Ôn tập các bài toán tích phân luyện thi THPT quốc gia

y = f ( x)
Câu 1

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số

[ a; b]
trên đoạn

liên tục

y = f ( x)
. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số

, trục hoành và

x = a, x = b ( a < b )
hai đường thẳng

. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay D

quanh trục hồnh được tính theo công thức
b

b

V = π∫ f 2 ( x ) dx

b

V = 2π∫ f 2 ( x ) dx

a

a

A.

B.

b

V = π2 ∫ f 2 ( x ) dx

V = π2 ∫ f ( x ) dx

a

C.

a

D.

Đáp án A
Câu 2 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Họ nguyên hàm của hàm số
f ( x ) = 3x 2 + 1
là

A.

x3 + C

B.

x3
+C
3

C.

6x + C

D.

x3 + x + C

Đáp án D
Ta có

∫ f ( x ) dx = ∫ ( 3x

2

+ 1) dx = x 3 + x + C
2

dx

∫ x+3
0

Câu 3:

A.

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Tích phân

16
225

log
B.

5
3

ln
C.

5
3

D.

bằng
2
15

Đáp án C
2
d ( x + 3)

dx
=
∫0 x + 3 ∫0 x + 3 = ln ( x + 3)
2

2
0

= ln 5 − ln 3 = ln

5
3

Ta có
Câu 4:
2

∫ ( x + 1)
1

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Biết
dx
= a − b −c
x + x x +1
với a, b, c là các số nguyên dương. Tính

P = a + b + c.


A.

P = 24

B.

P = 12

C.

P = 18

D.

P = 46

Đáp án D
2

I=∫

dx

x ( x + 1)

(

x +1 + x

x +1 + x

)(

x +1 − x = 1 ⇒ I = ∫

1

)

Ta có

(

2

)

1

2

x +1 − x

1 
 1
dx = ∫ 
−
÷dx
x
x +1 
x ( x + 1)

1

Lại có:

(

= 2 x − 2 x +1

Vậy

)

2
1

= 4 2 − 2 3 − 2 = 32 − 12 − 2 ⇒ a = 32; b = 12;c = 2

a + b + c = 46.

Câu 5 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Cho

(H) là

y = 3x 2 ,
hình phẳng giới hạn bởi parabol
y = 4 − x2
(với

0≤x≤2

cung trịn có phương trình

) và trục hồnh

(phần tơ đậm trong hình vẽ).

Diện tích của (H) bằng

A.

C.

4π + 3
12

B.

4π + 2 3 − 3
6

D.

4π − 3
12
5 3 − 2π
3

Đáp án B

Phương trinh hoành độ giao điểm là:

1

0 ≤ x ≤ 2
3x 2 = 4 − x 2 ⇒  4
⇔ x = 1.
2
3x = 4 − x
2

S = ∫ 3x 2 dx + ∫ 4 − x 2 dx = 3
0

Dựa vào hình vẽ ta có:

1

x3
3

1
0

+ I1 =

3
+ I1
3


2

I1 = ∫ 4 − x 2 dx,
1

Với

sử dụng CASIO hoặc đặt

π
x =1⇒ t =
6
π
x = 2⇒ t =
2

π
2

π
2

π
6

π
6

⇒ I1 = ∑ 4 − 4sin 2 t.2 cos tdt = ∫ 2 ( 1 + cos2t ) dt = ( 2t − sin 2t )

Đổi cận

⇒ I1 =

x = 2sin t ⇒ dx = 2 cos tdt

(

)

1
4π − 3 3 .
6

S=

Do đó

π
2
π
6

4π − 3
.
6

f ( x)
Câu 6 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018): Cho hàm số
1 
¡ \ 
2

trên

f '( x ) =
thỏa mãn

2
, f ( 0) = 1
2x − 1

f ( 1) = 2.
và

Giá trị của biểu thức

f ( −1) + f ( 3)
bằng:
A.

4 + ln15

B.

2 + ln15

C.

3 + ln15

Đáp án C

Ta có

∫ f ' ( x ) dx = ln 2x − 1 + C
x=

Hàm số gián đoạn tại điểm
x>

Nếu

1
2

1
⇒ f ( x ) = ln ( 2x − 1) + C
2

f ( x ) = ln ( 2x − 1) + 2 khi x >

Vậy

f ( 1) = 2 ⇒ C = 2
mà

1
2

f ( x ) = ln ( 1 − 2x ) + 1 khi x <

Tương tự

1
2

xác định

D.

ln15


f ( −1) + f ( 3) = ln 3 + 1 + ln 5 + 2 = ln15 + 3.
Do đó
f ( x)
Câu 7:

(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số
1

hàm liên tục trên đoạn

1

f ( 1) = 0, ∫ f ' ( x )  dx = 7

[ 0;1]

1

∫ x f ( x ) dx = 3

2

2

0

thỏa mãn

có đạo

0

và

.Tích

1

∫ f ( x ) dx
0

phân

bằng

A.

7
5

B.

1

C.

7
4

D.

4

Đáp án A

Đặt

u = f ( x )
du = f ' ( x ) dx
⇒
,


2
3
dv = 3x dx  v = x
1

1

∫ 3x f ( x ) dx = x .f ( x )
2

3

1

1
0

0

− ∫ x 3f ' ( x ) dx.
0

khi đó

1

1

1 = f ( 1) − ∫ x f ' ( x ) dx ⇒ ∫ x f ' ( x ) = −1 ⇔ ∫ 14x 3f ' ( x ) dx = −7
3

3

0

0

0

Suy ra
Mà
1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

6
3
6
3
∫ 49x dx = 7 suy ra ∫ f ' ( x )  dx + ∫ 7x f ' ( x ) dx + ∫ 49x dx = 0 ⇔ ∫ f ' ( x ) + 7x  dx = 0.

2

7
f ' ( x ) + 7x = 0 ⇒ f ( x ) = − x 4 + C
4

f ( 1) = 0 ⇒ f ( x ) =

3

Vậy

trị của

a−b

là:

1

7
7
1 − x 4 ) ⇒ ∫ f ( x ) dx = .
(
4
5
0

mà

x + 1 − 5x + 1
x →3 x − 4x − 3

lim
Câu 8 (ĐỀ THI THỬ 2018)Giới hạn

2

bằng

a
b

(phân số tối giản). Giá


A. 1

1
9

B.

C.

−1

D.

9

8

Đáp án A
Ta có

(

)

(

)

x + 4x − 3 ( x − 3) x
x x + 4x − 3
x + 1 − 5x + 1
9
= lim
= lim
=
x →3 x − 4x − 3
x →3
8
x + 1 + 5x + 1 ( x − 3 ) ( x − 1) x →3 ( x − 1) x + 1 + 5x + 1

lim

(

)

(

)

a = 9; b = 8 ⇒ a − b = 1
Suy ra
y = f ( x ) = cos3 x
Câu 9:

(ĐỀ THI THỬ 2018) Tìm nguyên hàm của hàm số

∫ f ( x ) dx =
A.

C.

cos 4 x
+C
x

B.

1
3
∫ f ( x ) dx = 12 sin 3x − 4 sin x + C

D.

1  sin 3x


+ 3sin x ÷+ C
3


∫ f ( x ) dx = 4 

cos 4 x.sin x
+C
∫ f ( x ) dx =
4

Đáp án B

∫ f ( x ) dx = ∫ cos

3

xdx =

Ta có

1
1 sin 3x

+ 3sin x ÷+ C
( cos 3x + 3cos x ) dx = 
∫
4
4 3


4

I = ∫ x ln ( 2x + 1) dx =
0

a
ln 3 − c
b

Câu 10 (ĐỀ THI THỬ 2018)Biết

nguyên dương và
A.

S = 60

a
b

là phân số tối giản. Tính
B.

S = 17

, trong đó a, b, c là các số

S= a+b+c

C.

S = 72

D.

Đáp án B

Đặt

2

du
=
dx
u = ln ( 2x + 1)
 x2


2x + 1
⇒
⇒
I
=


 2 ln ( 2x + 1) 
2
dv = xdx



v = x

2

4
0

4

x2
dx
2x
+
1
0

−∫

S = 68


 x2

⇔ I =  ln ( 2x + 1) 
2


4
0

x 1

 x2

1
− ∫  − +
dx
=
ln
2x
+
1
(
)
÷


2 4 4 ( 2x + 1) ÷
2

0

4

4
0

 x2 1
 4
1

−  − x + ln ( 2x + 1) ÷
8
 4 4
 0

a = 63
63

⇔ I = ln 3 − 3 ⇒ b = 4 ⇒ S = a + b + c = 70
4
c = 3

Cách : PP hằng số
Đặt

2

du
=
dx

2x
+
1
 4x 2 − 1

u = ln ( 2x + 1)

⇒
⇒

I
=

1
 8 ln ( 2x + 1) 
2
x −


dv = xdx

4 = ( 2x + 1) ( 2x − 1)
v =
2
8

x2 − 4)
(
63
⇒ I = ln 9 =
8
4

4
0

Câu 11 (ĐỀ THI THỬ 2018)Parabol

bằng

A.

x2
2

S1
thành hai phần có diện tích

3π + 2
21π − 2

2x − 1
dx
4
0

−∫

B.

chia hình trịn có tâm là gốc tọa độ, bán kính

và

3π + 2
9π − 2

x 2 + y2 = 8
 x = ±2


⇔

x2
y = 2
y =

2

Ta có parabol và đường trịn như hình vẽ bên

S1
S2

S1 < S2

S2

Đáp án B

Ta có

0

4

a = 63
63

= ln 3 − 3 ⇒ b = 4 ⇒ S = a + b + c = 70
4

c = 3

y=

2 2

4

, trong đó

C.

3π + 2
12π

. Tìm tỉ số

D.

9π − 2
3π + 2


Khi đó

2

x2 
4
S1 = ∫  8 − x 2 − ÷dx = 2π +

2 
3
−2 

S2 = 8π − S1 = 6π −
Suy ra

4
3

. Suy ra

(bấm máy tính)

4
2π +
S1
3 = 3π + 2
=
S2 6π = 4 9π − 2
3

Câu 12 (ĐỀ THI THỬ 2018): Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi các
y = x2
đường

A.

x = y2
và

quay quanh trục Ox bằng bao nhiêu?

3π
10

B.

10π

C.

10π
3

D.

3π

Đáp án A

( C1 ) , ( C 2 )
Phương trình hồnh độ giao điểm của
x ∈ [ 0;1]
Trong đoạn

LÀ

2
x = y = 0

 y = x
⇔

2
 x = 1; y = 1
 x = y

y = x2 ; y = x
suy ra
 x 5 x 2  1 3π
VOx = π ∫ ( x − x ) dx = π  − ÷ =
2  0 10
 5
0
1

4

Thể tích khối trịn xoay cần tính là
F ( x ) = ( x 2 + ax + b ) e − x
Câu 13 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho hai hàm số
f ( x ) = ( − x 2 + 3x + 6 ) e − x

F( x)
. Tìm a và b để

a = 1, b = −7
A.

và

f ( x)

là một nguyên hàm của hàm số

a = −1, b = −7
B.

a = −1, b = 7
C.

a = 1, b = 7
D.

Đáp án B
F ' ( x ) = ( −x 2 + ( 2 − a ) x + a − b ) e− x = f ( x )
Ta có
Vậy

a = −1

nên
và

b = −7

2−a = 3

và

a −b = 6

f ( x)
Câu 14 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Cho hàm số
1

3

0

0

A.

và có

1

−1

. Tính
2
3

¡

I = ∫ f ( 2x − 1 ) dx

∫ f ( x ) dx = 2; ∫ f ( x ) dx = 6
I=

liên tục trên

B.

3
2

I=

I=4

C.

D.

i=6

Đáp án B
1

1
2

−1

−1

1

I = ∫ f ( 2x − 1 ) dx = ∫ f ( 1 − 2x ) dx + ∫ f ( 2x − 1) dx
1
2

Có
1
2

1
= − ∫ f ( 1 − 2x ) d ( 1 − 2x )
2 −1

1

1
+ ∫ f ( 2x − 1) d ( 2x − 1)
21
t =1− 2x

t = 2x −1

2

0

=−

1

0

1

1
1
1
1
1
1
f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = .6 + .2 = 4
∫
23
20
23
20
2
2

Câu 15 (TỐN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Tính diện tích S của hình phẳng
y = − x 3 + 12x
hạn bởi đường cong
S=
A.

343
12

(H) giới

y = −x2

và

S=
B.

793
4

S=
C.

397
4

Đáp án D
Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình;
x = 4
− x 3 + 12x = − x 2 ⇔ − x 3 + 12x + x 2 = 0 ⇔  x = −3
 x = 0

S=
D.

937
12


0

S=

4

∫ −x

3

0

− 12x − x ) dx + ∫ ( − x 3 + 12x + x 2 ) dx =

−3

+ 12x + x dx + ∫ − x 3 + 12x + x 2 dx
2

0

Ta có
=

∫(x

−3

4

3

2

0

99 160 937
+
=
4
3
12

Câu 16 (TỐN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để
k

x + 1 −1
x

∫ ( 2x − 1) dx = 4 lim
x →0

1

có

A.

k = 1
k = 2


k = 1

 k = −2


B.

C.

 k = −1
 k = −2


D.

 k = −1
k = 2


Đáp án D

( 2x − 1)
1
∫1 ( 2x − 1) dx = 2 ∫1 ( 2x − 1) d ( 2x − 1) = 4
k

k

2

k

( 2k − 1)
=
4

1

2

=

1
4

Ta có
4 lim =
x →0

x +1 −1
= 4 lim
x →0
x

(

)(

x +1 −1
x

(

) = 4 lim

x +1 +1

)

x +1 +1

x →0

1
=2
x +1 +1

Mà

( 2k − 1) − 1 = 2 ⇔ 2k − 1 2 = 9 ⇔  k = 2
x +1 −1
⇔
(
)
 k = −1
∫1 ( 2x − 1) dx = 4 lim
x →0
x
4

2

k

Khi đó

[ 0;a ]

f ( x)
Câu 17 (TỐN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho

thỏa mãn
b
c

f ( x ) .f ( a − x ) = 1

f ( x ) > 0, ∀x ∈ [ 0;a ]

là phân số tối giản. Khi đó

( 11; 22 )
A.

a

dx

∫ 1+ f ( x ) =
0

và

b+c

là hàm liên tục trên đoạn

ba
c
, trong đó b, c là hai số nguyên dương và

có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

( 0;9 )
B.

( 7; 21)
C.

( 2017; 2020 )
D.


Đáp án B
Đặt

t = a − x ⇒ dt = −dx
x = 0 ⇒ t = a; x = a ⇒ t = 0

Đổi cận
0
a

a
a
f ( x ) dx
dx
−dt
dx
dx
=∫
=∫
=∫
=∫
1+ f ( x ) a 1+ f ( a − t ) 0 1+ f ( a − x ) 0 1+ 1
1+ f ( x )
0
0
f ( x)
a

I=∫
Lúc đó

a
f ( x ) dx a
dx
+∫
= 1dx = a
1 + f ( x ) 0 1 + f ( x ) ∫0
0
a

2I = I + I = ∫
Suy ra

Do đó

1
I = a ⇒ b = 1; c = 2 ⇒ b + c = 3
2
f ( x) = 1

Cách 2: Chọn

là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được

1
I = a ⇒ b = 1; c = 2 ⇒ b + c = 3
2

Câu 18 (Tốn Học Tuổi Trẻ): Tìm nguyên hàm của hàm số:

A.

C.

∫

f ( x ) dx =

∫

f ( x ) dx =

1 32
x ( 3ln x − 2 ) + C
9
2 32
x ( 3ln x − 1) + C
9

Đáp án D.

∫
=

x ln xdx =

2
2
1
x x ln x − ∫ x x . dx
3
3
x

2
4
2
x x ln x − x x + C = x x ( 3ln x − 2 ) + C
3
9

9

B.

D.

f ( x ) = x ln x

∫

f ( x ) dx =

2 32
x ( 3ln x − 2 ) + C
3

∫

f ( x ) dx =

2 32
x ( 3ln x − 2 ) + C
9


Câu 19:

(Tốn Học Tuổi Trẻ) Tìm cơng thức tính thể tích của khối trịn xoay

khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol

quay xung quanh trục
2

( P ) : y = x2

2

B.
2

C.

0

0

π ∫ ( 2x − x 2 ) dx

4

0

2

2

π ∫ 4x dx +π ∫ x dx
2

2

π ∫ 4x 2 dx −π ∫ x 4 dx

0

2

d : y = 2x

Ox

π ∫ ( x 2 − 2 x ) dx

A.

và đường thẳng

0

D.

0

Đáp án D.

Thể tích của khối trịn xoay là:
Câu 20:

2
2 2


V = π  ∫ 4 x dx − ∫ x 4 dx ÷
0
0


(Tốn Học Tuổi Trẻ) Cho hàm số
1

f ( tan x ) = cos 4 x, ∀x ∈ ¡ .

A.

2 +π
8

I = ∫ f ( x ) dx
0

Tính

B. 1 C.

2 +π
4

D.

Đáp án A.
2

1


f ( tan x ) = cos x ⇔ f ( tan x ) = 
÷
2
 tan x + 1 
4

⇒ f ( x) =

(x

1

1
2

+ 1)

2

⇒ ∫ f ( x ) dx =
0

2 +π
.
8

π
4

f ( x)

liên tục trên

¡

thỏa mãn


Câu 21:
y = e x −1 ,

(Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hình phẳng

A.

D

C.

với

x ≥ 1.

Tính thể tích

quanh trục hồnh

1 e2 − 1
V= +
3 2e 2

V=

giới hạn bởi đường cong

y = 2− x

cắt trục tọa độ và phần đường thẳng

khối tròn xoay tạo thành khi quay

D

V=

B.

1 e −1
+
π
2
e

V=

D.

π ( 5e 2 − 3)
6e 2

1 e2 − 1
+
2 2e 2

Đáp án B.
Ta có

e x −1 = 2 − x ⇔ x = 1

(do hàm số

f ( x ) = e x −1 + x − 2

đồng biến trên

¡

và

f ( 1) = 0).
1

V =π∫e
0

Suy ra

Câu 22:
D = [ a; b ]

∫
bằng

2

dx + π ∫ ( 2 − x ) dx =
1

π ( 5e 2 − 3)
6e 2
y = f ( x)

liên tục trên miền

có đồ thị là một đường cong C. Gọi S là phần giới hạn bởi C và các
x = a, x = b.

Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong S

1 + ( f ′ ( x ) ) dx.
2

a

hàm số

2

(Toán Học Tuổi Trẻ) Xét hàm số

đường thẳng
b

2 x −2

Theo kết quả trên, độ dài đường cong S là phần đồ thị của
f ( x ) = ln x

m − m + ln

1+ m
n

và bị giới hạn bởi các đường thẳng

với

m, n ∈ ¡

thì giá trị của

x = 1, x = 3

m 2 − mn + n 2

là

là bao nhiêu?


A. 6 B. 7 C. 3 D. 1
Đáp án B.
3

L=

∫

1+

1

1
dx.
x2

Đặt

u = 1 + x2

2

u2
1 u −1 

L = ∫ 2 du =  u + ln
÷

u −1
2 u +1 

2

Do đó

C.

2

= 2 − 2 + ln
2

1+ 2
.
3

m = 2, n = 3 ⇒ m2 − mn + n 2 = 7.

Câu 23:

A.

ta có:

(Tốn Học Tuổi Trẻ)Ngun hàm của hàm số

1
1


F ( x) = e 2 x  x − ÷+ C
2
2


F ( x) = 2e2 x ( x − 2 ) + C

B.

Đáp án A
I = ∫ xe2x dx

Đặt

 du = dx
u = x

⇒

e2 x
2x
dv = e dx v =

2

I = ∫ xe2 x dx =

1


F ( x) = 2e 2 x  x − ÷+ C
2


F ( x) =

D.

xe 2 x 1 2 x
1
1

− ∫ e dx = e 2 x  x − ÷+ C
2
2
2
2


f ( x) = x.e 2 x

1 2x
e ( x − 2) + C
2

là


Câu 24:

(Toán Học Tuổi Trẻ)Cho hàm số

π
4

1

∫

∫ f (tan x)dx = 4
1

0

và

x 2 f ( x)
x2 + 1

f ( x)

¡

và thỏa mãn

1

I = ∫ f ( x) dx

dx = 2

. Tính tích phân

A. 6

liên tục trên

B. 2

0

C. 3

D. 1

Đáp án A

I1 =

π
4

∫ f (tan x)dx = 4
0

Ta có

t = tan x ⇒ dt =

Đặt

dx
cos 2 x

⇒ dt = (1 + tan 2 x)dx = (1 + t 2 )dx ⇒
1

⇒ I1 = ∫

1

f (t )

2
0 t +1

1

I2 = ∫
0

x 2 f ( x)
x2 + 1

1

1

0

0

= ∫ f ( x)dx − ∫

dt = ∫

f ( x)

2
0 x +1

dt
1+ t2

= dx

dx = 4

dx
f ( x)
x2 + 1

1

dx = ∫ f ( x )dx −4 = 2
0

1

⇒ ∫ f ( x)dx = 6

0

2

ln x
b
dx = + a ln 2
x
c
1

∫
Câu 25 (Toán Học Tuổi Trẻ)Biết

các số nguyên dương và
A. 4
Đáp án A

b
c

B. -6

(với a là số thực, b, c là

là phân số tối giản). Tính giá trị của
C. 6

2a + 3b + c

D. 5


2

ln x

I =∫

Có

Đặt

x2

0

dx

dx

u = ln x
du =



x
⇒
1


 dv = 2 dx v = − 1
x

x

2

⇒I =∫
1

2

ln x

dx = −

x2

2

ln x
1
+ ∫ 2 dx
x 1 1x

2

ln 2 1
1 1
=−

−
= − ln 2
2
x1 2 2
 1
⇒ 2a + 3b + c = 2.  − ÷+ 3.1 + 2 = 4
 2

Câu 26:

(Tốn Học Tuổi Trẻ) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
x −1
x +1

(H ) : y =

thị hàm số
S = ln 2 − 1

A.

S = 2 ln 2 + 1

và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng

(đvtt)

(đvtt)

B.

S = ln 2 + 1

D.

S = 2ln 2 − 1

(đvtt)

C.

(đvtt)

Đáp án B
Đồ thị hàm số cắt Ox tại
1

(1;0)

Oy tại

(0; −1)

1

x −1
2 

S= ∫
dx = ∫ 1 −
÷dx

x
+
1
x
+
1


0
0
1

=  x − 2 ln ( x + 1)  = 2 ln 2 − 1
0

Câu 27 (Toán Học Tuổi Trẻ): Với mỗi số nguyên dương
1

n

I n = ũ x 2 ( 1- x 2 ) dx
0

lim

x đ+Ơ

. Tính

I n+1

In

n

ta kí hiệu


A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

Đáp án A
1

n

I n = ò x 2 ( 1- x 2 ) dx
0

Với mỗi số ngun dương n ta kí hiệu
1

I n+1 = ị x ( 1- x
2

2 n +1

)

1

dx = I n -

0

2 n

ò x .x ( 1- x )
3

0

1

. Khi đó

dx

.
n

J = ị x3 .x ( 1- x 2 ) dx

Với tích phân

0

ìï
u = x3
ïï
ïí
n +1 Þ
1
ïï v =1- x 2 )
(
2 ( n +1)
ùùợ

ta t:
ỡù u Â= 3x 2
ùù
ớ
ùù v Â= x ( 1- x 2 ) n
ïỵ

ỉ- x3
ư 1 1 3x 2
2 n +1 ữ
2 n +1
ữ
ị J =ỗ
1
x
+
1
x

(
)
(
) dx
ỗ
ữ ũ 2 ( n +1)
ữ
ỗ
ố2n +1
ứ
0
0

ị J=

ị

3
3
I n+1 ị I n+1 = I n I n+1
2 ( n +1)
2 ( n +1)

I n+1 2n + 2
=
In
2n + 5

lim

xđ+Ơ

I n+1
=1
In
0

ũ cos 2 x cos 4 xdx = a + b
Câu 28:

(Toán Học Tuổi Trẻ)Cho tích phân
e a + log 2 b

đó a,b là các hằng số hữu tỷ. Tính

- p
3

3

, trong


A. -2

B. -3

C.

1

8

D. 0

Đáp án A

Đặt

t = sin 2 x

a = 0, b =-

, tính ra

1
8

e a + log 2 b =- 2

nên

Câu 29 (Tốn Học Tuổi Trẻ)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

( P) : y = x 2 - 4 x + 5

( P)
và các tiếp tuyến với

A.

9
4

B.

4
9

A ( 1; 2) , B ( 4;5)

tại

C.

9
8

D.

5
2

Đáp án A

( C)
Tiếp tuyến với

tại A,B là

ỉ

ư
5 ÷
d1 : y =- 2 x + 4, d 2 : y = 4 x - 11, d1 Ç d 2 = M ç
;1÷
ç
÷
ç
è2 ø

Diện tích cần tính là
5
2

4

2
ùdx + é( x 2 - 4 x + 5) - ( - 4 x - 11) ùdx = 9
S = òé
ò ëê
ê( x - 4 x + 5) - ( - 2 x + 4) û
ú
ú
ë
û
4
5
2

1

(đvdt)

Câu 30 (Tốn Học Tuổi Trẻ)Tìm giá trị dương của
lim

( 3k + 1) x 2 + 1
x

x →+∞

A.

k = 12

Đáp án C

= 9 f ′ ( 2)

với
.

B.

k=2

f ( x ) = ln ( x 2 + 5 )

.

C.

k

để

.
k =5

.

D.

k =9

.


f ′( x)

(x
=

+ 5) ′

2

x +5
2

=

2x
4
, f ′( 2) =
x +5
9
2

.

Do đó

( 3k + 1) x 2 + 1

lim

x

x →+∞

4
= 9 f ′ ( 2 ) ⇒ 3k + 1 = 9. ⇒ k = 5
9

.

.
1

Câu 31 (Toán Học Tuổi Trẻ)Biết

ab

∫ d x < lim
8

giá trị k để
A.

(k

2

. Tìm các

+ 1) x + 2017
x + 2018

x →+∞

k < 0.

x 3 + 2x2 + 3
1
3
∫0 x + 2 d x = a + b ln 2 ( a, b > 0 )

B.

k ≠0

.

C.

k > 0.

D.

k ∈¡ .

Đáp án B
1

1

1
3
x 3 + 2x + 3
3 
1
3

+ b ln = ∫
d x = ∫  x2 +
÷d x = + 3ln
a
2 0 x+2
x+2
3
2

0

Suy ra:

ab − 8 < k 2 + 1 ⇒ 3.3 − 8 < k 2 + 1 ⇒ k ≠ 0

Câu 32 (Toán Học Tuổi Trẻ)Giả sử
4

.

.

a, b, c

là các số nguyên thỏa mãn

3

2x2 + 4x + 1
1
4
2
∫0 2x + 1 d x = 2 ∫1 ( au + bu + c ) du

A.

S = 3.

B.

Đáp án D

Đặt

u2 −1
u = 2x + 1 ⇒ x =
2

S =0

.

, trong đó
C.

u = 2x + 1

S =1

.

. Tính giá trị
D.

S = a + b + c.

S=2

.

⇒ udu = d x, 2x2 + 4x + 1 =

u 4 + 2u 2 − 1
2

4

.

3

2x2 + 4x + 1
1
4
2
∫0 2x + 1 d x = 2 ∫1 ( au + bu + c ) du

Ta được

, với

a = 1, b = 2, c = −1 ⇒ a + b + c = 2.

Câu 33 (Toán Học Tuổi Trẻ): Cho hình phẳng
y=

ln x
x

(H) giới hạn bởi đường cong

x=e

, trục hồnh và đường thẳng
. Khối trịn xoay tạo thành khi quay
(H) quanh trục hồnh có thể tích bằng bao nhiêu?
V=

A.

π
2

V=

.

B.

π
3

V=

.

C.

π
6

.

D.

V =π

.

Đáp án B
y=

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số

ln x
x

và trục hoành là: số

x > 0
ln x
=0⇔
⇔ x = 1.
x
ln x = 0
2

π

 ln x 
2
V =π ⇔ ∫
÷ d x = π ∫ ln xd( ln x) = 3 .
x
1
1
e

e

f ( x)

Câu 34 (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho hàm số
f ′( x) =

A.

1
, f ( 0 ) = 2017,
x −1

S =1

.

B.

f ( 2 ) = 2018

S = ln 2

. Tính

.

S = f ( 3) − f ( −1)

C.

Đáp án A
x ∈ ( −∞;1)

thì

f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) d x = ln ( 1 − x ) + C1

xác định trên

.

S = ln 4035

.

¡ \ { 1}

thỏa mãn

.

D.

S=4

.


x ∈ ( 1; +∞ )

f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) d x = ln ( 1 − x ) + C2

thì

.

 f ( 0 ) = 2017 C1 = 2017
⇒
; S = f ( 3) − f ( −1) = 1

 f ( 2 ) = 2018 C2 = 2018

Câu 35 (Toán Học Tuổi Trẻ)Biết ln có hai số a, b để
F ( x) =

ax + b
( 4a − b ≠ 0 )
x+4

2 f 2 ( x ) = ( F ( x ) − 1) f ′ ( x )

A.

a = 1, b = 4.

là nguyên hàm của hàm số

f ( x)

. Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?
B.

a = 1, b = −1.

C.

a = 1, b ∈ ¡ \ { 4}

Đáp án C
f ( x) = F′( x) =

4a− b

( x + 4)

2

= ( 4a − b ) ( x + 4 )

⇒ f ′ ( x ) = −2 ( 4a-b) ( x + 4 )

Ta có
⇔

−3

( x + 4)

2

=

4

−2 ( 4a − b )

( x + 4)

3

−2 ( 4a− b ) ( a − 1) x + b − 4 

( x + 4)

⇔ 4a− b = − ( a − 1) x − b + 4

Biểu thức
Do

=

−2

2 f 2 ( x ) = ( F ( x ) − 1) f ′ ( x )

2 ( 4a − b )

nên

4

(*)

(*) đúng với mọi

4a − b ≠ 0

và thỏa mãn

(do
x ≠ −4

a = 1, b = ¡ \ { 4}

.

x ≠ −4, 4a− b ≠ 0

nên có

).

a = 1, b ∈ ¡

.

. D.

a ∈ ¡ ,b ∈ ¡

.