Algebra trigonometry earl swokowski

Precálculo
,
Algebra y Trigonometría
con geometría analítica
Primera edición

EARL W. SWOKOWSKI
JEFFERY A. COLE
Communlty College Anoka-Ramsey
Traducción
Maria del Pilar Carril Villarreal
Traductora profes10nal

Revisión técnica
Laura Isabel Mora Reyes
Escuela Nacional Preparatoria Número 6

Universidad Nacional Autónoma de Méxteo
Ale¡andro Chávez Ochoa

César Augusto Hemández flores
Jonathan Galván Colln

Preparatoria
Tecnológico de Monterrey
Campus Ciudad de México
María de Guadalupe Arro'JO Santisteban

Vinicio Pérez Fonseca
Jo~ Cruz Ramos Báez

Ignacio García Juárez
Universidad Panamencana ECEE

..

CENGAGE
learning·

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;

,•

CENGAGE
Learning·

Precdkulo
ÁJgtbro y trigonomdrfo
con 9ft>ffldrfo ono/ltka
Primera edición

Earl w. Swokowskl. Jefícry A. Cole

Gerente editorial de contenidos en espaftol
Jesüs Mares Ch1eón

Gerente de Adqulskiones para LatlnoamMca:

Claudia C. Caray Castro

Gerente de Manufactura para LatinOJimérica:
Antonio Matees Martínez

Gerente de Desarrollo Editorial en Espai\ot
Pitar Hern~ndez Santamarlna

Gerente de Proytttos Especialu:
lucl.in¡ Rabuffettl
Coordinador de Manufactura:

O 0.R 2018 por Ccngage Lcarnlng Editores, SA de
C.V.• una Compaflla de Ccngage Learnlng. lnc.
Carretera Mtxlco · Toluca núm. 5420. Oficina 2301.
Col. El Y~ul. °"l. Cuajima1pa, C.P. 05320.
Ciudad de Wxlco.
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de Información a excepción de lo permitido
en el Capítulo 111, Articulo 27 de la Ley Federal
del Derecho de Autor, sin el consentimiento
por escrito de la Editotlal.Reg 503

Rafael Ptrez González
Editor:

Jav~r Reyes Martínez
Oisei'lo de po~a:
Mariana Slerra Enrlquez

Imagen de portada:

Traducido del libro
Pr«.olculus: Functlons ond Grophs.
Twelfth Edltlon, Enhonctd Edition
Earl W. SwokowskJ, Jtffery A Cok
Publicado en lng"s por Cengagc
lcarning 0 2017
ISBN: 978-1-lOS-66309-1

OKISOY Borls / Shutterstock.com

Composición tlpogrjflc.a:
Mariana Slcrra Enriquez

Datos para catalogación b1bliogr.iftca:
Swokowskl, Earl W.; Cole. Jeffcry A.
Pr«dlculo

Álgcon gtomttría onohlko
Primera edkión
ISBN: 978"607-526-546-9
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A LA MEMORIA DE EARL W. SWOKOWSKI

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Contenido

Prefacio

E-!~11111•11 Temas de álgebra

1

1.l

Números reales

1.2

Exponentes y mdicalcs

1.3

Expresiones algebraicas

1.4

Ecuaciones

16
27

41

1.5

Números complejos

1.6

Desigualdades 64

57

Capllulo J Ejercicios de repaso

75

Capítulo I Ejercicios para análisis
Capítulo I Examen

ii,\4ii'Ji•fj

Funciones Ygráficas

77

79

81

2.1

Sistemas de coordenadas rectangulares

2.2

Gráficas de ecuaciones 89

2.3

Rectas

2.4

Definición de función

120

2.5

Gráficas de funciones

136

2.6

Funciones cuadráticas

151

2.7

Operaciones con funciones

82

104

165

Capítula 2 Ejercicios de repaso

174

Capitulo 1 Ejercicios para análisis
Capítulo 2 Examen

180

181

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C0nlfflldo

lf·i411iji-ii Funciones polinomiales y racionales

183

3.1

Funciones polinomiales de gr.ido mayor que 2

3.2

Propiedades de la división

3.3

Ceros de polinomios

3.4

Ceros complejos y racionales de polinomios

3.5

Funciones racionales

3.6

184

194

201
213

22 1

Variación 236

Capitulo 3 Ejercicios de repaso 244
Capiwlo 3 Ejercicios para análisis 246
Capiwlo 3 Examen

247

lf·iQlílJl•ii Funciones inversas, exponenciales y logarítmicas
4.1

Funciones inversas

4.2

Funciones exponenciales 261

4.3

La función exponencial natural

4.4
4.S

Funciones logarítmicas

4.6

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

274

283

Propiedades de los logaritmos

Capiwlo 4 Ejercicios de repaso

297

Ángulos

319

322

fi·i?IUll•Jj Funciones trigonométricas
5.1

305

316

Capiwlo 4 Ejercicios para tmálisis
Capiwlo 4 Examen

249

250

323

324

S.2

Funciones trigonométricas de los ángulos

S3

Funciones trigonométricas de los números reales

S.4

Valores de las funciones trigonométricas

5.5

Gráficas trigonométricas

S.6

Gráficas trigonométricas adicionales

S.7

Problemas aplicados

334
366

373
386

393

Capítulo 5 Ejercicios de repaso 405
Capítulo 5 Ejercicios para tmálisis 4 11
Copiwlo 5 Examen 412

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349

y


vi

cont~ ldo

lf·iQHU(el) 1 Trigonometría analítica

415

6.1

Verificación de idcntídadcs trigonométricas 416

6.2

Ecuaciones trigonométricas

6.3

Fónnulas de suma y resta

422

6.4

Fónnulas de múltiplos de un ángulo

6.S
6.6

Fónnulas de producto a suma y suma a producto 455
Funciones trigonométricas inversas 460

436

Capítulo 6 Ejercicios de repaso

446

415

Capítulo 6 Ejercicios para tmólisis 4 77
Capíwlo 6 Examen 479

lf·\Qfi'Jl•fi Aplicaciones de trigonometría
7.1

Ley de los senos 482

7.2
7.3
7.4
7.S
7.6

Ley de los cosenos 491
Vectores

481

500

El producto punto

514

Fonna trigonométrica de números complejos 524
Teorema de De Moivrc y las rces n•ésimas de números complejos 530
Capítulo 7 Ejercicios de repaso

535

Ct1pítulo 7 Ejercicios pt1rt1 tulisis 538
Capítulo 7 Examen

540

li·!4ii'ii•l=i Sistemas de ecuaciones y desigualdades

543

8.1

Sistemas de ecuaciones 544

1.2

Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables 553

8.3

Sistemas de desigualdades 562

8.4
8.S

Sistemas de ecuaciones lineales con más de dos variables 577

8.6
8.7
8.8

Programación lineal

569

Álgebra de matrices 592
El inverso de una matriz 601
Detenninantes

607

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Contenido

8.9

Propiedades de los determinantes

8.10 Fracciones parciales

613

621

Capitulo 8 Ejercicios de repaso 627
Capiwlo 8 Ejerr:icios para análisis
Capitulo 8 Examen

630

632

li·SQl(IJl•JM Sucesiones, serles y probabilidad

635

9.1

Sucesiones infinitas y notación de sumatoria

9.2

Sucesiones aritméticas

9.l

Sucesiones geométricas 656

636

649

9.4

Inducción matemática

9.5

Teorema del binomio 672

666

9.5

Permutaciones 680

9.6

Permutaciones y combinaciones distinguibles 687

9 .7

Probabil idad

694

Capitulo 9 Ejercicios de repaso 709
Capíwlo 9 Ejercicios para tmólisis
Capíwlo 9 Examen

d·SQHIJ(tj[,j Temas de geometría analítica
10.1 Par.lbolas
10.2 Elipses

71t

713

715

716
725

10.l l·lipérbolas

738

10.4 Curvas planas y ecuaciones paramétricas
10.S Coordenadas polares

762

10.6 Ecuaciones polares de cónicas

776

Capitulo JO Ejercicios de repaso 782
Capiwlo JO Ejercicios para análisis

784

Capitulo 10 Examen 786

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749

vil


vlll

Contenido

Apéndices
1

Gráficas comunes y sus ecuaciones AP2

11

Resumen de transformaciones gráficas AP4

111

Gráficas de las funciones trigonométricas y sus inversas

IV

Valores de las funciones trigonométricas de ángulos especiales
en una unidad circular AP8

Respuestas de ejercicios seleccionados

A1

Índice analítico A85

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AP6


Lista de temas a estudiar
con ayuda de calculadora graficadora
CAPITUL.O 1

Temas de álgebra

Almaccn.'lmicnto de \alores y evaluación de expresiones 4

Recíprocos 6
Resta y ncga11,os 6
Prueba de desigualdades y de la ley de tricocomía

Valor absolu10 1O
Fonna c1entifica 13
Notoción exponencial 16
Rz enésima 20

Exponentes rac1on:dcs 24
Comprobación del rcsuhado de una factor1.tación 32
Cómo dctcnmnar el mcm 34

Sum3 de fracciones 34

Cómo crear una tabla 35
Comprobación de ecuaciones 47

Operaciones con números complcJOS 6()...61
CAPÍTULO l

Funciones y gráficas

Trazo de puntos 86
Trazo de la gráfica en una ,entana de visualiLación estándar 93
Es111nac1ón de los puntos de mtcrsccción de las gráficas 99-100
Cómo e ncontrar la recta de meJOr ajuste

114

Rcprcscntac16n de c.-..poncnlcs racionales y cómo dctcmunar
valores funcionales 130
Trazo de la gráfica de una función definida por tramos 142
Cómo encontrar un valor máximo (o mlnimo)
CAPITUlO 4

156

Funciones inversas, exponenciales y logarítmicas

Gráfica de la in,.erso de una función 257

CAPITULO S

Funciones trigonométricas
Conversión de medición en r3dianes a medición en grados 328-329

CAPITULO,

Trigonometría analítica
Aproximación de las soluciones de una ecuación 1rigonomé1rica 429

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u~w dt tem,u , estudLar con ulcul,c:tor, gr,fK«lof,

CAPlTULO 1

Apllcadones de trigonometría
Suma de dos \-eclorcs 506
Obtención de un producto punlo 514
Operaciones con números complejos 526
Obtención de la raiz de un número complejo 533

CAPITULO I

Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Gráfica de una desigualdad 566
Cómo mgresar una matriz 585

Solución de un sistema u11lu.ando l::1 fonna escalonada reducida de renglón
Multiphcac16n de matnce:s 597
Cómo encontrar el detemunante de una matraz 610

CAPJTULO 9

Sucesiones, serles y probabilidad
Generación de sucesiones 637
Gráfica de una sucesión 638
Cómo cncon1rar témunos de una sucesión definida de forma n..--curs1\'a 639
Cómo encontrar la suma de una sucesión 641
Cómo encontrar los 1érminos de una sucesión de sumas parciales 6-13

Uso del modo Sucesión de la calculadora Tl-83/4 Plus 645
C,Uculo de factoriales 674
Cálculo de pcrmuiaciones 685
Cálculo de combmaciones 691
CAPITULO to

Temas de Geometría analftlca
Gráficas de senuelipses 731

Trazo de gráficas en modo paramé1rico 752
Coll\crsión de polar a rectangular 765
Coll\ersión de rectangular a polar 765
Gráfica de una ecuación polar 768

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Prefacio

La primera edición en espol (duodécima en inglés) de Pn1"álc.ulo Álgebra y
Tngonomctria con Gcomctria Analittca incluye más de 650 eJcrcic1os y 11 cJcm•
plos nue,os. muchos de los cuales son resultado de las sugerencias de usuanos
y rc\isorcs de ediciones anteriores Casi 22'• dc los ejercicios son difcrc-ntcs. El
capítulo 11 (d1spomble en mglés y en línea en el sI1I0 \\Cb wwv..ccngagcbram,com)

es nuevo. Todo se ha incorporado sm sacrificar la precisión matcm.iuca que ha sido
pnmord,al p:na e l éxito de este libro.
Una de las no\cdadcs de esta cd1c1ón es el cx:amen al final de cada caphulo,
que incluye preguntas sencillas rcprcscntt111,,as de las preguntas planteadas previa•
mente, asi como preguntas conceptuah.-s para el examen J)Or capitulo.
L3 inclusión de ejemplos e 1nscrcioncs del uso de calculndora g_raficador:i. que
presentan secucncrns específicas de teclas y pantallas del modelo Tl-83 4 Plus. ha
demostrado aportar un ,ator agregado al texlo, en panicular para quienes trabaJan
por primera \ez con calculadoras de este 11¡,o. También brinda más nex1b11idad a
los docen1cs en cuamo a la fonna de abordar una solución El d1sci\o de 13 obra pcrnute identificar con füc1hdad las inserciones sobre recursos 1ecnológic~. las cuales
se incluyen en un indice especifico para faciluar su búsqut."da.
Enseguida se presenta un resumen de los capilulos. seguido por una brt\-C dcscnpeión del curso univers1tano de álgebra que nnpanl en el Commumty College
Anoka-Ramscy. y luego un:1 hsta de las característ1cas generales del hbro.

Perspectiva general
CAPITULO 1

Este capitulo con11cne un resumen de algunos lemas de álgebra elemental . Usted ya
debe estar famihari.tado con gran parte de este ma1enal. pero algunos de los cjcrcic1os suponen un reto que lo preparará para cursos de cálculo m1egral y d1fercnci11I.
Se introducen y u11hza11 operaciones con calculadora graficadora para comprobar
las OpCraC1ones algebraicas Asim ismo. las ecu3c1oncs y desigualdades se resuelven de manera algebraica y numérica con apoyo de hemn11cntas tccnológ1cas;
en capítulos pos1criorcs se rcsolvenin gráficamente. Usted ampharli sus conoc1m1cn1os sobre estos temas: por eJemplo, seguramente ha trabaJado con la íónnula

cuadrática. pero se le pedirá que la relacione con la íac1orización y que trabajen con
coeficientes que no son números reales (re, ,se los ejemplos 6 y 7 de la sección 1.4).

CAPÍTULO l

En este capítulo se mtroduccn las gráficas y las funciones b,d,mcnsion:.lcs. Se proporcionan mstruccioncs específicas parn la mayoria de las funciones básic11s de una
calculadora graficadora. por eJcmplo. encontrar ceros y puntos de 1111crsccci6n, asi
como p.ira algunos de los temas más complejos. entre ellos dcl..:rminar un modelo
de regresión y g.raficar una función dcfinuia por 1111crvalos. El ejemplo 10 en la sección 2.5. uno de nus fa\-Ontos. es una apl1cac16n de ac1uahdad (1mpucs1os)quc relaciona tablas, fórmulas y gr.ificas. La nomción de flechas, in1roducida en la sección
3.5. se ha trasladado a la sección 2.2 y se hace rcrcnc1a a ella con más rn..~uenc1a.

u ,iTULO 3

E.sic capítulo comien1..a con un análisis de las funciones polinómicas y un poco de
1coria de polinomios. En la sección 3.5 se rcalil.a un an31isis completo de las fun•

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xll

Prtf1e1o

cioncs racionales, seguido por una sección sobre va.nacio~. que mcluye gn\fic3s
de funciones polmómicas simples y funciones racionales.
CAPITULO•

Las funciones inversas son el primer tcm3 de análisis. seguido de varias secciones que se ocupan de las funciones exponenciales y logarítmicas. Uay un CJcmplo
nuevo sobre la obtención de la inversa de una función racional (re, ise el eJemplo
4 de la sección 4.1 ).

CAPITULO S

Los ángulos son el pnmcr tenui de este capítulo. A con1muac1ón se introducen 13s
funciones 1ngonométricas. utilizando el mctodo del tnángulo rectángulo. y luego se
definen en 1émlinos de una circunfcn.-ncia um1an3 L3.s 1dcnt1dadcs mgonomé1ncas
básicas se mencionan a lo largo del capítulo. el cual concluye con secciones sobre
gráficas trigonométricas y problemas de aplicación

CAPITULO 6

Es1c C3pílulo 1rata pnnc1palmcn1c sobre las idcnudadcs 1ngonométncas. su~ fórmul3S y ecuaciones. La úh1m3 sección contiene las definiciones. propiedades y
aplicaciones de las funciones trigonomé1ricas in,cn.as.

(A.PiJULO 1

Las leyes de senos y cosenos se ut1h.z.:m para resohcr tr1:ingulos oblicuos. Luego se
introducen los ,ectorcs y se u1ih.tan en las aplicaciones Las dos úhunas secciones

se relacionan con las funciones trigonomélricas y los números complejos.
CAPITULO I

Los s1s1em.as de desigualdades y la progro.mac16n lmcal siguen mmcd1atamcn1c a
la solución de smemas por sust1tuc16n y chmmación. A con1muación se introducen
las ma1riccs. mismas que se utilizan para resohcr sistemas de ecuaciones Este
caphulo conclu)'e con una d1scus1ón de los deiermman1cs y las fracciones JX1rc1ales.

CAPITULO 9

El capítulo conm::na con una exposición de las sucesiones. que se apoya cons1dCT'3blementc en el uso de herrum1cntas 1ccnológicas. Las fómrnlas para el enésimo témuno de las su~siones an1méticas y geométricas se han generalizado para

encontrarlo utilizando cualquier término. no sók> el pnmero. Luego se presentan la
mducc1ón matemática y el teorema del bmom10. seguidos por temas de conteo. La
Uhnna sección trata sobre tcm35 como probab1l1dadcs y ,·alor esperado. M1 eJcmplo
fa,ori10 mclu)'e un nuc,·o tipo de problema de probabilidad, y la solución se puede
aplicar a muchos problemas s1m1larcs (re, 1sc el CJemplo 9 de la sección 9.8).

CAPITULO 10

Las secciones sobre parábola. c hpsc e hipérbola 1mc1an este capilulo. Dos formas
d1fcrcn1cs de representar funciones se presentan en las secciones subsiguienlcs
sobre ecuaciones paramétncas y coordenadas polares. Se han mcorporado cerca de
100 CJerc1c1os nuevos

CAPtruL011

Los linutcs de funciones se mtroducen de fonna m1u1t1,·a y precisa en hu dos
pmncrns sece1oncs de es1e noe\i·o capilulo. En la secc ión 11.2. el primer eJemplo
ayudará al cs1udi:m1e a scnursc cómodo con la notación Las dos últimas secciones
contienen los 1eoremas de llnutes (1nclu1dos los que ucndcn a mfimto), lo que le
proporciona una base sólida para avarv..ar hacia cualquier curso básico de cálculo.

(dl\pon1bl@

solOtn 1ngtn
yen hf\H)

MI curso
En el Communny Collcge dcAnoka-Ramscyen Coon Rapuis. Mmncsota. Álgebra 1
es un curso de un semestre.
Para los estudiantes que tienen la mtención de lomar Cálculo. es1e curso va

seguido por un curso de un semestre. Álgebra II y Trigonometría. el cual 1amb1én
sine como un curso final de ma1cmáttcas

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Prefacio

XIII

Las sccc1oncs que se cubren en Álgebra I son:

2.1 2.7, 3.1.3.5 (parte), 3.6.4. 1-4.6, 8.1 8.4. 9.1 9.3 y9.5 9.8.
El capítulo I se usa como malerial de repaso de algunas clases y las secciones
restantes se ensei\an en el curso s1gu1cnte. En algunas secciones se requiere usar
cakuladora graficadora y en otras es opcional.

Características de la edición
lJru: lista e-specfflc. de tffllas con calculadon1 craficadora Para una consul1a
rápida. se incluye una hsta de temas a manejar con calculadora graficadora.

Tablu Las tablas ofrecen un acceso fácil a resúmenes de las propiedades. leyes.
gráficas. rel3ciones y dcfin,cioncs. y a menudo contienen cJemplos sencillos de los
conccp1os que se presentan.
EJtmplo5 Todos los eiemplos. 111ulados para fac1htar su consulta. proporcionan
soluciones detalladas de problemas similares a aquellos que aparecen en las series
de CJcrcicios Muchos incluyen gráficas o labias para ayudarle a us1ed a entender
los proccd1m1en1os y soluciones.

E.lpliuunnes puo • paso Con la finalidad de ayudarle a seguirlas mas fic1l•

mente. muchas de las soluciones de los ejemplos contienen explicaciones dcta•
lindas.
fjerci-cios p,r1 an:.h1i1 Cada capilulo concluye con vanos eJcrc1c1os adecuados
para comentarse en equipos de discusión. Estos eJercic1os varian en grado d1fieul•
tad de fáciles a difíciles y de tricos a orientados a la aplicación.
Dflnostraclon.s Las soluciones de algunos ejemplos se prueban de fonna explíci1a. a fin de recordarle a l cs1ud1ante que debe comprobar que sus soluciones sa11sfag:m las cond1c1ont.-S de los problemas.
Ejempk>s t1MI a.lwb.d:or1 1r1fiudon Donde es apropiado. se agregaron al
tex10 ejemplos que requieren usar una hcrra.m1en1a o dispositivo de gro ficación. los
cuales se 1den1ifican con el icono de calculadora (que se muestra a la izquierda) y
se alustran con una figura reproducida de la pantalla de la calculadora graficadora.
lnYfCtlMWS con c.a.lwlad1,ra IJ'aflc.adora Además de los CJemplos con calcula•
dora graficadora. hay inserciones que resaltan algunas de las capacidadc~ de es1c
tipo de calculadoras o ilustran su uso para realizar las opcrocioncs en estudio. Por
ejemplo, \ea en la sección 9.1 "Uso del modo de sucesión en la TJ.83 14 Plus",
Ejercic.J~ con uJtt.1ladora ¡ra.flaidora En secciones donde conviene, se mclu•
yen CJCrticios d1sei\ados cspcclficamen1e para rcsoh·crsc con una hcrra.m1cn1a de
g.raficación. Es10s CJerc1cios también se identifican con el icono de calculadora (que
se muestra a la uqu1crda).
Aplka.c.iones Par.i. despertar el mterés del es1ud1ante y ayudarle 11 relacionar los
ejercicios con suuacionc.s reales. se han timlado los CJcrcicios aplicación. Numerosos docentes han seflalado que las aplicaciones cons1uuycn una de lru; caroctcrlsll•
cas más sólidas del libro

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xlv

PftíldO

EJ •r

de fonna gradual hacia problemas más compleJOS. Un gr:in número de eJercicios
contiene gráficas y datos tabulados; otros le piden al estudiante d1sel\ar un modelo
m31crnático para los datos proporcionados. Muchos de los ejcrc1c1os nuc\ os rcqmc•
rcn que usted comprcncL1 la relación conccpuwl en1rc una ecuación y su gráfica.
Por lo general. los problemas de aphcac1ón aparecen al fin31 de ur\3 sene de eJCr•
c1cios. de modo que el cs1udmn1c 3dqu1era scgund.'ld en la :1pl1cac1ón de las nue\3S
ideas planteadas. antes de que mlenle resol\.er problemas que requieren un mayor
anélis1s y sintcs1s de estas ideas Los ejercicios de repaso al final de cada capítulo
se pueden usar como preparación para los exámenes.

EUMenH porcapltufo Es1a es una camctcristica nueva en cs1a edición. Los exámenes conucncn preguntas rcprcscnuuivas de los CJCrc1c1os de las secciones. así
como preguntas conceptuales. Espero que los docentes me companan sus prcgunias preferidas de examen; por favor higanmelas llegar.
Llnta"'1entos o pHOt Los hncam1cntos que se presenlan en un n.--cuadro enume•
mn los pasos de un proccd1micn10 o técnica para ayudarle al estudiante a rcsol"cr
problemas de fomta s,s1emát1ca.

Alertu Intercaladas en el tc.>sobre errores comunes que se comc1en cuando se estudia la matcna..
01.fto del libro Las figuras y gráficas. que const1tu)cn un conJunto de ane 1otal
msupcrablc. se han gcncrado por computadora par:i obtener ma)'or precisión. ut1li•
za.neto la tecnología más reciente.
Formato de interiores El libro ha sido d1se1\ado para ascgur:ir que las cxposicier
ncs de los temas sean fáciles de seguir y los conceptos 1mponan1cs estén resaltados.
Se u11liz.a color para esclarecer pcdagóg1camcn1c las gráficas complejas y ayudar al
estud1an1e a \ isuahzar problemas pr.k11cos.
Apltndkes El apéndice l. Gráficas comunes y sus ecuaciones. es un resumen ilus•
lrado de gráficas y ccuac1onc-s que los estudiantes suelen encontrar en ma1emát1cas
de prccálculo. El apéndice 11. Resumen de las transfonnaciones de gráficas. es una
sinopsis 1lustrauva de las transfonnactoncs básicas de gráfic:is que se estudian en el
texto: desplazamiento. cst1ram1cn10. compresión y rcnexión. El apéndice 111. Gráficas de funciones trigonomé1ricas y de sus inversas, contiene gráficas, domini~ y

rangos de las seis funciones tngonométricas y sus inversas. El apéndice IV. Valores
de las funciones 1rigonométricas de ángulos especiales en un..1 circunferencia um•
!.aria. es una referencia de página completa sobre los ángulos más comunes en una
c1rcunfcrcncia umtana. vahosa para quienes intentan aprender los \a.lores de las
func1onC!i trigonométncas básicas. El apéndice V. T"--orcmas de lim11cs. cont1cnc
demostraciones de algunos teoremas del capítulo 11; este apéndice está d1spomblc
en inglés en el s1110 "cb del estudiante.

S.Cdón dt rtspuHtu El apéndice de respuestas del final del hbro contiene las
rcspues1as de la mayoria de los CJercic10s impares. así como las de todos los CJCrtl·
cios de repaso de los capítulos. Se aplicó mucho esfuerzo y dedicación para h3Cer
que esta sección fuera una herramienta de aprencfü.a je para el estudiante en \C.t de
sólo un siüo para comprobar respuestas Por cJcmplo. se proporcionan dcmostra-

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Prcfxlo

XV

ciones para los problemas de inducción matc1ná11ca. Las respuestas numéricas de
muchos CJCrcicios se expresan truuo en fonna exacta como aproximada. Las gr.\ficas. demostraciones y sugerencias se incluyen cuando es apropiado Las soluciones
y r~puestas preparadas por el autor garan11zan un allo grado de coherencia entre el
texto. !ns soluciones y las respucsms.

Recursos didácticos para el docente
(disponibles en inglés para los docentes que adopten el libro
como texto b.isico en sus cursos)
lnstructOf''I Sollltlons Manu.al piir Jefftry A. Colt

ISBN-10: 1-111-57349-2: ISBN-13: 978-1-111-57349-2
Este manual. preparado por el aulor. incluye las rcspucslas de lodos los eJercicios
y soluciones detalla~ paro la mayoría de ellos. l-la sido revisado a fondo para
lograr mayor exaclllud. Las soluciones del caphulo 11 se incluyen en el siuo "cb
del profesor.
MlndTap for Mathematlu and St.atl1tlu
(disponible en inglés y con costo adicional)
La expencnc1a es 1mponan1c cuando se desea conmbuir al éxuo de los estudiantes
Con MindTap for Mathema11cs and Statís11cs.. los docentes pueden

• Persor13liuar la ruta de aprendizaje para que coincida con el programa del curso al
reordenar el contc111do o ai'lad1r ma1erial orig1n.1I al con1emdo en linea
• McJorar la expcnencia de aprendi.taJe y los resultados mcdian1c lo sunplífieac1ón
del íluJo de trab3J0 del es1udian1e
• Personahzar las evaluaciones y tareas en línea
• Conectar un panal de sistema de admm1s1ración del aprcnd1za1c al curso en línea
• Hacer un scguinucnto de la pan1c1pac1ón. el progreso y la comprcns16n de los
es1udum1es
• Promo, cr el éxito del cs1udia111c mcd1an1c mtcrac11, idad, multimedia y CJcrcicios
Los docentes que ullhzan un sistema de admm1strac1ón del aprcnd1zaJe (corno
Blackboard. Can,as o Moodlc) para el segu1m1cn10 de los conlemdos, lareas y
e,aluacioncs del curso pueden acceder con facilidad a tl.·lmdTap, la hcrrnm1cn1a de
con1emdos y evaluaciones paro es1c curso.
Conozca más en www.cengagc.com/nundtap.
Ceng•Brain.com Para acceder a 01ros mmenalcs del curso y recursos complcmenlarios, v1s11e WW\\.cengagebram.corn.
Hnr.amt• nl»1 dt: .prendli.aj• p•u .- estudi1nt•
(disponibles en inglés y con costo adicional)
Manual de t0lu<lon~> p.ara e l .studi.1nte por Jefflfy A. Cvl
ISBN-10; 1-111-57350-6; ISBN-13: 978-1-111-57350-8
Este manual. preparado por el autor. ofrece las soluciones de uxtos los e1erc1cios

impares. así como cs1rotcg1as para la solución de e1ercic1os ad1c1onalcs. También
incluye muchos conse1os y rccomeodac1ones úulcs. Las soluciones del capiiulo 11
se mclu)en en el s1110 \\Cb del es1ud1an1c

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XVI

Pfefacto

MindTap para matemiticas y estadlstica es una solución d1gual que coloca
el aprcndtzaJe en el núcleo de la experiencia. Además de problemas generados
mediante algornmos. rctroalimcmación inmediata y un potcn1c sistema de evaluación de respuestas y calificación. MindTap para matemáticas y estadís1ica ofrece
una experiencia personali.tada que combina tareas dinánucas. un plan de mCJOr.l
continua y apoyo integrado justo a tiempo. que convierte la rutina en inno\·ación.
la apa1ia en compromiso y a los cs1Ud1an1es que aprenden por memorización en
pensadores de al10 m\cl. 0..."Seubra más en WW\\.Ccngagc.comlmmdtap.
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Es1a sene de DVD presenta el material de cada capítulo, d1\ 1dido en lecc1011es de
solución de problemas de 10 a 20 minutos que cubren cada sección.

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Prcfxlo

xvil

Agradecimientos
Muchos de los cambios en cs1a cd1c1ón se deben a las s1gu1cntes personas. quienes
revisaron el manuscnto o h1c1cron sugcrencw para incrementar la utilidad del libro
p.:sru el estudiante:
Elsic Campbcll. Uni,crsidad Esia1al Angelo
Ronald DotLcl. Un1,crsidad de Missouri•St. Louis
Shcrry Galc. Um\crs1dad de Cmc1nnn11
Shc1ln Lcdford. Colegio Comunitario de la Costo. de Georgia
Chris Pa.rks. Universidad de Indiana
Brenda Shryod:. Um,ers1dad de Carolina del None en Chapel H1II
Lisa TO\\-RSlcy. Uni,ersidad de Georgia
S1cphame Vanee. Colegio Estatal Adams
Lons Zueca. Lone Star Collcgc-Kmgwood
También agradc7..c0 a Marv Ricdcscl y Mary Johnson por su re, 1sión de la precisión
de los CJCmplos y CJCrtlCIOS llUC\OS f ya rc,1.sados.
Es1oy agradecido por la cxcelcnu: cooperación del personal de Ccngagc Lcarning. e)pc-c1almcn1e del grupo editorial de Gary \\!halen. Stacy Green. C)'nlhia
Ashlon. Samandta Lugtu. Jcnnifcr Risdcn y Stcfamc Beck Gracias a Lynh Pham
por el mancJo de muchos tcn\3S de tecnología y a M1a Ore)'cr por su ayuda en
la prcparac,ón del manuscnto. Sally L1ílnnd. Ga1I Magm. Jane llooHr y Qmca
Ostrandcr. de L1fland et al .• Bookmakcrs. se encargaron del libro en 1odas las etapas
de producción. pusieron un cuidado excepcional para que no se produj<.-ran incons1s1encias y ofrecieron muchas sugerencias Ühlcs. El fallecido Georgc Morris. de
Sc1cnufic lllus1rntors. creó el ane de este libro con precisión m.atcmáttca a lo largo
de \-3nas cd1c1ones. Su h1JO Bnan con11nua con es1a 1rnd1ción de excelencia.
Además de todas las personas nombradas aquí. me gustaría expresar m1 más sincero agradecinuen10 a los estudian1cs y docentes que han contribuido n es1ruc1urar
mis puntos de ..,ista sobre la cnsc1'an¿a de !ns ma1cmá1icas. Por fo,or. siéntase en
la hbcnad de cscnb1m1e (Jeff-eolcfa comcas1.nct) en 1omo a cualquier aspcc10 del
libro, apn.'Ciaré mucho su opm16n.
Jcffery A. Cole

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1
Temas de álgebra
ll_1)

Nümeros reales

La palabra áfg(>bra pro-..ienc de 1/m al-jahr " 'a/ nmqahala. rilulo de un

11.21

Exponentes
y radicilles

se ha traducido como la ciencia de la restauración y rcducc,ón. lo cual s1g•

IJ!I

Expresiones
algebraicas

1ranshtcrac1ón la1m:1 de a/.jabr 11".:,6 al nombre de la roma de las mau:má•

hbro esenio en el siglo tx por el m:11cmát1co irabc al-Kh~ori11m1 El titulo
mfica transponer

n

Ecuaciones

Ll,i l

Números complejos

IL6) Desigualdades

y comb1ru:tir ténnmos scmcJantes (de una ecuac1ón}. La

11e.1s que ahora se llama álgebra
Este capitulo micia con una re, is1ón de los mimcros reales y sus pro.
p1cd3dcs, las cuales se u1ih.am a lo largo del hbro y t.-n otros cursos de

ma1emá11cas. Se pre!.enta una discusión sobre algunas cécmcas algcbrn,cas

fundamentales antes de centrar la :ucnción en ecuaciones y desigualdades.
cuyas soluciones son subconJuntos de la recta num1..~ca real

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CAPITULO 1

1 TEMAS DE ALGE8RA

Números reales

Los ntimcros reales se u11h1.an en las ma1cmá11cas. y debemos fomilianzamos con
los simbolos que los repre-!.enlan. por eJemplo

1.

n. -5. ~- VÍ. o. \LBS, o.nm....

596.25,

etcétera. Los rnlrros po.silh·os, o númrro.1 naluralrs. son
1,

2. 3. 4 . ...

Los números enteros no ntgathos son los números n.1.turales combmados con el
cero. Los númuos entr rosson los números na1uralcs. el cero y los enteros negati\OS

...

-4.

-3.

-2.

-1,

º·

l. 2.

3. 4, ...

A lo largo del hbro, las letras mmllsculas a. b. c. t. y . ... reprcscman números
reales arb1Lr.mos (también llamados mrwhles). Si a y b denotan el mismo número
real. se escribe a • b, lo cual se lee ..a es l~ual 11 h"" y se le llama igualdad. La
notación a 1- b se Ice ..a 110 ts Igual a b.··
S1 a.by e son enteros y e - ab, entonces a y b son factores. o dh lsorts. de c.

Por eJemplo. como

6 - 2·3 - (- 2X-3) - 1 ·6-(- 1X-6l
s.ibcmosquc l. -1. 2. -2. 3, -3. 6 y -6 son factoresdc6
Un entero pos111"0 p diferente de I es primo s, sus tlmcos factores pos111vos
son I y p Los primeros nllmcros primos son 2. 3. 5. 1. 11. 13. 17 y 19. El teorema
fundamental de la arilmt lica establece que todo entero posit1-.o diferente de 1
puede expresarse como el producto de númcrO§ primos de una y solo una manera
(c:,.ccpto por el orden de los factores). Algunos eJemplos son

12 - 2·2·3.

126 - 2·3·)·7. 540 - 2·2·3·)·3·5

Un númrro racional es un número real que puede C'(prcsarse en la fom1a alb,
donde " y h son enteros y h + O. Tenga en cuenta que iodo número entero " es un
número racional, ya que se puede expresar en la forma a/1. Todo nümcro real puede
expresarse como un decimal y las rcprescntac1oncs d~1males de los nllmcros mcion:1lcs sonf,nitru o nofimtas y per1ód1cas. Por CJCmplo, podemos mostrar mediante
el proceso antméuco de d1\ isión que
; - 1.25 y

En11

rtu 11, n,

ni uw ar,/ mholo
para r, •prournada111t·nll'. if:uwl a
, ,n n,

!ir- 3.2181818 ...,

donde los dígitos 1 y 8 en 13 representación de !{; st rep1te11 de fom1a mdcfimda (lo
cual a veces se escribe 3.2TB).
Los números ~les que: no son racionales son númr ros irracionales. Las reprefim1t1s y
sentaciones dccunales de los números ,rrncionalcs son siempre
periódicas. Un nümero 1rrac1onal comün. que se denota por 1t. es In raLĨn entre la
c1rcunferenc1a de un círculo y su diámetro. A veces se usa la notación w .. 3.1416
para indicar que 1t es aprodmadamrnlr igual a 3.1416
No hay un nümcro n,cio,wl h tal que Ir - 2. donde Ir se denota h · b. Sin
embargo. cxis1c un nllmero 1rmt:iom1I. md1cado por "2 (ralz cuadrada de 2). tnl
que ({2)' - 2.
El sistema de los númrros rules cst:i formado por iodos los números raciona,
les e 1rroc1onalcs. Las rclac1oncs cn1re los tipos de números que se uhhz.an en el
álgebra se ilustran en el diagrama de la figura 1. donde una línea que une dos f\."'C1ángulos sigmfica que los nltmcros mencionados en el rectángulo supcnor mclu;cn
a aquellos en el rectángulo mfenor. Los números compleJOS. que se estudian en la
sección 1.5, incluyen todos los números reales.

"º

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"º


1.1 Numcrosr<"•ln

flGURA 1 Tipos de número-.. que~ utilizan en el álgebra

Los númel"O'S reales son cerrados con respecto a la operación de adición (que

se denota por + ): es decir. a iodo par a. b de números rc31cs le corresponde cxac•
tanu.-ntc un número real a + b llamado 13 suma de a y b. Los números reales son
también ct'rrados resp('clo a la mult iplicación (que se denota con·). es decir. a
todo p.'tT a, b de nt'.1mcros reales le corresponde exactamente un número real a · b
(que también se denota con ab) llamado el p roducto de a y b.
L1s propiedades 1mpor1anleS de la ad1c16n y la mult1plicac16n de 105. números
reales se lisian en la siguiente tabla.

PropledadH d~ kHi nUrnerm THIH
Trr• i- - , .
1) La ~1cKII\ es r-onmu1a1h·•·

2) La achct6n es uocl•tiu.

El orden no CJ rcknntc cuando se sum:1n dos

a+b•h+a
a

+ (b + e) •

(t1

+ b) + r

-a es el lnHrso •dltho. o
slmilrko. de a,

a+(-a)•O

S) La mul11phcac'6n es c-onmu1a1in.
6) La muh1phcxión es uoda1h·a.

La agrupación no es rclc\'antc cuando se sunmn 1n:s
nUmcros

U .sunu de Oa cu:dqu1cr numero da el mLSmO

J) o es el ldi nli<'O •ditho.
4)

nll.mcros.

La wma de un número y su s1rné1nco da O

El orden no es rtk-\ ante cuando se muluphcan dos
u(bt) • (ub)c

7) 1 es el idi ntko mulliplinth·o.

La agrupactón no cs rdc\'antc cuando se n1ult1phcan

La muh1phcac1Ón de un numero cu;ilqu1cra por l da el
mismo n\Jmcro.

U muh1phcx:1ón de un num..."l'O d1fcrtntc de C1.'fo por
su reciproco d:i 1

8) S1 u:/: O.: es el in,·rrso
multlplkatho. o rttlptOC'O, de a
9) La mult1phcactón es dlstributln
rcspcc-10 • 13. adición.

a(b +e)• t1b + acy
(a + b),r- • ac + be

La mult1phcx:1ón de un numero y un.a SUITl3 de dos

números C$ cquw1lcn1c a mulllphcar cad3 uno de
kJs dos nWncros por el nim\Cfo y luego sumar los
productos

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CAPiTULO 1 1 TEMAS DE ÁLGEBRA

4

Dado que a + (b + e) y (a + b) + e son siempre 1gW1lcs. podemos usar
+ b + e para expresar este número real. Se ut1hza abe ya sea para a(bc) o (ab)c.
Asimismo. si cua1ro o más números reales a. b. e, ,Jse suman o mult1phcan. pode·
mos cscnb1r o + b + e + d para su suma y t1bctl para su produc10. sin imponar la
manera en que se agrupan o intercambian los númt.'f'OS.
Las propiedades d1stnbu11vas son ú11lcs para encontrar productos de muchos

1,pos de expresiones que contienen sumas. El s1gmcn1c CJcmplo muestra su uso.

a

Dil'i:.11•11

Uso de las propiedades distributivas

Si p. q. r y .r denotan nlnneros reales. demuestre que
{p + q)(r + s) - pr
SOLUCION

+ p., + qr + qs

Utihzamos las dos prop1ed.1des d1stnbull\3S del punto 9) de la tabla

anterior::
(p + q)(r + s)

• ¡1',r + .t)

+ q(r + .r)

• (pr+ p.r) + (qr+qs)

o,und.& ()'''.UJHo.bd J1-.1nhu11

.1.

con c.

r

+,

,mera r,rup11."1ul J1~1nbu11\u

•pr+ps+qr +q.,

Almxenamiento de valores y evaluxión de expresiones
faalúc los Indos 1Lqu1crdo y derecho de la 1gu:ildad del CJcmplo I para
p • S. q • 3, r • -6 y s • 1.
O
ON
COMBINACIÓN DE TECLAS PARA LA CALCULADORA Tl•U/4 PLUS
AlmM:eM nlorH ffl P, Q.
lll yS.

(P+ Q)(R+S)

R+PS+QR+QS

7

8
8

tnJOa ~ l.cto h:qulffdo
(ll).

EYalQa ~ l6do dttK ho
( LO).

Ambos lados son iguales a 8, lo cual da cred1b1hdad al resuhado, pero no demuestra que sea
correcto

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Las s1gu1emcs son propiedades básicas de la igualdad

Propie dades de la Igualdad

Si ll

•

by e es cU3lqu1cr numero real. entonces

l ) o+c • b+c
2) oc - be

Las prop1cd:tdes I y 2 establecen que el mismo número puede sumarse 3 ambos
lados de una igualdad, y ambos lados de una igualdad pueden muluplicarsc por el
mismo número. Es1as propiedades se usarán ampliamen1c en codo el libro como

l

auxihar para encontrar soluciones de las ecuaciones.
El siguiente resultado se puede demostrar.

Productos que involumn el O

1) a · O - Opara iodo número real "
2)Sit1h - o.en1onccsa - Oob - O

Cuando usamos la palabra o como lo hacemos en el inciso 2). queremos dt..-cir que
por lo me11fac10r u ro en un trabaJo futuro.
Algunas propiedades de los negamos se hstan en la siguiente iabla.
Propiedades de los neg.atlvos
Propiedad
1) - ( - u) =

Ejrmp..

u

2) (- •lb= - (ah)= a(-b)
J) (-t1)(-h)
4 ) (- l)u

= t1h

=- u

- ( -3)

=3

( - 2)3 = - (2 · 3) = 2( -J)
(-2)(-3) = 2 · 3
( - l)J

=- 3

El reciproco ~ de un número real diferente de cero o suele denotarse con a
en la sigu1en1c tablo
NotM:16n de red procos

S1 a t 0, cntoncl."5 u

Obscf\C que s1 o '/. O. entonces

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1
,

como


6

CAPiTUL01 1 TEMAS DE ÁLGEBRA

lltt
2 ISTO<>]( AU'!lA

10 1ENTER 1

D

{a( EHTER)

1

( AU'!lA ) (D ~ ENTER)

L

1

5

5

En la figura se aprecian dos maneras de calcular el recíproco: 1) Con sólo presionar~
obtenemos el reciproco de la última respuesta. el cual se almacena en @ . 2) Podemos
mtrodnc1r una variable (o sólo un número) y luego encontrar su recíproco

Las operaciones de r esta ( - ) y dhisión (+ )se definen corno sigue.
Resta y divisiún

" - b-

(I

,ô-b ã u

+ (-b)

(ắ)
Ãb- 1:b~O

Slpiflcado
Para rcs1ar un nỳm...-ro a
otro. se: suma el ncgat1\0
Para d1v1d1r un nunl('fl)
entre un numero d1fcrcn1c
de Ct"ro, se mul!1phca por el
reciproco

3+7-3•(+)
- 3 . 1- 1

D
3

La eJccución del último enunciado produce un error de smtax1s (SYNTAX) en la calculadora
Tl-83 4 Plus U11hce la tecla C:) (menos) para la opcmc1ón de resta y la 1eda (8 (negación) para nllmcros ncgall\;OS En lo succs1\·0 onutircnl0$ la h.."Cla de negación y scncillamcnle escnb1remos

- 3.

¡

Usaremos albo para o + by se hace rcfcrcnc1a a o bcomo el Cl)(icnte d e a) b
a sobr e b. Los nllmcros" y b son el numt rador y d t n ominador. rcspecl1\amente. de o h. Dado que O no tiene in\;erso mul1iplica1i\;o, o b no se define
si b - O: es decir, la d11"isiim entre cero no esta defi11idt1 Es por esta razón que los

o la fracción

números reales no son cerrados respecto a la d1v1sión. Obscn-c que

1+ b •

-i- = b-

1

si b "' O

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1-1 N~me«>UH"1.

7

Las s1gu1er11es propiedades de los coc,cntcs son ,erdaderas. siempre que todos
los dcnonunadorcs sean n(nncros reales diferentes de cero.
Propiedades de los todenttt
Ejrmplo

Propkdad

1) Si

f • ~cmonccs

ud • IX'

f •T5

porque 2 • 15 • 5 - 6

2·3
2
~- 5
a
-a
a
3) --b - - b - - -b
2

9

2+9

11

2

4

2·3+5-4

-+s S - -S- - -5

26

-+--s 3 - -S·3
IS
2

7

2·7

14

s·3 • w - 15
2 + 7 _ 2_3 _ 6
535735

Los números reales pueden represcn1arse mediante pun1os sobre una recta t. de
manera que a cada número real a le corresponde exactamente un punto en / y a cada
punto P en f le corresponde un número real. A 1:510 se le llanu eorr~spondencl.a
uno a uno. Primero elegimos un punlo arb11rano O. llamado el origen. y lo asociamos con el número real O. Luego. los puntos asociados con los enteros se dc1crm1nan al tr.uar segmentos de recta sucemos de igual long11ud a ambos lo.dos de O.
como se wuestra en la figura 2. El punto correspond1cn1c a un número racional. por
eJcmplo -;-. se ob11enc al subd1vid1r estos seg_mcntos de recta, Los puntos asociados
con c icr1os números 1rracionalcs. como Vf. se pueden obtener por construcción
(,ea el eJercicio 45).
FIGURA2

o
1

o

B A
4

1

s

b

u

'"

rt:aks
__,~--------'-Nllmcros
----►
p0SIU\i»
El número" que está asociado con un punlo A entes la coordenada de A. A
estas coordenada~ se les conoce como SÍ"llema dl" coordr nadas a/, como la nda
de coordtnadas o rt'cta real. Se puede asignar una d1recd6n a/ al tomar la dirttción posllh a hacia la dcrcch3 y la dirt'cción negath·a hoci3 la izquierda. La d1rccc16n po~111va se denota al colocar Un.3 nccha sobre/, como se muestra en la figura 2.
Los números que com."Sponden a los puntos a l3 son números rrales posith os. Los números que se ubican a la izquierda de O son
números rules negalhos. El mím,•ro rPlll O'"' rJ ¡1051tim m negllt1m

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