Linearna algebra

www.pdfgrip.com


www.pdfgrip.com

UDŽBENICI SVEUČILIŠTA U ZAGREBU
MANUALIA UNIVERSITATIS ST UDIORUM ZAGRABIENSIS


www.pdfgrip.com

Izdavač

d .d

Masaryko v a 28, Zagreb
Školska knjiga,

.

Za izdavača

Ante Žužul, prof.
U re d nic a

Štefica Dumančić Poljski, prof.

Recenzenti

dr. se. Ivica Gu si ć

dr. se. Mirko Prime

dr. se. Zoran Vondraček

Naslovnicu dizajnirala
Snježana Grgić
© ŠKOLSKA KNJIGA, d d , Za g reb 2008.

Nijedan dio ove k nj ige ne smije se umnožavati,
fotokopirat i ni na bilo koj i način reproducirati
bez nakladnikova pisanog dopu štenja
.

.

,

.

Sveučilišta u Zagrebu odlukom klase 032-01/07-01/95 i ur.

Objavljivanje ovog sveučilišnog udžbenika odobrio je Senat

broja 380-02/6-08-8 od 8. travnj a 2008. go dine .


www.pdfgrip.com

Damir Bakić

Linearna algebra

Zagreb, 2008.


www.pdfgrip.com

Predgovor
Namjera mi je bila napisati praktičan udžbenik linearne algebre; sadržajno
zaokružen, ali ne predug; rigorozan, ali ne prestrog. Namijenjen je studentima
i nastavnicima kao udžbenik za standardni jednogodišnji kurs linearne algebre
uobičajen na studiju matematike i fizike na preddiplomskoj razini.
Linearna algebra je grana matematike koja proučava vektorske prostore,
linearne operatore i sustave linearnih jednadžbi. Konkretnu realizaciju linearne
algebre nalazimo u analitičkoj geometriji, odnosno u prostorima klasa orijenti­
ranih dužina u dvije i tri dimenzije. Ti prostori predstavlj aju ishodišnu točku u
izgradnji opće teorije vektorskih prostora i linearnih operatora. Svoje poopćenje,
pak, linearna algebra nalazi u teoriji operatora i funkcionalnoj analizi.
Vektorski prostori igraju jednu od centralnih uloga u modernoj matema­
tici. Stoga linearna algebra nalazi široku primjenu u drugim matematičkim
disciplinama. Jednako ekstenzivna primjenjuje se linearna algebra i u drugim
prirodnima te u društvenim znanostima. U svim primjenama slijedi se u osnovi
isti obrazac: dani problem koji nije moguće direktno ili eksplicitno riješiti nastoji
se "linearizirati", tj. aproksimirati nekim linearnim problemom koji se zatim
rješava metodama linearne algebre.
Svrha je ovog udžbenika prikazati glavne rezultate linearne algebre u op­
segu u kojem se ova teorija uobičajeno izlaže studentima prve godine studija
matematike. I po načinu izlaganja i po izboru materijala prepoznat će se da je
udžbenik ponajprije namijenjen matematičarima. Napokon, glavninu materijala

i čine bilješke s predavanja koja sam držao studentima prve godine matematike
i fizike na PMF-u Sveučilišta u Zagrebu tijekom posljednjih desetak godina.
Ipak, od čitatelja se ne zahtijeva nikakavo posebno predznanje; podrazu­
mijeva se tek poznavanje uobičajene matematičke notacije i vladanje osnovnim
elementima naivne teorije skupova i matematičke logike. Stoga vjerujem da će
ovaj udžbenik biti pristupačan i koristan,j .�Jud.entima drugih, posebno priro­
doslovnih, tehničkih i ekonomskih fakulteta.
U sadržajnom smislu udžbenik se gotovo podudara s programom isto­
imenog kolegij a za studente prve godine preddiplomskog studija matematike na
PMF-Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu. Osnovna ideja je i bila oda­
brani materijal organizirati kao praktičan i efikasan udžbenik. Zato sam svjesno
izostavio uvodna izlaganje skupovno-teorijskih činjenica s jedne , i naprednijih
tema s druge strane. Ti i drugi izostavljeni dijelovi ( poput matematičkih i izvan­
matematičkih primjena, povijesnih napomena, komentara vezanih za izgradnju
teorije i individualne doprinose pojedinih matematičara, ekstenzivnog popisa
literature ) detaljno su izloženi u klasičnim sveučilišnim udžbenicima profesora
S. Kurepe i K . Horvatića. Uz to, povijesne činjenice i opis različitih aspekata
nastanka i izgradnje linearne algebre kao moderne matematičke teorije danas
su široko dostupni na mnogobrojnim internetskim stranicama enciklopedijske
orijentacije.
·


vi

Predgovor

www.pdfgrip.com

Materijal je organiziran na s ljedeći način. U vodno p og l av lj e je u izvjesnom

prolog : u njemu se prikazuje prostor radijve ktor a s namj erom da se pre­
p ozna i usvoji kon cept vektorskog prostora. Naglasak zato nije na potpunosti
izlaganja, već na strukturnim s vo jst v i ma prostora V2(0) i V3(0). Upravo
radi la kš eg uvida u strukturu odlučio sam za ogledni primj er v ektor s kog pros­
tora uzeti p ros t or r adij vek tora, a ne mnogo sofi sticir anij i i koris nij i (ali tehnički
z amršeniji ) prostor klasa orij entiran ih dužina V3. "Dug" prema prostoru V3
vraćen je u Dod at ku na k raju drugog pogl av lj a .
U drugom pogl av lju uveden je pojam vektorskog prostora na apstrakt noj
razini te su obrađe ne standardne teme poput baze, dimenzije, potprostora.
Treće poglavlje je pos već e no matricama. U njemu su navedeni i dokazani
klasični teoremi o matricama i determinantama.
Č et vrto p ogl avlj e se izravno n adovezuj e na p retho dno i sadrži cjelovitu
dis ku s ij u o sustavima lin earnih j ed n adžbi . Sustavi linearnih j ed nadžbi nisu
samo univerzalna zadaća koja se prirodno j av lja unu tar li nearn e algeb re i u
njez inim primjenama; oni su u i z vjesnom smislu i s adrž a jna jez gra te orije . Na
primjer, tek u proučavanju sustava pri r o d no se nameće potreba za uvođenjem
i proučavanjem višedimenzionalnih vektorskih prostora (Dok je relativno lako
akceptirati potrebu za proučavanj em v e k t orskog pros tor a dimenz ij e 4, u vo đ enj e
prostora proizvoljne dimenzije je kr ajnj e neint uiti v n o . ) . Slič no , tek pri prouča­
vanju sustava linearn ih jednadžbi imamo pr il iku v idjeti teorem o r an gu i defektu
na dj elu . U tom s mislu, pozi c ioni ranj e poglavlja o sus tavima linearnih jednadžbi
(pa ond a, p oslj edičn a, i p oglav lj a o m atr icama i determinantama) u izlaganju
linearne alge bre uvij e k je delikatno pitanje. Ovdje smo izgradnju teorije započeli
proučavanjem apstraktnih vektorskih prostora te razvojem potrebnog t ehni čkog
aparata. Tek tada su obrađeni sustavi linearnih jednadžbi, a u nj ihovo m tret­
manu su bitno korišt e ni rezultati iz pret ho dn ih dvaj u p o glavlj a . Dosljedna
provedba ovak vog pristupa vjeroj atno bi podrazumijevala da se prije sustava
izlože i uvodna p oglavlja teorije operatora; time bi se svi rezultati o rješivosti
i rješavanju s us t ava linearnih jednadžbi dobil i još el egantnij e. Takav bi izbor,
m eđutim, teoriji dao još naglašeniju ap st r akt nu ( moguće i preapstraktnu) notu.

Zbog toga, a i zato što je pogodno radi vježbi i rj ešavanja prak tič n ih pr obl e­
ma sustave lin earn ih j edn adžbi obraditi čim prij e , poglavlj e o sustavima ipak
prethodi dis k us iji o op eratorima.
Peto p ogl avlje je u c ijelost i pos v eć en o linearnim operatorima i p r e dstavlj a
centr aln i dio izl oženog m at erij al a. P oglavlj e završava relativno opširnim izla­
ganjem o sp ek tru, svojstvenim i inva rijantni m potprostorima te svojstvenom
p olinomu .
Posljednje, šesto pogl avlje sadržava pregled standardnog materijala o ko­
načnodimenzionalnim unitarnim prostori m a. Osobito je n ag l ašena ul o ga Gram­
Schmidtova postupka ortogonalizacije. Uvršteno j e i nekoliko tip ičnih pri mj ena ,
poput QR fakt or izacije matrice, problema najbolje aproksimacij e te približnog
rj ešavanja sustava linearnih jednadžbi .
smislu


www.pdfgrip.com

Predgovor

Svako poglavlje završava odgovarajućim skupom zadataka različite priro­
de . Neki su od njih sasvim tehnički , drugi služe kao vježba apstrakt nog rezoni­
r anj a , u trećima se uvode novi p ojmovi ili navode nove činjenice . Svi su zadaci
odabrani iz obilne neformalne arhive zadataka prikupljene na PMF-Matema­
tičkom odj elu Sveučilišta u Zagrebu. Ona se sastoji od mnoštva primjera s
auditornih vj ež bi te ispitnih i kol okvij skih zadataka, a nastala je dugogodišnj im
radom brojnih s adašnj i h i bivših asistenata koji su pr ot eklih desetljeća vodili
vježbe iz kolegija Lin e ar na algeb r a .
Nemoguće je matematičku teoriju u potpunosti svladati bez testiranja
našeg raz umij evanj a kroz rješavanj e zadataka. Zato savjetujem čitateljima da
pokušaju samostalno riješiti navedene zadatke. Uvrštene zadatke treba shvatiti

kao integralni dio teksta.
Ovaj je udžbenik nastao uz potporu mojih kolega i studenata i na izravan
poticaj ure dnice u Školskoj knj izi, gđe Štefice D umanč ić Poljski. U različitim
fazama nastanka dij e l ove rukopi s a čitali su i dali korisne opaske i prijedloge moji
kolege s PMF-Matemtičkog odjela Sveučilišta u Zagrebu na čemu im srdačno
zahvalj ujem. Posebno zahvaljujem doc. dr. Lj ilj an i Arambašić kao i recenzen­
tima, prof . dr. Ivici Gusić u , prof. dr. Mirku Primcu i prof. dr. Zoranu Von­
dračeku na brojnim korisnim primjedbama i sugestijama. Unaprijed z ahvalj u­
jem i svima koji će me upozoriti na greške ili dati primjedbe i komentare.

Damir Bakić
U Z agre bu , ožujak 2008.

vii


www.pdfgrip.com

Sadržaj
1

Popis oznaka

1. Uvod

1.1. Radijvektori u ravnini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Vektorski prostor V3(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Vektorska interpretacija sustava linearnih jednadžbi s dvije i tri
nepoznanice .
1.4. Zadaci . . . .

2. Vektorski prostori

Operacije s matricama
Determinanta
Rang
Zadaci . . . .
.

4.1. Rj e ši vo st i st rukt ura skupa rješenj a .
4.2. Gaussova metoda eliminacije
4.3. Zadaci . . . . . . . . . . . . .

5. Linearni operatori

5.2.
5.3.
5.4.
5.5.

5.6.

Osnovna svojstva linearnih operatora .
Prostor linearnih operatora
. . .
Dualni prostor . . . . . . . . . . .
Matrični zapis linearnog operatora
Spektar
Zadaci . . . . . . . . . . . . . . .
.

.

24

73
80
101
117

4. Sustavi linearnih jednadžbi

5.1.

19
23

73

Matrice

3.1.
3.2.
3.3.
3.4.

3
15

24

33
49
67
71

2.1. Pojam vektorskog prostora
2.2. Baza i dimenzija
2.3. Potprostor . . . . . . . . .
2.4. Zadaci . . . . . . . . . . .
Dodatak: vektorski prostor V3
3.

3

122

122

126
132

135

136
149
152
159
170
188

x

www.pdfgrip.com

Predgovor
6. Unitarni prostori

6.1. Ortogonalnost . . . . . . . . . . . .
6.2. Operatori na unitarnim prostorima
6.3. Zadaci . . . .
. . .
.

Literatura
Kazalo pojmova
Životopis

.

.

.

.

.

.

.

.

195

198
218

236

241

243

247


www.pdfgrip.com

Popis oznaka
( ·, ·) - univerzalna oznaka za skalarni produkt, 198
A - adjunkta matrice A, 95
[A]! - matrični zapis operatora A u paru baza (e, !), 160
A
B - matrica A je e k vi vale nt na matrici B, 105
A* - hermitski adjungirana matrica matrici A, 118
A* - hermitski adju n g i ran i operator operatoru A, 225
rv

t r an sp onirana

t
A -

A-1
Aij

m atri ca , 51

- inverzna matrica, 79

Ap - proširena

matrica sustava

linearnih jednadžbi, 1 2 2

- algebarski komplement (kofaktor), 91


B(S) - grupa bijekcija na skupu S, 68

- polje komp leksnih brojeva, 24
- vektorski prostor uređenih n-torki kompleksnih brojeva,
Dr - kanonska matrica ranga r, 106

cn

29

d(A) - defekt op erat ora A, 142
Oij

-

Kroneckerov simbol, 75

dim V - dimenzija vek t ors kog prostora V,
*
- dualna b aza, 1 5 2

det A - determinanta matrice A, 84
e

E2

- skup

E

- s ku p

3

Ei,j, Ei,>.. ,

44

točaka u r avnini , 3
točaka u ( tr o dimen zionalnom) prostoru,
Ei,j,>. - elementarne matrice, 109

15

- univerzalna oznaka polja, 24
IF'N - vektorski prostor nizova realnih, odnosno kompleksnih brojeva, 30
GL(n,IF') - grupa regularnih matrica n-tog reda s koeficijentima iz p olj a IF',
IF'

I - jedi nična

matrica,

75

I - jedinični operator, 139
I(p)

- broj

inverzija u permutaciji p, 82

rt, J} - kanonska baza prostora V2(0),

Im A

- slika operatora A, 142

Ker A

- jezgra

operatora A, 142

14

kA(>..) - svo jst ven i (kar akterist ič ni) polinom, 173
L + M - suma potprostora L i M, 5 5
L(V, W) - prostor linearnih operatora s V u W , 149
L + M - direktna suma potprostora Li M, 57

79


www.pdfgrip.com

Popis oznaka

2

M :::; V - skup M je potprostor vektorskog prostora V, 50
M EB M.l. - ortogonalna suma, 210
M0 - anihilator potprostora M, 156
M.l. - ortogonalni komplement potprostora M, 209
Mmn(lF), Mrnn - vektorski prostor matr ica s m redaka i n stupaca, 29
Mn(lF), Mn - vektorski prostor kvadratnih matrica s n redaka i stupaca,
n - prostor rješenja homogenog sustava linearnih jednadžbi, 124
P - vektorski prost or svih polinoma, 31

Pn - vektorski prostor svih polinoma čiji stupanj nije veći od

p(i <--+ j) - transpozicij a, 83
lR - p olje realnih brojeva, 8

n,

29

31

IR.2 - vektorski prostor uređenih parova realnih brojeva, 28
IR.3 - vektorski prostor uređenih trojki realnih brojeva, 28

IRn

- vektorski

prostor uređenih n-torki realnih brojeva, 28

R'P - operator rotacije za kut tp, 135

r(A)
r(T)

[S] -

- rang

oper at ora

A, 142

- rang matrice T, 101
linearna ljuska skupa

S,

37

(simetrična
SL(n, F) - specijalna l i nearna grupa reda n, 119
signp - predznak (signum ) permutacije p, 82
u(A) - spektar operatora A, 171
tr ( A ) - trag matrice A, 118
V/M - kvocijentni prostor, 63
Sn - grupa permutacija od n elemenata

V� W

- prostor

V

grupa stupnja

80

je izomorfan prostoru W, 147

V - univerzalna oznaka vektorskog prostora, 25
V* - dualni prostor prostora V, 152
V2 (o) - prostor radijvektora u ravnini, 3
V3 - vektorski prostor klasa orijentirani h dužina, 71
V3 (O) - trodimenzionalni prostor radij vektora, 15
V** - bidual prostora V, 154
VA (>.) - svojstveni potprostor operatora A pridružen
llxJI - norma vektora x, 202
[x]e - matrični zapis vektora x u baz i e, 159
x l_ y - vektor x je okomit na vektor y, 204

x

)

n ,

+ M - linearna mnogostrukost , 63

svojstvenoj vrijednosti >., 172


1.

www.pdfgrip.com

Uvod

U ovom poglavlju uvodimo pojam vektorskog prostora na neformalnoj ,
intuitivnoj razini. Željeli bismo ilustrirati osnovne idej e te pokazati pozadinu,

odnosno temelje nekih apstraktnih koncepata koji će kasnije biti uvedeni. To
ćemo učiniti proučavajući radijvektore u ravnini i prostoru. Nije nam pritom
namjera iznijeti kompletan pregled klasične algebre vektora. Primarni nam je
cilj uočiti i istaknuti strukturna svojstva prostora radijvektora u dvije, odnosno
tri dimenzije. Ti će nam prostori kasnije poslužiti kao prototip u izgradnji opće
teorije vektorskih prostora.
Naša razmatranja ovdje neće biti aksiomatski zasnovana. Osnovne poj­
move poput, primjerice, pravca i ravnine ćemo shvaćati intuitivno.

1.1.

Rad ijvektori

u

ravnini

Označimo s E2 ravninu koju shvaćamo kao skup točaka. Neka je u E2
dan pravokutni koordinatni sustav s ishodištem u točk i O. Svakoj točki A E E2
---t
možemo pridružiti radijvektor OA, tj . strelicu s početkom u točki O i završetkom
u točki A.
y

A
o

X

Skup svih radijvektora u ravnini označavamo s V2(0), naglašavajući time da je

ishodište početna točka svih radijvektora koje promatramo. Kad god nam ne
bude važno specificirati završne točke, radijvektore ćemo označavati simbolima
--+
�
--+
d:, b , ti . . . Radijvektor 00 zovemo nulvektorom i označavamo s O .
---t
Modul radijvektora OA definiramo kao duljinu dužine OA i označavamo s
---t
--+
IOAI. Uočimo da je O jedini radijvektor čiji modul iznosi O. Smjer radijvektora
---t
--+
OA i- O definiramo kao pravac OA. Smjer nulvektora se ne de�nira. Nadalje,
---t
�
kažemo da su radij vektori O A i OB kolinearni ako točke O, A, B leže na istom
pravcu. Primijetimo da je, prema definiciji, nulvektor kolinearan sa svakim
radij vektorom.
---t
�
--+
Neka su OA i OB kolinearni i netrivijalni (tj . različiti od O) radijvektori.
�
---t
Kažemo da su OA i OB jednako orijentirani ako točke A i B leže s iste strane


1. Uvod

4

www.pdfgrip.com

točke O na pravcu O AB. Ako se točke A i B nalaze s razli čitih strana točke O
--------t
na pravcu O AB, kažemo da su OA i OB suprotno orijentirani.
Primijetimo da je orij ent acij a samo r elat ivan poj am; niti jedan radijvektor
s am po s ebi nema orij entaciju.

A

y

o

A

y

X

Jednaka orijentacija

X

B
Suprotna

orijentacija

Iz prethodnih je definicija očito da je svaki netrivijalan radijvekt or j ednoznačna
određen s vojim modulom, smj e rom i orijentacijom. Iskažimo ovaj zaključak i
formalnom napomenom:
Napomena 1.1.1. Neka su zadani realan broj m > O i radijvektor OT-=/= O.
-Tada postoji jedinstven radij vektor OA čiji modul iznosim, čiji je smjer pravac
--O
OT i koji je orijentiran jednako kao OT.
---

--+

Za r ad ijvektor d =J. O d efin i r amo suprotan radijvektor - d kao radijvektor
ko ji i ma je dn ak modul i smjer kao d, a orijentiran je su p ro t no u odnosu na d.
Uočimo da je pojam suprotnog radijvektora dobro (tj. jednoznačna) definiran
--+

na temelju pret h o dn e

Nakon što smo uveli

napomene.

zb r aj anj e

osnovne pojmove, sada možemo definirati

Nekolinearne radijvektore zbrajamo prema zakonu paralelograma: OA +
------t
B

definiramo
kao radij vektor OC pri čemu je C jedinstvena to čka ravnine E2
O
sa svojstvom da je četverokut OACB p ar alelo gram .
r ad ij vektora.

--­

------t

y

c

o

X

Zakon paralelograma: zbrajanje nekolinearnih radijvektora
Da bismo definiciju
--+

d i b kolinearni.

kompletirali, potrebno je

još

defini r at i

zbroj

d + b i kad su
--+


www.pdfgrip.com 1 . 1.

Radijvektori

u

5

ravnini

Najprije uzimamo da je
-+

-+

-+

-+

-+

a+ O = O+a= a,

te

-+

Va

a + ( - a ) =-a+a=O,

-+

-+

-+

-+

-+

E

V2 (O),
-+

-+

Va#-0.

-+

Ako s u di b kolinearni, netrivij alni, i nisu jedan drugome suprotni, zbroj
d+ b de fi nirat ćemo tako da mu propišemo modul, smjer i orijentaciju. Prema

-+
napomeni 1.1.1, time će radijvektor d + b biti j ednoz načna određen. Ako su
-+
-+
di b jednako orijentiran,i d+ b defin iramo kao radij vektor čiji modul iznosi
-+
-+
-+
Idi+ I b I, koji je koline a ran sd i b, a orijentiran je jednako kao di b.
-+

-+

-+

-+

Ako su d i b suprotne orijentacije te ako je Idi > I b I, onda d + b
-+
-+
definiramo kao radij vektor čij i modul iznosi Idi- I b I, koji je kolinearan s di b,
-+
a orijentiran je jednako kao d . Konačno, ako j e Idi < I b I, defi ni cij a je analogna
-+
-+
(pa je, posebno, d + b ori jent i ran kao b ) .

y

A

X

B

Zbrajanje kolinearnih radij vek tor a
Sada je zbroj d + b de finiran za svaka dva radijvektora i pritom je, za zadane
-+
-+
d i b, ni
j hov zbroj d+ b j ed noz načn a određen radij vektor. Dobili smo, dakle,
preslikavanje
-+

U tom smislu kažemo da je zbrajanje binarna op er acij a na skupu V2(0).
Sad bismo želj eli istražiti svojstva ovako uvedene o per ac ij e zbraj an ja radij ­
vektora. Uočimo prvo da pravokutni koordinatni sustav kojeg smo na početku
fiksirali nije i gr ao nikakvu ulogu ni u našem poimanju radijvektora, ni u prethod­
nim definicij ama. Važno je tek bilo fiksirati ishodišnu točku O. Koordinatizacija
će, međut i m , biti vrlo koristan alat u našim razmatranj ima.
Svakoj točki A E E2 možemo pridr uži ti uređen par njezinih koordinata
�
u odabranom pravokutnom sustavu. Zelimo li s pecificirati neki r adij vekto r OA
( što se z ap r avo svodi na specifikaciju završne točke A) , dovoljno je poznavati
V


1. Uvod

6

www.pdfgrip.com

uređen par koordinata točke A.

y

A

Sada je priro dno zapitati se: ako su dani radijvektori OA i OB, možemo li iz koordinata točaka A i B "iščitati" koordinate završne točke radijvektora OA+OB?
Propozicija 1 . 1.2. Neka je A= (a11 a2) i B (b1, b2)· Tada je
----?

_____,

____..

_____,

=

_____,

----?

_____,

OA+OB=OC,
gdje je
Dokaz.

Uzmimo najprije da su vektori OA i OB nekolinearni. Tad a je, ako smo
_____,
----?
_____,
označili OA + OB OC, točka C sjecište pravaca p i q pr i čemu je p p aral el an
s OB i prolazi točkom A, dok je q par al elan s OA i prolazi točkom B. Sada
se dokaz naše tvrdnje da točka C ima koordinate (a1 + b1, a2 + b2 ) svodi na
rj ešavanj e elementarne zadaće iz analitičke geo met rij e .
----?
_____,
Kad su OA i OB kolinearni, provjera je još j ednostavnija pa detalje
O
izostavljamo.
----?

_____,

=

Uz po mo ć prethodne propozicije lako je odrediti sva algebarska svojstva
op e rac ije zbrajanja.

Propozicija 1.1. 3. Binarna operacija zbrajanja+: V2(0)
ima sljedeća svojstva:

( 1)

·

a + (b + c ) = ( a +b) + c ,

-7

-7

-7

-7

(2) za nulvektor -7
O

E

-7

-7

-7

-7

-7

-7

-7
b , c E V2 ( 0);

-7

V 2 (O) vrijedi _,
a+ -7
O=-7
O+ _,
a

E V2(0)
(3) za svaki d -7
-7
-7
-a+a=O;

(4) a+b=b+a,

Va ,

-7

i
-7

njemu suprotan -dE
-7

Va,bEV2(0).

Dokaz. (1) Odaberimo proizvoljne d
a+

-7

-7

(a

----?
=

(b + c)

+

-7

-7

OA, b

-7

----?

=

OT

b) + -7c =OS.
-7

----';

-7

V2(0) � V2(0)

Va

-7

E V 2 (O) ;

V2(0) vrijedi d + (-d)

OB i
_____,

=

= a,

x

c

OC te označimo
_____,

=

=


www.pdfgrip.com

1 . 1 . Radijvektori

u

ravnini

Treba dokazati da je T =S, a za to je dovolj no utvrditi da su koordinate točaka
(a1,a2 ) , B = (b1, b2) i C = (c1, c2). Sada je,
S identične. Neka j e A

Ti

prema propoziciji

1.1. 2,

=

- - OB+ OC =OD

pri čemu j e
Kako je

--t

OT

= a+ ( b

--t

--t

p onovnom primj enom propozicije

+ c)
--t

=

--t

-

O A + OD,

b a

1.1.2 do i v mo da je

Potpuno analogno nalazimo da v rijedi i
Jer je zbrajanje realnih brojeva asocijativna, koordinate točaka T i S su u
parovima jednake, pa slijedi T =S.
Tvrdnje (2) i (3) su zapravo dijelovi definicije zbrajanja radijvektora pa

se ovdj e nema što dokazivati. Tvrdnja ( 4) je pak očita poslj edica definicij e
zbrajanja r adij v ekt o ra . Alter nati v no, i ovu tvrdnj u možemo dokazati kao i
D
tvrdnj u (1) služeći se propozicijom 1.1.2.

Svojstvo (1) iz prethodne propozicije se zove asocij ativnost (zbrajanj a

radijvektora) . Svojstvo (2) opisna izričemo tako da kažemo da je O neutralni
element za zbrajanje. Svojstvo (3) opisuje algebarsku narav suprotnog vektora:
--t

kad se bilo koj i radijvektor zbroji sa sebi suprotnim, rezultat je neutralni element
za zbrajanj e (tj . nulvektor). Striktno govoreći, pojam suprotnog radij vektora
definirali smo samo za netrivijalne radij vektore, no jednakost O + O = O (koja
--t

--t

--t

je dio naše definicije zbraj anja) pokazuj e da O igra ulogu suprotnog radijvektora samome sebi. Konačno, svojstvo (4) se n aziva komutativnost (zbraj anja
--t

radijvektora).

Primijetimo da operacij e
imaju identična svoj stva.

zbrajanja realnih, odnosno kompleksnih broj eva

pri računanju s broj evima, i ovdj e je običaj izraz 71 + ( - b) zapi s ivati
u j ed n o s t avnij e m obliku 71- b . K o l ok vij aln a govorimo da se radi o oduzimanju,
no treba uočiti da oduzimanje adij vektora nije nova operacija, nego tek naziv
Kao i

--t

--t

r

za zbroj radijvektora 71 i radijvektora suprotnog radijvektoru b. Isti dogovor
podrazumijevamo i kod oduzimanja broj eva.
--t

Osim zbrajanj a radijvektora važna će nam biti još j edna operacija: mno­
ženj e radijvektora realnim brojevima. Običaj je da se u ovom kontekstu realni

7


1. Uvod

8

www.pdfgrip.com

broj evi nazivaju skalarima i da se označavaju malim grčkim slovima. P r ij e
nego što defi n iciju navedemo, uočimo bitnu strukturnu razliku u odnosu na

zbraj anje: dok je zbrajanje + : V2(0) X V2(Q) --+ V2(Q) binarna operacija
na skupu V2(0) ( što znači d a se zbraj aju dva radijvektora, a rezultat j e opet
r adijve ktor) , množenje radijvektora skalarima je preslikavanje
operandi su ovdje raznorodni ( jedan skalar i j edan radijvektor ) , a rezultat je
opet radijvektor.
Neka je a E lR i a E V2(0). Umnožak a· a d efinir a se kao radij vekto r čiji:
( i ) modul iznosi la.I lal;
( ii ) smjer j e isti kao smj er od a;
(iii) orij entacij a j e ista kao orijentacij a od a ako je a > o, odnosno suprotna
orijentaciji od a ako j e a < o.
Kao i kod množenj a broj eva i ovdje j e običaj pisati a.a umj esto a· a.
Operacij a množenj a radijvektora skalarima iskazana je uz prešutnu pri­
mjenu napomene 1.1.1: a.a je definiran tako što smo mu propisali modul, smjer
--+
i orijentaciju. Pritom, odrednice (ii ) i (iii) nemaju smisla ako je a= O. No, već
iz ( i ) neposredno vidimo da j e a · O=O, Va E IR, kao i O· a= O, \fa E V2(0).
Očito je iz defini cij e da vrijed i sljedeće pravilo:
Propozicija 1.1.4. Neka je a E lR i a E V2(0). Ako je a = DA i A= (a1, a2),
te ako stavimo
·

---t

--+

a.a=OT,
onda je
T

=

(aa 1 , aa ).
2

Teorem 1.1.5. Operacije zbrajanja+ : V2(0) X V2(0) --+ V2(0) i množenja
--+ --+ V2(0) imaju sljedeća svojstva:
skalarima · : JR X V2(0)--+ V2(0) na skupu
--+

b + --+
(1) a+( --+
c)
--+

=

(2) za nulvektor --+
O

--+

--+

--+ + b
(a
)+ c,

E

Va, b,

c E

V2 (O) vrijedi --+
a+ --+
O = --+
O + --+
a= --+
a,

(3) za s vaki a E V2(0) i njemu suprotan -a
--+
--+
-a+--+
a=O;
--+
--+
--+ --+
--+
(4) --+
a+ b
=b
+a,
b E V2 (O);
Va,
(6) (a+ f3)a

(5) a(f3a)=(af3)a,

(s)

(7)

a (a

1.

--+

=

aa

\fa, f3

+ {3a,

+b)=a a + a b,
--+

a= a,

--+

V2 ( O);

--+

E

\fa,{3
\;/a

va E v2(0).

\fa

IR,
E

E

IR,

IR,

E

E

E

V2 (O);

V2(0) vrijedi a + (-a)=

V2(0);

\fa E V2(0);
va, b E v2(0);

--+

--+
\;/a


www.pdfgrip.com 1.1.

Radijvektori

u

Dokaz. Prve četiri tvrdnj e već su izrečene i dokazane1upropoziciji1.1.3.
--+
žimo tvrdnju (5) . Neka je <1 = OA i A= (a1, a2)· Stavimo
--;

9

ravn i n i

Doka­

---t

a((3a)=OB
--;

---t

(af3) a =OC.

Uzastopnom primj enom prethodne propozicije d obivamo

množenje realnih brojeva asocij ativna, očito slijedi B = C.
Analogno se d okazuj u i preostale tri tvrdnje. Uočimo da će u dokazi­
ma tvrdnj i (6) i (7) završni dio argumentacij e biti pozivanje na distributivnost
množenj a realnih broj eva prema zbrajanju .
D
Kako j e

Prethodni teorem sadrži popis osnovnih svojstava zbraj anja i množenj a
skalari ma u skupu V2(0). S vojstva (5), (6) i (7) nazivaju se, redom, kvaz iaso­
cijativnost, distrib utivnost množenja prema zb raj anj u skalara i di stribut ivnost
množenja prema zbrajanj u radijvektora.
Ovih osam svojstava igra fundamentalnu ulogu u iz gradnj i pojma ap­
straktnog ve k t o rs kog prost ora . U tom smislu ćemo , prej udicirajući terminologi­
ju i pojmove koji će biti uvede ni u slj e deće m p og lavlj u, od sada na dalje govoriti
da j e V2(0) vektorski prostor.
Iz navedenih svojstava (ili iz samih defini cij a) lako se izvode i druga pravila
za računanje s ra dij vektorima poput

(-1)<1 = -<1,

--;
--;
--;
( a-(3a=aa-(3a
)
--;

--; --;
--;
a(a-b)=aa-ab.

Dokazi ovih tvrdnji su posve jednostavni pa ih st oga izostavljamo. No
oprez j e p otreban kako bi se ispravno shvatila i int er pret ira la prva o d navedenih
jednakosti. Tu nije riječ o mehaničkom ispuštanj u zagrade (na kakvo smo navi kli
pri računanju s broj ev ima ) jer izrazi na lijevoj i desnoj strani jednakosti potj e č u
iz različitih de fi ni cij a : dok se na l ijevoj stran i j ed nakost i radi o množenj u radij ­
vektora <1 s kalarom -1, na desnoj s e str ani p ojavljuje supr otan r adij vektor 1 Nije o iča u tvr n u nekog teorema uključivati iskaze prethodno dokazanih propozicija
ili teorema. Ovdje smo učinili iznimku kako bismo objedinili sva svojstva i dobili kompletnu

b j

sliku.

dj


10

1.

www.pdfgrip.com

Uvod

p ojamkoji je definiran ranije. Nije st og an či im a priori osigurano da su iz r azi s
različitih strana navedene jed nakost iidentični. Nasreću, ti su radijvektori zaista
jednaki, a provjeraje jednostavna.

Teorem 1. 1. 5 pr edstavl ja polaznu točku u p r oučav anj u strukturnih svoj­
stava vektorskog prostora V2( 0). Veliku važnost ima okolnost da su definicije
obiju operacija s radijvektorima ge om etrijs ke prirode. To nam omoguć uj e da
razne g eometrijsk e či njenice ( koje možemo v iz ualiz i rat i , pa stoga i intuitivno
prih vać ati) prepoznamo ili iskažemou terminim aalgebarskih op eracija .

Propozicija 1.1.6. Nek a su ft, b E V2(0) kolinearni te n e ka je ft#- O. Tada
postoji jedinstveni skalar a takav da je
-+

-+

-7

b

Obratno, ako za neke
kolinearni.
-+

Dokaz. Ako je b

-+

-+

a,

b

E

-+

aa.
-+

E

V2(0) i a

lR vrijedi b

=

ad ,

onda su d i

b

-+

O , onda je očito b = O d. Ako je b i- O , uzmimo

-+
=

=

-+

-+

-+

·

štoje dobro definirano zbog d i- O . Sada j e jasnoda vrijedi ili
-+

-+

b

-+

= aa

-+

il i b

=

( -a) a
-+

-+

ovisno o tome jesuli d i b j ed nak e il i suprotne orijentacije.
Dr uga tvrd nja propozicije je izravna p os lj e di c a definicije množenjaradijvektora skala ri m a.
O
-+

Dakle, jednakošću b = adka rakterizir a se kolinearnost radij vektora d
-+
i b . Pr m
i jiet imo da smo u pr voj t vrd nji pr ethod ne propozicije morali izuzeti
-7
-7
-7
sl učaj ft = O . Zaista, akoje d
O , o nda je, po definiciji, svaki r adi jve ktor b
-+
-+
-+
kolinearan s ft, no jed nakost b
ad je m og u
ć a jedi no ako je i b = O .
Ovoj maloj t ehnič ko j smetnji možemo jednostavno doskočiti. Uzmimo
-+
proizvoljne d, b E V2(0) i p otr až im oskalare a i /3 z akoje bi vrijedilo
=

=

-7

-+

-7

aa+/3b =O .
-7

Neovisno o izboru radijvektora d i b , ova će jed nak ost očito biti zadovol jena
uzmemo li
a= /3 =O.


www.pdfgrip.com 1.1.

Radijvektori

u

ravnini

Ima li i dr ugi h, netrivijalnih izbora a, {3 E R koji zadovoljavaju ad + {3b= O?
--t
--t
Ako su d i b kolinearni, takva mogućnost očito postoji. Zaista, ako je d = O ,
onda vrijedi
--t
--t
--t
l·a +O·b=O.
--t

--t

Ako je pak d =I- O , onda, prema prethodnoj propoz ic iji , postoji a E R takav da
je b = a d, a odatle odmah slijedi
--t

--t

--t

--t

Vrijedi i obrat: Ako postoje skalari a, {3 E R od kojih je bar jedan različit
--t
--t
--t
od O , a koji zadovoljavaju j ed nakost ad + {3b
O , radijvektori d i b su
kolinearni. Kako bismo to pokazali, pretpostavimo da je a =I- O . Tada j e dnakost
--t
--t
--t
aa + {3b= O odmah povlači

( -a) · a + 1 · b= O .

=

--t

--t
a= --b

{3
a

pa su, prema drugom dijelu tvrdnje prethodne propozicije, d i b kolinearni.
Ako je a = O, onda je_prema pretpostavci {3 =I- O i potpuno analogno opet
zaključujemo da su d i b kolinearni.
Korisno je ovo zapažanj e formulirati i na sljedeći, ekvivalentan način:
--t

Korolar 1.1.7. Radijvektori d, b E V2(0) su nekolinearni ako i samo ako
vrijedi
--t
--t
--t
aa+f3b=O ===* a=f3=0.
(1.1)
--t

Korolar 1.1. 7 j e od fundamentalne važnosti za naša d aljnj a razmatranja.
Smisao je u tome da smo nekolinearnost ( a time a posteriori i kolinearnost )
--t
dvaj u r ad ijvekt o ra us pj eli iskazati na algebarski način. Radijvektori d i b su
--t
--t
nekolinearni ako i samo ako jednakost ad + {3b = O može biti zadovoljena
samo za t rivij al an izbor skalara: a = {3 O .
--t

S p o m eni m o j o š da se izraz oblika ad + {3b naz i va linearna kombinacija
--t
radijvektora d i b s koeficijentima a i (3. Općenito, izraz
=

zovemo linearnom kombinacijom vektora d1, ... , dn s koeficijentima a1, ... , an.
Slj edeći teorem ot kriva ulogu k oju u prostoru V2(0) i m aj u skupovi koji
se sast oje od ( bilo koj a) dva nekolinearna radijvektora.

Teorem 1.1. 8 . Neka sud, b E V2(0) neko lin earni . Tada za s v aki ti
postoje jedinstveni skalari a i {3 takvi da vrijedi
--t

--t

--t

--t

v=aa + f3b.

E

V2(0)

11


12

l. Uvod

www.pdfgrip.com

Dokaz. Uzmimo pro izvolj an 11 i prvo dokažimo egz istenci ju prikaza
�

�

�

v=crn +f3b.

�

Uočimo n ajp rij eda su idib netrivijalnizbog pretpostavljene nekolinearnosti.
Ako je 11 ko linearan s d , onda prema propoziciji 1.1. 6 imamo 11 = ad za
neki a E R O d av de odmah slijedi

v=aa+O· b.

�

�

�

U s učaju
l
kad bi 11 bio kolinearan s b, zaključivali bismo ana ol gno.

�
--7
Pretpostavimo da11 nije kolinearan niti sd,nitis b. Označimo d OA,
b =DB, 11 = oT. Nekaje točka A' paralelna projekcija točke T n apravac OA
u smjeru pravca OB. Analogno, neka je točkaB' paralelna proj e kcij a točke T
na pravac OB u smjeru pravca OA.
�

=

y

B

A
o

X

Kako je četverokut OA'TB' paralelogram, vrijedi
---t

---t

--7

OT

=

OA' + OB'.

N ad alj e, dvostrukom primj enom propozicije
da vrijed i
---t

OA'

---t

OB'

1.1.6

nalazimo skalare a i /3, t akv e

--7

=

aOA

=

(30B.

-----t

Uvrštavanjem ov ih dviju j ednakosti u prethodnu dobivamo
�

�

�

v=aa +f3b.

Preostalo je pokazati j edinstvenost ovakvog z api s a sv akog radijvektora 11.
U tu svrhu pretpostavimo da za neki 11 vrijedi


www.pdfgrip.com 1.1.

I zj e d n ačavanj em dob ivamo

Radijvektori

u

13

ravnini

što mo že mo zapisati u obliku

Kako su prema pretp ostavci d i b nekolinearni, korolar 1.1. 1 p okazuj e da je
O
sada nuž no a1 - a2 O i /31 /32 O tj . a 1
a2 i /31 = /32.
---+

=

-

=

,

=

Imamo li, dakle, bilo koja dva nekolinearna r adijvekt o r a d i b, svaki se
radijvektor 1J može prikazati kao nj i hova linearna kombinacij a, i to na j edin­
stven način. Istaknimo da je riječ o ekskl uz i vnom svojstvu dvočlanih skupova
radijvektora (a pritom je nužno i da su promatrani radij vektori ne koli n e arni)
Jedan, ma kako odabran radijvektor nije dovoljan da se, množeći ga skala­
rima, preko njega izraze svi elementi prostora V2(0). Uzmemo li pak t ri ili više
radijvektora d1, d2,
, dn, n � 3, od kojih su bar dva ne ko l in e arn a svaki će se
2
1J E V (0) moći p r ikazati u obliku
---+

.

. . .

,

(dakle , kao nj i hova linearna kombinacija), no ne više na je d ins t ven n ačin .

Da bismo to pokazali, pretpostavimo npr. da je dan skup {d1, d2, d3}, pri
čemu neka d1 i d2 nisu kolinearni. Prema prethodnom teoremu, d3 možemo
pr ikaz ati u obliku
__,
__,
---+
a3 = >-1 a 1 + >- 2 a2
s jedinstveno određenim skalarima>. , >-2- Uzmimo sada proizvoljan 1J E V2(0).
Ponovnom pr imj enom teorema 1 . 1.8 dobivamo i j ed inst vena određene a, /3
z a koj e vrij edi

1

E

�

što možemo pisati i kao

S

druge strane, očito vrijedi i

Tako je ti prikazan na dva različita načina kao li n earn a kombinacij a r ad ij vek
tora d1, d2, d3. Štoviše, jasno je da takvih prikaza radij vektora 1J zapravo ima
beskonačno mnogo.
Analogno bis mo rezonirali i kad bismo, umjesto s tri, radili općenito s
n � 3 r ad ij vekt o r a
­

.


14

l.

www.pdfgrip.com
Uvod

Definicija 1.1.9. Svaki dvočlani skup {Ci, b } čiji su član o vi nekolinearni naziva
se baza vektorskog prostora V2(0).
--+

--+

Ako je {Ci, b} proizvoljno odabrana baza prostora V2 (0), teorem 1.1.8
j amči da se svaki član prostora V2(0) može na jedinstven način prikazati kao
linearna kombinacij a elemenata baze.
--+
---+
--+
�
--+
---+
U praksi, ako je a = OA, b
OB, v = OT i A= ( a 1 , a2), B = (b1, b2),
T = (ti, t2), koeficijente a i (3 za koj e vrijedi
=

--+

v=aa+ f3 b

--+

--+

možemo odrediti slijedeći dokaz teorema 1.1. 8. Alternativno, primjenom pro­
pozicija 1.1. 2 i 1.1.4, problem se svodi na rješavanje sustava od dvije linearne
jednadžbe s dvije nepoznanice. Očito je da će konkretan račun biti tim jednos­
tavniji čim je baza zgodnije odabrana.
U tom smislu posebno mjesto zauzima baza {i,)} koj a se sastoji od je­
diničnih ( tj. modula 1) radijvektora u smjeru pozitivnih dijelova koordinatnih osi
našeg odabranog koordinatnog sustava. Tada, za proizvoljan ti = OT E V2(0),
pri čemu je T = (t1, t2), očito vrijedi

y
--+

J

t

X

Baza {i,)} zove se kanonska ili standardna baza prostora V2(0) ( no trebamo
biti svj esni da ta baza ovisi o našem prethodnom izboru koordinatnog sustava u
ravnini ) . Iako je u konkretnim zadaćama često najjednostavnije operirati upravo
s kanonskom bazom, bitno je imati na umu da bazu prostora predstavlj a svaki

skup od dva nekolinearna vektora. U teoriji, tj . u smislu tvrdnje teorema 1.1. 8,
sve su baze ravnopravne.
Istaknimo na kraju da se sve baze prostora sastoje od točno dva radijvek­
tora. Točno dva nekolinearna radijvektora ( i to bilo koja dva ) imaju moć da
pomoću njih, i to na jedinstven način, izrazimo svaki drugi element prostora
V2(0). Ova opaska j e u skladu s našom intuicijom prema kojoj prostor V2(0)
zamišljamo dvodimenzionalnim.


www.pdfgrip.com
1 . 2 . Vektorski prostor

1.2.

V 3 (O)

15

Vektorski prostor V3 (0)

Prethodna razmatranja možemo proširiti i na r adij ve kt o re u prostoru.
Označimo s E3 intuitivno shvaćen trodimenzionalni prostor koj i takođ er shva­
ćamo kao s kup točaka. I ovdje ćemo fiksirati pr avokutn i koordinatni s ust av
s ishodištem u O. Neka V3 (0) označava skup svih r adij vekt or a s p o četnom
točkom O. Modul, smj er i orijentacija, kao i pojam sup r ot no g r ad ij ve kto r a
definirani su identično kao u V2 (0). J edn ako su defini rane i binarna oper acij a
zbraj anja
i operacija mn oženj a r adij ve kt or a s kal arima
I ovdj e je korisno n aj prij e utvrditi kako se ove op erac ij e r e al izir aj u u
minima koordinata završnih točaka radij vekt o ra .

ter­

Propozicija 1 . 2 . 1 . Neka je A = (a1, a2 , a3 ) , B = (b1 , b2, b3 ) i
---t

Tada je
Nadalje, označimo li za a

--7

--7

OA + OB = OC.

E IR,

---t

aOA

vrijedi
---t

--7

Dokaz. Pretpostavimo da OA i OB
---t

= OD,

nisu
--7

-----7

kolinearni.

Uočimo da s e sada zbroj

--7

OA + OB = OC

dob iva pr avilo m paralelograma u r avni ni OAB. Pr et p ost avi mo , konkretnosti
radi, da se ravnina OAB ne podudara niti s j ednom od koordinatnih ravnina.

Označimo C = (c1 , c2 , c3) .
Neka su A' , B', C' , redom, ortogonalne proj ekcij e točaka A, B , C na x y­
r av ninu . Tada je A' = ( a1 , a2, O) , B' = (b1, b2 , O) i C' = (c1 , c2 ,O). Kako je
OACB par ale lo gr am , i njegova ort ogon alna p roj ekcija na xy-ravninu OA'C' B'
j e paralelogram. Zato je
----+
�
�
OA' + OB' = OC' .
Iz propozicije 1.1. 2 ( pri m ij enj ene u x y -r avnini ) s ad a do bivam o