50 Câu Trắc Nghiệm Số Phức Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (238.48 KB, 11 trang )
www.thuvienhoclieu.com
BÀI TẬP SỐ PHỨC CÓ ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Câu 1. Tính mơđun của số phức z 3 4i .
A. 3 .
B. 5 .
Câu 2. Số phức liên hợp của số phức
A.
E 2; 1
.
B.
C. 7 .
z i 1 2i
B 1; 2
D.
7.
có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây?
.
C.
A 1; 2
.
D.
F 2;1
.
Câu 3. Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Phần thực là
B. Phần thực là
C. Phần thực là
D. Phần thực là
3 , phần ảo là 2 .
3 , phần ảo là 2i .
3 , phần ảo là 2i .
3 , phần ảo là 2 .
Câu 4. Cho số phức z 1 2i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w z iz trên mặt phẳng
toạ độ?
A.
M 3;3
.
B.
Q 3; 2
.
C.
N 2;3
.
D.
P 3;3
D.
61 .
.
z 3 z2
Câu 5. Cho hai số phức z1 2 3i , z2 1 i . Giá trị của biểu thức 1
là
A.
55 .
B. 5 .
C. 6 .
2
Câu 6. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2 z 10 0 . Tính iz0 .
A. iz0 3 i .
B. iz0 3i 1 .
C. iz0 3 i .
D. iz0 3i 1 .
Câu 7. Phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức z 1 i là:
B. Phần thực là 1 , phần ảo là i .
D. Phần thực là 1 , phần ảo là 1 .
A. Phần thực là 1 , phần ảo là 1 .
C. Phần thực là 1 , phần ảo là i .
Câu 8. Xác định phần ảo của số phức z 18 12i .
A. 12 .
B. 18 .
C. 12 .
D. 12i .
M 1; 2
Câu 9. Điểm biểu diễn của số phức z là
. Tọa độ của điểm biểu diễn cho số phức w z 2 z là
A.
2; 3 .
B.
2;1 .
C.
1;6 .
D.
2;3 .
2
Câu 10.
Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình z 4 z 5 0 . Giá trị của biểu thức
P z1 2 z2 .z2 4 z1
bằng:
A. 10 .
B. 10 .
C. 5 .
www.thuvienhoclieu.com
D. 15 .
Trang 1
www.thuvienhoclieu.com
z 1 i 1 2i
Cho số phức
. Số phức z có phần ảo là:
2
Câu 11.
A. 2 .
Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn cho số
Câu 12.
A.
D. 2i .
C. 2 .
B. 4 .
z 2 2i 5 i
phức
.
z 1 2i 4 i
B.
.
C. z 3i 1 .
D. z 1 3i .
Cho số phức z 1 2i . Số phức liên hợp của z là
Câu 13.
A. z 1 2i .
C. z 2 i .
Câu 14.
A.
Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức
1; 4 .
B.
z a 2 b2
.
B. z a bi .
B. 10 .
A. 12 .
3 2i
C.
.
1; 4 .
D.
1; 4 .
2
C. z là số thực.
D. z.z là số thực.
C. 13 .
D. 15 .
1 z 1 i 5 i 0 . Số phức w 1 z bằng
Cho số phức z thỏa mãn
Câu 17.
A. 1 3i .
B. 1 3i .
C. 2 3i .
D. 2 3i .
z 1 3i 1 2i 3 4i 2 3i .
Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức
Câu 18.
Giá trị của a b là
A. 7 .
B. 7 .
C. 31 .
D. 31 .
Cho số phức z1 3 2i , z2 6 5i . Tìm số phức liên hợp của số phức z 6 z1 5 z2
Câu 19.
z 51 40i .
Câu 20.
A. 2 .
Câu 21.
2 3i 4 i
2
Cho hai số phức z1 3 i và z2 4 i . Tính môđun của số phức z1 z2 .
Câu 16.
A.
1; 4 .
z
a, b ¡ . Khẳng định nào sau đây sai?
Cho số phức z a bi
Câu 15.
A.
B. z 1 2i .
D. z 1 2i .
B. z 51 40i .
C. z 48 37i .
D. z 48 37i .
1 2i z 1 2i 2 i . Mô đun của z bằng
Cho số phức z thỏa mãn
B. 1 .
C.
2.
D. 10 .
z 5
Số phức z nào sau đây thỏa
và z là số thuần ảo?
www.thuvienhoclieu.com
Trang 2
A. z 5 .
www.thuvienhoclieu.com
B. z 2 3i .
C. z 5i .
D. z 5i .
Câu 22.
Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z a bi ( a, b ¡ , ab 0 ),
M là điểm biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M đối xứng với M qua Oy .
C. M đối xứng với M qua đường thẳng y x .
B. M đối xứng với M qua Ox .
D. M đối xứng với M qua O .
2
2
z z2
Cho hai số phức z1 1 2i , z2 1 2i . Giá trị của biểu thức 1
bằng
Câu 23.
A. 10 .
C. 6 .
B. 10 .
D. 4 .
3 2i z 2 i 4 i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức
Cho số phức z thỏa mãn:
2
Câu 24.
z là
A. 3 .
B. 2 .
a, b ¡
Biết z a bi
Câu 25.
A. a b 5 .
là số phức thỏa mãn
B. a b 1 .
A. 2 3i .
D. a b 1 .
1
3
i
D. 2 2 .
C. 0 .
B. 1 .
z 4
.
B.
z 2 506
Câu 28.
Cho số phức z a bi
của z ?
A. 5 .
C.
thỏa
1 i
Câu 30.
Cho số phức
thức P a b .
B.
1 i
4
5
4
.
z a bi a, b ¢
B. 8 .
.
D.
C.
thỏa mãn
z 3
.
1 3i
1 2i . Giá trị nào dưới đây là môđun
C. 10 .
1 i , 1 i , 1 i , 1 i
3
.
z 17 7
a b 1 i
B. 1 .
Trong các số phức:
A. 10 .
.
a, b ¡
3
Câu 29.
Câu 31.
C. a b 9 .
là
3 z.z 2024 z z 48 2023i.
Tính mơđun của số phức z thỏa mãn:
Câu 27.
A.
3 2i z 2iz 15 8i . Tổng a b
1
3
z
i
2 2 . Tìm số phức w 1 z z 2 .
Cho số phức
Câu 26.
A.
D. 0 .
C. 1 .
D.
5.
6
số phức nào là số phức thuần ảo?
1 i
5
.
z 2 5i 5
D.
1 i
6
.
và z.z 82 . Tính giá trị của biểu
C. 35 .
D. 7 .
1
Cho số phức z mi , (m ¡ ) . Tìm phần ảo của số phức z ?
www.thuvienhoclieu.com
Trang 3
1
A. m .
1
B. m .
www.thuvienhoclieu.com
1
i
C. m .
1
i
D. m .
z 3 4i 5
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
là
Câu 32.
A. Một đường tròn.
B. Một đường thẳng.
C. Một đường parabol.
D. Một đường Elip.
Câu 33.
Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C , D lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 1 i ,
z2 1 2i , z3 2 i , z4 3i . Gọi S là diện tích tứ giác ABCD . Tính S .
A.
S
17
2 .
B.
S
19
2 .
C.
S
23
2 .
D.
S
21
2 .
z 3 4i 5
Câu 34.
Cho số phức z thoả mãn
. Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu
diễn các số phức z là một đường trịn. Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường trịn đó.
A.
I 3; 4 R 5
,
.
B.
I 3; 4 R 5
,
.
C.
I 3; 4 R 5
,
.
D.
I 3; 4 R 5
,
.
z i 5
Câu 35.
Cho các số phức z thỏa mãn
. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức
w iz 1 i là đường trịn. Tính bán kính của đường trịn đó.
A. r 22 .
Câu 36.
Cho số phức thỏa
đường trịn đó.
A.
I 0;1
.
B. r 20 .
z 3
B.
D. r 5 .
C. r 4 .
. Biết rằng tập hợp số phức w z i là một đường trịn. Tìm tâm của
I 0; 1
.
C.
I 1; 0
.
D.
I 1; 0
.
z z z 1
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
?
Câu 37.
A. 0 .
Câu 38.
một
B. 1 .
2 z 1 z z 2
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
trên mặt phẳng tọa độ là
A. đường thẳng.
B. đường tròn.
a, b ¡
Cho số phức z a bi
Câu 39.
D. 3 .
C. 4 .
A. P 1 .
B. P 5 .
C. parabol.
thỏa mãn
z 2 i z 1 i 0
C. P 3 .
D. hypebol.
và
z 1
. Tính P a b .
D. P 7 .
3
2
Tổng các nghiệm phức của phương trình z z 2 0 là
Câu 40.
A. 1 .
C. 1 i .
B. 1 .
D. 1 i .
2
Kí hiệu z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 4 z 16 z 17 0. Trên mặt
3
w 1 2i z1 i
2 ?
phẳng tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức
Câu 41.
A.
M 2;1 .
B.
M 3; 2 .
C.
M 3; 2 .
www.thuvienhoclieu.com
D.
M 2;1 .
Trang 4
www.thuvienhoclieu.com
z 2 i z 3i
Câu 42.
Trên mặt phẳng phức tập hợp các số phức z x yi thỏa mãn
là đường
thẳng có phương trình
A. y x 1 .
Câu 43.
B. y x 1 .
Có bao nhiêu số phức
A. 0 .
C. y x 1 .
z a bi a, b ¡
B. 1 .
D. y x 1 .
z 1 z 3i
1
z
i
z
i
thỏa mãn
?
C. 2 .
D. 4 .
z 1 3i 3 2
z 2i là số thuần ảo?
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
và
2
Câu 44.
A.
1.
C. 3 .
B. 2 .
D. 4 .
1 3i z là số thực và z 2 5i 1 .
Câu 45.
Số phức z a bi ( với a , b là số nguyên) thỏa mãn
Khi đó a b là
A. 9 .
B. 8 .
C. 6 .
z 1
Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện
phức có mơ-đun nhỏ nhất. Tính S 2022 x 2023 y 2024 .
Câu 46.
B. 2020 .
A. 2024 .
Câu 47.
Cho số phức z
2
2
P z 2 i z 2 3i
thõa mãn
zz
3
2
, gọi số phức z x yi là số
C. 2023 .
z 1 i 2
D. 2022
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
B. 38 8 10 .
A. 18 .
D. 7 .
C. 18 2 10 .
B. 16 2 10 .
z 4w 7
z 2w 3 2 z 3w 6
Cho hai số phức z , w thỏa mãn
,
và
. Tính giá trị của
biểu thức P z.w z.w .
Câu 48.
A. P 14i .
B. P 28i .
C. P 14 .
D. P 28 .
z 2, z2 3
Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn 1
. Gọi M , N là các điểm biểu diễn cho z1
S z12 4 z22
·
và iz2 . Biết MON 30 . Tính
.
Câu 49.
B. 3 3 .
A. 5 2 .
Câu 50.
Cho số phức
P z i 2 z 4 7i
A. 8 .
z
thỏa mãn
C. 4 7 .
D.
5.
z 1
1
z 3i
2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
B. 20 .
C. 2 5 .
________________HẾT________________
www.thuvienhoclieu.com
D. 4 5 .
Trang 5
www.thuvienhoclieu.com
ĐÁP ÁN
1
B
11
A
21
D
31
A
41
C
2
A
12
B
22
B
32
A
42
D
3
A
13
D
23
B
33
A
43
B
4
A
14
A
24
D
34
D
44
C
5
D
15
C
25
C
35
D
45
B
6
C
16
C
26
C
36
A
46
B
7
A
17
D
27
A
37
C
47
B
8
A
18
B
28
D
38
C
48
D
9
C
19
D
29
D
39
D
49
C
10
D
20
C
30
B
40
B
50
B
Lời giải câu hỏi vận dụng cao
Câu 43.
Có bao nhiêu số phức
A. 0 .
z a bi a, b ¡
B. 1 .
z 1 z 3i
1
z
i
z
i
thỏa mãn
?
C. 2 .
Hướng dẫn giải:
D. 4 .
2
2
2
2
z 1 z i a 1 b a b 1
2a 1 2b 1
a 1
2
2
2
2
z 3i z i
a b 3 a b 1
6b 9 2b 1
b 1 .
Ta có:
Choïn
B
Suy ra z 1 i . Vậy có một số phức thỏa mãn.
z 1 3i 3 2
z 2i là số thuần ảo?
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
và
2
Câu 44.
A. 1 .
C. 3 .
B. 2 .
D. 4 .
Hướng dẫn giải:
Giả sử z x yi
z 1 3i 3 2 x 1 y 3 18
2
w z 2i x y 2 i x y 2 2 x y 2 i
1 44 2 4 43 14 2 43
2
Xét
x, y ¡ . Ta có:
2
2
1
.
2
2
a
b
.
x y 2
2
x2 y 2 0
x y 2 .
Theo giả thiết: w thuần ảo
1 ta được: 2 y 2 0 y 0 x 2 z1 2 .
Trường hợp 1: x y 2 , thay vào
y 1 5
2 y2 4 y 8 0
x y 2
1 ta được:
y 1 5
Trường hợp 2:
, thay vào
www.thuvienhoclieu.com
Trang 6
www.thuvienhoclieu.com
z2 3 5 1 5 i, z3 3 5 1 5 i
.
Chọn
C
Vậy có 3 số phức thỏa mãn u cầu bài toán.
1 3i z là số thực và z 2 5i 1 .
Câu 45.
Số phức z a bi ( với a , b là số nguyên) thỏa mãn
Khi đó a b là
A. 9 .
B. 8 .
Xét số phức
C. 6 .
Hướng dẫn giải:
w 1 3i z 1 3i a bi a 3b b 3a i
Theo giả thiết w là số thực nên b 3a 0 b 3a
1 .
D. 7 .
.
z 2 5i 1 a 2 5 b i 1 a 2 5 b 1
2
Ta lại có:
1
2
a 2 5 3a
ta có:
Chọn
B
Vậy a b 2 6 8 .
Thế
vào
2
2
Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện
phức có mơ-đun nhỏ nhất. Tính S 2022 x 2023 y 2024 .
Câu 46.
B. 2020 .
Gọi
z x yi x, y ¡
2 x 1 y 2 6x 9 y 2 4x 8
zz
3
2
, gọi số phức z x yi là số
C. 2023 .
Hướng dẫn giải:
. Theo giả thiết:
2 .
a 2 b 6
a 7 (loaïi)
1 10a 2 34a 28 0
5
.
z 1
A. 2024 .
2
x yi 1
D. 2022
x yi x yi
2
2
3 x 1 y 2 x 3
2
(1).
(1)
z x2 y 2 x2 4x 8
x 2
2
4 4 2
Mô-đun của z là:
.
Chọn
z 2
B
Do vậy min
; khi đó: x 2, y 0 . Do vậy S 2022 x 2023 y 2024 2020 .
Câu 47.
Cho số phức z
2
2
P z 2 i z 2 3i
A. 18 .
thõa mãn
z 1 i 2
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
B. 38 8 10 .
C. 18 2 10 .
Hướng dẫn giải:
B. 16 2 10 .
Lưu ý: Giả sử z có điểm biểu diễn là M, khi đó:
z a bi MN
N a; b
1)
với
.
z a bi c
I a; b ,
2)
(với c 0 ) là phương trình đường trịn tâm
bán
www.thuvienhoclieu.com
Trang 7
www.thuvienhoclieu.com
kính r c .
3) Xét tam giác MAB với I là trung điểm
AB, ta có:
uuu
r uu
r 2 uuu
r uur
MA2 MB 2 MI IA MI IB
2
uuu
r uu
r uur
2 MI 2 2 MI 1
IA2 3
IB IA2 IB 2
r
0
2
2
AB 2
AB AB
2
2 MI
2
MI
.
2
2 2
4) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
2
Với hai cặp số
a; x , b; y , ta có:
a
ax by
2
b2 x 2 y 2
.
a b
a x
b y (điều kiện mẫu khác 0).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y
M x; y
I 1; 1 A 2;1 B 2;3
Cách giải 1: Gọi
là điểm biểu diễn cho số phức z . Gọi
,
,
lần
lượt là điểm biểu diễn cho các số phức 1 i ; 2 i ; 2 3i . Khi đó, ta có:
z 1 i 2 {z 1 i 2 MI 2
{
M
I
C có tâm I 1; 1 , R 2 .
; nghĩa là M thuộc đường trịn
2
Ta có
2
P z 2 i z 2 3i {z 2 i {z 2 3i
14 2 43
123
2
2
M
M
A
B
MA2 MB 2 .
(Xem mục Lưu ý).
2
AB
2 . (Xem mục Lưu ý).
Gọi
là trung điểm của AB , ta có:
Ta thấy AB khơng đổi, do đó P có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi ME có giá trị lớn nhất.
C
Nhận thấy : IE 1 9 10 2 R nên nên điểm E nằm ngồi đường trịn .
ME max IE R 2 10 .
Ta có:
2
2
AB 2
Pmax 2 ME max
2 2 10 10 38 8 10
Choïn
B
2
Vậy
.
P 2 ME 2
E 0; 2
M x; y
Cách giải 2: Giả sử z x yi ( x, y ¡ ).
là điểm biểu diễn của z .
z 1 i 2
M C1
I 1; 1
Từ giả thiết:
, suy ra
có tâm 1
và bán kính R1 2 .
z 1 i 2 x 1 y 1 4 x 2 y 2 2 x 2 y 2
2
2
1 .
Khi đó:
2
2
2
2
2
2
P z 2 i z 2 3i x 2 y 1 x 2 y 3
Ta có:
.
1
P 2 x 2 2 y 2 8 y 18 2 2 x 2 y 2 8 y 18 4 x 12 y 22 4 x 1 12 y 1 38
Suy ra
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
www.thuvienhoclieu.com
Trang 8
.
www.thuvienhoclieu.com
2
2
2
4 x 1 12 y 1 42 12 x 1 y 1 8 10
1 4 4 2 4 4 3
4
.
8 10 4 x 1 12 y 1 8 10 8 10 38 P 8 10 38.
Do đó Pmax 38 8 10 .
x 1 4
y 1 12
4 x 12 y 22 38 8 10
Choïn
B
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
.
(Học sinh có thể giải tìm x, y bằng phương pháp thế hoặc dùng máy tính bỏ túi).
z 2w 3 2 z 3w 6
z 4w 7
Cho hai số phức z , w thỏa mãn
,
và
. Tính giá trị của
biểu thức P z.w z.w .
Câu 48.
A. P 14i .
Ta có:
B. P 28i .
C. P 14 .
Hướng dẫn giải:
D. P 28 .
2
z 2 w 3 z 2w 9 z 2w . z 2 w 9 z 2w . z 2 w 9
2
2
z.z 2 14
z.w2 4
z3.w 4w.w 9
z 2P 4 w 9
P
1 ;
2
2 z 3w 6 2 z 3w 36 2 z 3w . 2 z 3w 36 4 z 6 P 9 w 36
2
z 4w 7 z 4 w . z 4w 49 z 4 P 16 w 49
2
2
2
2 ;
3 .
z 2 33
P 28
2
Choïn
w 8
1 2 3
D
Giải hệ phương trình gồm
,
,
ta có:
. Vậy P 28 .
z 2, z2 3
Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn 1
. Gọi M , N là các điểm biểu diễn cho z1
S z12 4 z22
·
iz
MON
30
2
và
. Biết
. Tính
.
Câu 49.
B. 3 3 .
A. 5 2 .
Nhận xét: Từ giả thiết, ta có:
Ta có
C. 4 7 .
Hướng dẫn giải:
OM z1 2, ON iz2 i . z2 3
D.
5.
.
S z 4 z z 2iz2 z1 2iz2 . z1 2iz2
2
1
2
2
2
1
2
Gọi P là điểm biểu diễn của số phức 2iz2 , suy ra
OP 2iz2 2 iz2 2ON 2 3
hay N là trung
điểm OP.
uuuu
r uuur uuuu
r uuur
z1 2iz2 . z1 2iz2 OM OP . OM OP
Ta có:
uuuu
r uur
PM . 2OI 2 PM .OI
với I là trung điểm MP.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 9
www.thuvienhoclieu.com
·MOP MON
·
30 , áp dụng định lí Cơ-sin, ta có
Xét tam giác OMP với
3
MP 2
MP OM OP 2OM .OP.cos 30
2
.
2
2
2
OM OP MP
OI 2
7 OI 7
2
4
Tam giác OMP có trung tuyến OI nên
.
Choïn
C
Vậy S 2 PM .OI 2.2. 7 4 7 .
2
2
Câu 50.
Cho số phức
P z i 2 z 4 7i
A. 8 .
0
z
thỏa mãn
4 12 2.2.2 3.
z 1
1
z 3i
2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
C. 2 5 .
Hướng dẫn giải:
B. 20 .
D. 4 5 .
M x; y , M x; y
Gọi z x yi với x, y ¡ ;
lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z, z .
z 1
1
2 2 z 1 z 3i 2 x 1 yi x y 3 i
Ta có: z 3i
2
x 1
2
y 2 x 2 y 3 2 x 2 4 x 2 2 y 2 x 2 y 2 6 y 9
2
x 2 y 2 4 x 6 y 7 0 x 2 y 3 20
2
2
.
C tâm
Như vậy, tập hợp điểm M là đường trịn
I 2;3
và bán kính R 2 5 .
uuuu
r uuu
r
uuuur uuu
r
P z i 2 z 4 7i OM OA 2 OM OB
với
A 0; 1 B 4; 7
,
. Suy ra P AM 2 BM .
Vì M đối xứng với M qua Ox nên ta cần gọi điểm
B 4; 7
đối xứng với B qua Ox , khi đó M B MB .
Do đó: P AM 2MB .
A 0; 1 B 4;7
C và
Ta lại có
,
thuộc đường trịn
AB 4 5 2 R , vì vậy AB là đường kính của đường
trịn
Do đó: P
C MA2 MB2 AB2 80 .
2
2
MA 2MB 12 22 MA
MB
142
4 3 20
1 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 480 4 43
Cauchy Shwart
.
MB
2
MA
MA 4
2
2
Choïn
MB 8
B
Dấu " " xảy ra khi MA MB 80
. Vậy max P 20 .
www.thuvienhoclieu.com
Trang 10
www.thuvienhoclieu.com
www.thuvienhoclieu.com
Trang 11
