Tài liệu Bài tập giải tích - Tập 1 pdf

Môc lôc
i
ii
Lời nói đầu
Bạn đang có trong tay tập I của một trong những sách bài tập giải tích (theo
chúng tôi) hay nhất thế giới .
Trớc đây, hầu hết những ngờilàmtoáncủaViệtNamthờngsửdụnghaicuốn
sách nổi tiếng sau (bằng tiếng Nga và đ đợc dịch ra tiếng Việt):
1.
Bài tập giải tích toán học
của Demidovich (
B. P. Demidoviq; 1969,
Sbornik Zadaq i Upraẳneniái po Matematiqeskomu Analizu, Izdatel~stvo
"Nauka", Moskva
)
và
2.
Giải tích toán học, các ví dụ và bài tập
của Ljaszko, Bojachuk, Gai,
Golovach (
I. I. Lxko, A. K. Boquk, . G. Ga
á
, G. P. Golobaq; 1975, Matem-
atiqesk i
á
Analiz v Primerah i Zadaqah, Tom 1, 2, Izdatel~stvo Vixa
Xkola
).
để giảng dạy hoặc học giải tích.
Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số. Cuốn thứ hai cho lời
giải chi tiết đối với phần lớn bài tập của cuốn thứ nhất và một số bài toán khác.

Lần này chúng tôi chọn cuốn sách (bằng tiếng Ba Lan và đ đợc dịch ra tiếng
Anh):
3.
Bài tập giải tích. Tập I: Số thực, Dãy số và Chuỗi số
(W.J.Kaczkor,M.
T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze

s

c Pierwsza, Liczby Rz eczy-
wiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie -
Sklodowskiej, Lublin, 1996),
iii
iv Lời nói đầu
4.
Bài tập giải tích. Tập II: Liên tục và Vi phân
(W.J.Kaczkor,M.
T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze

s

c Druga, Funkcje Jednej
ZmiennejRachunek R

ozniczowy, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie -
Sklodowskiej, Lublin, 1998).
để biên dịch nhằm cung cấp thêm một tài liệu tốt giúp bạn đọc học và dạy giải tích.
Khi biên dịch, chúng tôi đ tham khảo bản tiếng Anh:
3*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak,
Problems in Mathematical Analysis I,

Real Numbers, Sequences and Series
, AMS, 2000.
4*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak,
Problems in Mathematical Analysis II,
Continuity and Differentiation
,AMS,2001.
Sáchnàycócácuđiểmsau:
Các bài tập đợc xắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay.
Lời giải khá đầy đủ và chi tiết.
Kết hợp đợc những ý tởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học hiện đại.
Nhiều bài tập đựơc lấy từ các tạp chí nổi tiếng nh, American Ma themati-
cal Monthly (tiếng Anh), Mathematics Today (tiếng Nga), Delta
(tiếng Balan)
. Vìthế,sáchnàycóthểdùnglàmtàiliệuchocáchọcsinh
phổ thông ở các lớp chuyên cũng nh cho các sinh viên đại học ngành toán.
Cáckiếnthứccơbảnđểgiảicácbàitậptrongsáchnàycóthểtìmtrong
5. Nguyễn Duy Tiến,
Bài Giảng Giải Tích, Tập I
, NXB Đại Học Quốc Gia Hà
Nội, 2000.
6. W. Rudin,
Principles of Mathematical Analysis
,McGraw-HilBook
Company, New York, 1964.
Tuyvậy,trớc mỗi chơng chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn đọc
nhớ lại các kiến thức cơ bản cần thiết khi giải bài tập trong chơng tơng ứng.
Lời nói đầu v
Tập I và II của sách chỉ bàn đến
hàm số một biến số
(trừ phần không gian

metric trong tập II). Kaczk or, Nowak chắc sẽ còn viết Bài Tập Giải Tích cho hàm
nhiều biến và phép tính tích phân.
Chúng tôi đang biên dịch tập II, sắp tới sẽ xuất bản.
Chúng tôi rất biết ơn :
-Giáos Phạm X uân Yêm (Pháp) đ gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh tập I
của sách này,
-Giáos Nguyễn Hữu Việt H ng (Việt Nam) đ gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng
AnhtậpIIcủasáchnày,
-Giáos Spencer Shaw (Mỹ) đ gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh cuốn sách
nổi tiếng của W. Rudin (nói trên), xuất bản lần thứ ba, 1976,
-TSDơng Tất Thắng đ cổ vũ và tạo điều kiện để chúng tôi biên dịch cuốn
sách này.
Chúng tôi chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào Tạo Cử
Nhân Khoa Học Tài Năng, Trờng ĐHKHTN, ĐHQGHN, đ đọc kỹ bản thảo và sửa
nhiều lỗi chế bản của bản đánh máy đầu tiên.
Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ đợc đông đảo bạn đọc đón nhận và
góp nhiều ý kiến quí báu về phần biên dịch và trình bày. Rất mong nhận đợc sự ch ỉ
giáo của quý vị bạn đọc, những ý kiến góp ý xin gửi về:
Chi đoàn cán bộ, Khoa
Toán Cơ Tin học, trờng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
Hà Nội, 334 Nguyễn Trãi, Thanh Xuân, Hà Nội.
Xinchânthànhcảmơn.
Hà Nội, Xuân 2002.
Nhóm biên dịch
Đoàn Chi
Cáckýhiệuvàkháiniệm
R - tập các số thực
R
+

-tậpcácsốthựcdơng
Z - tập các số nguyên
N - tập các số nguyên dơng hay các số tự nhiên
Q -tậpcácsốhữutỷ
(a; b ) -khoảngmởcóhaiđầumútlàa và b
[a; b] - đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút là a và b
[x] - phần nguyên của số thực x
Với x 2 R,hàmdấucủax là
sgn x =
8
>
<
>
:
1 với x>0;
Ă1 với x<0;
0 với x =0:
Với x 2 N,
n!=1Â 2 Â 3 Â ::: Â n;
(2n)!! = 2 Â 4 Â 6 Â ::: Â (2n Ă 2) Â (2n);
(2n Ă 1)!! = 1 Â 3 Â 5 Â ::: Â (2n Ă 3) Â (2n Ă 1):
Ký hiệu
Ă
n
k
Â
=
n!
k!(nĂk)!
;n;k2 N;ná k, là hệ số của khai triển nhị thức

Newton.
vii
viii Các ký hiệu và khái niệm
Nếu A ẵ R khác rỗng và bị chặn trên thì ta ký hiệu sup A là cận trên đúng
của nó, nếu nó không bị chặn trên thì ta quy ớc rằng sup A =+1.
Nếu A ẵ R khác rỗng và bị chặn dới thì ta ký hiệu inf A là cận dới đúng
của nó, nếu nó không bị chặn dới thì ta quy ớc rằng inf A = Ă1.
Dy fa
n
g cácsốthựcđợc gọi là đơn điệu tăng (tơng ứng đơn điệu giảm)
nếu a
n+1
á a
n
(tơng ứng nếu a
n+1
a
n
) với mọi n 2 N.Lớpcácdy đơn
điệu chứa các dytăngvàgiảm.
Số thực c đợc gọi là điểm giới hạn của dy fa
n
g nếu tồn tại một dycon
fa
n
k
g của fa
n
g hội tụ về c.
Cho S là tập các điểm tụ củ a dy fa

n
g.Cậndới đúng và c ận trên đúng của
dy,kýhiệulầnlợt là lim
n!1
a
n
và lim
n!1
a
n
đợc xác định nh sau
lim
n!1
a
n
=
8
>
<
>
:
+1 nếu fa
n
g không bị chặn trên;
Ă1 nếu fa
n
g bị chặn trên và S = ;;
sup S nếu fa
n
g bị chặn trên và S 6= ;;

lim
n!1
a
n
=
8
>
<
>
:
Ă1 nếu fa
n
g không bị chặn dới;
+1 nếu fa
n
g bị chặn dới và S = ;;
inf S nếu fa
n
g bị chặn dới và S 6= ;;
Tích vô hạn
1
Q
n=1
a
n
hội tụ nếu tồn tại n
0
2 N sao cho a
n
6=0với n á n

0
và
dy fa
n
0
a
n
0
+1
 :::  a
n
0
+n
g hội tụ khi n !1tới một giới hạn P
0
6=0.Số
P = a
n
0
a
n
0
+1
Â::: Â a
n
0
+n
 P
0
đợc gọi là giá trị của tích vô hạn.

Trongphầnlớncácsáchtoánởnớc ta từ trớc đến nay, các hàm tang và
côtang cũng nh các hà m ngợc của chúng đợc ký hiệu là tg x, cotg x,
arctg x, arccotg x theo cách ký hiệu của các sách có nguồn g ốc từ Pháp và
Nga, tuy nhiên trong các sách toán của Mỹ và phần lớn các nớc châu Âu,
chúng đợc ký hiệu tơng tự là tan x, cot x, arctan x, arccot x. Trong cuốn
sách này chúng tôi sẽ sử dụng những ký hiệu này để bạn đọc làm quen với
những ký hiệu đ đợc chuẩn hoá trên thế giới.
Bµi tËp
1
Chơng 1
Giới hạn và tính liên tục
1.1 Giới hạn của hàm số
Chúng ta dùng các định nghĩa sau.
Định nghĩa 1. Hàm
f gọi là tăng (tơng ứng, tăng thực sự, giảm, g iảm thực
sự) trên tập khác rỗng
A 2 R nếu x
1
<x
2
;x
1
;x
2
2 A kéo theo f(x
1
) f(x
2
)

(tơng ứng f(x
1
) <f(x
2
), f(x
1
) á f(x
2
), f(x
1
) >f(x
2
) ). Hàm tăng hay giảm
(tơng ứng, tăng thực sự hay giảm thực sự) gọi là hàm đơn điệu (tơng ứng,
đơn điệu thực sự)
Định nghĩa 2. Tập
(a Ă"; a + ") nfag,ởđây">0 gọi là lân cận khuyết của
điểm
a 2 R
1.1.1.
Tìm các giới hạn hoặ c chứng minh chúng không tồn tại.
(a)
lim
x!0
x cos
1
x
;
(b) lim
x!0

x

1
x
á
;
(c)
lim
x!0
x
a

b
x
á
;a;b>0; (d)
lim
x!0
[x]
x
;
(e) lim
x!1
x(
p
x
2
+1Ă
3
p

x
3
+1); (f) lim
x!0
cos(
ẳ
2
cos x)
sin(sin x)
:
1.1.2.
Giả sử
f :(Ăa; a) nf0g!R
. Chứng minh rằng
(a)
lim
x!0
f(x)=l nếu và chỉ nếu lim
x!0
f(sin x)=l,
3
4 Chơng 1. Giới hạn và tính liên tục
(b) lim
x!0
f(x)=l thì lim
x!0
f(jxj)=l.Điềungợc lại có đúng không ?
1.1.3.
Giả sử hàm f :(Ăa; a) nf0g!(0; +1) thoả mn lim
x!0

(f(x)+
1
f(x)
)=2.
Chứng minh rằng
lim
x!0
f(x)=1.
1.1.4.
Giả sử f đợc xác định trên l ân cận khuyết của a và lim
x!a
(f(x)+
1
jf(x)j
)=
0.Tìmlim
x!0
f(x).
1.1.5.
Chứng minh rằng nếu
f
là hàm bị chặn trên
[0; 1]
thoả mn
f(ax)=
bf(x )
với 0 x
1
a
và a; b > 1 thì lim

x!0
+
f(x)=f(0).
1.1.6.
Tính
(a)
lim
x!0
(x
2
(1+2+3+ÂÂÂ+[
1
jxj
]));
(b) lim
x!0
+
(x([
1
x
]+[
2
x
]+ÂÂÂ+[
k
x
]));k2 N.
1.1.7.
Tính lim
x!1

[P (x)]
P (jxj)
,ởđâyP (x) làđathứcvớihệsốdơng.
1.1.8.
Chỉrabằngvídụrằngđiềukiện
lim
x!0
(f(x)+f(2x)) = 0(Ô)
không suy ra f có giới hạn tại 0. Chứng minh rằng nếu tồn tại hàm ' sao
cho bất đẳng thức
f(x) á '(x) đợc thoả mn trong một lân cận khuyế t của
0 và lim
x!0
'(x)=0,thì(Ô)suyralim
x!0
f(x)=0.
1.1.9.
(a) Cho ví dụ hàm
f
thoả mnđiềukiện
lim
x!0
(f(x)f(2x)) = 0
và lim
x!0
f(x) không tồn tại.
(b) Chứng minh rằng nếu trong một lân cận khuyết của
0, các bất đẳng
thức
f(x) ájxj

đ
;
1
2
<đ<1; và f(x)f(2x) ájxj đợc thoả mn, th ì
lim
x!0
f(x)=0.
5
1.1.10.
Cho trớc số thực đ,giảsử lim
x!1
f(ax)
x
đ
= g(a) với mỗi số dơng a.
Chứng minh rằng tồ n tạ i
c
sao cho
g(a)=ca
đ
.
1.1.11.
Giả sử f : R ! R là hàm đơn điệu sao cho lim
x!1
f(2x)
f(x)
=1. Chứng
minh rằng
lim

x!1
f(cx)
f(x)
=1với mọi c>0.
1.1.12.
Chứng minh rằng nếu a>1 và đ 2 R thì
(a)
lim
x!1
a
x
x
=+1; (b) lim
x!1
a
x
x
đ
=+1:
1.1.13.
Chứng minh rằng nếu đ>0,thì lim
x!1
ln x
x
đ
=0
1.1.14.
Cho a>0, chứng minh lim
x!0
a

x
=1. Dùng đẳng thức này để chứng
minh tính liên tục của hàm mũ.
1.1.15.
Chứng minh rằng
(a)
lim
x!1
à
1+
1
x
ả
x
= e; (b) lim
x!Ă1
à
1+
1
x
ả
x
= e;
(c) lim
x!1
(1 + x)
1
x
= e:
1.1.16.

Chứng minh rằng lim
x!0
ln(1+x)=0. Dùng đằng thức n ày, suy ra hàm
logarit liên tục trên
(0; 1).
1.1.17.
Tính các giới hạn sau :
(a)
lim
x!0
ln(1 + x)
x
;
(b)
lim
x!0
a
x
Ă 1
x
;a>0;
(c)
lim
x!0
(1 + x)
đ
Ă 1
x
;đ2 R:
1.1.18.

Tìm
(a)
lim
x!1
(ln x)
1
x
; (b) lim
x!0
+
x
sin x
;
(c) lim
x!0
(cos x)
1
sin
2
x
; (d) lim
x!1
(e
x
Ă1)
1
x
;
(e) lim
x!0

(sin x)
1
ln x
:
6 Chơng 1. Giới hạn và tính liên tục
1.1.19.
Tìm các giới hạn sau:
(a)
lim
x!0
sin 2x +2arctg3x +3x
2
ln(1 + 3x +sin
2
x)+xe
x
;
(b)
lim
x!0
ln cos x
tg x
2
;
(c) lim
x!0
+
p
1 Ă e
Ăx

Ă
p
1 Ă cos x
p
sin x
; (d) lim
x!0
(1 + x
2
)
cotg x
:
1.1.20.
Tính
(a)
lim
x!1
(tg
ẳx
2x +1
)
1
x
;
(b)
lim
x!1
x(ln (1 +
x
2

) Ă ln
x
2
):
1.1.21.
Giả sử rằng lim
x!0
+
g(x)=0và tồn tại đ 2 R , các số dơng m; M sao
cho
m
f(x)
x
đ
M với những giá trị dơng của x trong lân cận của 0. Chứng
minh rằng nếu
đ lim
x!0
+
g(x)lnx = ; thì lim
x!0
+
f(x)
g(x)
= e

.Trờng hợp = 1
hoặc = Ă1,tagiảsửe
1
= 1 và e

Ă1
=0.
1.1.22.
Biết rằng lim
x!0
f(x)=1và lim
x!0
g(x)=1. Chứng minh rằng nếu
lim
x!0
g(x)(f(x) Ă 1) = ,thìlim
x!0
f(x)
g(x)
= e

.
1.1.23.
Tính
(a)
lim
x!0
+
Ă
2sin
p
x +
p
x sin
1

x
Â
x
,
(b)
lim
x!0

1+xe
Ă
1
x
2
sin
1
x
4

e
1
x
2
,
(c)
lim
x!0

1+e
Ă
1

x
2
arctg
1
x
2
+ xe
Ă
1
x
2
sin
1
x
4

e
1
x
2
.
1.1.24.
Cho f :[0; +1) ! R là hàm sao cho mỗi dyf(a + n);aá 0; hội tụ
tới khô ng. Hỏi giới hạn lim
x!1
f(x)
có tồn tại không ?
1.1.25.
Cho
f :[0; +1) ! R

làhàmsaochovớimọisốdơng
a
,dy
ff(an)g
,
hộitụtớikhông.Hỏigiớihạn
lim
x!1
f(x) có tồn tại không ?
1.1.26.
Cho f :[0; +1) ! R là hàm sao cho với mọi a á 0 và mọi b>0,
dyff(a + bn)g;aá 0 ;
hội tụ tới không. Hỏi giớ i hạn
lim
x!1
f(x)
có tồn tại
không ?
7
1.1.27.
Chứng minh rằng nếu lim
x!0
f(x)=0và lim
x!0
f(2x)Ăf(x)
x
=0thì lim
x!0
f(x)
x

=
0.
1.1.28.
Giả sử f xác định trên (a; +1),bịchặntrênmỗikhoảnghữuhạn
(a; b) ;a<b.Chứngminhrằngnếu lim
x!+1
(f(x+1)Ăf(x)) = l,thìlim
x!0
f(x)
x
= l.
1.1.29.
Cho f xác định trên (a; +1),bịchặndới trên mỗi khoảng hữu
hạn
(a; b) ;a < b. C hứng minh rằng nếu lim
x!+1
(f(x +1)Ă f(x)) = +1,thì
lim
x!0
f(x)
x
=+1
.
1.1.30.
Cho f xác định trên (a; +1), bị chặn trên mỗi khoảng hữu hạn
(a; b) ;a<b. Nếu với số nguyê n không âm k , lim
x!+1
f(x+1)Ăf(x)
x
k

tồn tại, thì
lim
x!+1
f(x)
x
k+1
=
1
k +1
lim
x!+1
f(x +1)Ă f(x)
x
k
:
1.1.31.
Cho f xác định trên (a; +1), bị chặn trên mỗi khoảng hữu hạn
(a; b) ;a < b và giả sử f(x) á c>0 với x 2 (a; +1). Chứng minh rằng nếu
lim
x!+1
f(x+1)
f(x)
tồn tại, thì lim
x!+1
f(x)
1
x
cũng tồn tại và
lim
x!+1

(f(x))
1
x
= lim
x!+1
f(x +1)
f(x)
:
1.1.32.
Giả thiết rằng lim
x!0
f

Ê
1
x
Ô
Ă1

=0.Từđócósuyralim
x!0
f(x) tồn t ại
không ?
1.1.33.
Cho
f : R ! R
sao cho với mọi
a 2 R
,dy
â

f(
a
n
)
ê
hội tụ tới không.
Hỏi
f có giới hạn tại 0 không ?
1.1.34.
Chứng minh rằng nếu lim
x!0
f
Ă
x
Ă
1
x
Ă
Ê
1
x
ÔÂÂ
=0,thìlim
x!0
f(x)=0.
1.1.35.
Chứng minh rằng nếu f đơnđiệutăng(giảm)trên(a; b),thìvới
mọi
x
0

2 (a; b),
(a)
f(x
+
0
) = lim
x!x
+
0
f(x)= inf
x>x
0
f(x)(f(x
+
0
)=sup
x>x
0
f(x));
8 Chơng 1. Giới hạn và tính liên tục
(b) f(x
Ă
0
) = lim
x!x
Ă
0
f(x)=sup
x<x
0

f(x)(f(x
Ă
0
)= inf
x<x
0
f(x));
(c)
f(x
Ă
0
) f(x
0
) f(x
+
0
)(f(x
Ă
0
) á f(x
0
) á f(x
+
0
))
.
1.1.36.
Chứng minh rằng nếu f đơnđiệutăngtrên(a; b),thìvớimọix
0
2

(a; b),
(a)
lim
x!x
+
0
f(x
Ă
)=f(x
+
0
);
(b) lim
x!x
Ă
0
f(x
+
)=f(x
Ă
0
):
1.1.37.
Chứng minh định lí Cauchy sa u đây. Để f có giới hạn hữu hạn
khi
x ! a, điều kiện cần và đủ là với mọi ">0 tồn tại >0 sao cho
jf(x) Ăf(x
0
)j <"bất cứ khi nào 0 < jx Ăaj <và 0 < jx
0

Ăaj <. Lập công
thức và chứng minh điều kiện cầ n và đủ tơng tự để
lim
x!1
f(x) tồn tại.
1.1.38.
Chứng mi nh rằng n ếu lim
x!a
f(x)=A và lim
y!A
g(y)=B,thìlim
x!a
g(f(x)) =
B với giả thiết (g f)(x)=g(f(x)) đợc xác định và f không nhận giá trị A
trong lân cận khuyết của a.
1.1.39.
Tìm các hàm f và g sao cho lim
x!a
f(x)=A và lim
y!A
g(y)=B,nhng
lim
x!a
g(f(x)) 6= B.
1.1.40.
Giả sử f : R ! R là hàm tăng và x 7! f(x) Ă x có chu kì 1.Kíhiệu
f
n
là phép lặp thứ n của f;tứclà,f
1

= f và f
n
= f f
nĂ1
với n á 2. Chứng
minh rằng nếu lim
n!1
f
n
(0)
n
tồn tại, thì với mọi
x 2 R; lim
n!1
f
n
(x)
n
=lim
n!1
f
n
(0)
n
1.1.41.
Giả sử f : R ! R là hàm tăng và x 7! f(x) Ă x có chu kì 1.Ngoài
ra, giả sử f(0) > 0
và
p
là số nguyên dơng cố định. Kí hiệu

f
n
là phép lặp
thứ
n
của
f
.Chứngminhrằngnếu
m
p
là số nguyên dơng nhỏ nhất sao cho
f
m
p
(0) > 0,thì
p
m
p
lim
n!1
f
n
(0)
n

lim
n!1
f
n
(0)

n

p
m
p
+
1+f(0)
m
p
:
1.1.42.
Giả sử f : R ! R là hàm tăng và x 7! f(x) Ă x có chu kì 1. Chứng
minh rằng
lim
n!1
f
n
(x)
n
tồn tại và nhận cùng giá trị với mọi x 2 R,ởđâyf
n
kí
hiệu phép lặp thứ
n của f.
9
1.2 Các tính chất của hàm liên tục
1.2.1.
Tìm tất cả các đ iểm li ên t ục của hàm
f
xác định bởi

f(x)=
(
0 nếu x vô tỷ,
sin jxj nếu x hữu tỷ.
1.2.2.
Xácđịnh tập các điểm li ên tục của hàm f đợc cho bởi
f(x)=
(
x
2
Ă 1 nếu x vô tỷ,
0 nếu x hữu tỷ.
1.2.3.
Nghiên cứu tính liên tục của các hàm sau:
(a)
f(x)=
8
>
<
>
:
0 nếu x vô tỷ hoặc x =0,
1
q
nếu x = p=q; p 2 Z;q2 N,và
p; q nguyên tố cùng nhau,
(b)
f(x)=
8
>

<
>
:
jxj nếu x vô tỷ hoặc x =0,
qx=(qx +1) nếu x = p=q; p 2 Z;q2 N,và
p; q nguyên tố cùng nhau,
(Hàm định nghĩa ở
(a) đợc gọi là hàm Riemann.)
1.2.4.
Chứng minh rằng nếu f 2 C([a; b]),thìjfj2C([a; b]). Chỉ ra bằng ví
dụ rằng điều n gợc lại không đúng.
1.2.5.
Xác định tất cả các a
n
và b
n
sao cho hàm xác định bởi
f(x)=
(
a
n
+sinẳx
nếu
x 2 [2n; 2n +1];n2 Z
,
b
n
+cosẳx
nếu
x 2 (2n Ă1; 2n);n2 Z

,
liên tục trên
R
.
1.2.6.
Cho f(x)=[x
2
]sinẳx với x 2 R. Nghiên cứu tính liên tục của f.
1.2.7.
Biết
f(x)=[x]+(x Ă [x])
[x]
với x á
1
2
:
Chứng minh rằng
f
liên tục và tăng thực sự trên
[1; 1)
.
10 Chơng 1. Giới hạn và tính liên tục
1.2.8.
Nghiên cứu tính liên tục của các hàm sau đây và vẽ đồ thị của chúng
(a)
f(x) = lim
n!1
n
x
Ăn

Ăx
n
x
+n
Ăx
;x2 R;
(b)
f(x) = lim
n!1
x
2
e
nx
+x
e
nx
+1
;x2 R;
(c) f(x) = lim
n!1
ln(e
n
+x
n
)
n
;xá 0;
(d) f(x) = lim
n!1
n

q
4
n
+ x
2n
+
1
x
2n
;x6=0;
(e) f(x) = lim
n!1
2n
p
cos
2n
x +sin
2n
x; x 2 R:
1.2.9.
Chứng minh rằng nếu f : R ! R liên tục và tuần hoàn thì nó có giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
1.2.10.
Cho P (x)=x
2n
+ a
2nĂ1
x
2nĂ1
+ Â + a

1
x + a
0
, chứng minh rằng tồn tại
x
Ô
2 R sao cho P (x
Ô
)=inffP(x):x 2 Rg. Cũng chứng minh rằng giá trị
tuyệt đối của mọi đa thức
P có giá trị nhỏ nhất; tức là, tồn tại x
Ô
2 R sao
cho
jP (x
Ô
)j =inffjP (x)j : x 2 Rg.
1.2.11.
(a) Cho ví dụ về hàm bị chặn trên [0; 1] nhng không có giá trị nhỏ nhất,
cũng không có giá trị lớn nhất.
(b) Cho ví dụ về hàm bị chặn trên
[0; 1]
nhng không có giá tr ị nhỏ nhất
trên mọi đoạ n
[a; b] ẵ [0; 1];a<b
.
1.2.12.
Cho f : R ! R;x
0
2 R và >0,đặt

!
f
(x
0
;)=supfjf(x) Ă f(x
0
)j : x 2 R; jx Ă x
0
j <g
và !
f
(x
0
)= lim
!0
+
!
f
(x
0
;). Chứng minh rằng f liên tục tại x
0
nếu và chỉ nếu
!
f
(x
0
)=0
.
1.2.13.

11
(a) Cho f;g 2 C([a; b]) và với x 2 [a; b],đặth(x)=minff(x);g(x)g và
H(x)=maxff(x);g(x)g. Chứng minh rằng h; H 2 C([a; b]).
(b) Cho
f
1
;f
2
;f
3
2 C([a; b]) và với x 2 [a; b],đặtf(x) là một trong ba giá trị
f
1
(x);f
2
(x) và f
3
(x) mà nằm giữa hai giá t rị còn lại. Chứng minh rằng
f 2 C([a; b]).
1.2.14.
Chứng minh rằng nếu f 2 C([a; b]),thìcáchàmđợc xác định bởi
m(x)=infff(): 2 [a; x]g và M(x)=supff(): 2 [a; x]g
cũng liê n tục trên [a; b].
1.2.15.
Gọi f là hàm bị chặn trên [a; b]. Chứng minh rằng các hàm đợc xác
định bởi
m(x)=infff(): 2 [a; x)g và M(x)=supff(): 2 [a; x)g
cũng liê n tục trên (a; b).
1.2.16.
Với các giả thiết của bài toán trớc, kiểm tra các hàm

m
Ô
(x)=infff(): 2 [a; x]g và M
Ô
(x)=supff(): 2 [a; x]g
có liên tục trái trên (a; b) hay không ?
1.2.17.
Giả sử f liên tục trên [a; 1) và lim
x!1
f(x) hữu hạn. Chứng minh rằng
f bị chặn trên [a; 1).
1.2.18.
Cho f là hàm liên tục trên R và đặt fx
n
g là dy bị chặn. Các bất
đẳng thức sau
lim
n!1
f(x
n
)=f( lim
n!1
x
n
)
và
lim
n!1
f(x
n

)=f( lim
n!1
x
n
)
có đúng không ?
1.2.19.
Cho
f : R ! R
là hàm liên tục, tăng và gọi
fx
n
g
là dy bị chặn.
Chứng minh rằng
12 Chơng 1. Giới hạn và tính liên tục
(a) lim
n!1
f(x
n
)=f(lim
n!1
x
n
);
(b)
lim
n!1
f(x
n

)=f( lim
n!1
x
n
):
1.2.20.
Cho f : R ! R là hàm liên tục, giảm và gọi fx
n
g là dy bị chặn.
Chứng minh rằng
(a)
lim
n!1
f(x
n
)=f(lim
n!1
x
n
);
(b)
lim
n!1
f(x
n
)=f( lim
n!1
x
n
):

1.2.21.
Giả sử f liên tục trên R; lim
x!Ă1
f(x)=Ă1 và lim
x!1
f(x)=+1.Xác
định
g bằng cách đặt
g(x)=supft : f(t) <xg với x 2 R:
(a) Chứng minh rằng g liên tục trái.
(b)
g có liên tục không ?
1.2.22.
Cho f : R ! R là hàm tuần hoàn liên tục với hai chu kì không thông
ớc
T
1
và T
2
; tức là
T
1
T
2
vô tỷ. Chứng minh rằng f là hàm hằng. Cho ví dụ
hàm tuần hoàn khác hàm hằng có hai chu kì không thông ớc.
1.2.23.
(a) Chứng minh rằng nếu
f : R ! R
là hàm liên tục, tuần hoàn, khác hàm

hằng, thì nó có chu kì dơng nhỏ nhất, gọi là chu kì cơ bản.
(b) Cho ví dụ hàm tuàn hoàn khác hàm hằng mà không có chu kì cơ bản.
(c) Chứng minh rằng nếu
f : R ! R là hàm tuần hoàn không có chu kì cơ
bản, thì tập tất cả các chu kì của
f trù mật tron g R.
1.2.24.
13
(a) Chứng minh rằng định lí tro ng mục (a) của bài toán trớc vẫn còn đúng
khi tính liên tục của
f trên R đợc thay thế bởi tính liên tục tại một
điểm.
(b) Chứng minh rằng nếu
f : R ! R là hàm tuần hoàn không có chu kì cơ
bản và nếu nó liê n tục tại ít nhất một điểm , thì nó là hàm hằng.
1.2.25.
Chứng minh rằng nếu f;g : R ! R là hàm liên tục, tuần hoàn và
lim
x!1
(f(x) Ă g(x)) = 0 thì f = g.
1.2.26.
Cho ví d ụ hai hàm tuần hoàn f và g s ao cho mọi chu kì của f không
thông ớcvớimọichukìcủag
và sao cho
f + g
(a) không tuần hoàn,
(b) tuần hoàn.
1.2.27.
Cho f;g : R ! R là các hàm liên tục và tuần hoàn lần lợt với c hu
kì cơ bản dơng

T
1
và T
2
.Chứngminhrằngnếu
T
1
T
2
=2 Q,thìh = f + g không
là hàm tuần hoàn.
1.2.28.
Cho f;g : R ! R là các hàm tuần hoàn .Giả sử f liên tục và không
có chu kì nào của
g thông ớc với chu kì cơ bản của f. Chứng minh rằng
f + g không là hàm tuần hoàn.
1.2.29.
Chứng minh rằng tập các điểm gián đoạn của hàm đơn điệu f : R !
R khô ng quá đếm đợc.
1.2.30.
Giả sử
f
liên tục trên
[0; 1]
. Chứng minh rằng
lim
n!1
1
n
n

X
k=1
(Ă1)
k
f(
k
n
)=0:
1.2.31.
Cho f liên tục trên [0; 1]. Chứng minh rằng
lim
n!1
1
2
n
n
X
k=0
(Ă1)
k
à
n
k
ả
f(
k
n
)=0:
14 Chơng 1. Giới hạn và tính liên tục
1.2.32.

Giả sử f :(0; 1) ! R là hàm liên tục sao cho f(x) f(nx) với mọi
số dơng
x và mọi số tự nhiên n. Chứng minh rằng lim
x!1
f(x) tồn tại (hữu
hạn hoặc vô hạn).
1.2.33.
Hàm f xác định trên khoảng I ẵ R đợc gọi là lồi trên I nếu
f(áx
1
+(1Ă á)x
2
) áf(x
1
)+(1Ă á)f(x
2
)
với mọi x
1
;x
2
2 I và á 2 (0 ; 1).Chứngminhrằngnếuf lồitrênkhoảngmở,
thì nó liên tục. Hàm lồi trên khoảng bất kì có nhất thiết liên tục không ?
1.2.34.
Chứng minh rằng nếu dy ff
n
g các hàm liê n tục trên A hộitụđều
tới
f trên A,thìf liên tục trên A.
1.3 Tính chất giá trị trung gian

Ta nhắc lại định nghĩa sau:
Định nghĩa 3. Hàm thực
f có tính chất gi á trị trung gian trên khoảng I
chứa [a; b] nếu f(a) <v<f(b) hoặc f(b ) <v<f(a);tứclà,nếuv nằm giữa
f(a) và f(b),thìtồntạic nằm giữa a và b sao cho f(c)=v.
1.3.1.
Cho các ví dụ các hàm có tính chất giá trị trung gian trên khoảng
I
nhng không liên tục trên khoả ng này.
1.3.2.
Chứng minh rằng hàm tăng thực sự f :[a; b] ! R có tính chất giá t rị
trung gia n thì liên tục trên [a; b]
.
1.3.3.
Cho
f :[0; 1] ! [0; 1]
liên tục. Chứng minh rằng
f
có điểm cố định
trong [0; 1]
;tứclà,tồntại
x
0
2 [0; 1]
sao cho
f(x
0
)=x
0
.

1.3.4.
Giả sử
f;g :[a; b] ! R
liên tục sao cho
f(a) <g(a)
và
f(b) >g(b)
.
Chứng minh rằng tồ n tạ i
x
0
2 (a; b)
sao cho
f(x
0
)=g(x
0
)
.
15
1.3.5.
Cho f : R ! R liên tục và tuần hoàn với chu kì T>0. Chứng minh
rằng tồn tại
x
0
sao cho
f
à
x
0

+
T
2
ả
= f(x
0
):
1.3.6.
Hàm f :(a; b) ! R liên tục. Chứng minh rằng, với x
1
;x
2
;::: ;x
n
cho
trớc trong
(a; b),tồntạix
0
2 (a; b) sao cho
f(x
0
)=
1
n
(f(x
1
)+f(x
2
)+Â + f(x
n

)):
1.3.7.
(a) Chứng minh rằng phơng trình (1 Ă x)cosx =sinx có ít nhất một
nghiệm trong
(0; 1).
(b) Với đa thức khác không
P , chứng minh rằng phơng trình jP(x)j = e
x
có ít nhất một nghiệm.
1.3.8.
Với a
0
<b
0
<a
1
<b
1
< ÂÂÂ <a
n
<b
n
, chứng minh rằng mọi nghiệm
của đa thức
P (x)=
n
Y
k=0
(x + a
k

)+2
n
Y
k=0
(x + b
k
);x2 R;
đều là thực.
1.3.9.
Giả sử f và g có tín h chất giá trị trung gian trê n [a; b].Hỏif + g có
tính chất giá trị trung gi an trên khoảng đó không ?
1.3.10.
Giả sử
f 2 C([0; 2])
và
f(0) = f(2)
. Chứng minh rằng tồn tạ i
x
1
và
x
2
trong
[0; 2]
sao cho
x
2
Ăx
1
=1

và
f(x
2
)=f(x
1
):
Giải thích ý nghĩa h ình học kết quả trên.
1.3.11.
Cho f 2 C([0; 2]). Chứng minh rằng tồn tại x
1
và x
2
trong [0; 2] sao
cho
x
2
Ă x
1
=1và f(x
2
) Ă f(x
1
)=
1
2
(f(2) Ă f(0)):
16 Chơng 1. Giới hạn và tính liên tục
1.3.12.
Với n 2 N,gọif 2 C([0;n]) sao cho f(0) = f(n). Chứng minh rằng
tồn tại

x
1
và x
2
trong [0;n] thoả mn
x
2
Ăx
1
=1và f(x
2
)=f(x
1
):
1.3.13.
Hàm liên tục f trên [0;n];n2 N,thoảmn f(0) = f(n). Chứng minh
rằng với mọi
k 2f1; 2;::: ;nĂ 1g, tồn tại x
k
và x
0
k
sao cho f(x
k
)=f(x
0
k
),ở
đây
x

k
Ăx
0
k
= k hoặc x
k
Ăx
0
k
= n Ăk.Hỏivớimọik 2f1; 2;::: ;nĂ1g,cótồn
tại
x
k
và x
0
k
sao cho f(x
k
)=f(x
0
k
),ởđâyx
k
Ă x
0
k
= k ?
1.3.14.
6
Với n 2 N,gọif 2 C([0;n]) sao ch o f(0) = f(n). Chứng minh rằng

phơng trình
f(x)=f(y) có ít nhất n nghiệm với x Ă y 2 N.
1.3.15.
Giả sử các hàm thực liên tục f và g xác định trên R giao hoán với
nhau; tức là,
f(g(x)) = g(f(x)) với mọi x 2 R. Chứng minh rằng nếu phơng
trình
f
2
(x)=g
2
(x) có nghiệm, thì phơng trình f(x)=g(x) cũng có nghiệm
(ở đây
f
2
(x)=f(f(x)) và g
2
(x)=g(g(x)) ).
Chỉ ra ví dụ rằng giả thiết về tính liên tục của
f và g trong bài toán trên
không thể bỏ qua.
1.3.16.
Chứng minh rằng đơn ánh liên tục f : R ! R thì hoặc tăng thực sự,
hoặc giảm thực sự.
1.3.17.
Giả sử f : R ! R là dơn ánh liên tục. Chứng minh rằng nếu tồn tại
n sao cho phép lặp thứ n của f là ánh xạ đồng nhất, tức là, f
n
(x)=x với
mọi

x 2 R,thì
(a)
f(x)=x; x 2 R
,nếu
f
tăng thực sự,
(b)
f
2
(x)=x; x 2 R
,nếu
f
giảm thực sự.
1.3.18.
Giả sử f : R ! R thoả mnđiềukiệnf(f(x)) = f
2
(x)=Ăx; x 2
R.Chứng minh rằng f không thể liên tục.
1.3.19.
Tìm tất cả các hàm
f : R ! R
có tính chất giá trị trung gian và tồn
tại
n 2 N
sao cho
f
n
(x)=Ăx; x 2 R
,ởđây
f

n
kí hiệu phép lặp thứ
n
của
f
.
17
1.3.20.
Chứng minh rằng nếu f : R ! R có tính chất giá trị trung gian và
f
Ă1
(fqg) đóng với mọi q hữu tỷ, thì f liên tục.
1.3.21.
Giả sử f :(a; 1) ! R liên tục và bị chặn. Chứng minh rằng, với T
cho trớc, tồn tại d y fx
n
g sao cho
lim
n!1
x
n
=+1 và lim
n!1
(f(x
n
+ T ) Ăf(x
n
)):
1.3.22.
Chovídụhàmliêntụcf : R ! R đạt mỗi giá trị của nó đ úng ba

lần.Hỏicótồntạihaykhônghàmliêntục
f : R ! R đạt mỗi giá trị của nó
đúng hai lần ?
1.3.23.
Cho f :[0; 1] ! R liên tục và đơnđiệuthựcsựtừngmảnh.(Hàmf
gọi là đơn điệu thực sự từng mảnh trên [0; 1], nếu tồn tại phân hoạch của
[0; 1] thành hữu hạn khoảng con [t
iĂ1
;t
i
],ởđâyi =1; 2;::: ;nvà 0=t
0
<t
1
<
ÂÂÂ<t
n
=1, sao cho f đơnđiệutrênmỗikhoảngconđó.)Chứngminhrằng
f nhận một trong các giá trị của nó một số lẻ lần.
1.3.24.
Hàm liên tục f :[0; 1] ! R nhận mỗi gi á trị của nó hữu hạn lần và
f(0) 6= f(1). Chứng minh rằng f nhận một trong các giá trị của nó một số
lẻ lần.
1.3.25.
Giả sử f : K ! K liên tụctrên tập con compact K ẵ R. Ngoài ra,
giả sử x
0
2 K
là số sao cho mọi điểm giới hạn của dylặp
ff

n
(x
0
)g
là điểm
cố định của f
. Chứng minh rằng
ff
n
(x
0
)g
hội tụ.
1.3.26.
Hàm
f : R ! R
liên tục, tăng sao cho
F
xác định bởi
F (x)=f(x)Ăx
tuần hoàn với chu kì 1. Chứng minh rằng nếu đ(f) = lim
n!1
f
n
(0)
n
,thìtồntại
x
0
2 [0; 1]

sao cho
F (x
0
)=đ(f)
. Chứng minh thêm rằng
f
có điểm bất động
trong
[0; 1]
nếu và chỉ nếu
đ(f)=0
. (Xem các bài toán 1.1.40 - 1.1.42.)
1.3.27.
Hàm
f :[0; 1] ! R
thoả mn
f(0) < 0
và
f(1) > 0
,vàtồntạihàm
g
liên tục trên
[0; 1]
sao cho
f + g
giảm. Chứng minh rằng phơng trình
f(x)=0
có nghiệm trong khoảng mở
(0; 1)
.