Động lực biên độ của sóng trong va chạm của sóng tuyến tính có nhiễu phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
—————————————

NGUYỄN ĐỨC HIẾU

ĐỘNG LỰC BIÊN ĐỘ CỦA SÓNG TRONG VA
CHẠM CỦA SĨNG TUYẾN TÍNH CĨ NHIỄU
PHI TUYẾN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 01 12

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

TS. NGUYỄN MINH QUÂN

TP. Hồ Chí Minh năm 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
—————————————

NGUYỄN ĐỨC HIẾU

COLLISION - INDUCED AMPLITUDE
DYNAMICS OF PERTURBED LINEAR WAVES
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 01 12

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

TS. NGUYỄN MINH QUÂN

TP. Hồ Chí Minh năm 2020


CƠNG TRÌNH NÀY ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐH QUỐC GIA TP.HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN MINH QUÂN

Cán bộ chấm phản biện 1: TS. NGUYỄN BÁ THI

Cán bộ chấm phản biện 2: TS. CAO THANH TÌNH

Luận văn Thạc sĩ này được bảo vệ tại trường Đại học Bách khoa, ĐH Quốc Gia
Tp.HCM ngày 24 tháng 1 năm 2021
Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ )
1. Chủ tịch: PGS.TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY
2. Thư ký: TS. NGUYỄN TIẾN DŨNG
3. Phản biện 1: TS. NGUYỄN BÁ THI
4. Phản biện 2: TS. CAO THANH TÌNH
5. Ủy viên: TS. HỒ ĐẮC NGHĨA
Xác nhận của chủ tịch hội đồng đánh giá luận văn và trưởng khoa quản lý
chuyên ngành sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có).

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA


Đại Học Quốc Gia TP.HCM

Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Trường Đại Học Bách Khoa

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: Nguyễn Đức Hiếu

MSHV: 1770488

Ngày, tháng, năm sinh: 16.03.1995

Nơi sinh: Đồng Nai

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60460112

I. TÊN ĐỀ TÀI: Động lực biên độ của sóng trong va chạm của sóng tuyến
tính có nhiễu phi tuyến.
NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
- Kiến thức chuẩn bị.
- Động lực biên độ của sóng trong va chạm của sóng tuyến tính có nhiễu
phi tuyến.

- Mơ phỏng các mơ hình.
II. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 20.11.2019
III. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 25.07.2020
IV. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS. NGUYỄN MINH QUÂN.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 1 năm 2021

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

TRƯỞNG KHOA


Luận văn Thạc sĩ

Chuyên ngành Toán ứng dụng

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này xuất phát từ các kết quả nghiên cứu về sự thay đổi biên độ trong
va chạm giữa hai sóng tuyến tính có nhiễu phi tuyến của Avner Peleg, Huỳnh
Thanh Tồn và thầy hướng dẫn luận văn của tơi tiến sĩ Nguyễn Minh Quân. Ngay
từ lúc ban đầu làm luận văn, tôi đã được sự giúp đỡ rất nhiệt tình từ thầy. Thầy
hướng dẫn, cung cấp các tài liệu tham khảo chi tiết và dành nhiều thời gian để
giảng dạy và phê bình lỗi sai của tơi. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đối với thầy.
Tơi xin gửi lời cảm ơn đến anh Huỳnh Thanh Toàn, đã hỗ trợ và có nhiều nhận
xét để luận văn được hồn thiện.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô trong Hội đồng chấm Luận văn Thạc sĩ
trường Đại học Bách Khoa đã dành nhiều lời nhận xét, đánh giá để luận văn đầy
đủ và chính xác hơn.
Tơi cám ơn trường đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh, các thầy cơ trong

bộ mơn Tốn ứng dụng đã chỉ bảo tơi trong q trình học tập tại trường. Tơi bày
tỏ lòng biết ơn đối với những bạn học cùng khóa 2017 đã giúp đỡ và động viên
tơi trong q trình học tập, đặc biệt là bạn Ân, bạn đã giúp tơi có cơ hội được gặp
thầy Qn.
Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình của tơi. Gia đình ln động viên và hỗ trợ tôi
trong học tập và nghiên cứu và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận
văn này.
Long Thành, Đồng Nai, năm 2020

Nguyễn Đức Hiếu

Nguyễn Đức Hiếu

1

Khóa 2017


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

1

MỤC LỤC

1

LỜI NÓI ĐẦU

6

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

11

1.1 Phép biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1

Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi ngược Fourier. . . . . 11

1.1.2

Một số tính chất của biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.3

Tích chập và biến đổi Fourier trên tích chập. . . . . . . . . . . 13

1.2 Nghiệm của phương trình truyền sóng quang học trong không gian
một chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Nghiệm của phương trình tải - khuếch tán tuyến tính. . . . . . . . . . 16
1.4 Phương pháp giải số tách bước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Mơ hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng
nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba

20

2.1 Giới thiệu về mơ hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang học với
nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Khảo sát tham số biên độ trong mơ hình truyền sóng quang học
với nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1


Luận văn Thạc sĩ

2.2.1

Chuyên ngành Toán ứng dụng

Tham số biên độ của sóng trong mơ hình truyền sóng quang
học với nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba. . . . . . . . . . . . 22

2.2.2

Mô phỏng tham số biên độ trong mơ hình truyền sóng quang
học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao phi tuyến. . . . . . 24

2.2.3

Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Khảo sát sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh giữa
hai quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu phi tuyến. . . . . . . . . 26
2.3.1

Sự thay đổi của tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh
giữa hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu phi
tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2

Mô phỏng sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm
nhanh giữa hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu
phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2.1

Sóng với hình dạng ban đầu dạng Hyperbolic . . . . 33

2.3.2.2

Sóng với hình dạng ban đầu dạng Cauchy-Lorentz
(thứ nhất) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2.3

Sóng với hình dạng ban đầu dạng Cauchy-Lorentz
(thứ hai) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.2.4

Sóng với hình dạng ban đầu dạng hình chữ nhật . . 42

2.4 Nhận xét. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Mơ hình va chạm nhanh giữa hai sóng vật chất dưới sự ảnh hưởng của
nhiễu suy hao tuyến tính và bậc hai

47

3.1 Giới thiệu mơ hình va chạm nhanh giữa hai sóng vật chất với nhiễu
suy hao tuyến tính và bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Khảo sát tham số biên độ của sóng vật chất trong mơ hình tải khuếch tán tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và bậc hai. . . . . 49
Nguyễn Đức Hiếu

2

Khóa 2017


Luận văn Thạc sĩ

3.2.1

Chuyên ngành Toán ứng dụng

Tham số biên độ của sóng vật chất trong mơ hình tải - khuếch
tán tuyến tính có nhiễu suy hao tuyến tính và bậc hai. . . . . 49

3.2.2

Mô phỏng tham số biên độ trong mơ hình tải - khuếch tan
tuyến tính dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao tuyến tính
và bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.3

Nhận xét. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Khảo sát sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh giữa

hai sóng vật chất dưới sự ảnh hưởng của nhiễu phi tuyến. . . . . . . . 53
3.3.1

Sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh giữa
hai sóng vật chất dưới sự ảnh hưởng của nhiễu phi tuyến. . . 53

3.3.2

Mô phỏng sự thay đổi của tham số biên độ gây ra do va
chạm nhanh giữa hai sóng vật chất dưới sự ảnh hưởng của
nhiễu phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.2.1

Sóng với hình dạng ban đầu dạng Hyperbolic . . . . 59

3.3.2.2

Sóng với hình dạng ban đầu dạng Cauchy-Lorentz
(thứ nhất) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3.2.3

Sóng với hình dạng ban đầu dạng Cauchy-Lorentz
(thứ hai) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.2.4

Sóng với hình dạng ban đầu dạng hình chữ nhật . . 68

3.4 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Mơ hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang học trong không gian 2
chiều với nhiễu suy hao bậc ba.

73

4.1 Giới thiệu về mơ hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang học
trong khơng gian hai chiều với nhiễu suy hao bậc ba. . . . . . . . . . 73
4.2 Mơ hình truyền sóng quang học trong không gian hai chiều . . . . . 74

Nguyễn Đức Hiếu

3

Khóa 2017


Luận văn Thạc sĩ

Chuyên ngành Toán ứng dụng

4.3 Khảo sát tham số biên độ của sóng trong mơ hình truyền sóng
quang học có nhiễu suy hao bậc ba trong khơng gian hai chiều. . . . 76
4.3.1

Tham số biên độ của sóng trong mơ hình truyền sóng quang
học có nhiễu suy hao bậc ba trong không gian hai chiều. . . . 76

4.3.2

Mơ phỏng tham số biên độ của sóng trong mơ hình truyền

sóng quang học có nhiễu suy hao bậc ba trong không gian
hai chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3.3

Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4 Khảo sát sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh giữa
hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu trong không gian
hai chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.1

Sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh giữa
hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu trong
không gian hai chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4.2

Mô phỏng sự thay đổi của tham số biên độ gây ra do va
chạm nhanh giữa hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng
của nhiễu trong không gian hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.5 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Kết luận chung

90

A Bảng số liệu chương 2

92

B Bảng số liệu chương 3

99

C Bảng số liệu chương 4

106

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG

117

Nguyễn Đức Hiếu

4

Khóa 2017


LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là Nguyễn Đức Hiếu là học viên cao học chuyên ngành Toán Ứng Dụng
với mã số học viên: 1770488 của Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM khóa 2017.
Tơi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các cơng trình khác đã
ghi rõ trong luận văn, các cơng việc trình bày trong luận văn này là do chính tơi
thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Minh Qn và tơi hồn tồn chịu
trách nghiệm tính trung thực về đề tài nghiên cứu này.
Đồng Nai ngày 25 tháng 07 năm 2020
Học viên thực hiện

Nguyễn Đức Hiếu

5


LỜI NĨI ĐẦU

Phương trình truyền sóng tuyến tính và sóng phi tuyến là một lĩnh vực rộng
lớn và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như thực tiễn [7]. Trong lĩnh vực
nghiên cứu về sóng, khái niệm soliton để chỉ một lớp nghiệm của phương trình
đạo hàm riêng như Korteweg-de Vries, Schroădinger phi tuyn [10],. . . cú tớnh chất
ổn định trong quá trình truyền tải và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh
vực khoa học hiện đại như kỹ thuật truyền tin bằng sóng quang học, các nghiên
cứu về sóng nước, sóng cơ học chất lỏng, chất rắn [1]. . . Việc phát hiện và nghiên
cứu về soliton được đánh dấu bằng sự kiện John Scott Russell quan sát hiện tượng
truyền sóng ở Edinburgh vào năm năm 1834 [7]. Năm 1973, Hasegawa và Tappert
tìm ra phương trình truyền sóng trong sợi quang dưới sự tác động của quá trình
khuếch tán và quá trình phi tuyến [6]. Phương trình sóng phi tuyến này có dạng:
i ∂z ψ + ∂2t ψ + 2|ψ|2 ψ = 0.

Phương trình này cịn gi phng trỡnh Schroădinger phi tuyn (vit tt l NLS).
Soliton trong mơ hình NLS được tạo thành do sự tác động của quá trình phi tuyến
và khuếch tán. Sự cân bằng của quá trình này giúp soliton truyền đi xa mà khơng
mất năng lượng và bảo tồn hình dạng như lúc ban đầu. Một tính chất quan trọng
khác của soliton là soliton bảo tồn hình dạng và biên độ khi va chạm với các
soliton khác [1], [5]. Từ tính chất đặc biệt này, vào năm 1980 L. F. Mollenhauer đã
thực hiện thành cơng truyền tải chuỗi soliton trong phịng thí nghiệm Bell Lab.
Thành công này, bước đầu mở ra thời kì nghiên cứu và phát triển kĩ thuật truyền
tin bằng các chuỗi soliton trong sợi quang, góp phần vào sự phát triển của mạng

lưới thông tin và kết nối bằng cáp quang trong vài chục năm gần đây.
Tuy nhiên, trên thực tế q trình truyền soliton trong mơ hình NLS chịu tác
6


Luận văn Thạc sĩ

Chuyên ngành Toán ứng dụng

động của các nhiễu suy hao như sự ảnh hưởng của quá trình tán xạ Raman, do
hấp thụ nhiều photon, hay suy hao do va chạm các soliton khác [5]. . . Đã có nhiều
nghiên cứu về ảnh hưởng của nhiễu suy hao phi tuyến đến biên độ gây ra do quá
trình va chạm giữa hai soliton trong mơ hình NLS.
Trong bài báo [4], các tác giả (Chung, Avner Peleg) thiết lập thành công biểu thức
mô tả sự thay đổi tham số biên độ của soliton gây ra do va chạm nhanh giữa hai
soliton trong mơ hình NLS một chiều dưới ảnh hưởng của nhiễu suy hao do quá
trình tán xạ Raman:
∆η(c)
0 = 2η 0 η β sgn(β)ǫR .

(1)

Trong bài báo [11], các tác giả (Avner Peleg, Nguyen M. Quan, Chung) công bố
kết quả về sự thay đổi tham số biên độ của soliton gây ra do va chạm nhanh giữa
hai soliton trong mơ hình NLS một chiều dưới ảnh hưởng của nhiễu suy hao bậc
ba:
− 2 −
−
∆η(c)
0 = −4ǫ3Wβ (z c )η 0 (z c )η β (z c )/|∆β|.

(2)

Những biểu thức này được thiết lập dựa trên mối liên quan chặt chẽ đến sự bảo
tồn hình dạng và sự truyền tải ổn định của soliton.
Tuy nhiên, đối với mơ hình truyền sóng tuyến tính mà điển hình là mơ hình
truyền sóng quang học một chiều:
∼

i ∂z ψ + i d 1 ∂t ψ − sgn(β2 )∂2t ψ = 0.

và mơ hình tải - khuếch tán tuyến tính của sóng vật chất:
∂t u = ∂2x u − v d ∂x u.

sóng khơng cịn bảo tồn hình dạng trong q trình truyền tải cũng như va chạm
với những sóng tuyến tính khác. Do đó, bài tốn nghiên cứu sự thay đổi của biên
độ của sóng trong va chạm giữa hai sóng tuyến tính dưới sự ảnh hưởng của nhiễu
phi tuyến được dự đoán cho kết quả khác hoàn toàn với kết quả trong mơ hình va
chạm nhanh giữa hai soliton dưới ảnh hưởng của nhiễu phi tuyến. Trong những
năm gần đây, bài toán này đang được quan tâm đến và thu được một số kết quả
tích cực.
Nguyễn Đức Hiếu

7

Khóa 2017


Luận văn Thạc sĩ

Chuyên ngành Toán ứng dụng

Trong bài báo [12], các tác giả (Avner Peleg, Quan M. Nguyen, Toan T. Huynh)
thiết lập thành công biểu thức mô tả sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va
chạm nhanh giữa hai sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao bậc
ba với sóng ban đầu là dạng sóng Gauss trong mơ hình truyền sóng quang học
một chiều:
∆A (c)
1 =

−2π1/2 ǫ3W20 A 1 (z c− )A 22 (z c− )
|d 1 |

(3)

.

Kết quả được mở rộng trong bài báo [13], tác giả (Nguyen M. Quan) công bố biểu
thức tính tốn sự thay đổi của tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh giữa hai
sóng quang học dưới sự ảnh hưởng của suy hao bậc cao tổng quát với sóng ban
đầu có dạng sóng Gauss trong mơ hình truyền sóng quang học một chiều:
∆A (c)
1 =−

ǫ2m+1 m
− 2(m−k)+1 −
′
b k A 2k
(z c )Nk,m M k,m
.

2 (z c )A 1
|d 1 | k=1

(4)

Trong bài báo [12], các tác giả (Avner Peleg, Quan M. Nguyen, Toan T. Huynh)
thiết lập biểu thức mô tả sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm nhanh
giữa hai sóng vật chất dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao bậc hai trong mơ
hình tải - khuếch tán tuyến tính một chiều với sóng ban đầu là dạng sóng Gauss:
(8π)1/2 ǫ2W20 A 1 (t c− )A 2 (t c− )
(c)
∆A 1 = −
.
|v d |

(5)

Những biểu thức (3), (4), (5) có sự tương đồng với biểu thức (2) mơ tả sự thay đổi
tham số biên độ gây ra do va chạm giữa hai soliton dưới tác động của nhiễu suy
hao bậc ba về các tham số cũng như tỉ lệ của các tham số trong biểu thức. Ta gọi
tính chất này là tính chất tựa soliton.
Như vậy, bài báo [12] đã chứng minh được tính chất tựa soliton trong mơ hình
va chạm giữa hai sóng quang học và hai sóng vật chất với sóng ban đầu có dạng
sóng Gauss. Điều này trái ngược với dự đoán ban đầu của chúng ta về về sự thay
đổi biên độ trong va chạm giữa hai sóng tuyến tính. Như vậy, bài tốn nghiên cứu
sự thay đổi biên độ trong va chạm giữa hai sóng tuyến tính đã có kết quả trong
hai mơ hình truyền sóng tuyến tính phổ biến là mơ hình truyền sóng quang học
và mơ hình truyền sóng vật chất với sóng ban đầu có dạng sóng Gauss. Tuy nhiên,
dạng sóng Gauss được xem là dạng sóng lý tưởng và đẹp trong nghiên cứu các mơ
Nguyễn Đức Hiếu

8

Khóa 2017


Luận văn Thạc sĩ

Chun ngành Tốn ứng dụng

hình truyền sóng tuyến tính. Vì vậy, tính phổ qt của sự thay đổi tham số biên
độ gây ra do va chạm nhanh giữa hai sóng trong mơ hình truyền sóng tuyến tính
vẫn là vấn đề còn được bỏ ngỏ.
Luận văn này sẽ chứng minh tính phổ quát của sự thay đổi biên độ của sóng
trong mơ hình truyền sóng tuyến tính bằng cách chứng minh tính phổ qt trong
hai mơ hình truyền sóng tuyến tính phổ biến là mơ hình truyền sóng quang học
và mơ hình tải-khuếch tán. Mơ hình được khảo sát với các điều kiện sóng ban đầu
khác nhau thay đổi từ sóng trơn đến sóng kém trơn và sóng khơng trơn tương ứng
với mơ hình sóng có đi sóng giảm theo hàm mũ hoặc nhanh hơn hàm mũ, sóng
có đi sóng giảm theo nghịch đảo hàm lũy thừa và sóng có dạng hình chữ nhật.
Trong [15], các tác giả (Nguyen M. Quan, Toan T. Huynh) đã nghiên cứu và
thiết lập thành công biểu thức mô tả sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va
chạm trong mô hình va chạm nhanh giữa hai soliton dưới ảnh hưởng của nhiễu
suy hao bậc cao tổng quát trong không gian hai chiều:
∆A (c)
1 = −ǫ2m+1 /I 2,10

m
k=1

− 2(m−k)+1 −
b j A 2k
(z c )P k,m .
2 (z c )A 1

(6)

Vì vậy, bài tốn mở rộng tính tổng qt của sự thay đổi tham số biên độ gây ra do
va chạm nhanh giữa hai sóng tuyến tính trong khơng gian hai chiều cũng được
đặt ra và nghiên cứu trong luận văn này. Tuy nhiên do tính phức tạp của biểu thức
đối với mơ hình trong khơng gian hai chiều và việc mở rộng mã chương trình từ
một chiều lên hai chiều khiến cho thời gian tính tốn mất nhiều thời gian nên
luận văn sẽ xem xét bài tốn này trong mơ hình va chạm giữa hai sóng quang học
dưới ảnh hưởng của nhiễu suy hao bậc ba trong không gian hai chiều với sóng
ban đầu có dạng sóng Gauss. Các mơ hình khác được các tác giả (Toan T. Huynh,
Nguyen M. Quan) nghiên cứu và trình bày trong [16].
Như vậy, luận văn này trình bày các kết quả bài báo [14] trong mơ hình truyền
sóng tuyến tính một chiều, một phần nghiên cứu [16] trong mơ hình truyền sóng
tuyến tính hai chiều. Chúng tơi thực hiện xây dựng mã chương trình Matlab để
mơ phỏng các mơ hình. Cơng cụ tính tốn được sử dụng chủ yếu trong luận
Nguyễn Đức Hiếu

9

Khóa 2017


Luận văn Thạc sĩ

Chuyên ngành Toán ứng dụng

văn là sử dụng phép biến đổi Fourier, kĩ thuật nhiễu tính tốn sự ảnh hưởng của
nhiễu suy hao đến biên độ của sóng và xây dựng mã chương trình trên phần mềm
Matlab dựa trên phương pháp giải số tách bước Fourier.
Bố cục luận văn gồm bốn chương:
Chương 1 Trình bày kiến thức cơ bản trong việc nghiên cứu luận văn gồm phép
biến đổi Fourier, nghiệm phương trình truyền sóng tuyến tính của
mơ hình truyền sóng quang học và mơ hình tải - khuếch tán, phương
pháp giải số tách bước.
Chương 2 Trình bày kết quả về sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm
nhanh giữa hai sóng quang học trong mơ hình truyền sóng tuyến tính
dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba.
Chương 3 Trình bày kết quả về sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm
nhanh giữa hai sóng vật chất trong mơ hình tải - khuếch tán tuyến
tính dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao tuyến tính và bậc hai.
Chương 4 Trình bày kết quả về sự thay đổi tham số biên độ gây ra do va chạm
nhanh giữa hai sóng quang học trong mơ hình truyền sóng tuyến tính
trong khơng gian hai chiều dưới sự ảnh hưởng của nhiễu suy hao bậc
ba.

Nguyễn Đức Hiếu

10

Khóa 2017


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Phép biến đổi Fourier.

Phép biến đổi Fourier là một cơng cụ giải tích có nhiều ứng dụng trong lĩnh
vực về lý thuyết cũng như thực tiễn: giải phương trình vi phân, phương trình đạo
hàm riêng, xác suất thống kê, vật lý lượng tử. . .
Phép biến đổi Fourier là phép biến đổi trên hàm số, biến hàm số u(x) thành
hàm số u(k) =

1
2π

+∞

u(x) exp(−i kx)d x . Tuy nhiên, một hàm số muốn có phép

−∞

biến đổi Fourier cần thỏa một số điều kiện nhất định [2]. Luận văn này nghiên
cứu về sóng trong mơ hình truyền sóng tuyến tính. Do đó, ta chỉ xét một điều
kiện để hàm số u(x) có phép biến đổi Fourier [2]:
+∞
−∞

|u(x)|d t < ∞.

Để tránh lặp lại điều kiện để hàm số có phép biến đổi Fourier, nếu khơng chú
thích gì thêm ta hiểu các hàm số đang xét trong luận văn đều có phép biến đổi
Fourier.

1.1.1

Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi ngược Fourier.

Định nghĩa 1.1.1. Phép biển đổi Fourier của hàm số u(x) là hàm số u(k) kí hiệu
F [u(x)] được định nghĩa bằng biểu thức:
u(k) = F [u(x)] =

+∞

1
2π

u(x) exp(−i kx)d x.

−∞

Định nghĩa 1.1.2. Phép biến đổi ngược Fourier của u(k) là hàm số u(x) kí hiệu
11


Luận văn Thạc sĩ

Chuyên ngành Toán ứng dụng

F −1 [u(k)] được định nghĩa bằng biểu thức:
u(x) = F −1 [u(k)] =

1.1.2

+∞

1
2π

u(k) exp(i kx)d k.

−∞

Một số tính chất của biến đổi Fourier.

Định lý 1.1.3. Biến đổi Fourier có tính chất tuyến tính với hàm số u(x), v(x) và a, b
là hai số thực bất kì, ta có:
F [au(x) + bv(x)] = aF [u(x)] + bF [v(x)].

Chứng minh. Ta có:
aF [u(x)] + bF [v(x)] = a
=

+∞

1
2π

−∞
+∞

1
2π

−∞

u(x) exp(−i kx)d x + b

1
2π

+∞

v(x) exp(−i kx)d x

−∞

[au(x) + bv(x)] exp(−i kx)d x

= F [au(x) + bv(x)].

Định lý 1.1.4. Hàm số u(x) có đạo hàm u ′ (x), thỏa tính chất u(x) → 0 khi x → ±∞.

Khi đó:

(1.1)

F [u ′ (x)] = i kF [u(x)].

Chứng minh. Ta có:
F [u ′ (x)] =
=
=

1
2π
1
2π
ik
2π

+∞

u ′ (x) exp(−i kx)d x

−∞

u(x) exp(−i kx)
+∞

+∞
−∞ + i k

+∞

u(x) exp(−i kx)d x

−∞

u(x) exp(−i kx)d x

−∞

= i kF [u(x)].

Dấu = thứ ba do u(x) → 0 khi x → ±∞.

Hệ quả 1.1.5. Hàm số u(x) có đạo hàm đến cấp n . Nếu u(x) → 0 khi x → ±∞,

u (m) (x) → 0 khi x → ±∞ với 1 ≤ m ≤ n − 1. Khi đó:

F [u (n) (x)] = (i k)n F [u(x)].
Nguyễn Đức Hiếu

12

(1.2)
Khóa 2017


Luận văn Thạc sĩ

Chuyên ngành Toán ứng dụng

Chứng minh. Áp dụng định lý (1.1.4), ta có:
F [u (n) (x)] = (i k)F [u (n−1) (x)] = (i k)2 F [u (n−2) (x)] = . . . = (i k)n F [u(x)].

1.1.3

Tích chập và biến đổi Fourier trên tích chập.

Định nghĩa 1.1.6. Tích chập của hàm số u(x) và v(x) là một hàm số kí hiệu u(x)∗ v(x)
được định nghĩa bằng biểu thức:

+∞

1

u(x)∗ v(x) =

2π

−∞

(1.3)

u(x − ξ)v(ξ)d ξ.

Định lý 1.1.7. Cho hàm số u(x), v(x). Khi đó:
(1.4)

F [u(x)∗ v(x)] = F [u(x)]F [v(x)].

Chứng minh. Ta có:
∗

+∞

1

1

+∞

u(x − ξ)v(ξ)d ξ exp(−i kx)d x
2π −∞
2π −∞
+∞
1 +∞
=
v(ξ) exp(−i ξk)
u(x − ξ) exp [−i (x − ξ)k] d xd ξ
2π −∞
−∞
+∞
1
=
v(ξ) exp(−i ξk)d ξF [u(x)]
2π −∞

F [u(x) v(x)] =

= F [u(x)]F [v(x)].

Định lý 1.1.8. (Cơng thức Parseval) Cho hàm số u(x) có phép biến đổi Fourier là
u(k). Khi đó:
+∞
−∞

|u(x)|2 d x =

+∞
−∞

|u(k)|2 d k.

(1.5)

Chứng minh. Áp dụng định lý (1.1.7):
v(x)∗ u(x) = F −1 [v(k)u(k)] ⇔

Thay x = 0 vào biểu thức (1.6):
+∞
−∞

Nguyễn Đức Hiếu

+∞
−∞

v(x − ξ)u(ξ)d ξ =

v(−ξ)u(ξ)d ξ =

13

+∞

+∞

v(k)u(k) exp(i kx)d k. (1.6)

−∞

v(k)u(k)d k.

(1.7)

−∞

Khóa 2017


Luận văn Thạc sĩ

Chuyên ngành Toán ứng dụng

Chọn v(x) = u(−x)∗ với u(−x)∗ là số phức liên hợp của u(−x). Khi đó:
v(k) =

+∞

1
2π

−∞

v(x) exp(−i kx)d x =
=

+∞

1

u(−x)∗ . exp(i kx)∗ d x

2π
1

−∞
+∞

2π

−∞

u(x) exp(−i kx)d x

∗

(1.8)

= u(k)∗ .

Thay (1.8) vào (1.7):
+∞
−∞

1.2

u(ξ)∗ .u(ξ)d ξ =

+∞
−∞

u(k)∗ .u(k)d k ⇔

+∞
−∞

|u(x)|2 d x =

+∞
−∞

|u(k)|2 d k.

Nghiệm của phương trình truyền sóng quang học trong khơng
gian một chiều.

Phương trình truyền sóng quang học trong khơng gian một chiều có dạng:
∼

i ∂z ψ + i d 1 ∂t ψ − sgn(β2 )∂2t ψ = 0,
∼

với d1 và β2 là các tham số thực.
Đây là mơ hình truyền sóng tuyến tính mà ta xét ở chương 2. Khảo sát nghiệm
của phương trình này, ta thấy được sự thay đổi biên độ của sóng khi khơng có sự
ảnh hưởng của nhiễu. Cơng thức nghiệm của phương trình là cơ sở của phương
pháp nhiễu trong việc tính tốn sự thay đổi tham số biên độ của sóng trong mơ
hình truyền sóng quang học có nhiễu và mơ hình va chạm giữa hai sóng quang
học có nhiễu.
Định lý 1.2.1. Xét phương trình đạo hàm riêng:

∼

(1.9)

i ∂z ψ + i d 1 ∂t ψ − sgn(β2 )∂2t ψ = 0,

với điều kiện ban đầu ψ(t , 0) và d1 , β2 là các tham số thực.
Nghiệm của phương trình (1.9) có dạng:
ψ(t , z) =

Nguyễn Đức Hiếu

exp(i π/4)

+∞

1/2
∼
−∞
4πsgn(β2 )z

ψ(ξ, 0) exp

14




2
−i

(t
−
d
z
−
ξ)
1


∼

4sgn(β2 )z

d ξ.

(1.10)

Khóa 2017


Luận văn Thạc sĩ

Chuyên ngành Toán ứng dụng

Chứng minh. Ta viết lại phương trình (1.9) dưới dạng:
∼

∂z ψ = −d 1 ∂t ψ − i sgn(β2 )∂2t ψ.

(1.11)

Thực hiện phép biến đổi Fourier cho phương trình (1.11) theo ẩn t :
∼

∂z ψ = −d 1 i k ψ + i k 2 sgn(β2 )ψ.

(1.12)

Giải phương trình (1.12):
∼

−d 1 i k + i k 2 sgn(β2 ) z .

ψ(k, z) = ψ(k, 0) exp

(1.13)

Áp dụng định lý (1.1.7) của tích chập, nghiệm phương trình (1.9) được viết dưới
dạng:
ψ(t , z) =

với g (k, z) = exp

+∞

1
2π
∼

−d 1 i k + i k 2 sgn β2

(1.14)

ψ(ξ, 0)g (t − ξ, z)d ξ,

−∞

z .

g (t , z) được xác định bằng phép biến đổi Fourier ngược:
g (t , z) =

1
2π

Khi đó:
g (t , z) =
=

+∞

1
2π

−∞

+∞

g (k, z) exp(i kt )d k.

−∞

∼

exp i z sgn(β2 )k 2 + i (t − d 1 z)k d k


2

exp(i π/4)

 −i (t − d 1 z) 
exp

.
∼
1/2
∼
4 sgn β2 z
2sgn β2 z

Dấu = thứ ba trong (1.15) do công thức

+∞
−∞ exp

(1.15)

i (ax 2 + bx) d x = exp(−i b 2 /4a) i π/a .

Thay g (t , z) ở phương trình (1.15) vào phương trình (1.14), ta thu được cơng thức
nghiệm của phương trình (1.9):
ψ(t , z) =

+∞

exp (i π/4)
∼

4π sgn β2 z

1/2

−∞





2
 −i (t − d 1 z − ξ) 
ψ(ξ, 0) exp 
 d ξ.
∼
4 sgn β2 z

Nghiệm của phương trình (1.9) có tính chất bảo toàn năng lượng.
Định lý 1.2.2. Với ψ(t , z) là nghiệm của phương trình (1.9). Khi đó:
+∞
−∞

Nguyễn Đức Hiếu

|ψ(t , z)|2 d t =
15

+∞
−∞

|ψ(t , 0)|2 d t .

(1.16)
Khóa 2017


Luận văn Thạc sĩ

Chuyên ngành Toán ứng dụng

Chứng minh. Áp dụng cơng thức Parseval, ta có:
+∞
−∞

|ψ(t , z)|2 d t =

+∞
−∞

|ψ(k, z)|2 d k =
=

=

−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞

ψ(k, 0) exp

∼

−d 1 i k + i k 2 sgn(β2 ) z

2

dk

|ψ(k, 0)|2 d k
|ψ(t , 0)|2 d t .

(1.17)

Dấu = thứ hai trong (1.17) do biểu thức (1.13) và dấu = thứ tư do áp dụng cơng
thức Parseval.

1.3

Nghiệm của phương trình tải - khuếch tán tuyến tính.

Phương trình tải - khuếch tán tuyến tính của sóng vật chất có dạng:
∂t u = ∂2x u − v d ∂x u,

với v d là tham số thực.
Đây là mơ hình truyền sóng tuyến tính mà ta xem xét ở chương 3. Khảo sát
nghiệm của phương trình này, ta thấy được sự thay đổi biên độ của sóng vật chất
khi khơng có sự ảnh hưởng của nhiễu. Cơng thức nghiệm của phương trình là cơ
sở của phương pháp nhiễu trong việc tính tốn sự thay đổi tham số biên độ của
sóng vật chất trong mơ hình tải - khuếch tán tuyến tính có nhiễu và mơ hình va
chạm giữa hai sóng vật chất có nhiễu.
Định lý 1.3.1. Xét phương trình đạo hàm riêng:
∂t u = ∂2x u − v d ∂x u,

(1.18)

với điều kiện ban đầu u(x, 0) và v d là tham số thực.
Nghiệm của phương trình (1.18) có dạng:
u(x, t ) =

1
4πt

+∞
−∞

−(x − t v d − ξ)2
d ξ.
u(ξ, 0) exp
4t

(1.19)

Chứng minh. Thực hiện phép biến đổi Fourier cho (1.18) theo biến x :
∂t u(k, t ) = (−k 2 − i kv d )u(k, t ).
Nguyễn Đức Hiếu

16

(1.20)
Khóa 2017


Luận văn Thạc sĩ

Chun ngành Tốn ứng dụng

Giải phương trình (1.20):
(1.21)

u(k, t ) = u(k, 0) exp[(−k 2 − i kv d )t ].

Áp dụng định lý (1.1.7), nghiệm của phương trình (1.18) được viết dưới dạng:
u(x, t ) =

+∞

1
2π

−∞

với g (k, t ) = exp[(−k 2 − i kv d )t ].

(1.22)

u(ξ, 0)g (x − ξ, t )d ξ,

g (x, t ) được xác định bằng phép biến đổi Fourier ngược:
g (x, t ) =

+∞

1
2π

−∞

1

g (k, t ) exp(i kx)d k =

2π
1

với a, b là các số thực và a > 0.

−∞

exp −t k 2 + i (x − t v d )k d k

−(x − t v d )2
exp
.
4t
2t

=

Dấu = thứ ba trong (1.23) do công thức

+∞

+∞
2
−∞ exp(−ax + bx)d x

(1.23)

= exp(b 2 /4a) π/a

Thay g (x, t ) từ phương trình (1.23) vào phương trình (1.22), ta thu được cơng thức
nghiệm tổng qt của phương trình (1.18):
+∞

1

u(x, t ) =

4πt

−∞

−(x − t v d − ξ)2
d ξ.
u(ξ, 0) exp
4t

Nghiệm của phương trình (1.18) có tính chất bảo toàn khối lượng.
Định lý 1.3.2. Với u(x, t ) là nghiệm của phương trình (1.18) và u(x, t ) là hàm sóng
có đi sóng phân rã nhanh. Khi đó:
+∞
−∞

u(x, t )d x =

+∞

u(x, 0)d x.

(1.24)

−∞

Chứng minh. Ta lấy tích phân từ −∞ đến +∞ ở phương trình (1.18):
∂t

+∞
−∞

ud x =

+∞
−∞

∂2x ud x − v d

+∞
= ∂x u|+∞
−∞ − v d u|−∞

+∞
−∞

∂x ud x

= 0.

(1.25)

Dấu = thứ ba trong (1.25) do u(x, t ) là hàm sóng với đi sóng phân rã nhanh.

Như vậy, giá trị

+∞
−∞ u(x, t )d x

không phụ thuộc vào thời gian. Do đó:

+∞

−∞

Nguyễn Đức Hiếu

u(x, t )d x =
17

+∞

u(x, 0)d x.

−∞

Khóa 2017


Luận văn Thạc sĩ

1.4

Chuyên ngành Toán ứng dụng

Phương pháp giải số tách bước.

Phương pháp giải số tách bước áp dụng tốt cho phương trình có dạng:
(1.26)

ϕt = (L + N )ϕ.

trong đó N , L lần lượt là tốn tử tuyến tính và tốn tử phi tuyến.
Giả sử tốn tử N và L độc lập với thời gian t , nghiệm của phương trình (1.26) có
dạng:
(1.27)

ϕ(x, t + ∆t ) = exp [∆t (L + N )] ϕ(x, t ).

trong đó ∆t là bước thời gian.
Phương trình tuyến tính ϕt = L ϕ và phương trình phi tuyến ϕt = N ϕ có nghiệm
lần lượt là:

ϕ(x, t + ∆t ) = exp(∆t L )ϕ(x, t ),

(1.28)

ϕ(x, t + ∆t ) = exp(∆t N )ϕ(x, t ).

(1.29)

và

Giả sử nghiệm (1.27) khó để xấp xỉ. Tuy nhiên, nghiệm (1.28) và (1.29) có thể xấp xỉ
đơn giản hơn. Phương pháp tách bước xấp xỉ nghiệm (1.27) bằng việc xấp xỉ toán
tử exp [∆t (L + N )] thành dãy là tích các tốn tử mũ dạng exp(∆t L ) và exp(∆t N ):
exp [∆t (L + N )] = exp(βn ∆t N ) exp(αn ∆t L ) . . . exp(β1 ∆t N ) exp(α1 ∆t L ),

(1.30)

với các hệ số βn , αn , . . . , β1 , α1 là các số thực.
Các hệ số βn , αn , . . . , β1 , α1 được chọn sao cho sai số của việc sử dụng phương

pháp tách bước giảm xuống nhỏ nhất. Việc này được tính dựa trên khai triển
Baker-Campbell-Hausdorf [18].
Theo Yang [17], ta xét các xấp xỉ bậc 1, bậc 2 và bậc 4 của phương pháp tách
bước.
Dạng bậc 1, toán tử exp [∆t (L + N )] được xấp xỉ thành:
ϕ1 (∆t ) = exp(∆t N ) exp(∆t L ).

(1.31)

Sử dụng dạng bậc 1 của phương pháp tách bước, ta thực hiện qua hai bước:
Nguyễn Đức Hiếu

18

Khóa 2017


Luận văn Thạc sĩ

Chun ngành Tốn ứng dụng

Bước 1: Tìm nghiệm trung gian, nghiệm này được tính bằng cơng thức nghiệm ở
phương trình tuyến tính (1.28).
Bước 2: Sử dụng nghiệm trung gian để làm điều kiện ban đầu và sau đó áp dụng
cơng thức giải nghiệm phương trình phi tuyến (1.29). Kết quả thu được
là nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.26).
Dạng bậc 2, tốn tử exp [∆t (L + N )] được xấp xỉ thành:
ϕ2 (∆t ) = exp(0.5∆t L ) exp(∆t N ) exp(0.5∆t L ).

(1.32)

Dạng bậc 4, toán tử exp [∆t (L + N )] được xấp xỉ thành:
ϕ4 (∆t ) = ϕ2 (ω∆t )ϕ2 [(1 − 2ω)∆t ] ϕ2 (ω∆t ),

(1.33)

với ω = (2 + 21/3 + 2−1/3 )/3.

Nếu ta khai triển (1.33) dưới dạng (1.30), các hệ số β4 , α4 , . . . , β1 , α1 được xác định:
β4 = 0,
β3 = ω,
β2 = 1 − 2ω,
β1 = ω,
1
1
1
1
α4 = ω, α3 = (1 − ω), α2 = (1 − ω), α1 = ω.
2
2
2
2

(1.34)

Sai số khi sử dụng phương pháp tách bước giảm đến bậc O(∆t n+1 ) nếu ta xấp xỉ
toán tử exp(∆t (L + N )) trong (1.30) bởi 2n số βn αn , . . . , β1 , α1 [17]. Điều kiện ổn

định trong việc giải số bằng phương pháp tách bước [17], ta chọn ∆z , ∆t thỏa
mãn điều kiện:

∆z
1
< .
2
∆t
π

Nguyễn Đức Hiếu

19

Khóa 2017


Chương 2
Mơ hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang học dưới sự ảnh
hưởng nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba

2.1

Giới thiệu về mơ hình va chạm nhanh giữa hai sóng quang học
với nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba.

Mơ hình động lực của va chạm nhanh giữa hai sóng quang học trong ống
quang dẫn với nhiễu suy hao tuyến tính và bậc ba [14]:
∼

i ∂z ψ1 − sgn(β2 )∂2t ψ1 = −i ǫ1 ψ1 − i ǫ3 |ψ1 |2 ψ1 − 2i ǫ3 |ψ2 |2 ψ1 ,
∼

i ∂z ψ2 + i d 1 ∂t ψ2 − sgn(β2 )∂2t ψ2 = −i ǫ1 ψ2 − i ǫ3 |ψ2 |2 ψ2 − 2i ǫ3 |ψ1 |2 ψ2 ,

(2.1)

(2.2)

trong đó ψ1 và ψ2 là sóng 1 và sóng 2, z là khoảng cách truyền sóng, t là thời gian,
∼

d 1 là hệ số vận tốc nhóm, β2 là hệ số khuếch tán bậc hai, ǫ1 và ǫ3 là hệ số suy hao

tuyến tính và bậc ba thỏa điều kiện 0 < ǫ1 << 1 và 0 < ǫ3 << 1.
∼

∼

Số hạng −sgn(β2 )∂2t ψ1 , −sgn(β2 )∂2t ψ2 mô tả q trình khuếch tán, số hạng i d1 ∂t ψ2

mơ tả sự chêch lệch vận tốc nhóm giữa hai sóng. Số hạng −i ǫ1 ψ1 , −i ǫ1 ψ2 mô tả
ảnh hưởng của nhiễu suy hao tuyến tính lên bản thân sóng, các số hạng cịn lại
ở vế phải phương trình (2.1), (2.2) mơ tả ảnh hưởng của nhiễu suy hao bậc ba lên
bản thân sóng và của va chạm lên bản thân sóng.
Ta xét mơ hình này dưới giả định ảnh hưởng của quá trình phi tuyến là yếu
như vậy các số hạng mô tả ảnh hưởng phi tuyến bị lược bỏ. Hơn nữa, ta giả định
ảnh hưởng của suy hao bậc cao là yếu, do đó ta lược bỏ các số hạng có bậc cao
hơn bậc của ǫ1 , ǫ3 . Tuy nhiên, ảnh hưởng của suy hao bậc cao tổng quát đối với
20