Chẩn đoán vết nứt trong kết cấu thanh, dầm dựa trên phương trình tần số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
–––––––––––––––––––––––––––––

Phạm Thị Ba Liên

CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG KẾT CẤU THANH, DẦM
DỰA TRÊN PHƢƠNG TRÌNH TẦN SỐ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ
NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - Năm 2022


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ
CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
–––––––––––––––––––––––––––––

Phạm Thị Ba Liên

CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG KẾT CẤU
THANH, DẦM DỰA TRÊN PHƢƠNG TRÌNH

TẦN SỐ
Chuyên ngành : Cơ kỹ thuật
Mã số

: 9 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ
NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS. TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm
2. TS. Nguyễn Minh Tuấn

Hà Nội - Năm 2022


i

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết
quả nêu trong luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai cơng bố trong bất kỳ cơng
trình nào khác.
Tác giả luận án

Phạm Thị Ba Liên


ii
LỜI CÁM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hƣớng dẫn khoa học là GS.
TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm và TS. Nguyễn Minh Tuấn đã tận tâm hƣớng dẫn khoa

học, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án này.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Nhà khoa học, Học viện
Khoa học và Công nghệ, Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học và công nghệ Việt
Nam, Trƣờng Đại học Giao thông Vận tải đã quan tâm, giúp đỡ và tạo điều kiện
thuận lợi trong q trình thực hiện luận án.
Cuối cùng tơi xin chân thành cám ơn tới bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã
động viên, ủng hộ tác giả trong quá trình thực hiện luận án.


iii
MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN............................................................................................................ i
LỜI CAM ĐOAN...................................................................................................... i
MỤC LỤC...............................................................................................................iii
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ CÁI VIẾT TẮT...................................................... v
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ........................................................................................................ vi
DANH MỤC BẢNG................................................................................................. x
MỞ ĐẦU................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.....................................3
1.1. Bài toán chẩn đoán hƣ hỏng kết cấu................................................................. 3
1.2. Chẩn đoán vết nứt trong kết cấu thanh, dầm bằng tần số riêng........................... 6
1.3. Tần số phản cộng hƣởng và ứng dụng............................................................... 9
1.4. Đặt vấn đề và nội dung nghiên cứu của luận án............................................... 13
CHƢƠNG 2. DAO ĐỘNG DỌC TRỤC CỦA THANH CÓ NHIỀU VẾT NỨT...16
2.1. Phƣơng trình tần số dao động dọc trục của thanh có nhiều vết nứt..................16
2.1.1. Hàm dạng dao động dọc trục tổng quát trong thanh có nhiều vết nứt...........16
2.1.2. Phương trình tần số dao động dọc trục trong thanh có nhiều vết nứt...........20
2.1.3. Kết quả số và thảo luận................................................................................. 24
2.2. Công thức Rayleigh trong dao động dọc trục của thanh có nhiều vết nứt........33
2.2.1. Cơng thức Rayleigh của thanh có nhiều vết nứt............................................ 34

2.2.2. Tính tốn tần số riêng của thanh có nhiều vết nứt bằng cơng thức Rayleigh 36
2.2.3. Kết quả minh họa số...................................................................................... 39
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2....................................................................................... 43
CHƢƠNG 3. CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG THANH BẰNG TẦN SỐ PHẢN
CỘNG HƢỞNG..................................................................................................... 44
3.1. Phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng của thanh có vết nứt............................ 44
3.1.1. Hàm đáp ứng tần số của thanh có nhiều vết nứt........................................... 44
3.1.2. Phương trình tần số phản cộng hưởng của thanh có nhiều vết nứt...............46
3.1.3. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số phản cộng hưởng của thanh....................48
3.2. Chẩn đoán vết nứt trong thanh bằng tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng .. 53


iv
3.2.1. Phương trình và thuật tốn chẩn đốn.......................................................... 53
3.2.2. Kết quả thử nghiệm số................................................................................... 56
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3....................................................................................... 61
CHƢƠNG 4. CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG DẦM ĐÀN HỒI BẰNG TẦN SỐ

PHẢN CỘNG HƢỞNG......................................................................................... 62
4.1. Phƣơng trình tần số dao động uốn của dầm có nhiều vết nứt........................... 62
4.1.1. Hàm dạng dao động uốn tổng quát trong dầm có nhiều vết nứt....................62
4.1.2. Phương trình tần số dao động uốn trong dầm có nhiều vết nứt.....................64
4.1.3. Kết quả số và thảo luận................................................................................. 67
4.2. Tần số phản cộng hƣởng của dầm có vết nứt................................................... 71
4.2.1. Hàm đáp ứng tần số trong dao động uốn của dầm đàn hồi có vết nứt..........71
4.2.2. Phương trình tần số phản cộng hưởng của dầm có vết nứt...........................73
4.2.3. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số phản cộng hưởng của dầm đàn hồi.........77
4.3. Chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng tần số phản cộng hƣởng...........................84
4.3.1. Thuật toán chẩn đoán.................................................................................... 84
4.3.2. Kết quả thử nghiệm số................................................................................... 87

KẾT LUẬN CHƢƠNG 4....................................................................................... 95
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ................................................................................. 96
DANH MỤC CÁC CÔNG BỐ KHOA HỌC.......................................................... 97
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................... 98
PHỤ LỤC.............................................................................................................. 105


v
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ CÁI VIẾT TẮT
2

A

Diện tích mặt cắt ngang (m )

a

Chiều sâu của vết nứt (m)

b

Chiều rộng mặt cắt ngang (m)

E

Mô đun đàn hồi của vật liệu thanh, dầm (GPa)

ej

Tỷ số vị trí vết nứt tại vị trí xj

h

Chiều cao mặt cắt ngang (m)

H

Ma trận hàm đáp ứng tần số

I

Mơ men qn tính hình học mặt cắt ngang (m )

L

Chiều dài của thanh, dầm (m)

K

Ma trận độ cứng động

xj

Vị trí vết nứt (m)

ν

Hệ số Poission của vật liệu

0,0

Tham số điều kiện biên tại đầu trái của kết cấu

1,1

Tham số điều kiện biên tại đầu phải của kết cấu



Tham số độ lớn vết nứt (gọi tắt là độ lớn vết nứt)



Tham số tần số cộng hƣởng (tần số cộng hƣởng)



Tham số tần số phản cộng hƣởng (tần số phản cộng hƣởng)

j

Tham số vết nứt



Khối lƣợng riêng (kg/m3)

(x)

Dao động của kết cấu thanh, dầm



Tần số cộng hƣởng (rad/s)



Tần số phản cộng hƣởng (rad/s)

4


vi
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 2.1. Mơ hình vết nứt trong thanh.................................................................... 16
Hình 2.2. So sánh kết quả tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ nhất của thanh hai
đầu ngàm có 9 vết nứt cùng chiều sâu..................................................................... 25
Hình 2.3. So sánh kết quả tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai của thanh hai
đầu ngàm có 9 vết nứt có cùng chiều sâu................................................................ 26
Hình 2.4. So sánh kết quả tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ ba của thanh hai
đầu ngàm có 9 vết nứt có cùng chiều sâu................................................................ 26
Hình 2.5. So sánh kết quả tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ nhất cho thanh một
đầu ngàm một đầu tự do có 8 vết nứt có cùng chiều sâu......................................... 27
Hình 2.6. So sánh kết quả tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai cho thanh một
đầu ngàm một đầu tự do có 8 vết nứt có cùng chiều sâu......................................... 27
Hình 2.7. So sánh kết quả tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ ba cho thanh một
đầu ngàm một đầu tự do có 8 vết nứt có cùng chiều sâu......................................... 28
Hình 2.8. So sánh kết quả tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ nhất cho thanh hai
đầu tự do có 4 vết nứt có cùng chiều sâu................................................................. 28
Hình 2.9. So sánh kết quả tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai cho thanh hai

đầu tự do có 4 vết nứt có cùng chiều sâu................................................................. 29
Hình 2.10. So sánh kết quả tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ ba cho thanh hai
đầu tự do có 4 vết nứt có cùng chiều sâu................................................................. 29
Hình 2.11. Sự thay đổi của tỷ số tần số cộng hƣởng thứ nhất của thanh một

đầu

ngàm một đầu tự do theo vị trí của vết nứt (10% –50%)......................................... 30
Hình 2.12. Sự thay đổi của tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai của thanh một đầu ngàm
một đầu tự do theo vị trí vết nứt (10% –50%)......................................................... 31
Hình 2.13. Sự thay đổi của tỷ số tần số cộng hƣởng thứ ba của thanh một đầu ngàm
một đầu tự do theo vị trí của vết nứt (10% –50%)................................................... 31
Hình 2.14. Sự thay đổi của tỷ số tần số cộng hƣởng thứ nhất của thanh hai đầu tự do
theo vị trí vết nứt (10% –50%)................................................................................ 32
Hình 2.15. Sự thay đổi của tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai của thanh hai đầu tự do
theo vị trí của vết nứt (10% –50%).......................................................................... 32


vii
Hình 2.16. Sự thay đổi của tỷ số tần số cộng hƣởng thứ ba của thanh hai đầu tự do
theo vị trí của vết nứt (10% –50%).......................................................................... 33
Hình 2.17. Tỷ số tần số cộng hƣởng thứ nhất thanh một đầu ngàm một đầu tự do. . 39

Hình 2.18. Tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai của thanh một đầu ngàm một đầu tự do
40
Hình 2.19. Tỷ số tần số cộng hƣởng thứ ba của thanh một đầu ngàm một đầu tự do.
40
Hình 2.20. Tỷ số tần số cộng hƣởng thứ nhất của thanh hai đầu tự do...................41
Hình 2.21. Tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai của thanh hai đầu tự do.....................41
Hình 2.22. Tỷ số tần số cộng hƣởng thứ ba của thanh hai đầu tự do...................... 42

Hình 3.1. Tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ nhất của thanh một đầu ngàm một đầu
tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt........................................................ 51
Hình 3.2. Tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ hai của thanh một đầu ngàm một đầu tự

do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt............................................................ 51
Hình 3.3. Tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ ba của thanh một đầu ngàm một đầu tự

do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt............................................................ 52
Hình 3.4. Tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ nhất của thanh hai đầu tự do phụ thuộc
vào vị trí và chiều sâu vết nứt.................................................................................. 52
Hình 3.5. Tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ hai của thanh hai đầu tự do phụ thuộc
vào vị trí và chiều sâu vết nứt.................................................................................. 52
Hình 3.6. Tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ ba của thanh hai đầu tự do phụ thuộc
vào vị trí và chiều sâu vết nứt.................................................................................. 53
Hình 3.7. Sơ đồ thuật tốn chẩn đốn vết nứt trong thanh bằng phƣơng trình tần số
cộng hƣởng và phản cộng hƣởng........................................................................... 54
Hình 3.8. Vị trí vết nứt cho thanh một đầu ngàm một đầu tự do bằng phƣơng trình
tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng tại vị trí 0.75............................................ 58
Hình 3.9. Vị trí vết nứt cho thanh một đầu ngàm một đầu tự do bằng phƣơng trình
tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng tại một vị trí 0.5......................................58
Hình 3.10. Vị trí vết nứt cho thanh một đầu ngàm một đầu tự do bằng phƣơng trình
tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng tại vị trí 0.25............................................ 59
Hình 4.1. Mơ hình dầm có nhiều vết nứt................................................................. 62


viii
Hình 4.2. Tỷ số tần số riêng của dầm cơng – xôn c

ba vết nứt phụ thuộc vào chiều

sâu vết nứt đƣợc tính từ các phƣơng trình xấp x và phƣơng trình chính xác........69
Hình 4.3. Tỷ số tần số riêng của dầm cơng – xơn c

chín vết nứt phụ thuộc vào

chiều sâu vết nứt đƣợc tính từ các phƣơng trình xấp x và phƣơng trình chính xác . 70

Hình 4.4. Tỷ số tần số riêng của dầm công – xôn c

mƣời chín vết nứt phụ thuộc

chiều sâu vết nứt đƣợc tính từ các phƣơng trình xấp x và phƣơng trình chính xác . 70

Hình 4.5. Sự phụ thuộc của tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ nhất tính tốn cho
dầm cơng xơn vào vị trí và chiều sâu vết nứt (điểm đo tại đầu tự do).....................78
Hình 4.6. Sự phụ thuộc của tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ hai tính tốn cho dầm
cơng xơn vào vị trí và chiều sâu vết nứt (điểm đo tại đầu tự do)............................. 78
Hình 4.7. Sự phụ thuộc của tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ ba tính tốn cho dầm
cơng xơn vào vị trí và chiều sâu vết nứt (điểm đo tại đầu tự do)............................. 79
Hình 4.8. Tỷ số tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng thứ nhất tính tốn cho dầm
tựa đơn phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt (điểm đo tại giữa dầm)...............79
Hình 4.9. Sự thay đổi của tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ nhất do vết nứt phụ
thuộc vào vị trí đặt lực khi vị trí vết nứt khác nhau tính tốn cho dầm cơng xơn với
chiều sâu vết nứt 40%............................................................................................. 80
Hình 4.10. Sơ đồ thuật toán chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng phƣơng trình tần số
phản cộng hƣởng.................................................................................................... 85
Hình 4.11. Chẩn đốn một vết nứt trong dầm cơng xơng bằng các tần số phản cộng
hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 10 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 15..............87
Hình 4.12. Chẩn đốn một vết nứt trong dầm cơng xông bằng các tần số phản cộng
hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 13 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 15..............87

Hình 4.13. Chẩn đốn một vết nứt trong dầm công xông bằng các tần số phản cộng
hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 14 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 15..............88
Hình 4.14. Kết quả chẩn đốn một vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản
cộng hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 15 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 15. Vết
nứt thực tại e = 0.2 có chiều sâu a/h=10%............................................................... 88
Hình 4.15. Chẩn đốn một vết nứt trong dầm cơng xơn bằng các tần số phản cộng
hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 10 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 20..............89


ix
Hình 4.16. Chẩn đốn một vết nứt trong dầm cơng xôn bằng các tần số phản cộng
hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 16 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 20..............89
Hình 4.17. Chẩn đốn một vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng
hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 18 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 20..............90
Hình 4.18. Kết quả chẩn đốn một vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản
cộng hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 20 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 20. Vết
nứt thực tại e =0.5 có chiều sâu a/h=30%................................................................ 90
Hình 4.19. Chẩn đốn ba vết nứt trong dầm cơng xơn bằng các tần số phản cộng
hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 10 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 20..............91
Hình 4.20. Chẩn đốn ba vết nứt trong dầm cơng xôn bằng các tần số phản cộng
hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 16 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 20..............91
Hình 4.21. Chẩn đốn ba vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng
hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 18 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 20..............92
Hình 4.22. Kết quả chẩn đốn ba vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản
cộng hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 20 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 20......92
Hình 4.23. Chẩn đốn ba vết nứt trong dầm cơng xơn bằng các tần số phản cộng
hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 10 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 20..............93
Hình 4.24. Chẩn đốn ba vết nứt trong dầm cơng xôn bằng các tần số phản cộng
hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 16 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 20..............93
Hình 4.25. Chẩn đốn ba vết nứttrong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng

hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 18 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 20..............94
Hình 4.26. Kết quả chẩn đốn ba vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản
cộng hƣởng với số lƣợng điểm đo bằng 20 và số lƣợng vết nứt giả thiết là 20. Vết
nứt thực tại các vị trí e = 0.2;0.5; 0.9 có chiều sâu tƣơng ứng là a/h=30%;20%;50%.
94


x
DANH MỤC BẢNG
Bảng 2.1. Các tham số tƣơng ứng với một số điều kiện biên..................................17
Bảng 2.2. Các nút của tần số riêng trong thanh với các điều kiện biên................... 33
Bảng 2.3. Tần số riêng và dạng riêng thanh không nứt với điều kiện biên..............35
Bảng 3.1. Tỷ số tần số phản cộng hƣởng tính tốn cho thanh khơng nứt và thanh
nứt so với giá trị đo................................................................................................. 49
Bảng 3.2. Các hàm số và tham số của phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng của
thanh với các điều kiện biên.................................................................................... 49
Bảng 3.3. So sánh kết quả chẩn đoán hai vết nứt của thanh hai đầu tự do bằng các
phƣơng trình xấp x bậc nhất và phƣơng trình chính xác phi tuyến tính cho các tần
số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng....................................................................... 60
Bảng 4.1. So sánh các tần số cộng hƣởng tính đƣợc bằng các phƣơng trình đặc
trƣng chính xác và các xấp x cho dầm công - xôn c hai vết nứt............................ 67
Bảng 4.2. So sánh các tần số cộng hƣởng tính đƣợc bằng các phƣơng trình đặc
trƣng chính xác và các xấp x cho dầm công - xôn c ba vết nứt............................. 68
Bảng 4.3. Điều kiện biên và các đạo hàm................................................................ 73
Bảng 4.4. Tần số phản cộng hƣởng thứ nhất của dầm tựa đơn...............................81
Bảng 4.5. Tần số phản cộng hƣởng thứ nhất của dầm hai đầu ngàm......................82
Bảng 4.6. Tần số phản cộng hƣởng thứ nhất của dầm xông xôn.............................83


1

MỞ ĐẦU
Chẩn đoán hƣ hỏng, khuyết tật tồn tại trong kết cấu cơng trình rất quan trọng
khơng ch trong việc đảm bảo khai thác một cách an tồn mà cịn giúp xác định và
kéo dài tuổi thọ của một công trình đang khai thác. Bởi vì mọi hƣ hỏng, khuyết tật
tiềm ẩn trong kết cấu cơng trình đều làm giảm khả năng làm việc và có thể dẫn đến
tai nạn gây nên thiệt hại to lớn cả về vật chất lẫn tính mạng con ngƣời. Một trong
những dạng hƣ hỏng khuyết tật thƣờng gặp trong thực tế kỹ thuật là vết nứt, tức là
sự phá hủy vật liệu làm mất tính liên tục của các đặc trƣng cơ học kết cấu tại vị trí
vết nứt. Mức độ hƣ hỏng của vết nứt đƣợc đặc trƣng bằng kích thƣớc (chiều sâu)
của vết nứt. Chẩn đoán vết nứt là việc xác định vị trí và kích thƣớc của vết nứt
trong kết cấu thông qua các thông tin thu thập đƣợc từ việc khảo sát, đo đạc ứng xử
của cơng trình. Thực tế các vết nứt thƣờng xuất hiện bên trong kết cấu hoặc tại các
vị trí mà bằng mắt thƣờng, thậm chí bằng các thiết bị trực quan rất khó phát hiện.
Vì vậy, vết nứt thƣờng xác định bằng cách đo đạc ứng xử của kết cấu cơng trình
trong khi làm việc, đƣợc biểu hiện qua các đặc trƣng động lực học của kết cấu nhƣ
tần số, dạng dao động riêng hay đáp ứng của cơng trình chịu những tải trọng nào đ .
Các đặc trƣng động lực học thƣờng đƣợc sử dụng để chẩn đoán vết nứt
đƣợc chia làm hai loại: một là các đặc trƣng số nhƣ tần số dao động riêng, hệ số
cản hay năng lƣợng; hai là các đặc trƣng hàm số nhƣ dạng dao động riêng hay hàm
đáp ứng trong miền thời gian hoặc miền tần số. Các đặc trƣng số thƣờng là các đặc
trƣng mang tính tổng thể ít nhạy cảm với các hƣ hỏng cục bộ, dễ dàng đo đạc đƣợc
một cách chính xác. Các đặc trƣng hàm số thƣờng rất nhạy cảm với các hƣ hỏng
cục bộ, nhƣng lại rất phức tạp, phụ thuộc nhiều vào vị trí đo đạc và tải trọng tác
dụng nên rất kh đo đạc đƣợc một cách chính xác. Chính vì vậy, tìm kiếm các đặc
trƣng số nhạy cảm với các hƣ hỏng cục bộ là một nhu cầu cấp thiết.
Mặt khác, bài tốn chẩn đốn hƣ hỏng nói chung và vết nứt nói riêng là một
bài tốn ngƣợc, thƣờng khơng có nghiệm ổn định do thiếu số liệu và nhạy cảm với
sai số đo đạc. Vì vậy, để có thể áp dụng đƣợc các phƣơng pháp giải bài tốn ngƣợc
hiện đại, các mơ hình kết cấu c hƣ hỏng cần phải đƣợc đơn giản h a để c đƣợc mối
quan hệ tƣờng minh giữa các tham số hƣ hỏng và các đặc trƣng cho ứng xử của kết

cấu, nhƣng khơng làm mất tính đặc thù của kết cấu cũng nhƣ của hƣ hỏng.


2
Chính vì vậy: Mục tiêu của luận án này là: (a) sử dụng tần số phản cộng hƣởng,
một đặc trƣng số nhƣng lại mang tính cục bộ, để chẩn đốn vết nứt trong kết cấu
thanh, dầm; (b) xây dựng mối liên hệ giải tích tƣờng minh, đơn giản giữa tần số cộng
hƣởng và tần số phản cộng hƣởng với các tham số vết nứt trong kết cấu thanh, dầm
phục vụ việc chẩn đoán vết nứt bằng tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là kết cấu một chiều (thanh, dầm) có vết
nứt mở, ngang (vng góc với trục thanh), khơng phát triển đƣợc đặc trƣng bằng
hai tham số là chiều sâu và vị trí vết nứt. Hai trạng thái dao động là dao động dọc
trục trong thanh và dao động uốn thuần túy trong dầm.
Phương pháp nghiên cứu là giải tích cho kết quả đƣợc minh họa bằng số
đƣợc thực hiện trong môi trƣờng MATLAB.
Bố cục luận án bao gồm bốn chƣơng, kết luận chung, danh mục các tài liệu
tham khảo và một phụ lục. Cụ thể:
Chương một trình bày tổng quan ngắn gọn về vấn đề chẩn đốn hƣ hỏng kết
cấu cơng trình; bài tốn chẩn đốn vết nứt bằng tần số riêng và giới thiệu khái niệm
tần số phản cộng hƣởng và ứng dụng;
Chương hai trình bày việc thiết lập phƣơng trình tần số tƣờng minh (dạng
đa thức) đối với các tham số vết nứt trong dao động dọc trục trong thanh có nhiều
vết nứt và xây dựng cơng thức Rayleigh cho dao động dọc trục trong thanh có nhiều
vết nứt phục vụ việc tính tốn tần số dao động riêng của thanh;
Chương ba trình bày việc thiết lập các phƣơng trình tổng qt để tính tốn
các tần số phản cộng hƣởng của thanh có nhiều vết nứt và giải bài toán chẩn đoán
một và hai vết nứt trong thanh bằng tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng.
Chương bốn trình bày các phƣơng trình tổng qt để tính tốn tần số cộng
hƣởng và phản cộng hƣởng trong dao động uốn của dầm có nhiều vết nứt; khảo sát

ảnh hƣởng của vết nứt đến tần số phản cộng hƣởng và thử nghiệm giải bài toán
chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng các tần số phản cộng hƣởng.
Kết luận trình bày các kết quả chính đã đạt đƣợc trong luận án và Phụ lục
trình bày việc ứng dụng khai triển kỳ dị của ma trận trong việc giải phƣơng trình
đại số tuyến tính kỳ dị.


3
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Trong Chƣơng này thảo luận các cơng trình đã cơng bố về ba vấn đề chính là:
Bài tốn chẩn đốn hƣ hỏng kết cấu nói chung; Bài tốn chẩn đốn vết nứt trong kết
cấu thanh (bằng dao động dọc trục), dầm (bằng dao động uốn) nói riêng; Giới thiệu
một số nghiên cứu về tần số phản cộng hƣởng và ứng dụng trong nhận dạng kết cấu
sau đ rút ra vấn đề cần phải nghiên cứu.
1.1. Bài toán chẩn đoán hƣ hỏng kết cấu
Chẩn đốn kỹ thuật cơng trình thực chất là đánh giá trạng thái kỹ thuật cơng
trình, trong đ trạng thái kỹ thuật đƣợc hiểu là tính nguyên vẹn và khả năng làm việc
của cơng trình. Trong thực tế hiện nay, thuật ngữ “Giám sát sức khỏe kết cấu” còn
sử dụng thay Chẩn đốn kỹ thuật cơng trình, đây ch là các tên gọi khác của việc
đánh giá trạng thái kỹ thuật cơng trình. Các cơng bố về Chẩn đốn kỹ thuật cơng
trình hay “Giám sát sức khỏe kết cấu” đã đƣợc tổng quan qua các giai đoạn trƣớc
1996 [1], giai đoạn 1996-2001 [2], 2001-2011 [3] và 2011-2019 [4].
Đánh giá tính ngun vẹn của kết cấu cơng trình nhằm phát hiện những thay đổi
bên trong kết cấu so với trạng thái ban đầu (thiết kế) là vấn đề cốt lõi của chẩn đốn kỹ
thuật cơng trình. Những thay đổi bên trong kết cấu cơng trình so với trạng thái ban đầu
đƣợc hiểu là hƣ hỏng hay khuyết tật của cơng trình. Hƣ hỏng trong kết cấu cơng trình
thƣờng là sự thay đổi về hình học, tính chất vật liệu hay sai lệch trong liên kết các bộ
phận. Bài toán xác định các hƣ hỏng bên trong kết cấu cơng trình dựa trên các số liệu
thu thập đƣợc từ cơng trình thực, thông qua khảo sát, đo đạc thực tế, đƣợc gọi là Bài
toán chẩn đoán hƣ hỏng kết cấu. Nhiệm vụ quan trọng trong việc Chẩn đoán hƣ hỏng

(CĐHH) là lựa chọn dấu hiệu chẩn đoán hƣ hỏng đƣợc biểu hiện qua ứng xử của kết
cấu cơng trình khi làm việc. Kết quả CĐHH phụ thuộc rất nhiều vào mối liên hệ giữa
hƣ hỏng và dấu hiệu chẩn đốn. Thơng thƣờng, các tham số động lực học của kết cấu
cơng trình đƣợc chọn làm dấu hiệu chẩn đốn bởi vì bất kỳ sự thay đổi nào bên trong
kết cấu cũng đƣợc biểu hiện rõ nét ở các đặc trƣng động lực học của kết cấu. Hơn nữa,
các đặc trƣng động lực học kết cấu thƣờng dễ dàng đo đạc, khảo sát hơn các đặc trƣng
tĩnh, ví dụ nhƣ tần số dao động riêng là biểu hiện của sự phân bố độ cứng và khối
lƣợng của kết cấu. Nếu độ cứng ở


4
một khu vực nào đ

bị suy giảm thì chắc chắn tần số dao động riêng sẽ suy giảm.

Đặc biệt tần số riêng là một đặc trƣng số rất dễ đo đạc.
Nội dung chính của bài tốn CĐHH bao gồm:
1.

Lựa chọn dấu hiệu chẩn đốn và nếu có thể thống kê hoặc tính tốn dự báo
trƣớc sự thay đổi dấu hiệu chẩn đoán tƣơng ứng với các hƣ hỏng của kết
cấu. Tất cả những thông tin thu thập đƣợc về mối liên hệ giữa dấu hiệu chẩn
đoán và hƣ hỏng thực tạo nên một cơ sở dữ liệu (CSDL) chẩn đoán.

2.

Khảo sát, đo đạc ứng xử của kết cấu cơng trình thực để từ đ xác định dấu
hiệu chẩn đoán thực tế của cơng trình.

3.

So sánh dấu hiệu chẩn đốn thực tế thu thập đƣợc với CSDL chẩn đoán để từ
đ xác định hƣ hỏng. Nhƣ vậy, cơng việc chính của CĐHH là thu thập xây
dựng cơ sở dữ liệu chẩn đoán; khảo sát, đo đạc và xử lý số liệu để xác định
dấu hiệu chẩn đoán thực tế và cuối cùng là nhận dạng hƣ hỏng bằng các
cơng cụ tốn học.
Hiện nay có hai cách tiếp cận bài tốn CĐHH: Chẩn đốn dựa trên mơ hình

và Chẩn đốn dựa trên triệu chứng. Phƣơng pháp chẩn đốn dựa trên mơ hình chính là
việc sử dụng một mơ hình kết cấu với những hƣ hỏng giả định của đối tƣợng cần chẩn
đoán để xây dựng cơ sở dữ liệu chẩn đoán. Ở đây cần phải xây dựng một mơ hình tham
số của kết cấu c hƣ hỏng trong đ hƣ hỏng cũng đƣợc mơ hình hóa bằng các tham số
hƣ hỏng và cơ sở dữ liệu chẩn đoán bao gồm các dấu hiệu chẩn đốn đƣợc tính tốn
phụ thuộc vào các tham số hƣ hỏng. Thông thƣờng trạng thái nguyên vẹn, tức không c
hƣ hỏng, thƣờng tƣơng ứng với giá trị không của các tham số hƣ hỏng và giá trị
dƣơng khác không của các tham số hƣ hỏng mô tả mức độ hƣ hỏng. Sử dụng phƣơng
pháp mơ hình thì bài toán nhận dạng hƣ hỏng sẽ dẫn đến bài toán nhận dạng hệ thống
quen thuộc có thể giải bằng các phƣơng pháp hiện đại của lý thuyết nhận dạng hệ
thống. Ƣu điểm của phƣơng pháp này là c thể áp dụng các phƣơng pháp tính tốn, mơ
phỏng hiện đại. Đặc biệt là kết quả chẩn đốn sẽ là một mơ hình của kết cấu với những
hƣ hỏng thực tế, có thể sử dụng ngay vào việc đánh giá khả năng làm việc hay đề xuất
phƣơng pháp sửa chữa gia cố khơi phục. Nhƣợc điểm chính của phƣơng pháp này là
sự sai khác giữa mơ hình kết cấu có hƣ hỏng với thực tế khách quan đƣợc mô tả qua số
liệu đo thực tế. Sự sai khác này cùng với


5
sai số đo đạc làm cho kết quả chẩn đoán bị sai lệch, thậm chí làm cho bài tốn nhận
dạng hƣ hỏng có thể vơ nghiệm hoặc nghiệm khơng ổn định.
Phƣơng pháp chẩn đốn theo triệu chứng thì chủ yếu dựa trên số liệu đo

chứa đựng những thông tin về hƣ hỏng. Cơng cụ chính đƣợc sử dụng trong cách
tiếp cận này là phƣơng pháp xử lý số liệu đo để phát hiện các hiện tƣợng bất
thƣờng (so với tín hiệu gốc của kết cấu không c hƣ hỏng) trong tín hiệu đo đạc
đƣợc. Phƣơng pháp này c ƣu điểm là nhanh chóng phát hiện kết cấu c hƣ hỏng
bằng các cơng cụ xử lý và phân tích tín hiệu hiện đại. Nhƣng việc đánh giá mức độ
hƣ hỏng bằng phƣơng pháp chẩn đốn theo triệu chứng vẫn cịn kh khăn, đặc biệt
là trong trƣờng hợp sai số đo đạc không thể bỏ qua. Trong thực tế cả lý thuyết lẫn
ứng dụng, các nghiên cứu đƣợc triển khai theo hƣớng kết hợp cả hai phƣơng pháp
nêu trên nhằm tận dụng các ƣu điểm và khắc phục các nhƣợc điểm.
Hiện nay đa số các tác giả đều lựa chọn các đặc trƣng động lực học làm dấu
hiệu chẩn đoán hƣ hỏng. Nhƣng các đặc trƣng động lực học thì cũng rất đa dạng và
phong phú: chúng có thể là các đặc trƣng số nhƣ tần số dao động riêng, hệ số cản,
… hoặc các đặc trƣng hàm số nhƣ dạng dao động riêng hay hàm đáp ứng tần số.
Các đặc trƣng số n i chung là các đặc trƣng tổng thể có thể đo đạc dễ dàng và chính
xác ở các vị trí bất kỳ trên kết cấu, nhƣng chúng lại rất ít nhạy cảm với các hƣ hỏng
cục bộ. Trong khi đ đặc trƣng hàm nhƣ dạng dao động riêng lại nhạy cảm hơn với
các hƣ hỏng cục bộ, nhƣng lại rất kh

đo đƣợc chính xác bằng các thiết bị thông

thƣờng. Hàm đáp ứng tần số là một đặc trƣng tổng hợp bao gồm cả các đặc trƣng tổng
thể (tần số riêng, hệ số cản) và cả các đặc trƣng cục bộ (dạng dao động riêng). Vì vậy,
hàm đáp ứng tần số cũng không thể đo đạc đƣợc ở mọi vị trí trên kết cấu, đặc biệt hàm
đáp ứng tần số khơng ch phụ thuộc vào vị trí đo đáp ứng mà cịn phụ thuộc vào vị trí
lực tác dụng. Hơn nữa, sự tƣơng tác giữa các dạng dao động cũng là một yếu tố che
khuất các biểu hiện của hƣ hỏng trong tín hiệu đo đạc hàm đáp ứng tần số. Những kh
khăn nêu trên đƣợc khắc phục bằng cách biến các đặc trƣng hàm (dạng dao động
riêng) thành các đặc trƣng số nhƣng vẫn giữ đƣợc tính chất cục bộ của các đặc trƣng
hàm (sử dụng vật liệu áp điện làm cảm biến phân bố). Vì vậy, nghiên cứu khám phá
thêm các đặc trƣng số khác chứa đựng thông tin cục bộ là một nhu cầu thực tế. Ví dụ

nhƣ tần số phản cộng hƣởng, đƣợc xác định nhƣ điểm không


6
của hàm đáp ứng tần số, chứa đựng cả thông tin về vị trí đo đáp ứng cũng nhƣ vị trí lực
tác dụng cục bộ. Việc sử dụng tần số phản cộng hƣởng để chẩn đoán hƣ hỏng sẽ đƣợc
giới thiệu trong phần sau và là một ý tƣởng đƣợc phát triển trong luận án này.

1.2. Chẩn đoán vết nứt trong kết cấu thanh, dầm bằng tần số riêng
Kết cấu một chiều đƣợc hiểu là một vật thể đàn hồi có một kích thƣớc lớn
hơn nhiều hai kích thƣớc cịn lại. Nếu trong kết cấu một chiều ch xét đến biến dạng
dọc trục theo chiều kích thƣớc lớn nhất thì kết cấu một chiều đƣợc gọi là thanh. Kết
cấu thanh thƣờng là các trụ cột, cọc ch chịu kéo nén và dao động dọc trục trong
thanh chính là sự truyền s ng đàn hồi dọc theo trục thanh. Nếu trong kết cấu một
chiều chịu uốn thì kết cấu một chiều này đƣợc gọi là dầm. Sóng ngang truyền trong
kết cấu khi chịu uốn chính là trạng thái dao động uốn của dầm. Nhƣ vậy, trong luận
án này, kể từ đây khái niệm dao động dọc trục đƣợc áp dụng cho kết cấu thanh và
dao động uốn là của kết cấu dầm.
Vết nứt trong kết cấu thanh, dầm đƣợc xét trong luận án này là dạng vết nứt
cạnh, nằm trong mặt cắt ngang vng góc với trục thanh, ln mở và không phát
triển. Vết nứt đƣợc đặc trƣng bởi sự suy giảm độ cứng ở mặt cắt chứa vết nứt tại vị
trí e gọi là vị trí vết nứt. Khoảng cách từ mặt hở của vết nứt đến mũi vết nứt gọi là
chiều sâu vết nứt a. Việc nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng trên bề mặt vết
nứt ngang, mở trong kết cấu một chiều theo lý thuyết cơ học phá hủy cho phép mô
phỏng vết nứt dạng này bằng các lò xo với độ cứng phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt.
Nội dung của Bài toán chẩn đoán vết nứt chính là việc xác định vị trí, chiều sâu
và số lƣợng của vết nứt dựa trên các số liệu đo đạc về ứng xử của kết cấu. Chẩn đốn
vết nứt có thể tiến hành bằng hai cách. Một là xử lý trực tiếp các số liệu thu thập đƣợc
trong việc khảo sát, đo đạc trên kết cấu thực (bao gồm cả những hình ảnh thu đƣợc) để
phát hiện những thay đổi bất thƣờng trong kết cấu dạng vết nứt dựa trên các hiểu biết

về ảnh hƣởng của các vết nứt lên ứng xử của kết cấu thu thập đƣợc trong quá trình
khai thác sử dụng. Cách tiếp cận thứ hai dựa trên mơ hình kết cấu với các tham số vết
nứt chƣa biết, đƣợc xác định từ số liệu đo. Kết quả chẩn đốn bằng mơ hình cho một
mơ hình kết cấu với các vết nứt đã đƣợc xác định. Cách tiếp cận của luận án này là
cách tiếp cận thứ hai, tức dựa trên mơ hình của kết cấu đƣợc mơ tả bằng phƣơng trình
tần số để xác định các tần số riêng của kết cấu có vết


7
nứt. Số liệu đo đạc chính là các tần số riêng đo đƣợc từ việc thử nghiệm dao động
[1-4].
Giả sử trong một kết cấu cho trƣớc tồn tại n vết nứt tại các vị trí e1 ,..., en và
tham số độ lớn của các vết nứt là 1 ,..., n . Khi đ , bằng một cách mơ hình hóa có
thể xây dựng đƣợc phƣơng trình tần số cho kết cấu thanh [5–7] và kết cấu dầm [8–
16] ở dạng ẩn hoặc hiển:
(1.1)

F ( , e1 ,..., en , 1 ,..., n ) 0.

trong đ là tần số riêng phải tìm. Rõ ràng là nghiệm của phƣơng trình (1.1) đối với

, tức tần số riêng1 , ...,m ,...phụ thuộc vào các tham số vết nứt e1 ,..., en ,
1 ,..., n , cũng đƣợc viết ở dạng ẩn hoặc hiển nhƣ sau



(1.2)

 k k ( e1 ,..., en , 1 ,...,n ), k1, 2, 3,....

Nhƣ vậy, về nguyên tắc nếu biết trong kết cấu có n vết nứt thì từ 2n tần số đo




 ,...,
1

có thể xác định đƣợc 2n tham số vết nứt e ,..., e , 1,..., n . Tuy nhiên,



2n

1

n

trong thực tế phƣơng trình tần số (1.1) rất phức tạp nên dạng hiển của tần số riêng
(1.2) mới ch tìm đƣợc một cách gần đúng nhờ phƣơng pháp tiệm cận hoặc cơng
thức Rayleigh [17–20]. Vì vậy bài tốn chẩn đốn vết nứt bằng tần số riêng nói
chung vẫn đƣợc giải quyết bằng cách giải hệ phƣơng trình siêu việt [21–33]:


F ( , e ,..., e , 1,..., n ) 0, k 1,..., m
k 1

(1.3)

n

đối với 2n ẩn e1 ,..., en , 1 ,...,n .
Kh khăn lớn nhất trong việc giải quyết các bài toán trên nằm ở chỗ: số lƣợng
vết nứt tồn tại trong kết cấu (n) là chƣa biết, trong khi số lƣợng tần số đo đƣợc (m)
là không nhiều. Đ là chƣa kể đến sai số trong việc thiết lập phƣơng trình (1.1), sai
số đo đạc và đặc biệt là sự phức tạp trong việc giải các phƣơng trình siêu việt (1.3)
mà nhiều khi khơng thể thiết lập đƣợc ở dạng tƣờng minh. Do đ việc thiết lập
phƣơng trình tần số ở dạng tƣờng minh đối với các tham số vết nứt, đơn giản và
thuận tiện để giải bài toán chẩn đoán vết nứt bằng tần số riêng là một nhu cầu cấp
thiết. Ngoài ra, do số lƣợng tần số có thể đo đƣợc ln bị hạn chế, nên việc tìm
thêm các đặc trƣng số khác bổ sung cho các tần số riêng trong việc chẩn đoán vết
nứt cũng là cần thiết.


8
Thật vậy, đối với thanh có một vết nứt tại vị trí e đƣợc mơ tả bằng một lị xo
dọc trục tƣơng đƣơng c độ cứng K, phƣơng trình tần số lần đầu tiên đƣợc thiết lập
bởi Adams và cộng sự [5] vào năm 1978 ở dạng
d 0 ( ) d1( , e ) 0;  / E ;EA/K

(1.4)

với các hàm số d 0 ( ) sin ; d1( , e) sin( e) sin(1 e) . Đối với thanh có n
vết nứt đến năm 2004 Ruotolo và Surace [7] mới thiết lập đƣợc phƣơng trình tần số

ở dạng

det[ A( , e1 ,...en , 1 ,..., n )] 0

(1.5)

trong đ A là ma trận cấp 4 với các phần tử rất phức tạp.
Việc chẩn đốn một vết nứt trong thanh có thể sử dụng phƣơng trình tần số
(1.4), tuy nhiên theo các nghiên cứu của Morassi và cộng sự [21-22] thì phƣơng
trình tần số tƣờng minh này cũng khơng cho nghiệm duy nhất khi thanh c điều kiện
biên đối xứng. Để có thể chẩn đốn đa vết nứt trong thanh bằng tần số riêng,
phƣơng trình (1.5) buộc phải tuyến tính hóa bằng giả thiết các vết nứt có chiều sâu
bé ( << 1) hoặc một số giả thiết khá chặt đối với chiều sâu vết nứt [25-28]. Nhƣ
vậy, việc thiết lập phƣơng trình tần số đơn giản cho dù là gần đúng để thuận tiện
trong việc giải bài toán chẩn đoán đa vết nứt trong thanh vẫn còn là một vấn đề cần
thiết.
Tƣơng tự nhƣ đối với kết cấu dầm, phƣơng trình tần số cho dầm có một vết
nứt cũng đã đƣợc thiết lập ở dạng (1.4) trong công bố [12] với các hàm d0(),
d1(,e) là các định thức cấp 4, nên bài toán chẩn đoán một vết nứt trong dầm bằng
tần số riêng vẫn còn phức tạp. Đặc biệt là khi số lƣợng vết nứt tăng lên, mặc dù
phƣơng trình tần số vẫn có thể thiết lập đƣợc ở dạng (1.5) nhƣng với các thành
phần là các hàm hyperbol thì phƣơng trình tần số rất phức tạp [15]. Đã có rất nhiều
phƣơng pháp khác nhau đã đƣợc phát triển trong các cơng bố [28-33], bài tốn
chẩn đốn đa vết nứt trong dầm cho đến nay vẫn là một thách thức. Hy vọng rằng
với các công cụ hiện đại nhƣ Thuật tốn di truyền (GA) hay Trí tuệ nhân tạo (AI) sẽ
có những đ ng g p để giải quyết bài toán chẩn đoán đa vết nứt trong dầm đàn hồi
bằng tần số riêng.
Mặt khác, vào năm 1999, Fernandez-Saez và cộng sự [17] đã áp dụng công
thức Rayleigh cổ điển để tính tần số riêng của dầm đàn hồi có một vết nứt, nhƣng


9
rất lâu sau đ n vẫn chƣa đƣợc quan tâm chú ý. Đến năm 2011, Nguyễn Tiến Khiêm
và cộng sự [18-20] mới phát triển ý tƣởng này để tính tốn tần số riêng của dầm có
nhiều vết nứt và sử dụng để chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi bằng tần số riêng.

Đối với thanh có nhiều vết nứt, công thức Rayleigh cũng đã đƣợc nghiên cứu xây
dựng và lần đầu tiên cơng thức Rayleigh cho thanh có nhiều vết nứt đƣợc giải quyết
trong luận án này.
Để hiểu rõ thêm những kết quả đã đạt đƣợc ở Việt Nam trong lĩnh vực chẩn
đoán vết nứt bằng các đặc trƣng động lực học nói chung và bằng tần số riêng nói
riêng, sơ lƣợc một số kết quả đã nhận đƣợc tại Viện Cơ học dƣới sự hƣớng dẫn của
GS. Nguyễn Tiến Khiêm trong thời gian qua. Trƣớc tiên, bài toán chẩn đoán đa vết
nứt đã đƣợc phát biểu nhƣ một bài toán ngƣợc của cơ học và đƣợc giải bằng
phƣơng pháp độ cứng động lực học kết hợp với phƣơng pháp quy hoạch phi tuyến
[34]. Trong cơng trình [35] đã thiết lập phƣơng trình tần số ở dạng xấp x bậc nhất
(gọi là độ nhạy cảm của tần số riêng) để xác định vết nứt trong khung không gian sử
dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Tác giả cơng trình [36] đã sử dụng biểu thức
hiển của dạng riêng làm phƣơng trình chẩn đốn vết nứt trong dầm đàn hồi. Hàm
đáp ứng tần số của dầm đàn hồi chịu tải trọng di động đã đƣợc sử dụng để chẩn
đoán vết nứt [37] và tác giả cơng trình [38] đã giải quyết bài tốn chẩn đốn vết nứt
trong dầm FGM (có tính chất cơ lý biến thiên) bằng tần số riêng. Trong luận án tiến
sỹ [39] đã phát triển phƣơng pháp Rayleigh để chẩn đoán đa vết nứt trong dầm bậc
và hàm đáp ứng tần số đã đƣợc áp dụng để giải bài toán chẩn đoán vết nứt trong
dầm bậc [40]. Và gần đây phƣơng pháp chẩn đoán vết nứt bằng tần số riêng đã
đƣợc phát triển trong [41] để chẩn đoán vết nứt trong cần cẩu tháp bằng tần số dao
động riêng. Cuối năm 2021, Lƣu Quỳnh Hƣờng đã bảo vệ thành công luận án tiến
sỹ về ứng dụng vật liệu áp điện để chẩn đoán vết nứt trong kết cấu dầm [42]. Các
kết quả chính theo hƣớng nghiên cứu này ở Việt Nam đã đƣợc trình này trong các
chuyên khảo [43-45].
1.3. Tần số phản cộng hƣởng và ứng dụng
Khái niệm cộng hƣởng và tần số cộng hƣởng đã quen thuộc trong động lực
học cơng trình, trong đ khái niệm cộng hƣởng đƣợc hiểu là hiện tƣợng xảy ra khi
tần số ngoại lực xấp x hoặc bằng tần số dao động riêng của hệ. Lúc này biên độ dao

10
động cƣỡng bức đạt cực đại hoặc có thể bằng vô cùng khi cản rất bé và tần số mà
biên độ dao động cƣỡng bức đạt cực đại cục bộ đƣợc gọi là tần số cộng hƣởng. Tần
số cộng hƣởng, nói chung bằng tần số riêng trừ đi một lƣợng nhỏ tỷ lệ với hệ số
cản. Nhƣ vậy, trong trƣờng hợp cản nhỏ, tần số riêng đƣợc xem là tần số cộng
hƣởng. Nếu hàm đáp ứng tần số là biên độ dao động cƣỡng bức của hệ dƣới tác
dụng của tải trọng điều hịa, thì tần số cộng hƣởng chính là tần số mà hàm đáp ứng
tần số đạt cực đại cục bộ. Ngoài ra, khi cản rất nhỏ (bằng khơng) thì tần số cộng
hƣởng bằng tần số ngoại lực làm cho biên độ cƣỡng bức đạt cực đại và tần cộng
hƣởng chính là nghiệm của phƣơng trình tần số (hay tần số riêng).
Ngƣợc lại, tần số phản cộng hƣởng là tần số mà biên độ dao động cƣỡng
bức đạt cực tiểu hoặc bằng không hay tần số phản cộng hƣởng là tần số mà ở đ hàm
đáp ứng tần số đạt cực tiểu cục bộ hoặc bằng không. Do đ tần số phản cộng hƣởng
là các điểm không của hàm đáp ứng tần số [46]. Trong một số trƣờng hợp, tần số
phản cộng hƣởng đƣợc xác định từ điểm không của hàm cơ động là nghịch đảo của
hàm trở kháng cơ học. Nhƣ vậy, để tìm tần số phản cộng hƣởng ch cần tìm các
điểm khơng của hàm đáp ứng tần số hay hàm cơ động.
Trong hệ một bậc tự do biên độ dao động cƣỡng bức ch tiến đến không khi
tần số ngoại lực tác dụng tiến đến vô cùng. Điều này chứng tỏ hệ một bậc tự do
khơng có tần số phản cộng hƣởng hay sự phản cộng hƣởng ch

có thể xảy ra trong

các hệ nhiều bậc tự do. Mặt khác, do tần số phản cộng hƣởng là điểm không của
hàm đáp ứng tần số, nên tần số phản cộng hƣởng sẽ phụ thuộc vào vị trí lực tác
dụng và vị trí đo đáp ứng. Nhƣ vậy, tần số phản cộng hƣởng là một đặc trƣng số của
hệ phụ thuộc vào vị trí đặt lực và vị trí đo đáp ứng. Điều đ c

nghĩa là tần số phản

cộng hƣởng là một đặc trƣng số cục bộ khác hẳn với tần số cộng hƣởng là một đặc
trƣng tổng thể không phụ thuộc vào điểm đặt lực cũng nhƣ điểm đo đáp ứng.
Để có sự hiểu biết sâu hơn về tần số phản cộng hƣởng xét hệ hai bậc tự do
đƣợc mơ tả bằng hệ phƣơng trình
m1 x1 c1 x1 k1 x1 k 2x1 x2

 c2x1 x2 F1;
m2 x2 c2x2 x1 k 2x2 x1 F2 .
Giả sử
F P e
1

i t
1

,

F P e
2

2

it ,

(1.6)


11
khi đ , nếu tìm đáp ứng của hệ ở dạng
x1 X 1e

sẽ đƣợc hệ phƣơng trình
 k 2  m 2 
k
i

1

Ma trận

12

 k 2 ic2




K 



it

, x2 X 2e



2



2



2

1

2

1

 

 k 2 ic2

2

(1.7)

1

k 2 m2  ic2   X 2


k  k  m   i c  c 
1

,

  k 2  ic    X 1  P 

 c c 

1

i t

 k 2 ic2

2



P





2

(1.8)




k 2 m2  ic2 





đƣợc gọi là ma trận độ cứng động lực của hệ đã cho. Theo định nghĩa, ma trận hàm
đáp ứng tần số của hệ đã cho là ma trận nghịch đảo của ma trận độ cứng động, nghĩa
là

H   K 1,



hay

 
H









k 2 ic2

1  k 2 m2 2 i c2


Δ

H ()

=  11





k 2 ic2



k1 k 2 m1  ic1  c2 
2



H ()

H21()

12

 

(1.9)



H22 ()

Δ det[K] 0.

Δ det[K]. .

Theo định nghĩa tần số phản cộng hƣởng đƣợc xác định bằng phƣơng trình
(1.10)
Nếu ký hiệu11 là tần số phản cộng hƣởng tƣơng ứng với hàm đáp ứng tần
số H11() , xác định từ điều kiện cực tiểu của hàm H11()
 = min H11( ) ,
11

:



11

;

 22 c22 / 2m22

(1.11)

2

2

 k 2 / m2.
(1.12)

Nhƣ vậy, nếu hệ số cản c2 nhỏ, thì tần số phản cộng hƣởng tƣơng ứng với
hàm đáp ứng tần số H11() bằng tần số riêng của vật thứ hai khi vật thứ nhất cố


12
địnhx1 0. Tƣơng tự, tần số phản cộng hƣởng tƣơng ứng với hàm H22 ()
đƣợc xác định bằng tần số riêng của vật thứ nhất khi vật thứ hai cố định x2 0:
22



2
1 

 c1 c2

2

2
/ 2 m1



2

;1  ( k1 k 2 ) / m1.

(1.13)

Đối với hệ hai bậc tự do này hai hàm đáp ứng tần số H12 H21 cho
tần số phản cộng hƣởng bằng không, tức không có tần số phản cộng hƣởng.
Tóm lại, hiện tƣợng cộng hƣởng là hiện tƣợng biên độ dao động cƣỡng bức
của hệ đạt cực đại. Khi khơng có lực cản, tần số ngoại lực gần với tần số riêng và
tần số cộng hƣởng chính là tần số dao động riêng của hệ khi khơng có lực cản. Tần
số cộng hƣởng hay tần số riêng là một đặc trƣng tổng thể của một hệ cơ học, có thể
đo đạc đƣợc ở bất kỳ vị trí nào của hệ bằng phƣơng pháp thử nghiệm dao động.
Trái lại, hiện tƣợng phản cộng hƣởng là hiện tƣợng biên độ dao động cƣỡng
bức của hệ đạt cực tiểu hoặc bằng không và tần số dao động của hệ trong trƣờng
hợp này là tần số phản cộng hƣởng. Tần số phản cộng hƣởng là một đặc trƣng số
của hệ nhƣng lại phụ thuộc vào vị trí đặt lực kích động và vị trí điểm đo đáp ứng.
Vì vậy tần số phản cộng hƣởng, tƣơng tự nhƣ dạng riêng, là một đặc trƣng cục bộ.
Nếu việc tính tốn tần số cộng hƣởng là việc giải phƣơng trình tần số thì việc tính
tốn tần số phản cộng hƣởng là việc tìm điểm khơng của hàm đáp ứng tần số.
Tần số phản cộng hƣởng, lần đầu tiên đƣợc ứng dụng trong bài toán điều
khiển dao động [47-49] và bài toán cập nhật mơ hình [50-53]. Sau đ tần số phản
cộng hƣởng đƣợc nghiên cứu bài bản để ứng dụng trong bài tốn chẩn đốn hƣ
hỏng kết cấu trong các cơng trình [54-57]. Cụ thể, Wang và cộng sự [58] đã nghiên
cứu một cách hệ thống tần số phản cộng hƣởng của một dầm công xôn và phát hiện
ra rằng khi vị trí điểm đo đáp ứng hoặc điểm đặt lực trùng với một điểm nút tần số
(điểm không) của một dạng riêng, thì tần số phản cộng hƣởng trùng với tần số riêng
tƣơng ứng của dạng dao động riêng đ . Bamnios và cộng sự [59] đã nghiên cứu ảnh
hƣởng của vết nứt và vị trí điểm đặt lực đến trở kháng cơ học và tần số phản cộng
hƣởng đƣợc trích ra từ trở kháng cơ học của dầm cơng xôn và dầm ngàm hai đầu.
Các tác giả này đã khẳng định rằng vị trí điểm đặt lực để xác định trở kháng cơ học
là một thơng tin bổ ích để chẩn đoán vết nứt. Phƣơng pháp trở kháng cơ học này đã
đƣợc ứng dụng sau đ để chẩn đoán vết nứt trong dầm Euler-Bernoulli [60] và dầm