Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian oxyz - Nguyễn Trọng

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
MỤC LỤC
BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ ........................................................................................................... 1
►DẠNG 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT.................................................................. 2
►DẠNG 2: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM ............................................................................................................ 4
►DẠNG 2: TÍCH VƠ HƯỚNG, TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – CÁC BÀI TỐN LIÊN
QUAN ........................................................................................................................................................ 7
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU ..................................................................................................... 10
►DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU. NHẬN BIẾT PT MẶT CẦU 10
►DẠNG 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT MỘT SỐ YẾU TỐ CHO TRƯỚC ......... 12
BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ............................................................................................... 17
► DẠNG 1: TÌM MỘT VTPT CỦA MẶT PHẲNG ............................................................................. 17
►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ............................................................................ 19
► DẠNG 3: ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG .......................................................................................... 22
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ......................................................................................... 25
►DẠNG 1: TÌM MỘT VTCP CỦA ĐƯỜNG THẲNG ........................................................................ 25
►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG ............................................................ 27
►DẠNG 3: TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG VÀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐT VÀ MẶT PHẲNG 32
BÀI 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI TỔNG HỢP.............................................................................................. 35
►DẠNG 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 MẶT PHẲNG ................................................................... 35
►DẠNG 2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG................................. 37
►DẠNG 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG........................... 40
►DẠNG 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG ....................................................... 42
► DẠNG 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG ................................................ 45
BÀI 6: KHOẢNG CÁCH TỔNG HỢP ................................................................................................... 49
►DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐIỂM ................................................................................. 49
►DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG, KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT
PHẲNG SONG SONG, KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT
PHẲNG TỚI MẶT PHẲNG. .................................................................................................................. 51
►DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG ...................................................... 54
►DẠNG 4. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU ..................................... 56

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

1

Trang 1


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ
►DẠNG 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CÁC TÍNH CHẤT
PHƯƠNG PHÁP:
. Định nghĩa: a = a1.i + a2 . j + a3 .k  a = ( a 1 ; a2 ; a3 ) .
. Tính chất: Cho a = ( a 1 ; a2 ; a3 ) ; b = ( b 1 ; b2 ; b3 ) .

a1 = b1

• a = b  a2 = b2 .
a = b
 3 3
• a  b = ( a 1 b 1 ; a2  b2 ; a3  b3 ) .
• ka = ( ka 1 ; ka2 ; ka3 ) , k 

.

• 0 = (0;0;0), i = (1;0;0 ) , j = ( 0;1;0 ) , k = ( 0;0;1) .

(

)

• a cùng phương b  k  : a = kb b  0 .



a1 a2 a3
=
=
b1 b2 b3

( b1 , b2 , b3  0 )

A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong khơng gian Oxyz , cho a = (1; 2; −3) ; b = ( −2; 2;0 ) . Tọa độ vectơ c = 2a − 3b là
A. c = ( 4; −1; −3) .

B. c = ( 8; −2; −6 ) .

C. c = ( 2;1;3) .

D. c = ( −2; 4;3) .

Lời giải
Chọn B

2a = ( 2; 4; −6 )
Ta có: 
3b = ( −6;6;0 )
Suy ra c = 2a − 3b = ( 2 + 6; 4 − 6; −6 − 0 )

 c = ( 8; −2; −6 ) .

Ví dụ 2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = ( 2; − 5;3) , b = ( 0; 2; −1) . Tọa độ
vectơ x thỏa mãn 2a + x = b là
A. ( −4; 2; − 7 ) .
B. ( −4; 2; 3) .

C. ( −4; 12; − 7 ) .

D. ( −4; 12; − 3) .

Lời giải
Chọn C
Ta có 2a + x = b  x = b − 2a

b = ( 0; 2; −1)
Ta có: 
2a = ( 4; −10; 6 )
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

2

Trang 2


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Suy ra x = b − 2a = ( 0 − 4; 2 + 10; −1 − 6 )
 x = ( −4;12; −7 ) .

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ a = ( 3;− 2;1) , b = ( −1;1;− 2 ) ,

c = ( 2;1;− 3) , u = (11;− 6;5 ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. u = 3a − 2b + c .

B. u = 2a + 3b + c .

C. u = 2a − 3b + c .
Lời giải

D. u = 3a − 2b − 2c .

Giả sử u = xa + yb + zc
Ta có hệ phương trình:
3x − y + 2 z = 11

−2 x + y + z = −6 .
 x − 2 y − 3z = 5


x = 2

Giải hệ ta được:  y = −3
z = 1

Vậy u = 2a − 3b + c .
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 1.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a = −i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là
A. ( −1; 2; −3) .

Câu 2.

Câu 3.

B. ( 2; −3; −1) .

C. ( 2; −1; −3) .

D. ( −3; 2; −1) .

Câu nào sau đây sai?
1
1

A. a = −3i + j + k  a =  −3;1;  .
2
2


1
1

B. a = i − 5 j  a =  ;0; −5  .
2
2


C. a = 2i − 3 j  a = ( 2; −3;0 ) .

D. a =

2
2 

j + k − 3i  a =  −3; ;1 .
5
5 


Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai véc tơ u = ( −1;3; −2 ) và v = ( 2;5; −1) . Tìm tọa
độ của vectơ a = 2u − 3v
A. a = ( −8;9; −1) .

Câu 4.

B. a = ( −8; −9;1) .

C. a = ( 8; −9; −1) .

D. a = ( −8; −9; −1) .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ u = −2 j − 3k và u = i + 2k , khi đó tọa độ
của u + v đối với hệ tọa độ Oxyz là:
A. (1; −2; −1) .

Câu 5.

B. (1; 0;1) .

C. (1; 2; 2 ) .

D. ( −1;0; 2 ) .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a = (2; − 3;1) và b = (−1;0;4) . Tìm tọa độ
vectơ u = −2a + 3b .
A. u = (−7;6; − 10) .

Câu 6.

B. u = (−7; − 6;10) .

C. u = (7;6;10) .

D. u = (−7;6;10) .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 vecto a = ( 5; 4; −1) ; b = ( 2; −5;3) và c thỏa mãn
hệ thức c = 2a − 3b. Tìm tọa độ c ?
A. c = ( 4; 23; −11) .
B. c = (16;19; −10 ) .

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

C. c = ( 4;7;7 ) .

D. c = (16; 23;7 ) .
3

Trang 3

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
Câu 7.

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba vectơ a = (1; 2;3) , b = ( 2; 2; −1) , c = ( 4;0; −4 ) .
Tọa độ vectơ d = a − b + 2c là
A. d = ( −7;0; −4 ) .

Câu 8.

C. d = ( 7;0; −4 ) .

D. d = ( 7;0; 4 ) .

Trong không gian Oxyz , cho a = (1; 2; −3) , b = ( −2; −4;6 ) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a = 2b .

Câu 9.

B. d = ( −7;0; 4 ) .

B. b = −2a .

C. a = −2b .

D. b = 2a .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai véctơ a = ( m;2;3) và b = (1; n; 2 ) cùng phương
thì m + n bằng:
11

A.
.
6

B.

13
.
6

C.

17
.
6

D. 2 .

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vec tơ a = ( 2;1;1) , b = ( 3; −1; 2 ) . Tọa độ của vec
tơ c thỏa mãn biểu thức 2b − a + 3c = 0 là:
5
5
 3
 1
A.  − ;1; −  .
B.  − ; −2; −  .
2
2
 2
 2

5
 7
C.  − ; 2; −  .
2
 2

 7

D.  − ;1; −1 .
 2


►DẠNG 2: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM
. Định nghĩa: M ( x; y; z)  OM = x.i + y. j + z.k (x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ)
. Chú ý:
• M  ( Oxy )  z = 0; M  ( Oyz )  x = 0; M  ( Oxz )  y = 0
• M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = 0 .
. Tính chất: Cho A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; zB )
• AB = ( xB − xA ; yB − y A ; zB − z A )
• AB = ( xB − xA )2 + ( yB − y A )2 + ( zB − z A )2

 x + x y + yB z A + z B 
• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M  A B ; A
;

 2
2
2 
• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC :

 x + x + x y + yB + yC z A + zB + zC 
• G A B C ; A
;

3
3
3


• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :

 x + x + x + xD y A + yB + yC + yD z A + zB + zC + zC 
• G A B C
;
;


4
4
4

A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; −3; 2 ) , B ( 0;1; − 1) và C ( 5; − 1; 2 ) .
Tọa độ là trọng tâm G của tam giác ABC là
A. G ( 2; −1;1) .
B. G ( 2;1;1) .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

C. G ( 2;1; −1) .

D. G ( −2;1; −1) .
4

Trang 4


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Lời giải
Chọn A
G là trọng tâm tam giác ABC nên:
xA + xB + xC 1 + 0 + 5

=
=2
 xG =
3
3

y A + yB + yC −3 + 1 − 1

=
= −1
 yG =
3
3

z A + zB + zC 2 − 1 + 2

=

=1
 zG =
3
3

Vậy G ( 2; −1;1) .
Ví dụ 2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A (1;0; −2 ) , B ( 2;1; −1) , C (1; −3;3) và điểm
M thỏa mãn hệ thức AM = 2 AB + 3BC . Tìm tọa độ điểm M .
A. ( 0; −5; −6 ) .
B. ( 0; −5; 2 ) .
C. ( 0; −10;12 ) ..

D. ( 0; −5; 4 ) .

Lời giải
Chọn C
Ta có: AB = (1;1;1)  2 AB = ( 2;2;2 )

BC = ( −1; −4; 4 )  3BC = ( −3; −12;12 )
 2 AB + 3BC = ( −1; −10;14 ) .
Gọi M ( x ; y ; z )  AM = ( x − 1; y ; z + 2 )

 x − 1 = −1  x = 0


AM = 2 AB + 3BC   y = −10   y = −10
 z + 2 = 14  z = 12


Vậy M ( 0; −10;12 ) .

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; 2;3) . Tìm tọa độ hình chiếu M lên trục Ox .
A. ( 2;0;0 ) .

B. (1; 0; 0 ) .

C. ( 3;0;0 ) .

D. ( 0; 2;3) .

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; 2;3) . Tìm tọa độ điểm N đối xứng với
điểm M qua mặt phẳng ( Oxy )
A. N ( −1; −2; −3) .

B. N (1; 2;0 ) .

C. N ( −1; −2;3) .

D. N (1; 2; −3) .

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A (1;1;0 ) , B ( 0;3;3) . Khi đó
A. AB = ( −1; 2;3) .

B. AB = (1;2;3) .

C. AB = ( −1; 4;3) .

D. AB = ( 0;3;0 ) .

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A (1; 2;0 ) ; B ( 3; −1;1) và C (1;1;1) . Tính tọa độ

trọng tâm G của tam giác ABC .
5 2 2
 5 2 2
A. G  ; ;  .
B. G  − ; ;  .
3 3 3
 3 3 3

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

5 2 2
C. G  ; − ;  .
3 3 3

5 2 2
D. G  ; − ; −  .
3 3 3

5

Trang 5


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
Câu 15. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;0; −2) , B(2;1; −1) . Tìm độ dài của đoạn
thẳng AB ?
A.

2.

B. 18 .

C. 2 7 .

(

D.

3.

)

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ O; i , j , k , cho hai điểm A, B thỏa mãn OA = 2i − j + k và

OB = i + j − 3k . Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn AB .
 1

A. M  − ; 1; − 2  .
 2


3

B. M  ; 0; − 1 .
2


C. M ( 3; 0; − 2 ) .

1


D. M  ; − 1; 2  .
2


Câu 17. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm là A (1;3; − 1) , B ( 3; −1;5 ) . Tìm tọa độ của điểm M
thỏa mãn hệ thức MA = 3MB .
 5 13 
7 1 
A. M  ; ;1 .
B. M  ; ;3  .
3 3 
3 3 

7 1 
C. M  ; ;3  .
3 3 

D. M ( 4; −3;8 ) .

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (1;0; 2 ) , B ( −2;1;3) , C ( 3; 2; 4 ) ,
D ( 6;9; − 5 ) . Hãy tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD .

A. ( 2;3; − 1) .

B. ( 2; − 3;1) .

C. ( 2;3;1) .

D. ( −2;3;1) .

Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; − 1) , B ( 2; − 1;3) , C ( −3;5;1) .
Tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành là
A. D ( −4;8; −5 ) .
B. D ( −2; 2;5 ) .
C. D ( −4;8; −3) .

D. D ( −2;8; − 3) .

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM = (1;5; 2 ) , ON = ( 3;7; −4 ) . Gọi P là điểm đối
xứng với M qua N . Tìm tọa độ điểm P .
A. P ( 5;9; −10 ) .
B. P ( 7;9; −10 ) .

C. P ( 5;9; −3) .

D. P ( 2;6; −1) .

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M ( 0;1; 2 ) , N ( 7;3; 2 ) , P ( −5; − 3; 2 ) . Tìm
tọa độ điểm Q thỏa mãn MN = QP .
A. Q (12;5; 2 ) .

B. Q ( −12;5; 2 ) .

C. Q ( −12; − 5; 2 ) .

D. Q ( −2; − 1; 2 ) .

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A (1; 2; −1) , B ( 3;0;3) . Tìm tọa độ
điểm C sao cho G ( 2; 2; 2 ) là trọng tâm tam giác ABC .

A. C ( 2; 4; 4 ) .

B. C ( 0; 2; 2 ) .

C. C ( 8;10;10 ) .

D. C ( −2; −4; −4 ) .

Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. ABCD . Biết tọa độ các đỉnh
A ( −3; 2;1) , C ( 4; 2;0 ) , B ( −2;1;1) , D ( 3;5; 4 ) . Tìm tọa độ điểm A của hình hộp.

A. A ( −3;3;1) .

B. A ( −3; −3;3) .

C. A ( −3; −3; −3) .

D. A ( −3;3;3) .

Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 3; 2;1) , B (1; −1; 2 ) , C (1; 2; −1) . Tìm
tọa độ điểm M thỏa mãn OM = 2 AB − AC .
A. M ( −2; 6; − 4 ) .
B. M ( 2; − 6; 4 ) .

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

C. M ( −2; − 6; 4 ) .

D. M ( 5; 5; 0 ) .

6

Trang 6


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
Câu 25. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; 2;3) , trên trục Oz lấy điểm M sao cho
AM = 5 . Tọa độ của điểm M là

A. M ( 0;0;3) .

B. M ( 0;0; 2 ) .

C. M ( 0;0; −3) .

D. M ( 0;3;0 ) .

►DẠNG 2: TÍCH VƠ HƯỚNG, TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – CÁC BÀI TỐN LIÊN
QUAN
PHƯƠNG PHÁP:
. Định nghĩa: Trong khơng gian Oxyz cho hai vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) .

( )

• Tích vơ hướng của hai véc tơ: a.b = a . b .cos a, b = a1b1 + a2b2 + a3b3
• Tích có hướng của hai vectơ a và b, kí hiệu là a, b  , được xác định bởi

a
 a, b  =  2
 b2

a3 a3
;
b3 b3

a1 a1 a2 
;
 = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )
b1 b1 b2 

. Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vơ hướng của hai vectơ là một số.
. Tính chất:
• [a, b] ⊥ a;

[a, b] ⊥ b

• a, b  = − b, a 
• i , j  = k ;

 j , k  = i ;

k , i  = j

• [a, b] = a . b .sin ( a, b )
• a, b cùng phương  [a, b] = 0 .
. Ứng dụng của tích có hướng:
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng  [a, b].c = 0
• Diện tích hình bình hành ABCD : S
• Diện tích tam giác ABC : SABC =

ABCD

=  AB, AD 

1
 AB, AC 
2

• Thể tích khối hộp ABCDABCD : VABCD. A' B 'C ' D ' = [ AB, AD]. AA
• Thể tích tứ diện ABCD : VABCD =

( )

• Góc giữa hai vectơ: cos a; b =

1
[ AB, AC ]. AD
6
a.b

a.b

=

a1b1 + a2b2 + a3b3
a + a22 + a32 . b12 + b22 + b32
2
1

A. VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Trong khơng gian Oxyz , cho a = (1; 2;0 ) , b = ( 2; −1;1) , c = (1; −1;0 ) . Phát biểu nào sau đây
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

7

Trang 7


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
sai?
A. a = 5 .

B. a.c = −1.

C. a ⊥ b .

D. c ⊥ b .

Lời giải
Chọn D
Ta có: c.b = 2.1 + ( −1) . ( −1) + 1.0 = 3  0  c, b khơng vng góc nhau.
Ví dụ 2. Trong khơng gian Oxyz , cho a = i − j + 2 k , b = i + ( m + 1) j − k . Tìm tham số m để a ⊥ b .
A. m = 2 .

B. m = −2 .

C. m = 0 .
Lời giải

D. m = −1 .

Chọn B
Ta có: a = (1; −1;2 ) , b = (1; m + 1; −1) ; a ⊥ b  a.b = 0  1 − m −1 − 2 = 0  m = −2 .
Ví dụ 3. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = ( 2;1;0 ) và b = ( −1;0; −2 ) . Tính
cos ( a, b ) .

A. cos ( a, b ) = −

2
.
25

2
B. cos ( a, b ) = − .
5

C. cos ( a, b ) =

2
.
25

D. cos ( a, b ) =

2
5

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 26. Trong không gian Oxyz cho u = j − 3k ; v = i + k . Tìm tích vơ hướng u.v .
A. – 3.

B. – 2.

C. 3.
→

D. 2.
→

→

Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho 3 vecto a = ( −1;1;0 ) ; b = (1;1;0 ) ; c = (1;1;1) . Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào sai
A. a = 2 .

B. c = 3 .

C. a ⊥ b .

D. b ⊥ c .

Câu 28. Gọi  là góc giữa hai vectơ a = (1; 2;0 ) và b = ( 2;0; −1) , khi đó cos  bằng
A. 0.

B.

2
.
5

C.

2
.
5

2
D. − .
5

Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho u (1; −2;1) , v ( −2;1;1) ; góc giữa hai vectơ là:
A.

5
.
6

B.


.
3

C.


.
6

D.

2
.
3

Câu 30. Trong khơng gian tọa độ Oxyz , độ dài của véc tơ u = (1;2;2) là
A. 3 .
B. 5 .
C. 2 .

D. 9 .

Câu 31. Tính góc giữa hai vecto a = (–2; –1; 2) và b = (0; 1; –1)
A. 60°.
B. 120°.
C. 45°.

D. 135°.

(

Câu 32. Trong hệ trục Oxyz, cho ba điểm A ( −2,1, 0 ) , B ( −3, 0, 4 ) , C ( 0, 7,3) . Khi đó, cos AB, BC

)

bằng:
A.

14
.

3 118

B. −

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

7 2
.
3 59

C.

14
.
57

D. −

14
.
57

8

Trang 8


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
Câu 33. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a ( 4; −2; −4 ) , b = ( 6; −3; 2 ) thì

( 2a − 3b)( a + 2b )

có giá trị là:

A. 200.

B.

D. 200 .

C. 2002 .

200 .

Câu 34. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba vectơ a ( 3;0;1) , b (1; −1; −2 ) , c ( 2;1; −1) . Tính

(

)

T = a b+c .
A. T = 3 .

B. T = 6 .

C. T = 0 .

D. T = 9 .

Câu 35. Cho điểm A ( 4; −3; −5 ) , B ( 2;1; −2 ) . Gọi a là số đo góc AOB với O là gốc tọa độ. Giá trị của

a là
A. a = 150 .

B. a = 30 .

C. a = 135 .

D. a = 45 .

Câu 36. Cho bốn véc tơ a = ( −1;1;0 ) , b = (1;1;0 ) , c = (1;1;1) , d = ( 2;0;1) . Chọn mệnh đề đúng.
A. a , b , c đồng phẳng.

B. a , b , c đồng phẳng.

C. a , b , c đồng phẳng.

D. a , b , c đồng phẳng.

Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a = ( 2; 2; −4 ) , b = (1;1; −2 ) . Mệnh đề nào
sau đây sai?
A. a, b = 0 .

B. a, b  0 .

D. a = 2b .

C. a = 2 b .

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A (1;1;1) , B ( 4;3; 2 ) , C ( 5; 2;1) .
Diện tích tam giác ABC là

A.

42
.
4

Câu 39. Trong

khơng

B.
gian

với

42 .
hệ

C. 2 42 .
trục

tọa

độ

Oxyz ,

D.
cho

tứ

42
.
2

diện

ABCD

có

A (1;0;1) , B ( 2;0; −1) , C ( 0;1;3) , D ( 3;1;1) . Thể tích khối tứ diện ABCD là

A. V =

2
.
3

B. V =

4
.
3

Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ

C. V = 4 .

Oxyz , cho tam giác

D. V = 2 .

ABC

có

A ( 0;1;1) ,

B (1; −2;0 ) , C ( −2;1; −1) . Diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu?

A.

22 .

B. 2 22 .

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

C.

22
.
2

D.

11
.

2

9

Trang 9


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
►DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU. NHẬN BIẾT PT MẶT CẦU
PHƯƠNG PHÁP:
. Dạng chính tắc:

( x − a) + ( y − b) + ( z − c)
2

2

2

= R 2 , có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R.

. Dạng khai triển: x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 , đk: a 2 + b2 + c 2 − d  0 , có tâm I ( a; b; c ) , bán
kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d .
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu có phương
trình ( x + 2 ) + ( y − 3) + z 2 = 5 là :
2

2

A. I ( 2;3;0 ) , R = 5 .

B. I ( −2;3;0 ) , R = 5 .

C. I ( 2;3;1) , R = 5 .

D. I ( 2; − 2;0 ) , R = 5 .
Lời giải

Chọn B
Mặt cầu có tâm I ( −2;3;0 ) và bán kính là R = 5 .
Ví dụ 2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 4 z − 25 = 0 .
Tìm tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu ( S ) .
A. I (1; −2; 2 ) ; R = 34 .

B. I ( −1; 2; −2 ) ; R = 5 .

C. I ( −2;4; −4 ) ; R = 29 .

D. I (1; −2; 2 ) ; R = 6 .
Lời giải

Chọn A
Từ phương trình ta có : a = 1, b = −2, c = 2, d = −25 .
Suy ra ( S ) tâm I (1; −2;2 ) ; R = 12 + ( −2 ) + 22 + 25 = 34 .
2

Ví dụ 3. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

(S )

có phương trình

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z + 5 = 0 . Tính diện tích mặt cầu ( S ) .
A. 42 .

B. 36 .

C. 9 .
Lời giải

D. 12 .

Chọn B
Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;3) và bán kính R = 12 + 22 + 32 − 5 = 3 .
Diện tích mặt cầu ( S ) : S = 4 R 2 = 4 32 = 36 .
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 1.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 5 ) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 16 . Tính
2

2

2

bán kính của ( S ) .
A. 4 .

B. 16 .

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

C. 7 .

D. 5 .
10

Trang 10


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
Câu 2.

Câu 3.

Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 4 có tâm và bán kính lần lượt
2

B. I ( −1; −2;3) , R = 2 .

C. I (1; 2; −3) , R = 4 .

D. I ( −1; −2;3) , R = 4 .

Trong

khơng

2

gian

với

hệ

tọa

độ

2

Oxyz ,

cho

mặt

cầu

có

phương

trình

I và bán kính R của mặt cầu đó.

B. I ( −1;3;0 ) ; R = 4 .
D. I (1; −3; 0 ) ; R = 4 .

Cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 . Tính bán kính R của mặt cầu ( S ) .
A. R = 3 .

Câu 5.

2

là
A. I (1; 2; −3) , R = 2 .

( x + 1) + ( y − 3) + z 2 = 16 . Tìm tọa độ tâm
A. I ( −1;3;0 ) ; R = 16 .
C. I (1; −3; 0 ) ; R = 16 .
Câu 4.

2

B. R = 3 .

D. R = 3 3 .

C. R = 9 .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 4 y − 8 z + 4 = 0 .
Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) .

Câu 6.

A. I ( 3; −2; 4 ) , R = 25 .

B. I ( 3; −2; 4 ) , R = 5 .

C. I ( −3; 2; −4 ) , R = 25 .

D. I ( −3; 2; −4 ) , R = 5 .

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 y − 6 z − 11 = 0 . Tìm tâm và bán
kính của ( S ) là:

Câu 7.

A. I ( 2; − 1; 3) , R = 25 .

B. I ( − 2; 1; − 3) , R = 5 .

C. I ( 2; − 1; 3) , R = 5 .

D. I ( − 2; 1; − 3) , R = 5 .

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho các phương trình sau, phương trình nào khơng
phải là phương trình của mặt cầu?

Câu 8.

A. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z − 8 = 0 .

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 .

C. 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 − 4 x + 2 y + 2 z + 16 = 0 .

D. 3x 2 + 3 y 2 + 3z 2 − 6 x + 12 y − 24 z + 16 = 0 .

2

2

Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu?
A. x 2 + y 2 + z 2 − 10 xy − 8 y + 2 z − 1 = 0 .
B. 3x 2 + 3 y 2 + 3z 2 − 2 x − 6 y + 4 z − 1 = 0 .
D. x 2 + ( y − z ) − 2 x − 4 ( y − z ) − 9 = 0 .

C. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 4 z + 2017 = 0 .
Câu 9.

2

2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + ( y − 1) + z 2 = 2 . Trong các điểm
2

cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu ( S ) ?
A. M (1;1;1) .
Câu 10. Trong

không

B. N ( 0;1;0 ) .
gian

với

hệ

C. P (1; 0;1) .
toạ

độ

Oxyz

D. Q (1;1;0 ) .
cho

phương

trình

x 2 + y 2 + z 2 − 2 ( m + 2 ) x + 4my − 2mz + 5m 2 + 9 = 0 . Tìm m để phương trình đó là phương trình

của một mặt cầu.
A. −5  m  5 .

B. m  −5 hoặc m  1. C. m  −5 .

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

D. m  1 .

11

Trang 11


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
Câu 11. Trong

khơng

gian

Oxyz ,

tìm

tất

cả

các

giá

trị

của

m

để

phương

trình

x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y + 2 z + m = 0 là phương trình của một mặt cầu.

A. m  6 .

B. m  6 .

C. m  6 .

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ

( ) : x + 2 y − 2 z − 4 = 0 . Mặt cầu ( S )

Oxyz , cho điểm

D. m  6 .
I (1; −2;1)

và mặt phẳng

có tâm I và tiếp xúc với ( ) có phương trình là

A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 9 .

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9 .

C. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 3 .

D. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 3 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(S )

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử tồn tại mặt cầu

có phương trình

x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 8 y − 2az + 6a = 0 . Nếu ( S ) có đường kính bằng 12 thì các giá trị của a là

A. a = −2; a = 8 .

B. a = 2; a = −8 .

C. a = −2; a = 4 .

D. a = 2; a = −4 .

►DẠNG 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU KHI BIẾT MỘT SỐ YẾU TỐ CHO TRƯỚC
PHƯƠNG PHÁP: Xác định được tâm và bán kính, hoặc là các hệ số a, b, c, d
. Mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R thì có phương trình chính tắc là:

( x − a) + ( y − b) + ( z − c)
2

2

2

= R2

. Mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) và đi qua điểm A
• Tính bán kính R = IA =

( xA − xI ) + ( yA − yI )
2

2

• Viết phương trình mặt cầu.
. Mặt cầu có đường kính AB
• Tìm tọa độ tâm I (trung điểm của đoạn AB )

AB
=
• Tính bán kính R =
2

( xB − x A ) + ( y B − y A )
2

2

2

• Viết phương trình mặt cầu.
. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (hoặc là: Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D có tọa độ cho trước)
• Gọi mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (a 2 + b 2 + c 2 − d  0)
• Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình mặt cầu, lập được hệ 4 phương trình 4 ẩn
a, b, c, d .

• Kết luận phương trình cần lập.
. Mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) Và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0
• Tính bán kính R = d ( I , ( P ) ) =

Aa + Bb + Cc + D
A2 + B 2 + C 2

• Viết phương trình mặt cầu: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2
2

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

2

2

12

Trang 12


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
. Mặt cầu có tâm I ( a; b; c ) Và tiếp xúc với đường thẳng (  ) :

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
u1
u2
u3

• Xác đinh tọa độ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và véc tơ chỉ phương u ( u1; u2 ; u3 ) của đường thẳng (  )

M 0 I , u 


u

• Tính bán kính R = d ( I , (  ) ) =
• Viết phương trình mặt cầu.
B. BÀI TẬP MINH HỌA:

Ví dụ 1. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 4; 2 ) và bán kính R = 9 .
Phương trình của mặt cầu ( S ) là:
A. ( x + 1) + ( y − 4 ) + ( z − 2 ) = 81 .

B. ( x + 1) + ( y − 4 ) + ( z − 2 ) = 9 .

C. ( x − 1) + ( y + 4 ) + ( z − 2 ) = 9 .

D. ( x − 1) + ( y + 4 ) + ( z + 2 ) = 81

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn A
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 4; 2 ) và bán kính R = 9 nên ( S ) có phương trình:

( x + 1) + ( y − 4 ) + ( z − 2 )
2

2

2

= 81 .

Ví dụ 2. Trong khơng gian Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I ( −1; 2;0 ) và đi qua điểm A ( 2; − 2;0 ) là

A. ( x + 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 100.

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 5.

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 10.

D. ( x + 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 25.

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn D
Ta có: Tâm I ( −1; 2;0 ) và bán kính R = IA = 32 + 42 = 5 .
Vậy phương trình mặt cầu có dạng: ( x + 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 25.
2

2

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −2;1;0 ) , B ( 2; −1; 2 ) . Phương trình của mặt cầu có
đường kính AB là
A. x 2 + y 2 + ( z − 1) = 24 .

B. x 2 + y 2 + ( z − 1) = 6 .

C. x 2 + y 2 + ( z − 1) = 24 .

D. x 2 + y 2 + ( z − 1) = 6 .

2

2

2

2

Lời giải
Chọn D

x A + xB

 xI = 2 = 0

y + yB

= 0  I ( 0;0;1) .

Gọi I là trung điểm của AB khi đó  yI = A
2

z A + zB

 zI = 2 = 1


IA =

( 0 + 2) + ( 0 − 1) + (1 − 0)
2

2

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

2

= 6.
13

Trang 13


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
Mặt cầu đường kính AB nhận điểm I ( 0;0;1) làm tâm và bán kính R = IA = 6 có phương
trình là: x 2 + y 2 + ( z − 1) = 6 .
2

Ví dụ 4. Gọi ( S ) là mặt cầu đi qua 4 điểm A ( 2;0;0 ) , B (1;3;0 ) , C ( −1;0;3) , D (1; 2;3) .
Tính bán kính R của ( S ) .
A. R = 2 2 .

B. R = 3 .

D. R = 6 .

C. R = 6 .
Lời giải

Chọn D

Giả sử phương trình mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 − d  0 )
Vì ( S ) đi qua 4 điểm A ( 2;0;0 ) , B (1;3;0 ) , C ( −1;0;3) , D (1; 2;3) nên ta có hệ phương trình:

−4a + d = −4
a = 0
−2a − 6b + d = −10
b = 1




2a − 6c + d = −10
c = 1
−2a − 4b − 6c + d = −14
d = −4

 R = 02 + 12 + 12 − ( −4) = 6 .

Ví dụ 5. Trong khơng gian Oxyz cho điểm I ( −1; 2;3) và mặt phẳng ( P ) : 4 x + y − z − 1 = 0 . Viết phương
trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) .
A. ( x + 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 = 2 .

B. ( x + 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 = 2 .

C. ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + ( z + 3)2 = 2 .

D. ( x + 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3) 2 = 1 .

Lời giải
Chọn A
Gọi ( S ) là mặt cầu tâm I , bán kính R và ( S ) tiếp xúc với ( P ) : 4 x + y − z − 1 = 0
Ta có d ( I ; ( P ) ) = R 

4.(−1) + 2 − 3 − 1
4 + 1 + (−1)
2

2

2

=

6
3 2

= 2

Vậy mặt cầu (S) có phương trình: ( x + 1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 = 2 .
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 14. Phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; − 3) bán kính R = 2 là:
A. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 6 z + 10 = 0 .

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 2 .

C. x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y − 6 z + 10 = 0 .

D. ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 22 .

2

2

2

2

2

2

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ((1; −2; 3) và đi
qua điểm A ( 3;0; 2 ) .
A. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 3 .

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 9 .

C. ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9 .

D. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3) = 3 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(−1;1; 2) , M (1; 2;1) . Mặt cầu tâm A đi
qua M có phương trình là

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

14

Trang 14


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
A. ( x + 1)2 + ( y − 1) 2 + ( z − 2) 2 = 1 .

B. ( x − 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 2) 2 = 6 .

C. ( x + 1)2 + ( y − 1)2 + ( z − 2) 2 = 6 .

D. ( x + 1)2 + ( y −1)2 + ( z − 2)2 = 6 .

Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I (1; 0; − 1) và A ( 2; 2; − 3) . Mặt cầu ( S ) tâm I và đi
qua điểm A có phương trình là.
A. ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 3 .

B. ( x − 1) + y 2 + ( z + 1) = 3 .

C. ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 9 .

D. ( x − 1) + y 2 + ( z + 1) = 9 .

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 6; 2; −5 ) , B ( −4;0;7 ) . Viết phương
trình mặt cầu đường kính AB .
A. ( x + 5 ) + ( y + 1) + ( z − 6 ) = 62 .

B. ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 62 .

C. ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 62 .

D. ( x − 5 ) + ( y − 1) + ( z + 6 ) = 62 .

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;3) và B ( 3; 2;1) . Phương trình mặt cầu đường
kính AB là
A. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 2 ) = 2 .

B. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 2 ) = 4 .

C. x 2 + y 2 + z 2 = 2 .

D. ( x − 1) + y 2 + ( z − 1) = 4 .

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1;1) , B ( 0;3; −1) . Mặt cầu ( S ) đường
kính AB có phương trình là
A. x 2 + ( y − 2 ) + z 2 = 3 .

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 3 .

2

2

C. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9 .
2

2

D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 9 .

2

Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

2

2

(S )

2

có tâm I ( 2;1; −1) và tiếp xúc với mp ( P ) có

phương trình: 2 x − 2 y − z + 3 = 0 Bán kính của mặt cầu ( S ) là:
A. R =

2
.
9

B. R =

2
.
3

C. R =

4
.

3

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

D. R = 2 .

(P) :

2 x + 2 y − z − 3 = 0 và điểm

I (1; 2 − 3) . Mặt cầu ( S ) tâm I và tiếp xúc mp ( P ) có phương trình:

A. ( S ) : ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = 4 .

B. ( S ) : ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 3) 2 = 16 .

C. ( S ) : ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z + 3) 2 = 4 .

D. ( S ) : ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z + 3) 2 = 2 .

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới dây là phương trình mặt cầu có
tâm I (1; 2; −1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − 2 z − 8 = 0 ?
A. ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 3 .

B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 3 .

C. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9 .

D. ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 9 .

2

2

2

2

2

Câu 24. Trong khơng gian

2

2

2

Oxyz , viết phương trình mặt cầu

2

2

(S )

2

2

đi qua bốn điểm

O, A (1;0;0 ) , B ( 0; −2;0 ) và C ( 0;0; 4 ) .

A. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + x − 2 y + 4 z = 0 .
Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

B. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 8 z = 0 .
15

Trang 15


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
C. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − x + 2 y − 4 z = 0 .

D. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y + 8 z = 0 .

Câu 25. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm I ( 0; −3;0 ) . Viết phương trình của mặt cầu tâm
I và tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxz ) .

A. x 2 + ( y + 3) + z 2 = 3 .

B. x 2 + ( y − 3) + z 2 = 3 .

C. x 2 + ( y − 3) + z 2 = 3 .

D. x 2 + ( y + 3) + z 2 = 9 .

2

2

2

2

Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( −1;0;0 ) , B ( 0;0; 2 ) , C ( 0; −3;0 ) . Bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là
A.

14
.
3

B.

14
.
4

C.

14
.
2

D. 14 .

Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A (1;1;3) , B ( −1;3; 2 ) , C ( −1; 2;3 ) . Mặt cầu tâm O và

tiếp xúc mặt phẳng ( ABC ) có bán kính R là
B. R = 3 .

A. R = 3 .

C. R =

3
.
2

D. R =

3
.
2

Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;1; − 4 ) và mặt phẳng

( P ) : x + y − 2 z + 1 = 0 . Biết rằng mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S )
có bán kính bằng 1 . Viết phương trình mặt cầu ( S ) .

theo giao tuyến là đường tròn

A. ( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 4 ) = 25 .

B. ( S ) : ( x + 2 ) + ( y + 1) + ( z − 4 ) = 13 .

C. ( S ) : ( x + 2 ) + ( y + 1) + ( z − 4 ) = 25 .

D. ( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 4 ) = 13 .

2

2

2

2

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

2

2

2

2

2

2

2

2

16

Trang 16


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
► DẠNG 1: TÌM MỘT VTPT CỦA MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
. Định nghĩa: Vectơ n  0 , n có giá vng góc với

(P)

 n là 1 VTPT của ( P )

. Chú ý:
• Nếu n là một VTPT của mặt phẳng ( P) thì k n (k  0) cũng là một VTPT của mp ( P)
• Nếu mp ( P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một VTPT là n( A; B; C ) .
• Nếu ( P) có cặp u, v khơng cùng phương với nhau và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng

( P) thì n = [u, v] là một VTPT của ( P) .
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 3x + 2 y − 4 z + 1 = 0 . Vectơ nào sau đây là một
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) ?
A. n2 = ( 3; 2; 4 ) .

B. n3 = ( 2; − 4;1) .

C. n1 = ( 3; − 4;1) .

D. n4 = ( 3; 2; − 4 )

Lời giải
Chọn D
Phương trình mặt phẳng ( ) có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 với A = 3; B = 2; C = −4; D = 1 .
Suy ra ( ) có n4 = ( 3; 2; − 4 ) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ) .
Ví dụ 2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 3z + 4 = 0 . Vectơ nào dưới đây
có giá vng góc với mặt phẳng ( P ) ?
A. n3 = ( 2; − 3; 4 ) .

B. n1 = ( 2;0; − 3) .

C. n2 = ( 3;0; 2 ) .

D. n4 = ( 2; − 3;0 )

Lời giải
Chọn B
Vectơ n1 = ( 2;0; − 3) có giá vng góc với mặt phẳng ( P ) vì là một vectơ pháp tuyến của ( P ) .
Ví dụ 3. Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm A ( 2; −1;3) , B ( 4;0;1) và C ( −10;5;3) . Vectơ nào dưới
đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) ?
A. n = (1; 2; 2 ) .

B. n = (1; −2; 2 ) .

C. n = (1;8; 2 ) .

D. n = (1; 2;0 ) .

Lời giải
Chọn A

Ta có AB = ( 2;1; −2 ) , AC = ( −12;6;0 ) ,  AB, AC  = (12;24;24) = 12. (1;2;2)
 ( ABC ) có một vectơ pháp tuyến là n = (1; 2; 2 ) .

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

17

Trang 17


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 1.

Trong khơng gian Oxyz , mặt phẳng ( P ) : 3 x − 2 z − 1 = 0 có một véctơ pháp tuyến là
A. u = ( 3;0; 2 ) .

Câu 2.

C. u = ( 3; −2;0 ) .

D. u = ( 3; −2; −1) .

Trong không gian Oxyz , một vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng 2 x + 3 y − z + 1 = 0 là
A. n = ( 2;3;1) .

Câu 3.

B. u = ( −3;0; 2 ) .

B. n = ( 3; 2;1) .

C. n = ( 2;3; − 1) .

D. n = ( 3; 2; − 1) .

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 3z + 2 = 0. Vectơ nào dưới đây
là vectơ pháp tuyến của ( P ) ?
A. n = ( −2;3;0 ) .

Câu 4.

B. n = ( 2; −3;1) .

C. n = ( 2; −3; 2 ) .

D. n = ( 2;0; −3) .

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x − 3 y − 2 z − 6 = 0 . Vecto nào
không phải là vecto pháp tuyến của ( ) ?
A. n = (1; − 3; − 2 ) .

Câu 5.

B. n = ( −1;3; 2 ) .

C. n = (1;3; 2 ) .

D. n = ( −2;6; 4 ) .

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Tìm một
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) . Chọn đáp án sai.
A.  AB, AC  .

Câu 6.

B.  AB, BC  .

C. AC.BC .

D.

1
CB, CA .

3

Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1;1;0 ) , B ( 2; − 1;1) . Một vectơ pháp tuyến n của
mặt phẳng ( OAB ) là
A. n = ( −3;1; − 1) .

Câu 7.

B. n = ( 2;3; − 2 ) .

C. n = ( 2;3;2 ) .

Trong không gian Oxyz , một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
A. n = (3;6; −2) .

Câu 9.

C. n = (1; − 1;3) .

D. n = (1;1;3) .

x y z
Mặt phẳng ( P ) : + +
= 1 có một vectơ pháp tuyến là:
2 3 −2
A. n = ( 3; 2;3) .

Câu 8.

B. n = (1; − 1; − 3) .

B. n = (2; −1;3) .

D. n = ( 3;2; − 3) .

x
y z
+ + = 1 là
−2 −1 3

C. n = (−3; −6; −2) .

D. n = (−2; −1;3) .

Toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm M ( 2;0;0 ) , N ( 0; −3;0 ) ,

P ( 0;0; 4 ) là

A. ( 2; −3; 4 ) .

B. ( −6; 4; −3) .

C. ( −6; −4;3) .

D. ( −6; 4;3) .

Câu 10. Toạ độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm M ( 2;0;0 ) , N ( 0; −3;0 ) ,
P ( 0;0; 4 ) là

A. ( 2; −3; 4 ) .

B. ( −6; 4; −3) .

C. ( −6; −4;3) .

D. ( −6; 4;3) .

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( −3; − 1;3) , B ( −1;3;1) và ( P ) là mặt
phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . Một vectơ pháp tuyến của ( P ) có tọa độ là:

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

18

Trang 18

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
A. ( −1;3;1) .

B. ( −1;1; 2 ) .

C. ( −3; − 1;3) .

D. (1; 2; − 1) .

Câu 12. Trong không gian với hệ trục độ Oxyz , cho ba điểm A (1; −2;1) , B ( −1;3;3) , C ( 2; −4; 2 ) . Một
véc tơ pháp tuyến n của mặt phẳng ( ABC ) là:
A. n1 = (−1;9; 4) .

B. n4 = (9; 4; −1) .

C. n3 = (4;9; −1) .

D. n2 = (9; 4;11) .

( ) song song mặt phẳng
( P ) : 3x − 2 y + z + 7 = 0 . Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ) .
A. n = ( 3; − 2;1) .
B. n = ( −1;3; 2 ) .
C. n = ( 3; 2;1) .
D. n = ( 3; − 2; − 1) .

Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng

Câu 14. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng ( Oyz ) có

một vecto pháp tuyến là:
A. k = ( 0;0;1) .

B. n = ( 0;1;1) .

C. j = ( 0;1;0 ) .

D. i = (1;0;0 ) .

Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(−1;0;1), B(−2;1;1) . ( ) là mặt
phẳng trung trực của đoạn AB .Tìm một vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ) .
A. n = ( −1;1;0 ) .

B. n = (1;1;1) .

C. n = (1;1;0 ) .

D. n = ( 0;1; − 1) .

►DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
. Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.
⬧ Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ n = ( A; B; C ) làm VTPT có phương
trình dạng ( ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 hay ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 .
⬧ Mặt phẳng ( ) đi qua điểm ba điểm A ( a;0;0 ) , A ( 0; b;0 ) A ( 0;0; c ) có phương trình theo đoạn
chắn:

x y z
+ + =1.
a b c

. Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua 1 điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với 1 mặt phẳng

(  ) : Ax + By + Cz + D = 0 cho trước.
⬧ VTPT của (  ) là n(  ) = ( A; B; C )
⬧ Vì ( ) // (  ) nên VTPT của mặt phẳng ( ) là n( ) = n(  ) = ( A; B; C )
⬧ Phương trình mặt phẳng ( ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
. Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm A, B, C khơng thẳng hàng.
⬧ Tìm tọa độ các vectơ: AB, AC
⬧ Vectơ pháp tuyến của ( ) là: n( ) =  AB, AC 

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

19

Trang 19


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
⬧ Điểm thuộc mặt phẳng là A (hoặc B hoặc C )
⬧ Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT n( )
. Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua hai điểm A, B và vng góc với mặt phẳng (  ) .
⬧ Tìm VTPT của (  ) là n(  )
⬧ Tìm tọa độ vectơ AB
⬧ VTPT của mặt phẳng ( ) là n( ) = n(  ) , AB 


⬧ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
A. BÀI TẬP MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào được cho dưới đây là phương trình

mặt phẳng ( Oyz ) ?
A. x = y + z .

B. y − z = 0 .

C. y + z = 0 .

D. x = 0 .

Lời giải
Chọn D
Mặt phẳng ( Oyz ) đi qua O ( 0;0;0 ) và nhận n = (1;0;0 ) làm vec tơ pháp tuyến nên phương
trình mặt phẳng ( Oyz ) là x = 0 .
Ví dụ 2. Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A (1;5; −2 ) , B ( 3;1; 2 ) . Viết phương trình mặt phẳng
trung trực của đoạn thẳng AB .
A. 2 x + 3 y + 4 = 0 .
B. x − 2 y + 2 x = 0 .

C. x − 2 y + 2 z + 8 = 0 . D. x − 2 y + 2 z + 4 = 0 .

Lời giải
Chọn D
Ta có: AB = ( 2; −4;4 ) là một VTPT của mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB .
Gọi I là trung điểm của AB  I ( 2;3;0 ) .
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua điểm I và có VTPT n = ( 2; −4; 4 ) nên có
phương trình là: 2 ( x − 2 ) − 4 ( y − 3) + 4 ( z − 0 ) = 0  x − 2 y + 2 z + 4 = 0 .
Ví dụ 3. Trong khơng gian Oxyz , mặt phẳng chứa trục Oz và vng góc với mặt phẳng

( ) : x − y + 2 z − 1 = 0 có phương trình là
A. x + y = 0 .

B. x + 2 y = 0 .

C. x − y = 0 .

D. x + y − 1 = 0 .

Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng ( ) : x − y + 2 z − 1 = 0 có vectơ pháp tuyến n = (1; − 1; 2 )
Trên trục Oz có vectơ đơn vị k = ( 0;0;1)

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

20

Trang 20


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
Mặt phẳng chứa trục Oz và vng góc với mặt phẳng ( ) là mặt phẳng qua O và nhận

n ; k  = ( −1; − 1;0 ) làm vectơ pháp tuyến.


Do đó có phương trình − x − y = 0  x + y = 0 .
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 16. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( Oxz ) có phương trình là
A. z = 0 .

B. x + y + z = 0 .

C. y = 0 .

D. x = 0 .

Câu 17. Cho hai điểm A (1;3; −4 ) , B ( −1; 2; 2 ) . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
là
A. 4 x + 2 y − 12 z − 17 = 0 .

B. 4 x + 2 y + 12 z − 17 = 0 .

C. 4 x − 2 y − 12 z − 17 = 0 .

D. 4 x − 2 y + 12 z + 17 = 0 .

Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A (1; −1; 2 ) và mặt phẳng

( P ) : 2 x − y + z + 1 = 0 . Mặt phẳng ( Q )
mặt phẳng ( Q ) là
A. ( Q ) : 2 x − y + z − 5 = 0 .
C. ( Q ) : x + y + z − 2 = 0 .

đi qua điểm A và song song với ( P ) . Phương trình
B. ( Q ) : 2 x − y + z = 0 .
D. ( P ) : 2 x + y − z + 1 = 0 .

Câu 19. Cho 3 điểm A ( 2;1; −1) , B ( −1;0; 4 ) , C ( 0; −2; −1) . Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm
A, B, C là

A. x − 2 y − 5z − 5 = 0 .

B. 2 x − y + 5 z − 5 = 0 .

C. x − 2 y − 5 = 0 .

D. x − 2 y − 5z + 5 = 0 .

Câu 20. Trong khơng gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;0;0) , B(0; −1;0) ,
1

C  0;0;  là
2

A. x − y + 2 z − 1 = 0 .

B. x − y + 2 z = 0 .

z
D. x − y + − 1 = 0 .
2
Câu 21. Cho hai điểm A (1; − 1;5 ) , B ( 0;0;1) . Mặt phẳng ( P ) chứa A, B và song song với trục Oy có
C. x − y + 2 z + 1 = 0 .

phương trình là
A. 4 x − z + 1 = 0 .

B. 4 x + y − z + 1 = 0 .

C. 2 x + z − 5 = 0 .

D. x + 4 z −1 = 0 .

Câu 22. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng chứa hai điểm A (1; 0;1) , B ( −1; 2; 2 ) và song
song với trục Ox có phương trình là
A. y − 2 z + 2 = 0 .
B. x + 2 z − 3 = 0 .

C. 2 y − z + 1 = 0 .

D. x + y − z = 0 .

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa trục Oz và điểm
M (1; 2;1) .

A. ( P ) : y − 2 z = 0 .

B. ( P ) : 2 x − y = 0 .

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

C. ( P ) : x − z = 0 .

D. ( P ) : x − 2 y = 0 .

21

Trang 21

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
Câu 24. Trong khơng gian Oxyz , mặt phẳng song song với mặt phẳng ( Oxy ) và đi qua điểm A(1;1;1)
có phương trình là
A. y − 1 = 0 .

B. x + y + z − 1 = 0 .

C. x −1 = 0 .

Câu 25. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với mặt phẳng

D. z −1 = 0 .

( Oyz )

và đi qua điểm

A(−1; −1; −1) có phương trình là

A. y − 1 = 0 .

B. x + y + z − 1 = 0 .

C. x + 1 = 0 .

D. z −1 = 0 .

Câu 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 và hai điểm
A ( −3;0;1) , B ( 0; −1;3) . Lập phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua A và song song với mặt

phẳng ( P ) .
A. x − 2 y + 2 z − 1 = 0 .

B. x − 2 y − 2 z + 1 = 0 .

C. x − 2 y − 2 z − 1 = 0 .

D. x − 2 y + 2 z + 1 = 0 .

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1; 2; −1) ; B ( 2;1;0 ) mặt phẳng

( P ) : 2 x + y − 3z + 1 = 0 . Gọi ( Q )
mặt phẳng ( Q ) là

là mặt phẳng chứa A; B và vng góc với ( P ) . Phương trình

A. 2 x + 5 y + 3z − 9 = 0 .

B. 2 x + y − 3z − 7 = 0 .

C. 2 x + y − z − 5 = 0 .

D. x − 2 y − z − 6 = 0 .

Câu 28. Trong hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z = 0 cắt các trục Ox, Oy, Oz
lần lượt tại các điểm A, B, C ( khác O ) . Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là
A.

x y z
− − = 1.

2 4 6

B.

x y z
+ + = 1.
2 4 6

C.

x y z
+ + = 0.
2 4 6

Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo nhau d1 :

D.

x y z
+ − = 1.
2 4 6

x−2 y −6 z +2
và
=
=
2
−2
1

x − 4 y +1 z + 2
. Phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d1 và ( P ) song song với đường
=
=
1
3
−2
thẳng d 2 là
d2 :

A. ( P ) : x + 5 y + 8 z − 16 = 0 .

B. ( P ) : x + 5 y + 8 z + 16 = 0 .

C. ( P ) : x + 4 y + 6 z − 12 = 0 .

D. ( P ) : 2 x + y − 6 = 0 .

x + 1 y −1 z
. Phương trình mặt phẳng ( P ) chứa A và d là
=
=
2
1
−3
A. x + 2 y + z + 1 = 0 .
B. x + y + z = 0 .
C. x + y = 0 .
D. y + z = 0 .

Câu 30. Cho A (1; −1;0 ) và d :

► DẠNG 3: ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
 Điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )  ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0  Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

22

Trang 22


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z − 2 = 0 ?
A. Q (1; −2; 2 ) .

B. P ( 2; −1; −1) .

C. M (1;1; −1) .

D. N (1; −1; −1) .

Lời giải
Chọn D
Thay toạ độ điểm Q vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta được 2.1 − ( −2 ) + 2 − 2 = 4  0 nên
Q ( P) .

Thay toạ độ điểm P vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta được 2.2 − ( −1) + ( −1) − 2 = 2  0 nên

P ( P) .

Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta được 2.1 − 1 + ( −1) − 2 = −2  0 nên
M ( P) .

Thay toạ độ điểm N vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta được 2.1 − ( −1) + ( −1) − 2 = 0 nên
N ( P) .

Ví dụ 2. Trong khơng gian Oxyz , gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2 x − y + 3z − 7 = 0 và

(  ) : x − 2 y + z − 2 = 0 . Đường thẳng
A. Q(2; −1;3) .

d đi qua điểm nào dưới đây?

B. M (1;0; −3) .

C. P(−1;0;3) .

D. N (1; −2;1) .

Lời giải
Chọn C

 P  ( )
Điểm 
 Pd .
 P  (  )
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Câu 31. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng 3x − 5 y + z − 2 = 0 đi qua điểm nào sau đây?

A. M (1; 2; − 1) .

B. N (1;1; − 1) .

C. P ( 2;0; − 3) .

D. Q (1;0; − 1) .

Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z − 1 = 0 đi qua điểm nào dưới đây?
A. P (1; −2;0 ) .

B. M ( 2; −1;1) .

C. N ( 0;1; −2 ) .

D. Q (1; −3; −4 ) .

Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm M ( 3; 4; −2 ) thuộc mặt phẳng nào trong các
mặt phẳng sau?
A. ( S ) : x + y + z + 5 = 0 .

B. ( P ) : z − 2 = 0 .

C. ( Q ) : x − 1 = 0 .

D. ( R ) : x + y − 7 = 0 .

Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x + y + z − 6 = 0 . Điểm nào dưới
đây không thuộc mặt phẳng ( ) ?
A. P (1; 2;3) .

B. Q ( 3;3;0 ) .

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

C. M (1; −1;1) .

D. N ( 2; 2; 2 ) .

23

Trang 23


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
Câu 35. Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z − 1 = 0 . Điểm nào
sau đây thuộc mặt phẳng ( P ) ?
A. M ( 2; − 1;1) .

B. N ( 0;1; − 2 ) .

C. Q (1; − 3; − 4 ) .

D. H (1; − 2;0 ) .

Câu 36. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z − 2 = 0 ?
A. M (1;1; −1) .

B. Q (1; −2; 2 ) .

C. P ( 2; −1; −1) .

D. N (1; −1; −1) .

Câu 37. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng ( ) : − x + y + 3z − 2 = 0 ?
A. (1; − 3; 2 ) .

B. (1; 2;3) .

C. (1;3; 2 ) .

D. ( −1; − 3; 2 ) .

Câu 38. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 3z − 10 = 0 cắt trục Ox tại điểm có hồnh độ
bằng
A. 10.

B. −10 .

C. 5.

D. 0.

Câu 39. Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu của điểm M (1; 2;3) trên mặt phẳng ( Oxy ) là
A. (1; 2;0) .

B. (1;0;3) .

C. (0; 2;3) .

D. (0;0;3) .

Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; −2;3) . Tìm tọa độ điểm A là hình
chiếu vng góc của M lên mặt phẳng ( Oyz ) .
A. A (1; −2;3) .

B. A (1; −2;0 ) .

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

C. A (1;0;3) .

D. A ( 0; −2;3) .

24

Trang 24


HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
►DẠNG 1: TÌM MỘT VTCP CỦA ĐƯỜNG THẲNG
PHƯƠNG PHÁP:
. Định nghĩa: Vectơ u  0 , u có giá song song hoặc
trùng với d  u là 1 VTCP của đường thẳng d .
. Chú ý:
Nếu u là một VTCP của đường thẳng d thì ku (k  0) là một VTCP của đường thẳng d

 x = x0 + a1t


• Nếu  có trình tham số của dạng:  y = y0 + a2t , ( t 
z = z + a t
0
3

• Nếu a1a2 a3  0 thì

) thì  có 1 VTCP là

a = ( a1; a2 ; a3 )

x − x0 y − y0 z − z0
được gọi là phương trình chính tắc.
=
=
a1
a2
a3

• Nếu  có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( P) và vuông góc với đường thẳng d thì  có 1
VTCP là a = [ud , n p ]

A. VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Trong

khơng

gian

2 t
d :
y 1
t
z
1 3t

Oxyz cho

đường

thẳng

song

song

với

đường

thẳng

x

A. a ( 2;0; −6 ) .

. Một vectơ chỉ phương của

là

C. v ( 2;1; −1) .

B. b ( −1;1;3) .

D. u (1;0;3) .

Lời giải
Chọn A
Theo phương trình tham số của đường thẳng

thì ta thấy

có một vectơ chỉ phương là

a ( 2;0; −6 ) .
Ví dụ 2. Trong khơng gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

x −1 y − 2 z
=
= ?
2
−1 3
A. ( 2; −1;3) .
d:

B. ( 2;1;3) .

C. (1; −2;0 ) .

D. (1; 2;0 ) .

Lời giải
Chọn A
Theo phương trình chính tắc của đường thẳng d thì ta thấy d có một vectơ chỉ phương là
( 2; −1;3) .

Fb: ThayTrongDgl - biên soạn và sưu tầm!

25

Trang 25