Giáo trình Cơ học chất lỏng: Phần 2

Chương 6

CHUYỂN ĐỘNG SÓNG
CỦA CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG
6 .1 . C Á C P H Ư Ơ N G T R ÌN H c ơ B Ả N C Ủ A C H U Y Ê N đ ộ n g s ó n g

6.1.1. Định nghĩa
Chun đơng dao động của các hạt lỏng riêng rẽ gọi là chuyên
độn g sóng. Ví dụ: sóng biển, sóng ờ sơng, hổ... Sóng có thẻ là sóng
ngắn, sóng dài, sóng dịch chuyển ...
Nguyên nhân gây ra chuyển động sóng rất phức tạp. Nhữiìg
ngun nhân chủ y ếu có thể là, chẳng hạn, đối với sóng ha'p dẫn
gây nên bởi trọng lực (khi hạt lỏng lệch khịi vị trí cân bằng thì
írọng lực có xu th ế !àm cho hạt lỏng trở lại vị trí cán bằng). Sóng
đàn hồi gây ra do sự dãn nở cùa chất lỏng nén được.

6.1.2. Phương trình sóng trọng lực
Xét chuyển đ ộ n g sóng phát sinh do trọng lực trong chất lỏng

đổng chất, lý tường, không nén được, được giới hạn bời một sđ mặt
c ố định (đáy, mặt tự do ...). Già sử tại thời điểm nào đó có mơt kích

động trên bể mặt chất lịng. Giả thiết tại thời điểm ban đầu mật nằm
ngang, vận tốc trên bể mặt bằng khơng, áp suất góm áp s u it trên

mặt và áp suất phụ đo kích động và chỉ gây ra trong thời gian đủ bé r .
Tại thời điểm ban đầu các thành phần vận tốc có dạng
v = v y=\’ =fí. Tích phàn theo t hai vé phương trình Euler dưới dạng

hình chiếu, chẳng hạn đối với phương trình thứ nhất ta được:
110

õ v

,

+
•— ♦ '[ i V
i, Iự ' ãỂ. * v' ơ ỳ

J ịM

ổ:

(6 .1. 1)

- ‘ § .) „ * .

»
I

õ \

+ r . —

p a >»
’

./

I

I

.

» '•

Khi r bc thì chỉ tích phân cuối của (6.1.1) là hữu hạn cịn các
tích phãn cịn lại bé, có thê’ bó qua. Gọi:
ĩ

n - ịpdt
0

là xung áp suất, khi đó xưng áp suất gây nên mơt chuyển động có
vận tốc với các thành phần:
V

=

at

;V =

í n \ . .

_ _

ơy

ỡ

dĩ

( 6 . 1. 2 )

Vậy chuyển động gây ra do xung áp suất là chuyển động có
thê. Do đó tồn tại thế vận tốc
sao cho V = gradỳt, và thế vận tốc
dó có (hể xem là do tác động cùa xung áp suất TI = -p<Ị>rt. Vì chất
lỏng thồ mãn các giả thiết về định lý Lagrange nẽn chuyển động
cúa chãi lỏng là khơng xốy. Ký hiệu <t> là thế vận tốc và do đó:

V = gradiỊ>.

(6.1.3)

Từ phương trình liên tục divý = 0 , ta suy ra:
Aệ = 0 .

(6.1.4)

£ =- Q - L v 2 - u + F(t)

(6.1.5)

Tích phân Cauchy:
p

Ot

2w

trong đó u là thế cùa lực ngồi. Nếu xem lực ngoài chỉlà trọng lực
u - Ị>: và chuyển động xáy đừ chậm để có thể bị qua đại lượng
—- , khi đó ( 6 .1.5) trờ thành:

111


Đặt: <Ị>, =<ị>- ịF ( t) d t%khi dó (6 .1. 6 ) có dạng :
0

p

(6.1.7)

Of

đổng thời:

( 6 . 1 .8 )
p = ỊỊradỳ/ .

và

(6.1.9).

Các phương trình (6.1.7), (6.1.8), (6.1.9) xác định chuyển dộng

gây nên do xung áp suất. Ta cần thiết lập các điểu kiện đầu và điểu
kiện biên để nghiệm của bài toán là duy nhất.
Trên các mặt c ố định (đáy )ta đều có:
v „ = % = ớ.

(6 . 1 . 1 0 ).

õìì

Trên mặt tự do áp suất là áp suất khơng khí p 0 vì thế:
Po = _

p.
Đặt:

ta có:

dí

ệ , = <!>, + — /
p

RZ-Pịl =- —ì l - g Z'
õt

p

(6.1.11).

5

G iả sừ tại t phương trình m ặt tự đo có dạng:

z = ị{x,y,t).
Vậy từ ( 6 .1.11) suy ra:
^ (* -ặ )+ * ỉ- 0

(6 . 1 . 1 2 )


có thể thay z = ị bởiz=0 vì

thế (6.1.12) ườ thành:


(6.1.13)
I Õỳ:ị.\.y .().r)

hoặc:

X

(6.1.14)

cV

f)ạo hàm hai vế (6.1.14) theo / ta đirợc:
(6.1.15)
ơt

g ừ -

M

Có thế giá thiết rằng — khác V . rất ít. vì thế tai z=0 (thay cho
dt
r= £, ) ta có điều kiện biên gần đúng sau:
r:= Ẽ k =- i ^ . .

-

õ=

(6. , . l6)

g õr

Điéu kiện đẩu: già sự kích động ban đáu cùa mặt tự do được
biểu diễn bời hàiT>4( v. v.O),từ (6.1.14) suy ra tại t=0 và := 0, ta có:
(6.1.17)
Xem vận tốc ban đầu sinh ra do xung áp suất Ji(.v. V',r), khi dó
thế vận tốc ban đầu sẽ là:
<ị)f) -

—7t .
p

Do dịch chuyển là vô cùng bé nên khi z = 0, la có thể xem:
<j>„(x.y,0ì= 4>,(.v..y/>.0)= --n(.x.y.O ).

p
Vậy thè <Ị>,(x,y,z,tj trên mặt thoáng : - 0, tại thời điểm ban
đầu r = Of thoà mãn các điều kiện
ộ = -

Lp Tự V. y,0),

=

ôt

- g Ụ i . V.0).

(6.1.18).

113

*


Để đơn gian dưới đây ta thay

v .r.o b ờ i <Ị>(\. v,-.r).Tóm

lại chuyển động sóng khống xốy cùa chất lịng lý tường khơng nén
được xảy ra dưới tác dụng của trọng lực dược xác định theo các
cơng thức

p

dt

p

trong đó <ị» là nghiêm của phương trình Laplace A<ị> = 0 thoả mãn
điểu kiên trên biên cố đinh — = 0 ,điểu kiên trên măt tư do : - 0:
õn

— =
dz
g õt

và các điều kiên đầu trên măt tư do (6.1.18).

Thông thường để tìm nghiệm của bài tốn trên người ta giả thiết:
ỳ ( x ,y ,z ,t ) = co s(a t + e ) & ( x .y ,z ) .

(6.1.19).

Khi đó hàm <J> vẫn thoả mãn Laplace và các điều kiện:

d—— = 0, —— = — tai z = 0.
dn
õz
g
6.2. SĨNG PHẲNG
6.2.Ỉ. Sóng đứng
Xét chuyển động trong đó vận tốc, áp suất khơng phụ thuộc
một biến không gian chẳng hạn y , nghĩa là chuyển động trong các

mặt phẳng song song với mặt cố định O . X 2 là như nhau.Với giả thiết

dó, theo (6.1.19) thế (ị) có dạng:
<Ị>(a, z ,t) = cos(at + e ) 0 (jc, z)

( 6 .2 . 1 )

Với hàm d> thoả m ãn phương trình :
AO - 0
điếu kiôn trên biên cố định

114

( 6 .2 .2 )


ỠO
—

„
= 0

(6.2.3)

on

Khi z = 0 thì:
<90

ơ' .

ơz

ỊỊ

—

. . . ..


(6 .2 .4 )

Ta tìm nghiệm riêng của (6.2.2) dưới dạng
, z) = p ị z)sìn k ịx - a )

(6.2.5)

trong đó k , a là các hằng số. Thay (6.2.5) vào (6.2.2) ta có phương
trình để xác định p ịz)

p(z)-k?p(z) =0 .

(6.2.6)

Nghiệm (6.2.6) sẽ là:

p(z)=c, ei:+C2e'L'

(6.2.7)

trong đó C ị .C2 là các hằng số tích phân.

Nếu chất lỏng có độ sâu vơ hạn (đủ lớn) thì từ (6.2.7) ta suy ra
C 2=0, đo đó:
p(z)= C eki
và:

0 > = C e ^ sin k(x

(6.2.8)
- a).

(6.2.9)

Thay (6.2.9) vào (6 .2 .1 ):
<Ị> = C ek: sin k( X - a)co s(G t + e ) /

(6 .2 .1 0 )

Ta có:
—

dz

= kC sin k ( x - a ) cosị ơ f + e),

ỳ(.x,fí) = c sin k ( x - a ) cosị ơỉ + £).
Từ (6.2.4) ta suy ra:

o2=kg

(6.2.11)

Vậy vói k tùy ý ta tìm được <7 theo (6.2.11)

115


Thê vân tốc của chuyến động sóng phẳng trong chát lịng vó
hạn được xác định llìeo (6.2.10) với tuỳ ý. Do tính tun tính của
phương trình (6.2.2), (6.2.4) nên tổng cùa một sơ' nghiệm riéng của
phưưng trình cũng là nghiệm của phương trình đó.

c

Xét trường hợp đơn gián khi a = £ = 0
(Ị) = Cek' sinkx('OSơ / . (6.2-

Ta có:

Phương trình mặt tự do được xác định từ điểu kiên :

Cơsin kx sin at

.

Ký hiệu a = —— , ta có:

s

iỈO I- .

.

0 = — e ' sinkxi ơsor
ơ

(6.2-13)

4 = a s in k x s in G ỉ.

(6.2.14)

Vậy tại mỗi thời điểm xác định tiết diện của các mặt chất lỏng
cắt bỡi một mặt phảng song song với mật Ox- là đường hình sin.

Biẽn độ sóng là:

\A\ = \usin ơ/j < jí/|.
Piơíĩn sóng là đường hình sin với độ cao thay đổi theo quy luật
đicu hòa:
116


A = asiti <7/ .
2n
Piofin dao dòng giữa hai dường với chu kỳ d a o d ộ n g là T = —

và goi là chu kỳ sóng. Giữa T và X có mỏi liên hệ:
(6 .2 .1 5 )

7Tiành phần vận tốc, với chuyển động có t h ế :
_ 54»

_ ỡệ

(6 .2. 16)

Phương trình đường dịng:

lỊ± = lli =>.. Ỉ Ỉ L - = _ JÍL . =>
V,

V.

CO.VẲ.V

+ ///Ịroiitvl = I-.

(6.2.17)

sin k .\

Đ ế nhận được họ đườiig dòng (6.2.17), ta chỉ cần vẽ một đường
ứng với một giá trị hằng sổ <■ cụ thể sau đó dịch chuyên song song
với trục o : (Hình 13). Vì đường dịng khơng phụ Ihuỏc vào Ihời
gian nên chúng là quỹ đạo.

y

o

V/

(*)

À
'

/

k

í

À

y ỉ

3k
x \\

2n

X

t y

Hình 13

Do dịch chuyển là vơ cùng bế nên có thể thay các giá trị V . ;
(rong các biểu thức (6.2.16) bời x„. z„ tương ứng với vị trí cân bằng
cúa nó. Tức là có thê xem:
117


dx

k:

,

_

^

_ 1:

V, = — = a o e ■■c o s k x . I o s a r , V. = — = ư ơ t '
'

d t

°

-

•

I.

s in k x . COS o f

(It

Suy ra:
•V =

<•/ +

aaet:' coskx„ sin at,

'

°

( 6 .2 . 18)

z = Cl + a a e k“ sinkx0 sinot.
Các hệ thức (6.2.18) chính !à các đao động quanh vị trí trung
bình (<•/,£ 2 ) và có thể xem đó là vị trí cân bằng(jtf,,Zfl).
V ậ y : X = xn + í/ér*^ COSkx 0 sin at, Z - zn + uek:" sin kx0 sin Gt

Quỹ đạo là đường thẳng:

;-zfì-(x -x 0)tg(kxn).
Biên độ dao động là

(6.2.19)

vì thế nó càng bé nếu hạt lỏng càng sâu.

6.2.2. Sóng tiến
Xét sóng đứng lộch pha với (6.2.12)
ộ - Cek' COSkxsincst .

(6.2.20)

Tổ hợp với (6.2.12) ta được:
ộ = C e kỉ (sin k z c o s a t + COSkx sin a t)
= C e k! sin(kx +
Thế vận tốc (6.2.21) xác định m ột chuyén động sóng khổng
xốy nào đó. Phương ưình mặt tự do:

cosịkx + Gỉ)

ị = - —— (z = 0 ) = g à

£

Cơ
——= u

Đặt

g
ta có:

(ị) = — e t: sinỌcx + ơ ỉ ) , ị = - a cos(kx + a t ) .

ơ

(6.2.23)

Ta cũng có các prơfin sóng đạng hình sin với biên độ /a/, độ
dài sóng k = 2n / k nhưng khác c ơ bản với các sóng dã xét là mạt
118


tự do dịch chuyên về mội phía xác định. Các đinh và chân sóng ờ
các điểm:
kx + a t - /m ịn = 0 ,± J,± 2 ...),
nghĩa là tại những thời điểm khác nhau thì những vị trí của chúng
khác nhau. Ta có:
ơ

tm

k

k

Vây tồn bộ sóng dịch chuyển về phía âm của trục ox với vận tốc:

k

\k

T

2n

(Hình dạng mặt thống thì dịch chuyển cịn hạt lỏng vẫn chuyển
động quanh vị trí cân bằng). Các thành phần vận tốc:
vx= — = a o e >: co sịkx + o r ),
ô.x
= u a e h sinịkx + a t ) .
dz
Ta có hàm dịng:
ọ = — e L' í os(kx + ơ r).
ơ

Do vậv phương txình đường dịng phụ thuộc thời gian và đường
dòng sẽ khác quỹ đạo. Cũng lập luận như đối với (6..2.19) ta có:
,v= x 0 + a e k:" sin(Lx + ar),
: = z0 — a e k:“c o sịkx + lơ /)
Và do đó phương trìá h quỹ đạo:

(X - A „r +(z - Zof = a-V fc' .

(6.2.25)

Nhu vây quỹ đạo gần đúng là các đường trịn với bán kính:
R = a e k'" vì th ế bán kính càng bé nếu hạt ờ càng sâu.

119


Nếu tronc biếu thức (6.2.21) ta thay (Ẳ.V+ cr/) bới (fc\ - ar)

thì đư ợ c s ó n g tiến vể phía d ư ơ n g của trục

o .x

6.2.3. Sóng tro n g c h ấ t lịng có độ sáu hữu han
Giả sứ chất lỏng có độ sâu hữu hạn //, trở lại nghiêm (6.2.7):

pịz)~ c tek: +c,e~k:,
Xem đáy nằm ngang, từ điều kiện biên :
— = 0 khi z= -h
õz

ta có:

c,e ^ -C e^ O .

Nếu chọn: Ci= —Ceu',C , Ce~u' , thì nghiệm của bài tốn
iưcmg ứng sẽ là:
C chk(: + h ).

p(7.)=

(6.3.1)

a) S ó n g đ ứ n g
T h ế vận tốc tương ứng:
4» = C c/ik(z + h )sin (x - Ị,)( o s (a t + e ) .

(6.3.2)

Từ điều kiên:

^ = ~<ị> k h i2 = 0
&

X

ta có:
ksltk/ì= —- chkh

- gkthkh .

X

Phưong trình m ặt tự do:
4 = - —— (z = ()) =
X St

120

vhkhsin k ịx - 4)i7/;(ơ/ + e)
g

(6.3.3)


Đật: - — f h k h = a và xct

ậ = E = 0 , ta dược:

(JV rhk(z + h) . ,
,
. .
d> = —- ——— - — sill k.\ cos a t.c = sill k.\ sit) Of

(6.3.4)

ilikh

Ơ

Các thành phán vận lốc:
u vk
.

V = - = - -----:------ í OS ẨLV( ỡ.v a t ,

ơ

(likh

(6.3.5)

uvk sh{z + h) . .
V. = - 2— ------ —- sin k.\ ( o.v a t .
ơ
lììkh
Ọ uỳ đạo:
cltk(zn + ii)

X = X 4- ư ------—:------ COS k.\ sin CƯ.
shkh
s h k (z 0 + h)
z - Zn + (I --------------- sin Ly sin ơ / .
shkh

(6.3.6)

b) S ó n g tiến
Thế vận rốc:
ih klì

ơ

Phương trình prơfin sióng:

C, = ucosịkx - <3ỉ) .

(6.3.7)

Prôfin là đường cosin dịch chuyển với vận tốc:
_ ơ _

‘ 'ĩ ~

Ịg th k ỉì

_

ỊgẰ

2nli

\ ~ j r ~\2nn ~

'

rất lớn thì có thể xem thhk= l, do đó:

Nếu
X

(6.3.8)
' k

V2 n
121


Biểu thúc (6.3.8) cũng ihu được nếu cho h
00 . Từ (6.3.8) ta
Ihấy rầng vận tốc truyển sóng phụ thuộc vào độ dài sóng. Các thành
phần vận tốc:
ưvh clỉk(z + It)

(,

_

V

V. = ~2— —— ——— (Oilfcv - ơ r )

chkh

ơ

v’

agh sh k(z + h ) . /,

\

V. = - 5———— —— s im k x - ơ n

ilikh

ơ
X =x0 -a
Quỹ đạo:

2 = z0 +a

ch kị z0 + h)
cỉìkh
sh kị z0 + lỉ)

sin{ k x n - or).
(6.3.9)
i Os(kxn - o t).

shkli

Từ (6.3.9) suy ra:
(* - * 0 ?
( cẩ

chk(z0 +h) )2
chkh

Vậy quỹ đạo là họ êlíp.

122

(z - zo f

+
ư

sh kị z0 + h )
shkh


Chương 7

CHẤT LỎNG THỰC KHƠNG NÉN

Được

7.1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOCK

7.1.1. Tenxơ vận tốc biến dạng và tenxơ ứng suất
Ta đã xét chất lỏng lý tường, tức là chất lỏng mà lực mặt chỉ có
thành phẩn ứng suất pháp theo phương pháp tuyến cùa yếu tô' mảt

và hướng vào bên trong mặt.
Trong chất lỏng thực, do có tính nội m a sát nẽn lực mặt cịn có

thành phần trong mặt phảng mật tiếp với yếu tô' mật mà ta gọi là
ứng suất tiếp.
Theo cơng thức (2.2.4) của Chương 2 ta có:
Pn = OPx + pPy + yp:

(7-11)

trong đó p„ là véc tơ lực m ật tính trên m ột đơn vị diện tích của yếu
tồ mặt và phụ thuộc vào hướng của pháp tuyến yếu tô' mặt, a ,p * y
là c á c C auchyn chỉ phương của véc tơ p h á p tuyến của yếu tố
m ặt, p x ,p y>pz là các véc tơ lực mặt dối với các yếu tố mặt mà

pháp tuyến ngoài của chiúng song song và cùng chiểu với các trục
ox.oy.oz . Gọi:
p

X=

[l>

. p ,v • />.: ). P y = l/7,., - P y y • p y : )- P z =

*P -.y - P

-

)

Nếu ký hiệu /, j . k tương ứng là X, y, z khi đó p„ gọi là ứng suất

pháp còn p,t gọi là ứng suất tiếp ( i * ị ).
Tenxơ:
123


V ,

/»„

/\,

/\,

/>,;

/»:,

/>:»

p,. )

(7.1.2)

= /3

được gọi là tenxơ ứng suất. Để xác định các thành phần cùa

lenxcT

(7.1.2) người ta đưa vào các giả thiết sau:
A ) Khi khơng có tính nhớt thì tenxơ (7.1 ..2) trờ vé ten xo cùa
chất lỏng lý tướng, tức là các thành phần cùa nó thóa m ăn các
đ iều kiện:

P..--P

i*j ■

Từ đó ta có rhể đặt:
/ \ v = - / > + 'y y .

Pn

/>v:='y.-

(7 .1 . 3)

với tv chỉ khác không trong chất lỏng thực.
B) Các đại lượng ttỊ là các hàm tuyến tính thuần nhất cùa các
thành phẩn tenxơ vận tốc biến dạng, trong đó các hệ sơ cùa hàm
này khơng phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ vng góc. Ta đã có
tenxơ vận tốc biến dạng theo (1.3.9) Chương 1:

V

V

2

e,

ĩ 6'

-

2

0,
'

với:
ỡv>
E/ =

0

ổv ,E- = ặ y

Ỡr.
*

ở\’
ỡr_ ỡ rd\

ỡv. ơ\\.
ch\. _
ỡr.
= ri£ + ! > , 0 = ^ + ^ , 0
ổy

124

ÔV’v

ổr

ổv

ổ:

d\'õ\'

= IJ L + r_L
ổv

ổy


Giá thiết B vé lính tuyến tính cúa sự phụ thuộc là thịng thirờng
vi dó là sư phu thuộc đcm giàn nhất. Tính độc lập của hệ số cùa các
hàm tuyến tính địi với việc chọn các hệ trục tọa độ vng góc dựa
trẽn lính dẳng hướng cúa chất lỏng nhớt, tức là lính thuần nhát theo
các phương khác nhau.
Xéi mặt bậc hai:

ZịỰ + e:xỳ + z
(7.1.4)

Tu chuyển các trục toạ độ theo các trục đối xứng của mặt trên,
giá sử X,y ,7.. Khi đó trong hệ mới mặt (7.1.4) có dang:
6/4 2 + 8 : T1 2 + £'í(5 2 - C ■
Như vậy trong hệ m ới các thành phần cúa tenxơ vận tốc biến
d ạn g trờ thành:
0 , = 0 : = 0 J = 0,
Eỵ -- c Ị , £ -Ị

Ể?->|Cị — ^ Ị •

Các trục đối xímg V, V, 2 , gọi là các trục chính của tenxơ vận
tốc hiến dạng, các đại lượng e,. e2. e, gọi là các giá trị chính của
ten xơ vân tốc biến dana h a y là các vân tốc dãn đài chính. Ta đã có:
E/ + E-. +

= tìiv V .

(7.1.5)

Cóng thức (7.1.5) điúng cho hệ toạ độ bất kỳ, vì vậy trong hê
toạ dị V, V, z ta cũng có:
í'i + ÍS + f ? = tỉivV .

Theo già thiết B các thành phần của lenxơ úng suất trong hê
toạ độ X ,y.z sẽ là hàm tuyến tính cùa e,. e2. e,. Chẳng hạn:

r\ . = a ie i + "->*’■>+

<>

riV = a.e, + a ,e, +

.

/.... = a,e, + a2e, + uf e2 .

(7 .1 .6 )
(7.1.7)

Đ ế dưực hê thúc ihứ nhất của (7.1.7) la chỉ cần đổi trục X
thànih trụ c y , trụ c V th à n h trụ c z\ trụ c r th à n h trục X tro n g (7 .1 .6 ).

125


Hệ thức thứ hai cững nhận được bẳng cách xét tương tự. Xé! phép
biến đổi toa độ:
x = x

.

, z=- y .

Các trục toạ đô mới vẫn là các trục chính cùa tenxơ vận tốc
biến dạng và ta có các công thức sau:
V, = V, , Vv = V . , V. = - V y

* ỡv,
to*
e/ = - i r = ~ Jr = eJ

Ơx

*

ơx

dv

e2 = - r r = eì
dy

e )= e 2
t.x x -

t.x x ’

Theo giả thiết B ta có:
t xy = 1 1 ^

1

+ a2e* +aje*Ị = « /* /

+ a ìe ->- {xx = a iei + a2e2 + a ìí'.ì-

Từ đó suy ra: a 2-O ị

Ký hiệu:

aỊ - X + 2\x,
cỉ2 — ci) —À.

ta viết lại các công thức (7.1. 6 ) và (7.1.7) dưới dạng:
r , v =*>(*/ + « í + e3)+2ịU!l

tyY = ^ { e , + e 2 + e s )+ 2 \ie 7

(7.1.8)

ếtV = x { e , + e ĩ + e ĩ )+ 2 ịx e 1,
Cũng theo giả thiết B, ta có chẳng hạn:

*, V = ia4el + a se2 + “(,«))■
Xét phép biến đổi toạ độ:
X = X . y = -ý, z - -Z.

126

(7.1.9)


Các trục toạ độ mới cũng là các trục chính cúa tenxơ vận tốc
bicn dạna và ta có:
= 'V ->\ = ~ ' I. ’
e , = e ,,e ] = e2 ,e] = e , t

Cõng thức cuối cùng suy ra từ nhân xét sau: ỉ

là hình chiếu

trên trục y cùa ứng suất tác dụng lên diện tích có pháp tuyến ngồi
trùng với phương trục X cịn / là hình chiếu trẽn trục y của ứng
suất cũng tác dụng lên diộn tích đó nhưng do trục y và trục y ngược
hướng nhau nên ta có kết quả trên. Theo giả thiết B ta có:
1 IV -

U4*1 + a Ả

a 6e )

+

=

~(<*4e i

+

u 6e J

+

< * & ) = - t x -ỹ

=> u4 = a Ị = a 6 = 0

Do vậy I

=0.

Chímg minh tương tự, ta có :

Như vậy các trục toạ độ mới X, y , z cũng là các trục chính của
tenxơ vận tốc biến dạng. Các thành phần của tenxơ ứng suất có dạng:
p y = —p + XdivV + 2ịiej
p

= - Ị ) + XdivV + 2ịie2

(7.1.10)

p . . = - p + XdivV + 2ị.veỊ
p

‘ XV

.

=

p

y -

: .í

=

0 .

Ta thẩy các trục chính cùa tenxơ ứng suất trùng với các trục
chính của tenxơ vận tổc biến dạng. Tenxơ ứng suất trong hệ mới,
theo (7.1.10) sẽ là :
P = ( - p + h J ivV )ỉ + 2ịxỳ.

(7.1.11)

Trong đó / là tenxơ đơn vị, còn:
127


e,
♦= 0
0

0

0^

e2

0

0

e ,j

Nhưng do các thành phần tương ứng của hai tenxơ bâng nhau
trong một hộ toạ độ nào đó thì chúng cũng bằng nhau trong hệ toạ
độ bất kỳ khác. Vậy trong hệ toạ độ -V, y. 2 ta có:

-0, V
0 0'

Pyx Pvy

Ọ
py\ Pyy Py. = (—/> + XdivV) ° ỉ 0 + 2 ;/
{0 0 h
!>:> P:: ,

2

2

z2
?

- 0,
2 '

- 0,

- 0 ,

:

'

2

2

'

C.
■

Từ dó ta suy ra các hộ thức sau:
P.X.Ì ~ ~ p +

+ “2HE I

p

= -Ị) + hJivV + 2ụ.e,

p „

= - p + dìvV + 2ụZị

(7.1.12)

= Py,
l>y. = Ị)x: =ịíQ 2.

(7.1.13)

!>y: = p-.y =M0/.Từ các hệ thức trên ta thấy tenxơ ứng suất là đối xứng. Đế xác
định hộ số À ta có thê đưa ra giả thiết: Xem áp lực trong chất lịng
thực ln ln bằng trung bình cộng với dấu ngược lại của ba ứng
suất tác dụng lên ba diện tích vng góc vói nhau, tức là:

p = --(p.*.s +p„ + px ) ■

(7.1.14)

Từ (7.1.12), ta có:
( />„ + />vy + p .. ) = - 3 p + (3Ằ + 2 (ii lỉivV .
128

(7.1.15)


Với chài lóng khóng ncn được thì (7.1.15) trùng với (7.1 14).
Đẽ già Ihict Irén đúng cho trường hợp tống qiiíit ta cấn đật:
X=

.

(7.1.16)

Thay (7 .1.16) vào (7.1.12), ta có:
nv

Ị)

= - Ị) "

- ụ d ivY +
3

õỵ

2
p...
/ vv

- ~p -

-

y
p ..

ổi’v

V í H v V + 2*■*
li —
ÕY

—

=- p - -yu li\-Y +

3

c^v

ô:

./ftỉ’ụ = M
/ dv\

ÕV; >

ỉt

ôÃ )

Ị \ , =M
V

' dl ±
õ :

Ẽ ỉl

(7.1.17)

ỡv

tro n g dó // gọi ià hộ sô' nội ma sát hay hệ số nhứt. Thứ nguyên của
// là: ML ' T 1, với ký hiệu M là thứ nguyên khối lượng, L là (hú
n g u yên độ dài, T là thứ nguyên thời gian và có thể tính theo các
cớ n g thức cuối của (7.1.17). Thơng thường Iigirời ta cịn dùng đại

lượrm :

Ịị =

^ để thay c h o hệ số nhớt J.ivà được gọi là hộ sò nhớt

p
đ ộ n g học.

7.1.2. Hệ phưưng trình Navier - Stock
Theo Chương 2. ta đã thiết lập phương trình tống quát cùa
c h u y ển động cùa môi trường liên tục:
129


JjJp <F-W)JV+ịịĩ>nJS = 0.

(7.1.18)

s

V

Thay p n theo công thức (7.1.1) và chú ý rang :
•

Ị Ị a i o s ( n .x ) J S = Ị ị Ệ ^ / V
s
V

ta có:
JV = 0 .

(7.1.1»))

Trong các cơng thức trên V là thể tích lỏng được bao bời mặt
tùy ý. D o thể tích yếu tố lỏng V là tùy ý nên từ (7.1.19) suy ra:

dV - Ị
dPy- +. ÕP: ' =
W = - = F + - ' dPx +. —
ảt
o V ơx
dy
õz

F + -J iv P
p

s

(7.1.20)

trong đó ký hiêu:
\

8 p x , dp> , dP: =
ôx
ôy
dz /

J/V-/5

(7.1.21)

.

Viết (7.1..21) dưới dạng hình chiếu ( V = (u ,v ,w ), F = (X .K .Z ))
và s ừ d ụ n g (7.1.17) ta được:
õu
du
du
du v
— + u — + V— + W— = x
ôt
ôx
dy
dz

l dp
p ăx

ờ ddivV
—— — + 9Aíí
3 õx

õv
dv
ỡv
dv

l dp 3cƯ ỉW Q
— +U — + V— + H'— = y - - - 2 1 + —— _ + $Av
õt
ôx
õy
õz
p dy 3 õy
dw

—

ôt

dw

+ M —

' dx

dw

dw
+ W’ —- =
dy
õz

+ V —-

z

_ ỉ dp
p õz

§ dtii\V
—— —

3

õz

+

_
(7.1.22)

- .
9A w .

Hệ ba phương trình (7.1..22) gọi là hệ phương trình NavierStock. N ếu chất lỏng khơng nén được íhì phương trình chun động
sẽ là:
130


du
du
õti
du ,,
- - +U— + V— • + w ■—= X - ■
ô.x

rV

(V

dĩ

p cU

ổv
d\'
d\'
/ õn
+ /,.^ + r _ + M, i i - ^ y - I f i ' + SAv

dt

ổ.v

ởvi’

c?w

- — + M —

• õt

dy

] õp
+ ỠAw

ơ.x

d y

dw
+ V —

dy

p

õ:

dv\'
+ H’ — -

õy

I õp

_
= z

(7.1.23)

-

ôz

— —

+

3 ủw ’

p ơz

Các hệ phương trình (7.1..22) hay (7.1..23) kết hợp với phương
trình liên tục, tương ứng. Với chất lỏng nén được:
^ + divoV = 0
dt
với chất lỏng kỉiông nén được: divV = 0 .
Đẽ giãi được bài toán cơ học chất lỏng cụ thể, ta cần thiết lập
cho hệ các phương trình trên các điều kiện biên, điều kiện đầu thích
hợp và kết hợp với một số phương trình m ơ tả các q trình như bảo
tồn nâng Urợng, truyền nhiệt, khuyếch tán...Ta gọi hệ phương trình
tổng hợp như vậy là hệ phương trình chuyển động.
Hệ phương trình Navier-Stock do Navier đưa ra năm 1827, ông
chỉ xét cho trường hợp chất lỏng khơng nén được và sau đó là SaintVenent nãm 1843, Stokes năm 1845 đã đưa ra cách thành lập mới
m à theo đó ta xây đựng được hê phương trình (7 . 1 .22). N h u vây cho
đến nay đã gần hai th ế kỷ và đã có hàng vạn cơng trình khoa học
dựa trên hê phương trình đó, tuy nhiên những hiểu biết của chú ng ta
vé hệ phương trình trên cịn q khiêm tốn. Vì vậy vào ngày 24
tháng 5 nãm 2000, để chào mừng thiên niên kỷ mới, V iện T oán
học m ang tên Clay (C M I) mới được th àn h ỉâp tại C am bride (b an g

M assachusetts, Mỹ) đã cơng bố tại Paris Bày bùi tốn cùa thiên
niên ky (với giải thường 1 triêu đô la ch o mổi bài), tro ng đ ó có
bài tốn: Tạo lập nhữniị tiến bộ thực c h ấ t hưởng tới m ộ t lý th u y ế t

toán h ọ c nhám m ở to u n g những bí ẩn b a o trùm hệ p h ư ơ n g trình
N u v ie r-S to ik .
131


7.2. NGHIỆM GIẢI TÍCH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOCK
Dưới đây ta xét mội sổ' trường hợp tích phân dtrợc hệ phương
trình chuyển động của chất lịng thực.

7.2.1. Dịng giữa hai bản phăng song song (Dịng Couette)
Xét chuyến dờng chất lóng thực, không nén được mộl chiéu.
dừng giữa bàn phẳng cố định có phương trình là:v=fl và một mạt
phẳng có phương trình: v= h chuyển động với vận tốc khơng đổi
v.(h= ( oust) (Hình 15).
y

V / / / A 0 s / s / / / / / / / / / / / //7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 T ~ X

Hlnh 15

Giả thiết không có lực ngồi, chuyển dộng song song với frục
ơ.v. do đó:
X=Y

= z

= 0, 1 -

IV

=0,

II

= u(x,y.z).

Với các già thiết Irên hộ phương trình chuyên động trờ Ihànhỉ:

I32


ty = n
õ:

ỹ=
d.\

(7.2.1)

0.

Từ phtrơng trình thứ hai và thứ ba ta thấy Ị)-Ị)ị.\), tù phương
trình cuối ta có II = uịy,
do đó từ phương trình đầu ta suy ra:
ơp
— = c o n s t.
Ổ-V
Để xác định ti, ta có phương trình:
f -nJ
'

du
du
I dp
Kổr

dy )

=

ỉ

.

(7.2.2)

nâv

với các điéu kiện biên:
II = 0 khi V = 0 \ à u = V khi V = h .

(7.2.3)

Ta sẽ tìm nghiệm của bài loán (7..2..2) và (7..2..3) dưới dạng:
H = u (y ).

(7.2.4)

Thay (7..2.4) vào ợ . .2.2) và tích phan, ta dược:
/ dp 2 A
D

II = — — y + A y + B
2ịi õ.\
trong đó A và B là các hằng số tích phàn. Sử dụng điều kiộn biên
(7..2.3), ta tìm được:
/ dp
" =~ ( r - h y ) +
2ịi ơ.v
I di) •>
Nếu ta đặt: II = — -2 -ịy - —
2ụdx

Vy
ă
h

(7.2.5)

Vv
—
- - + 1 1 ,( y .z )
/»

thì «.(>', r ) s ẽ thoả mãn bài toán:
All. = 0
n .( 0 ,: ) = 0 ,n .( h .z ) = 0.

(7.2.6)

133

Nghiệm cùa bài toán (7..2.-6) chỉ là nghiệm tầm thường:

u.(ytz) = 0.
Vậy (7..2..5) là nghiệm duy nhất của bài toán. Nếu cà hai bàn
phẳng đều cố định thì phân bơ' vận tốc sẽ là
u = ± Ẽ p ụ . hy).
2\idxv
'
Nếu khơng có đ ộ giảm áp suất

ơx

(7.2.7)

- 0 thì phân bố vận tốc sẽ

Vy
là phân bố tuyến tính: u — —
Xét lưu lượrig cùa chất lỏng chuyển qua một mặt cắt vng
góc với bản phẳng, có chiểu rộng một đơn vị và trong một dơn vị
thời gian:

Q = Ịỳ«iS = j'udy =
S
0
1*
I “*
•* í
Nếu hai bán phẳng c ố định:

^ -h * +

Vh

(7.2.8)

Ỉ 2 V õx
/V i

,

e , _ - L f y
12ụ ơx

.

(7.2.9)

Từ (7.2.9), ta tính được vận tốc trung bình và vận tốc cực đại:
tb

Q

s

ỉ dph!
Ỉ2ịi dx

;,ì2 ~-

8 ịid x
#Ịi dx

«^2 J

(7.2.10)

Ta goi: — = —— — = - — là đô giảm áp suất ữên chiểu dài /.

dx

I

I

Tờ (7..2..9), suy ra:
.

(7.2.11)

k
Vậy đô giảm áp suất tỷ lề với lưu lượng và tỷ lệ nghịch với h ’
134