hai vế của (1) và cho n dần đến vô cùng, ta thấy rằng cách duy
1
nhất để có đẳng thức là E({an}) và E({bn}) phải tiến đến , và E({cn})
4
1
1
→ . Nhưng cách duy nhất để có kỳ vọng là khi a, b hữu tỷ, còn cách
2
4


CHƯƠNG 2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT ĐỂ GIẢI TỐN SƠ CẤP23

1

là c vơ tỷ. Nhưng do a + b = c nên ta khơng thể
2
có hai số hữu tỷ cộng lại ra số vô tỷ. Mâu thuẫn.

duy nhất để có kỳ vọng

Bài tốn 8. Chứng minh rằng giữa 2100 người, khơng nhất thiết phải có
200 người đơi một quen nhau hoặc 200 người đôi một không quen nhau.
Lời giải. Ta sẽ cho một cặp hai người bất kỳ quen nhau hoặc không quen
nhau bằng cách tung một đồng xu đối xứng. Trong nhóm gồm 200 người, xác
2

suất để họ đôi một quen nhau hoặc đôi một không quen nhau là 2.2−C200 =
2−19899 .
Vì có C2200
100 cách chọn ra 200 người, xác suất tịn tại 200 người đơi một
quen nhau hoặc đôi một không quen nhau nhiều nhất bằng
C22100 00.2−19899

(2100 )2 00 −19899
<
.2
< 1.
200!

Từ đây suy ra xác suất không tồn tại 200 người đôi một quen nhau hoặc
đôi một khơng quen nhau lớn hơn 0. Nói cách khác, khơng nhất thiết phải
có 200 người đơi một quen nhau hoặc 200 người đơi một khơng quen nhau.
Bài tốn được chứng minh.
Ta thấy ở đây một phương pháp tổng quát để xây dựng ví dụ ngẫu

nhiên: Nếu xác suất của tồn tại ví dụ ta cần là dương thì tồn tại ví dụ đó.
Bài tốn 9. Trong mỗi ơ của bàng 100 × 100, ta viết một trong các số
nguyên 1, 2,..., 5000. Hơn nữa, mỗi một số nguyên xuất hiện trong bảng
đúng hai lần. Chứng minh rằng ta có thể chọn đươc 100 ô của bảng thỏa
mãn ba điều kiện sau:
(1) Mỗi một hàng được chọn đúng một ô.
(2) Mỗi một cột được chọn đúng một ô.
(3) Các số trong các sô được chọn đôi một khác nhau
Lời giải. Chọn hoán vị ngẫu nhiên (a1 , ..., a100 ) của {1,... ,100} và chọn ô
thứ ai trong hàng thứ i. Cách chọn như vậy thỏa mãn (1) và (2). Với mỗi j
= 1, 2,..., 5000, xác suất để chọn hai ơ có cùng số j là 0 nếu hai ô này cùng
1 1
hàng hoặc cùng cột và là
.
trong trường hơp ngược lại. Do đó xác
100 99
suất để các chọn này thỏa mãn (3) ít nhất là


CHƯƠNG 2. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT ĐỂ GIẢI TỐN SƠ CẤP24

1 − 5000.

1
>0
100.999

và ta có điều phải chứng minh.
Tất nhiên, ta có thể dễ dàng chuyển hai lời giải xác suất nói trên sang
lừi giải chỉ sử dụng thuần túy phép đếm (bằng cách tính số các kết quả

thuận lợi thay vì tính xác suất), mà thực chất sẽ hồn tồn giống. Nhưng,
theo tơi, lời giải xác suất ngắn gọn và tự nhiên hơn.
Một tính chất mang tính đặc trưng của xác suất là đẳng thức
P (A1 ) + P (A2 ) + ... + P (An ) = 1
nếu {A1 , A2 , ..., An } là một phân hoặc của khơng gian xác suất Ω.
Tính chất này có thể dùng để chứng minh nhiều đẳng thức tổ hợp bằng
phương pháp xác suất. Ta bắt đầu bằng bài toán sau:
Bài toán 10. Cho p, q là các số thực dương sao cho p + q = 1. Chứng
minh rằng
p + pq + pq 2 + pq 3 + ... = 1.
Lời giải. Xét thí nghiệm tung đồng xu với xác suất ra mặt ngửa là p và
măt xấp là q. Ta thực hiện thí nghiệm cho đến khi a được mặt ngửa. Gọi
X là số lần tung, khi đó
P (X = n) = pq n−1 .
Vế trái của đẳng thức trên bằng P (X = 1)+P (X = 2)+...+P (X = n)+...
và dĩ nhiên là bằng 1.