Tập hợp và ánh xạ Toán rời rạc

Bà i 1 .

TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ

1.1. TẬP HỢP VÀ PHẦN TỬ
Tập hợp và phần tử là những khái niệm tốn học ngun sơ, khơng thể định
nghĩa mà ta chỉ có thể mơ tả chúng.
Có 2 cách mơ tả tập hợp:
Cách thứ nhất:
Tất cả những đối tượng có một hoặc một vài tính chất chung nào đó tạo thành
một tập hợp (đơi khi nói ngắn gọn là một tập); khi đó mỗi đối tượng là một phần
tử của tập hợp đó.
Thí dụ 1. Tập hợp các số ngun dương tạo nên tập N+.

N  {1, 2, 3, ..., n, ...} . Khi đó các số 1, 2, 3, … là các phần tử của N+. Các
phần tử của N+ có 2 tính chất chung: đó là ngun và dương.
Thí dụ 2. A  {1, 3, 5, 7, ...} là tập hợp các số nguyên dương lẻ. Các phần tử
của A có 3 tính chất chung là ngun, dương và lẻ.
Nếu x là phần tử của A ta viết x  A ; nếu x không phải phần tử của A thì ta
viết x  A .
Khi mơ tả tập hợp theo cách này phải đạt được yêu cầu sau đây: Khi đưa ra
một đối tượng bất kỳ thì các tính chất chung mà chúng ta nêu lên phải đủ để
khẳng định đối tượng đó có phải là phần tử của tập hợp hay khơng.
Trong thí dụ 2: số 15  A ; số 16  A vì 16 khơng có tính chất lẻ.
Trong trường hợp u cầu trên khơng đạt được ta phải dùng cách khác.
Cách thứ hai:
Liệt kê các phần tử của tập hợp.
Thí dụ 1. B  {2, 4, 5, 6, 8}
Khi mô tả tập hợp theo cách này thì lại khơng địi hỏi các phần tử của tập hợp
phải có một tính chất nào giống nhau.
Thí dụ 2. C  {0, a, Hà Nội, *}.

1.1.1. Tập hữu hạn và tập vô hạn.
Số lượng phần tử của A gọi là bản số của A; ký hiệu là |A| hay N(A); đó là
một số nguyên dương.
Nếu |A| là một số hữu hạn thì A là tập hữu hạn, cịn gọi là tập rời rạc. Tốn
rời rạc chỉ quan tâm đến các tập rời rạc.
Nếu A không phải tập hữu hạn thì A là tập vơ hạn.
Thí dụ.
A  {2, 4, 6, 8} là tập hữu hạn.

N  {0, 1, 2, ...,n, ...} : tập các số tự nhiên là tập vô hạn.
Z  {0,  1,  2, ...,  n, ...} : tập các số nguyên là tập vô hạn.
1


1.1.2. Tập rỗng.
Nếu | A |  0 thì A gọi là tập rỗng, đó là tập khơng chứa một phần tử nào.
Việc đưa vào tập rỗng rất có ý nghĩa khi ta nghiên cứu về các phép toán trên tập
hợp.
Thí dụ.
A là tập các nghiệm số thực của phương trình x 2  3x  2  0 thì

A  {1, 2} .
Cịn tập nghiệm thực của phương trình x 2  x  1  0 là một tập rỗng vì
phương trình này khơng có nghiệm thực.
Ta ký hiệu tập rỗng là  .
1.1.3. Sự bằng nhau của hai tập.
Hai tập A và B gọi là bằng nhau (ta viết A  B ) nếu chúng bao gồm những
phần tử như nhau, nghĩa là:

xA  x B

Thí dụ.

A  {x, 2, 5, 4} và B  {5, x, 4, 2} là hai tập bằng nhau.
Thứ tự hay vị trí của các phần tử khơng quan trọng.
1.1.4. Sự bao hàm và tập con.
Nếu x  A  x  B thì ta nói:
 A bao hàm trong B hoặc A chứa trong B.
 B bao hàm A hay B chứa A.
 A là tập con của B.
Để diễn đạt điều này ta viết A  B hay B  A .
Vậy


A  B nếu A  B và B  A

 A chứa các phần tử của nó.
 Tập rỗng  là tập con của mọi tập A.
Để hình dung quan hệ giữa hai tập người ta dùng sơ đồ Ven để biểu diễn hình
học một tập, coi mỗi tập là một vịng phẳng kín, mỗi điểm bên trong là một phần
tử của tập đó. Khi đó quan hệ A  B được biểu thị bởi hình 1 – vịng A nằm
trong vịng B.

A

B

Hình 1

2

1.1.5. Tập vũ trụ.
Tập vũ trụ ký hiệu là U, đó là tập bao hàm mọi tập khác; khi biểu diễn tập U
bằng sơ đồ Ven, người ta dùng 1 hình vng hoặc hình chữ nhật. Khi đó mọi tập
khác đều nằm trong hình vng hoặc hình chữ nhật đó (Hình 2).

C
A
B

Hình 2
1.1.6. Tập lũy thừa.
Cho tập A, tập lũy thừa của A ký hiệu là P(A) hay 2A là tập mọi tập con của A
(bao gồm cả tập rỗng và bản thân tập A).
Thí dụ: A  {1, 2, 3} thì

P(A)  , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} .
Tập lũy thừa của A thường liên quan đến việc trắc nghiệm những tập con của
A để xem chúng có thỏa mãn một tính chất nào đó hay khơng.
Sau này ta sẽ chứng minh: Nếu | A |  n thì | P(A) |  | 2A |  2n.
1.2. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
Từ hai tập A và B cho trước tạo ra một tập mới theo một cách nào đó, ta gọi
đó là phép hợp thành. Mỗi phép hợp thành như thế là một phép toán tập hợp.
1.2.1. Phép hợp.
Hợp của 2 tập A và B, ký hiệu là A  B , là tập chứa tất cả các phần tử thuộc
A hoặc thuộc B, nghĩa là:

x  A  B  {x  A hoặc x  B}
A  B được biểu diễn bởi sơ đồ Ven như hình 3.

A

B
AB

Hình 3
3


Thí dụ. A  {1, 3, 5}, B  {1, 2, 3}

 A  B  {1, 2, 3, 5}

1.2.2. Phép giao.
Giao của hai tập A và B, ký hiệu là A  B , là tập chứa tất cả các phần tử vừa
thuộc A, vừa thuộc B, nghĩa là

x  A  B  {x  A và x  B}
Biểu diễn của A  B bằng sơ đồ Ven có dạng như hình 4.

B

A
AB

Hình 4
Thí dụ.

Cũng trong thí dụ trên

A  {1, 3, 5}, B  {1, 2, 3} thì

A  B  {1, 3}
Nếu A  B   thì ta nói rằng A và B là hai tập rời nhau.
Thí dụ: A  {1, 3, 5, 7, 9}, B  {2, 4, 6, 8} là hai tập rời nhau vì

A  B  .
1.2.3. Phép trừ.
Hiệu của hai tập A và B ký hiệu là A\B, là tập chứa các phần tử thuộc A mà
không thuộc B. Biểu diễn của A\B bằng sơ đồ Ven có dạng như hình 5.

B

A
A\B

Hình 5
Thí dụ. A  {1, 2, 5}, B  {1, 2, 3}

 A\B = {5}

1.2.4. Tập bù.
Nếu A  E thì E\A là tập bù của A trong E và ký hiệu là A .
Dễ dàng nhận thấy A  A
Trường hợp đặc biệt nếu E  U thì A  U \ A được gọi ngắn gọn là tập bù của
A.

4

A

A

Hình 6
 Luật De Morgan:

 A  E;  B  E ta có:
a) A  B  A  B
b) A  B  A  B
Các phép toán a) và b) có thể mở rộng cho n tập; khi đó định luật De Morgan
sẽ có dạng tổng quát sau đây:
i I

i I

Ai 
Ai 

i I

i I

Ai
Ai

Các phép toán nêu trên thỏa mãn các đẳng thức dưới đây mà ta gọi đó là các
luật
Đẳng thức
Tên gọi

A A

Luật đồng nhất

AUA
AUU
A

Luật nuốt

AAA
AAA

Luật lũy đẳng

ABBA
ABBA

Luật giao hoán

A  (B  C)  (A  B)  C
A  (B  C)  (A  B)  C

Luật kết hợp

A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
A  (B  C)  (A  B)  (A  C)

Luật phân phối

ABAB

Luật De Morgan

ABAB

AA

Luật bù

5


1.2.5. Phủ và phân hoạch.
Cho S  {A1, A2 , ..., An } trong đó Ai (i  1, n) là các tập con của E. Nếu
n
i 1

Ai  E thì S gọi là một phủ của E.
Nếu S là một phủ của E và Ai  A j    i  j thì S gọi là một phân

hoạch của E.
Thí dụ.

E  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};

A1  {1, 3, 5, 7, 9};
A2  {0, 2, 4, 6, 8};
thì S  {A1, A2} là một phân hoạch của E.

Khái niệm phân hoạch là cơ sở của “nguyên lý cộng” trong bài toán đếm mà
ta sẽ nghiên cứu ở chương sau.
1.2.6. Tích Đề-các.
Tích Đề-các của 2 tập A và B, ký hiệu là A  B , là một tập được định nghĩa
như sau:

A  B  {(a, b): a  A; b  B}
Dễ dàng nhận thấy A  B khơng có tính giao hốn.
Mở rộng cho tích Đề-các của n tập:

A1  A2  ...  An  {(a1, a 2 , ..., a n ): a i  Ai , i  1, n}
Nếu A1  A2  ...  An  A thì tích Đề-các được ký hiệu là A n , nghĩa là:

An  A  A  ...  A
Dễ dàng chứng minh được A  B  A  B
Cho nên tích Đề-các là cơ sở của “nguyên lý nhân” trong bài toán đếm ở
chương sau.
1.3. QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ
1.3.1. Quan hệ 2 ngôi.
Ta đưa vào tập E một quan hệ R có liên quan đến 2 phần tử của E. Xét 2 phần
tử a và b của E, nếu a có quan hệ R với b thì ta viết aRb; khi đó R là quan hệ 2
ngơi trên tập E.
Thí dụ 1. Trên tập số thực : aRb  a  b là quan hệ 2 ngôi trên tập số thực.
Thí dụ 2.
E là tập các đường thẳng trên một mặt phẳng P nào đó.
aRb  a / / b là quan hệ 2 ngôi.

6

Thí dụ 3.
E là tập các sinh viên trong 1 lớp học nào đó
aRb  ”a cùng năm sinh với b” là một quan hệ 2 ngôi.
Quan hệ 2 ngôi trên một tập E có thể có các tính chất sau đây:
a) Tính phản xạ:
Quan hệ R có tính chất phản xạ nếu aRa  a  E
Thí dụ:
- Quan hệ “cùng năm sinh” có tính phản xạ
- Quan hệ “nhỏ hơn” (a < b) khơng có tính phản xạ vì khơng thể có
a < a.
b) Tính đối xứng:
Quan hệ R có tính đối xứng nếu aRb  bRa
Thí dụ.
- Quan hệ “cùng năm sinh” có tính đối xứng
- Quan hệ “nhỏ hơn” (a < b) khơng có tính đối xứng vì từ a < b khơng thể
suy ra b < a.
c) Tính bắc cầu:
Quan hệ R gọi là có tính bắc cầu nếu (aRb và bRc)  aRc
Thí dụ 1.
Quan hệ “cùng năm sinh” có tính bắc cầu; quan hệ “nhỏ hơn” cũng có tính
bắc cầu vì từ (a < b và b < c) suy ra a < c.
Thí dụ 2.
Trên tập các số nguyên dương N+ ta đưa vào quan hệ như sau:
aRb  a và b là 2 số nguyên tố cùng nhau.
Quan hệ R này khơng có tính bắc cầu; vì (4R5 và 5R8) khơng thể suy ra
4R8 vì 4 và 8 khơng ngun tố cùng nhau do chúng có 2 ước chung khác 1 đó là
2 và 4.
d) Tính phản xứng:
Quan hệ R gọi là có tính phản xứng nếu (aRb và bRa)  a = b
Thí dụ 1.

Quan hệ aRb  a  b có tính phản xứng vì từ a  b và b  a ta suy ra

a = b (trên tập số thực)
Thí dụ 2.
E là tập các cán bộ trong một cơ quan, ta đưa vào quan hệ R như sau:
aRb  lương của a không cao hơn lương của b.
Quan hệ R này khơng có tính phản xứng vì (aRb và bRa) ta chỉ suy ra
lương của a = lương của b mà không thể suy ra a = b ; nghĩa là a và b có thể vẫn
là hai cán bộ khác nhau của cơ quan đó.

7


1.3.2. Các phương pháp biểu diễn quan hệ 2 ngôi.
a) Phương pháp liệt kê.
Theo định nghĩa thì mọi quan hệ 2 ngôi R trên tập E đều là tập con của tập
tích Đề-các E  E , nghĩa là ln viết được R  E  E . Do đó một trong những
phương pháp biểu diễn R là liệt kê tất cả các phần tử của R trong E  E .
Thí dụ. Cho E  {a1, a 2 , a 3} . Tìm trong E một quan hệ 2 ngơi có tính phản
xạ, đối xứng nhưng khơng bắc cầu.
Ta có:

R  {(a1, a1 ), (a 2 , a 2 ), (a 3 , a 3 ), (a1, a 2 ), (a 2 , a1), (a 2 , a 3 ), (a 3 , a 2 )}
Tính phản xạ được thể hiện ở 3 phần tử đầu, 4 phần tử sau thể hiện tính đối
xứng. Ở đây ta có (a1, a 2 ) và (a 2 , a 3 )  R nhưng (a1, a 3 )  R nên khơng có
tính chất bắc cầu..
b) Phương pháp sơ đồ.
Mỗi phần tử của E là một đỉnh của đồ thị, nếu a i Ra j thì có cung nối a i đến

a j . Trong thí dụ trên ta có

a1

a2

a3

c) Phương pháp ma trận quan hệ.
Nếu E  {a1, a 2 , ..., a n } thì R được biểu diễn bởi ma trận vuông cấp n:

R  (rij )n  n trong đó
1
rij  
0

khi a i Ra j
khi khơng có a i Ra j hay (a i , a j )  R

Trong thí dụ trên ta có:

1 1 0
R   1 1 1 
0 1 1


1.3.3. Quan hệ tương đương.
Quan hệ 2 ngôi trên tập E gọi là quan hệ tương đương nếu nó có 3 tính chất:
phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Dễ dàng thấy rằng:
- Quan hệ “cùng năm sinh” trên tập các sinh viên của một lớp là quan hệ
tương đương.

- Quan hệ “song song” trên tập các đường thẳng trong một mặt phẳng nào đó
là quan hệ tương đương.

8


- Quan hệ “a < b” trên tập số thực không phải là quan hệ tương đương.
Nếu R là quan hệ tương đương thì aRb có thể viết là a  b .
Ta có định nghĩa sau:
Giả sử R là một quan hệ tương đương trên E và x  E . Khi đó lớp tương
đương chứa x là tập con:

x  {y  E : yRx}
Định lý 1. Giả sử R là quan hệ tương đương trên E. Khi đó:
1) x  E : x  x
2) x, y  E, xRy  x  y
3) Nếu x  y   thì 2 lớp tương đương x và y trùng nhau.
Khi đưa quan hệ tương đương R vào E thì chúng chia E thành các lớp tương
đương.
Các lớp tương đương này rời nhau và tạo nên một phủ của E; do đó nó là một
phân hoạch của E.
Việc đưa vào tập E một quan hệ tương đương là một cách tìm một phân hoạch
của E, nhờ đó ta có thể tìm số phần tử của E bằng cách tìm tổng số các phần tử
của tất cả các lớp tương đương.
1.3.4. Quan hệ thứ tự.
Quan hệ 2 ngôi R trên tập E gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có 3 tính chất: phản
xạ, phản xứng và bắc cầu. Dễ dàng thấy rằng quan hệ ( a  b ) hay ( a  b ) là
quan hệ thứ tự trên tập các số tự nhiên cũng như trên tập các số thực.
a) Quan hệ thứ tự toàn phần.
Cho R là một quan hệ thứ tự trên E, nếu  a, b  E ta đều có aRb hoặc bRa

thì R gọi là quan hệ thứ tự tồn phần; khi đó mọi phần tử của E được sắp xếp
theo một thứ tự xác định theo quan hệ R và E là một tập có thứ tự tồn phần.
b) Quan hệ thứ tự khơng tồn phần.
Nếu R là một quan hệ thứ tự trên E nhưng không phải là quan hệ thứ tự tồn
phần thì ta nói R là quan hệ thứ tự khơng tồn phần.
Thí dụ.
- Quan hệ  trên tập số thực là quan hệ thứ tự tồn phần vì với mọi số thực
a và b ta ln có a  b hoặc b  a , và dó đó tập các số thực là tập có thứ tự toàn
phần.
- Quan hệ  trên tập các véc tơ n chiều (trong không gian véc tơ n chiều

R n ) là quan hệ thứ tự khơng tồn phần vì  a  R n và  b  R n mà ta khơng có
a  b và cũng khơng có b  a . Tập R n cịn gọi là tập có thứ tự bộ phận.
1.4. ÁNH XẠ
1.4.1. Các định nghĩa.

9


Định nghĩa 1.
f gọi là ánh xạ từ tập A vào tập B nếu  x  A,  y duy nhất  B mà ta ký
hiệu là f(x) và gọi là ảnh của x qua ánh xạ f. Ta viết:

f :A B
x

f (x)

Định nghĩa 2.
Nếu E  A thì ảnh của E qua f là tập:

f (E)  {y  B:  x  E; y  f (x)}
Hoặc ta cũng viết:

f (E)  {f (x) : x  E}

Chú ý.
- Nếu f 1 (y)   thì y  f (A)
- Nếu f 1 (y)  x thì x là phần tử duy nhất có ảnh là y.
Định nghĩa 3.
Cho f là một ánh xạ từ tập A vào tập B.
a) f là toàn ánh nếu f (A)  B
b) f là đơn ánh nếu  x1, x 2  A và x1  x 2  f (x1 )  f (x 2 )
c) f là một song ánh nếu f vừa là toàn ánh vừa là đơn ánh.
Chú ý.
Nếu f là một song ánh từ A lên B thì ta viết f : A  B . Khi đó  y  B,  x
duy nhất  A để cho y  f (x) ; như vậy sự tương ứng y  x là một ánh xạ từ
B vào A mà ta ký hiệu f 1 .

f 1 : B  A
y

f 1 (y)  x với y  f (x)

Và ta có

f f 1 (y)   y,  y  B
f 1  f (x)  x,  x  A

Và trong trường hợp này ta nói f 1 là ánh xạ ngược của f.

Thí dụ. Ký hiệu R là tập số thực; R  là tập số thực không âm.
a) f : R  R cho bởi y  x 2 là một ánh xạ nhưng khơng phải là tồn ánh vì
các số âm không là ảnh của bất kỳ số x nào qua ánh xạ y  x 2 ; cũng không phải
là đơn ánh vì hai số x và x (với x  0 ) có chung một ảnh.
b) f : R  R  cho bởi y  x 2 là tồn ánh nhưng khơng phải là đơn ánh.
c) f : R   R  cho bởi y  e x là đơn ánh nhưng khơng phải là tồn ánh vì
các số  1 khơng là ảnh của bất kỳ số x  0 qua ánh xạ y  e x .

10


d) f : R  R cho bởi y  ax  b (a  0) là song ánh (vừa là toàn ánh, vừa
là đơn ánh). Ánh xạ ngược của nó là:

f 1 : R  R
y  a 1y  a 1b
1.4.2. Hợp (hay tích) của 2 ánh xạ.
Cho 2 ánh xạ: f : A  B và g : B  C , khi đó:

 x  A,  y  B sao cho f (x)  y
Và  y  B,  z  C sao cho g(y)  z
Do đó  x  A,  z  C (qua ánh xạ trung gian f) sao cho g f (x)  z
Vậy có một ánh xạ từ A tới C xác định như sau:

x  A  z  g f (x)  C

Định nghĩa 4.
Hợp (hay tích) của hai ánh xạ f và g ký hiệu là g f : A  C xác định như
sau: x  A  (g f )(x)  g f (x)   C
Hợp của 2 ánh xạ thường được biểu diễn bởi sơ đồ:

A

B

f

g

C

x
y = f(x)

z = g(y)

g f

Thí dụ. Cho A  B  C  R ;

x  R  y  f (x)  x 2  R
y  R  z  g(y)  y  3  R
Khi đó ánh xạ hợp: g f : R  R xác định như sau:

x  R  (g f )(x)  g f (x)   x 2  3  R
Định lý 3.
Hợp của 2 đơn ánh là một đơn ánh.
Hợp của 2 toàn ánh là một toàn ánh.
Hợp của 2 song ánh là một song ánh.
Cho ánh xạ f : A  B và A1, A 2 là 2 tập con bất kỳ của A; B1 , B2 là 2
tập con bất kỳ của B. Khi đó:

f (A1  A2 )  f (A1 )  f (A2 )
f (A1  A2 )  f (A1 )  f (A2 )

f 1 (B1  B2 )  f 1 (B1 )  f 1(B2 )
f 1 (B1  B2 )  f 1 (B1 )  f 1(B2 )
11