Bài Tập Trắc Nghiệm Cực Trị Trong Hình Học Không Gian Có Đáp Án

www.thuvienhoclieu.com

CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Câu 111. Cho hình chóp S.ABC có SA = a , SB = a 2 , SC = a 3 . Tính thể tích lớn nhất Vmax
của khối chóp đã cho.
a3 6
a3 6
a3 6
Vmax =
.
Vmax =
.
V
=
.
3
max
V = a 6.
3
6
2
A. max
B.
C.
D.
Câu 112. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có độ dài đường chéo AC ' = 18. Gọi S là
diện tích tồn phần của hình hộp đã cho. Tìm giá trị lớn nhất Smax của S.

S = 36 3.
S = 18 3.
A. max

B. max
C. Smax = 18.
D. Smax = 36.
Câu 113. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4 , cạnh bên SA
( ABCD ) và SC = 6 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã
vng góc với mặt phẳng đáy
cho.
40
80
20
Vmax = .
Vmax = .
Vmax = .
3
3
3
A.
B.
C.
D. Vmax = 24.
Câu 114. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và có SA = SB = SC = 1. Tính
thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
1
Vmax = .
6
A.

Vmax =

2

.
12

Vmax =

3
.
12

Vmax =

1
.
12

Vmax =

128
.
3

Vmax =

125
.
3

Vmax =

250

.
3

B.
C.
D.
S
.
ABCD
ABCD
AD
=
4 . Các cạnh bên bằng
Câu 115. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
nhau và bằng 6 . Tìm thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A.

Vmax =

130
.
3

B.
C.
D.
Câu 116. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh bằng 1; SO vuông
( ABCD) và SC = 1 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.

góc với mặt phẳng đáy
2 3
2 3
2 3
4 3
Vmax =
.
Vmax =
.
Vmax =
.
Vmax =
.
9
3
27
27
A.
B.
C.
D.
Câu 117. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AD = 4a . Các cạnh bên
của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.

Vmax =

8a3
.
3

Vmax =

4 6 3
a.
3

3
V = 4 6 a3.
C. Vmax = 8a .
D. max
Câu 118. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AB = 2 . Cạnh bên
SA = 1và vng góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã
cho.
1
1
1
1
Vmax = .
Vmax = .
Vmax = .
Vmax = .
3
6
4
12
A.
B.
C.
D.
Câu 119. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại C, cạnh bên SA vng

A.

góc với mặt phẳng đáy
A.

Vmax =

3
.
12

B.

( ABC ) . Biết SC = 1, tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
B.

Vmax =

2
.
12

C.

Vmax =

www.thuvienhoclieu.com

2 3

.
27

D.

Vmax =

3
.
27

Trang 1


www.thuvienhoclieu.com
Câu 120. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = 1. Các cạnh
bên SA = SB = SC = 2. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp đã cho.
5
Vmax = .
8
A.

2
Vmax = .
3
C.

5
Vmax = .
4

B.

4
Vmax = .
3
D.

SA = y
Câu 121. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên
( y> 0) và vng góc với mặt đáy ( ABCD ) . Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM = x
( 0 < x < a) . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.ABCM , biết x2 + y2 = a2.
a3 3
a3 3
3a3 3
a3 3
Vmax =
.
Vmax =
.
Vmax =
.
Vmax =
.
3
8
8
24
A.
B.
C.

D.
Câu 122. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 4, SC = 6 và mặt
( SAD) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Tính thể tích lớn
bên
nhất Vmax của khối chóp đã cho.
A.

Vmax =

40
.
3

B. Vmax = 40.

(

C. Vmax = 80.

)

D.

Vmax =

80
.
3

0< x < 3

Câu 123. Cho hình chóp S.ABC có SA = x
, tất cả các cạnh cịn lại đều bằng 1.
V
Tính thể tích lớn nhất max của khối chóp đã cho.
1
1
1
1
Vmax = .
Vmax = .
Vmax = .
Vmax = .
8
16
4
12
A.
B.
C.
D.
Câu 124. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x và các
cạnh cịn lại đều bằng 2 3 . Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.
A. x = 3 2.
B. x = 6.
C. x = 2 3.
D. x = 14.
Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đơi, lần lượt lấy các điểm A, B, C
Câu 125. Trên ba tia
sao cho OA = a, OB = b, OC = c. Giả sử A cố định cịn B, C thay đổi nhưng ln ln thỏa
OA = OB +OC. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối tứ diện OABC.

a3
a3
a3
.
Vmax = .
Vmax = .
8
32
24
A.
B.
C.
D.
SA
,
AB
,
AC
SABC
Câu 126. Cho tứ diện
có
đơi một vng góc với nhau, độ dài các cạnh
BC = a, SB = b, SC = c . Tính thể tích lớn nhất Vmax khối tứ diện đã cho.
Vmax =

a3
.
6

Vmax =

abc 2
abc 2
abc 2
abc 2
Vmax =
.
.
Vmax =
.
Vmax =
.
8
4
12
24
A.
B.
C.
D.
Câu 127. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a và
( ABCD) . Trên SB, SD lần lượt lấy hai điểm M , N sao cho
vng góc với mặt đáy
SM
SN
= m> 0,
= n > 0.
SB
SD

Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.AMN biết

Vmax =

2m2 + 3n2 = 1.
a3
a3 6
a3 3
Vmax = .
.
Vmax =
.
48
72
24
A.
B.
C.
D.
Câu 128. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có đáy ABCD là một hình vng. Biết tổng
diện tích tất cả các mặt của khối hộp bằng 32. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp đã cho.
Vmax =

a3
.
6

Vmax =

www.thuvienhoclieu.com

Trang 2


www.thuvienhoclieu.com
56 3
80 3
70 3
64 3
.
Vmax =
.
Vmax =
.
Vmax =
.
9
9
9
9
A.
B.
C.
D.
Câu 129. Cho hình lăng trụ đứng có thể tích V và có đáy là tam giác đều. Khi diện tích tồn phần
của hình lăng trụ nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy bằng bao nhiêu?
3
3
3
3

A. 4V .
B. V .
C. 2V .
D. 6V .
Vmax =

(

)

SA = x 0 < x < 3
Câu 130. Cho hình chóp S.ABCD có
, tất cả các cạnh cịn lại bằng nhau và
bằng 1. Với giá trị nào của x thì thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất?
3
2
6
3
x=
.
x=
.
x=
.
x=
.
3
2
2
2

A.
B.
C.
D.
Câu 131. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác

( SBC ) bằng 3 . Gọi
vng cân tại A , SA vng góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng
a là góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) , tính cosa khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ
nhất.
3
1
2
2
cosa =
.
cosa = .
cosa = .
cosa =
.
3
3
3
2
A.
B.
C.
D.
S
.

ABC
B
.
Câu 132. Cho khối chóp
có đáy là tam giác vng cân tại
Khoảng cách từ A đến mặt
·
·
( SBC ) bằng a 2, SAB
= SCB
= 900. Xác định độ dài cạnh AB để khối chóp S.ABC
phẳng
có thể tích nhỏ nhất.
a 10
AB =
.
2
A.
B. AB = a 3.
C. AB = 2a.
D. AB = 3a 5.
Câu 133. Cho tam giác OAB đều cạnh a . Trên đường thẳng d qua O và vng góc với mặt

( OAB) lấy điểm M sao cho OM = x . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vng góc của A
phẳng
trên MB và OB . Gọi N là giao điểm của EF và d . Tìm x để thể tích tứ diện ABMN có giá
trị nhỏ nhất.
a 2
a 6
a 3

x=
.
x=
.
x=
.
2
12
2
A. x = a 2.
B.
C.
D.
Câu 134. Cho tam giác ABC vuông cân tại B , AC = 2 . Trên đường thẳng qua A vng góc
( ABC ) lấy các điểm M , N khác phía so với mặt phẳng
với mặt phẳng
AM .AN = 1. Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện MNBC .
1
Vmin = .
3
A.

2
Vmin = .
3
C.
D.
Câu 135. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA = AB = 2. Cạnh
( ABC ) . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của
bên SA vng góc với mặt phẳng đáy

A lên SB và SC . Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.AHK .

A.

Vmax =

2
.
6

1
Vmin = .
6
B.

( ABC ) sao cho

B.

Vmax =

3
.
6

Vmin =

Vmax =

1

.
12

3
.
3

Vmax =

2
.
3

C.
D.
AB
=
x
,
AD
=
3,
¢
¢
¢
¢
ABCD
.
A
B

C
D
Câu 136. Cho hình hộp chữ nhật
có
góc giữa đường thẳng
0
A ¢C và mặt phẳng ( ABB¢A ¢) bằng 30 . Tìm x để thể tích khối hộp chữ nhật có thể tích lớn
nhất.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 3


www.thuvienhoclieu.com

x=

3 15
.
5

x=

3 6
.
2

x=

3 3
.
2

x=

3 5
.
5

A.
B.
C.
D.
36
Câu 137. Cho hình hộp chữ nhật có tổng diện tích các mặt bằng
và độ dài đường chéo bằng
6. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp chữ nhật đã cho.
A. Vmax = 16 2.

C. Vmax = 8 2.
D. Vmax = 6 6.
Câu 138*. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a, b, c . Dựng một hình lập phương có
cạnh bằng tổng ba kích thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln
gấp 32 lần thể tích hình hộp chữ nhật. Gọi S là tỉ số giữa diện tích tồn phần hình lập phương và
diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật. Tìm giá trị lớn nhất Smax của S.
A.

Smax =

1
.
10

B. Vmax = 12.

B.

Smax =

16
.
5

Smax =

32
.
5

Smax =

48
.
5

C.
D.
SA
=

1
,
SB
=
2,
SC
=
3
Câu 139*. Cho hình chóp S.ABC có
. Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC . Mặt phẳng ( a ) đi qua trung điểm I của SG cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại
1
1
1
T =
+
+ 2
2
2
T
M , N , P . Tính giá trị nhỏ nhất min của biểu thức
SM
SN
SP .
2
3
18
Tmin = .
Tmin = .
Tmin = .

7
7
7
A.
B.
C.
D. Tmin = 6.
Câu 140*. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V . Gọi M là
( a ) di
trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN = 2NB; mặt phẳng
động qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K , Q . Tính

thể tích lớn nhất Vmax của khối chóp S.MNKQ .
V
V
3V
Vmax = .
Vmax = .
Vmax =
.
3
2
4
A.
B.
C.

D.

Vmax =

2V
.
3

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

Vấn đề 5. CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
® AH ^ ( SBC ) .
( SBC ) ¾¾
Câu 111. Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng
Ta có
A
AH £ AS .
·

AS ^ ( SBC )
Dấu '' = '' xảy ra khi
.
1
1
·
SD SBC = SB.SC.sin BSC
£ SB.SC
2
2
·
.
S
SB

^
SC
Dấu '' = '' xảy ra khi
.
ử
1
1ổ1
1
V = SD SBC .AH Ê ỗ
SBìSC ữ
AS = SA.SB.SC.
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ứ
3
3ố2
6
Khi đó

B
H

C
SA, SB, SC
Dấu '' = '' xảy ra khi
đơi một vng góc với nhau.
1
a3 6

Vmax = SA.SB.SC =
.
6
6
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là
Chọn D.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 4


www.thuvienhoclieu.com
Câu 112. Gọi a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
S = 2( ab+ bc+ ca) .
Khi đó tp
2
2
2
2
Theo giả thiết ta có a + b + c = AC ' = 18.
2
2
2
S = 2( ab+ bc+ ca) £ 2.18 = 36.
Từ bất đẳng thức a + b + c ³ ab+ bc + ca , suy ra tp
Dấu '' = '' xảy ra Û a = b = c = 6. Chọn D.
Câu 113. Đặt cạnh BC = x > 0.
S
2

2
Tam giác vng ABC, có AC = 16+ x .
SAC,
Tam
giác
vng
có

SA = SC 2 - AC 2 = 20- x2 .
Diện tích hình chữ nhật SABCD = AB.BC = 4x.

6

1
4
VS.ABCD = SABCD .SA = x 20- x2 .
3
3
Thể tích khối chóp
Áp dụng BĐT Cơsi, ta có

x. 20- x2 £

Suy ra

VS.ABCD

x2 +

(

20- x2

)

2

2

= 10

A

4

B
x

C

D

.

4
40
£ .10 = .
3
3

40
Vmax =
2
3 . Chọn A.
Û
x
=
20
x
Û
x
=
10
"
=
"
Dấu
xảy ra
. Vậy
4
f ( x) = x 20- x2
( 0;2 5) .
3
Cách 2. Xét hàm số
trên
Câu 114. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Vì S.ABC là
Þ SO ^ ( ABC )
hình chóp đều
.
x2 3

S
SD ABC =
.
4
Đặt AB = x > 0. Diện tích tam giác đều

Gọi M là trung điểm

BC Þ AM =

Tam giác vng SOA, có
Khi đó

VS.ABC

Xét hàm

x 3
2
x 3
Þ OA = AM =
.
2
3
3

SO = SA2 - OA2 = 1-

x2
.

3

A

1
1 x2 3 3- x2
1
= SD ABC .SO = .
.
= .x2 3- x2
3
3 4
12
3

f ( x) =

1 2
max f ( x) = f
.x 3- x2
0; 3
( 0; 3)
12
trên
, ta được

x2 3- x2 =

(

1

)

x2.x2.( 6- 2x2 ) £

C
O
B

( 2) = 16.

Chọn A.

2 3

ổx2 + x2 + 6- 2x
ỗ
ỗ
3
ố
2 ỗ

1

M

ử
ữ
ữ

= 2.
ữ
ữ
ứ

2
Cỏch 2. Ta có
Câu 115. Gọi O = AC Ç BD. Vì SA = SB = SC = SD suy ra hình chiếu của S trên
Þ SO ^ ( ABCD ) .
mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

www.thuvienhoclieu.com

Trang 5


www.thuvienhoclieu.com
Đặt AB = x > 0.

S

Tam giác vng ABC, có
AC = AB2 + BC 2 = x2 +16.
Tam giác vuông SOA, có
SO = SA2 - AO2 = SA2 -

6

AC 2
128- x2

=
.
4
2

VS.ABCD
Khi đó
1
1
128
= . 2x 128- x2 £ .( x2 +128- x2 ) =
.
3
3
3

(

x

B

1
1
128- x2
= SABCD .SO = .4x.
3
3
2

A

O

4

C

)

2
Dấu '' = '' xảy ra x = 128- x Û x = 8. Suy ra
Câu 116. Đặt OA = OC = x .
Tam giác vng AOD, có

VS.ABCD £

D
128
.
3 Chọn B.

S

OD = AD 2 - OA2 = 1- x2 .
2
Suy ra BD = 2 1- x .
Diện
tích

1
hình

thoi

2

SABCD = OA.BD = 2x 1- x .
Tam giác vng SOC, có
2

2

Xét hàm

f ( x) = x( 1- x

)

x

O

2

SO = SC - OC = 1- x .
1
VS.ABCD = SABCD .SO
3
Thể tích khối chóp

1
2
= .2x 1- x2 . 1- x2 = x( 1- x2 ) .
3
3
2

A

B

C

1

D

ỉ1 ÷
ư
2
÷
max f ( x) = f ỗ
=
.
ỗ
ữ
ữ
ỗ
( 0;1)
0;1)

(
ố
ứ
3
3
3
trờn
, ta c

4 3
27 . Chọn D.
Suy ra
Cách 2. Áp dụng BDT Cơsi, ta có
Vmax =

2x( 1- x2 )
3

=

2 2x2 ( 1- x2 )( 1- x2 )
3

Ê

2
3

3

ổ2x2 +1- x2 +1- x2 ữ
ử 4 3
ỗ
ữ
=
.
ỗ
ữ
ỗ
ữ
3
27
ố
ứ

Cõu 117. Do SA = SB = SC = SD = a 6 nên hình chiếu vng góc của S trên
( ABCD) trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp đáy, do đó tứ giác
mặt phẳng
ABCD là hình chữ nhật. Gọi H = AC Ç BD , suy ra SH ^ ( ABCD ) .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 6


www.thuvienhoclieu.com
Đặt AB = x > 0. Ta có
2

S

2

2

2

AC = AD + AB = x +16a .
Tam giác vng SHA, có
AC 2
8a2 - x2
=
.
4
2
1
1
= SABCD .SH = AB.AD.SH
3
3

SH = SA2 -

Khi đó

VS.ABCD

D

A

H

C

B

1
8a2 - x2
a
a
8a3
= .x.4a.
= 2x 8a2 - x2 £ ( x2 + 8a2 - x2 ) =
.
3
2
3
3
3 Chọn A.
Câu 118. Đặt AC = x > 0.
S

(

)

2
2
2
Suy ra CB = AB - CA = 4- x .

Diện
tích
tam

giác

2

1
x 4- x
AC.CB =
.
2
2
1
1
VS.ABC = SD ABC .SA = x 4- x2
3
6
Khi đó
ư 1
1ỉx2 + 4- x2 ữ
ữ
Ê ỗ
= .
ỗ
ữ
ữ
6ỗ
2

ố
ứ 3
Chn A.
CA
= CB = x > 0.
Câu 119. Giả sử
SD ABC =

(

B

A

)

C

S

2
2
2
Suy ra SA = SC - AC = 1- x .
1
1
SD ABC = CA.CB = x2.
2
2
Diện tích tam giác

1
1
VS.ABC = SD ABC .SA = x2 1- x2 .
3
6
Khi đó

x

Cách 2. Ta có

2

1- x =

1
2

C

x .x .( 2- 2x
2

2

B
x

x

1
max f ( x) =
f ( x) = x2 1- x2
( 0;1) , ta được ( 0;1)
6
Xét hm
trờn
2

1

A

2

)Ê

ổ 2ử
ữ= 3
ữ
ỗ
fỗ
ữ
ỗ
ữ 27
ỗ
ố 3ứ
. Chn D.
3

ổx2 + x2 + 2- 2x2 ử
ữ = 2 3.
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
3
9
ứ
2 ố

1

IA = IB = IC ắắ
đI
Cõu 120. Gi I l trung im ca BC. Suy ra
là tâm đường
ABC
.
SA
=
SB
=
SC
tròn ngoại tiếp tam giác
Theo giả thiết, ta có
suy ra I là
® SI ^ ( ABC ) .

( ABC ) ¾¾
hình chiếu của S trên mặt phẳng

www.thuvienhoclieu.com

Trang 7


www.thuvienhoclieu.com
2
2
2
Đặt AC = x > 0. Suy ra BC = AB + AC = x +1.
SBI ,
Tam
giác
vng
có

SI = SB2 - BI 2 =

S

15- x2
.
2

Diện tích tam giác vng

SDABC =

1
x
AB.AC = .
2
2

C

B
I

1
1 x 15- x2
VS.ABC = SD ABC .SI = . .
3
3 2
2
Khi đó
2
2
1
1 x +15- x
5
=
x 15- x2 £ .
= .
12
12
2

8 Chọn A.

(

A

)

x2 + y2 = a2 Þ y = a2 - x2 .
Câu 121. Từ
Diện
tích
mặt
ỉBC + AM ÷
ư
ỉa+ x÷
ư
SABCM = ỗ
.AB = ỗ
a.
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ 2 ữ
ố
ứ
ố

ứ
2

S
ỏy

x

1
VS.ABCM = SABCM .SA
3
Th tớch khi chúp
1ổ
a+ x ử
a
= .ỗ
.aữ
a2 - x2 = ( a + x) a2 - x2 .
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ứ
3ố 2
6

Xột hm

f ( x) = ( a + x)

y
A

a

B
a

M
C

D

ỉ
ư 3 3a2

max f ( x) = f ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
a - x
( 0;a) , ta c ( 0;a)
è2ø
4 .
trên
2

2

a3 3
8 . Chọn B.
Suy ra
Câu 122. Gọi H là trung điểm của AD Þ SH ^ AD.
( SAD) ^ ( ABCD) Þ SH ^ ( ABCD) .
Mà
Giả sử AD = x > 0 .
Vmax =

Suy ra
Tam

HC = HD 2 +CD 2 =

giác

S

x2
+16.
4
SHC,

vng

A

có

x2
.
4
1
1
= SABCD .SH = AB.AD.SH
3
3

SH = SC 2 - HC 2 = 20-

Khi đó

VS.ABCD

B

H
C

D

1
x2 1
1
80
= .4.x 20= 2x 80- x2 £ ( x2 + 80- x2 ) = .
3
4
3

3
3 Chọn D.
ABC
SBC
Câu 123. Ta có tam giác
và
là những tam giác đều cạnh bằng 1.
( 1)
Gọi N là trung điểm BC . Trong tam giác SAN , kẻ SH ^ AN .
Ta cú

(




)

SBC ắắ
đ SN =

SN l ng cao ca tam giỏc u
ỡùù BC ^ AN
ắắ
đ BC ^ ( SAN ) ắắ
đ BC ^ SH
ớ
ùùợ BC ^ SN

.

www.thuvienhoclieu.com

3
.
2

( 2)
Trang 8


www.thuvienhoclieu.com

( 1) và ( 2) , suy ra SH ^ ( ABC ) .
Từ
ABC
Diện tích tam giác đều
SD ABC

S
là

3
=
.
4

x
C

A

1
VS.ABC = SD ABC .SH
3
Khi đó

1
1 3 3 1
£ SD ABC .SN = . .
= .
3
3 4 2
8
Dấu '' = '' xảy ra « H º N . Chọn B.
Câu 124. Hình vẽ.
Cách làm tương tự như bài trên.
BCD
Tam
giác
đều
cạnh
bằng
2 3 ® BN = 3.
VABCD lớn nhất H Û N . Khi đó ANB vng.
Trong tam giác vng cân ANB , có

H

N

B
A
x
C

B

AB = BN 2 = 3. 2.
Chọn A.

H

N

D

Câu 125. Từ giả thiết ta có a = b+ c.
2

ư
1
1
1 ỉ
b+ c÷
a3
VOABC = abc = a.( bc) Ê a.ỗ
=
.
ữ

ỗ
ố 2 ữ
ứ 24
6
6
6 ỗ
Do OA, OB, OC vng góc từng đơi nên
a
Û b= c = .
2 Chọn C.
Dấu '' = '' xảy ra
ìï x2 + y2 = a2
ïï
ï x2 + z2 = b2 . S
í
ïï
ï y2 + z2 = c2
AB = x, AC = y, AS = z.
Câu 126. Đặt
Ta có ïỵ
c
z
( 2xy) ( 2yz) ( 2zx)
xyz
2
V=
ắắ
đV =
b
6

288
Khi ú
y
C
A
( x2 + y2 )( y2 + z2 )( z2 + x2 ) a2b2c2
abc 2
Ê
=
ắắ
đV Ê
.
x
a
288
288
24
đ a = b = c.
Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z ¾¾
Chọn D.
B
S
.
ABD
Câu 127. Thể tích khi chúp
l
S
a3
VS. ABD = .
6

M
VS.AMN
SM SN
N
=
.
= mn
V
SB SD
Ta cú S.ABD
B
mna3
A
ắắ
đVS.AMN = mnV
. S.ABD =
.
6
C
D
2.m. 3.n 2m2 + 3n2
1
mn =
£
=
.
6
2 6
2 6
Mặt khác

www.thuvienhoclieu.com

Trang 9


www.thuvienhoclieu.com
ìï 2m= 3n
1
1
a3 6
Û ïí
Þ m= ; n =
.
V
£
ïï 2m2 + 3n2 = 1
S
.
AMN
2
6
72 . Chọn B.
ỵ
Dấu '' = '' xảy ra
Suy ra
a
b
Câu 128. Đặt
là độ dài cạnh của hình vng đáy,

là chiều cao của khối
a
,
b>
0.
hộp với
Theo

giả

thiết

ta
ỉ
ư
1
16
2a2 + 4ab = 32 Û 2a( a + 2b) = 32 Û a( a + 2b) = 16 b = ỗ
ữ
ỗ - aữ
ữ.
ốa
ứ
2ỗ
16
b> 0 ắắ
đ - a > 0 đ a < 4.
a
Do

cú

ử
1ổ
16 ữ
1
V = a2. ỗ
- aữ
= - a3 + 8a
ỗ
ữ
ỗ
ứ
2ố a
2
Khi đó thể tích của khối hộp
.
Xét hàm
Chọn D.

f ( a) =-

1 3
max f ( a) =
a + 8a
( 0;4)
0;4)
(
2
trên

, ta c

ổ4 ử
64 3
ữ
fỗ
ữ
=
.
ỗ
ữ
ữ
ỗ
9
ố 3ứ

Cõu 129. Gi h> 0 l chiều cao lăng trụ; a> 0 là độ dài cạnh ỏy.
a2 3
4V
V = Sday .h =
.h ắắ
đh= 2
4
a 3.
Theo gi thiết ta có
Diện tích tồn phần của lăng trụ:
Áp dụng BĐT Cơsi, ta có

=

Stp = S2 day + Sxung quanh =

a2 3
4V
+ 3a. 2
2
a 3.

a2 3 4 3V
+
2
a

Stoan phan =

a2 3 2 3V 2 3V
a2 2 2 3V 2 3V
+
+
³ 33
.
.
= 33 6 2V 2
2
a
a
2
a
a

a2 3 2 3V 2 3V
=
=
Û a = 3 4V .
2
a
a
Dấu '' = '' xảy ra khi
Chọn A.
( 1)
Câu 130. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD Þ OA = OC .
( 2)
Theo bài ra, ta có D SBD = D CBD Þ OS = OC.
Û

1

( 1) và ( 2) , ta có OS = OA = OC = 2 AC Þ D SAC vng tại S Þ AC = x2 +1 .
Từ
Suy ra

OA =

x2 +1
3- x2
OB = AB2 - OA2 =
.
2
2
và

S

A

B
H
C

O
D

www.thuvienhoclieu.com

Trang 10


www.thuvienhoclieu.com

(x

2

SABCD = 2.OA.OB =

+1) ( 3- x2 )

.
2
Diện tích hình thoi
Ta có SB = SC = SD = 1, suy ra hình chiếu vng góc H của đỉnh S trên mt

đ H ẻ AC.
ỏy l tõm ng trũn ngoi tip tam giác BCD ¾¾

Trong tam giác vng SAC , ta có

VS. ABCD
Khi đó

1
=
3

(x

2

+1)( 3- x2 )
2

.

SH =

SA.SC
2

SA + SC

2

=

x
2

x +1

.

ư 1
1
1 ỉx2 + 3- x2 ÷
÷
= x 3- x2 £ .ỗ
= .
ỗ
ữ
2
ữ
ỗ
6ố
2
ứ 4
x +1 6
x

6
1
x = 3- x2 x =
.

.
4 Dấu '' = '' xảy ra
2 Chọn C.
Suy ra
AH ^ SM ( H Ỵ SM ) . ( 1)
Câu 131. Gọi M là trung điểm của BC , kẻ
SA ^ ( ABC ) Þ SA ^ BC
Tam giác ABC cân suy ra BC ^ AM . Mà
.
BC ^ ( SAM ) Þ AH ^ BC.
( 2)
Suy ra
ù
( 1) và ( 2) , suy ra AH ^ ( SBC ) nên d é
ëA,( SBC ) û= AH = 3.
Từ
S
3
AM =
.
sin a
Tam giác vng AMH , có
3
SA = AM .tan a =
.
H
SAM
,
cos
a

Tam giác vng
có
A
Tam giác vng cân ABC, BC = 2AM .
1
9
9
SD ABC = BC.AM = AM 2 =
=
.
2
M
2
sin a 1- cos2 a
Diện tích tam giác
VS.ABCD £

Khi đó

1
9
V = SD ABC .SA =
.
2
3
( 1- cos a ) .cosa

Xét hàm

f ( x) = ( 1- cos2 x) .cos x

C

B

f ( x) £

2
27 3
.
V³
.
3 3 Suy ra
2

, ta được
3
cosa =
.
3 Chọn B.
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi
1
VS. ABC = x2 y.
AB
=
AC
=
x
;
SA

=
y
6
Cách 2. Đặt
. Khi đó

1
1
1
1
1
1
=
= + + ³ 33 4 2 .
ù x2 x2 y2
9 d2 é
x
y
A
,
SBC
(
)
ë
û

Vì AB, AC, AS đơi một vng góc nên
1
27 3
x2 y ³ 81 3 ắắ

đVSABC = x2 y
.
6
2
Suy ra

x = y = 3 3 ắắ
đ cosa =

3
.
3

Du " = " xy ra khi và chỉ khi
Câu 132. Gọi D là điểm sao cho ABCD l hỡnh vuụng.
ùỡù AB ^ AD
ắắ
đ AB ^ ( SAD ) ắắ
đ AB ^ SD
ớÃ
ùù SAB = 900 đ AB ^ SA
ợ
Ta cú
.

www.thuvienhoclieu.com

Trang 11

www.thuvienhoclieu.com
SD ^ ( ABDC )
Tương tự, ta cũng có BC ^ SD . Từ đó suy ra
.
DH ^ SC ( H ẻ SC ) ắắ
đ DH ^ ( SBC ) .
Kẻ
é
ù
d éA,( SBC ) ù
û= d ëD,( SBC ) û= DH .
Khi đó ë
Đặt AB = x > 0.
Trong tam giác vng SDC, có
1
1
1
1
=
+
Û
DH 2 SD 2 DC 2
a 2

(

SD =
Suy ra

ax 2

2

2

x - 2a

)

2

=

1
1
+ .
SD 2 x2

S
H

C

D
A

.

B

1

1 ax3 2
a 2
x3
VS.ABC = VS.ABCD = .
=
.
.
2
6 x2 - 2a2
6
x2 - 2a2
Thể tích khối chóp
x3
f ( x) =
min f ( x) = f a 3 = 3 3a2.
2
2
a 2;+¥
( a 2;+¥ )
x
2
a
Xét hàm
trên
, ta được
Chọn B.
a
OB Þ OF = .
2
Câu 133. Do tam giác OAB đều cạnh a Þ F là trung điểm

ìïï AF ^ OB
M
Þ AF ^ ( MOB) Þ AF ^ MB.
í
ïïỵ AF ^ MO
Ta có
Mặt khác, MB ^ AE .
MB ^ ( AEF ) Þ MB ^ EF .
Suy ra
Suy ra D OBM ∽ D ONF nên
A
O
OB ON
OB.OF
a2
E
=
Þ ON =
=
OM
OF
OM
2x .
F
Ta cú VABMN =VABOM +VABON
B
1
a2 3 ổ
a2 ử
a3 6

N
ữ
ỗ
= SD OAB ( OM +ON ) =

ỗx + ữ
ữ
ữ 12
3
12 ç
è 2xø
.
a2
a 2
x=
Û x=
2x
2 . Chọn B.
Đẳng thức xảy ra khi

(

(

)

)

AM = x, AN = y

suy ra AM .AN = x.y = 1.
AC
M
AB = BC =
= 2.
ABC
,
2
Tam giác vng
có
AB2
SD ABC =
= 1.
2
Diện tích tam giác vng
Câu 134. Đặt

1
VMNBC =VM .ABC +VN . ABC = SDABC .( AM + AN )
3
Ta cú
1
1
2
Cosi
= ( x + y) ắắắ
đ .2 xy = .
3
3
3

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1 . Chọn
D.

www.thuvienhoclieu.com

A

C

B
N

Trang 12


www.thuvienhoclieu.com
AC = x ( 0 < x < 2) .

Câu 135. Đặt
Tam

giác
2

S
ABC,

vng
2

có
K

2

BC = AB - AC = 4- x .
Tam giác SAB cân tại A , có đường cao AH suy ra
SH 1
=
H là trung điểm của SB nên SB 2 .
Tam giác vng SAC, có

H

SK
SA2
4
= 2=
.
SC SC
4 + x2
SH SK
1
4
2
=
.
= . 2
= 2
SB SC 2 x + 4 x + 4

SA2 = SK .SC ị

Ta cú

VS.AHK
VS.ABC

ắắ
đ VS.AHK =

C

A

B

ử 2 x 4- x2
2
2 ổ
1
.VS.ABC = 2
.ỗ
SD ABC .SAữ
= .
.
ữ
ỗ
ữ
ố3

ứ 3 x2 + 4
x +4
x +4 ỗ
2

2 x 4- x2
max f ( x) =
f ( x) = . 2
( 0;2)
0;2)
(
3
x
+
4
Xét hàm
trên
, ta c

ổ2 ữ
ử
2
fỗ
ữ
=
.
ỗ
ữ
ỗ
ố 3ữ

ứ 6

Chn A.
BC ^ ( ABBÂA Â) .

Câu 136. Vì ABCD.A ¢B¢C ¢D ¢ là hình hộp chữ nhật suy ra
( ABB¢A ¢) .
Khi đó A ¢B là hình chiếu của A ¢C trên mặt phẳng
·¢C, ABB¢A¢ = ·A ¢C, A ¢B = CA
300 = A
(
) (
) · ¢B.
Suy ra
BB¢= h ( h > 0) .
Đặt
D'

C'
B'

A'

h
C

D
3
A

x

B

2
2
2
2
Tam giác vng A ¢B¢B, có A ¢B = A ¢B¢ + BB¢ = x + h .
3
· ¢B = BC Û tan300 =
tanCA
Û x2 + h2 = 27.
2
2
¢
A
B
¢
x +h
Tam giác vng A BC, có
D ¢ là V = BB¢.SABCD = 3xh.
Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A ¢B¢C ¢

ỉx2 + h2 ử
27 81
81
ữ
ữ
3xh Ê 3ỗ

= 3. = ị Vmax = .
ỗ
ữ
ữ
ỗ
2
2
2
2
ố
ứ

p dụng BĐT Cơsi, ta có
ïì x = h > 0
27
3 6
ùớ 2
ị x2 =
ị x=
.
ùùợ x + h2 = 27
2
2
"
=
"
Dấu
xảy ra
Chọn B.
a

,
b
,
c
Câu 137. Giả sử
là các kích thước của hình hộp chữ nhật.
Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là

a2 + b2 + c2

www.thuvienhoclieu.com

Trang 13


www.thuvienhoclieu.com
2( ab+ bc + ca) .
Tổng diện tích các mặt là
ìï 2( ab+ bc+ ca) = 36
ï
Û
í 2
ïï a + b2 + c2 = 6
ï
ỵ
Theo giả thiết ta có
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của V = abc.

ì
ïíï ab+ bc + ca = 18 .

ïïỵ a2 + b2 + c2 = 36

2

 Ta có

( a+ b+ c) = a2 + b2 + c2 + 2( ab+ bc+ ca) = 72 Þ a+ b+ c = 6 2.
2

18- a( 6 2 - a) ù
Û 0 £ a £ 4 2.
( b+ c) ³ 4bc Û ( 6 2 - a) ³ 4 é
ê
ú
ë
û
 Ta có
2
ù 3
ù é
V = abc = a é
ë18- a( b+ c) û= a ê18- a( 6 2 - a) ú= a - 6 2a +18a
2

ë

û
a Ỵ 0;4 2ù
,
f ( a) = a3 - 6 2a2 +18a

ú
û ta được
Xét hàm số
với
Khi đó

(

( )

max f ( x) = f 2 =

( 0;4

2ù
ú
û

( 4 2) = 8

2.

Chọn C.
3

ỉ
ư
a+ b+ cữ
V = abc Ê ỗ
= 16 2

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 3 ứ
Nhn xột. Nếu sử dụng
thì sai vì dấu '' = '' khơng xảy
ra.
Câu hỏi tương tự. Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả ác cạnh bằng
32 và độ dài đường chéo bằng 2 6. Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp

chữ nhật đã cho. ĐS: Vmax = 16.
Câu 138*. Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương bằng a + b+ c .
S = 2( ab+ ac + bc)
● Hình hộp chữ nhật có: V = abc và tp
.
3

2

V ' = ( a + b+ c)
S ' = 6( a + b+ c)
● Hình lập phương có:
và tp
.
2
a
+
b
+

c
(
)
S
S = 1 = 3.
S2
ab+ bc+ ca
Suy ra
.
3

( a + b+ c) = 32abc Û

( a+ b+ c)

3

= 32

bc

a2

3

ổ
ổ
b c ử
b cử
ỗ

= 32ỗ
ữ
ữ
ỗ + +1ữ
ỗ . ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ốa a ø
èa à
.

a3
Ta có
ìï b
ïï = x
3
( x + y +1)
ùù a
3
ắắ
đ
x
+
y
+
1
=
32

xy

xy
=
.
(
)
ớ
ùù c
32
ùù = y
t ợù a
S = 3.

( x + y +1)

2

x + y + xy

Khi đó
3

Ta có

2

= 3.

( x + y +1)

t2
t=x+ y+1>1
ắắ
ắ
ắắ
đ
S
=
96.
.
3
t3 + 32t - 32
( x + y +1)

x + y+

( x + y +1) = 32xy Ê 8( x + y)

32

2

2

ắắ
đ t3 Ê 8( t - 1) ơắ
đ t3 - 8t2 +16t - 8 Ê 0ơắ
đ 2 Ê t Ê 3+ 5

Xột hm

Chn D.

f ( t) =

.

1
t
max f ( t) = f ( 4) = .
é2;3+ 5ù
é2;3+ 5ù
10
ê
ú
ú
t + 32t - 32 trên đoạn ë
û
û, ta c ởờ
2

3

uur 1 uur uur uur
D ABC ắắ
đ SG = SA + SB + SC
3
Câu 139*. Do G là trọng tâm

(

www.thuvienhoclieu.com

)
Trang 14


www.thuvienhoclieu.com
r 1ỉSA uuur SB uuu
r SC uur ư uur 1ỉSA uuur SB uuu
r SC uur ử
SG uu
ỗ
.SI = ỗ
SM +
SN +
SP ữ

SI
=
SM
+
SN
+
SP ữ
ữ
ữ.
ỗ
ỗ
ỗSM
ốSM

ứ
ứ
SI
3ỗ
SN
SP ữ
6ố
SN
SP ữ
ổ
ử
1ỗ SA SB SC ữ
SA SB SC
+
+ ữ
= 1ô
+
+
= 6.
ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ
6
SM
SN
SP
SM
SN SP

I
,
M
,
N
,
P
Do
ng phng nờn
p dng BT bunhiacopxki, ta cú
ổ1
ử 2
ổSA SB SC ữ
ử2
1
1 ữ
2
2
ỗ
ỗ
+
+
SA
+
SB
+
SC

+
+

ữ
ữ
(
)
ỗ
ỗ
ỗ
ỗSM SN SP ữ
ốSM 2 SN 2 SP 2 ữ
ứ
ố
ứ
ắắ
đ

36
18
=
2
2
7 . Chn C.
SA + SB + SC
Suy ra
Cách trắc nghiệm. Do đúng với mọi hình chóp nên ta sẽ chọn trường hợp
S º O( 0;0;0)
đặc biệt SA, SB, SC đơi một vng góc và ta húa nh sau:
,
ổ
ử
ổ

ử
1
2
1
1
1
Gỗ
; ;1ữ
ắắ
đI ỗ
; ; ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ6 3 2ø
A ( 1;0;0) B( 0;2;0)
C ( 0;0;3)
è
ø
è
3
3
,
và
. Suy ra
.

T³

2

( a ) cắt SA, SB, SC lần lượt tại M ( a;0;0) , N ( 0;b;0) , P ( 0;0;c)
Khi đó mt phng
x y z
1
1
1
ắắ
đ( a ) : + + = 1
T = 2 + 2 + 2.
a b c
a
b
c
và
æ1 1 1ử
1 1 11 1 1
Iỗ
ẻ ( a ) ắắ
đ( a ) : . + . + . =1
ữ
ỗ ; ; ữ
ữ
ỗ
6 a 3b 2 c
Vỡ ố6 3 2ứ
.

2
ổ
ổ1
1 1 1 1 1 1ử
1
1 ửổ
1
1 1ử
18
12 = ỗ
. + . + . ữ
+ + ữ
+ + ữ
đT
.
ữÊ ỗ
ữ.ỗ
ữắắ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ6 a 3 b 2 cứ
ỗ62 32 22 ứố
ỗa2 b2 c2 ứ
ố
ố
7

Ta cú
Cõu 140*. Gọi
Vì mặt phẳng

a=

SK
( 0 £ a £ 1) .
SC

( a ) di động đi qua các điểm M , N và cắt các cạnh SC, SD lần

SA SC
SB SD
+
=
+
SN SQ
lượt tại hai điểm phân biệt K , Q nên ta cú ng thc SM SK
1 3 SD
SQ
2a
ơắ
đ 2+ = +
ắắ
đ
=
.
a 2 SQ
SD 2+ a

S

N

M
Q

P

D

A
B
VS.MNKQ

Ta cú

VS.ABCD

Xột hm

C

ử 2a
1ổ
SM SN SK SM SK SQ ử
1ổ
4a
2 ữ
1

ữ
= ỗ
.
.
+
.
.
= ỗ
= .
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ứ
ố
ứ
2 SA SB SC SA SC SD
2 3 a+ 2
3 a+ 2

f ( a) =

2a
1
1

.
max f ( a) = f ( 1) = .
0;1
[
]
0;1
[
]
3 a + 2 trên đoạn
3 Chọn B.
, ta được

www.thuvienhoclieu.com

Trang 15