Tài liệu BÀI SOẠN GIẢI TÍCH 2012-2013 docx

Chương 1
•
Giới hạn của dãy số thực:
Định nghĩa, các tính chất, các tiêu chuẩn hội tụ.
Số e.
•
Giới hạn của hàm số:
Định nghĩa, định lý giới hạn kẹp.
Giới hạn một phía. Một số giới hạn quan trọng.
Dạng vô định.
•
Hàm số liên tục:
Định nghĩa, các tính chất, liên tục một phía, tính
liên tục của hàm sơ cấp.
Hàm liên tục trên một khoảng đóng.
ÁNH XẠ
1. Định nghĩa: Ánh xạ f từ X → Y là quy luật cho tương
ứng với mỗi phần tử x ∈ X với duy nhất y Y∈
Ký hiệu
f : X Y
x y = f(x)
→
a
X
Y
2. Phân loại ánh xạ
Ánh xạ f là đơn ánh: mỗi y Y, có ∈ nhiều nhất một x X∈
sao cho y = f(x).
Ánh xạ f là toàn ánh: mỗi y Y, ∈ có ít nhất một x X∈ sao
cho y = f(x).
Ánh xạ f là song ánh: mỗi y Y, ∈ có duy nhất x X∈ sao cho

y = f(x).
DÃY SỐ THỰC
1.Định nghĩa: Dãy số thực là một ánh xạ từ tập N
*
vào tập
hợp các số thực R.
Ký hiệu {x
n
}, n =1, 2,…, để chỉ một dãy số.
Ví dụ:
{ }
n n 1 2 n
1 1 1
a) ; ; 1; ; ; ;
n 2 n
x x x x x
= = = =
L L
{ }
n n 1 2 n
b) ; 1; 1; 1; ; 1;x x x x x
= = = =
L L
{ } ( ) ( )
n n
n n 1 2 n
c) ; 1 ; 1; 1; ; 1 ;x x x x x
= − =− = = −
L L
{ }

2 2
n n 1 2 n
d) ; n ; 1; 4; ; n ;x x x x x
= = = =
L L
{ }
n n
n n 1 2 n
1 9 1
e) ; 1 ; 2; ; ; 1 ;
n 4 n
x x x x x
   
= + = = = +
 ÷  ÷
   
L L
DÃY SỐ HỘI TỤ
1.Định nghĩa: Dãy số {x
n
} hội tụ về a
⇔
giá trị x
n
“rất gần” a
0 0 n
a R, N : n N :| x - a| <
⇔ ∃ ∈ ∀ε >0, ∃ ∀ > ε
Ký hiệu
n n

lim a; lim a
n
x x
→+∞
= =
Ví dụ:
khi n đủ lớn.
2
1
a) lim 0
n
=
n
1
b) lim 0
2
=
CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN
1. Nếu dãy số {x
n
} hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất
2. Nếu limx
n
, limy
n
tồn tại thì

lim(x
n
+ y

n
) = limx
n
+ limy
n

lim(Cx
n
) = Climx
n

lim(x
n
y
n
) = limx
n
limy
n


n n
n n
x limx
lim
y limy
=
Ví dụ:
n 2
1 1

a) lim
2 n
 
+
 ÷
 
n
1
b) lim 3.
2
 
 ÷
 
DÃY SỐ PHÂN KỲ
1. Định nghĩa: Dãy {x
n
} phân kỳ nếu nó không hội tụ
2. Giới hạn vô hạn:
Định nghĩa: Ta nói dãy số x
n
có giới hạn vô hạn nếu x
n
có
giá trị tuyệt đối lớn tùy ý khi n đủ lớn.
0 0 n
M > 0, N , n > N : x >M
⇔ ∀ ∃ ∀
Ký hiệu
n
lim x

= ∞
Nếu dãy số x
n
có giới hạn vô hạn và xác định dấu, tức là x
n

> 0 hoặc x
n
< 0 bắt đầu từ một chỗ nào đó trở đi, thì ta viết
tương ứng.
n
lim x
= +∞
hoặc
n
lim x = −∞
Ví dụ: Xét dãy số có số hạng tổng quát x
n
= An
k
(n N), ∈
trong đó A ≠ 0 và k > 0. Ta có
k
limAn = +∞
nếu A > 0;
k
limAn
= −∞
nếu A < 0
NGUYÊN TẮC TÍNH GIỚI HẠN

Chuyển về các giới hạn cơ bản và thay vào biểu thức
cần tính giới hạn (nếu giá trị biểu thức xác định)
n
1
a 1
lima
0 0 a
<
+∞ >

• =

<

k
0
k 0
limn
0 k
<
+∞ >

• =


Ví dụ: Tính các giới hạn sau
2
2
2n + 1
a) lim

n - 1
n n
n n
5 - 2
b) lim
4 + 3
( )
c) lim n n-1
−
( )
1 1 1 1
d) lim
1.2 2.3 3.4 n n+1
 
+ + + +
 
 
TIÊU CHUẨN BA DÃY KẸP
n n n n
n n n
x y z lim y
limx limz a lim y a
≤ ≤ ∃
 
⇒
 
= = =
 
Hệ quả:
n n

n
n
0 x y
lim x 0
limy 0
 ≤ ≤

⇒ =

=


Ví dụ: Chứng minh rằng
Định lý
2
nsinn
lim 0
n +1
=
DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU
Định nghĩa: Dãy {x
n
} được gọi là tăng nếu
n n 1
x x , n
+
≤ ∀
là giảm nếu
n n 1
x x , n.

+
≥ ∀
Dãy tăng hay giảm được gọi là dãy đơn điệu.
Dãy {x
n
} được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực c sao
cho , bị chặn dưới nếu tồn tại số thực d sao
cho
n
x c, n
≤ ∀
n
x d, n.
≥ ∀
DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU
Ví dụ: Xét các dãy số sau
n
1
x
n
=
a) Dãy {x
n
} với
b) Dãy {x
n
} với
( )
n
n

x 1
= −
c) Dãy {x
n
} với
2
n
x n
=
d) Dãy {x
n
} với
n
n
1
x 1
n
 
= +
 ÷
 
Định lý
1. Nếu dãy số {x
n
} tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ.
2. Nếu dãy số {x
n
} giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ.
Ví dụ: Dãy {x
n

} với
n
n
1
x 1
n
 
= +
 ÷
 
là một dãy tăng và bị chặn trên, do đó nó hội tụ. Gọi e là giới
hạn của dãy ấy, ta được.
n
1
lim 1
n
e
 
+ =
 ÷
 
HÀM SỐ
là quy tắc cho tương ứng với mỗi x X, với mỗi y Y.∈ ∈
Định nghĩa: Hàm số:
f : X R Y R
⊂ → ⊂
Ký hiệu:
f : X R Y R
x y = f(x)
⊂ → ⊂

a
Miền xác định : D
f
= {x : f(x) có nghĩa}
Miền giá trị : T
f
= { y = f(x) , với mọi x D∈
f
}
Đồ thị của hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M(x, y) của
mặt phẳng tọa độ có hoành độ x là một số thực bất kỳ lấy
từ MXĐ của hàm số và tung độ y là giá trị tương ứng của
hàm số tại điểm x.
HÀM SỐ HỢP
f
g
Định nghĩa: Nếu f là hàm số có miền xác định là D và ảnh
f(x) của mọi x D đều nằm trong miền xác định D’ của hàm ∈
g, ta định nghĩa hàm g fₒ (hàm hợp) của f và g, có miền xác
định D sao cho
g f(x) = g [f(x)] ₒ với mọi x D∈
•
x•
u = f(x)
y= g(u)=g(f(x)) = g f ₒ
g
•
D D’
R
g fₒ

Ví dụ: f(x) = x
2
, g(x) = cosx. Tìm hàm g fₒ
Chú ý: Ta có thể thành lập các hàm hợp khác từ hai hàm
số cụ thể f, g nêu trên như f f, f g và g gₒ ₒ ₒ
HÀM SỐ NGƯỢC
Định nghĩa: Hai hàm số f (với miền xác định D) và g (với
miền xác định D’) được gọi là ngược của nhau, ký hiệu g = f
-1

hay f = g
-1
, nếu hàm f biến số thực a trong D thành số thực b
trong D’ thì hàm g biến số thực b trong D’ thành số thực a
trong D và ngược lại, nghĩa là
a= g(b) = f
-1
(b)
b f(a) g(b) a
= ⇔ =
D D’
với mọi a D, b D’∈ ∈
• •
f (=g
-1
)
g (=f
-1
)
b= f(a) = g

-1
(a)
Ví dụ:
( ) ( )
x-1
f x 3x + 1 và g x
3
= =
với miền xác định D = R là các hàm ngược của nhau
Các hàm số
HÀM SỐ NGƯỢC
Chú ý:
1. Nếu hai hàm số y = f(x) và y = g(x) là hai hàm ngược của
nhau thì g f(a) = aₒ và f g(b)ₒ = b.
2. f : D→ D’ có hàm số ngược khi và chỉ khi phương trình
f(a) = b có nghiệm duy nhất a với mọi b Y.∈
3. Đồ thị của các hàm số ngược của nhau thì đối xứng với
nhau qua đường thẳng y = x (đường phân giác của góc
phần tư thứ nhất)
y = f(x)
y = g(x)
(a,b)
(b,a)
y = 3x +1
x-1
y
3
=
HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN
1. Hàm lũy thừa và căn thức: y = x

n
và n N∈
2. Hàm mũ và hàm logarit: y = a
x
và y = log
a
x 0 < a ≠ 1
Đặc biệt a = e = 2,718… f(x) = e
x
; log
e
x = lnx.
3. Hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược

y = sinx và y = arcsinx

y = cosx và y = arccosx

y = tanx và y = arctanx

y = cotx và y = arccotx
n
y x
=
Tính chất của các hàm số sơ cấp cơ bản
Các cặp hàm số sơ cấp cơ bản
HÀM SỐ SƠ CẤP
Hàm sơ cấp là hàm được lập từ các hàm số cơ bản
Ví dụ: Các hàm số sau hàm nào là hàm sơ cấp
2

a ) y sinx
=
x
b ) y x
=
1 x x 1
c ) y
0 x 1

− ≤

=

>


GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa
( ) { } ( )
( )
0
n n 0 n
x x
lim f x = a x : x x f x a
→
⇔ ∀ → ⇒ →
( )
x+1
f x
x-1

=
1. Giới hạn tại một điểm
2. Giới hạn phải – giới hạn trái
Ví dụ
( ) { } ( )
0
n 0
n n
x x
n 0
x x
lim f x = a x : f x a
x x
−
→
 
→

⇔ ∀ ⇒ →
 ÷

 ÷
<

 
( ) { } ( )
0
n 0
n n
x x

n 0
x x
lim f x a x : f x a
x x
+
→
 
→

= ⇔ ∀ ⇒ →
 ÷

 ÷
>

 
Ví dụ:
( )
x+1 x 1
f x
x x 1

≥ −

=

< −


TÍNH CHẤT CỦA GIỚI (HH) CỦA HÀM SỐ

Gỉa sử f và g là các hàm số có giới hạn hữu hạn khi x →x
0

[ ]
0 0 0
x x x x x x
1. lim f(x) ± g(x) lim f(x) ± lim g(x)
→ → →
=
[ ]
0 0 0
x x x x x x
2. lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)
→ → →
× = ×
( )
0
0 0
0
x x
x x x x
x x
lim f(x)
f(x)
3. lim lim g(x) 0
g(x) lim g(x)
→
→ →
→
 

= ≠
 
 
0
x x
5. lim f(x)
→
0
0
x x
lim f(x) f(x )
→
=
0 0 0 0
x x x x x x x x
4. lim f(x) lim f(x) ; lim lnf(x) = ln lim f(x)
→ → → →
=
6. f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x
0
thì
0 0
x x x x
lim f(x) = lim f(x)
+ −
→ →
⇔
tồn tại
Ví dụ:
x 0

x
lim
x
→
không tồn tại
GIỚI HẠN (VÔ CÙNG) CỦA HÀM SỐ
( ) { } ( )
( )
0
n 0
x
nn
x
lim f x x f +: x x+ x
→
= ∀ → ⇒∞ →⇔ ∞
( ) ( )
0 0
xx x x
limli fm xf x
→ →
− ∞ −= ⇔ = + ∞
 
Giới hạn của hàm số khi cũng được định
nghĩa tương tự.
x ( )
→ +∞ −∞
CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN
x 0
sinx

1. lim 1
x
→
=
từ kết quả này ta suy ra
0 0
sinαx sinx 1
limα ; lim , β 0
xβx β
x x
→ →
= = ≠
0 0
sinαx α tanx
lim ,β 0; lim 1
sinβx β x
x x
→ →
= ≠ =
CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN
( )
1
0
2. lim 1
x
x
x e
→
+ =
( )

0
ln 1
3. lim 1
x
x
x
→
+
=
từ kết quả này ta suy ra
( )
0
l 1
1
lim , 0 1
ln
a
x
og x
a
x a
→
+
= < ≠
0 0
1
lim lim 1
ln( 1)
x
x t

e t
x t
→ →
−
= =
+
0
1
lim ln
x
x
a
a
x
→
−
=
1
lim 1
x
x
e
x
→±∞
 
⇒ + =
 ÷
 
CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH
Các dạng vô định

0 0
0
, , 0. , , 0 , , 1
0
∞
∞
∞ ∞−∞ ∞
∞
Ví dụ: Tính các giới hạn sau
3 2
2
1
3 2
1. lim
3 2
x
x x
x x
→
− +
− +
2
2
0
1 1
2. lim
2
x
x x
x x

→
+ − −
+
8
3. lim
2
x
x
x
x
→ ± ∞
+
 
 ÷
−
 
3 2
3
3 5 7
4. lim
3 2
x
x x x
x x
→ ±∞
+ − +
− +
3
1
1 3

5. lim
1 1
x
x x
→
 
−
 ÷
− −
 
0
sin5 sin3
6. lim
sin
x
x x
x
→
−
( )
2
1
0
7. lim cos
x
x
x
→
(
)

2 2
8. lim 3
x
x x x
→ + ∞
+ − +
VÔ CÙNG BÉ - VÔ CÙNG LỚN
1. Định nghĩa: Đại lượng α(x) là một vô cùng bé (VCB) khi
x→x
0
nếu
( )
0
lim 0
x x
x
α
→
=
Đại lượng α(x) là một vô cùng lớn (VCL) khi x→x
0
nếu
( )
0
lim
x x
x
α
→
= +∞

2. Tính chất
Giả sử α(x), β(x) là các VCB khi x→x
0
, C(x) bị chặn trong lân
cận x
0.
.
a. α(x) ± β(x), α(x). β(x) là VCB khi x→x
0
b. C(x)α(x) là VCB khi x→x
0
3. VCB cấp cao, VCB cùng cấp và VCB tương đương
Cho α(x), β(x) _ VCB khi x→x
0
và
( )
( )
0
α x
lim
β x
x x
C
→
=
•
C ≠ 0 , C ≠ ; α(x), β(x) là các VCB cùng cấp
•
C = 0, α(x) VCB cấp cao hơn β(x); ký hiệu: α(x) = o(β(x))
∞

VÔ CÙNG BÉ - VÔ CÙNG LỚN
•
C = 1, α(x), β(x) là các VCB tương đương; ký hiệu α(x)~ β(x)
Ví dụ: So sánh hai VCB khi x→0
a) α(x) = 5x
2
+ 2x
5
, β(x) = 3x
2
+ 2x
3
b) α(x) = sinx , β(x) = x
2
MỘT SỐ VCB TƯƠNG ĐƯƠNG

Tính chất 1: Khi x→0, ta có
1. sinx ~ tanx ~ arcsinx ~ arctanx ~ x
2. 1 – cosx ~
3. e
x
– 1 ~ x
4. ln(1+x) ~ x
5. (1 + x)
λ
– 1 ~ λ x (với λ > 0)
2
x
2
MỘT SỐ VCB TƯƠNG ĐƯƠNG


Tính chất 2: Giả sử α ~ α
/
và β ~ β
/
khi x →x
0
. Khi đó
0 0
/
/
lim lim
x x x x
α α
β β
→ →
=

Tính chất 3: Giả sử α(x) ~ o(β(x)) khi x →x
0
. Khi đó α + β ~
β
Áp dụng: Khi tính giới hạn có thể dùng các VCB tương
đương để biểu thức đơn giản hơn
Ví dụ: Tính các giới hạn sau
( )
1
A lim 1 tan
2
x

x
x
π
−
→
= −
( )
1
0
B lim cos
x
x
x
→
=
( )
( )
2
0
ln cos
D lim
ln 1
x
x
x
→
=
+
( )
0

ln 1 2tan
lim
sin3
x
x
C
x
→
+
=
( )
2
0
1
E = lim
ln 1 4
x
x
e
x
→
−
−
2
0
1 1
F lim
sin 4
x
x x

x
→
+ + −
=
HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Định nghĩa 1: Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x
0
nếu
Hàm số f(x) xác định tại x
0
( )
( )
0
0
lim f x f x
x x
→



=


Hàm số f(x) không liên tục tại x
0
được gọi là gián đoạn.
Định nghĩa 2: Liên tục một phía
Chú ý: Mọi hàm sơ cấp đều liên tục tại mọi điểm thuộc
MXĐ của nó.


Hàm số f(x) được gọi là
liên tục trái tại x
0
nếu
( )
( )
0
0
lim f x f x
x x
−
→



=


Hàm số f(x) xác định tại x
0
Hàm số f(x) xác định tại x
0
( )
( )
0
0
lim f x f x
x x
+
→




=



Hàm số f(x) được gọi
là liên tục phải tại x
0
nếu
Định nghĩa 3: Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng
(a; b) nếu nó liên tục tại mọi x (a; b)∈
HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số
1
a) y
x
=
tại x
0
= 0
x x<1
c) y
1 - x x 1

=

≥


tại x
0
= 1
tại x
0
= 0
1
0
b) y
1 0
x
x
x

≠

=


=

1
1 0 x
2
1
d) y -1 < x 1
2
0

≤ ≤




= ≤





với những trường hợp khác
tại x = 0, x = ½, x = 1